L’analyse de variance factorielleL’analyse de variance factorielle

L’analyse de variance à deux L’analyse de variance à deux facteursfacteurs

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2 2

n

n

m m m

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Traitement bTra

item

ent

a

Score

GrandeMoyenne

Effet dutraitement

a

Effet dutraitement

b

Effet de l’interactio

n

Erreur

L’analyse de variance à deux L’analyse de variance à deux facteursfacteurs

Exemple Condition

Âge

L’analyse de variance à deux L’analyse de variance à deux facteursfacteurs

Utilité: Pourquoi ne pas faire plusieurs anova ?Utilité: Pourquoi ne pas faire plusieurs anova ?

1-1- Possibilité de tester les interactions.Possibilité de tester les interactions. 2-2- Économie et puissance: Économie et puissance:

Ex. 2 conditions avec 5 traitements. Ex. 2 conditions avec 5 traitements. Si Si nnijij=10, pour chaque condition, alors nous avons 20 =10, pour chaque condition, alors nous avons 20 participants par traitements, pour un total de 100 participants par traitements, pour un total de 100 participants (20*5). participants (20*5). Pour avoir la même puissance, il faut faire 2 anova (une Pour avoir la même puissance, il faut faire 2 anova (une pour chaque condition) avec 20 participants par traitement pour chaque condition) avec 20 participants par traitement ce qui nous donnes un total de 2 * 20*5 = 200 ce qui nous donnes un total de 2 * 20*5 = 200 participants.participants.

Hypothèses effets fixesHypothèses effets fixes

Il y a 3 hypothèses (effet Il y a 3 hypothèses (effet , effet , effet et effet et effet ) autre que la général.) autre que la général. H0:H0:11==22=…==…=mmnn ou ou ii==GG H1: H1: iiGG pour au moins un i ( pour au moins un i (i|(i|(iiGG))))

H0:H0:11==22=…==…=mm ou ou ii==aa H1: H1: iiaa pour au moins un i ( pour au moins un i (i|(i|(iiaa))))

H0:H0:11==22=…==…=mmnn ou ou ii==bb H1: H1: iibb pour au moins un i ( pour au moins un i (i|(i|(iibb))))

H0: Interaction = 0H0: Interaction = 0 H1: Interaction H1: Interaction 0 0

Traitement a

Traitement b

Interaction ab

LogiqueLogique

e

Y

a

i

b B

= a/e= a/e

= b/e= b/e

= i/e= i/e

22

2 21A

AA

RpartR

R R

2 2 2 2A B ABR R R R

Tableau d’ANOVATableau d’ANOVA

2

2 1

1

2

12

1

Source de variation

( )Facteur ( ) 1 /( ou )

1

( )

Facteur ( ) 1 /( ou )1

Interaction ( )

a

i Gai

i G A erreur ABi

b

j Gbj

j G B erreur ABj

ij i

SC dl CM F

nb x xA nb x x a CM CM CM

a

na x x

B na x x b CM CM CMb

A B x x x

2

2 1 1

1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

( 1)( 1) / ( 1)( 1)

( 1)

1

a b

ij i j Ga bi j

j G AB erreuri j

a b n

pij iji j p

a b n

pij Gi j p

x x x x

x a b CM CMa b

Erreur x x ab n

Total x x abn

F (, k-1, N-1) = test critique

Type d’effetsType d’effets

Il existe différent types d’effets. Il existe différent types d’effets. Les effets fixes: ex. les 4 types de mémorisation pour 2 groupes d’âgeLes effets fixes: ex. les 4 types de mémorisation pour 2 groupes d’âge Les effets aléatoires: ex. sélection aléatoires de quatre experts sur Les effets aléatoires: ex. sélection aléatoires de quatre experts sur

l’évaluation de 5 textes de sciences choisis au hasardl’évaluation de 5 textes de sciences choisis au hasard Les effets mixes: ex. 2 groupes d’âge d’expert sur l’évaluation de 5 Les effets mixes: ex. 2 groupes d’âge d’expert sur l’évaluation de 5

