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E. FREMONT ~ 1 ~ 2013/2014

TP 1 : Vélocimétrie Doppler

Préparation du TP

A. Points à revoir avant le TP

Cours/TD sur la propagation des ondes à une dimension

Cours/TD sur les amplificateurs opérationnels en régime linéaire ou non linéaire

TP sur l’analyse spectrale des signaux (Série 1 – TP 2)

TP sur les ondes sonores (Série 2 – TP 1)

B. Une présentation descriptive, historique et romancée de l’effet

Doppler

« J’avais huit ans lorsque je découvris cet effet. Mes grands-parents habitaient une maisonnette construite

sur le bas-côté de la grand-route, dans une longue ligne droite. Le soir, dans la mansarde du haut, couché tôt et

blotti sous l’édredon – point de chauffage si l’on excepte l’indispensable cheminée à bois, située d’ailleurs à

l’autre coin de la maison –, j’entendais quelques rares voitures, de celles que nous appelions génériquement

« tractions », passer à toute vitesse devant la maison. Je les percevais de loin : c’était tout d’abord une faible

palpitation qui semblait seulement une des facettes du silence. Quelques instants après, le ronflement de leur

moteur lancé à plein régime – « pied au plancher », disions-nous – acquérait son autonomie et son identité. Il

s’amplifiait ensuite en un hurlement qui atteignait son paroxysme où l’automobile franchissait, en l’effleurant, le

seuil de la maison. Et alors, lorsque ainsi il éclatait avant de redécroître pour se perdre au loin, le grondement

changeait tout à coup de ton : arrivé aigu, il repartait grave :

…é-é-é-é-é-é-è-è-è-è-è-è…

Il n’y avait pas de livres scientifiques, chez mes grands-parents ; point d’encyclopédie non plus, ni même

de dictionnaire ; en vérité, pas de livres du tout : mon grand-père était analphabète.

Et c’est ainsi qu’un physicien de Prague, Christian Doppler (1803-1853), mieux introduit que moi dans les

milieux scientifiques, put s’attribuer « ma » découverte, sous le prétexte futile qu’il avait un siècle d’avance !...

Voici en quoi consiste l’effet Doppler (il faut bien l’appeler par son nom !). Un ébranlement sonore se

propage, dans l’air, entre une source qui l’émet et un récepteur qui le capte (une oreille, par exemple). Si la

source se meut par rapport à l’air – comme le faisaient « mes » voitures –, la hauteur du son est modifiée : il est

perçu plus aigu que ne l’émet la source si celle-ci le fait en se rapprochant du récepteur ; si elle s’en éloigne, au

contraire, le son perçu est plus grave. Un décalage analogue se produit si c’est l’observateur-récepteur qui est en

mouvement par rapport à l’air : son plus aigu si l’observateur se déplace vers la source, plus grave s’il est

emporté loin d’elle.

[…]

Existe-t-il l’équivalent de l’effet Doppler pour la lumière ? C’est incontestable. D’ailleurs Christian

Doppler lui-même l’avait prévu, en partisan convaincu des ondes lumineuses. Mais c’est le Français Hippolyte

Fizeau qui publia en 1848 un article mémorable sur ce sujet. Il y redécouvrait, dans une première partie – six ans

après Doppler –, l’effet du mouvement de la source, ou du récepteur, sur la hauteur des sons ; mais il comprit

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surtout es implications de ce même mécanisme en optique. Et cette découverte allait connaître un destin

remarquable, d’ampleur inattendue. L’effet « Doppler-Fizeau » - c’est ainsi qu’on l’appelle volontiers lorsqu’il

s’agit de la lumière – allait s’imposer dans un rôle de tout premier rang – rôle qu’il n’a cessé depuis de tenir –

pour l’exploration de l’Univers.

[…]

Pour la lumière, l’effet Doppler-Fizeau se traduit par un décalage vers le rouge si la source s’éloigne du

récepteur, par un décalage vers le violet si elle s’en approche : comme pour le son, en effet, la fréquence d’une

source qui vient à notre rencontre est accrue (ééééé…), celle d’une source qui s’enfuit est diminuée (èèèèè…).

