Traitement Du Signal_etudiant

7/30/2019 Traitement Du Signal_etudiant

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COURS TRAITEMENT DU SIGNAL

Cours 1re Anne : Tlcommunication TEL1

Frdric LAUNAY le 12/11/2007

Dpartement R&T IUT de Poitiers site de Chatellerault

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Traitement du signal

Le traitement du signal est devenu une science incontournable de nos jours : Toutesapplications de mesures, de traitement dinformation mettent en uvre des techniques detraitement sur le signal pour extraire linformation dsire.

Initialement destin extraire le signal dans un bruit lors de mesures (capteurs), le traitementdu signal est largement appliqu en Tlcommunication dans des applications diverses et

varies. Nous pouvons citer :- la protection dinformation contre le bruit telles que les techniques pour rduire le

Taux derreur ou pour contrer les effets du canal (technique dgalisation)

- le dveloppement dapplications lectroniques et lvolution aise vers denouvelles fonctionnalits telles que le filtrage slectif, la mise en place detechniques varies de modulation/dmodulation,

Lobjectif principal de ce cours est la caractrisation dun signal dans le domaine temporel etfrquentiel pour aboutir des modles mathmatiques. La description mathmatique dessignaux permet de concevoir et de caractriser des systmes de traitement de l'information.Le bruit reprsentera tout signal ou phnomne perturbateur

Nous avons dcoup ce cours en quatre chapitres, le premier chapitre est une sensibilisation la dcomposition dun signal en srie de Fourier. Aucune notion mathmatique ne seraaborde dans ce premier module, lintuition physique tant mise en avant pour apprhenderles phnomnes.

Dans le deuxime chapitre, nous allons classifier les signaux et dfinir des notions depuissances. Nous aborderons les phnomnes alatoires et des signaux dits dterministe.

Dans le troisime chapitre, nous aborderons des concepts plus mathmatiques de la srie deFourier, de la transforme de Fourier. Un rappel sera fait avec le deuxime chapitre dans lamesure des signaux (Moyenne, puissance et variance).

Enfin dans le 4me chapitre, nous aborderons des applications dchantillonnage, de filtrage etde convolution. Bien que des formules mathmatiques seront dveloppes dans ce chapitre,nous insisterons sur les reprsentations physiques. Les mathmatiques appuieront lesconcepts abords dans ce cours.

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Chapitre 1 :

Traitement du signal : Intuition Physique

Informations gnrales

1h30 de cours

1h30 de TD : TD n1

Descriptions du chapitre

Approche intuitive sur la reprsentation temporelle et frquentielle

Dfinition de lanalyse spectraleVibration dune corde, longueur donde et fondamentale

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Ltude approfondie de la nature est la source la plus fconde des dcouvertes mathmatiques

[. . . ] Lanalyse mathmatique est aussi tendue que la nature elle-mme [. . . ] Son attribut principal

est la clart [. . . ] Elle [. . . ] semble tre une facult de la raison humaine, destine suppler

la brivet de la vie et limperfection des sens . (Discours prliminaire la thorie analytique de

la chaleur par Joseph FOURIER).

I. Introduction

Avant de commencer le cours sur le traitement du signal, il est opportun de dfinir la

notion de signal, telle que vous la trouverez sur Wikipdia et autres dictionnaires

Un signal est un message simplifi et gnralement cod. Il existe sous formed'objets ayant des formes particulires.

Les signaux lumineux sont employs depuis la nuit des temps par leshommes pour communiquer entre eux distance.

Le signal lectrique est une des formes les plus rcentes de signal.

Un signal dans le domaineinformatique et de la communication inter-processus.

On a lhabitude de reprsenter un signal par une fonction continue dans le temps et de

visualiser le signal sur un oscilloscope ou un appareil reprsentant la variation

damplitude dun phnomne en fonction du temps (cardiogramme, sismographe,

microphone, ).

I-1) Observations des phnomnes nous entourant

Pour simplifier ltude nous allons prendre lexemple dune seule corde (rmq : La

production des sons partir des cordes a t tudie depuis Pythagore (vers 582 - 507

av.J.-C.) : en pinant une corde, la vibration de la corde est transmise l'air

environnant, et l'air transmet la vibration de proche en proche jusqu' votre oreille qui

reoit la vibration du dbut un peu transforme, mais encore reconnaissable. Tous ces

phnomnes de transmission de "proche en proche" sont dus aux phnomnes d'onde :

Avant (il y a une bosse) :

Aprs (la bosse est plus loin) :

Figure 1 : Evolution de londe en fonction de la distance

On peut noter le mme phnomne en lanant un caillou dans de leau. On observe

des ronds qui augmentent de taille. Dans ce cas-l, c'est la hauteur de l'eau un

endroit qui change la hauteur de l'eau ct de cet endroit. Dans le cas de l'air c'est la

pression de l'air un endroit qui change la pression de l'air ct de cet endroit.

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http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=4217http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=3651http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=162http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=162http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=7649http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=7649http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=4217http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=3651http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=162http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=7649http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=7649


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I-2 Exemple de la corde dune guitare .

Si on fait vibrer une corde suffisamment tendue (souvent en nylon ou en acier), elle

fait aussi vibrer l'air qui se trouve ct et produit un son. Mais ce son est trs faible.

C'est pour a que les instruments cordes ont des rsonateurs (table dharmonie).

La corde dune guitare est attache aux deux extrmits, lorsquon carte la corde vide, la dformation de la corde forme une onde entre les deux extrmits (un fuseau).

Figure 2 : Reprsentation dun fuseau, variation de lamplitude de londe sur une corde fixe aux deux

extrmits

Sur le graphe ci-dessus, la corde prsente deux noeuds ( ses extrmits) et un ventreappele fuseau.

Pour obtenir une telle vibration, revenons sur la guitare :

Figure 3 : Elment dune guitare

La tte : Elle supporte les chevilles sur lesquelles sont fixes une des extrmit des

cordes, permettant ainsi de rgler la tension des cordes.

Le manche : Il est compos de frettes (ou sillets), petites barrettes de mtal ou de bois

qui servent obtenir la longueur prcise de la corde vibrante entre sillet de chevalet et

la frette pince.

Le chevalet transmet les vibrations de la corde vibrante la table d'harmonie. Il doit

pouvoir retransmettre la table, sans trop de dformations, le contenufrquentielquelui communique la corde.

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La table d'harmonie est la surface suprieure de la caisse. Celle-ci est perce d'une

oue, appele rosace" dans le cas de la guitare. Cette rosace permet la projection du

son, contenu dans la caisse de rsonance, hors de l'instrument.

Par consquent, la vibration dune corde de guitare produit un son 1.

On obtient des sons plus ou moins graves :Selon l'paisseur de la corde : Les cordes paisses produisent un son grave.

Les cordes fines, un son aigu. C'est pour a que les instruments cordes ont souvent

plusieurs cordes de diffrentes paisseurs. Chacune d'elles produit une note diffrente.

Selon la longueur de la corde : Une corde dont la longueur est le double

d'une autre, produit un son doublement plus grave. Si la premire corde produit un do,

par exemple, la deuxime produit un do une octave plus grave.

Rmq : Les instruments cordes ont souvent plusieurs cordes de la mme longueur !

Sur la guitare, ainsi que sur tous les instruments de la famille du violon, les musiciens

appuient sur le manche avec leurs doigts et rduisent la longueur de la corde. De

cette faon, elle sonne comme si elle tait plus courte et produit un son plus aigu.

Selon la tension de la corde : Plus de tension est synonyme de plus aigu,

ainsi plus la corde est tendue et plus le son mis sera aigu. Les musiciens peuvent

rgler la tension des cordes de leurs guitares, grce aux clefs (chevilles). Quand on

pince une corde, celle-ci vibre avec une vitesse FV = o F est la force de tension

de la corde en Newton et est la masse de la corde par unit de longueur.

