Topographie et Topométrie Modernes Tome 2

TABLE DES MATIRES

TOME 2

DENSIFICATION DE CANEVAS

.................................................... 1

TABLISSEMENT DES CANEVAS PLANIMTRIQUES ................................ 1 1.1 Dfinition ..............................................................................................1 1.2 Principe de densification ......................................................................1 1.3 Canevas densemble .............................................................................2 1.4 Canevas polygonal ..............................................................................23 1.5 Charpente planimtrique ....................................................................26 1.6 Contenu dun dossier de canevas ........................................................27 TABLISSEMENT DES CANEVAS ALTIMTRIQUES ................................ 27 2.1 Principe de densification ....................................................................28 2.2 Densit des points prconise .............................................................28 2.3 Mthodes opratoires pour ltablissement du canevas ......................29 2.4 Mthodes de calcul .............................................................................31 LES MTHODES GRAPHIQUES ............................................................... 31 LA MULTILATRATION .......................................................................... 33 4.1 Coordonnes approches par bilatration ...........................................33 4.2 Conventions et dfinitions ..................................................................34 4.3 Exemple de calcul ...............................................................................39 LINTERSECTION ................................................................................... 47 5.1 Dtermination dun point approch partir de deux vises ........................................................................47 5.2 Conventions et dfinitions ..................................................................47

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LE RELVEMENT ................................................................................... 57 6.1 Coordonnes approches a partir de trois vises ................................57 6.2 Conventions et dfinitions ..................................................................57 6.3 Exemple de calcul ...............................................................................63 CAS PARTICULIERS DE RELVEMENT ................................................... 68 7.1 Relvement double avec trois points dappui par station ...................68 7.2 Relvement double avec deux points dappui viss par station .........................................71 7.3 Relvement double sur deux points dappui .......................................75 7.4 Relvement triple ................................................................................81 7.5 Relvement quadruple en forme de cheminement .............................83 7.6 Relvement quadruple en toile .........................................................84 7.7 Relvements multiples formant une boucle ........................................85 7.8 Relvement en trois dimensions sur deux points ................................85 RECOUPEMENT ..................................................................................... 88 8.1 Principe ...............................................................................................88 8.2 Application .........................................................................................90 INSERTION ............................................................................................ 93 9.1 Principe ...............................................................................................93 9.2 Application .........................................................................................94 9.3 Insertion excentre ..............................................................................98 9.4 Application au calcul dune station libre ............................................98 9.5 Rsolution informatique ...................................................................100 OPRATIONS ANNEXES DU CANEVAS DENSEMBLE ............................ 106 10.1 Station excentre .............................................................................106 10.2 Rabattement au sol dun point connu .............................................113 10.3 Adaptation dun canevas local un canevas existant .....................117 REMARQUES CONCERNANT LES TOLRANCES LGALES ..................... 124 ............................................................................. 125

CHEMINEMENTS

CHEMINEMENTS PLANIMTRIQUES .................................................... 125 1.1 Terminologie .....................................................................................126 1.2 Mthodologie des mesures ...............................................................127 1.3 Les angles horizontaux : calculs et compensations ..........................128 1.4 Coordonnes rectangulaires des sommets ........................................134 1.5 Exemples de calcul ...........................................................................143

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1.6 Calcul en retour ................................................................................150 1.7 Cheminements particuliers ...............................................................151 1.8 Fautes en cheminement ....................................................................157

POINT NODAL EN PLANIMTRIE .......................................................... 158 2.1 Dfinition ..........................................................................................158 2.2 Mthode de calcul .............................................................................159 2.3 Exemple de calcul de point nodal .....................................................162

DIVISION DE SURFACES ............................................................. 173

SURFACES DE POLYGONES QUELCONQUES ......................................... 173 1.1 Mesures sur le terrain .......................................................................173 1.2 Mesures sur plan ...............................................................................174 1.3 Dtermination graphique ..................................................................176 DIVISION DE SURFACES ...................................................................... 176 2.1 Limites divisoires passant par un sommet du polygone ...................177 2.2 Limites divisoires passant par un point quelconque .........................179 2.3 Limites partageant un triangle en trois surfaces ...............................179 2.4 Division dun quadrilatre en quatre surfaces gales .......................183 2.5 Limites divisoires parallles un ct ..............................................184 2.6 Limites divisoires parallles une direction donne ........................188 2.7 Limites divisoires perpendiculaires un ct ...................................189 2.8 Limites divisoires dans un lot ..........................................................189 2.9 Limites avec cotes partielles proportionnelles aux cts ..................190 REDRESSEMENT DE LIMITES .............................................................. 194 3.1 Rsolution de triangles .....................................................................195 3.2 Formule de Sarron ............................................................................196 3.3 Rsolution graphique ........................................................................198 ................................................................. 201

DROITES ET CERCLES

INTERSECTION DE DEUX DROITES ...................................................... 201 1.1 Intersection par rsolution de triangle ..............................................201 1.2 Formules de Delambre ......................................................................202 1.3 Droites parallles ..............................................................................203 1.4 Rsolution graphique ........................................................................205 INTERSECTION D'UNE DROITE ET D'UN CERCLE ................................. 206 2.1 partir des quations .......................................................................206

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2.2 Mthode usuelle en topographie .......................................................206

DROITES DFINIES PAR DES POINTS DE TANGENCE ........................... 208 3.1 Droite tangente un cercle ...............................................................208 3.2 Droites tangentes deux cercles .......................................................210 INTERSECTION DE DEUX CERCLES ...................................................... 213 DTERMINATION DUN CERCLE .......................................................... 214 5.1 Cercle dfini par trois points ............................................................214 5.2 Cercle dfini par deux points et la tangente en un des points ...........215 5.3 Cercle passant par deux points et tangent une droite .....................216 5.4 Cercle donn par un rayon, un point et une tangente .......................218 5.5 Cercle dfini par son rayon et deux tangentes ..................................220 5.6 Cercle dfini par un point et deux tangentes ....................................222 5.7 Cercle dfini par trois tangentes .......................................................223 5.8 Cercle dfini par son rayon et deux points .......................................224 5.9 Cercle dfini par deux points et une flche ......................................225 POINT DTERMIN PAR RELVEMENT ............................................... 227 6.1 Dfinition ..........................................................................................227 6.2 Dtermination dun point relev M ..................................................227 6.3 Exemple ............................................................................................230 6.4 Construction graphique dun point relev ........................................230 PROGRAMMATION EN BASIC STANDARD ............................................ 232

OUTILS MATHMATIQUES ........................................................ 233

PRLIMINAIRES .................................................................................. 233 1.1 Les croquis ........................................................................................233 1.2 Le schma gnral de calcul .............................................................233 1.3 La prsentation des calculs ...............................................................233 1.4 La prsentation des rsultats .............................................................234 1.5 La prcision des rsultats ..................................................................234 1.6 Les arrondis ......................................................................................235 1.7 Les contrles .....................................................................................235 1.8 Les constructions gomtriques .......................................................236 1.9 Les conventions littrales .................................................................237 1.10 Linformatique ................................................................................237 TRIGONOMTRIE ................................................................................. 238 2.1 Cercle trigonomtrique .....................................................................238

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2.2 Relations trigonomtriques de base ..................................................239 2.3 Identits remarquables ......................................................................240 2.4 Relations diverses .............................................................................241

PROPRITS DU CERCLE .................................................................... 242 3.1 quation ............................................................................................242 3.2 Arc, flche, corde .............................................................................242 3.3 Thorie des arcs capables .................................................................243 3.4 Puissance dun point par rapport a un cercle ....................................245 3.5 Cercles homothtiques ......................................................................245 RELATIONS DANS LES TRIANGLES ...................................................... 246 4.1 Relations de base ..............................................................................246 4.2 Surface dun triangle ........................................................................249 4.3 Rsolution de triangles .....................................................................252 4.4 Trigonomtrie sphrique ...................................................................258 EXTENSION DE CERTAINES FORMULES AUX POLYGONES ................... 259 5.1 Surface dun quadrilatre ..................................................................259 5.2 Somme des angles internes dun polygone ......................................260 SURFACE DUN POLYGONE QUELCONQUE ........................................... 261 6.1 Les sommets sont connus en coordonnes cartsiennes X,Y ...........261 6.2 Les sommets sont connus en coordonnes polaires .........................262 6.3 Formule de sarron .............................................................................264 6.4 Formule de simpson ..........................................................................266 6.5 Formules complmentaires ...............................................................267 6.6 Rsolution informatique ...................................................................267 CALCULS DE VOLUMES ....................................................................... 270 7.1 Volumes quelconques .......................................................................270 7.2 Formule des trois niveaux .................................................................271 7.3 Formule de la moyenne des bases ....................................................272 7.4 Calcul exact par dcomposition en volumes lmentaires ...............272 7.5 Application .......................................................................................274 7.6 Formules complmentaires ...............................................................276 SYSTMES DE COORDONNES RECTANGULAIRES ET POLAIRES ........ 277 8.1 Transformation de coordonnes dun systme a lautre ...................277 8.2 Changement de repre ......................................................................279 8.3 Rappels sur les matrices ...................................................................286 QUATIONS DE DROITES ..................................................................... 288 9.1 Droite donne par deux points et interpolation linaire ...................288

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9.2 9.3 9.4 9.5

Droite de pente connue, passant par un point ...................................290 Droite perpendiculaire une autre droite .........................................290 Droite parallle une autre droite ....................................................291 Construction graphique ....................................................................291

LES ANGLES : UNITS ET CONVERSIONS ............................................. 293 10.1 Dfinitions ......................................................................................293 10.2 Conversions ....................................................................................294 10.3 Ordres de grandeur .........................................................................295 10.4 Caractristiques dune vise ...........................................................295 CALCULS PAR APPROXIMATIONS SUCCESSIVES ................................ 296 11.1 Utilit de ce mode de calcul ...........................................................296 11.2 Exemple de Rsolution par approximations successives ................297 11.3 Application .....................................................................................300 THORIE DES ERREURS ...................................................................... 302 12.1 Mesures topomtriques : terminologie ...........................................302 12.2 Les erreurs en topomtrie ...............................................................303 12.3 Modle mathmatique ....................................................................306 12.4 Applications ....................................................................................316

ANNEXES ......................................................................................................... 321 OUTIL INFORMATIQUE ......................................................................... 321 BIBLIOGRAPHIE ................................................................................... 329 NOTATIONS USUELLES DE LOUVRAGE................................................. 330

9,

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TABLISSEMENT DES CANEVAS PLANIMTRIQUES

La densit du canevas godsique (environ un point pour 10 km2) est insuffisante pour rattacher les travaux topographiques ncessaires la ralisation dautoroutes, de tunnels, du TGV, au cadastre, au remembrement etc. dune part ; dautre part il se peut que pour certains travaux, la prcision du canevas godsique soit insuffisante. Le topomtre est alors amen asseoir le rseau polygonal quil ralise sur des points dappui judicieusement rpartis qui forment le canevas densemble, canevas rduit mais de prcision homogne. Selon la prcision dsire, le rseau cr est donc rattach au canevas godsique ou indpendant.