Mais comment ceci va-t-il se manifester concrètement ? Doppler pensait que les étoiles qui s’avancent vers nous

seraient bleues, celles qui reculent, rouges. C’était sans compter avec l’ultraviolet et l’infrarouge, dont Doppler

ne pouvait pas connaître l’existence : si tout le spectre est décalé, dans un sens ou dans l’autre, chaque fréquence

en remplace une autre, plus élevée ou plus basse, mais elle est à son tour remplacée ; celles qui quittent le

domaine visible, par le haut ou par le bas, sont finalement renouvelées, de proche en proche, par d’autres qui

entrent dans ce domaine par son autre extrémité (le bas ou le haut). Ainsi est rétabli l’ensemble initial des

couleurs.

Mais intervient alors une propriété surprenante de l’atome, totalement inattendue mais indéniable, qui

allait connaître des développements inouïs et aboutir même à une révolution radicale en physique théorique. Un

atome d’une espèce donnée émet seulement un spectre de raies, caractéristique de son espèce. Précisons.

Prenons un atome déterminé, l’hydrogène ou le plomb, ou n’importe quel autre. La lumière issue de cet atome,

lorsqu’il a été convenablement excité, se répartit entre des raies, c’est-à-dire des fréquences isolées les unes des

autres et bien individualisées. L’ensemble de ces raies séparées, qui constitue le spectre de l’atome considéré, lui

est propre et exclusif, sorte de carte d’identité qui nous permet de le reconnaître où qu’il se trouve, pourvu que sa

lumière nous parvienne. C’est ainsi par exemple que l’hélium fut découvert dans le Soleil – d’où son nom –

grâce à son spectre de raies (en 1868), avant d’être trouvé sur Terre, et reconnu de la même manière, plus de

vingt-cinq ans après.

[…]

Voilà qui allait rendre l’effet Doppler-Fizeau extrêmement intéressant dans l’étude de l’Univers !

Imaginons que, dans la galaxie lointaine que voici, nous identifiions le spectre de l’hydrogène – il y faut des

connaissances et de l’habitude, bien entendu, mais l’hydrogène est très commun dans les astres ; supposons

cependant que ce spectre apparaisse ici décalé : telle raie, qui se situe dans les conditions habituelles du

laboratoire à telle fréquence, nous parvient de cette galaxie à une fréquence supérieure (décalage vers le violet)

ou inférieure (décalage vers le rouge). Qu’il soit entendu que toutes les raies sont déplacées, dans le même sens

évidemment, et d’intervalles liés les uns aux autres, puisque la cause est commune et unique : la galaxie se

rapproche, ou s’éloigne, de nous ; le décalage est d’autant plus marqué que la vitesse d’avancée, ou de récession,

est plus rapide.

L’astrophysicien américain Edwin Powell Hubble (1889-1953), après avoir établi l’existence de systèmes

stellaires extérieurs à notre Voie Lactée, constata que ces galaxies étrangères à la nôtre étaient systématiquement

« rougies ». Il formula à ce sujet une hypothèse qui porte son nom depuis : les galaxies de l’Univers s’éloignent

sans trêve les unes des autres, à des vitesses proportionnelles à leur distance. Cette loi empirique, qui ne cesse de

se confirmer au fur et à mesure que les observations progressent, est le fondement central de la théorie de

l’Univers en expansion. C’est assez dire l’intérêt cosmologique capital de la mise en évidence et de la mesure du

décalage vers le rouge des raies spectrales atomiques par effet Doppler-Fizeau.

Mais nous avons anticipé : au XIXe siècle, que nous avons planté là dans notre enthousiasme, point encore

de galaxies extérieures, point de décalage universel vers le rouge, point de « constante de Hubble » pour fonder

une théorie de l’Univers en expansion. C’est pourtant l’astronomie qui fournit la vérification attendue, et

nécessaire, des arguments théoriques et analogiques de Fizeau. Un lord anglais, Sir Williams Huggins (1824-

1910), fut semble-t-il le premier à obtenir cette information observationnelle de façon convaincante, en 1868.

[…] Sa longue familiarité avec les spectres d’objets célestes permit à Huggins de corroborer, sans contestation

possible, l’effet Doppler-Fizeau par des observations astronomiques.