I-3 Vibration : Les ondes stationnaires

Dans la corde, les ondes sont stationnaires.Les ondes stationnaires s'tablissent si la

longueur L de la corde est un multiple de la demi longueur d'onde . La longueur L tantfixe (corde non pince ou entre la frette pince et le sillet de chevalet), on cre un son

dont la longueur donde est proportionnelle la longueur L. Or, la frquence estinversement proportionnelle la longueur donde selon la formule suivante (

retenir) dans le cas gnral:

f

cTc ==

c est la clrit en m/s. Dans le cas de la corde, on parlera plutt de clrit des ondes

mca-nique ce qui correspond la vitesse de vibration mcanique V. La formule

devient alors :

f

V=

Pour la guitare, le mouvement des cordes est reprsent par un seul fuseau dont les

deux noeuds sont le chevalet et la frette choisie par le doigt du guitariste. Mais, il peut

se produire plusieurs fuseaux lorsque la corde est pince.

1 http://www.capcanal.com/couleurs/pages/son_cordes.htm

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Donc quand vous faites frtiller la corde, il y a des ondes stationnaires qui se forment

dedans. Chaque onde est caractrise par un entier qui dit combien elle a de ventres.

Enfin, chaque onde sonne diffremment votre oreille, parce qu'elles n'ont pas la

mmefrquence.

Effet de la frquence ?

Plus une onde est petite, plus elle vibre vite. On va mme tre plus prcis : si l'onde

est 2 fois plus petite, alors la frquence (nombre de battements par seconde, on parle

ici de frquence bien plus grande que le nombre de battement de coeur par seconde

qui est de l'ordre de 1) est 2 fois plus grande.

Reprenez lquation prcdente et vrifier cela.

Donc, l'onde ayant deux ventres va tre deux fois plus aigu que l'onde ayant un

ventre. On va mettre a en symboles mathmatiques. On note f la frquence de l'onde

la plus grande, celle qui a un seul ventre. Cette frquence f s'appelle la fondamentale.

Alors l'onde deux ventres va avoir pour frquence 2 f la, et plus gnralement, l'ondeayant n ventres va avoir pour frquence n fois f la. Avec une corde 110 battements

par secondes, on aura des ondes de frquences 110, 220, 330, 440 etc.

Pourquoi on nentend quune seule note ?

En effet, on entend la fondamentale, et les harmoniques viennent donner un aspect, en

quelque sorte habiller la frquence fondamentale, ce qui donne un timbre au son.

Ainsi, la diffrence entre un son de flte et un son de guitare jouant la mme note

n'est autre que la composition en harmonique. Comme en cuisine : une pince

d'harmonique x2, un brin de noix d'harmonique x3... On assimile les harmoniques la

fondamentale parce que gnralement elles sont faibles (trop faibles pour tre des

notes part entire), mais aussi parce qu'elles sont synchronises, en temps et en

intensit avec la fondamentale.

La fondamentale et les harmoniques

La fondamentale, vous savez c'est la frquence la plus basse, et toutes les autres

frquences ce sont des harmoniques, qui sont des multiples entiers de la frquencefondamentale. D'ailleurs l'harmonique x1 est en fait la fondamentale. Tiens, je vousdisais qu'une onde avec 2 ventres a une frquence 2 fois plus grande qu'une onde

ayant 1 seul ventre. Maintenant si on prend une corde deux fois plus courte que lapremire mais part a pareil que l'autre, mme matriau et mme tension (en effet

plus la corde est tendue plus la note est aigu) et qu'on se demande quelle est la

frquence de l'onde ayant un seul ventre dans la petite corde, on obtient quoi ? On

obtient a :

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II. Thorie du traitement du signal : Srie de Fourier

Jusqu prsent, nous avons vu quun son ou une vibration entre deux pointsprovoquait un son dont la frquence tait inversement proportionnelle la longueur

du fuseau.

On note L la longueur de la corde, comme il ny a quun seul fuseau, la demi longueurdonde /2=L donc la frquence rsonnante est dfini par f=V/(2L), V tant laclrit.

Question : Sachant que la longueur dun corde de guitare est de L=642 mm, que vaut la frquence

libre de la premire corde si celle-ci est dfini par une vitesse de vibration est de 106m/s

On a reprsent le signal le long de la corde (donc en fonction de la distance), et on a montr que le

signal prsentait un nud. On saperoit que la reprsentation ci-dessus met en avant plusieurs fuseauxdamplitudes diffrentes. En fait, lorsquon fait vibrer la corde, a un instant donn, lamplitude de

celle-ci est maximale puis dcrot, sannule, devient minimale puis saccrot, Nous reprsentons ci-dessous lvolution du son gnre par une lame de diapason en fonction de la

distance pour diffrents instants.

Figure 4 : Evolution de lamplitude de londe en fonction de la distance diffrents instants

Maintenant, regardons lvolution de londe une distance d fixe en fonction du temps :

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Figure 5 : Evolution de lamplitude de londe une distance d en fonction du temps/rponsefrquentielle

Dans le cas ou lattnuation est nulle, voici la rponse temporelle et frquentielle des signaux observes

via un microphone sur un oscilloscope et un analyseur de spectre.

Figure 6 : Reprsentation loscillo et lAnalyseur de spectre de deux sons

Le diapason prsente un signal sinusodal de frquence 317,4 Hz que lon observe

facilement sur loscilloscope. On voit de plus sur lanalyseur de spectre un signal

634Hz.

Le signal temporel gnr par la guitare et mesur par le microphone est plus

complexe. Il est priodique tous les 2 carreaux et demi soit 1,25 ms environ.

Lanalyseur de spectre montre en effet une frquence fondamentale de 769 Hz = 1/

(1,3 ms) et des harmoniques.

II-1 Analyseur de spectre

Un analyseur de spectre est un appareil de mesure, qui reprsente un signal en

fonction de sa frquence. Alors quun oscilloscope reprsente lamplitude dun signal

en fonction du temps, lanalyseur de spectre reprsente lamplitude dun signal en

fonction de sa frquence.

EDF nous fournit un signal 50 Hz, si on observe lvolution de la tension en

fonction du temps nous observerions le signal suivant

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Figure 7 : Reprsentation loscilloscope de la tension secteur

Il sagit dun signal 50 Hz, c'est--dire un signal dont la seule amplitude non nulle

est 50 Hz. Si on reprsente dans le domaine frquentiel (mesure sous lanalyseur de

spectre), nous observerions le signal suivant :

Sur la figure suivante, nous observerons la trace temporelle et frquence dun signal

compose de trois sinusodes :

Figure 8 : Reprsentation temporelle et spectrale dun signal compos de trois frquences

Amplitude

Frquence

220 V

50 Hz

200 Hz 400 Hz 600 Hz

10

Amplitude

Frquence

Amplitude

Frquence

Amplitude

Amplitude

Frquence

Frquence


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Dans le cas prcdent, le signal 200 Hz est appele la fondamentale, les frquences

400 Hz et 600 Hz sont les harmoniques. La frquence des harmoniques est toujours

une multiple de la frquence du fondamentale.

Ainsi, lanalyseur de spectre reprsente lamplitude et chaque frquence existantedans le signal mesurer. Le signal tudi est donc constitu dune somme de signaux

sinusodaux dont lamplitude et les frquences sont dtermines par lanalyseur de

spectre.

La reprsentation spectrale et temporelle donne les mmes informations. La

reprsentation spectrale reprsente un signal en fonction de la frquence (analyseur

de spectre) alors que la reprsentation temporelle reprsente le mme signal en

fonction du temps (oscilloscope). La reprsentation spectrale donne lamplitude de

toutes les frquences prsentes dans le signal temporel, on peut ainsi crire le signal

temporel comme une sommation de signaux sinusodaux.

