Topographie et Topométrie Modernes Tome 1

AVANT-PROPOS

Les auteurs de cet ouvrage sont enseignants dans une section de techniciens suprieurs gomtres-topographes. Louvrage est laboutissement logique de notre travail quotidien denseignants qui est de rassembler des informations provenant de diverses sources (livres, revues, articles, publications de lIGN, publications des constructeurs de matriel, etc. ), de recouper ces informations, de les assimiler dans leur globalit de manire acqurir la connaissance et le recul ncessaires lenseignement puis enfin de les restituer nos tudiants. Rien dexceptionnel, nous dira-t-on, cest en effet le lot quotidien de nos collgues enseignants. Ce que nous y avons ajout, cest lutilisation de loutil informatique et cela depuis le dbut de la conception de nos documents de cours. La puissance et la convivialit des programmes et des machines actuelles permettent en effet dobtenir rapidement des prsentations irrprochables alliant schmas et formules ; elles permettent surtout de pouvoir faire voluer facilement les documents crs. Cet ouvrage entirement informatis devrait ainsi tre le point de dpart dune version multimdia dite sur disque compact et, rvons un peu, aboutir une gigantesque base de donnes sur la topographie par le biais dun site internet sur lequel serait mis en commun le travail de tous les collgues (cours, exercices corrigs, etc.). Louvrage est donc conu comme un cours allant du niveau dbutant jusqu celui du professionnel de la topographie. Lenseignement propos ne reste pas thorique mais sappuie sur plus de 600 schmas, des exemples issus de sujets dexamen mais aussi de cas rels et de nombreux exercices corrigs. Vous ny trouverez que peu de photographies de matriel qui seront bien mieux reproduites (en couleurs) et documentes dans un catalogue de revendeur de matriel topographique. Aux photographies, nous avons toujours prfr le schma, bien plus didactique. Ce livre devrait tre aussi utile un enseignant qu un lve ou un professionnel en situation dapprentissage. Louvrage couvre la plus grande partie des programmes denseignement des classes de brevet dtudes professionnelles (BEP) jusquau niveau des techniciens suprieurs gomtres topographes (BTS) ainsi que les formations de niveau ingnieur. Nous esprons que la publication de nos cours rendra service aux collgues ; en effet les ouvrages dans le

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domaine de la topographie et de la topomtrie sont rares et les derniers, datant dau moins une dizaine dannes, ne sont plus dits. Loutil informatique dj cit se retrouve dans tout louvrage. La profession a t, ces dernires annes, aussi largement bouleverse par les apports de linformatique que par celui des nouvelles technologies de mesure et de communication. Nous avons donc essay de faire dcouvrir au lecteur les multiples facettes de ce nouvel outil de dessin et de calcul sous la forme dexercices rsolus graphiquement sur le logiciel de DAO 1 AutoCAD LT 2 ou rsolus numriquement grce la puissance du tableur Excel 3. La programmation est aussi aborde sous forme dexemples de programme en BASIC standard. Laccent est aussi mis sur lutilisation des calculatrices programmables ou non : ces outils sont devenus trs puissants et rares sont les tudiants qui les utilisent compltement ; notre rle de formateur est donc aussi de les pousser dans cette voie. Nous esprons intresser tous ceux qui hsitent encore se lancer dans cet apprentissage beaucoup plus facile quon a coutume de le prsenter. Toutefois, il ne faut pas perdre de vue que linformatique nest quun outil et non une fin en soi. Pour que linformatique reste un outil, il faut parfaitement le dominer mais aussi savoir sen passer de manire garder une certaine indpendance. Il faut aussi garder en permanence un esprit critique et ne jamais faire aveuglment confiance un automate, si sophistiqu soit-il. Cette indpendance passe par une matrise en profondeur de loutil informatique et cest notre rle dducateur que de ne pas se contenter dapprendre nos tudiants sur quels boutons ils doivent appuyer. Nous devons leur dvoiler tout ce quil y a derrire chaque bouton mme si cela peut parfois paratre superflu ; il en restera toujours quelque chose que lon pourrait qualifier de culture gnrale qui permettra, face une difficult donne, dadopter la bonne dmarche. Il en va de mme avec les nouvelles technologies : on peut trs bien manipuler des systmes sophistiqus avec un simple mode demploi rduit (on dit aussi faire du presse-boutons ), mais face au moindre problme sortant du cadre du mode demploi, plus aucune initiative nest possible. Cest la porte ouverte de grossires fautes qui, et cest l le plus grave, napparatront mme pas loprateur. Dans cet esprit, nous avons essay de justifier et dclairer tout ce qui a t crit et nous avons essay de laisser aux mathmatiques en particulier et lanalyse en gnral la part quelles mritent de garder, au moins lcole, pour leur aspect formateur universel incontestable. En dautres termes, nous avons essay dviter les recettes de cuisine en tentant de justifier tout ce que nous avons crit. Votre avis sur notre travail et sur la manire de lamliorer et de le complter nous intresse, nhsitez pas nous crire par lintermdiaire des ditions Eyrolles. Merci de nous signaler toute erreur ou faute que vous pourriez relever dans ces deux ouvrages ainsi que sur le cdrom qui leur est associ.1 2 3

Dessin Assist par Ordinateur. AutoCAD LT est dit par Autodesk. Excel est un logiciel de la socit Microsoft.

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TABLE DES MATIRES

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.................................................................................. 1 .................................................................................... 3

INTRODUCTION

FINALIT DE LA TOPOGRAPHIE ............................................................... 3 COMMENT ATTEINDRE CES OBJECTIFS .................................................. 3 2.1 tablissement de cartes petite chelle ................................................3 2.2 Cartographie grande chelle ..............................................................6 ........................................................ 9

GODSIE, CARTOGRAPHIE

GNRALITS ET DFINITIONS ............................................................... 9 FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERRE ................................................ 10 2.1 Gode .................................................................................................10 2.2 Ellipsode de rvolution ......................................................................12 2.3 Calculs sur lellipsode .......................................................................16 2.4 Conclusion ..........................................................................................20 REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODE .......................................... 20 3.1 Introduction ........................................................................................20 3.2 Dformations des figures ....................................................................21 3.3 Classification des reprsentations .......................................................22 3.4 Reprsentation conique, directe, tangente et conforme : reprsentation de lambert .............................................24

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3.5 Reprsentation cylindrique transverse conforme de lellipsode universal tranverse mercator utm ..........................42

LECTURE DE CARTES ............................................................................ 48 4.1 Carte de base .......................................................................................48 4.2 Dfinition du nord ..............................................................................49 4.3 Renseignements ports en marge de la carte ......................................50 RSEAUX GODSIQUES ....................................................................... 53 5.1 Historique de la triangulation ............................................................55 5.2 La nouvelle triangulation franaise (ntf) ............................................55 5.3 Le nouveau rseau godsique franais ..............................................61 RSEAU ALTIMTRIQUE ........................................................................ 67 6.1 Surfaces de rfrence et altimtrie ......................................................68 6.2 Choix dun systme daltitude ............................................................72 6.3 Dfinition du zro du NPF ign 69 ......................................................73 6.4 Constitution du rseau actuel (ign 69) ................................................74 6.5 Le rseau altimtrique national ..........................................................75 6.6 Passer des observations aux altitudes normales ..................................78 6.7 Les repres de nivellement .................................................................80 6.8 Rpertoires de nivellement .................................................................80 6.9 Prcision .............................................................................................81

MESURES ANGULAIRES ................................................................ 83

LE THODOLITE OPTICO-MCANIQUE ................................................... 83 1.1 Terminologie .......................................................................................83 1.2 Principe de fonctionnement ................................................................84 1.3 Caractristiques des thodolites optico-mcaniques ..........................85 MISE EN STATION DUN THODOLITE : RGLAGES, LECTURES ............. 87 2.1 Mise en station ....................................................................................87 2.2 Caractristiques des nivelles ...............................................................91 2.3 Rglages dun thodolite ....................................................................93 2.4 Lectures angulaires .............................................................................96 PRCISION DES MESURES ANGULAIRES ............................................... 98 3.1 Erreurs systmatiques dues un dfaut de lappareil .........................98 3.2 Erreurs systmatiques dues une cause extrieure ..........................101 3.3 Erreurs accidentelles .........................................................................101

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LES ANGLES HORIZONTAUX ................................................................ 103 4.1 Le cercle horizontal ..........................................................................103 4.2 Le double retournement ....................................................................104 4.3 Terminologie des mesures dangles horizontaux...............................105 4.4 Applications ......................................................................................108 CALCUL DE GISEMENT ........................................................................ 113 5.1 Dfinition ..........................................................................................113 5.2 Calcul d'un gisement partir des coordonnes cartsiennes ............113 5.3 Utilisation du gisement pour les calculs de coordonnes .................117 DTERMINATION DU G0MOYEN DE STATION ...................................... 118 6.1 Prsentation ......................................................................................118 6.2 calcul DU G0 DE STATION ............................................................119 6.3 dfinition du G0moyen DE STATION .............................................119 6.4 Dtermination des carts et tolrances .............................................120 6.5 utilisation du G0moyen pour le calcul de points nouveaux ..............122 6.6 Tableau de calcul gostat.xls ..............................................................122 6.7 Programmation en basic standard .....................................................122 6.8 Exemple de calcul .............................................................................124 LE CERCLE VERTICAL : LECTURE DANGLES VERTICAUX ................... 129 7.1 Conventions, notations .....................................................................129 7.2 Valeur moyenne dun angle vertical par double retournement .........131 7.3 Erreur dindex vertical ......................................................................132 7.4 Application .......................................................................................134

MESURES DE DISTANCE ............................................................ 137 HISTORIQUE ........................................................................................ 137 MESURES DE DISTANCES LAIDE DUNE CHANE ............................. 138 2.1 Mesures en terrain rgulier ...............................................................139 2.2 Mesures en terrain irrgulier ou en forte pente ................................141 2.3 Mesurage de prcision : talonnage dun ruban ...............................142 MESURES PARALLACTIQUES .............................................................. 151 3.1 Mesure avec une stadia .....................................................................151 3.2 Mesure avec une base auxiliaire .......................................................153 MESURES STADIMTRIQUES .............................................................. 155 4.1 Stadimtrie angle constant .............................................................155 4.2 Stadimtrie angle variable .............................................................157