C’est d’abord Sirius, l’étoile la plus brillante du ciel septentrional – et l’une des plus proches – qui lui en

fournit l’occasion (en 1868) : il montra qu’elle s’écartait alors de nous, et mesura – assez grossièrement – sa

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vitesse d’éloignement. On en avait appris de belles, sur Sirius, en un quart de siècle ! Le mathématicien allemand

Friedrich Bessel fit remarquer en 1844 que le mouvement propre de cette étoile présentait des irrégularités

imprévues ; il les attribua à la présence proche d’un autre astre – on dit un « compagnon » -, trop peu éclatant

pour avoir été observé, mais qui n’en dansait pas moins avec sa compagne resplendissante une valse céleste et

silencieuse, dont chaque tourbillon durait une cinquantaine d’années. Le compagnon, baptisé fort peu

romantiquement Sirius B, fut même observé, finalement (1862), par un constructeur américain de lunettes et de

télescopes – Alvan Clark – qui démontra ainsi l’excellence de ses instruments. Et voilà que l’analyse spectrale de

Huggins démontrait, en outre, que le couple enlacé Sirius A–Sirius B, toujours virevoltant, s’éloignait de nous.

Succès complet, sur toute la ligne : en premier lieu, l’effet Doppler-Fizeau avait prouvé sa réalité ; en outre,

il se montrait capable de mesurer des vitesses radiales d’approche ou de récession. »

Traité de physique à l’usage des profanes, Bernard DIU, éd. Odile Jacob, 2008

C. Exercices à préparer

Exercice 1 : Effet Doppler : expression du décalage en fréquence et applications

A. Approche heuristique de l’effet Doppler à une dimension

Une source S émet un signal sonore, de période 0 , sous forme de « bips » réguliers. On note it , i entier

positif, l’instant où est émis le i-ème bip. La suite des instants it est donc donnée par un terme général :

0it i

1/ La source S est immobile en 0x . Un observateur M immobile, situé à la distance d, perçoit ce signal

sonore, avec un retard lié au temps de propagation du signal sonore à la vitesse c (cf. figure ci-dessous, cas A).

Définir la fréquence 0f de ce signal périodique. Calculer le délai séparant l’émission d’un bip sonore par S de sa

détection par M.

2/ La source S, initialement en 0x , se déplace à vitesse constante 0 xv v e en direction de l’observateur M,

immobile et situé en x d (cas B). La vitesse 0v est inférieure à c. La source émet le même signal sonore

périodique.

2/1. Donner l’expression des instants i correspondant à la réception, par l’observateur, de chacun des

signaux sonores, la source restant à gauche de l’observateur.

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2/2. Calculer l’intervalle de temps 0v séparant la réception de deux bips consécutifs par l’observateur

immobile.

2/3. En déduire la fréquence apparente 0f v du signal périodique perçu par l’observateur. Exprimer le

résultat en fonction de 0f , 0v et c.

3/ La source S, initialement en 0x à l’instant 0t , se déplace à vitesse constante 0 xv v e en direction

opposée à celle de l’observateur M, immobile et situé en x d (cas C). La source émet le même signal sonore

périodique.

3/1. En procédant comme à la question précédente, calculer l’intervalle de temps 0v séparant la

réception de deux bips consécutifs par l’observateur immobile.

3/2. En déduire la fréquence apparente 0f v du signal périodique perçu par l’observateur. Exprimer le

résultat en fonction de 0f , 0v et c.

4/ La source S est immobile en 0x et émet le même signal sonore. L’observateur M, initialement situé en

x d , se déplace à vitesse constante 0 xv v e en direction de la source (cas D).

4/1. Déterminer la suite des instants i correspondant à la réception du bip i, par l’observateur en

mouvement, la source restant à gauche de l’observateur.

4/2. En déduire l’intervalle de temps 0v séparant la réception de deux bips consécutifs par

l’observateur en mouvement.

4/3. Donner la fréquence 0f v du signal périodique perçu par l’observateur. Exprimer le résultat en

fonction de 0f , 0v et c.

5/ La source S est immobile en 0x et émet le même signal sonore. L’observateur M, initialement situé en

x d , se déplace à vitesse constante 0 xv v e en direction opposée à celle de la source (cas E).

5/1. Calculer l’intervalle de temps 0v séparant la réception de deux bips consécutifs par

l’observateur en mouvement.

5/2. Donner la fréquence 0f v du signal périodique perçu par l’observateur. Exprimer le résultat en

fonction de 0f , 0v et c.

B. Application : l’effet Doppler à moto

Un motard roule à 75 km/h ; le régime moteur de sa moto (une Triumph Street Triple 675 par exemple)

est de 5000 tours/min. Le bruit de la moto est dû aux explosions qui se produisent dans les cylindres de la moto :

à chaque tour de l’arbre moteur, les 3 cylindres de la moto sont chacun le siège d’une explosion. La vitesse du

son dans l’air sera prise égale à 340 m.s-1

et celle de la lumière à 3.108 m.s

-1.

