Principes et mthodes de commande

des entranements vitesse variable

Asservissement en vitesse d'un moteur

courant continu

Thomas Dupas Pierre Fritsch

4 mai, 9 mai, 7 juin 2005

Suplec, campus de Metz

Au cours de ces 3 sances de travaux de laboratoire, on cherche asservir en vitesse un

moteur courant continu aliment par un servo amplicateur. Dans un premier temps,

on modlise le moteur et son bloc d'alimentation, et on simule ce modle. On conoit

ensuite une commande pour le systme en vue du respect d'un cahier des charges x

en s'aidant de simulations. Enn, on ralise cette rgulation et on confronte thorie,

simulation et pratique.

Schma du systme

Table des matires

1 Modlisation et simulation en boucle ouverte 5

1.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Modlisation du servo-amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Calcul du moment d'inertie total quivalent . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Fonctions de transfert du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Schma-bloc du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 tude en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Simulation du bloc amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Simulation du systme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Modlisation du moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Synthse et simulation des correcteurs 14

2.1 Rgulation simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Choix du rgulateur : rgulateur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Calcul du rgulateur : rglage frquentiel dans le plan de Bode . . 15

2.1.3 Vrication : simulation de la rponse indicielle . . . . . . . . . . . 15

2.2 Rgulation cascade : boucle de rgulation de courant . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Capteur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Objectifs de la boucle de rgulation de courant . . . . . . . . . . . 19

2.2.4 Synthse du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.5 Vrication par simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.6 Intrt d'une telle boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Rgulation cascade : boucle de rgulation de vitesse . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Synthse du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Simulation de la rponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Respect du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Ralisation et validation exprimentale 26

3.1 Ralisation d'un limiteur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 tude de la rponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Vrication du modle du capteur de courant . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Modlisation des frottements secs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Identication du modle linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Ralisation du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

3.5 Validation du cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4

Partie 1

Modlisation et simulation en boucle

ouverte

1.1 Mise en quation

Mettons le systme en quation.

1.1.1 Modlisation du servo-amplicateur

Le servo-amplicateur est un hacheur quatre quadrants modultaion de largeur d'im-

pulsion. tant utilis dans son rgime linaire, il peut tre considr comme une constante

d'amplicationKa = 6, associe une constante de temps du premier ordre a = 121

17 kHz ,

soit a = 29, 4 s. La fonction de transfert de cet amplicateur s'crit donc

Hampli(p) =Um(p)U(p)

=Ka

1 + ap, (1.1)

o l'on note U(p) la consigne et Um(p) la tension de commande du moteur.

1.1.2 Calcul du moment d'inertie total quivalent

Le moment d'inertie total quivalent rapport l'axe du moteur est donn par

Jeq = Jr + Jred +JvolN2

avec :

Jr = 22, 5 105 kg m2 moment d'inertie du moteur et du rducteur, Jvol =

(piR2e)R22 moment d'inertie du volant, o R = 8 cm, e = 4, 7 cm et =

2, 7 103 kg m2, soit Jvol = 8, 2 103 kg m2, N = 6 facteur de rduction.D'o :

Jeq = 4, 52 104 kg m2

5

Fig. 1.1: Schma-bloc du moteur

1.1.3 Fonctions de transfert du moteur

Le moteur est une machine courant continu, caractrise par son quation mcanique

um = Rim + Ldimdt

+ 0m

et son quation lectrique

Jeqdmdt

= 0im fm cr.

En appliquant la transformation de Laplace, ces deux quations s'crivent

Um(p) = (R+ Lp) Im(p) + 0(p)(Jeq + f)m(p) = 0Im(p) Cr(p)et mnent au schma-bloc de la gure 1.1.