Application de cours : TD n1

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Chapitre 2 :

Traitement du signal : Classification des

signaux


3h00 de cours

1h30 de TD


Classification des signaux : dterministes (priodique ou non) ou alatoires

(stationnaire ou non)

Rappels de signaux priodiques et proprits

Dfinitions et proprits de signaux usuels : porte, rampe, chelon, impulsion.

Puissance et nergie dun signal

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I. Introduction

Les premires applications du traitement du signal taient ddies lextraction dun

signal dans un milieu bruit. Pour ce faire, il tait ncessaire davoir des

connaissances a priori sur le signal mesurer et sur la nature du bruit.

On dfinit deux classes principales de signaux :

- Signal dterministe : il sagit dun signal dont on peut reprsenterlvolution grce une fonction mathmatique. On peut citer le signal

sinusodal, rampe, chelon, impulsion ou dirac, Un signal dterministe

peut tre priodique ou non priodique.

- Signal alatoire est un signal dont on ne peut deviner lvolution.Nanmoins, tout signal alatoire peut tre caractris mathmatiquement,

mais aucune fonction mathmatique ne permet de prdire lvolution du

signal linstant donn. Un signal alatoire peut tre stationnaire ou non

stationnaire.

En rgle gnrale tout signal rel est alatoire, car tout signal est entach de bruit.

Mais, attention : un signal alatoire nest pas un bruit et un bruit peut tre

dterministe. En effet, si vous souhaitez transmettre des donnes par le CPL, alors le

bruit le plus lev est gnr par le secteur 50 Hz (donc un signal dterministe) et

linformation que vous transmettez est forcment alatoire (sinon vous pourriez la

gnrer au rcepteur par la fonction mathmatique).

Cette nuance est importante, on simplifie trop souvent signal alatoire et bruit.

II. Signaux dterministe

II.1 Exemples de signaux dterministes

Rappel : un signal temporel est dterministe sil est dfini par une quation

mathmatique. Ainsi, la connaissance de cette fonction permet de prdire la valeur du

signal tout moment : il sagit dun signal certain, prvisible.

Parmi les signaux dterministes les plus connus, on peut citer les signaux priodiques

tels que :

- le sinus la frquence fp : Vsin(2fpt) de priode Tp=1/fp.

- le triangle : tri(t) = V0-V|t-t0| priodis tous les Tp- le carr : rect(t)= VM sur une demi priode Tp et Vm sur lautre demi

priode

Dfinition :Un signal dterministe, reprsent par sa fonction f est dit priodique de priode Tp si

f(t)=f(t+Tp).

Proprit :Tout signal priodique de priode Tp prsente une frquence fondamentale la

frquence fp=1/Tp.

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Tout signal dterministe nest pas obligatoirement priodique, on peut citer titre

dexemple :

- Impulsion de dirac, note - Echelon ou fonction de Heavyside - Fentre ou porte

Rmq : On peut crire : T(t)=(t-T/2)-(t+T/2)

Facultatif : Limpulsion de Dirac est un signal particulier et on va ltudier dans un

premier temps comme la limite dune fonction (t) en 0.

Limpulsion de dirac est dfinie comme la limite dune des fonctions ci-dessus

lorsque le paramtre tend vers 0.

Donc : )(lim)(0

tt

=>

1)( =

dtt

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Rmq : Ltude de limpulsion de Dirac est issue de la thorie des distributions, que nous ntudierons

pas (il serait plus rigoureux de dire que nexiste quau sens des distributions et nest pas une

fonction puisque cet lment est infini en 0 et nul ailleurs).

Fin de la partie Facultative

Par convention on reprsente (t-t1) par une flche dunit 1 (correspondant laire dudirac, comme reprsent sur le tableau des fonctions).

On se rfrera lAnnexe A pour une description plus exhaustives de fonctions.

II-2 Moyenne et puissance dun signal dterministe priodique

Par dfinition, un signal dterministe est un signal connu, c'est--dire dont on connat

la fonction. Soit u, la fonction du signal dterministe (ex : u(t) = 1+ sin(2f0t).

On dfinit :

La Moyenne : par lintgrale de la fonction sur une priode (do la ncessit

dun signal priodique).

=T

dttuT

m0

)(1

La puissance P ou valeur efficaceSeff: par lintgrale de la fonction au carr

==

T

dttu

T

PSeff

0

22 )(1

II-3 Cas gnral : Puissance et Energie dun signal dterministe non

ncessairement priodique

Soit un signal quelconque U traversant une rsistance R. En appliquant la loi dOhm,

on mesure le courant par i=U/R.

La puissance est exprime en Watt correspond lEnergie fournie (Joule) la

rsistance sur une dure dune seconde (1 Watt = 1 Joule/seconde).

Rmq : 1 Watt heure = 1 watt pendant une heure = 3600 joules.

Lnergie instantane est le produit du courant et de la tension, soit E(t)=u(t).i(t).

Dans le cas de la rsistance, lnergie INSTANTANEE E(t) = u(t)/R.

En traitement du signal, quand aucune information nest donne sur R, on normalise

la rsistance 1 Ohm, donc lnergie instantane scrit E(t)=u(t). En gnral, on

calcule lEnergie sur un laps de temps T=t2-t1 par :

Energie:

=2

1

)(2t

t

dttuE

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Puissance moyenne :

=2

1

)(1 2

t

t

dttuT

P

Energie totale :

= dttuE )(2

Puissance moyenne totale :

>=

2

2

2 )(1

lim

T

TT

dttuT

P

Rmq : Dans le cas dun signal priodique, on retrouve ===

>

TT

TT

dttuT

PdttuT

P0

22

2

2 )(1

)(1

lim

III. Signaux alatoires

III-1 Exemples et dfinitions

Rappel : un signal est dit alatoire si la connaissance du signal l'instant t ne permet

pas de prjuger de la valeur l'instant t+t. Bien qualatoire, le signal est modlispar ses caractristiques statistiques.

Un signal alatoire peut tre stationnaire ou non stationnaire. Il est stationnaire si ses

caractristiques alatoires ne sont pas modifis au cours du temps.

Nous allons illustrer cela par des exemples concrets.

1erexemple : Lancer de d

Lorsquon lance un d 6 faces, on a 1/6 dobtenir un 6. La probabilit est de 1/6

pour chaque exprience (on parle de probabilit uniforme p). Soit m, les diffrentesvaleurs du d ( m prend pour valeur {1, 2, 3, 4, 5, 6}). Si on calcule la moyenne des

lancs obtenus, on va sommer chaque valeur de d, et diviser le tout par le nombre de

lancer. En moyenne, on obtient :

=

=N

k

kk pmN

m1

.1

ou signifie somme, N est le nombre de lancer, mkest le rsultat et pk=1/6 la

probabilit.

2me exemple : Bruit de mesure (Bruit gaussien).

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Lors de lacquisition, le signal est affect dun bruit de mesure :

On saperoit que le signal passe plus souvent par 0 que par 2.7 volt. Si on trace le

nombre de fois que le signal passe par une amplitude donne (comme si on projetait le

signal sur laxe vertical), on obtient lhistogramme (la fonction de densit) du signal.

Densit de fonction

La courbe densit de fonction reprsente en ordonne la probabilit davoir un bruit

(dans cet exemple, on a choisi dillustrer par un bruit de mesure) dont lamplitude est

donne en ordonne. On saperoit quil y a trs peu de chance davoir un bruit

damplitude 4 V.