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MESURE PAR VARIATION DE PENTE ................................................... 157 5.1 Variation de pente base variable ....................................................158 5.2 Variation de pente base fixe ...........................................................159 MESURE AU MOYEN DUN IMEL .......................................................... 160 6.1 Principe de la mesure dune distance laide dun imel ..................161 6.2 Phnomnes parasites .......................................................................165 6.3 Prcision des imel .............................................................................170 RDUCTION LA PROJECTION DES DISTANCES MESURES ............... 172 7.1 Dtermination de la distance rduite partir de la distance mesure sur le terrain .................................................172 7.2 Distance dduite des coordonnes ....................................................182 7.3 Exemples de calcul ...........................................................................182 7.4 Correction globale pour un chantier .................................................184 MESURE ASSISTE PAR SATELLITE (GPS) .......................................... 185 ................................................................ 187

NIVELLEMENT DIRECT

NIVELLEMENT DIRECT ORDINAIRE ..................................................... 187 1.1 Principe .............................................................................................187 1.2 Le niveau ..........................................................................................188 1.3 Prcision et tolrance des lectures ....................................................204 1.4 Caractristiques des niveaux .............................................................206 1.5 Cheminements simples .....................................................................207 1.6 Cheminement mixte ..........................................................................211 1.7 Cas particuliers de cheminements ....................................................214 1.8 Applications ......................................................................................2162.1 2.2 2.3 2.4

NIVELLEMENT DIRECT DE PRCISION ............................................... 219 Niveaux de prcision ........................................................................219 Mires .................................................................................................220 Cheminement double ........................................................................220 Prcision et tolrances dun nivellement par cheminement .............223

NIVELLEMENT DIRECT DE HAUTE PRCISION ..................................... 223 3.1 Niveaux de haute prcision ...............................................................223 3.2 Mires de prcision ............................................................................224 3.3 Lectures sur mire avec micromtre optique ......................................225 3.4 Les cheminements de haute precision ..............................................226 3.5 Erreurs prendre en compte .............................................................227

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3.6 Classement des niveaux en fonction de lordre du nivellement .......230

LES NIVEAUX NUMRIQUES ................................................................ 230 4.1 Principe .............................................................................................231 4.2 Limites demploi ..............................................................................232 4.3 Caractristiques des niveaux numriques .........................................233 ........................................................... 235

NIVELLEMENT INDIRECT

PRINCIPE DU NIVELLEMENT INDIRECT TRIGONOMTRIQUE ............... 235 NIVELLEMENT INDIRECT GODSIQUE ............................................... 236 COMPARAISON AVEC LE NIVELLEMENT DIRECT ................................. 237 NIVELLEMENT INDIRECT SUR COURTE PORTE .................................. 238 4.1 Nivellement indirect avec un thodolite optico-mcanique .............238 4.2 Nivellement indirect avec un thodolite muni dun IMEL ...............243 NIVELLEMENT INDIRECT SUR DES PORTES MOYENNES ................... 243 5.1 Sphricit terrestre ............................................................................244 5.2 Rfraction atmosphrique .................................................................247 5.3 Correction de niveau apparent ..........................................................250 NIVELLEMENT INDIRECT SUR DE LONGUES PORTES ......................... 255 CHEMINEMENTS EN NIVELLEMENT INDIRECT .................................... 257 EXEMPLES DE NIVELLEMENT INDIRECT ............................................. 258 8.1 Exemple de nivellement indirect trigonomtrique ...........................259 8.2 Exemple de nivellement indirect godsique ...................................260 TOLRANCES RGLEMENTAIRES EN NIVELLEMENT INDIRECT ........... 261 9.1 Dnivele calcule partir de la distance horizontale ......................262 9.2 Dnivele calcule partir d'une mesure de distance incline ........................................262 9.3 Tableaux rcapitulatifs ......................................................................262 .................................................... 265

TECHNOLOGIES MODERNES

GLOBAL POSITIONNING SYSTEM (GPS) ............................................... 265 1.1 Quest-ce que le GPS ? .....................................................................265 1.2 Le mode naturel ou positionnement absolu ......................................271 1.3 Le mode diffrentiel ou positionnement relatif ................................275 1.4 Passage du systme international au systme national .....................281

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1.5 Diffrentes techniques de mesure en mode diffrentiel ...................284 1.6 Planification dune campagne de mesures GPS ...............................291

NIVEAUX NUMRIQUES ....................................................................... 297 LES STATIONS TOTALES ..................................................................... 298 LES APPAREILS LASER ....................................................................... 301 4.1 Les lasers de nivellement ..................................................................303 4.2 Les lasers dalignement ....................................................................305 4.3 Les lasers de canalisations ................................................................306 4.4 Les lasers de positionnement ............................................................308 4.5 Tlmtrie laser ................................................................................309 PHOTOGRAMMTRIE .......................................................................... 310 5.1 Principe de la prise de vue photogrammtrique ...............................310 5.2 Orthophotographie numrique ..........................................................323 5.3 Photogrammtrie par satellite ...........................................................325 5.4 Photogrammtrie terrestre ................................................................330 5.5 Les SIG .............................................................................................333 MTROLOGIE ...................................................................................... 336 6.1 Mtrologie industrielle .....................................................................336 6.2 Auscultation douvrages ...................................................................339 ............................................ 347

LEVER DE DTAILS ET REPORT

INTRODUCTION ................................................................................... 347 LEVER DE DTAILS ............................................................................. 347 2.1 Principes de base ..............................................................................347 2.2 Mthodes et moyens .........................................................................350 2.3 Mthodes traditionnelles ..................................................................350 2.4 Mthodes actuelles ...........................................................................357 REPORT .............................................................................................. 367 3.1 Cartes et plans ...................................................................................368 3.2 Report traditionnel ............................................................................371 3.3 Techniques informatises de report ..................................................373 3.4 Le matriel du report informatique ...................................................381 LES BASES DE DONNES GOGRAPHIQUES ......................................... 384 4.1 La base de donns topographique .....................................................385 4.2 Les bases de donnes spatiales - SIG (Systme dInformation Gographique) ...........................................386

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TECHNIQUES DIMPLANTATION

............................................ 397

IMPLANTATIONS DALIGNEMENTS ...................................................... 397 1.1 Tracer une perpendiculaire un alignement existant .......................397 1.2 Tracer une parallle un alignement existant ..................................401 1.3 Alignement scant un alignement existant ....................................402 1.4 Pan coup rgulier ............................................................................403 1.5 Jalonnement sans obstacles ..............................................................403 1.6 Jalonnement avec obstacle ................................................................404 1.7 Prolongement dun alignement .........................................................407 IMPLANTATION DE POINTS EN PLANIMTRIE ..................................... 408 2.1 Par abscisses et ordonnes ................................................................408 2.2 Par rayonnement ...............................................................................408 2.3 Intersection de deux alignements .....................................................410 2.4 Contrle dune implantation .............................................................411 2.5 Exercice ............................................................................................412 IMPLANTATION DE REPRES ALTIMTRIQUES ................................... 416 3.1 Pose dun trait de niveau ...................................................................416 3.2 Nivellement de chaises dimplantation ou de piquets ......................417 3.3 Utilisation des appareils laser ...........................................................417 IMPLANTATION DUN BTIMENT ........................................................ 418 4.1 Btiments courants ...........................................................................418 4.2 Btiments sur fondations spciales, ouvrages dart ..........................421 4.3 Btiments de grande hauteur ............................................................421 4.4 Piquetage de pentes ..........................................................................423 RACCORDEMENTS CIRCULAIRES ........................................................ 425 5.1 Raccordements circulaires simples ...................................................425 5.2 Raccordements circulaires composs ...............................................427 5.3 Raccordements circulaires inflexion ..............................................431 5.4 Piquetage des raccordements circulaires ..........................................434 5.5 Contrle des implantations ...............................................................442 RACCORDEMENTS ROUTIERS ............................................................. 444 6.1 Caractristiques gnrales des raccordements routiers ....................444 6.2 Raccordements progressifs ...............................................................448 6.3 Raccordement en profil en long ........................................................467 TERRASSEMENTS DUN PROJET ROUTIER .......................................... 474 7.1 Lever du terrain naturel ....................................................................474

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7.2 Implantation des terrassements .........................................................475

PROFILS, CUBATURES

................................................................ 479

COURBES DE NIVEAU .......................................................................... 479 1.1 Dfinitions ........................................................................................479 1.2 Principe de linterpolation ................................................................481 1.3 Lever de courbes de niveau ..............................................................482 1.4 Report de courbes de niveau .............................................................482 1.5 Applications au trac de profils en long et en travers .......................485 1.6 Digitalisation de courbes de niveau ..................................................487 PROFILS EN LONG ET EN TRAVERS ..................................................... 489 2.1 Dfinitions ........................................................................................489 2.2 Le profil en long ...............................................................................490 2.3 Le profil en travers ............................................................................492 2.4 Application .......................................................................................494 2.5 Calcul de cubatures ...........................................................................502

ANNEXES ....................................................................................................515

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

OUTIL INFORMATIQUE ..............................................................................515 Utilisation du cdrom ......................................................................515 Tableur ...............................................................................................516 Dessin assist par ordinateur .............................................................518 Programmes en basic standard .........................................................521 Calculatrice programmable ...............................................................522 BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................523 NOTATIONS USUELLES DE LOUVRAGE ...................................................524

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INTRODUCTIONCette introduction a pour but de justifier lordre des diffrentes parties abordes dans cet ouvrage ainsi que leurs liens logiques dans lensemble complexe quest la topographie.

FINALIT DE LA TOPOGRAPHIE

Comme souvent, il est pratique de partir de la finalit pour remonter aux techniques mises en uvre et les justifier ainsi. En schmatisant, on peut dire que la topographie a pour objectifs principaux de permettre ltablissement de cartes et de plans graphiques sur lesquels sont reprsentes, sous forme symbolique, toutes les informations ayant trait la topologie du terrain et ses dtails naturels et artificiels. Cette cartographie de donnes existantes permettra par exemple de sorienter sur le terrain ou bien dtudier un projet de construction.