Le moteur se comporte donc comme un systme

deux entres : tension de commande um et couple rsistant cr (perturbation) et deux sorties : vitesse de rotation m et courant d'induit im.En considrant qu'il n'y a pas de couple rsistant (cf. thorme de superposition), on

obtient les fonctions de transfert du moteur en vitesse et en courant :

Hm(p) =m(p)Um(p)

=Kv

1 + (m + e) p+ mep2(1.2)

Him(p) =Im(p)Um(p)

=f + Jeqp

(R+ Lp)(f + Jeqp) + 20.

Ces fonctions de transfert font intervenir les constantes de temps lectrique et mca-

nique du moteur :

e =L

R= 2, 4 103 s

6

Fig. 1.2: Schma-bloc du systme (en boucle ouverte)

m =RJeq

20 +Rf= 13, 7 103 s,

ainsi que les constantes

Km =0

20 +Rf= 6, 06 V1 s1

=Rf

20 +Rf= 30, 3 103.

1.1.4 Schma-bloc du systme

En assemblant les modlisations de l'amplicateur (paragraphe 1.1.1) et du moteur

(paragraphe 1.1.3), on aboutit au schma-bloc du systme donn par la gure 1.2.

1.2 tude en boucle ouverte

Les quations (1.1) et (1.2) conduisent la fonction de transfert du systme en boucle

ouverte :

H(p) =m(p)U(p)

=Um(p)U(p)

m(p)Um(p)

= Hampli(p)Hm(p) = Ka1 + apKm

1 + (m + e) p+ mep2

En comparant les constantes de temps intervenant dans cette fonction de transfert, on

ralise que la constante de temps du pont est trs faible devant les constantes de temps

du moteur : a e et a m ; on peut donc la ngliger, et on obtient alors commefonction de transfert pour cet lment :

Hampli ' Ka = 6.

7

La fonction de transfert du systme en boucle ouverte devient alors

H(p) =KaKm

1 + (m + e) p+ mep2

La constante de temps mcanique m dpend linairement de J , mais aussi de f et 0.f est gnralement faible, on a alors 1. On peut ngliger e devant m et on posem ' m + e. Avec ces approximations, on peut mettre H(p) sous la forme simplie :

H(p) =(p)U(p)

=Kv

(1 + mp)(1 + ep),

o m = 13, 7 103 s , e = 2, 4 103 s et Kv = KaKm = 36, 36 V1 s1 .Cette expression permet d'obtenir (cf. schma-bloc g. 1.2) la fonction de transfert

pour le courant induit :

Hi(p) =Im(p)U(p)

=f + Jeqp

0H(p) =

f + Jeqp0

Kv(1 + mp)(1 + ep)

.

Les diagrammes de Bode de ces fonctions de transfert pour la vitesse et le courant sont

donnes en g. 1.3 et g. 1.4.

1.3 Simulation du bloc amplicateur

On considre le bloc amplicateur seul, sans le moteur, qu'on alimente par une source

de tension idale de 60 V. Modlisons le hacheur quatre quadrants ainsi que son systmede commande MLI l'aide de SimPowerSystems et de Simulink.

On ralise la commande MLI par comparaison d'un signal triangulaire priodique avec

un seuil rglable entre 10 V et +10 V, qui constitue l'entre de l'amplicateur. Latension moyenne de commande du moteur variera linairement avec les modications de

cette entre.

On charge le hacheur avec un circuit RL srie de mmes caractristiques que l'induit

du moteur (R = 0, 8 , L = 1, 9 H).Le schma utilis et les rsultats de la simulation sont illustrs par la gure 1.5.

La tension de sortie est en crneaux : les signaux de commande des MOSFET sont

bien ceux attendus.

Le courant de sortie, quant lui, a l'allure gnrale de la charge d'un circuit RL, mais,

quand on le regarde de prs, il prsente une ondulation la mme priode que le hachage.

Cette ondulation s'explique par le fait que la charge est alimente par une tension hache.

On observe donc des harmoniques introduites par le hacheur sur les signaux de sortie,

qui ont pour frquence fondamentale la frquence de dcoupage.