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6/ Quelle est la fréquence du son émis par la moto ?

7/ Ce motard croise un piéton qui attend pour traverser. Quelle est la fréquence du son perçu par le piéton

lorsque la moto se rapproche du passage piéton ? Quelle est la fréquence du son perçu par le piéton lorsque la

moto a dépassé le passage piéton ?

8/ La moto double une voiture qui roule à 40 km/h. Quelle est la fréquence du son perçu par l’automobiliste

avant le dépassement ? Quelle est la fréquence du son perçu par l’automobiliste après le dépassement ?

9/ La moto passe au feu orange (ce qui est mal…). Un agent de la circulation siffle cette infraction avec un sifflet

qui émet un son à 900 Hz.

9/1. Quelle est la fréquence du son perçu par le motard ?

9/2. Le motard, également physicien à ses heures perdues, tente un coup de bluff auprès de l’agent :

« mais j’ai vu le feu vert, à cause de l’effet Doppler ! ». Calculer la vitesse qu’aurait dû avoir le motard

pour voir le feu vert ( 550 nmv ) et non pas orange ( 610 nmo ). Conclure.

C. Généralisation à trois dimensions

10/ La source d’ondes sonores S est en mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse Sv . L’observateur est fixe

en O.

10/1. Montrer que la différence dt des dates d’arrivée en O des ondes émises par S aux instants t et

t dt vaut à l’ordre 1 en dt :

1 Su vdt dt

c

où SO

uSO

10/2. La source S est périodique de fréquence f. Exprimer la fréquence f perçue par l’observateur.

11/ On considère que la source et l’observateur sont désormais tous deux en mouvement rectiligne et uniforme,

aux vitesses respectives Sv et Rv . En adoptant le raisonnement précédent, montrer que, au premier ordre

d’approximation :

R

S

c u vf f

c u v

formule de Doppler

D. Application : Mesure de la vitesse radiale d’Arcturus et de la vitesse orbitale de la Terre

On observe l’étoile Arcturus à deux dates 1t et 2t espacées de 6 mois. La latitude d’Arcturus par rapport

au plan de l’orbite terrestre est donnée par 30,75ab et la longitude par rapport à une direction γ fixe est

204,25al . À l’instant 1t , la longitude de la Terre est 1 114,25l . À l’instant 2t , la longitude de la Terre

est 2 294,25l .

Aux instants 1t et 2t , on effectue un spectre de la lumière émise par Arcturus. L’étude des raies d’absorption

permet ainsi de constater qu’une des raies d’absorption du fer, qui correspond normalement à la longueur d’onde

0 446,1650 nm , est perçue à la longueur d’onde 1 446,123 nm à l’instant 1t et à la longueur d’onde

2 446,199 nm à l’instant 2t . La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est c = 3.108 m.s

-1.

On note TV la vitesse de rotation orbitale de la Terre, supposée constante. On suppose que le mouvement

d’Arcturus par rapport au Soleil est purement radial et uniforme et on note AV la vitesse radiale correspondante.

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12/ A l’instant 1t , la Terre se rapproche-t-elle d’Arcturus ou s’en éloigne-t-elle ? Même question à l’instant 2t .

13/ En tenant compte du fait que TV c et AV c , relier 1 à 0 et aux autres données du problème. Même

question avec 2 .

14/ En déduire les expressions de TV et AV en fonction de 0 , 1 et 2 et des données géométriques. Faire les

applications numériques (on exprimera les vitesses en km/s).

15/ En supposant la trajectoire de la Terre autour du Soleil circulaire de rayon a et que la période orbitale est de

365,2563 jours, calculer la distance Terre-Soleil en km.

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Exercice 2 : Expansion de l’Univers (extrait du Concours Mines-Ponts 2009, filière PSI)

1/ Expliquer brièvement la phrase suivante, souvent utilisée dans les revues de vulgarisation scientifique : plus

on regarde loin dans l'Univers, plus on regarde dans le passé.

On raisonne dans le cadre de la cinématique classique (non-relativiste). Le point O représente un

observateur sur la Terre et le point M représente un objet céleste (étoile, galaxie, etc.). On considère le

référentiel R où O est fixe et M est en mouvement. Le milieu interstellaire est assimilé au vide pour les

ondes électromagnétiques et on note c la célérité de ces ondes dans R.