Dfinition

Un canevas est un ensemble discret de points judicieusement rpartis sur la surface lever, dont les positions relatives sont dtermines avec une prcision au moins gale celle que loprateur attend du lev. Ces points servent dappui au lever des dtails, implantations, etc. Le canevas sexprime par les coordonnes de ces points dans un mme systme.

Principe de densification

En topomtrie, le principe fondamental consiste aller de lensemble aux dtails .


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Fig. 1.1. : Principe de densification

Canevas densemble

Le canevas densemble est un canevas planimtrique dtermin par des oprations de mesures sur le terrain, matrialis de faon durable par des bornes ou des repres et suffisamment dense pour tayer le rseau sur lequel sappuie le lever de dtails. Le canevas densemble est en gnral appuy sur le rseau godsique ; on distingue :q

q

le canevas densemble ordinaire, dont la tolrance sur lerreur en distance entre deux points est gale 20 cm. Il est parfaitement adapt aux travaux en zones rurales. Pour les travaux cadastraux, le canevas densemble est un canevas ordinaire. Il est donc rare, dans la pratique, de considrer un canevas de prcision si ce nest pour des travaux autres que cadastraux car un matre douvrage peut avoir mis dans le cahier des charges un canevas de prcision ; le canevas densemble de prcision, dont la tolrance sur lerreur en distance entre deux points est gale 4 cm. Il est plutt adapt aux travaux en zones urbaines et priurbaines.

Le canevas est indpendant si la prcision du canevas godsique dappui est insuffisante, mais son orientation et son origine moyenne doivent tre ramenes dans le systme Lambert. Ils doivent satisfaire la gamme de tolrances fixes par larrt du 21 janvier 1980 .

Canevas ordinaire

Le canevas ordinaire est caractris par sa possibilit de densification par points isols. Un tel point est dtermin par les mesures suivantes :q

angulaires : intersection, relvement, recoupement (procds dits de triangulation) ;


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q q

de distances : multilatration (procd de trilatration) ; mixtes : insertion.

Il peut galement tre :q q

un point nodal de cheminements longs cts (voir chap. 2, 2.) ; dtermin par localisation satellitaire (GPS, voir tome 1, chap 7.).

La triangulation

La triangulation est une technique permettant de dterminer les lments dune figure en la dcomposant en triangles adjacents dont loprateur mesure les angles au thodolite, dont il assure les fermetures angulaires et dont un ct au moins est connu ou dtermin. Elle peut avoir deux finalits, savoir :q

q

servir densifier un rseau de triangulation dj existant, par exemple le rseau godsique : cest le cas de canevas densemble. Les mesures angulaires suffisent, mais il est possible damliorer la mise lchelle du rseau de triangulation en mesurant quelques bases ; tre locale : outre la mesure des angles, il faut alors effectuer imprativement la mesure de la longueur dau moins une base du rseau de triangulation.

Par extension du premier type, on appelle triangulation complmentaire une densification du canevas par les procds de lintersection, du relvement ou du recoupement, o loprateur mesure des angles sans assurer la fermeture des triangles.intersection

Un point intersect M est un point non stationn que loprateur vise depuis des points anciens connus en coordonnes A, B, C, D, encore appels points dappui, de manire dterminer les gisements des vises dintersection (fig. 1.2-a.). On ne pourra connatre prcisment ces gisements que si on dtermine les G0 des points dappui. La figure 1.2-a. reprsente la ralisation dune intersection. Toutes les lectures angulaires LA , LB , LC , et LD doivent tre corriges de la correction de rduction la projection, dv (voir tome 1, chap. 2). Les gisements observs sont : GAM obs = Go A + LA GBM obs = Go B + LB GCM obs = Go C + LC GDM obs = Go D + LD

Fig. 1.2-a : Intersection


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Les croquis sont reprsents sur les mappes dobservation trs petite chelle (1/100 000 ou 1/200 000) par les dsignations conventionnelles suivantes :q

q

vise dintersection dsigne par une croix ; points indiqus par leur numro.

Le point M se situe sur chaque demi-droite matrialisant chaque vise : ces demidroites sont les lieux gomtrique de M ; il se situe donc leur intersection.Fig. 1.2-b : Croquis dintersection

Dans ce procd de lintersection, on appelle lieux-droites du point M les demidroites matrialisant les vises.

Deux lieux sont donc ncessaires et suffisants pour dterminer le point M ; en topographie, pour le contrle, une vise supplmentaire est ncessaire et pour que le point M soit dtermin avec scurit, il est conseill deffectuer une quatrime vise : M est donc dtermin par quatre lieux, quel que soit le procd utilis. Dans notre cas, quatre lieux-droites seront ncessaires. Les calculs dune intersection sont dtaills au paragraphe 5.Relvement

Un point relev est un point stationn depuis lequel loprateur effectue un tour dhorizon sur des points anciens connus (fig. 1.3-a.). Loprateur lit les angles suivants : AMB = = LB LA AMC = = LC LA AMD = = LD LAFig. 1.3-a : Relvement

AME = = LE LA

Sur les mappes dobservation, une vise de relvement est reprsente par un cercle (fig. 1.3-b.).


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Loprateur voit larc AB sous un angle ; le point M se situe donc sur un arc de cercle passant par A, M et B : il est appell arc capable AMB ; cest un lieu gomtrique du point M. Deux arcs capables sont donc ncessaires et suffisants pour dterminer par leur intersection le point M. Mais on sait quen topographie quatre lieux sont ncessaires pour le contrle et la scurit. Il faut donc quatre arcs capables. Deux points donnent un arc capable dangle associ . Trois points donnent trois arcs capables dangles associs et ( -). Mais larc AMC, par exemple, passe forcment par lintersection de AMB et BMC : on dit quil est dpendant. Donc trois points donnent seulement deux arcs capables indpendants. On dit que M est un point triple. Il faut donc cinq points pour obtenir quatre arcs capables indpendants cest--dire les quatre lieux indpendants ncessaires.

Fig. 1.3-b : Croquis de relvement

Fig. 1.3-c : Arcs capables

Le tableau suivant donne le nombre de lieux indpendants possibles et le nombre de points triples en fonction du nombre de points dappui.Nombre de points 2 : A et B 3 : A, B et C 4 : A, B, C et D 5 : A, B, C, D et E 6 Nbre de points triples

Nombre darcs 1 : AB 3 : AB, AC et BC 6 : AB, AC, AD, BC, BD et CD 10 : AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE et DE 15

Lieux indpendants 1 : AB 2 : AB et AC par exemple 3 : AB, AC et AD par exemple 4 : AB, AC, AD, AE par exemple 5

Lieux dpendants

1 : BC 3 : BC, BD et CD 6 : BC, BD, BE, CD, CE, DE 10

1 4 10 20

Le nombre darcs est une combinaison de n lments pris deux deux soit : 2 n(n 1) C n = ------------------- . 2


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Le nombre de points triples, intersections de trois arcs capables, est une combinaison de 3 n(n 1)(n 2) n points pris trois trois, cest dire : C n = ------------------------------------ . 6 La construction dun arc capable est dtaille au chapitre 4, paragraphe 6.4. Le calcul dun relvement est dtaill au paragraphe 6.Recoupement

Le recoupement est le procd qui utilise simultanment lintersection et le relvement pour la dtermination dun point. Le point M de la figure 1.4. est dtermin par recoupement partir de trois vises dintersection et trois vises de relvement. Pour obtenir les quatre lieux ncessaires, il faut au minimum soit : Fig. 1.4. : Croquis de recoupemet une vise dintersection et quatre de relq vement soit 1 + 3 = 4 lieux indpendants ; deux vises dintersection et trois de relvement soit 2 + 2 = 4 lieux indpendants ; trois vises dintersection et deux de relvement soit 3 + 1 = 4 lieux indpendants.q

q q

Le recoupement est pratique quand les points dappui sont peu nombreux et stationnables. Le calcul dun recoupement est dtaill au paragraphe 8.

Trilatration

Le procd utilis est la multilatration. On observe les distances sur au moins quatre points loigns correctement rpartis ; les distances doivent tre homognes et les points situs dans les quatre quadrants, si possible autour du point nouveau dterminer (point M, fig. 1.5-a.). Le point M de la figure 1.5-b. est dtermin partir de quatre mesures de distance DAMobs, DBMobs, DCMobs, DDMobs sur quatre points anciens connus.


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Fig. 1.5-a. : Multilatration

Fig. 1.5-b. : Croquis de multilatration

Les distances doivent tre rduites au plan de projection (voir tome 1, chap. 4., 7.). Les lieux sont ici des cercles centrs sur les points connus et dont les rayons sont les distances mesures rduites. Deux cercles sont ncessaires et suffisants pour dterminer le point M, mais il faut quatre lieux, donc quatre cercles, cest--dire quatre points anciens connus. Les distances mesures sont indiques par un trait perpendiculaire la vise. Le calcul dune multilatration est dtaill au paragraphe 4.

Insertion

Linsertion est un procd qui utilise lintersection, le relvement et la multilatration pour la dtermination dun point.