COMMENT ATTEINDRE CES OBJECTIFStablissement de cartes petite chelle

La premire ide qui vient lesprit est deffectuer des prises de vue ariennes par avion ou par satellite puis de transcrire ces informations sur papier. Dveloppons cet exemple.

Perspective conique

Une photographie est une perspective conique et non une reprsentation plane. De plus, le relief napparat pas sur une photographie...

INTRODUCTION

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La photogrammtrie permet de remdier ces problmes (chap. 7 5) : on obtient une vision du relief et une restitution plane de plusieurs photographies grce lobservation de couples de clichs dans des appareils spcifiques (appareils de restitution photogrammtrique). Le trac des courbes de niveau (chap. 10 1) sur la carte permet davoir une ide prcise de son relief.

chelle et orientation des clichs

Une photographie ne permet pas dobtenir une chelle constante et prcise sur toute sa surface. De plus, les diffrents clichs devront pouvoir tre juxtaposs afin dobtenir des cartes plus tendues ; ils doivent donc tre orients les uns par rapport aux autres en respectant exactement la mme chelle. Ces problmes introduisent la ncessit de disposer dun systme de coordonnes gnral dans lequel des points dappui sont connus dans les trois dimensions (X, Y et Z). On se sert de quelques points reprs sur un clich et connus dans le systme de coordonnes gnral pour effectuer un calage et une mise lchelle des clichs. Ceci implique donc de disposer sur le terrain dun moyen de matrialisation du repre gnral, par exemple des points dappui connus. Les rseaux godsiques de points connus en planimtrie (coordonnes X, Y) et/ou en altimtrie (coordonne Z) permettent de rpondre cet objectif en mettant la disposition de chacun un canevas de points dtermins de manire absolue et avec la plus grande prcision possible dans le systme gnral (chap. 2 4 et 5). Une des missions de lIGN (Institut Gographique National) est de mesurer et de tenir jour ce canevas. Il est vident que plus il est dense et plus les oprations de positionnement sur le terrain sont facilites. Les techniques dtablissement et de densification de canevas sont dtailles au chapitre 11. Il faut y ajouter la densification par mesures assistes par satellites (GPS ; chap. 7 1).

Visibilit des dtails

Tous les dtails du terrain ne sont pas visibles sur un clich, certains tant cachs par des constructions ou de la vgtation, etc. Il faut donc complter les manques dinformation dun clich par des mesures sur le terrain. Par exemple, pour ajouter le trac dun chemin forestier, il faut dterminer ses points daxe dans le repre gnral et mesurer sa largeur ; donc tre capable de mesurer des coordonnes relatives sur le terrain dans les trois dimensions X, Y et Z. Ceci introduit la ncessit de disposer dappareils de mesure de distances et dangles : le thodolite permet daccder aux informations angulaires (chap. 3), les mesures de distances sont ralises avec de nombreux instruments, les plus courants tant le ruban et linstrument de mesure lectronique des longueurs (IMEL ; chap. 4). Pour effectuer des mesures relatives en altimtrie, on utilise la technique du nivellement indirect avec un thodolite coupl un IMEL (chap. 6) ou bien, pour plus de prcision, le nivellement direct avec des appareils appels niveaux (chap. 5). La technologie GPS permet le calcul direct de coordonnes dun point dans un systme gocentrique sans mesure dangles ni de

INTRODUCTION

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distances. Elle donne ainsi un accs direct un systme gnral en tout point du territoire avec une grande prcision (de lordre de quelques millimtres au km). Il faut tout de mme disposer dau moins un point dappui car la dtermination prcise est relative et non pas absolue.

Reprsentation plane

Pour juxtaposer plusieurs clichs et obtenir une carte petite chelle (par exemple, la carte de base au 1/25 000 dite par lIGN), on se heurte au problme de la reprsentation plane de la sphre terrestre. Il est physiquement impossible de reprsenter une surface sphrique plat sur une carte, sans dformations. De plus, la terre nest pas une sphre : elle est plus proche dun ellipsode de rvolution. Pour obtenir des cartes cohrentes petite chelle, il faut donc tudier la forme de la terre cest une des finalits de la godsie qui devra en particulier dfinir les axes de rfrence du systme de coordonnes gnral ou encore dfinir la surface de rfrence des altitudes et mettre au point des systmes de projection qui minimisent les dformations (chap. 2 3). Il faut galement sintresser la formation et lvolution du relief terrestre au travers de la topologie. La juxtaposition des cartes lchelle de plusieurs nations ncessite une harmonisation des systmes de projection et de coordonnes adopts dans chaque pays (par exemple le rseau europen EUREF).

Interprtation des clichs

Les dtails visibles sur un clich ne sont pas toujours faciles identifier pour des nonspcialistes : nous ne sommes pas habitus la vision cartographique de notre environnement. La reprsentation finale devra donc interprter et rendre lisibles les trs nombreuses informations dune photographie.

Systmes dinformations gographiques

La cartographie moderne ne se satisfait plus des seules informations gomtriques du terrain : on cherche de plus en plus leur associer des informations thmatiques. Par exemple, associer une parcelle de terrain le nom de son propritaire, la surface constructible ou construite, etc. Ceci ouvre la voie des systmes de traitement numrique des clichs en association avec des banques de donnes gographiques (SIG ou Systmes dInformation Gographiques, chap. 7 5.5 et chap. 8 4).

INTRODUCTION

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Cartographie grande chelle

Raisonnons maintenant partir dun autre exemple : la prparation, lexcution et le suivi dun chantier de construction.

Lever de dtails

Pour un chantier, il faut disposer de plans et de cartes moyenne et grande chelle que la photogrammtrie ne peut pas toujours fournir, pour des questions de prcision et de cot. Il faut donc tablir cartes et plans en allant lever sur le terrain la position et la nature des objets naturels et artificiels (chap. 8 2) : cette opration peut tre faite par des mesures dangles, de distances et de diffrences daltitudes ou par des mesures GPS qui fourniront des coordonnes dans le systme gnral. Pour certaines constructions de petite tendue, trs isoles ou ne disposant pas proximit de points dappui matrialisant le systme gnral de coordonnes, on peut simplement travailler dans un repre local associ la construction. Loutil idal pour ce type dopration est la station totale (chap. 7 3) ou le niveau numrique (chap. 5 4 et chap. 7 2) en raison de leur facilit demploi et de leurs possibilits de stockage des informations rcupres ensuite par un logiciel informatique ( chap. 7 2 et 3).

Informations altimtriques sur cartes et plans

Avant la ralisation dun projet de construction, une phase dtude permet den prvoir le cot, la faisabilit, limpact sur lenvironnement, etc. Les informations sur laltimtrie du terrain naturel sont souvent primordiales : elles permettent, par exemple, partir des calculs de profils en long et en travers (chap. 10), de chiffrer les projets routiers, les courbes de niveau tant la principale information altimtrique sur les cartes et les plans. Remarque Un logiciel de topographie performant est capable de rcuprer les informations leves sur le terrain et de tracer partir dun semi de points (ensemble de points rgulirement rpartis sur le terrain et connus en coordonnes tridimensionnelles) une modlisation du terrain (modle numrique de terrain ou MNT), puis den dduire les courbes de niveau. Les calculs se poursuivent ensuite par des tracs et calculs automatiques de profils en long, profils en travers, cubatures, etc.

Canevas de points

Enfin, un projet de construction ncessite le positionnement sur le terrain des axes des travaux raliser ainsi que leur contrle en cours dexcution. La construction raliser sinsrant gnralement dans un ensemble existant, il faut sappuyer sur un canevas de

INTRODUCTION

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points connus en systme gnral ou local. Lune des premires tches accomplir en dbut de chantier consiste donc disposer proximit des repres planimtriques et altimtriques durables et accessibles. Les diffrentes techniques dimplantation (chap. 9) ncessitent de nombreux calculs (tome 2 chap. 3 et 4) fonds sur des connaissances mathmatiques (tome 2 chap. 5). Parmi les techniques modernes employes sur les chantiers pour le guidage et le positionnement, le laser est de plus en plus rpandu (chap. 7 4). Lorganigramme ci-dessous rsume cette introduction.

Organigramme des oprations topographiques

Lordre choisi pour les chapitres est thoriquement celui de lapprentissage (bien que les recoupements soient invitables).

INTRODUCTION

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Bien quils constituent un prliminaire indispensable, les outils mathmatiques sont repousss en fin douvrage pour insister sur le fait que, comme linformatique, les mathmatiques ne sont quun outil.