On constate aussi que le signal est autant positif que ngatif, donc que la valeur

moyenne est nulle. Le signal prsent ci-dessus est appel bruit blanc, il sagit dunsignal gaussien (cf cours de mathmatique).

III-2 Proprits

Soit un signal alatoire, dfinit par sa fonction de probabilit p(x) et des valeurs x que

peut prendre ce signal.

Dans lexemple de bruit, x reprsente lamplitude du bruit et p(x) la probabilit

associe (lordonne).

On dfinit la moyenne ou lesprance mathmatique par

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= dxxxpm )(

On dfinit la variance par :

( )

= dxxpmxV )(2

m tant la moyenne, on mesure lcart au carr de la variation du signal par rapport

la moyenne. Il sagit donc du carr de lcart type.

Application : Correction des copies, on calcule la moyenne de la classe et lcart type c'est--dire la

diffrence moyenne des notes des lves par rapport la moyenne de la classe.

Dans le cas dun bruit de mesure, la variance est gale la puissance du signal.

ATTENTION : Nous supposons des conditions bien particulires pour lesquelles onpeut admettre que la variance dun signal alatoire est gale la puissance. Ceci est

loin dtre vrai et vident pour tout types de signaux alatoires.

IV. Units de puissance

Que le signal soit dterministe ou alatoire, nous avons dfini le terme de Puissance.

La puissance calcule consiste, dans les deux cas mesurer lamplitude au carre du

signal. La puissance sexprime en Watt, il sagit dune tension au carr sur une

rsistance de 1 Ohm.

Pour des raisons de simplicit de calcul, on introduit des notions de dBW.

1 dBW = 10 * log10(1 Watt)

La rgle de conversion est la suivante : )(log*10 10, WWdB PP = , o PdB,W reprsente lapuissance en dBW et PW la puissance en Watt, log10 est le logarithme en base 10.

Cette rgle de conversion est trs simple et sera utilise pour faciliter les calculs mais,

avant chaque calcul faites bien attentions aux valeurs utilises (Volt, Watt, dB, ).

ATTENTION :

La notation dBw nexiste pas, on parle de dB, en faisant rfrence des Watts

lorsquon parle de puissances. Nanmoins, le terme de dB est sans unit (ni Watt, ni

Volt, il sagit plutt dun gain). Le dB est utilis pour spcifier un rapport de

Puissance ou de tension (donc pas dunit). Quand on parle dun gain en puissance de

3dB cela signifie que la puissance est multiplie par 2 (sans unit). Donc si le signal

dentre une puissance de 3 dB (ce qui reprsente 2 Watts), et que lon amplifie le

signal par un gain de 3 dB (on lamplifie par un rapport de 2 sans unit), le signal en

sortie de lamplificateur a une puissance de 6 dB (soit 4 Watts).

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Exemple dapplication.

On suppose une ligne tlphonique qui attnue le signal de moiti tous les kms. Le

signal mis par le centrale tlphonique est de 1 Watt, quelle est la puissance reue au

bout de 8 kms ?

Rponse : Au bout dun kilomtre, on mesure Watt, au bout de 2 kms, on mesure

watt, donc au bout de 8 kms on mesure 1/2 8. Si on raisonne en dB, on perd

10*log10(0.5) soit 3dB par kilomtre (on gagne -3 dB ou on perd 3 dB). Par

consquent, lattnuation au bout de 8 kms est de 24 dB. Le centrale mettait 1 Watt

soit 0 dB (10*log10(1)) par consquent, on mesure -24dB au bout de 8 km.

On sait aussi que la puissance P est proportionnelle la tension au carr (rsistance

normalise).

Donc, )(log*20)(log*10)(log*10 102

1010 VVPP VoltWdB === . Attention ne pasconfondre

Passage de dB en dBm.

Dans le cadre des tlcoms, lamplitude des signaux est trs faible. On introduit alors

lunit dBm pour se rfrer des tensions en mV, et des puissances en mW

)(log*10 10 mWdBm PP = . Les dBm font rfrences des mW.

Exercice dapplication : Dmontrer que PdB=PdBm- 30 dB

Application. Soit un signal de puissance 5 dBm, on lamplifie par un rapport de 3 dB

(notez encore le terme dB sans unit et non dBm), on rcupre un signal de 5dBm+3

dB = 8 dBm.

V. Pour rsumer, une classification des signaux

Les signaux physiques ont une existence relle, et la mesure dun signal physique

peut se reprsenter par une fonction s(t) qui varie au cours du temps.

Ce signal qui a une existence propre possde les caractristiques suivantes :

- Energie borne

- Amplitude borne

- Continu temporellement

- Causal s(t)=0 si t0)

- Spectre born

En thorie, pour simplifier les calculs on introduit des signaux qui ont lune ou

plusieurs caractristiques suivantes :

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- Energie infinie

- Discontinuit

- Non causal

- Spectre infini

- Valeurs complexes

Nous verrons au chapitre 2 lintroduction de signaux qui nexistent pas

physiquement (ex : Dirac) et le spectre de signaux complexes prenant en compte

les frquences ngatives.

On peut ainsi dfinir diffrents modes de classification :

- reprsentation temporelle des signaux

- caractristique nergtique

- reprsentation spectrale

- continu ou discret

V.1) Reprsentation temporelle des signaux :

Signaux dterministes ou certains : Dfini par un modle mathmatique

- priodique (rels ou complexes)

- non priodique (pseudo priodique, transitoire, chaotique)

Signaux alatoires : volution imprvisible mais description mathmatique connu

- Signaux stationnaires (signaux ergodiques ou non ergodiques) lorsque la

valeur moyenne est indpendant du temps. Ils sont dit ergodiques sil est

identique de faire une moyenne statistique un instant donne sur

plusieurs chantillons ou une moyenne temporelle suffisamment longue

sur un seul de ces essais.

- Signaux non stationnaires

V.2) classification nergtique

La puissance lectrique instantane fournie une rsistance R est dfinie par

p(t)=u(t).i(t).

LEnergie dissipe sur un intervalle [t1,t2] avec t1


21/50

=2

1

)(),( 221

t

t

dttsttE et =

2

1

)(1

),( 2

12

21

t

t

dttstt

ttPs

Si on suppose t1=- et t2 =, on obtient :

= dttsWs )(2 et

=

2/

2/

2 )(1

lim

T

TT

dttsT

Ps

Si le signal est reprsent par une variable complexe, les dfinitions sont

quivalentes en remplacant s(t) par s(t).s*(t)=|s(t)| ou s*(t) est le complexe

conjugu de s(t). Par exemple

s(t)= tan (3t)+i. cos(2t).

s*(t)= tan (3t)-i. cos(2t)

Les signaux nergie finie :


22/50

- Fmoy


23/50

Dans ce module, nous avons dcrit diffrents types de signaux dterministes et

alatoires -, les premiers sont connus par lutilisateurs, les seconds sont dus aux

bruits ou sont destins modliser des systmes. Ces signaux sont couramment

utiliss en traitement du signal, on les associe leur puissance, et aux proprits de

corrlations. Nous allons couramment mesurer leur spectre, et lvolution de leur

spectre. Le chapitre suivant est destin ltude des sries et des Transforme de

Fourier.

Application de cours :

- TD n2- Annexe A : Ecrire les formules mathmatiques de chaque signal

Signal continu dans le tempsSignal discretis

Signal chantillonn

0 1 1 0 0 0 1 1

tt

tt

Signal Numrique

23


24/50

Chapitre 3 :

Traitement du signal : Analyse Spectrale et

Srie de Fourier


3h00 de cours

3h00 de TD


Calcul des sries et Transforme de Fourier

Spectre de signaux usuels : porte, rampe, chelon, impulsion.