Fig. 1.6-a. : Quatre vises de relvement, deux dintersection et deux de multilatration (six lieux)

Fig. 1.6-b. : Deux vises dintersection, deux de relvement, deux de multilatration (Cinq lieux)


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On note :q q q

I une vise dintersection ; R une vise de relvement ; M une vise de multilatration.

Les combinaisons suivantes permettent dobtenir les quatres lieux ncessaires :q q q

1 x I + 3 x R + 1 x M = 1 + 2 + 1 = 4 lieux 1 x I + 2 x R + 2 x M = 1 + 1 + 2 = 4 lieux 2 x I + 2 x R + 1 x M = 2 + 1 + 1 = 4 lieux

Ces combinaisons ne sont donnes qu titre dexemples, car il parat vident que si une mesure de distance est possible sur un nouveau point, une vise dintersection lest aussi ; donc il y a autant de vises dintersection que de multilatrations. Linsertion prsente lintrt dtre oprationnelle avec un petit nombre de points dappui stationnables. Le calcul dune insertion est dtaill au paragraphe 9.

Point nodal, intersection dau moins trois cheminements longs cts

Cette mthode permet de remplacer les mthodes prcdentes quand la nature du terrain interdit la ralisation dun rseau de triangles. Seuls les points nodaux, dfinis comme les points de rencontre dau moins trois cheminements longs cts, remplacent les points du canevas que lon aurait dtermins par triangulation ou trilatration.

Fig. 1.7. : Trois cheminements aboutissant un point nodal

Les points A, B et C de (fig. 1.7.) sont connus et stationnables. PN est le point nodal.


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1, 2, 3, etc. sont des points intermdiaires. Les cts des cheminements ont une longueur de 500 m sans tre infrieurs 200 m. Le calcul dun point nodal est dtaill dans le chapitre 2 au paragraphe 2.

Canevas tabli par localisation satellitaire (rseau GPS)

La densification du canevas godsique seffectue de plus en plus par GPS (voir tome 1, chap. 7., 1.), surtout depuis que le nouveau Rseau Godsique Franais (RGF, voir tome 1, chap. 2., 5.) commence tre diffus par lIGN.

Oprations annexes de rattachement

Les procds classiques de dtermination de points de canevas sont subordonns lintervisibilit, contrairement au GPS, et il est rare que loprateur puisse tout observer dun ou sur un point cause de la prsence de masques : arbres, immeubles, relief, etc. do la ncessit de sexcentrer par rapport au point de station. Dune manire gnrale, en dehors des procds tudis prcdemment, la dtermination dun point nouveau du canevas densemble par rapport un ou plusieurs autres sappelle rattachement.

Rattachement simple

Le rattachement simple est une opration annexe du canevas densemble qui consiste dterminer, au voisinage dun repre A connu en coordonnes rectangulaires, les coordonnes dun point M qui prsente de plus grandes facilits dutilisation ou de meilleures chances de conservation. Cette opration seffectue gnralement par rayonnement planimtrique. Par exemple, B et C (fig. 1.8.) sont des points loigns connus. Loprateur stationne le point A connu o lon dtermine un G0 de station . Si LM est la lecture sur le point M, on peut crire : GAM = G0 + LM. La lecture de LM au mgon suffit puisque la distance LM ne dpasse pas 100 m ; or 1 mgon correspond un dplacement de 1,57 mm lextrmit dune vise de 100 m. Puis on mesure la distance AM : DhAM. On en dduit : EM = EA + DhAM . sinGAM NM = NA + DhAM . cosGAMFig. 1.8. : Rattachement


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En gnral, pour plus de sret, on double la mesure des observations (angle et distance). Par exemple, dans le cas dun tour dhorizon au point A, on effectue la lecture sur le point M la fin de deux squences. On peut rencontrer ce cas lors du relvement dun point nouveau P ; le point connu A nest pas visible mais un point M proximit muni dune balise est visible de P.

Station excentre

En travaux de canevas, il arrive souvent que les observations angulaires ne puissent tre effectues directement du point connu ou dterminer appel repre ou signal R. Loprateur effectue donc les observations partir dune station S situe proximit du repre R, gnralement une courte distance de celui-ci. Le calcul du paragraphe 10.1. permet de dterminer les corrections apporter aux lments observs la station excentre S pour ramener les observations ce quelles auraient t si lon avait stationn le repre R.

Fig. 1.9-a. : Excentrement

Remarqueq

On peut rencontrer ce cas lors de vises dintersection sur un point M inconnu (fig. 1.9-b.) si tous les points connus autour du repre R et ncessaires au calcul du GoR ne sont visibles que du signal S situ quelques mtres de R.

Fig. 1.9-b. : S, point servant lexcentrement du repre R


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q

Dun point R relever, seules deux ou trois vises sur points connus sont possibles ; en revanche, dautres vises sont ralisables dun point voisin S : B, C, D. Il est souhaitable (voir calculs au paragraphe 10.1.) quun point commun E soit visible (fig. 1.9-c.). On utilise une station excentre S visible depuis le repre R. Fig. 1.9-c. : R relev sur A, B, C, D et E Depuis le point S on voit les points manquants (A, B, C ,D dans le premier cas, B, C, D dans le second). La connaissance de la distance dexcentrement RS et des distances entre le point R et les points connus J permettra de rsoudre les triangles JSR et den dduire les vises que lon aurait d faire de R sur les points J : c'est la rduction au repre R.: recoupement excentr

Application

La station de relvement MR (en gnral une borne) est place dans le voisinage immdiat du signal intersect MI, une balise en gnral, lequel par exemple nest pas stationnable. On revient au calcul prcdent (station excentre) cest--dire quon lon rduit les observations de la station MR au signal MI intersect aprs avoir dtermin les lments de lexcentrement : le rayon r et la lecture azimutale LR. Pour que le calcul soit ralisable il faut que MI soit connu pour calFig. 1.10. : Recoupement excentr culer les distances MIJ : on dtermine les coordonnes du point approch M0I partir de deux vises dintersection. On dmontre dans le calcul de la station excentre au paragraphe 10.1.3. quil est suffisant de connatre les distances au mtre prs ; la connaissance des coordonnes approches suffit donc.

Rabattement dun point au sol

Ce cas se prsente lors dun rabattement dun point lev : pylne, antenne, clocher, chteau deau, etc. souvent non stationnable. Le point rabattu peut servir ensuite de point de dpart llaboration dun canevas. 1 - Sil est stationnable, cas dune terrasse par exemple, loprateur procde comme pour un rattachement, la distance incline tant mesurable. 2 - Sil est inaccessible (fig. 1.11-a.), loprateur construit deux bases (AB et BC) au sol sensiblement gales formant avec le point inaccessible visible R deux triangles peu prs


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quilatraux. De lun des trois points au sol, il faut ncessairement viser un point connu loign P. De ce mme point ou de lun des deux autres, il est intressant de pouvoir viser un deuxime point connu loign Q, de manire apporter une vrification au calcul et dterminer le gisement moyen de lun des cts RA , RB ou RC (voir paragraphe 10.2. pour le calcul).

Fig. 1.11-a. : Rabattement dun point

Si lemplacement est rduit, on peut construire les deux triangles accols du mme ct de RA (fig. 1.11-b.).

Fig. 1.11-b. : Triangles accols

Canevas de prcision

Ce canevas tant plus prcis que le canevas ordinaire, il est soumis des tolrances plus strictes. Les mthodes relatives au canevas ordinaire dcrites aux paragraphes prcdents (1.3.1. et 1.3.2.) sont applicables en canevas de prcision.


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Si le rseau godsique local est dune prcision insuffisante, le topomtre cre son propre rseau indpendant, constitu de figures simples composes de triangles juxtaposs les plus quilatraux possibles et tels quaucun angle ne soit infrieur 40 gon. Nous supposerons les triangles suffisamment petits pour que lon puisse ngliger leur excs sphrique et la zone triangule suffisamment restreinte pour quil ne soit pas ncessaire dutiliser un systme de projection. En effet, le problme de la triangulation dune vaste zone fait partie de la godsie. Le rseau se compose gnralement de figures simples ou de rseaux de figures simples ; les coordonnes des sommets de ces figures sont dtermines aprs avoir mesur avec une grande prcision, la totalit des angles ainsi que la longueur et lorientation dun ou de deux cts appels bases. La fermeture de la somme des angles des triangles et laccord des bases sont soumis des tolrances indiques sur larrt interministriel de 1980. Examinons quatre cas classiques de triangulation, savoir :q q q q

une chane de triangles accols ; un polygone point central ; un quadrilatre ; la mesure et lorientation d'une base.

Chane de triangles

Deux bases sont ncessaires (fig. 1.12.) sil y a plus de cinq triangles, ce qui permet laccord des bases , soumis tolrance. Les angles de tous les triangles sont observs et la fermeture de chaque triangle est soumise tolrance.

Fig. 1.12. : Chane de triangles

Ces chanes sont parfaitement adaptes pour des travaux en longueur (rseaux de communication).


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Polygone point central

Si le polygone est complet, nimporte quel ct peut servir de base, (par exemple le ct OA, fig. 1.13.). Les angles des triangles sont observs et la fermeture soumise tolrance. Si le point central nest pas stationnable, un clocher par exemple, les angles en ce point sont dit conclus cest--dire calculs par diffrence 200 gon de la somme des deux angles mesurs dans chaque triangle. Si le polygone est incomplet (fig. 1.13. droite), il faut mesurer deux bases et langle quelles forment au point central. Ces figures sont mieux adaptes un lever en surface .

Fig. 1.13. : Polygones

Quadrilatre deux diagonales

Il est assimil un polygone point central complet dont les angles en I sont conclus. La base AB est mesure ; en chaque sommet A, B, C, D, les deux angles que forment respectivement la diagonale avec les deux cts du quadrilatre sont observs. Huit angles sont donc mesurs.Fig. 1.14. : Quadrilatre

Mesure et orientation dune base

Le ct AB choisi pour base est mesur directement laide dun distancemtre au minimum par deux mesures indpendantes, intervalle de temps de six heures ; lcart entre les deux valeurs doit tre infrieur la tolrance, gale : Tcm = 3 + Lkm . Si la porte du distancemtre est insuffisante, il faut mesurer une base CD plus courte formant, avec le ct cherch AB, les diagonales dun quadrilatre dont les angles sont dtermins avec prcision (fig. 1.15-a.).