INTRODUCTION

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GNRALITS ET DFINITIONS

La godsie est une des sciences de base ncessaires au topographe. Sa matrise nest pas indispensable : elle relve du domaine du spcialiste mais un aperu centr sur les incidences de la forme et des caractristiques de la terre sur la topographie est indispensable. Ceci permet dintroduire et de justifier les problmes de projection plane et leurs incidences sur la carte de base, les choix de points et de surfaces de rfrence pour un systme de coordonnes gnral, etc. Mais, dfinissons dans un premier temps, le vocabulaire de base. Topomtrie : du grec topos signifiant le lieu et mtrie signifiant lopration de mesurer. Cest donc lensemble des techniques permettant dobtenir les lments mtriques indispensables la ralisation d'un plan grande ou trs grande chelle (voir Lever de dtail, chap. 8). Ces lments ncessitent diffrentes mesures sur le terrain suivies de nombreux calculs, schmas et croquis. Cest un domaine vaste qui demande de nombreuses comptences auxquelles loutil informatique est aujourdhui indispensable. Topographie : association de topos et de graphein qui, en grec, signifie dcrire. Cest donc la science qui donne les moyens de reprsentation graphique ou numrique dune surface terrestre. La nuance entre ces deux techniques rside dans le fait quen topographie le terrain est reprsent in situ alors quen topomtrie les calculs et reports sont des phases ultrieures au travail sur le site. Topologie : cest la science qui analyse les lois gnrales de la formation du relief par les dformations lentes des aires continentales appeles mouvements pirogniques,


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attnus ultrieurement par les actions externes : rosion due la mer, au vent, la glace, leau et la neige. Godsie : cest la science qui tudie la forme de la terre. Par extension, elle regroupe lensemble des techniques ayant pour but de dterminer les positions planimtriques et altimtriques dun certain nombre de points godsiques et repres de nivellement. Cartographie : cest lensemble des tudes et oprations scientifiques, artistiques et techniques intervenant partir dobservations directes ou de lexploitation dun document en vue dlaborer des cartes, plans et autres moyens dexpression. Ci-aprs, est donne une classification des cartes en fonction de leur chelle et de leur finalit :chelles 1/1 000 000 1/500 000 1/250 000 1/100 000 1/50 000, 1/25 000 (base), 1/20 000 1/10 000 1/5 000 1/2 000 1/1 000, 1/500 1/200 1/100 1/50 Cartes gographiques Cartes topographiques petite chelle Cartes topographiques moyenne chelle (IGN) Cartes topographiques grande chelle Plans topographiques dtude, plans durbanisme Plans doccupation des sols (POS), descriptifs parcellaires Plans parcellaires, cadastraux urbains Plans de voirie, dimplantation, de lotissement Plans de proprit, plans de masse Plans darchitecture, de coffrage, etc. Finalit

Canevas : cest lensemble des points connus en planimtrie et/ou en altimtrie avec une prcision absolue homogne.

FORMES ET DIMENSIONS DE LA TERREGode

En apparence la Terre a la forme dune sphre. En fait, elle est lgrement dforme par la force centrifuge induite par sa rotation autour de laxe des ples : la Terre nest pas un corps rigide. Cette dformation est relativement faible : tassement de 11 km au niveau des ples par rapport un rayon moyen de 6 367 km et renflement de 11 km au niveau de lquateur. Elle a donc laspect dun ellipsode de rvolution dont le petit axe est laxe de rotation : laxe des ples (fig. 2.2.).


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La Terre est une surface en quilibre. La surface du niveau moyen des mers et ocans au repos na pourtant pas une forme rgulire et ne concide ainsi pas avec un ellipsode de rvolution : elle nest pas rgulire mais ondule, prsente des creux et des bosses (fig. 2.1.). Par exemple, la surface de la mer se bombe au-dessus dun volcan et se creuse au-dessus des grandes fosses ocaniques parce que les reliefs crent des excs ou des dficits de matire produisant ainsi des variations locales du champ de pesanteur. Or la surface dun fluide en quilibre est en tout point normale aux forces de pesanteur : on dit quelle est quipotentielle du champ de pesanteur. La Terre, non rigide, peut tre considre comme un fluide ; la direction des forces de pesanteur varie dun endroit un autre en raison de la rpartition htrogne de la matire composant la Terre ; sa surface nest donc pas rgulire.

Fig. 2.1. : Ellipsode et gode

La surface des mers et ocans au repos recouvrant toute la Terre est appele gode (fig. 2.1.) ; voir aussi le paragraphe 6.1. Le gode, niveau des mers prolong sous les continents, est donc une surface gauche laquelle on ne saurait appliquer des relations mathmatiques de transformation. Il est la surface de rfrence pour la dtermination des altitudes, autrement dit la surface de niveau zro. En ralit, la rfrence en altitude dpend du choix du repre fondamental et du systme daltitude. Il sensuit que la surface de niveau zro est lgrement diffrente du gode ; lcart est constant et reprsente laltitude du point fondamental audessus du gode (se reporter au paragraphe 6.3.). Remarque Lorsque le topographe (ou le maon) cale la bulle de son niveau, il matrialise un plan tangent au gode qui correspond la surface dquilibre des eaux (pente dcoulement des eaux nulle). On obtient ainsi partout lorientation de la verticale physique dun lieu. Il est intressant de noter quaucune autre rfrence noffre de telles facilits.


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Ellipsode de rvolutionDfinitions

La surface la plus proche du gode est un ellipsode de rvolution, cest--dire un volume engendr par la rotation dune ellipse autour dun de ses deux axes. La terre tournant autour de laxe des ples (de demi-longueur b, fig. 2.2.), cette rotation engendre un cercle quatorial de rayon a. Les dimensions de lellipsode sont dtermines en comparant la distance par mesures godsiques et la diffrence de latitude par mesures astronomiques entre deux points dun mme mridien. Un mridien est lintersection de la surface de lellipsode avec un plan contenant laxe des ples : cest donc une ellipse. Un parallle est lintersection de la surface de lellipsode avec un plan perpendiculaire laxe des ples : cest donc un cercle. Tous les mridiens sont gaux entre eux ( quelques carts prs). Leur rayon de courbure diminue des ples vers lquateur, donc leur courbure (inverse du rayon) augmente.

Fig. 2.2. : Ellipsode de rvolution

Il nexiste pas un ellipsode global unique mais plusieurs ellipsodes locaux dfinis pour chaque pays, chacun adoptant un ellipsode le plus proche possible du gode local. Ceci explique que les ellipsodes diffrent dun pays lautre. Pour la godsie franaise, on utilise lellipsode dfini en 1880 par Clarke et dont les caractristiques, trs lgrement modifies par lIGN par rapport lellipsode initial, sont les suivantes :q q

Demi-grand axe : Demi-petit axe : Aplatissement : Excentricit e :

a = 6 378 249,20 m b = 6 356 515,00 m ab 1 f = ----------- = ----------------------------------a 293, 466 021 32 21

q

q

2 a b e = --------------- = 0, 006 803 487 646 2 a

1

f vient de flattening en anglais.


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Cest lellipsode de rfrence actuellement utilis comme surface de projection pour ltablissement de cartes et plans assez tendus. Il a t choisi le plus proche possible du gode, cest pourquoi :q q

il est tangent au gode au Panthon, Paris ; les carts entre gode et ellipsode ne dpassent pas 14 m en France (voir 6.1).

Ces caractristiques sont en cours de modification afin de mettre en place un systme international, de plus en plus ncessaire. Le dveloppement du GPS et des travaux de godsie raliss au niveau europen imposent ces modifications (voir 5.3).

Autres ellipsodes

Comme nous lavons dit au paragraphe prcdent, dautres ellipsodes ont t ou sont utiliss. Leurs caractristiques sont les suivantes : grand axe a (m) petit axe b (m) 6 378 249,200 6 356 515,000 6 378 388,000 6 356 911,946 6 378 137,000 6 356 752,300 6 378 137,000 6 356 752,314 Excentricit e 1/aplat. 1/f 0,082 483 256 763 293,466 021 3 0,081 991 890 22 297,000 000 0 0,081 819 218 06 298,257 025 0,081 819 191 31 298,257 222 101 Syst. godsique Point fondamental NTF Panthon ED 50 Potsdam International WGS 84 Projection Mridien origine Lambert Paris UTM Greenwich

Ellipsode Clarke 1880 Hayford 1909 GRS 1980 IAGRS 1980

Lellipsode Clarke 1880 (IGN) est associ au systme national appel Nouvelle Triangulation Franaise utilisant la projection Lambert (voir 3.4). Le systme WGS 84 (World Gnral System 1984) sert de base au systme gocentrique de rfrence utilis en GPS (chap. 7 1). Son ellipsode IAGRS 80 est trs proche de GRS 80 (Geodetic Reference System 1980). Le systme European Datum 1950 utilise la projection Universal Transverse Mercator (voir 3.5). Le tableau suivant donne les dcalages dorigine tx, ty et tz connus quelques mtres prs dans un repre gocentrique dfini au paragraphe 2.2.3.1. pour les couples IAGRS 80 Clarke 80 et Hayford 09 - Clarke 80. Pour le premier couple, sont galement donns le facteur dhomothtie k et les rotations daxes rx, ry, et rz.


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Ces paramtres permettent de De : IAGRS 80 Hayford 09 transformer les coordonnes de Vers : Clarke 80 Clarke 80 points dun systme un autre par tx (m) 168 84 une similitude euclidienne (adapty (m) 60 37 tation du type Helmert dfinie au tz (m) 320 437 tome 2, chapitre 1, 10.3) trois rx (gon) 0 ou sept paramtres selon la prcision cherche (voir aussi tome 2 ry (gon) 0 chap. 5 8.2.8). Pour la cartograrz (gon) 0,554 phie petite chelle, la prcision k=1+d 1 21,98 . 10 8 de quelques mtres est suffisante et on peut ainsi se contenter de cette similitude trois paramtres. Pour plus de prcision (dcimtrique), on utilise une similitude sept paramtres dtermins localement par observation de points connus dans deux systmes diffrents. Par exemple, dans les prochaines ditions de ses fiches de points godsiques, lIGN proposera les paramtres de la transformation trois ou sept paramtres la mieux adapte chaque lieu pour passer du systme WGS 84 (ellipsode IAGRS 80) au systme NTF (ellipsode Clarke 80) puis au systme RGF 93 (voir 5.3).

Systmes de coordonnesSystme gocentrique

Un systme de rfrence gocentrique est un repre (O, X, Y, Z) (fig. 2.3-a.) tel que :q

q

q

Fig. 2.3-a. : Coordonnes gocentriques

O est proche du centre des masses de la terre (au mieux quelques dizaines de mtres prs pour les systmes raliss par godsie spatiale) ; laxe OZ est proche de laxe de rotation terrestre ; le plan OXZ est proche du plan du mridien origine.

Dans un systme de rfrence godsique, un point de la crote terrestre est considr fixe bien quil soit soumis de faibles mouvements, dus aux mares terrestres, dune amplitude infrieure 30 cm et aux mouvements tectoniques, provoquant des dplacements infrieurs 10 cm par an.