24


25/50

I. Introduction aux sries de Fourier

I.1) Dfinition de la srie de Fourier

Les sries de Fourier permettent de passer du domaine temporel au domainefrquentiel pour des signaux priodiques, dans le cas contraire, on utilisera la

Transforme de Fourier.

Nous avons vu quun analyseur de spectre permettait de reprsenter un signal comme

sommation de signaux des frquences diffrentes. En fait, la dcomposition en srie

de Fourier permet de reprsenter un signal comme une somme infinie de signaux

sinusoidaux et co-sinusoidaux.

Soit t->x(t) un signal priodique de priode T, quelconque alors x peut scrire de la

manire suivante :

=

++=1

0 )sin()cos()(n

pnpn tnbtnaatx (eq 3.1)

avec :

dtx(t)1

a2

2

o

=T

TT, est la composante continue

t)dtcos(nx(t)2

a2

2

p

T

T

n

T

= , t)dtsin(nx(t)2

b2

2

p

T

T

n

T

= , n>1 (eq 3.2)

Les coefficients an et bn sont appels les coefficients de la srie de Fourier, pp f 2= est la pulsation avec fp=1/T. Remarquez les indices relatifs la priode.

On peut reprsenter lquation 3.1 par deux spectres, lun reprsentant le spectre en

cosinus et lautre le spectre en sinus :

o les coefficients an et bn sont positifs ou ngatifs.

a1

Fp

a0

a2

2Fp

V3

3Fp

b1

Fp

b2

2Fp

b3

3Fp

Spectre en sinus

25

Spectre en cosinus


26/50

On peut noter : 22V nnn BA += , Vn est lamplitude observe par lAnalyseur de spectre

la frquence nfp, fp=1/Tp la frquence fondamentale. Par dfinition Vn est positif,

mais an et ou bn peuvent tre ngatifs.

Proprits :

a0 reprsente la tension moyenne, la frquence 0*fp donc il est reprsent par

lamplitude de la raie observe la frquence 0 de lanalyseur de spectre. La tension

moyenne est aussi appele la composante Continue.

Notez bien que Tout signal ayant une composante continue non nulle en temporel

prsentera une raie la frquence 0 damplitude gale la composante continue.

V1 reprsente lamplitude de la fondamentale, les amplitudes Vn, n>1 reprsentent

lamplitude des harmoniques.

Vn pour n1 reprsente lamplitude de la fondamentale et des harmoniques

En factorisant par 22 nn ba + , on peut crire (3.1) selon :

++

+++=

= 12222

22

0 )2sin()2cos()(n

p

nn

np

nn

nnn ntF

ba

bntF

ba

abaatx

Or en posant 22nn

nn

ba

ax

+= et 22

nn

nn

ba

by

+= , on note que xn+yn=1.

Et sachant que 1)(sin)(cos22

=+ , on peut crire )sin(et)cos( nnnn yx ==

Par consquent substituant xn et yn dans la formule prcdente par cette dernire

relation, on peut crire :

[ ]

+++=

=1

22

0 )2sin()sin()2cos()cos()(n

pnpnnn tnFtnFbaatx ce qui peut

encore scrire sous la forme suivante :

++=

=1

22

0 )2cos()( npnn ntFbaatx (3.3)

avec )tan()cos(

)sin(

==

x

ysoit tan

1 =

x

yc'est--dire, puisque 22

nn

nn

ba

ax

+= et

22

nn

nn

ba

by

+= ,

n

n

n

n

a

b

x

y=

Donc pour rsumer :

26


27/50

a0 est la tension moyenne et22

nn ba + est lamplitude des raies donnes par

lanalyseur de spectre. On note que lanalyseur de spectre ne donne aucune

information relative la phase, il ne mesure que lamplitude des raies.

Le spectre dun signal priodique est constitu de raies dont lcart est gal Fp. Lespectre dun signal priodique est discontinu.

La encore, le spectre est reprsente par deux figures, une pour le module et une pourla phase (auparavant, nous avions un spectre en sinus et en cosinus).

Important : Lanalyseur de spectre ne trace que le spectre en module.

Rappel de la fonction de Dirac

Nous avons vu dans le chapitre 2 quelques fonctions particulires, non priodique

telle que la fonction de dirac, dfinie en temporel par (t-t1) et reprsente par uneflche dunit 1 (correspondant laire du dirac, comme reprsent sur le tableau des

fonctions).La fonction de dirac peut tre dfinie en frquentiel par (f-f1), par une raie la

frquence f1 et damplitude 1. En fait, (f) est la fonction de Dirac dfinie par une

amplitude de 1 0Hz et une amplitude nulle ailleurs donc (f-f1) est reprsent parune amplitude de 1 f-f1=0 Hz et nulle ailleurs

On reprsente ainsi :

La srie de Fourier est constitue de plusieurs raies, donc on peut considrer quelle

est constitue dun dirac damplitude V0 0, dun dirac damplitude V1 Fp, dun

dirac damplitude V2 2Fp,

Mathmatiquement, le module du spectre scrit :

= += 10 )()( n pn nFfVVfX (3.4)

V1

Fp

V0

V2

2Fp

V3

3Fp

Spectre en module

1

Fp

2

2Fp

3

3Fp

Spectre en phase

1

Dirac f1

f

27


28/50

Prenez bien conscience quen temporel le signal scrit :

++=

=10 )2cos()(

n

npn tnFVVtx

I.2) Calcul de la Srie de Fourier.

En rgle gnrale, nous allons utiliser le tableau lannexe C pour dterminer les

coefficients de la srie de Fourier pour des signaux priodiques. Nanmoins retenez

que les coefficients sont dtermins partir des quations dintgrations prcdentes,

formules que vous tudierez en mathmatique. Nous allons maintenant nous intresser

la reprsentation spectrale UNIlatrale et Bilatrale. Pour cela, nous allons

introduire la notion de signaux complexes.

I.2.1) Reprsentation Spectrale Unilatrale.

La dcomposition en srie de Fourier permet de reprsenter le signal sous lune des

deux formes quivalente suivante :

=

++=1

0 )2sin()2cos()(n

pnpn tnFbtnFaatx

ou

++=

=10 )2cos()(

n

npn tnFVVtx

Dans le premier cas, on peut donc reprsenter le spectre en cosinus et en sinus,

dans le deuxime cas on peut reprsenter le spectre en amplitude et en phase, dans

le domaine des frquences positives.

Comme le spectre nest reprsent que pour les frquences positives, on parle de

reprsentation spectrale UNIlatrale.

I.2.2) Reprsentation Spectrale Bilatrale.

Passage en complexe

En appliquant les formules dEuler, on peut crire :

2cos

jj ee +

= etj

ee jj

2sin

= , j reprsente limaginaire pur (j=-1)

(note : en mathmatique, on emploiera plus souvent i la place de j)

En remplaant les cosinus et les sinus par lexpression prcdente, on peut

crire lquation 2. 1 de la manire suivante :

=

+

+

+= 10 2

)2exp(.)2exp(

2

)2exp(.)2exp(

)( n

pp

n

pp

n j

ntFjntF

b

ntFjntF

aatx

28


29/50

avec j=-1 donc 1/j=-j

En regroupant les termes pour n positif et n ngatif, on trouve

=

+

+

+= 10 )2exp(2)2exp(2)( n pnn

p

nn

ntF

jba

ntF

jba

atx

On pose

022

>

+=

= npour

jbacet

jbac nnn

nnn , c-n est donc dfini pour les indices

ngatifs.

on obtient alors : [ ] [ ]

=

=

++=11

0 )2exp()2exp()(n

pn

n

pn ntFcntFcatx

On remarquera que les coefficients cn sont dtermins de +

Les coefficients cn peuvent tre calculs de la manire suivante :

2

nnn

jbac

= pour n>0

2

nnn

jbac

+= pour n>0,

c-n est donc dindice n ngatif

c0=a0(3.5)

ce qui suppose de calculer an et bn en amont.