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D

D

Fig. 1.15-a. : Base

Fig. 1.15-b. : Base amplifie

Si ncessaire une seconde amplification peut tre effectue (fig. 1.15-b.). De simples rsolutions de triangles fournissent alors le ct cherch. Lorientation dune base (ncessaire dans le cas dune triangulation locale) est ralise en stationnant lextrmit de la base avec un thodolite : on dtermine son azimut par une vise astronomique sur le soleil ou de prfrence sur la polaire.

Mthodes de calcul

Les rsultats devant tre obligatoirement compatibles avec les tolrances, des mthodes de calcul simposent en fonction de la prcision du canevas. Remarque Les calculs de dtermination des coordonnes de points observs par GPS sont dtaills au chapitre 7 du tome 1.

En canevas densemble de prcision

Tous les points sont calculs en bloc et compenss par la mthode des moindres carrs laide de logiciels : le calcul matriciel fait intervenir lensemble des mesures. Lorsque le rseau godsique nest pas assez prcis, on fait cohabiter deux systmes de coordonnes, savoir :q

un systme indpendant qui, ramen en systme Lambert moyen, garde sa prcision ; un systme adapt : on adapte le canevas existant au canevas godsique national. La mthode la plus employe est la transformation de Helmert (voir 10.3.), le nombre de points godsiques devant tre suprieur deux.

q


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En canevas densemble ordinaire

Le canevas ordinaire est caractris par sa possibilit de densification par points isols ou point par point ; le calcul point par point est un calcul enchan cest--dire que les coordonnes dun point ne pourront tre calcules que si les observations sont effectues sur ou depuis des points connus : ainsi le premier ne peut sappuyer que sur des points anciens (points godsiques par exemple) ; ce premier point devient donc un point ancien pour les suivants et ainsi de suite. Rien nempche de calculer plusieurs points isols en bloc ; mais si lon considre le point pris sparment, ses coordonnes sont dtermines par la mthode graphique ou mthode de Hatt (tudie en dtail dans la suite de ce chapitre). Remarque Les moyens informatiques actuels permettent le calcul en bloc et la compensation par la mthode des moindres carrs ; le calcul tient compte de toutes les observations simultanment donc loprateur ne se proccupe pas dun ordre quelconque de calcul. Il en dcoule que le mode de calcul envisag influe au pralable sur la mappe des observations (voir 1.3.5.1.).

Cheminement longs cts

Les mthodes de calcul sont exposes au paragraphe 1 du chapitre 2.

Mthodes opratoires pour ltablissement du canevas

Les mthodes opratoires pour ltablissement dun canevas observ par GPS sont dtailles au chapitre 7 du tome 1.

tude

Techniques prparatoires dun projet laide de cartes et de photographies ariennes

Pour lexcution de la mission qui lui est confie, le gomtre dispose des lments suivants :q q q q

une copie de larrt douverture des travaux ; une carte au 1/50 000 ; une carte au 1/25 000 ; une liste des coordonnes des points godsiques et des sommets des triangulations cadastrales susceptibles dtre utiliss comme points dappui, accompagne de leur fiche signaltique.

Sur cartes, aprs avoir dfini le primtre des oprations, le gomtre trace les lignes caractristiques du terrain : lignes de crtes en rouge, lignes de talwegs en bleu ; puis il


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choisit sur la carte lemplacement des points du CEO (canevas densemble ordinaire) en respectant la densit impose :q

q

le CEO tant plutt adapt aux zones rurales, la densit est gnralement denviron un point par km2 ou un point pour 100 ha ; le CEP tant plutt adapt aux zones urbaines ou priurbaines, il est prconis deux quatre points par km2 en zone urbaine et environ deux points par km2 en zone priurbaine.

Le choix est effectu aussi en fonction des diffrentes techniques possibles que sont les procds de triangulation et de trilatration, linsertion et les cheminements longs cts : dans une zone de plaine, on adopte plutt les cheminements longs cts pour dterminer les points nodaux qui sont les points du canevas ; en revanche, dans une zone plus vallonne, la triangulation et la trilatration sont des mthodes plus efficaces. Puis le gomtre tablit la mappe des observations :q q

en traant les cheminements dans le premier cas ; en schmatisant les vises avec leur symbole dans le second cas.

Dans le second cas, il faut songer aux calculs futurs. En effet, sil choisit deffectuer un calcul point par point, il faut choisir un premier point appuy uniquement sur des repres godsiques ; le deuxime peut sappuyer sur le premier et dautres points godsiques, etc. : on dit que le calcul est enchan. Lordre est trs important et les vises doivent tre suffisantes et correctement rparties pour une dtermination satisfaisante des points. En revanche, si le gomtre prvoit un calcul en bloc, lordre na pas dimportance.Reconnaissance

et tablissement du projet

La reconnaissance sur le terrain a pour objet de fixer lemplacement des sommets et de choisir les vises quil y a lieu deffectuer pour obtenir une dtermination satisfaisante de ces sommets ; limplantation des points se traduit par ltablissement du projet. Loprateur vrifie lexistence des points anciens et il sassure quils nont pas boug. Les points sont matrialiss de faon durable laide de bornes graves sur leur sommet, par exemple. Ils peuvent tre galement des massifs en bton dans lesquels est prvue une rservation permettant la mise en place dune balise (fig. 1.16.) ; ces points peuvent ainsi tre stationns et relevs. La balise est un tube mtallique ou en PVC dune hauteur de 1,50 2,00 m environ (fig. 1.16.).

Fig. 1.16. : Balise


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Ils peuvent tre aussi des repres fixs sur des terrasses de btiment, des antennes, des clochers, des sommets de pylnes, etc. Ils sont numrots et reprs par trois ou quatre repres auxiliaires laide de croquis cots permettant le rtablissement des points dtruits sans observations nouvelles.Numrotation

des points du canevas

Chaque gomtre a sa propre faon de numroter les stations de canevas ; le cahier des charges peut nanmoins imposer la numrotation. Pour un chantier donn, aucun numro identique ne doit apparatre pour plusieurs sommets. Ils doivent tous tre distincts selon la nature du canevas laquelle ils appartiennent ; le tableau ci-aprs donne un exemple de numrotation :Prcision Triangulation et Trilatration (de 5 en 5) Excentrements, rabattements, etc. Cheminements principaux* Points nodaux principaux* Cheminements secondaires* Points nodaux secondaires* 1 495 une unit de plus que le point connu, 256 par exemple 500 999 NP 1000 NP 1099 1100 1599 NS 1600 NS 1699 Ordinaire 5000 5495 idem 5316 par exemple 5500 5999 NP 6000 NP 6099 6100 6599 NS 6600 NS 6699 200 399 1 199 N des cheminements

* Voir les dfinitions au paragraphe 1.4.1.1.Fiches

signaltiques des sommets

Loprateur tablit pour tous les sommets une fiche signaltique, qui comprend :q

q q

dune part des renseignements concernant la nature du point, le propritaire de llot de proprit o est implante la borne et les rfrences cadastrales ; les coordonnes du point et la zone Lambert de rattachement ; dautre part, trois croquis : le croquis de situation, qui a pour objet de permettre toute personne nayant pas particip aux travaux de retrouver rapidement lemplacement approximatif de la borne partir dun dtail caractristique du terrain ou de la carte : donnez au moins trois cotes par rapport des points durs facilement reprables ; le croquis visuel est une vue perspective schmatique du point ; le croquis de reprage, qui permet de retrouver le repre souterrain dune borne disparue et de la rimplanter sa position exacte. Ce croquis nest tabli que sil existe dans un rayon dune cinquantaine de mtres des dtails fixes et durables. Les


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cotes figurant sur ce croquis doivent tre releves avec prcision et pouvoir tre appliques sur le terrain malgr la disparition ventuelle de la borne. La fiche signaltique suivante est issue de la triangulation complmentaire de Biot (06).

Dpartement des Alpes-Maritimes Mairie de BIOT (Service de lurbanisme) Rfrences cadastrales Commune : BIOT Lieu-dit : Pin Montard Section : AA Numro : 2 Propritaire : Commune de BIOT Vises de rfrence Matricule

FICHE SIGNALTIQUE tablie en juillet 1990 Caractristiques du point N : 1035 Nature : borne en bton E = 981 495,39 m N = 159 086,11 m H = 119,6 (sur bton) + 26 cm sur la tige Rseau de rattachement : Planimtrie : Lambert III Altimtrie : NGF Visuel (croquis ou photo)

Gisement (gon)

Centre Hlio Marin (ou IGN 35a).............221,5500 1034..........................232,0822

Croquis de reprage

Plan de situation (carte IGN)

Mesures sur le terrain

Il convient de choisir le matriel et la mthodologie adquats pour respecter les tolrances lgales imposes. En canevas ordinaire, on prconise les recommandations du tableau suivant :


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Triangulation Types dappareils La tolrance angulaire sur une direction a t dtermine partir de travaux rel ; elle vaut 1,5 mgon pour une paire de squences soit un cart type de 15 2/ ( 2,66 ) = 8 dmgon pour une vise. Un thodolite au dmgon (type T2) est ncessaire. Mesures sur le terrain Angles horizontaux.

Trilatration Thodolites au dmgon et distancemtre. (Type T 2002 + DI 1000). Tachomtre lectronique au dmgon (Type TC 2002).

Cheminements longs cots Thodolites au dmgon et distancemtre. Tachomtre lectronique au dmgon (Type TC 2002).

Angles znithaux. Distances inclines.

Angles horizontaux. Angles znithaux. Distances inclines. seuls les points nodaux sont des points du canevas densemble ; cts suprieurs 500 m en moyenne ; aucun cot ne doit tre infrieur 200 m centrage forc(2) ; 2 paires de squences ; 1 point. Comme la triangulation et la trilatration ; si le nombre de cts est suprieur 6, un contrle de lorientation sur points connus loigns dont T(x) = 20 cm est ncessaire.