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Systme Gographique

Laxe de rotation de la terre est laxe des ples PP. Le cercle perpendiculaire laxe des ples est lquateur. La demi-ellipse mridienne passant par les ples et par un point A est la mridienne de A (fig. 2.3-b.). Un point sur lellipsode est repr par sa longitude et sa latitude (rapportes la normale (na ) lellipsode en A). Elles sont dfinies ci-aprs.q

q

Longitude () : la longitude Fig. 2.3-b. : Coordonnes gographiques dun lieu A est langle didre form par le mridien du lieu avec le mridien origine. Elle est comprise entre 0 et 180 Est ou Ouest. Le mridien origine international est celui de Greenwich (observatoire de la banlieue de Londres). Latitude () : la latitude de A est langle que fait la verticale (na ) de A avec le plan de lquateur. Elle est comprise entre 0 90 Nord ou Sud. Les cercles perpendiculaires la ligne des ples PP sont appels parallles : ils sont parallles au plan de lquateur.

Hauteur ellipsodale (h) : un point A situ sur la surface de la terre et sur la mme verticale que A, on associera une troisime coordonne correspondant la hauteur audessus de lellipsode, note h, mesure suivant la normale (na). Remarque Par la suite, nous parlerons plus volontiers de coordonnes godsiques puisquelles sont associes un ellipsode donc un systme godsique donn.

q q q

Systmes godsiques

Un systme godsique est dfini par : un ellipsode, choisi le plus proche possible du gode local ; un systme de reprsentation plane ; un point fondamental (sauf dans le cas dun systme gocentrique o il ny a pas de point fondamental) dont les coordonnes sont dtermines par des mesures astronomiques ; en ce point, la normale lellipsode est confondue avec la verticale cest--dire la normale au gode.


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La ralisation dun systme godsique est concrtise sur le terrain par un rseau de points connus en coordonnes dans ce systme. Cette ralisation tant fonction des techniques de mesure, de calcul et de leurs volutions, il peut exister plusieurs ralisations dun mme systme godsiques.

Calculs sur lellipsodeCourbes sur une surfaceNormale, plan tangent et courbure

Toutes les tangentes (Mt, Mt) aux courbes traces au point M sur une surface () sont dans un mme plan appel plan tangent au point M (). La perpendiculaire au point M au plan tangent est appele normale n la surface. 1 La courbure est linverse du rayon = -- . RFig. 2.4. : Normale une surface ( )

Section normale

Un plan contenant la normale ( n ) coupe la surface () selon une courbe plane appele section normale. Quand le plan normal (P) pivote autour de la normale ( n ), la courbure de la section varie entre deux valeurs extrmes et (fig. 2.5.). Ces deux valeurs correspondent deux sections normales perpendiculaires (S) et (S) appeles sections normales principales.

Fig. 2.5. : Section normale

La courbure totale de la surface en M est le produit .. On note que cette courbure totale, produit de deux courbures, nest pas homogne une courbure. Appliquons ces proprits lellipsode de rvolution.


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Les sections normales principales en M (fig 2.6.) sont les suivantes :q

q

lellipse mridienne, qui est la trace de lellipsode de rvolution autour de laxe des ples sur le plan de cet axe ; son rayon de courbure est CM ; on le note ; la section normale perpendiculaire de rayon de courbure JM not ; ce rayon est appel grande normale et parfois not ( N ). J est lintersection de la normale et du petit axe.

1 La courbure totale est : = ---------- . Si le point M est sur lquateur, la section normale lellipse mridienne est lquateur et le rayon de courbure est : JM = a ; J est situ au point O.

Fig. 2.6. : Section normale de lellipsode

Si le point M est aux ples, la section perpendiculaire lellipse mridienne est aussi une ellipse mridienne : alors = .2 a b En dfinissant lexcentricit e telle que : e = --------------- ; on dmontre que : 2 a 2 2 a(1 e ) dune part = --------------------- avec w = 1 e sin ; 3 w a dautre part = --- (e2 = 6,803 487 646 . 103, ellipsode de Clarke). w 2 2 2

On retrouve alors que :q

q

pour un angle , tel que = 0 gon lquateur, on obtient : = a 6 378,25 km : cest le rayon du cercle correspondant lquateur ; le point J se situe au point O ; = b2/a 6 334,85 km : cest le rayon de courbure lquateur de lellipse mridienne. pour un angle tel que = 100 gon au ple, J et C sont confondus ; = = a2/b 6 400,06 km : cest le rayon de courbure des ellipses mridiennes aux ples.

Exemple Sur le parallle = 49 gon, on a :q q

le rayon de courbure de lellipse mridienne le rayon de courbure de lellipse normale principale

6 366,29 km. 6 388,78 km.


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Courbe quelconque sur une surface

Considrons une courbe gauche sur laquelle est dfinie en M une tangente Mt. Le plan limite P de deux tangentes infiniment voisines est appel plan osculateur et la perpendiculaire la courbe situe dans ce plan est la normale principale ( N ). En gnral, la normale principale est diffrente de la normale la surface ( n ).

Fig. 2.7. : (P) plan osculateur

Fig. 2.8. : Godsique

Les courbes telles que ( N ) confondue avec ( n ) sont appeles godsiques ; elles ont des proprits intressantes puisque :q q

entre deux points, la godsique est la ligne de longueur minimale ; la courbure dune godsique est la courbure de la section normale qui lui est tangente.

GodsiquesGodsiques de la sphre

Les godsiques de la sphre sont des grands cercles. En tous points de ces cercles, la normale principale passe par le centre de la sphre ; elle est donc confondue avec la normale la sphre. Les angles compris entre une godsique et les mridiens sont tous diffrents. Pour aller du point M au point M, le plus court chemin est la godsique ; ces grands cercles, trajectoires de longueur minimale, sont appels orthodromie (fig. 2.9.).


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Fig. 2.9. : Orthodromie

Fig. 2.10. : Loxodromie

On dfinit la loxodromie comme une courbe qui coupe tous les mridiens sous un azimut constant Z (voir la dfinition dun azimut au 4.2) ; entre les deux points A et B, le chemin le plus court est la godsique ; la loxodromie, plus facile suivre, oblige parcourir un trajet plus long (fig. 2.10.).

Godsiques de lellipsode

Entre deux points A et B de lellipsode passe une godsique (G) qui reprsente la trajectoire la plus courte de A B. (G) est une courbe gauche, trs voisine des sections normales (naB) et (nbA). Les angles mesurs depuis les points A et B sont les angles didres entre les plans verticaux contenant chacun des points viss A et B, larte tant la verticale de chaque station ; on assimile les verticales de chaque station aux normales la surface et les traces des plans verticaux aux godsiques joignant les points. Le point B est repr depuis le point A par lazimut Az (fig. 2.11.). Langle est compt positif en sens horaire depuis le mridien de A vers la vise AB, et la distance AB est la longueur de la godsique.Fig. 2.11. : Godsique de lellipsode


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Conclusion

Il nexiste pas de calculs trigonomtriques sur lellipsode. On est donc amen utiliser la trigonomtrie sphrique (tome 2 chap. 5 4.4) et adopter la sphre se rapprochant le plus de lellipsode dans la rgion considre. Son rayon RN est gal : RN =

Au voisinage du parallle 49 gon pour lellipsode Clarke 1880, on a RN = 6 377,53 km. En reprenant les expressions de et , rayons de courbure des sections normales principales, ( 2.3.1.2), on obtient : a 1e R N = -----------------------------2 2 1 e sin 2

avec :

a, longueur du demi grand axe de lellipsode en mtre; e, excentricit ( 2.2.2) ; , latitude de la rgion considre.

Application a) Calculez le rayon RN de la sphre au voisinage des parallles 52 gon et 55 gon. b) Calculez le rayon de la sphre RN aux latitudes extrmes de la France mtropolitaine (environ 47 et 57 gon). Rponse a) 6 379,58 et 6 381,62 km. b) 6 376,16 et 6 382,96 km. On peut donc prendre comme valeur moyenne de RN en France : RN 6 380 km. On trouve aussi comme valeur moyenne du rayon terrestre a+b R = ----------- 6 367 km . 2

REPRSENTATION PLANE DE LELLIPSODEIntroduction

Tous les systmes de projection de la surface dun ellipsode sur un plan dforment les longueurs.


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Par suite, la reprsentation plane de lellipsode nest quune correspondance ponctuelle entre points de lellipsode M (, ) et points du plan m (E, N), E pour coordonne Est (ou x) et N pour Nord (ou y) (fig. 2.12.). Les figures traces sur lellipsode seront donc dformes quelle que soit la reprsentation adopte.

Fig. 2.12. : Reprsentation plane

Dformations des figuresCalcul du module linaire) )

Soit un arc de courbe IJ sur lellipsode auquel correspond un arc de courbe ij sur le plan (fig. 2.13.). On appelle module linaire m le rapport : ij ds m = ----- = ----dS IJ On remarque que le module linaire m varie avec la position de I et la direction de IJ. )Fig. 2.13. : Dformation dun arc

m est aussi appel module de rduction la projection : cest le rapport de la longueur de limage sur un plan de projection dune courbe la longueur de la courbe sur lellipsode.

)


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Indicatrice de tissot) )

En un point I, llment darc IJ de longueur dS a pour image ij de longueur m . dS = ds. Lorsque J dcrit le cercle de centre I de rayon dS, j dcrit autour de i une ellipse de rayon vecteur ds = m . dS. Limage du cercle de rayon dS = 1 est une ellipse de demi-axes a et b, appele indicatrice de Tissot (fig. 2.14.). Lindicatrice de Tissot reprsente localement les variations de m ; elle change de dimensions en tout point.

Fig. 2.14. : Indicatrice de Tissot

Altrations linaire et angulaire

ds dS Le coefficient daltration linaire est dfini par : k = ----------------- = m 1 dS Laltration angulaire est la diffrence des angles entre les arcs lmentaires correspondants, soit ( ij , ik ) ( IJ , IK ) .

Classification des reprsentations

Toutes les reprsentations dforment les distances. Il est toutefois possible de calculer des correspondances.q

Si les angles entre courbes correspondantes sont gaux, on dit que la reprsentation est conforme. m est uniquement fonction du point I et indpendant de la direction IJ ; lindicatrice de Tissot est un cercle (fig. 2.15.).