On convient de ne pas tenir compte de l'atténuation de l'amplitude des ondes au cours de leur

propagation. Soit sM(t) le signal électromagnétique émis par le point M à l'instant t. Ce signal est reçu à

l'instant t' par le point O. On note sO(t) le signal reçu par O à l'instant t. On note OM = r(t). D'après les

hypothèses, sO(t') = sM(t).

2/ Exprimer t' en fonction de t, c et de la distance r(t).

3/ L'émetteur M a une vitesse notée ( )v t , de norme v(t) et faisant avec

OM un angle α(t) (voir figure 1). L'émetteur émet des signaux périodiques

de période T. On suppose que la fréquence des signaux est suffisamment

grande pour pouvoir négliger les variations de v et de α sur une période.

On suppose également qu'à chaque instant t, v(t)T/r(t) 1. Exprimer, au

premier ordre, la différence r(t+T) -r(t).

4/ En déduire, toujours au premier ordre, la période T’ des signaux reçus

par l’observateur en O. On exprimera T’ en fonction de T, v, c et α.

5/ On appelle vitesse radiale de M la quantité vr = v cos α On note λ la longueur d’onde du signal émis par M et

λ’ la longueur d’onde du signal reçu en O. Donner la relation qui existe entre λ, λ’, vr et c. On mettra cette

relation sous la forme λ’/λ = 1 + Z. La quantité Z ainsi définie s’appelle le redshift.

6/ On suppose que M se rapproche de O. Si M émet une longueur d’onde située dans le jaune (λ = 585 nm), la

longueur d’onde λ’ reçue en O est-elle décalée vers le rouge ou bien décalée vers le bleu par rapport à λ ? On

justifiera la réponse.

En 1929, le physicien Edwin Hubble a relevé

le spectre de la lumière issue des galaxies dont la

distance à la Terre était connue. En comparant

ces spectres à ceux d’éléments chimiques reçus,

il en a déduit le redshift Z de ces galaxies. Les

points expérimentaux pour plusieurs galaxies

sont représentés sur la figure 2. En notant d la

distance Terre-galaxie et vr la vitesse radiale de

la galaxie par rapport à la Terre, les mesures

suggèrent une loi linéaire du type vr = H d.

Cette loi porte le nom de loi de Hubble et H

s’appelle la constante de Hubble (le mot

constante signifie qu’il s’agit d’une constante par

rapport à l’espace et non pas dans le temps).

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E. FREMONT ~ 8 ~ 2013/2014

d 0,87 1,05 1,56 1,76 2,11 2,26 2,48 2,77 3,92 4,59 4,30 5,32 6,92 7,21 11,22 14,47

Z102 0,71 0,83 1,06 1,23 1,67 1,72 1,92 1,92 2,68 2,93 3,23 3,69 4,55 4,95 7,42 10,00

Données expérimentales ayant permis la construction de la figure 2, d est exprimée en unités de 1024

m.

7/ Donner une estimation numérique de H en unités du système international, puis en km.s-1

par million

d’années-lumière. Que signifie cette unité ? On ne s’offusquera pas du fait que la loi de Hubble puisse donner

des vitesses radiales dépassant c pour des galaxies très éloignées. Cette impossibilité n’apparaît pas lorsque les

phénomènes relativistes sont pris en compte.

8/ La loi de Hubble suggère que l’Univers soit en expansion. Le modèle du big-bang permet de postuler que

cette expansion a commencé depuis un temps fini et donc que l’Univers peut se voir attribuer un âge. Avec des

arguments qualitatifs simples, expliquer pourquoi l’inverse de la constante de Hubble est un bon ordre de

grandeur de l’âge de l’Univers. Estimer numériquement l’âge de l’Univers en milliards d’années.

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E. FREMONT ~ 9 ~ 2013/2014

TP 2 : Etude d’un réseau par transmission (TP-Cours)

Préparation du TP

A. Quelques notions sur les réseaux pour commencer

Qu’est-ce qu’un réseau par transmission ?

Un réseau plan est une pupille diffractante plane dont la fonction de transparence ne varie que selon une

direction de l'espace et de façon périodique. Concrètement, un réseau est constitué de N motifs diffractants

identiques, répartis régulièrement dans le plan du réseau. Un voilage transparent constitue un bon exemple de

réseau par transmission. La photo ci-après montre la figure de diffraction observée lorsque l’on place une source

de lumière blanche derrière un voilage à mailles rectangulaires.