8

Fig. 1.3: Diagramme de Bode de la fonction de transfert pour la vitesse en boucle ouverte

H(p)

9

Fig. 1.4: Diagramme de Bode de la fonction de transfert pour le courant en boucle ou-

verte Hi(p)

10

Fig. 1.5: Rsultat de la simulation du bloc amplicateur (schma en haut) trac du

courant (en haut) et de la tension de sortie (au milieu) ; en bas, gnration du

signal de commande MLI de rapport cyclique = 75% par comparaison d'unsignal triangulaire priodique avec un seuil rglable (commande).

11

1.4 Simulation du systme complet

Dans Simulink, on connecte maintenant le bloc amplicateur prcdent quelque chose

qui ressemble davantage au moteur considr. On remplace donc la charge RL par une

charge plus labore.

1.4.1 Modlisation du moteur

On cherche modliser une machine courant continu aimant permanent. Ce type

de moteur n'existe pas comme modle dans Simulink. On fait donc appel une DC

Machine1, une machine courant continu excitation spare, et on essaie de modliser

les aimants permanents comme s'il s'agissait d'une bobine traverse par un courant.

On ralise cette excitation virtuelle en branchant une source de tension de 16 V auxbornes d'une bobine Laf = 1 H. En prenant Rf = 100 , le moteur est alors traverspar un courant If = 0, 16 A. La constante de ux rsultante 0 = LafIf = 0, 16 V s estbien la mme que celle gnre par les aimants.

L'induit du moteur est caractris par R = 0, 8 et L = 1, 9 H.

1.4.2 Simulation

La gure 1.6 prsente le nouveau schma, faisant intervenir la DC Machine1, et donne

la rponse indicielle en vitesse et courant induit du systme.

La rponse en vitesse est celle d'un second ordre sans dpassement tangente l'origine

nulle. Le courant, aprs une brutale augmentation au dmarrage (constante de temps e),diminue et se stabilise prs de sa valeur en rgime permanent (constante de temps m).Juste aprs le dmarrage, i.e. au cours des premires 4 ms, c'est la constante de tempslectrique du moteur qui xe son comportement. Il a ainsi la mme rponse qu'un circuit

RL. On retrouve donc ici le modle de la premire partie : la rponse en courant du moteur

(g. 1.6) se superpose avec la rponse en courant du circuit RL (g. 1.5) au dmarrage.

Ensuite, on observe une dirence entre les deux courbes ; la constante de temps m-

canique du moteur prend le dessus, la vitesse se stabilise et il y a dcroissance du courant

induit. On atteint le rgime permanent.

Les mmes ondulations de courant se prsententent, dues l'alimentation par une

tension hache. Notons de plus l'introduction du coecient de frottement visqueux et les

non-linarits qu'il introduit.

12

Fig. 1.6: Rsultats de la simulation du systme complet : vitesse (en haut) et courant

(en bas) pour une entre en chelon

13

Partie 2

Synthse et simulation des correcteurs

On se propose maintenant de faire la synthse d'un correcteur assurant le respect du

cahier des charges suivant :

Erreur statique nulle vis--vis de la consigne, autrement dit prsence d'une intgra-

tion dans la boucle ouverte ;

Indpendance vis--vis d'une perturbation indicielle du couple rsistant, ce qui im-

plique que l'intgrateur doit se siter en amont de la perturbation ;

Marge de phase de 45, i. e. phase suprieure -135 la pulsation de coupure ;

Temps de rponse indicielle m le plus court possible, infrieur ou gal 10 ms dansle rgime linaire, ce qui reprsente une pulsation de coupure en boucle ouverte

c 300 rad/s1.

Gnratrice tachymtrique

Pour assurer la boucle de retour, on fait appel une gnratrice tachymtrique de

constante de fem K = 57, 3 103 V s et de bande passante 150 Hz, sa fonction detransfert est donc :

Htachy(p) =K

1 + p2pi150 rad/s.

Cette gnratrice tachymtrique introduit une inertie de 0, 5 105 kg m2 que l'onnglige devant l'inertie totale quivalente.