On utilise principalement deux types de reprsentation :q

le systme de projection conique o lellipsode est projet sur le cne tangent un parallle ; donc seule la rgion proche de celui-ci est correctement reprsente ;


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le systme de projection cylindrique o lellipsode est projet sur un cylindre circonscrit le long de lquateur ou dun mridien ; dans ce dernier cas, la reprsentation est dite cylindrique transverse (fig. 2.16.) ; le dveloppement du cylindre permet de ne reprsenter correctement que les seules rgions voisines du mridien de tangence.

Fig. 2.15. : Reprsentation conforme

Fig. 2.16. : Diffrentes projections planes

q

Si les surfaces des figures lmentaires sont gales, on dit alors que la reprsentation est quivalente.

Par exemple, la projection de Bonne, utilise par F. Bonne au XVIIIe sicle pour tablir la carte dtat-major au 1/80 000, est dduite de la projection conique dont le parallle origine et le mridien origine sont conservs. On trace les parallles concentriques au parallle origine aprs avoir report leurs espacements le long du mridien origine. On trace ensuite les mridiens aprs avoir report leurs espacements sur chaque parallle ; on obtient alors des quadrilatres dont les dimensions (espacements des parallles et des mridiens) sont conserves, donc la superficie lest galement. Mais les angles et les distances tant dforms, ces altrations sont aujourdhui inacceptables pour dresser les nouvelles cartes de base au 1/20 000.


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Reprsentation conique, directe, tangente et conforme : reprsentation de lambertGnralits sur les reprsentations planes conformesModule linaire m

Le module linaire m garde une valeur constante le long de lignes appeles isomtres ; il est toujours positif, jamais nul. La ligne sur laquelle m est son minimum sappelle lisomtre centrale. Lisomtre sur laquelle m = 1 (sans dformation), est le parallle de tangence du cne. m est fonction de la distance d (dans le plan, fig. 2.17.) entre le point i et lisomtre centrale ; cette fonction est du type m = 1 + c d 2 o c est une constante, d en m ou km et c en m2 ou km2 (voir dmonstration au paragraphe 3.4.2.1.).

Fig. 2.17. : Distance dune isomtre lisomtre centrale

Aussi, le coefficient altration linaire est : k = m 1

Image dune godsique (G) de lellipsode

Limage plane (g) de la godsique (G) nest pas une droite mais une courbe quelconque (g) (ab, fig. 2.18.). La courbure de (g) est nulle dans la direction perpendiculaire aux isomtres ainsi que sur lisomtre centrale. Limage dun arc lmentaire de (g) est un segment de droite (ab ou ac, fig. 2.19.).

Fig. 2.18. : Image dune godsique


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Fig. 2.19. : Image de deux godsiques particulires

La concavit de limage plane (g) est tourne vers lisomtre centrale. Exemple : arcs ab et cd, fig. 2.20-a. Lorsque la transforme (g) de la godsique (G) coupe lisomtre centrale, leur point dintersection est pour limage plane (g) un point dinflexion.

Reprsentation conique directeFig. 2.20-a. : Concavit dune godsique

Dans une telle reprsentation (fig. 2.20-b.) :q

les mridiens ont pour image des droites concourantes au point p, image du ple P ;

q

les parallles ont pour image des cercles concentriques de centre p et de rayon 5. Lespacement irrgulier des parallles permet dassurer la conformit de la projection ;

Fig. 2.20-b. : Reprsentation conique directe


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q

le point A de lellipsode de coordonnes gographiques (, ) a pour image sur le plan le point a de coordonnes polaires (5, ) telles que : 5 = f () et = g(). Ces relations sont indpendantes (fig. 2.21.).

Fig. 2.21. : Reprsentation conique directe

Reprsentation conforme

Dans une reprsentation conforme, il y a galit du module linaire en un point dans toutes les directions autour de ce mme point, et en particulier en direction du parallle et du mridien. Donc, m = m (m est le module dans la direction du parallle de latitude et m le module dans la direction du mridien de longitude ). Ils sont dfinis par :


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aa 2 aa 1 5 d d 5 m = ---------- -------------- et m = ---------- ------------AA 2 d AA 1 r d o r est le rayon du parallle de latitude , 5 est le rayon du cercle image sur le plan du parallle de latitude , est le rayon de courbure de lellipse mridienne.

Do on dtermine la convergence des mridiens par intgration : d5 r d ----- = ------- ------------- [1] 5 d d Ces deux drives sont indpendantes donc gales une constante K. d On en dduit ----- = K [2], do = K ( o ). d

est la convergence des mridiens ; o est la longitude du mridien origine ; dans la reprsentation Lambert, le mridien origine est le mridien de Paris. d d d5 Par ailleurs, de [1] et [2] on dduit que : ------- = K ----------- = K ------------------- = K d [3] r cos 5Par intgration de [3], on obtient la latitude isomtrique : =

------------------- cos

d

e 1 + e sin - = ln tan -- + -- -- . ln -------------------------- 4 2 2 1 e sin

est exprim en radians ; e est lexcentricit dfinie au paragraphe 2.2.1. En intgrant [3], on obtient : 5 = C exp ( K ) On remarque que C = 5 pour = 0. La constante C est donc gale au rayon du cercleimage de lquateur 5E.

Reprsentation tangente

Une reprsentation tangente admet pour isomtre centrale un parallle de latitude oo (fig. 2.22.). Sur lisomtre centrale, le module linaire est m = ------ K = 1 ; ro

5

ro ro o cos o donc K = ------ = --------------------- ; or sin o = ------ ; on en dduit : -

5o

5o

5o

K = sin o = ( o )sin o 5 o = o cot o


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partir de [3], par intgration entre lisomtre centrale o et un parallle , on obtient :

o

d5 ------- = -

5

o

K d

do ln 5 ln 5 o = K ( o ) donc ln ------ = K ( o ) -

5 5o

et 5 = 5 o exp [ ( o ) sin o ] Application Calculer le rayon 5 et la convergence des mridiens pour le point ayant pour caractristiques = 54,273 618 gon, = 2,607 614 3 gon, origine Greenwich, ces coordonnes gographiques tant donnes sur lellipsode Clarke 80. Le parallle de tangence est situ o = 55 gon. Le mridien de Paris est o = 2,596 921 296 gon (2 20 14,024 999) lEst de Greenwich.

Fig. 2.22. : Isomtre centrale

Rponse

= 0,008 131024 gon ; = 0,974 594 822 rad, o = 0,991 996 665 rad, 5o = 5 458 286,187 m ; 5 = 5 530 992,755 m.

Module linaire et altration linaire

Calcul de la valeur du module linaire ou module de rduction la projection Dans une zone voisine de lisomtre centrale de latitude o , le module linaire m est

ddfini par m = 1 + -------- o R2 = . et d est la distance du point lisomtre centrale o. 2 2R Dmontrons ce rsultat en nous reportant la figure 2.21. du paragraphe 3.4.1.3. ci-avant. Les points A et A2 tant trs proches, on assimile larc AA2 la tangente en A (ou en A2) ; ainsi, dans le triangle rectangle AHA2, AH = dr (dr ngatif), langle A2 est gal . On a : dr = AA2 . sin ; or AA2 = . d ; dr do ------ = sin . d

2


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En reprenant lquation [3] du paragraphe 3.4.1.4, 5 d5 on obtient : ------- = K ----------- . r d Le module linaire m = ---- K peut sexprimer en r fonction de , parallle voisin de lisomtre centrale o, et se dvelopper comme suit : m(o) = 1 le long de o m() = m(o) dm d m + ------ ( o ) + --------2 d 0 d2

5

( o ) --------------------- + ( ) ; 2 02

dm or ------ = 0 car m = 1 sur lisomtre centrale de d 0 latitude o ; d m do m() = 1 + --------2 d2 2

Fig. 2.23-a. : Calcul du module linaire

( o ) --------------------- + ( ) . 2 02

d m 5 Pour dterminer --------- on sait que m = ---- K 2 r d donc : dr d5 r ------- 5 -----K5 K d d dm ------ = K ------------------------------ = --- ( K 5 5 sin ) = -------------------- ( K sin ) 2 2 2 d r r r2 K 5o d m --------- = ------------------------o cos o suivi 2 2 d 0 ro de trois termes dans lesquels (K sino) est en facteur ; or K = sino.

en drivant nouveau par rapport , on obtient

Nous savons que 5 o = o cot o et ro = o coso

donc

d m --------2 d

2

0

o = ---o

o 2 do m ( ) = 1 + ------- ( o ) + ( ) avec et o en radian. 2 o o ( o ) reprsente la longueur de larc sur lellipse mridienne entre les latitudes et ; cest donc la distance entre lisomtre centrale et le parallle . Soit d cette distance, on obtient alors :2 o o 2 d 2 d m ( ) 1 + ------- ( o ) = 1 + ------- ---- 1 + -------- en assimilant o . o = R2. 2 2 o 2 o o 2R


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d Laltration linaire sexprime alors comme suit : k = m 1 -------2 2R Afin de rduire la grandeur de cette altration, le module linaire est multipli par un facteur mL appel module de rduction dchelle, choisi de manire obtenir un module linaire gal 1 sur deux parallles 1 et 2, distants de 1 grade de latitude (soit 100 km environ) de lisomtre centrale o (fig. 2.23-b.). On ralise donc pour chaque parallle une homothtie par rapport son centre, ce qui revient rendre le cne scant lellipsode. Le rapport dhomothtie est mL = 1/m(1) = 1/m(2). Cette homothtie est pratiquement quivalente une translation du cne de projection vers le bas (fig. 2.23-b.). En effet, le nouveau module a pour valeur :

2

o o 2 2 mr = mL . m() = m() / m(1 ou 2) = 1 + ------- ( o ) / 1 + ------- ( 1 o ) 2 o 2 o o o 2 2 Or, les termes ------- ( o ) et ------- ( 1 o ) sont trs petits devant 1, donc on 2 o 2 o o o 2 2 peut crire que mr 1 + ------- ( o ) 1 ------- ( 1 o ) 2 o 2 o.