On prfrera la formulation suivante :

==

2

2

2

2

2)(

1)(

1

T

T

tjn

T

T

tFjnn dtetx

Tdtetx

Tc pp

(3.6)

Reprsenter le spectre du signal x(t) consiste reprsenter le signal complexe cn pour

les diffrentes frquences. L encore, on tracera deux figures, lune pour la partie

relle et lautre pour la partie imaginaire (cf. reprsentation spectrale selon le cosinus

et le sinus ou la reprsentation spectre en module et en phase).

29


30/50

On notera que (cn)= (c-n) et I(cn)= -I(c-n).Exemple dapplication :

Soit x(t)= A sur [0,1/2] et -A sur [-1/2, 0], le signal 1-priodique (priodique de

priode 1). Alors

+=+===

21

0

0

21

21

0

0

21

21

21

2

2

111111 )()()()(1

dtAedtAedtetxdtetxdtetxdtetxT

c tjntjntjntjntjn

T

T

tjnn

En remplaant t par u (t et un tant des variables muettes), on obtient :

=+

=+=+=

2

1

0

21

0

21

0

21

0

2/1

0

)( )2cos(22

2)(11

1111 dttnAdtee

AdtAeAedtAeduAectjntjn

tjntjntjnujn

n

Il ne reste plus qu calculer lintgrale.

II. Extension de la srie de Fourier aux Transforme de Fourier

Tout signal CONTINUE et PERIODIQUE de priode Tp prsente un spectre

DISCRET dont les raies sont espaces par des multiples de fp.

Plus la priode est grande, plus lespace frquentiel (entre deux raies) est rduit.

Lorsque le signal nest pas priodique, on peut supposer quil est priodique linfini,

dans ce cas la priode Tp est infinie et donc Fp=0.

Si le signal nest pas priodique (ou priodique linfini), le spectre est CONTINU

Fp

c0

(c1)

2Fp (c

3)

3Fp

Partie imaginaire du spectre

(c2)

-Fp

(c-1)

(c-2)

-2Fp

Partie relle du spectre

c0

I(c1)

3Fp

(c2)

I(c-1)

I(c-2)

-3Fp

2Fp

Fp

-Fp

-2Fp

I(c-3)

f

t

T

F 2F nF

f

t

T

F 2F nF

30


31/50

La Transforme de Fourier sobtient de manire quivalente la srie de Fourier,

mais en faisant tendre la priode T vers linfini. La sommation devient une intgrale.

Ainsi on obtient :

==

2

2

2)(limlim)(

T

T

ftj

Tn

TdtetxTcfX

(3.7)

A partir de x(t) on peut calculer le spectre du signal par Transforme de Fourier.

Par consquent, on peut crire :

= dtetxfX ftj 2)()(

Mais, on peut aussi passer du domaine frquentiel au domaine temporel : A partir de

la Transforme de Fourier X(f), on peut calculer le signal x(t) :

+= dfefXtx ftj 2)()( (3.8)

Il sagit de la transforme de Fourier Inverse.

Notez bien le signe + devant le complexe par rapport au signe moins dans lquation

de la Transforme de Fourier et la variable que lon intgre.

Rcapitulatif :

Il est important de connatre les quations relatives aux Sries et Transformes de

Fourier.

Tout signal xp(t) priodique de priode Tp peut se dcomposer en une somme infinie

dexponentiel complexe :

=

=n

tjn

npectx

)( avec

=2

2

)(1

T

T

tjn

n dtetxT

c p

f

t

31


32/50

cn sont les coefficients de Fourier, c0 reprsente la tension continue (moyenne)

Si le signal x(t) nest pas priodique, alors on utilise la Transforme de

Fourier pour calculer le spectre du signal : On peut ainsi obtenir le domainefrquentiel X(f) partir de la reprsentation temporelle x(t).

= dtetxfX ftj 2)()(

On peut aussi passer du domaine frquentiel au domaine temporel. En connaissant

X(f) on peut en dduire x(t) par la Transforme de Fourier Inverse :

+

= dfefXtxftj 2

)()(


Il est important de connatre les formulations et de comprendre les analogies entre les

coefficients de la srie de Fourier et la moyenne, la fondamentale et les harmoniques

- TD n3

32


33/50

Chapitre 4 :

Traitement du signal : Convolution et

Echantillonnage


1h30 de cours

1h30 de TD


Proprits des fonctions de Convolution

Peigne de Dirac

Echantillonnage Condition de Shannon.

33


34/50

I. Introduction

Les technologies actuelles (Tlphone, PDA, PC, chane dacquisition, Ipod, )

utilisent des calculateurs numriques. Lorsque vous travaillez sous Matlab ou Scilab,

le signal temporel est discrtis, ce qui signifie que vous ne prenez pas en comptelvolution du signal tout instant (signal analogique), mais lamplitude du signal

des instants bien rguliers.

Il sagit de lchantillonnage.

Echantillonner consiste prlever PERIODIQUEMENT lamplitude du signal x(t),

comme le montre la figure suivante :

Au cours du chapitre 3, nous avons vu :

- quun signal priodique prsente un spectre discret,- quun signal non priodique prsente un spectre continu

Nous allons voir maintenant quun signal non priodique mais chantillonn (oudiscrtis) la frquence Fe prsente un spectre priodique de priode Fe (un

spectre tant dfini en frquence, sa priode est une frquence).

Lopration dchantillonnage consiste prlever lamplitude du signal tous les

instants Te, tout revient donc faire le produit du signal chantillonner avec une

srie de Dirac :

La srie de Dirac sappelle un peigne de Dirac. Cette fonction est constitue de dirac

espacs de Te, par consquent

==

n

enTttp )()( .

f

t

T

F /2

t

t

T

kT

34

t

Te


35/50

On obtient un signal chantillonn

=

==0

)()()().()(n

ee nTttxtptxtx

La question est de savoir, que vaut le spectre Xe(f) de xe(t) ?Le fil conducteur de ce chapitre est la mesure du spectre.

II. Convolution

II-1) Notion de la fonction de convolution

Prenons lexemple dune pice rsonnante, (pensez une glise). Toute mlodie joue

dans lglise naura pas la mme sonorit que la mme mlodie joue en plein air. Les

parois de lglise et la forme permettent de conduire le son et lon peroit les

rverbrations.

Pour simplifier, prenons une chambre dcho qui rpte un son linstant Techo. Soit

s(t) le signal nous entendrons tout instant s(t) et Techo plus tard, nous r-entendronss(t) attnu, soit le signal srecu(t)=s(t)+As(t-Techo).

Si jmets une trs brve note (une impulsion ou un dirac), je reois :

Une brve note reprsentera une impulsion (un dirac temporel), et nous avons donc

trac sur la figure prcdente la rponse du canal. Le signal entendu et lcho attnu

linstant Techo.

Si jmets deux sons brefs lun aprs lautre, je recevrais lcho de mes deux sons et

ainsi du suite. On peut donc dire que mon canal (ma chambre dcho) sexprime par :

Chambre(t)=(t)+A (t-Techo).

Si jmet une mlodie nomme s(t), je vais recevoir :

srecu(t)=s(t)+As(t-Techo).

Techo

t

0

35


36/50

II-2) Fonction de convolution : dfinition et proprit

Soient x(t), un signal et h(t) lquation de mon canal. Alors, en sortie de mon canal ,

je rcupre un signal y(t) telle que y(t)=x(t)*h(t) le produit de convolution de x et h.