Modes opratoires 4 vises dintersection ou 5 de relvement ou 2 dintersection + 3 de relvement (recoupement) ; vises bien rparties de 3 km de moyenne ; 2 paires de squences (0-100,50-150) ; 1 point. Contrle sur le terrain fermeture de chaque squence : Tmgon = 2,8 mgon cart des lectures : Tmgon = 1,3 mgon cart sur rfrence : Tmgon = 0,8 mgon(1) (2)

au minimum 4 vises bien rparties; vise moyenne de 3 km si possible ; mesurage indpendant de chaque distance(1).

tolrance de mesurage sur chaque distance : Tcm = (3 + Lkm)

Mesurages indpendants : remise en station de lappareil entre deux mesures de la distance. Le centrage forc est utilis dans la mthode dite des trois trpieds (fig. 1.17.).

La mthode des trois trpieds cite dans le tableau prcdent, est mise en uvre comme suit :q

q

q

le thodolite est en station i (fig. 1.17.), les voyants aux sommets i1 et i+1 sont placs dans des embases centrage forc ; on mesure langle au sommet i ; le voyant i1 vient dans lembase du thodolite en i, le trpied et son embase en i1 sont mis en station au sommet i+2 et le voyant i+1 y est plac ; le thodolite va dans lembase i+1, on mesure langle au sommet i+1, etc.

Les erreurs de centrage sont ainsi rduites au minimum.


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Fig. 1.17. : Mthode des trois trpieds

Lutilisation du centrage forc se justifie ainsi : Larrt ministriel du 20 Janvier 1980 impose une tolrance sur un angle du cheminement de 1,4 mgon, soit 1 mgon sur une direction aussi bien en canevas ordinaire que de prcision ; lcart type correspondant est 1 mgon / 2,66 0,4 mgon. Pour une vise de lordre de 500 m, la prcision de centrage c (fig. 1.18.) doit tre de : c = 1,57 x 0,500 x 0,4 3 mm (en utilisant la sensibilit, voir 5.2.5.). Le centrage doit tre ralis avec une prcision de 3 / 2 mm, soit 2 mm environ en considrant que les carts de centrage de lappareil c1 et du rflecteur c2 sont gaux c = c 1 + c 2 . Cette prcision est difficile obtenir sans centrage forc.2 2

Embase Wild : Centrage forc

Fig. 1.18. : Justification du centrage forc


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En canevas de prcision, il est prconis :Triangulation Types dappareils La tolrance angulaire sur une direction a t dtermine partir de travaux rel et vaut 1,16 mgon pour une paire de squences, soit un cart type de 11, 6 2/ ( 2, 66 ) = 6 dmgon pour une vise. Un thodolite au dmgon (type T2) est ncessaire. Mesures sur le terrain Angles horizontaux Angles znithaux. Distances inclines. Angles horizontaux. Angles znithaux. Distances inclines. Seuls les points nodaux sont des points du canevas densemble ; 6 cts au maximum et suprieurs 500 m en moyenne ; aucun ct ne doit tre infrieur 200 m ; centrage forc ; 4 paires de squences. 2 points. Comme la triangulation et la trilatration. Thodolites au dmgon et distancemtre. (Type T 2002 + DI 1000) Tachomtre lectronique au dmgon (type TC 2002). Thodolites au dmgon et distancemtre. Tachomtre lectronique au dmgon (type TC 2002). Trilatration Cheminements longs cots.

Modes opratoires 4 vises dintersection ou 5 de relvement ou 2 dintersection + 3 de relvement (recoupement) ; vises bien rparties de 1,5 km de moyenne ; 4 paires de squences : (0-100, 50-150, 25-125 ,75-175) ; 2 points. Contrle sur le terrain fermeture de chaque squence : Tmgon = 1,5 mgon cart des lectures : Tmgon = 1,2 mgon cart sur rfrence : Tmgon = 0,7 mgon tolrance de mesurage sur chaque distance : Tcm = (3 + Lkm). 4 vises au minimum bien rparties ; vise moyenne de 3 km si possible ; double mesurage indpendant de chaque distance.

Tenue des carnets dobservations La saisie des donnes est la phase la plus importante ; les carnets dobservation doivent tre facilement exploitables. cet effet, ils doivent prsenter :q q q

la date et lheure, le nom de loprateur, le numro du carnet,


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q q q q

le type et le numro de lappareil, la visibilit, la temprature et la pression, la hauteur de laxe des tourillons dans certains cas.

Et loprateur doit faire apparatre :q q q q

la fermeture angulaire de chaque squence, les carts des lectures, les carts sur la rfrence, lcart entre deux mesurages indpendants des distances.

Canevas polygonal

Le canevas polygonal est une suite de cheminements en gnral encadrs appuys sur le canevas densemble ; ils constituent un trait dunion entre le canevas densemble et le lever de dtails. Les calculs sont dtaills dans le chapitre 2. Comme en canevas densemble, on distingue :q

q

les canevas polygonaux ordinaires plutt adapts aux zones rurales dont la densit des points dterminer est environ dune trentaine au km2 dans les conditions les plus dfavorables ; les canevas polygonaux de prcision plutt adapts aux besoins des villes et dont la densit des points est environ dune quarantaine au km2 en zone priurbaine, et est dune soixantaine au km2 en zone urbaine, dans les conditions les plus dfavorables 1.

Mthodes opratoires dtablissement du canevas polygonaltablissement dun avant-projet

Un avant-projet est ralis sur carte ou sur plan ; le canevas est constitu de cheminements encadrs et de points nodaux. On a lhabitude :q q

dviter les antennes ; de les rendre le plus tendus possible, cest--dire se rapprochant de la droite qui joint lorigine lextrmit et qui reprsente la direction gnrale du cheminement ; toutefois un cheminement inflchi prsente moins dinconvnients quun cheminement cts courts ;Les instruments modernes (tachomtres lectroniques et talkie-walkies) favorisent la limitation des stations par laugmentation des portes, donc une diminution de la densit prconise ci-dessus.

1


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q

davoir des cts homognes, les distances des cts devant tre sensiblement les mmes ; limiter le nombre de cts une dizaine environ.

Remarque Du fait quon vrifie la fermeture planimtrique fp = fx + fy = fl + fd et non chaque composante (longitudinale et transversale), et du fait de la gnralisation des calculs en blocs, le respect du caractre tendu du cheminement nest plus impratif. Dans ces conditions, un cheminement parfaitement tendu na aucune raison dtre plus prcis quun cheminement inflchi.2 2 2 2

1700

1701

7

3052

350

Fig. 1.19. : Canevas polygonal

Les cheminements doivent tre proches des dtails lever ; les sommets successifs sont implants de manire tre visibles lun de lautre et permettre dapercevoir le maximum de points de dtails ; il faut donc viter de placer un sommet prs dun obstacle crant un angle mort. Pour respecter au mieux les caractristiques du terrain (emplacement des points de canevas densemble, voies de communications, etc.), et pour fixer lordre chronologique des calculs, il est prfrable que le topomtre distingue (fig. 1.19.) :q

q

q

les cheminements principaux qui relient les points du canevas densemble ou encore un de ces points avec un point nodal principal ; les cheminements secondaires, cest--dire tous les autres, qui sappuient sur les premiers et sont donc calculs dans une seconde phase ; les points nodaux principaux ou secondaires.


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La distinction entre cheminements principaux et secondaires permet de dfinir clairement lordre chronologique des calculs des cheminements mais il est sans objet au regard des tolrances puisque tous les points doivent avoir une mme prcision. Sur le projet de canevas, doivent figurer les cheminements avec leur sens de calcul et les points nodaux ; les cheminements principaux sont tracs en rouge, les secondaires en bleu.

Numrotation des points du canevasPrcision 1700 3399 3400 3499 3500 4399 4400 4499 4500 4599 partir de 10000 Ordinaire 6700 8399 8400 8499 8500 9399 9400 9499 9500 9599 900 999 700 899 N des cheminements 400 699

Exemple de numrotation des points dun canevas Cheminements principaux Points nodaux principaux Cheminements secondaires Points nodaux secondaires Antennes (points lancs) Points de dtails (lever)

Lorsque les calculs de compensation sont effectus en bloc par les moindres carrs, la hirarchie des observations et des calculs expose ci-dessus na plus lieu dtre.

Reprage et matrialisation

Un croquis de reprage doit tre effectu de sorte que le point puisse tre rimplant sans ambigut en cas de disparition. Le sommet doit tre cot par rapport trois lments stables, prcis et durables : angle de btiment, lampadaire ou pylne, angle dune plaque deau, EDF, etc. Il faut viter les cotes sur les routes, et les cotes suprieures la longueur du ruban, bien que celles-ci puissent tre prises au distancemtre lors des observations. Le croquis doit comporter en plus :q q

q

la nature du point ; sa situation sans quivoque (lieu-dit, nom de la rue et numro de lhabitation la plus proche par exemple) ; les directions des sommets voisins.

Toute une gamme de matriel est la disposition du gomtre ; suivant le type de sol, on peut citer :q q q

des piquets en bois ou en acier (40 cm de long environ) enfoncs refus ; des bornes ancrage ; une borne en bton coul en place (cube de 40 cm darte environ) ; des tirefonds, spits et rondelles, etc.