o o o 2 2 2 Donc mr 1+ ------- ( o ) ------- ( 1 o ) soit m r m ( ) ------- ( 1 o ) . 2 o 2 o 2 o o 2 Le terme 1 ------- ( 1 o ) vaut environ 0,999 877 = 1 12,3 . 10 5 quelle que soit 2 o la zone Lambert.Si les infiniment petits dordre suprieurs () ne sont pas ngligs, on obtient exactement (1 12,258 . 105) pour la zone Lambert II, (1 12,25 . 105) pour la zone Lambert III et (1 12,266 . 105) pour la zone Lambert I. Le coefficient daltration linaire ( 106 prs) devient kr = (1 + d 2 / 2 R 2 ) . (1 12,3 . 105) 1 soit kr d2 / 2R2 12,3 . 105 quelle que soit la zone Lambert. Remarque Lisomtre centrale, sur laquelle le module linaire est minimum, reste limage du parallle o bien que le module linaire y soit diffrent de 1 (voir les valeurs de 1 et 2 au 3.4.4.2.). Dans lhomothtie dfinie prcdemment, le rayon de limage dun parallle est :

5 = m L . 5 o exp [ ( o ) sin o ]


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Fig. 2.23-b. : Artifice du cne de projection scant lellipsode

Calcul de laltration linaire

Il est possible de calculer le coefficient daltration linaire sur un parallle distant de d de lisomtre centrale. Exemple d = 50 km de o d = 150 km d kr -------- 12,3 . 105 (3,1 12,3) . 105 = 9,2 cm/km 2 2R kr (27,6 12,3) . 105 = + 15,3 cm/km, etc.2

Il suffit donc de connatre la latitude dun point pour en connatre laltration linaire. Soit un point la latitude = 48,42 gon. Il se situe 0,58 gon au sud de lisomtre centrale 49 gon. Donc d 0,58 100 = 58 km, 1 gon en latitude donnant environ 100 km sur la surface de lellipsode. En ce point, kr = 12,3 + 582 / (2 6 380)2 = 12,3 + 4,1 = 8,2 cm/km. Sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGN propose un moyen graphique de calcul de kr : par exemple, pour la feuille de Grasse, kr est dtermin sur un graphique quivalent celui de la figure 2.23-c. La feuille est limite par deux mridiens de 0,2 gon de diffrence de longitude et par deux parallles de diffrence de latitude 0,2 gon. Pour un point A de latitude 48,42 gon (exemple prcdent), on retrouve une altration kr gale 82 mm/km.


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Fig. 2.23-c. : Calcul de laltration linaire daprs la feuille IGN

Si le point est donn en coordonnes planes Lambert (E, N), il faut calculer ses coordonnes gographiques et, dans ce cas, la latitude suffit puisque laltration est fonction de la distance lisomtre centrale. On peut aussi utiliser des abaques donnant kr en fonction des coordonnes (chap. 4 7.1.6). Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de calculer le coefficient daltration linaire kr pour un point donn en coordonnes gographiques ou Lambert ; le tableau ALTERAT.XLS permet dobtenir divers abaques donnant le coefficient kr pour toutes les zones Lambert.

Limage dune godsiqueLimage de la godsique AB de lellipsode

Fig. 2.24. : Image dune godsique


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)

)

Limage dune godsique AB est une courbe ab dont la concavit est toujours tourne vers lisomtre centrale de latitude o. Pour effectuer des calculs dans le plan (rsoudre des triangles par exemple) partir des mesures angulaires ralises sur le terrain, les rductions faire sur AB sont (fig. 2.24.) :q

)

connaissant le module linaire m, la rduction de la distance AB sur lellipsode la distance plane de la corde ab , trs peu diffrente de larc ab ; la rduction des observations angulaires de larc ab la corde ab . ) )

q

Il y a conformit dans la reprsentation, cest--dire que les angles sont gaux : ( AB, AC ) = ( ab, ac ) (fig. 2.24.). Les calculs sont effectus sur les triangles plans abc ; les angles du triangle sont ceux dfinis par les cordes alors que les angles observs sont ceux dfinis par les arcs. Il faut donc les corriger de la quantit dv (fig. 2.24.).

Rduction de larc la corde

On appelle cette rduction la correction de dv. Cette correction sapplique soit aux gisements observs, soit aux directions observes afin dobtenir les gisements rels introduire dans les calculs. Cette correction est accompagne dun signe : pour le connatre, il suffit de savoir, comme indiqu au paragraphe 3.4.1.2., que la transforme dune ligne godsique tourne sa concavit vers le parallle origine (isomtre centrale) sur le plan (fig. 2.25-a.).

Fig. 2.25-a. : Signe des corrections de dv

)

)


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1 On dmontre que cette correction est gale : dv ab = -- 1/3 ab 2

1/3 tant la courbure de ab au tiers de ab compter de a.Remarque La transforme de la godsique q ntant pas un arc de cercle, on a dv ab dv ba ; cest pourquoi la correction fait intervenir un point T, situ au tiers de la courbe, qui correspond la courbure moyenne (fig. 2.25-b.). dv est nulle pour une vise perpendiq culaire aux isomtres car est nul. est trs faible, par consquent la q rduction de dv est de lordre de quelques dmgon au maximum ; elle est souvent ngligeable, en particulier pour des vises de porte infrieure au kilomtre. )

Fig. 2.25-b. : Correction de dv

Cette rduction est galement note rC , qui signifie rduction la corde .

Calcul pratique de dv

On peut dterminer la valeur de dv au moyen de trois mthodes.q

Premire mthode : sur des documents sappliquant aux feuilles au 1/50 000, lIGN propose un moyen graphique de calcul de dv : par exemple, pour la feuille de Grasse, on dtermine dv gale K . dM (fig. 2.26.), o dv est note c, dM tant la valeur (en kilomtres 0,5 km prs) en projection de la vise ab sur la direction des parallles gographiques et K un coefficient donn en seconde centsimale par kilomtre, cest-dire en dmgon par km (K peut aussi tre extrapol sur une carte des altrations au 1/500 000). Par exemple, on obtient pour la vise AB (fig. 2.26.) :q q

station en A (982 165,63 ; 154 744,35) vise sur B (985 198,63 ; 165 754,74)

On place ces points sur la carte : leurs coordonnes gographiques sont proches de 5,27 gon Est de Paris et 48,44 gon Nord pour A, et 5,31 gon Est de Paris et 48,55 gon Nord pour B. Au point T, situ au tiers de AB partir de A, la valeur de K est 0,41 dmgon/km (fig. 2.26.).


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Fig. 2.26. : Dtermination du coefficient K sur une feuille IGN

q

Pour AB, dM = 3 km, (cest la diffrence XA XB) on a dv = 3 . 0,41 = 1,2 dmgon alors que la vise a une porte de 11 km.

q

Deuxime mthode : partir de lexpression : dv = 0,1. 1/3 . km dans laquelle 1/3 est une expression complexe tabule par lIGN en fonction de la latitude et la diffrence de longitude entre les deux points. Troisime mthode : par la formule simplifie, E dv ab = s -------- ( N 1/3 de ab 200 ) dmgon. 128 E (km): diffrence dabscisse entre les deux points ; N1/3 (km): ordonne du point situ au tiers de ab ; s : signe de la correction de dv fonction de la position de ab par rapport lisomtre centrale et au mridien de la station (fig. 2.25-a.).

q

Application Calculez au moyen de la dernire formule de la correction de dv pour la vise AB donne prcdemment. Rponse dv = 1. 3,03 / 128 . (158,4 200) = 1 dmgon (pour une vise de 11 km). Voir dautres exemples de calcul, chap. 3 4.4.2 et 6.8.2 Le tableau ALTERAT.XLS du cdrom permet de calculer dv pour une vise donne. La fonction dv (Xstation, Ystation, Xvise, Yvis) ajoute aux fonctions dExcel par le tableau MENUTOPO.XLS effectue un calcul automatique de dv (le numro de zone Lambert doit figurer dans les ordonnes en milliers de kilomtre).


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Emploi en France de la reprsentation Lambert

La reprsentation plane de lellipsode de Clarke est utilise en godsie et cartographie sous forme de zones champ restreint ( 3.4.4.2) dans le but de limiter les dformations de rduction la projection.

Mridien origine o

Le mridien origine ( = o ) est le mridien de Paris situ lObservatoire de Paris. Il est une longitude o = 2,596 921 296 gon lEst du mridien de Greenwich. En France, le mridien de Greenwich passe proximit des villes de Tarbes, Angoulme, Le Mans et Le Havre et celui de Paris prs de Carcassonne, Bourges et Amiens.

Isomtres centrales o

La France mtropolitaine est divise en quatre zones tages du Nord au Sud dont la latitude des isomtres centrales est : 55 gon pour la zone Nord dite Lambert I ; 52 gon pour la zone centre dite Lambert II ; 49 gon pour la zone Sud dite Lambert III ; 46,85 gon pour la Corse dite zone Lambert IV. Pour rduire laltration linaire en limite des zones, on limite ces dernires o 1,5 gon, soit 150 km de part et dautre de lisomtre centrale et on multiplie lellipsode modle par un module de rduction dchelle mL dont la valeur par zone est donne dans le tableau ci-contre. Le coefficient daltration linaire devient alors kr 12 cm/km sur lisomtre centrale o et le coefficient daltration devient kr + 16 cm/km en limite de zone. Les valeurs exactes du module de rduction linaire mL = 1 + kr par zone sont donnes au paragraphe 3.4.2.1. Nous les rappelons cicontre.Latitude (gon) Module mL 1,00016 1 112.10 1 1,000165

kr mL 1 + 16 cm/km 0 12 cm/km 0 + 16 cm/km

o + 1,5 1 o 2 o 1,5

Zone I II III IV

mL 0,999877 34 = 1 12,266.105 0,99987742 = 1 12,258.105 0,999877 50 = 1 12,25.105 0,999 944 71 = 1 5,529.105

A la limite de deux zones Lambert, sur une bande de recouvrement de 20 km de large, les coordonnes des points sont calcules dans les deux zones. En effet, les coordonnes et la valeur de kr sont diffrentes pour le mme point exprim dans deux zones adjacentes du fait de la diffrence des cnes de projection.