On dit y est gal x convolu avec h

Par dfinition,

== dtxhhxty )()()( eq 4.1

On note X(f), Y(f) et H(f) la transforme de Fourier respectivement de x(t), y(t) et h(t)

H(f) reprsente la fonction de transfert de mon canal (il peut sagir dun filtre).

Exemple des Filtres

Lorsquon tudie un filtre, on met un signal sinusodal une frquence donne et on

mesure lattnuation cette frquence. On augmente ensuite la frquence et on re-

commence lopration. On trace ainsi la caractristique dun filtre en frquentielle

H(f).

Le fait dmettre un signal sinusodal une frquence f1, correspond lmission dun

dirac la frquence f1. Soit H(f), la fonction de transfert du filtre, on rcupre donc le

signal dfini par

== dtxhthtxty )()()()()( eq 4.2

Il sagit du produit de convolution entre le filtre et le signal dentre.

Proprit de la fonction de convolution

La convolution est une opration couramment utilise dans le domaine du traitement

du signal car elle apporte des rsultats rapides par passage de la FFT. Elle est

l'analogue de la multiplication spectrale dans le domaine temporelle et inversement,

c'est--dire qu'une multiplication de deux signaux, terme terme dans le modle

temporelle, se traduira comme une convolution des spectres des deux signaux :

Thorme de Plancherel :

Si : )().()( txthty = alors )()()( fXfHfY = eq 3.1

Et inversement : si )()()( thtxty = alors, Y(f)=X(f).H(f).

Proprit du Dirac

Soit un signal x(t), le produit de x(t) par un dirac linstant nT donne lamplitude du

signal linstant nT et une amplitude nulle entre deux instants, soit x(t).(nT)=x(nT)

(cf. chantillonnage).

36


37/50

Par consquent, en frquentiel nous aurons la mme proprit (une fonction la

mme caractristique quelle que soit la variable)

X(f).(f-Fi)=X(Fi), lamplitude de X(f) la frquence Fi.

Retour sur lexemple du filtre : Convolution Temporel Produit Frquentiel:

Nous savons qumettre un signal sinusodal une frquence f1, correspond

lmission dun dirac la frquence f1.

Nous savons aussi, que le signal en sortie du filtre sexprime :

- en temporel par : )()()( thtxty = , avec x(t)=sin(2Fit)- en frquentiel Y(f)=X(f).H(f)= (f-Fi).H(f)=H(Fi) soit la fonction de

transfert du filtre la frquence Fi.

Lamplitude mesure Y(f) f=Fi correspond donc lattnuation apporte par le canal

la frquence Fi.

Cas gnral :

Soit H(f) un spectre contenu sur Fmax Fmax (quelconque). Dessiner H(f). Si X(f)

est un dirac la frquence Fi, reprsenter graphiquement Y(f) par rapport H(f).

Opration dchantillonnage : Produit Temporel Convolution Frquentiel:

Echantillonner revient prlever un signal x(t) priodiquement. Tout se passe comme

si on multipliait le signal x(t) par un peigne de Dirac.

Au niveau frquentiel, le spectre observ scrit : Y(f)=X(f)*P(f), o * reprsente la

convolution, P(f) est le spectre du peigne de Dirac et X(f) le spectre du signal

chantillonn.

Or, la Transforme de Fourier dun peigne de dirac est un peigne de Dirac

damplitude 1/Te.

f

T

t

T

t

37


38/50

On va admettre que la convolution X(f)*P(f) est dfinie par la priodisation du spectre

X(f) autour de chaque frquence nFe, n entier relatif. Nous dmontrerons cela dans le

4me paragraphe.

III. Transforme en Z et convolution

Sur la figure prcdente, nous avons prlever lvolution du signal x(t) aux instants

nTe.

Soit x0=x(0), x1=x(Te), . .., xk=x(kTe) lamplitude du signal aux instants 0, Te, , kTe.

Auparavant, on avait exprim

=

==0

)()().()(n

ee nTtxtptxtx

Nous allons maintenant crire

=

=0

)()(n

n

ee ZnxZX , la transforme en Z de xe. Cette

criture est toujours utilise en lectronique numrique et toutes fonctions

mathmatiques implmentes dans des circuits numriques sont conues partir de la

transforme en Z.

Soit le signal carr Rect suivant, nous allons crire lquation en temporel et sa

transforme en Z.

Alors = =10

4

)()(Ren

ee nTttct , il sagit de la reprsentation discrtise dun signal

rectangulaire.

On peut crire sa transforme en Z : =

=10

4

)(Ren

n

e ZZct

Cette notion nest quvoque dans ce cours, vous verrez en mathmatique lexistence

de la Transforme en Z et ses proprits.

Convolution

t

T

tT

e

2T

e

3T

e

4T

e

10T

e

1

38


39/50

Nous pouvons dfinir de la mme manire le produit de convolution dans le domaine

discret.

Soit {xn} et {yn} deux signaux discrets dfinis par leur transforme en Z

=

=n

n

nZxZX )( et

=

=n

n

nZyZY )( , o xn et yn reprsente la n-ime amplitude du

signal discrtis.

Soit z, la convolue de x et y, alors la n-ime amplitude de z est calcule par :

zn=xn*yn=

=

k

knkyx

On retrouve la mme formulation que celle tablie en temporel, savoir

== dtxhthtxty )()()()()( , en remplacant lintgrale par une sommation

infinie devient k et t est remplac par n.

Tout revient prendre le signal x linstant 0 et de prendre y linstant n. On dessine

les deux squences lune dessous lautre en inversant y (on trace x(0) x(n) et y(n)

y(0)). On fait ensuite le produit terme terme et la sommation finale.

Application pratique :

Cas 1 : Soit un signal discrtis {xn} dfini par

=

= nn

nZxZX )( .

On peut reprsenter {x} par :

Soit {y} dfini par10)( = ZZY , c'est--dire un dirac au 10-me chantillon.

Calculons zn=xn*yn, yi=0 si i10

En reprenant lquation mathmatique, on va sommer terme terme les coefficients

de xk, k tant dfini de 0 12 (donc causal) au-del tous les termes sont nuls, avec y n-k

Le premier lment de la convolution est z0, calcul pour n=0.

==

k

kkyxz 00 , avec y0-kest nul partout sauf pour 0-k=10 soit pour k=-10.

=

=k

kkyxz 11 , avec y1-kest nul partout sauf pour 1-k=10 soit pour k=-9.

t

T

39


40/50

Finalement, on va trouver la rponse suivante :

On retrouve la squence {x} dcale, cest dire qui commence pour n=10. On

rappelle que le rsultat obtenu est la convolution de {x} avec un dirac n=10,

autrement dit, on trouve xn-10.

Cas 2 : Calculer zn, la convolution de Recte, dfini par =

=10

4

)(Ren

n

e ZZct par lui-

mme :

Ce calcul se fera en TD.

-9

Produit terme terme

Somme=0

Produit terme terme

Somme=0

i

i

Produit terme terme

Somme=x

n=11

n=0x

y

n=1x

y

i

Produit terme terme

Somme=x

n=10

y

n

40

-10


41/50

IV. Echantillonnage et condition de Shannon

Ltape dchantillonnage dun signal aux instants kTe, k entier revient discrtiser le

signal en ne prlevant lamplitude du signal aux instants kTe.

Nous rappelons que lon obtient lexemple suivant :

Tout revient multiplier le signal x(t) par le peigne de Dirac soit x e(t)=x(t).p(t)

Le fil conducteur est lestimation du spectre. On sait que :

- Y(f)=X(f)*P(f), thorme de Plancherel- La Transforme de Fourier dun peigne de Dirac est un peigne de dirac, les

raies sont espaces de Fe.- La convolution dun signal x(t) et dun dirac (t-Te) est x(t-Te), c'est--direx(t) dplac autour de Te. Nous avons fait la dmonstration avec les

signaux discrets. Or, t ntant quune variable, on obtient de mme dans le

domaine frquentiel : La convolution du spectre X(f) et dun dirac (f-Fe)est X(f-Fe), c'est--dire X(f) dplac autour de Fe.