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tablissement dun avant-projet de canevas polygonal

Pour ltablissement dun avant-projet de canevas polygonal, sont prconiss :Canevas ordinaire Types dappareils thodolite dcart-type 1 mgon(1) ; ruban possible ; thodolite au mgon et distancemtre ou tachomtre lectronique. Mesures sur le terrain Angles horizontaux, angles znithaux et distances inclines. Modes opratoires centrage ordinaire(2) ; 1 paire de squences : 0,100 ; 1 point ; 1 mesure directe et 1 mesure inverse des distances. Contrle sur le terrain Mise en vidence de lerreur dindex. mise en vidence de lerreur dindex ; en prsence de 2 paires, les vrifications de la fermeturedes squences, de lcart des lectures et de lcart sur la rfrence sont ncessaires ; si le nombre de cts du cheminement est suprieur 6, le contrle de lorientation sur des points loigns dont T(x) = 4 cm est souhaitable. centrage forc ; 1 ou 2 paires de squences ; 2 points ; 2 mesures directes et 2 mesures inverses des distances. Angles horizontaux, angles znithaux et distances inclines. thodolite dcart-type 0,5 mgon et distancemtre(1) ; ou tachomtre lectronique au dmgon. (Type TC 2002) Canevas de prcision

(1)

Les tolrances lgales sur les angles du cheminement sont de 6 mgon et 10 mgon respectivement en canevas polygonal de prcision et ordinaire soit des carts types sur une direction de 6 / 2,66 / 1,6 mgon et 10 / 2,66 / 2 2,7 mgon. 2

(2)

En canevas ordinaire, le centrage forc est recommand pour des cts du cheminement infrieurs 80 m environ. En effet, si on suppose des carts de centrage ordinaire de lappareil et du rflecteur de 3 mm (ce qui est dj correct), on obtient une imprcision angulaire sur la direction de 0, 3 + 0, 3 / (1,57 x 0,08) 3,4 mgon suprieure 2,7 mgon (voir fig. 1.18.).2 2

Charpente planimtrique

La charpente planimtrique est un canevas particulier tabli essentiellement en zone urbaine et priurbaine dont les points sont implants sur des faades permettant aux utilisateurs dy appuyer, laide doprations topographiques simples, tous les levers ponctuels quils ont effectuer. Ils sont situs sur les faades si possible une hauteur constante et permettant deffectuer pratiquement lhorizontale des vises de nivellement. La densit est de lordre de 40 70 points par kilomtre de corps de rue.


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Les points sont matrialiss par des plaques de reprage, par des clous plants dans les faades, par des gravures ou simplement identifis par la fiche signaltique. Ils sont dtermins par rayonnement (cas le plus frquent) ou intersection (angles et distances) en une paire de squence avec deux points sur chaque vise et un double mesurage indpendant des distances. Les coordonnes sont obtenues par calcul simple selon le mode de mesure (rayonnement ou intersection) partir du canevas de base.

Contenu dun dossier de canevas

Les lments composant le dossier de canevas densemble et polygonal sont lists ciaprs :q q q q q q

un schma dfinitif du canevas dress sur fond de plan ; un tableau rcapitulatif des coordonnes des points nouveaux ; un croquis de reprage ; un carnet dobservation ; une liste aprs traitement des saisies ; un tat des calculs des coordonnes de chaque point.

TABLISSEMENT DES CANEVAS ALTIMTRIQUES

Le canevas altimtrique est un ensemble de repres dtermins en altitudes normales par nivellement direct ou indirect. Si la densit des repres du rseau national IGN 69 est insuffisante, de nouveaux points sont crs. En effet, reprenons lexemple du quart sud-est de la feuille au 1/50 000 de Grasse (voir tome 1, chap. 2, 6.5., fig. 2.52.). On remarque quil nexiste des points IGN 69 que le long de la ligne de chemin de fer Marseille - Vintimille, points du premier ordre I.M le long de la D.35 Antibes Grasse, points du troisime ordre I.c.a3s3 tous les 400 800 m environ, et quelques points du quatrime ordre Ma.k3 dans le cur dAntibes. On remarque que de nouvelles zones trs urbanises, en particulier autour de Vallauris, de Sophia-Antipolis sur les communes de Valbonne et Biot, ne possdent aucun repre. On est donc amen dans de telles zones densifier le rseau altimtrique national IGN 69. Le nombre doprations enchanes tant considrable, il est indispensable doprer de manire viter une trop grande accumulation des erreurs. Il faut donc, comme en planimtrie, dcomposer le canevas altimtrique en diffrents ordres de prcisions dgressives.


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Principe de densification

Nous exposons ci-aprs les mthodes et les techniques de ralisation des canevas utilises par les Services techniques des grandes villes de France. Il existe trois sortes de canevas dcrits ci-aprs.

Canevas altimtrique densemble

Les repres sont dfinis par lInstitut Gographique National et appartiennent au rseau IGN 69. Ils sont en gnral implants sur des difices publics : mairies, gares, glises, sur des ponts, rarement sur des immeubles privs. Dans le cas dune densit insuffisante, cest--dire infrieure quatre points au km2, de nouveaux points sont crs pour atteindre une densit de quatre huit points au km2. Les points sont tablis par un nivellement de haute prcision avec des niveaux de trs haute prcision comme le Wild N3.

Canevas altimtrique

Il densifie le canevas prcdent par des repres scells tous les 200 500 m environ suivant les zones. Les points sont tablis par un nivellement de haute prcision avec des niveaux de prcision comme le NA2 avec micromtre.

Charpente altimtrique

Il sagit en gnral des points de la charpente planimtrique dont on a dtermin laltitude partir des repres du canevas altimtrique ; ces points ont une densit de 40 70 points par km de voie. Ils sont tablis par un nivellement direct ou indirect.

Densit de points prconise

Le tableau suivant donne des valeurs indicatives de densit de points respecter.Canevas altimtrique densemble Zone urbaine priurbaine rurale points par km2 48 4 2 Canevas altimtrique points par km de voie 5 (tous les 200 m) 3 (tous les 350 m) 2 (tous les 500 m) Charpente altimtrique points par km de voie 60 70 (tous les 15 m) 40 50 (tous les 20 25 m) 15 20 (tous les 50 60 m)


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Mthodes opratoires pour ltablissement du canevasTechniques prparatoiresDocumentation rassembler

Les documents rassembler sont les suivants :q q q

un tableau des mailles de nivellement ; un fond de carte (quart de feuille en gnral) et un calque de reprage ; un rpertoire des points de nivellement ;

Choix de limplantation des points

Ce choix consiste dfinir dans un avant-projet lemplacement des points en respectant les densits et les conditions topographiques. Les repres de nivellement sont gnralement situs le long des voies de communication (lignes de chemin de fer, routes, chemins, le long des rivires et canaux ventuellement etc.) puisque, leur altitude tant dtermine par nivellement direct de haute prcision, il est ncessaire que les pentes des cheminements soient relativement faibles.

Reconnaissance sur le terrain

La reconnaissance sur le terrain permet de :q

q q

vrifier lexistence des points anciens connus et sassurer quils nont pas boug de faon importante ; vrifier la faisabilit des observations effectuer ; vrifier et la stabilit du terrain sur lequel les points seront implants.

Matrialisation

La photographie ci-contre est celle dun repre du cadastre scell dans un mur.

Reprage et identification

Le reprage et lidentification permettent dtablir des fiches signaltiques qui doivent comprendre :q q q q q

le nom de la commune ; le numro du point ; la nature du point ; la date dtablissement ; son altitude (inscrite aprs calcul) ;

Repre de cadastre


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q q q q q q

sa situation topographique ; ses rfrences cadastrales ; son adresse postale ; un croquis visuel de sa matrialisation (une photographie) ; un croquis de reprage ; sa servitude.

Mesures sur le terrainCarnets des observations effectues sur le terrain

La saisie peut tre ralise manuellement sur des carnets dobservation, mais peut aussi se faire par lintermdiaire de carnets lectroniques. Les carnets doivent tre facilement exploitables et doivent prsenter :q q q q q

la date et lheure ; le nom de loprateur ; le numro du carnet ; le type et le numro de lappareil ; les observations proprement dites.

Diffrentes techniques

Le tableau suivant dtaille les diffrentes techniques appliquer en canevas altimtrique.Canevas altimtrique densemble Objectifs Mesures Type dappareils Modes opratoires Conditions sur les oprations Contrles sur terrain Densification du rseau IGN 69. Dniveles (nivellement direct). Niveaux de haute prcision (ex : N3) 2 mires invar. Cheminement double par la mthode de Choleski adapte. Distance appareil-mires 35 m. galit des portes 1 m. vrifier que la lecture sur le fil niveleur est gale la moyenne des lectures sur les fils stadimtriques ; vrifier lcart dchelle ; effectuer le contrle de marche. Canevas altimtrique Densification du CAE ; rattachement au CAE. Dniveles (nivellement direct). Niveaux de prcision (ex : NA2 et micromtre). 2 mires invar. Cheminement double par la mthode de Choleski adapte. Distance appareil-mires 50 m. galit des portes 1 m. Mmes contrles quen canevas densemble.


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Le tableau suivant dtaille les diffrentes techniques appliquer pour la cration de la charpente altimtrique.Charpente altimtrique Nivellement direct ordinaire Objectif Mesures Type dappareils Modes opratoires Conditions sur les oprations Contrles sur le terrain Crations de nouveaux points rattachs au canevas altimtrique. Dniveles. Niveaux de prcision (ex : NA2). Mire ordinaire. Nivellement direct ordinaire (utilisation de crapauds). 2 points sur chaque vise. Distances appareil-mire 50 m. galit des portes 1 m. Vrification de lgalit entre la lecture sur fil niveleur et la demi-somme des lectures sur les fils stadimtriques. Nivellement indirect trigonomtrique de prcision Mme objectif quen nivellement direct. Angles znithaux Distances inclines Thodolite au mgon + distancemtre Tachomtre lectronique au mgon 1 paire de squences

Distance appareil-rflecteur 200 m. Rflecteur trpied ou accroch au point vis. Constance de lerreur de collimation verticale.

Mthodes de calcul

Le canevas peut tre conu afin de pouvoir tre observ, calcul et compens en suivant la hirarchie conventionnelle (voir canevas polygonal au paragraphe 1.4.), savoir :q q

les cheminements principaux : encadrs ou point nodal ; les cheminements secondaires : encadrs entre les points de cheminement principaux ou constitus de points nodaux secondaires.

Les compensations peuvent tre effectues en bloc ; alors lordre des calculs et des observations na plus dimportance.