2.1 Rgulation simple

2.1.1 Choix du rgulateur : rgulateur PI

Dans un premier temps, on fait appel un rgulateur PI, de fonction de transfert

HPI(p) = K(1 +

1ip

).

Le schma de principe du systme ainsi corrig est donn g. 2.1.

Ce correcteur, grce son action intgrale, permet d'annuler l'cart entre la consigne et

la mesure, ainsi que l'eet des perturbations constantes intervenant en aval du rgulateur.

1

en utilisant la relation cm ' 3

14

Fig. 2.1: Schma de principe de la correction PI

2.1.2 Calcul du rgulateur : rglage frquentiel dans le plan de Bode

Le rglage frquentiel du rgulateur PI se fait en deux phases :

d'abord, on ajuste le gain de faon obtenir la pulsation de coupure souhaite

c = 300 rad/s ; puis on place l'action intgrale dans les basses frquences de faon obtenir la marge

de phase souhaite (phase de -135 la pulsation de coupure c).

On aboutit ainsi aux paramtres K = 18, 5 dB et i = 6, 5 m = 89, 05 103 s. Engure 2.2, les diagrammes de Bode des fonctions de transfert en boucle ouverte corrige.

2.1.3 Vrication : simulation de la rponse indicielle

Testons l'ecacit de cette rgulation en simulant la rponse indicielle du systme en

boucle ferme. Le schma Simulink de la rgulation, donn g. 2.3, conduit aux rponses

indicielles en vitesse et en courant g. 2.4.

On mesure sur la rponse indicielle en vitesse :

le temps de premier maximum m = 9 ms, qui est bien infrieur aux 10 ms imposespar le cahier des charges ;

et le dpassement D% = 10%.On teste galement la rsistance un chelon de perturbation. La gure 2.5 donne la

rponse en vitesse et en courant du systme soumis un tel chelon de perturbation,

et montre que le systme est capable de rguler la vitesse malgr une telle variation de

couple. Pour cela, il fournit de l'nergie lectrique, ce qui se traduit par une stabilisation

de la rponse en courant sur une valeur ngative.

Un tel correcteur PI prsente toutefois un inconvnient majeur : il sut d'observer la

rponse en courant g. 2.4 pour s'en convaincre. un chelon de 5 V, le systme rpondavec une intensit qui 50 A en 10 ms ! De tels pics d'intensit peuvent tre destructifspour le systme, car ils induisent des couples levs. Il faudrait donc rguler le courant,

an de l'empcher de prendre des valeurs trop leves, en vue de protger le systme.

15

Fig. 2.2: Rglage du rgulateur PI : diagramme de Bode de la fonction de transfert pour

la vitesse en boucle ouverte corrige, tachymtre inclus

Fig. 2.3: Schma Simulink de la rgulation PI

16

Fig. 2.4: Rgulation PI Rponse indicielle du schma donn g. 2.3 pour un chelon

de 5 V en entre t = 1 s, en vitesse (en bas) et en courant (en haut)

Fig. 2.5: Rgulation PI (schma g. 2.3) Rponse un chelon de perturbation surve-

nant t = 2 s

17

Fig. 2.6: Schma de principe de la rgulation cascade

2.2 Rgulation cascade : boucle de rgulation de courant

2.2.1 Principe

Pour remdier au problme prcdent, on utilise une rgulation cascade en courant

puis en vitesse.

Pour ce faire, on exprime la fonction de transfert du systme en boucle ouverte comme

le produit de deux fonctions de transfert intermdiaires :

On arrive au rsultat

H1(p) =f + Jeqp

20 + (R+ Lp)(f + Jeqp)

H2(p) =0

f + Jeqp

en modiant le schma-bloc du systme (g. 1.2) de sorte que la boucle de retour

prenne son dpart en Im(p) et non en m(p).On cre donc un bouclage autour de la partie courant du systme, qui fait intervenir

un capteur de courant et un correcteur, comme illustr g. 2.6.