Reprsentons P(f) :

=

=n

e

e

nFfT

fP )(1

)(

P(f) est donc constitu dune infinit de Dirac.

f

T

t

T

t

x(t)p(t)

xe(n)

f

P(f)

1/T

F 2F 3F-F 0-2F-3F

41


42/50

Or, la convolution avec un dirac Fe va dplacer le spectre autour de Fe, la

convolution avec le dirac 2Fe va dplacer le spectre autour de 2Fe, la convolution

avec le dirac autour de Fe va dplacer le spectre autour de Fe.

Par consquent, chantillonner un signal revient priodiser son spectre autour de

nFe n entier relatif.

Plusieurs cas de figures se prsentent :

Soit X(f), le spectre de x(t), spectre fini :

Quand on priodise le spectre de X(f) autour de nFe, on obtient les spectres suivant

Cas 1 : Fe>> Fmax

Les spectres sont correctement spars. Le spectre autour de Fe ne vient pas perturber

le spectre autour de 0, il ny a pas dinterfrence.

Cas 2 : Fe/2= Fmax

Les spectres sont contigus. Le spectre autour de Fe ne vient pas perturber le spectre

autour de 0, il ny a pas dinterfrence mais on est la limite

Cas 3 : Fe/2< Fmax

-Fmax Fmax

-Fmax Fmax Fe-Fe

-Fmax Fmax

Fe/2

-Fe

42

2Fe


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Les spectres se chevauchent, il y a une perturbation appel bruit de repliement.

Si le signal x(t) est un signal audio, aprs chantillonnage, le signal audio est bruit

par un signal basse frquence autour de Fmax issu de la priodisation de Spectre.

CONDITION DE SHANNON

Pour viter le repliement de spectre, on vrifiera que Fe> 2.Fmax. Cest lacondition de SHANNON.


A ce stade, ltudiant doit tre capable de reprsenter la transforme de Fourier dun

signal chantillonn et prendre conscience des limites imposes sur la frquence

- TD n4

-Fmax Fmax

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ANNEXE A : Liste de fonctions dterministes

Rampe Unitaire :

Echelon Heaviside (ou chelon unit)

Fonction signe

Fentre rectangulaire ou fonction porte

Fentre triangulaire (fonction Bartlett)

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Impulsion de Dirac linstant initial daire unit

Impulsion de Dirac linstant t0 daire a

Peigne de Dirac

Fonction sinus cardinal

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ANNEXE B : Formules mathmatiques

Relation Trigonomtrique.

)sin()sin()cos()cos()cos( BABABA =+)sin()sin()cos()cos()cos( BABABA +=)cos()sin()sin()cos()sin( BABABA +=+)cos()sin()sin()cos()sin( BABABA =

Donc cos(A)cos(B)=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]

Et videmment, cos(X)+sin(X)=1.

En dduire cos(A) et sin(A) en fonction de cos(2A).

46


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ANNEXE C : Srie de Fourier de quelques fonctions

Table Srie de Fourier.

Tout signal s(t) continu priodique, de priode T = 1/f scrit de la manire suivante :

s(t)= a0+a1cos(2ft)+ a2cos(2*2ft)+ a3cos(3*2ft)+ ancos(n*2ft)+

+b1sin(2ft)+ b2sin(2*2ft)+ b3sin(3*2ft)+ bnsin(n*2ft)+

Avec :

s(t) Coefficients de Fourier

Vsin(2ft) an=0; pour tout nb1=V, bn =0 pour tout entier n>1

Vcos(2ft) a0=0, a1=V, an=0; pour tout entier n>1

bn=0; pour tout nCarr damplitude V (pair) de tension

continue Aa0=A, a2n+1=(-1)

n.4V/[(2n+1)],a2n=0

bn=0; pour tout n

Carr damplitude V (impair) de tension

continue A

a0=A, an=0; pour tout n

b2n+1=4V/[(2n+1)],b2n=0 pour tout n

Triangulaire damplitude V de tension

continue Aa0=A, a2n+1=V/([4*(2n+1)], a2n=0, pourtout n

bn=0; pour tout n

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ANNEXE D : Rcapitulatif des formules et thorme connatre

Longueur donde

La frquence est inversement proportionnelle la longueur donde selon la formule

suivante ( retenir) dans le cas gnral:

f

cTc == c est la clrit en m/s.

Dirac

Limpulsion de dirac est dfinie comme la limite dune des fonctions ci-dessus

lorsque le paramtre tend vers 0.

Donc : )(lim)(0

tt

=>

1)( =

dtt

La Moyenne : par lintgrale de la fonction sur une priode (do la ncessit dun

signal priodique).

=T

dttuT

m0

)(1

La puissance P ou valeur efficaceSeff: par lintgrale de la fonction au carr

==T

dttuT

PSeff

0

22 )(1

Energie totale :

= dttuE )(2

Puissance moyenne totale :

>=

2

2

2 )(1

lim

T

TT

dttuT

P

Rmq : Dans le cas dun signal priodique, on retrouve ===

>

TT

TT

dttuT

PdttuT

P0

22

2

2 )(1

)(1

lim

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Conversion Watt, dB, dBm

1 dBW = 10 * log10(1 Watt)

)(log*10 10, WWdB PP =

On sait aussi que la puissance P est proportionnelle la tension au carre (rsistance

normalise).

Donc, )(log*20)(log*10)(log*10 102

1010 VVPP VoltWdB === .)(log*10 10 mWdBm PP = . Les dBm font rfrences des mW.

SERIE DE FOURIER : Signal priodique

Soit t->x(t) un signal priodique de priode T, quelconque alors x peut scrire de la

manire suivante :

=

++=1

0 )sin()cos()(n

pnpn tnbtnaatx (eq 3.1)

avec :

dtx(t)1

a2

2

o

=T

TT

, est la composante continue

t)dtcos(nx(t)2

a2

2

p

T

T

nT

= , t)dtsin(nx(t)2

b2

2

p

T

T

nT

= , n>1 (eq 3.2)

Les coefficients an et bn sont appels les coefficients de la srie de Fourier, pp f 2= est la pulsation avec fp=1/T. Remarquez les indices relatifs la priode.

Analyse spectrale

++=

=1

22

0 )2cos()(n

pnn ntFbaatx

avec )tan()cos(

)sin(

==

x

ysoit tan

1 =

x

yc'est--dire, puisque 22

nn

nn

ba

ax

+= et

22

nn

nn

ba

by

+= ,

n

n

n

n

a

b

x

y=

49


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Mathmatiquement, le module du spectre scrit dans ce cas :

= += 10 )()( n pn nFfVVfX

Transforme de FOURIER : Signal Non priodique

= dtetxfX ftj 2)()(

Mais, on peut aussi passer du domaine frquentiel au domaine temporel : A partir dela Transforme de Fourier X(f), on peut calculer le signal x(t) :

+= dfefXtx ftj 2)()( (3.8)

Il sagit de la transforme de Fourier Inverse.

Echantillonnage

Ltape dchantillonnage dun signal aux instants kTe, k entier revient discrtiser le

signal en ne prlevant lamplitude du signal aux instants kTe.

Par consquent, chantillonner un signal revient priodiser son spectre autour de

nFe n entier relatif.

CONDITION DE SHANNON

Pour viter le repliement de spectre, on vrifiera que Fe> 2.Fmax. Cest lacondition de SHANNON.

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Traitement Du Signal_etudiant