LES MTHODES GRAPHIQUES

La suite de ce chapitre dtaille les mthodes de calcul qui permettent de dterminer les coordonnes planimtriques de points nouveaux par les diffrentes techniques de densification dtailles au paragraphe 1. On distingue deux approches de ces calculs. En canevas de prcision, le calcul fait appel la thorie des moindres carrs dont le principe nest pas dvelopp dans cet ouvrage (seuls les rsultats en seront utiliss). En revanche, pour chaque mthode, un tableau faisant appel


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ce type de calcul est fourni sur cdrom. Chaque tableau prsente la rsolution sur format A4 vertical et donne toutes les formules utilises (voir les exemples de rsolution dans les paragraphes suivants). En canevas ordinaire, on peut se contenter dune construction graphique dont voici la justification : soit un point M, dtermin par intersection de vises issues de quatre points dappui connus A, B, C et D (fig. 1.20.). Si ces vises se coupaient toutes en un mme point, lintersection serait directement le point cherch (comme on peut en avoir limpression sur la figure 1.20.). En fait, si Fig. 1.20. : Point vis par intersection lon effectue un zoom prs de la zone dintersection, on obtient la vue de la figure 1.21 puisque les vises, entaches dinvitables erreurs de mesures, ne sont pas concourantes en un point. Tout lintrt des mthodes graphiques est de permettre la construction grande chelle de cette zone dintersection. La ncessit dune construction particulire apparat si lon se fixe un ordre de grandeur des distances reprsentes : pour des vises de lordre de 1,5 km, les points connus sont situs dans une zone dlimite par un cercle denviron 3 km de diamtre. La zone dintersection est rarement plus grande quun cercle denviron 1 m de rayon. Si vous reprsentez lensemble sur format A0 (1 188 840 mm2), un trac une chelle de lordre du 1/3 500 est ncessaire. La zone dintersection devient alors un cercle de 0,6 mm de diamtre, donc inutilisable.

Fig. 1.21. : Zoom sur linteraction de la figure 1.20.

Dautant que lon dessine les angles au rapporteur avec une prcision dau mieux 0,1 gon, ce qui donne une incertitude de 2,3 m ( 1,5 km) sur le terrain ; cette incertitude est suprieure la taille de la figure dessiner... Lastuce propose par cette mthode est de calculer les coordonnes dun des points dintersection (que lon appelle point approch Mo ; sur la figure 1.21. cest le point dintersection des vises issues de A et de B) et de dessiner tous les autres points dintersection en fonction de ce dernier en calculant la distance qui spare chaque vise du point approch Mo. On peut alors dessiner une grande chelle (par exemple 1 /10 ou 1/5) la zone dintersection (appele chapeau : zone hachure de la figure 1.21.) et y choisir le point dfinitif M. On dtermine les coordonnes de M relativement au point Mo par des mesures sur le graphique, qui doit tre orient et trac une chelle conventionnelle.


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Remarque Par la suite, le terme zone d'indcision est prfr au terme chapeau. Pour les coordonnes planes (en projection), la notation E, N est prfrable (Est, Nord) mais comme il n'y a pas ici de confusion possible avec des coordonnes rectangulaires gocentriques, la notation X, Y est galement utilise. Linformatique (DAO) court-cicuite une grande partie de la mthode graphique puisquelle permet dobtenir directement la zone dindcision. Il suffit de dessiner les points rels partir de leurs coordonnes puis les vises relles, et de faire un zoom sur la zone dindcision qui est ainsi obtenue directement, imprimable lchelle souhaite. Il reste choisir le point dfinitif M, soit manuellement soit en utilisant loutil informatique (voir les exemples traits pour chaque mthode dans les paragraphes 4 9 suivants). Linformatique et le GPS rendent ces mthodes graphiques obsoltes. Toutefois elles restent intressantes tudier en formation initiale puisquelles permettent de visualiser concrtement la prcision des mesures topomtriques en fonction de lappareil utilis. Elles permettent aussi de comprendre le sens rel dune opration dintersection, de relvement, de multilatration, etc.

LA MULTILATRATION

Nous commenons par cette mthode car elle nous parat la plus simple en termes de comprhension et de calculs.

Coordonnes approches par bilatration

Les distances sur deux points anciens connus sont suffisantes pour calculer un point approch Mo : on appelle ces deux mesures bilatration. Considrons un point Mo dont on veut dterminer les coordonnes partir de A et B (par convention A, B, Mo sont pris dans le sens horaire). On mesure les distances DAMo et DBMo puis on calcule les coordonnes du point Mo comme suit : Calcul de l'ange , D AMo + D AB D BMo cos = ----------------------------------------------2D AB D AMo2 2 2

Fig. 1.22. : Multilatration


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Calcul du gisement GAMo : Si le point Mo est droite du vecteur AB, on peut crire : GAMo = GAB + . Si le point Mo est gauche du vecteur AB, on peut crire : GAMo = GAB . Les coordonnes du point Mo sont alors : EMo = EA + DAMo . sinGAMo NMo = NA + DAMo . cosGAMo Attention : il existe deux points possibles Mo et Mo ; il faut en choisir un, par exemple partir dun schma lchelle. Ces calculs ramnent une intersection de deux cercles (voir chap. 4., 4). Pour vrifier, on effectue les mmes calculs de rayonnement partir du point B.

Conventions et dfinitionsPoints doubles

On appelle points doubles tous les points dintersection des n vises effectues prises deux deux (combinaison de n lments pris deux deux).2 n(n 1) n! Il y a donc C n = ----------------------- = ------------------- points doubles pour n points dappui viss. 2 2! ( n 2 )!

Par exemple, pour n = 4, on obtient six points doubles.

Distance observe d'une vise

C'est la distance, note Dobs , lue au distancemtre sur le terrain entre le point nouveau M et chaque point ancien. Elle est prise en compte aprs avoir subi les corrections la ramenant au systme de reprsentation plane (voir tome 1, chap. 4, 7.), savoir :q q q

les corrections d'talonnage et atmosphrique de l'appareil de mesure ; la rduction l'horizontale : Dh = Di . sinV 7,21 . 10 8 . Di2 . sin2V ; la rduction au niveau 0 ( lellipsode), la station tant laltitude hS et le point vis laltitude hP : Do = Di ( h S h P ) R Dh ------------------------------------------- si (hS # hP) on retrouve Do = ------------- . h+R h P h S 1 + ---- 1 + --- R R2 2

hS et hP sont thoriquement les hauteurs au-dessus de lellipsode.q

la correction due la projection plane : Dr = Do(1+ kr ).

Les stations totales modernes permettent dafficher directement Dr sur le terrain.


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Distance approche d'une vise

C'est la distance, note Dapp, calcule entre le point dappui J dont la vise est issue et le point approch Mo. Elle est gnralement dtermine au millimtre prs. Dj app = DJMo

Le segment-distance

Considrons une distance DA mesure depuis le point d'appui A ; le lieu gomtrique des positions possibles du point M est le cercle de centre A et de rayon DA. Les distances mesures depuis les autres points d'appui (par exemple fig. 1.23. : B, C et D) forment une zone d'indcision (zone hachure) dans laquelle doit se situer le point M cherch. Lorsque l'on se situe aux alentours immdiats du point M, tant donn la trs petite taille de la zone par rapport aux rayons des cercles reprsentant les vises, on assimile une portion de cercle un segment de droite tangent au cercle : ces segments sont appels segments-distances et deviennent les lieux gomtriques du point M proximit immdiate de ce dernier.

Fig. 1.23. : Segments-distances

Orientation du segment-distance

Considrons le segment-distance, not J, issu de la vise sur le point J. Le gisement de la vise de J sur M peut tre calcul avec une approximation correcte par le gisement GJMo , tant donn la prcision de la construction graphique excute au dgon prs. Le gisement du segment-distance est donc gal :Fig. 1.24. : Orientation dun segment-distance

GJ = GJMo 100 gon Dsormais, on sait placer les segments-distances autour du point Mo ; ils sont dessins et orients grce leur gisement.


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Cette orientation est conventionnelle et permet lharmonisation des rsultats avec les autres mthodes comme lintersection et le relvement ( 5. et 6.).

Diffrence de distancesC'est la diffrence, note , entre les distances observes et approches de chaque vise.

J = D Jobs D JappCest grce au calcul de cette valeur quil est possible de dessiner la zone dindcision partir du point Mo calcul auparavant. En effet, les segmentsFig. 1.25. : Diffrence de distances distances sont actuellement dessins et orients mais passent tous par Mo. donne la valeur dont on doit loigner les segments-distances de Mo pour obtenir leur position relle. Le signe de indique sils se rapprochent du point origine de la vise ou sils sen loignent.

est calcule au millimtre prs avec son signe qui est pris conventionnellement tel que :q

q

est positif si la distance observe est plus longue que la distance approche ; donc le segment-distance sloigne du point origine de la vise (le point J sur la figure 1.25.). En tenant compte de son orientation, il est dcal vers sa droite. est ngatif si la distance observe est plus courte que la distance approche ; donc le segment-distance se rapproche du point origine de la vise. En tenant compte de son orientation, il est dcal vers sa gauche.

Dtermination du point dfinitif M

On sait maintenant construire la zone dindcision contenant le point M. Deux cas traits ci-aprs sont envisager.

Zone dindcision de petite taille

Cette zone est de taille suffisamment petite par rapport la prcision demande sur la connaissance de M (son amplitude maximale est par exemple de 5 cm alors que la prcision recherche est de lordre de 3 4 cm) : dans ce cas, on peut directement placer le point M et calculer ses coordonnes par rapport au point Mo (voir fig. 1.26.).