2.2.2 Capteur de courant

Le capteur de courant fournit une tension proportionnelle l'intensit de l'induit, avec

un gain Ki = 12 et une bande passante 1500 Hz. Sa fonction de transfert est donne par

Hcour(p) =Ki

1 + p2pi1500 rad/s.

18

La rponse indicielle du systme en boucle ouverte, capteur de courant inclus, est

donne g. 2.7. On y constate que le capteur ragit en 1 ms et prsente un dpassementde 24 %.

2.2.3 Objectifs de la boucle de rgulation de courant

Fixons-nous des objectifs sur la boucle de courant an de pouvoir faire la synthse du

correcteur :

on veut un dpassement limit (c'est pour a qu'on fait une rgulation cascade !),

que l'on assure par une marge de phase de 45;

il faut que la boucle de courant soit rapide devant la boucle de vitesse (c'est la boucle

la plus interne) ; disons qu'elle doit tre au moins dix fois plus rapide, ce qui revient

prendre pour pulsation de coupure 1 = 10 c = 3000 rad/s.

2.2.4 Synthse du correcteur

Au vu des diagrammes de Bode de la boucle ouverte en courant non corrige, on

constate qu'une action proportionnelle surait remplir les deux conditions ci-dessus.

Nous avons toutefois besoin d'une action intgrale dans la rgulation de courant, de faon

annuler l'erreur statique vis--vis de la consigne, et assurer l'indpendance face une

perturbation qui interviendrait en aval de cet intgrateur. On choisit donc un rgulateur

PI, de fonction de transfert

R1(p) = K1 (1 +

1Ti1p

)On ajuste les paramtres K1 et Ti1 dans le domaine frquentiel, de faon satisfaireles conditions qu'on s'est xes au paragraphe prcdent. On obtient :

K1 = 1, 8

Ti1 =21

= 6, 67 104 s

La rponse frquentielle de la boucle ouverte corrige par ce rgulateur PI est donne

gure 2.8 et montre que ces paramtres permettent d'assurer une pulsation de coupure

1 = 3000 rad/s et une marge de phase de 45, qui sont les paramtres dsirs.

2.2.5 Vrication par simulation

Assurons-nous que cette boucle interne fonctionne avant de passer la boucle de vi-

tesse. Pour ce faire, on simule sa rponse indicielle, qui fait apparatre (g. 2.9) un d-

passement de 26 % et un temps de rponse de 0, 8 ms, et vrie de ce fait les contraintesqu'on lui a imposes.

19

Fig. 2.7: Rponse indicielle du systme en boucle ouverte (test du capteur de courant).

De haut en bas : rponse du capteur de courant, consigne, et vitesse du moteur.

20

Fig. 2.8: Rgulation cascade diagramme de Bode des fonctions de transfert de la boucle

de rgulation de courant ouverte corrige (cf. schma en g. 2.6)

Fig. 2.9: Rgulation cascade Rponse indicielle de la boucle de courant corrige

21

Fig. 2.10: Rgulation cascade schma de principe

2.2.6 Intrt d'une telle boucle

Les avantages de cette rgulation cascade sont les suivants :

le rgime transitoire est plus rapide ;

l'eet des perturbations en couple est d'autant plus rduit que la boucle de courant

est rapide vis--vis de la boucle de vitesse ;

la boucle de courant permet la rgulation du courant, et on peut donc :

limiter le couple, c'est--dire travailler en rgime transitoire couple constant,

rguler le couple (ou l'eort) transmis la charge,

et limiter le courant pour des questions de scurit du moteur et du convertisseur

associ.

2.3 Rgulation cascade : boucle de rgulation de vitesse

On imbrique prsent la boucle de courant dans une boucle de vitesse, comme illustr

par la gure 2.10.

2.3.1 Synthse du correcteur

On utilise un rgulateur PI pour rguler la boucle de vitesse.