Le réseau par transmission étudié dans ce TP peut être représenté par un plan opaque percé d'un grand

nombre (N) d'ouvertures rectangulaires, parallèles, équidistantes de a. Ces ouvertures rectangulaires (fentes) sont

désignées sous le nom de traits du réseau : ils ont une longueur H et une largeur b H . Le paramètre a est le

pas du réseau. La largeur totale L du réseau est alors donnée par la relation L Na . On peut également définir

le nombre de traits par unité de longueur 1

na

.

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Le tableau ci-après précise quelques ordres de grandeur :

n (traits/mm) a (µm) N H (cm)

Réseau classique 300 3 104

3

Réseau performant 1000 1 4.104

4

La qualité d’un réseau est liée à la périodicité de sa fonction de transparence : les traits doivent être

rigoureusement identiques, sous peine d'obtenir une figure de diffraction parasitée. Les réseaux les plus précis

sont les réseaux calibrés qui sont obtenus en gravant une surface métallisée avec une fine pointe de diamant. On

peut également fabriquer des réseaux dits holographiques, obtenus en enregistrant la figure d'interférence de

deux ondes planes. Ces deux types de réseaux sont très coûteux. L'avantage des réseaux calibrés est qu'on peut

en fabriquer des répliques : on dépose sur le réseau original une résine que l'on détache et que l'on fixe sur une

plaque de verre. Les répliques obtenues sont souvent de très bonne qualité.

Diffraction de la lumière par un réseau

Un réseau de N fentes se comporte comme un dispositif interférentiel à N ondes, de type dispositif à

division du front d’onde. La figure suivante est celle observée sur un écran lorsqu’on éclaire un réseau plan (100

traits/mm) par un laser hélium-néon.

Compte tenu du très grand nombre de fentes constituant un réseau, l'éclairement diffracté à l'infini n'est

notable que dans certaines directions faisant l'angle ki avec la normale au réseau et appelées directions des

maxima principaux. Ces maxima d’éclairement résultent d'une interférence exactement constructive entre

l'ensemble des ondes diffractées par chacun des traits du réseau dans la direction ki . Les angles sont définis à

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partir de la normale au réseau orientée dans le sens de propagation de la lumière. Ils sont comptés positivement

autour de l'axe (Oy), parallèle aux traits du réseau.

Retrouver l'expression de la différence de marche δ à l'infini, dans une direction donnée i, entre les ondes

diffractées par les points homologues de deux traits consécutifs du réseau. A quelle condition sur δ observera-t-

on, dans la direction i, un maximum d'éclairement ?

En déduire la formule des réseaux donnant la direction des maxima principaux :

0sin sinki i ka

( k )

L’entier k est appelé ordre de diffraction.

B. Exercices à préparer

Exercice 1 : Application de la formule des réseaux

1/ Un faisceau laser ( 632,8 nm ) est diffracté par un réseau de 300 traits par millimètre. Quel est le nombre

maximal d’ordres de diffraction observés si le faisceau incident est normal au réseau ?

2/ On utilise un réseau de pas 2,2 ma . Il est éclairé par un faisceau parallèle provenant d’une lampe à

mercure. On isole une raie verte et on pointe pour différents ordres les faisceaux diffractés. On repère les angles

par rapport à la normale au réseau et on obtient les résultats suivants :

k 1 2 3

ki 14°09’ 29°15’ 47°09’

En déduire une estimation de la longueur d’onde de la raie et l’incidence du faisceau sur le réseau.

Exercice 2 : Eclairement à l’infini derrière un réseau

La formule des réseaux précédente ne donne que la direction des maxima d’éclairement derrière le réseau

mais elle ne décrit pas précisément les variations d’éclairement observés en fonction de l’angle i.

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On reprend les notations de la partie A.

1/ Montrer que l'éclairement de l'onde diffractée par le réseau dans la direction i s'écrit :

2

20 0

sin2

sin sin sin

sin2

c

N

bE i E i i

N

où 02

sin sina

i i

représente le déphasage à l’infini entre les ondes diffractées par deux traits

consécutifs du réseau.

2/ Identifier le terme de diffraction et le terme d'interférences dans l'expression de E i .

3/ On donne ci-après l’allure de la courbe représentant les variations d’éclairement observés en fonction de

0sin sini i pour un « réseau » tel que N = 10, 5b et 8a b .

Commenter l’allure de cette courbe. Dans quelles directions obtient-on des maxima d’éclairement ?