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Sur cette figure, les segments-distances issus de A, B, C et D ont t placs en un point Mo, origine du repre associ notre graphique (reprsentation grande chelle : 1/10, 1/5...). Le point Mo ayant t calcul partir des points A et B, on dcale le segmentdistance issu du point C de la valeur C, le sens tant donn par le signe de C. Il en est de mme pour le segment-distance issu de D. On en dduit la forme de la zone dindcision, hachure sur la figure 1.26. Sa taille tant suffisamment petite, on y place le point M vue. Les coordonnes de M sont : EM = EMo + E NM = NMo + N

Fig. 1.26. : Zone dindcision

Zone dindcision de taille importante

La zone dindcision est de taille trop importante par rapport la prcision demande sur M, ou bien sa forme est telle quil est difficile de placer M directement ; il faut alors trouver une mthode pour placer le point M le plus prcisment possible (par exemple en rduisant la zone dindcision).Fig. 1.27. : Plage dincertitude tant donn la prsence dinvitables erreurs de mesure, il est logique de considrer que les segments-distances sont situs lintrieur dune plage dincertitude (fig. 1.27.) que lon pourrait tracer de part et dautre de chaque segment. Cest le calcul et le trac de cette plage qui vont permettre de rduire la zone dindcision.

La manipulation ayant t faite chaque fois, sans fautes, par le mme oprateur et dans les mmes conditions, il est possible dadmettre que la plage dincertitude est lie la prcision de lappareil, le mme pour toute les vises. Chaque distance est observe avec des imprcisions dpendant de l'cart type V de lecture de l'angle znithal V et de l'cart type Di de lecture de la distance incline Di au


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distancemtre. Ces valeurs dpendent des appareils utiliss et sont donnes par les constructeurs, par exemple :q

pour un distancemtre courant : Di (cm) = (A + B . Dikm) (exemple : A = 0,5 cm et B = 0,5 pour un DI4, et A = 0,3 cm et B = 0,2 pour un DI 1000)

q

pour un thodolite T2 : Z = 6 dmgon (valeur usuelle, la valeur donne par le constructeur tant de 2,5 dmgon)

La relation de base utilise est : Dh = Di . sinV. On arrive par drivation : dDh = dDi . sinV + Di . cosV . dVrad . Ce qui donne pour lcart type sur une mesure : Dh 2 = (Di . sinV) 2 + (Di . cosV . V )2. On en dduit une tolrance (loi de Gauss) : TDh = 2,7 . Dh. Si les vises sont proches de lhorizontale V 100gon donc sinV 1 et cosV 0, et donc Dh Di ; donc on arrive la forme simplifie suivante : TDh (cm) = 2,7 . (A + B . Dikm). Les demi-plages dincertitude ont donc pour largeur la valeur TDh qui est une fonction linaire de la distance mesure. En pratique, les demi-plages doivent tre adaptes lchelle choisie et la forme de la zone rduire, leur valeur, gnralement note t, est donc multiplie par un coefficient K choisi arbitrairement par la personne qui effectue la rsolution graphique. K englobe le coefficient 2,7 donc : tcm = K.(A + B . Dikm) En gnral, on utilise la formule de tolrance lgale : Tcm = (3 + Dikm) do tcm = K.(3 + Dikm) t est la demi-plage exprime en centimtre, Di est la distance incline exprime en kilomtre, K est un coefficient arbitraire.

Distance dfinitive

C'est la distance, note Ddf , dtermine partir des coordonnes du point dont la vise est issue et des coordonnes du point dfinitif M dtermin graphiquement. Elle est dtermine au centimtre prs.

cart linairerj = Dj obs Dj df

C'est l'cart entre la distance observe et la distance dfinitive :

Il est calcul en centimtre avec une dcimale et est soumis aux mmes tolrances que les points de triangulation (20 cm en canevas ordinaire et 4 cm en canevas de prcision). Son calcul permet de vrifier la validit de la manipulation.


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Rayon moyen quadratique d'indcision Rmqj=n

(r )j

2

Le rayon moyen quadratique est donn par la formule ci-contre : Rmq =

-----------------n1

j=1

Cest une valeur statistique calcule partir des n carts linaires sur les n points anciens. Rmq est soumis tolrance : 12 cm pour le canevas ordinaire et 2,5 cm (valeur usuelle) pour le canevas de prcision.

Station 301 (M)

Exemple de calculPoints viss 51 (A) 52 (B) 53 (C) 54 (D) E (m) 982 193,00 985 527,04 985 359,53 979 591,92 N (m) 3 156 193,14 3 154 445,19 3 150 108,08 3 153 219,90 Dr (m) 2 921,54 3 452,66 4 416,09 2 688,06

Soit calculer le point n 301 dans le cadre d'une multilatration cadastrale (canevas ordinaire, distances de lordre de 3 km). Une seule station a t faite au point 301 et les distances donnes Dr sont dj rduites au plan de projection. Le distancemtre utilis est tel que : A = B = 5 mm do tcm = K.(1+Dkm). La dmarche de rsolution est la suivante : 1 - Effectuez un croquis des points, lchelle comme sur la figure 1.28.Fig. 1.28. : Croquis lchelle

2 - Choisissez les vises qui dtermineront le point Mo (deux vises homognes et se coupant sous un angle proche de 100 gon), par exemple, les vises issues de A et D. Calculez les coordonnes du point Mo. Vous devez trouver : EMo = 982 279,46 m ; NMo = 3 153 272,88 m. 3 - Calculez les distances approches puis les diffrences de distances. Calculez les gisements des segments-distances (voir plus loin dans ce paragraphe, les calculs prsents dans le tableau FICHLAT.XLS).


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Fig. 1.29. : Zone dindcision

4 - Dessinez sur format A4 un repre dont lorigine est le point Mo, puis dessinez avec un rapporteur les segments-distances ( partir de leurs gisements) en les faisant passer, dans un premier temps, par le point approch Mo (voir fig. 1.29.). 5 - Dplacez les segments-distances de la valeur lchelle choisie, le sens du dplacement dpendant du signe de . Reprez la zone dindcision (ensemble des points doubles, ici au nombre de 6, voir fig. 1.29). Notez que le point Mo est repr AD sur la figure 1.29. puisquil est lintersection des segments-distances issus de A et de D. Les lignes discontinues sont des constructions intermdiaires qui peuvent tre effaces. 6 - Si lon considre, pour lexemple, que la zone dindcision est trop grande pour placer M directement, il faut choisir un coefficient K pour le calcul des demi-plages t dont on dcale chaque segment-distance : il convient de raliser plusieurs essais jusqu obtenir une zone commune toutes les zones dindcision, et qui soit suffisamment petite pour pouvoir placer le point dfinitif M. Notez sur la figure 1.30. que seules les demi-plages utiles ont t dessines afin de ne pas encombrer le dessin. En effet, il est inutile de dessiner par exemple toutes les demi-plages extrieures la zone. Remarque On peut prciser lemplacement du point M de deux manires diffrentes :q

soit en rduisant la zone dindcision : on choisit une valeur de K pour que cette zone soit simplement plus petite de manire placer M plus prcisment ;


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q

soit en choisissant une valeur de K plus grande de manire crer un recouvrement des zones dindcision, cette zone commune devenant le lieu le plus probable du point dfinitif M. Cette seconde mthode, plus logique, est appele recherche de zone commune aux demi-plages dindcision .

Sur la figure 1.30., le dessin des demi-plages t est ralis avec un coefficient K = 1,2 pour un dessin lchelle 1. Seules les demi-plages utiles sont dessines afin de ne pas surcharger la construction. Aprs dcalage, il reste une zone commune toutes les zones dindcision (zone hachure de la figure 1.30.). On place M vue dans cette zone et on mesure depuis Mo : E = + 3cm N = 4cm

Fig. 1.30. : Construction dune zone dindcision commune

7 - Calculez les coordonnes du point dfinitif M partir de celles du point Mo et vrifiez par le calcul des carts linaires et du rayon moyen quadratique dindcision que la manipulation respecte les tolrances. Remarque Le graphique peut tre construit en utilisant une feuille A4 sur laquelle figure dj un repre et un rapporteur associ ce repre. Ce document existe sur le cdrom du livre sous forme de fichier AutoCAD (RAPPORT.DWG).Extraits

du tableau FICHLAT.XLS

Les calculs suivants ont t effectus sur Excel partir des tableaux : FICHLAT.XLS associ la mthode graphique. Il peut tre utilis vide pour prsenter les calculs ; TRIANGU.XLS associ un calcul aux moindres carrs. Les tableaux qui suivent en sont extraits.


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1 - Calcul de Mo dans le triangle D-A-Mo (sens horaire)Calcul depuis D DDA= GDA= 3 950,41 45,7560 52,9892 98,7452 982 279,46 3 153 272,88 m gon gon gon m m Vrification depuis A

=GAmo = GAD EMo = NMo =

47,6403 198,1158 982 279,46 3 153 272,88

gon gon m m

=GDMo= EMo= NMo=

2 - Calcul des paramtres des segments-distancesPoints 54 (D) 51 (A) 53 (C) 52 (B) GPiMo (gon) 98,7452 198,1158 350,8637 277,9461 G seg-dist (gon) GPI=GPiMo 100 398,7452 98,1158 250,8637 177,9461 Dapp (m) Pi Mo 2 688,06 2 921,54 4 416,20 3 452,69 Diff. de dist. (cm) 1/2 plage t(cm) K(1+Dkm), K=1,2 4,4 4,7 6,5 5,3

cm=Dobs Dapp0,0 0,0 10,8 3,5

3 - Mesures sur graphique E = 0,03 m donc : N = -0,04 m 4 - Vrifications Rmq = 4,5 cm. Tolrance sur Rmq : 12 cm (canevas ordinaire)Points Pi 54 (D) 51 (A) 53 (C) 52 (B) Dist dfinitive Ddf (m) 2688,10 2921,58 4416,14 3452,67

EM = 982 279,49 m NM = 3 153 272,84 m

carts linaires ricm= |Dobs Ddf| 3,5 4,1 5,4 1,5

Tolrance sur ri (cm) 20 20 20 20

rsolution

graphique

Loutil informatique permet de construire la zone dindcision en conomisant les calculs prcdents. Lenvironnement de travail est dfini dans le menu FORMAT / CONTRLE DES UNITS : angles en grades, quatre chiffres


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significatifs, longueurs en units dcimales et avec deux chiffres aprs la virgule, zro des angles au nord, sens de rotation horaire. 1 - Dessin des cercles reprsentants les vises Dfinissez quatre Calques nomms A, B, C et D avec des couleurs diffrentes

Documents

Topographie et Topométrie Modernes Tome 2