R2(p) = K2 (1 +

1Ti2p

)On ajuste les paramtres K2 et Ti2 de faon satisfaire le cahier des charges que l'ons'est x :

22

Fig. 2.11: Rgulation cascade boucle de rgulation de vitesse diagramme de Bode

des fonctions de transfert de la boucle ouverte corrige reprsente g. 2.10

K2 = 9, 5

Ti2 = 10 ms

Le diagramme de Bode des fonctions de transfert de la boucle ouverte corrige est donn

gure 2.11 et montre que ces paramtres permettent d'assurer, pour l'ensemble de la

rgulation cascade, une pulsation de coupure c = 300 rad/s et une marge de phase de45.

2.3.2 Simulation de la rponse indicielle

On simule la rponse indicielle de la rgulation cascade dont on vient de faire la syn-

thse, grce au schma Simulink en gure 2.12. Sur cette rponse indicielle, on relve un

dpassement de 24,2 % et un temps de rponse de 6, 3 ms, ce qui est conforme nosattentes.

Pour ce qui est du courant, on observe toujours un pic au dmarrage, mais d'intensit

moins leve qu'avec le rgulateur PI simple ( comparer avec la rponse en courant g.

2.4). L'objectif est atteint.

23

Fig. 2.12: Rgulation cascade Rponse indicielle de la boucle de vitesse corrige en

haut, le courant, en bas, la vitesse

24

2.3.3 Respect du cahier des charges

La rgulation cascade dont nous venons de faire la synthse permet donc de satisfaire

les critres du cahier des charges x. En eet :

l'erreur statique est nulle vis-a-vis de la consigne (cf. g. 2.12) ;

la prsence des deux intgrateurs assure l'indpendance vis--vis d'une perturbation

indicielle du couple rsistant ;

la marge de phase vaut 45(cf. g. 2.11), ce qui correspond aux 24,2 % de dpasse-

ment observs sur la g. 2.12 ;

le temps de rponse indicielle est de 6, 3 ms, infrieur aux 10 ms imposes (cf. g.2.12).

25

Partie 3

Ralisation et validation exprimentale

Cette partie vise valider la synthse du correcteur de la partie prcdente et analyser

l'origine d'ventuelles discordances entre modle thorique et exprience.

3.1 Ralisation d'un limiteur de courant

Avant de relier l'amplicateur au moteur, il est ncessaire de s'assurer que le courant

traversant le moteur ne dpassera jamais son courant nominal spci 6 A. Si on admetles courants de 4 A, il faut donc limiter Umax = 2 V la tension de consigne ui en entrede l'amplicateur. Pour raliser cette limitation, on exploite le phnomne de saturation

V + = 12 V des amplicateurs oprationnels aliments en 15 V, en cblant la mise ensrie de deux gains inverses K = V

+

Umax= 6 et 1K .La ralisation de ce limiteur donne le rsultat attendu, comme illustr par la gure

3.1, qui reprsente sa sortie pour une entre sinusodale. On observe eectivement la

limitation de la tension Umax = 2 V, et partout ailleurs la sortie du circuit saturateurrecopie son entre. Le limiteur fonctionne comme prvu.

On relie prsent l'amplicateur et le moteur la sortie de ce saturateur.

3.2 tude de la rponse indicielle

3.2.1 Vrication du modle du capteur de courant

l'aide du logiciel Olcom, on trace la rponse indicielle de la boucle ouverte avec

capteur de courant, donne en gure 3.2. Sur la rponse en courant, on relve le temps

de rponse du capteur de courant : il est infrieur 1 ms, ce qui est trs rapide. De plus,il ne prsente pas de dpassement par rapport sa valeur nale. l'chelle du systme,

on peut donc considrer que le capteur de courant recopie immdiatement la consigne

avec un gain K = 0, 83.Cette rponse est comparer avec la rponse simule par Simulink, reprsente gure

2.7. part un lger dpassement du courant sur la simulation, les deux courbes se

superposent. On constate que le modle du capteur de courant cadre bien avec la ralit.