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Cest pourquoi une zone appele Lambert II tendue a t cre de manire obtenir un systme de projection valable sur tout le territoire ; elle consiste tendre le quadrillage Lambert de la zone II (centrale) toute la France. Un chiffre prcdant directement lordonne prcise la zone dans laquelle se situe le point : 1 dans la zone I, 2 dans la zone II et 3 dans la zone III. Par exemple, le point de coordonnes 982 152,25 m et 3 154 989,65 m est un point de la zone Lambert III ; son ordonne dans cette zone est 154 989,65 m. Le tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage permet de transformer des coordonnes exprimes en Lambert I, III ou IV en Lambert II tendu (voir aussi lexemple de calcul au paragraphe 3.4.5.2.). Pour viter des coordonnes ngatives louest du mridien de Paris et au sud des isomtres centrales, on dcale les coordonnes du point origine de chaque zone (E0 , N 0) : E0 = Constante Est = 600 km louest ; q N0 = Constante Nord = 200 km au sud. q Ces constantes sont diffrentes pour la zone IV (Corse) ; elles sont donnes dans le tableau ci-aprs.Zone I II III IV IIt.

o C ste Est (gon) (km)55 52 49 52 600 600 600 600

Cste Nord (km) 200 200 200 2 200

(m)

5o

mL.5o (m)

1 (gon)53,998 358 72 50,998 798 84 47,999 212 53 50,998 798 84

2 (gon)55,995 457 37 52,995 571 67 49,995 659 79 47,519 626 08 52,995 571 67

5 458 286,187 5 457 616,674 6 000 431,301 5 999 695,768 6 592 712,692 6 591 905,085 6 000 431,301 5 999 695,768

46,85 234,358

185,861 369 7 053 690,172 7 053 300,173 46,178 208 71

La dernire ligne du tableau (IIt.) reprsente la zone Lambert II tendue tout le territoire. La carte (fig. 2.28.) montre le quadrillage Lambert par rapport aux mridiens et parallles. Chaque mridien devrait tre constitu en projection de quatre lignes brises correspondant aux quatre zones Lambert, invisible cette chelle. En effet, les mridiens sont perpendiculaires aux images des parallles origines (isomtres centrales) et ces parallles ne sont pas rigoureusement concentriques (fig. 2.27.). Reportez-vous au paragraphe 4. pour observer les rpercussions sur la carte de base au 1/25 000.Fig. 2.27. : Trois cnes de projection


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Fig. 2.28. : Quadrillage du systme Lambert national

Transformation de coordonnes

Les formules suivantes transforment des coordonnes gographiques en coordonnes Lambert sur lellipsode Clarke 80. Les rsultats des paragraphes 3.4.1. et 3.4.2. sont utiliss pour calculer les coordonnes polaires (5, ) en fonction de (, ).

q

Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes lambert (E, N)

Transformation des coordonnes gographiques (, ) en coordonnes polaires (5, ) On a : = ( o) sino 5 = m L 5 o exp [ ( o ) sin o ] aprs avoir calcul 5o , et o.

q

Transformation des coordonnes polaires (5 , ) en coordonnes gographiques (E , N)


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On voit sur la figure 2.29-a. que pour un point A du plan de coordonnes polaires (5 , ), les coordonnes cartsiennes Lambert sont les suivantes : E A = E 0 + 5 sin N A = N 0 + m L 5 0 5 cos

Fig. 2.29-a. : Transformation des coordonnes polaires en coordonnes cartsiennes

Transformation des coordonnes lambert (E, N) en coordonnes gographiques ( , )

EA Eo On a (fig. 2.29-a.) : tan = ------------------------------------------- do : = o + ------------- . sin o No + mL 5o NA mL 5o NA + No On calcule 5o et o et on en dduit 5 = ------------------------------------------- ; cos mL 5o 1 Ensuite, on calcule = o + ------------- ln ----------------- exprim en radian. 5 sin oq

Enfin, est calcul par approximations successives laide de : e 1 + e sin - = ln tan -- + -- -- ln ------------------------------ 4 2 2 1 ( e sin )

Application Exprimez en Lambert II tendu le point suivant donn en Lambert III : (EIII = 982 058,965 m ; NIII = 3 155 944,160 m), situ au LTGC dAntibes. Rponse 1) Transformation en coordonnes gographiques sur lellipsode Clarke 80 : 5 = 6 646 950,161 m = 0,842 641 708 rad 0 = 0,854 591 098 rad = 3,661 234 312 gon = 7,857 974 592 gon = 48,449 472 529 gon kr = 8,5 cm/km 2) Transformation en Lambert II : = 3,835 142 8 gon. 5 = 6 354 961,193 m (EII = 982 605,846 m ; NII = 1 856 262,586 m) kr = 140 cm/km.


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Remarque On remarque, partir de lexemple prcdent, que la valeur du coefficient daltration linaire kr serait trs importante sil nexistait en France quune seule zone (1,40 m au km Antibes en Lambert II tendu) et quen raison du fait des diffrents cnes de projection, les projections des mridiens ne sont pas parallles (environ 0,17 gon dcart sur la convergence des mridiens Antibes). Pour trouver la correspondance entre lordonne 1 856 km en Lambert II tendu et 3 156 km en Lambert III, on doit considrer une translation de repre de 1 300 km en ordonne (1 000 km pour le changement de zone et 300 km entre les deux axes des abscisses).

Changement dellipsodeSi les coordonnes godsiques de dpart sont exprimes sur un ellipsode autre que Clarke 80 (par exemple IAGRS 80 pour les donnes brutes GPS, chap. 7 1.), il faut les convertir en coordonnes godsiques sur Clarke 80 avant deffectuer les calculs dtaills au paragraphe 3.4.5. prcdent. Pour cela, on doit dabord exprimer ces coordonnes dans un repre gocentrique (fig. 2.29-b.) dfini au paragraphe 2.2.3.1 Le point O est alors le centre de lellipsode utilis. Les coordonnes dun point sont (, , h), h tant la hauteur exprime en mtres du point au-dessus de lellipsode. Pour la suite, reportez-vous la figure 2.29-c.

Fig. 2.29-b. : Coordonnes gocentriques sur la sphre

Transformation des Coordonnes godsiques en coordonnes gocentriques sur lellipsode 1

Pour transformer des coordonnes godsiques (1, 1, h1) en coordonnes gocentriques (X1 , Y1 , Z1), on applique les formules suivantes : e et sont respectivement dfinis aux paragraphes 2.2.1. et 2.3.1.2.

X 1 = ( v 1 + h 1 ) cos 1 cos 1 Y 1 = ( v 1 + h 1 ) cos 1 sin 1 2 Z 1 = ( v 1 ( 1 e 1 ) + h 1 ) sin 1


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Changement dellipsode : ellipsode 1 vers ellipsode 2

Pour changer dellipsode, il suffit de faire intervenir les dcalages dorigine (tx, ty et tz) entre les deux ellipsodes ainsi quun ventuel angle entre les axes des X dans les deux repres (dcalage de lorigine des longitudes, fig. 2.29-c.). Ce changement de repre peut aussi tre effectu par transformation trois ou sept paramtres. Dans ce dernier cas, on introduit trois translations, trois rotations et une homothtie ou mise lchelle. Ces paramtres sont calculs pour une zone donne partir de plusieurs points dtermins sur les deux ellipsodes (voir tome 2 chap. 1 10.3).

Fig. 2.29-c. : Changement dellipsode

Par exemple, pour passer de lellipsode IAGRS 80 (systme WGS 84) lellipsode Clarke 80, on effectue un dcalage dorigine de (tx = 168 m, ty = 60 m, tz = 320 m), mais pas de rotation autour de Z ( = 0) puisque les origines des longitudes (Greenwich) sont identiques. Donc : X 2 = X 1 cos + Y 1 sin + tx Y 2 = X 1 sin + Y 1 cos + ty Z 2 = Z 1 + tz Remarque Ces dcalages dorigine sont ajouter aux coordonnes dans le premier systme. Ils reprsentent donc les coordonnes de lancienne origine dans le nouveau repre ou encore les opposes des composantes du vecteur de translation.

Transformation des Coordonnes gocentriques en coordonnes godsiques sur lellipsode 2

On effectue le calcul inverse du calcul prsent au paragraphe 3.4.6.1. ; 2, 2 et h2 sont donns par : Y2 tan 2 = ----X2 2 R e tan 2 = Z 2 + v 2 e 2 sin 2 Re h 2 = -------------- v 2 cos 2

avec R e =

X 2 + Y 2 = ( v 2 + h 2 ) cos 22 2


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La latitude 2 sobtient par approximations successives (2 est aussi fonction de 2). Application Dterminez les coordonnes Lambert du point A de coordonnes godsiques sur lellipsode IAGRS 80 : ( = 74 23,472 12; = 43 36 17,141 70; h = 157,450 m). Rponse X1 = 4 590 781,336 ; Y1 = 569 630,443 ; Z1 = 4 376 505,933 X2 = 4 590 949,336 ; Y2 = 569 690,443 ; Z2 = 4 376 185,933

2 = 7,073 667 94 (7 4 25,20459) ; 2 = 43,604 736 78 (43 3617,05240)h2 = 116,582m. Finalement : E = 982 177,774 m ; N = 3 155 974,537 m ; H = 108,08 m. Laltitude par rapport au gode vaut H = h ; est la distance entre lellipsode et le gode ; elle vaut environ 8,5 m Antibes (voir 6.1). Laltitude H nest ici quindicative. Ces calculs peuvent tre effectus automatiquement partir du tableau COORDON.XLS du cdrom de louvrage. Remarque Le calcul effectu laide dun tableur permet facilement de voir que la prcision de huit neuf chiffres aprs la virgule sur les angles (en dcimal) est ncessaire pour obtenir le millimtre sur les coordonnes. Un ordre de grandeur intressant mmoriser est que sur la terre, un angle au centre de 1 correspond environ 30 m la surface de la terre (104 correspondent donc environ 3 mm) et que 1 correspond environ 1,8 km.

Reprsentation cylindrique transverse conforme de lellipsode universal tranverse mercator utmReprsentation cylindrique conforme

En reprsentation de Mercator,

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Topographie et Topométrie Modernes Tome 1