textes de sciences choisis au hasardtextes de sciences choisis au hasard

Fixes: /

Aléatoires: / A erreur

A AB

CM CM

CM CM

Hypothèses effets aléatoiresHypothèses effets aléatoires

H0: H0: aa2 2 = 0= 0

H1: H1: aa2 2 0 0

H0:H0:bb2 2 = 0= 0

H1: H1: bb2 2 0 0

H0: H0: abab2 2 = 0= 0

H1: H1: abab2 2 0 0

Traitement a

Traitement b

Interaction ab

PostulatsPostulats

Indépendance des groupesIndépendance des groupes Distribution normaleDistribution normale Homogénéité des variancesHomogénéité des variances

Test de LeveneTest de Levene

2

1

2

1

( ) ( )

( 1) ( )i

k

i ii

Nk

ij ii j

N k N Z ZW

k Z Z

( , 1, )W F k N k Où ij ij iZ y y

Si les variances sont hétérogènes: test de BoxSi les variances sont hétérogènes: test de BoxSi le Si le FFobsobs > F( > F(,1,,1,nn-1)-1)

n = nombre de sujets dans 1 groupe

ExempleExemple

InteractionInteraction Un avantage de l’utilisation de l’anova factorielle est l’étude de l’interaction. Un avantage de l’utilisation de l’anova factorielle est l’étude de l’interaction. Il y a interaction si les lignes des conditions Il y a interaction si les lignes des conditions ne sont pasne sont pas parallèles. parallèles. Par exemple, la figure Par exemple, la figure

semble indiquer que l’effetsemble indiquer que l’effetcondition soit plus marquécondition soit plus marquépour les jeunes que pour pour les jeunes que pour les vieux.les vieux.

InteractionInteraction

Absence d’interaction

b1 b2 b3

Moyenne

b1 b2 b3

Moyenne

Interaction

b1 b2 b3

Moyenne

b1 b2 b3

Moyenne

ExempleExempleAnalyses descriptives

Homogénéité des variances

ExempleExemple

Tableau d’ANOVA

Effets simplesEffets simples

Si l’interaction est significative, il faut regarder les effets simples.Si l’interaction est significative, il faut regarder les effets simples. Les effets simples sont les effets d’un facteur sur un niveau d’un autre facteur. Les effets simples sont les effets d’un facteur sur un niveau d’un autre facteur.

Ex.: les différences du rappel « intention » sur l’âge.Ex.: les différences du rappel « intention » sur l’âge. Ex.: les différences des condition par rapport aux jeunes participantsEx.: les différences des condition par rapport aux jeunes participants

2 à

1

( )j

B

B A ij ji

SC n m m

L’effet de B à chaque facteur de A

2 à

1

( )i

A

A B ij ij

SC n m m

L’effet de A à chaque facteur de B

1dl b

1dl a

Effets simplesEffets simples

Si l’interaction est significative, il faut regarder les effets simples.Si l’interaction est significative, il faut regarder les effets simples. Les effets simples sont les effets d’un facteur sur un niveau d’un autre facteur. Les effets simples sont les effets d’un facteur sur un niveau d’un autre facteur.

Ex.: les différences du rappel « intention » sur l’âge.Ex.: les différences du rappel « intention » sur l’âge. Ex.: les différences des condition par rapport aux jeunes participantsEx.: les différences des condition par rapport aux jeunes participants

ExempleExemple

Effets simplesEffets simples

Effets simplesEffets simples

Si on utilise SPSS, il faut utiliser la syntaxe pour effectuer les effets simples.Si on utilise SPSS, il faut utiliser la syntaxe pour effectuer les effets simples.

manova y by a(1,2) b(1,5) /error=within /desing.

manova y by a(1,2) b(1,5) /error=within /design= a within b(1) a within b(2) a within b(3) a within b(4) a within b(5).

manova y by a(1,2) b(1,5) /error=within /design= b within a(1) b within a(2).