3.2.2 Modlisation des frottements secs

De plus, la rponse indicielle nous permet de mettre en vidence les frottements secs.

26

Fig. 3.1: Vrication du bon fonctionnement du limiteur

Fig. 3.2: Rponse indicielle du systme avec capteur de courant. Cette gure est com-

parer avec la rponse thorique du capteur, donne gure 2.7.

27

Fig. 3.3: Mise en vidence des frottements secs par rponse indicielle du systme en

boucle ouverte, en utilisant une consigne de courant centre sur zro.

Pour ce faire, nous tudions la rponse indicielle en vitesse du moteur en boucle ouverte

avec la consigne de courant centre sur zro. Celle-ci est reprsente gure 3.3. On y

observe une rupture de pente chaque changement de signe de la vitesse. Cette non-

linarit est due aux frottements secs, qui s'opposent au mouvement dans les deux sens

de rotation.

Avant le changement de sens, le couple exerc sur l'arbre vaut

CmCr2 , ensuite il vaut

Cm+Cr2 . La rupture de pente correspond donc 2 Cr. On mesure cette rupture de pentesur la courbe en g. 3.3 : elle vaut

t = 17, 81 V/s. On en dduit le couple rsistantrelatif aux frottements secs :

Cr =12Jeq

t

= 4 103 N m

3.3 Identication du modle linaire

l'aide du module analyse harmonique du logiciel, on trace les diagrammes de Bode

de la fonction de transfert vitesse sur consigne de courant dans la plage de 0, 1 Hz 10 Hz.

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Fig. 3.4: Diagramme de Bode de la fonction de transfert vitesse sur consigne de courant,

dans la plage 0, 1 Hz 10 Hz.

Pour s'assurer de la validit de la mesure, on prend quelques prcautions qui permettent

au systme de rester en rgime linaire :

on ajoute un oset de tension la consigne de courant an d'avoir une vitesse qui

ne s'annule plus (vite les perturbations dues aux frottements secs) ;

on veille ne pas faire saturer le bloc limiteur de courant ;

on adapte l'amplitude de la consigne de courant pour conserver une amplitude de la

mesure de vitesse raisonnable.

Le rsultat est donn gure 3.4. La modlisation de cette rponse frquentielle sous la

forme d'un premier ordre

Km1+mpdonne une constante de temps m ' 16, 1 s et ungain Km = 11, 4 .

3.4 Ralisation du correcteur

On cble le correcteur qu'on a dtermin au paragraphe 2.3.1 : une boucle de vitesse

de la rgulation cascade, avec un rgulateur PI caractris par K = 9, 5 et Ti = 10 ms.Avec cette rgulation, le systme ne remplit pas le cahier des charges. En eet, sur sa

rponse indicielle gure 3.5, on observe un dpassement suprieur 50 % et un temps

de rponse qui avoisine les 50 ms. Nanmoins ces valeurs n'ont aucun sens, vu qu'on aquitt le rgime linaire.

Ce dfaut s'explique par le fait que l'action intgrale, qui se charge lorsque le courant

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Fig. 3.5: Cblage du correcteur PI (boucle de vitesse de la rgulation cascade) dtermin

au paragraphe 2.3.1 (cascade avec K = 9, 5 et Ti = 10 ms)

est satur, prend du temps se dcharger ensuite. L'action intgrale dtriore donc

le temps de rponse du systme, tout en lui imposant un fort dpassement. La solution

pour remdier cette imperfection passerait par le gel de l'action intgrale de la boucle de

vitesse tant que l'action proportionnelle sature. Malheureusement, raliser un tel cblage

n'est pas possible sur la maquette.

3.5 Validation du cahier des charges

cause de la saturation de courant, on ne peut pas raliser de commande qui satisfasse

le cahier des charges, celui-ci tant exprim en rgime linaire. La commande ralise

permet d'en faire la meilleure approximation, sachant que le moteur donne son maximum

pendant les phases de saturation.

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