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ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNEEidgenössische Technische Hochschule - LausannePolitecnico Federale - LosannaSwiss Federal Institute of Technology - Lausanne
___________________________________________________________
Département de génie mécanique
Laboratoire de thermique appliquée et de turbomachines
Professeur Dr. Albin Bölcs
TRANSMISSION DE CHALEURVolume I
T2
T3
T4
T ( C)o
3 0 03 1 0
3 2 03 3 03 4 03 5 03 6 03 7 03 8 03 9 04 0 0
T1
Lausanne septembre 1997
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES I
TABLE DES MATIERES
1. Introduction, modes de trasmission de chaleur 1
1.1 Conduction 3
1.2 Convection 5
1.3 Rayonnement 7
2. Propriétés thermiques des matériaux 9
3. Introduction à la conduction thermique unidimensionnelle,
stationnaire 17
3.1 Relations fondamentales 18
3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire 24
4. Conduction thermique bidimensionnelle, stationnaire 33
4.1 Solutions analytiques 34
4.2 Analogie rhéoélectrique 40
4.3 Méthode graphique 42
4.4 Méthodes numériques 48
5. Conduction thermique instationnaire 67
5.1 Méthode de capacité thermique globale 68
5.2 Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire 73
5.3 Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle 75
instationnaire
5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire 86
6. Principes fondamentaux de la convection thermique 99
6.1 Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux 101
6.2 Propriétés de la couche limite turbulente 114
6.3 Etude de similitude et paramètres adimensionnels 119
II TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
7. Convection pour l'écoulement externe 129
7.1 La couche limite laminaire sur une plaque plane 130
7.2 Ecoulement turbulent sur la plaque plane 139
7.3 Ecoulement autour d'un cylindre 147
7.4 Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes 151
8. Convection pour l'écoulement interne 157
8.1 Convection pour un tube circulaire 158
8.2 Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire 171
9. La convection libre 177
9.1 Consvection libre sur une paroi plane verticale 180
9.2 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces
externes 186
9.3 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces
internes 189
10. Techniques de mesure 193
ANNEXE
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES III
LISTE DES SYMBOLES
Symbole Unité Signification
A m2 section de passage
cp J/(kg K) chaleur massique à pression constante
cv J/(kg K) chaleur massique à volume constant
C f - coefficient de frottement (6.49)
C th J/K capacité thermique
d m diamètre
dh m diamètre hydrodynamique (8.60)
e J/kg énergie-travail massique
E J énergie-travail technique
E W=J/s puissance-travail technique
f - variable adimensionnelle de BLASIUS (7.4)
F N force
F - facteur de forme
g m/s2 accélération terrestre
h J/kg enthalpie massique
hc J/kg enthalpie totale massique
H m épaisseur, hauteur
IV TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
Symbole Unité Signification
k W/(m2 K) coefficient de transmission de chaleur global
L m longueur
m kg masse
m kg/s débit-masse
N - nombre de tubes dans un faisceau (Fig. 7.6, 7.7)
p N/m2 pression
P m périmètre
q J/kg énergie-chaleur, massique
q W/m2 flux surfacique de chaleur
qg W/m3 énergie-chaleur générée, par unité de volume
Q J énergie-chaleur
Q W puissance-chaleur, taux de chaleur transmise
r m rayon
R J/(kg K) constante des gaz parfaits
Rth K/W résistance thermique
s J/(kg K) entropie massique
t s temps
tx,y m distance entre les rangées de tubes (Fig. 7.6, 7.7)
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES V
Symbole Unité Signification
T °C, K température
Tm,log K différence de température logarithmique (8.49)
Tr K température de récupération (7.19)
Tδ K température moyenne dans la couche limite (7.70)
T* K température relative (7.10)
u m/s composante de la vitesse dans la direction x
u+ - vitesse adimensionnelle dans la couche limite (7.34)
v m/s composante de la vitesse dans la direction y
y+ - coordonnée adimensionelle de la couche limite (7.35)
v m3/kg volume massique
V m3 volume
V m3/s débit-volume
w m/s vitesse relative de l'écoulement
x, y, z m coordonnées
xe,h m longueur d'entrée hydrodynamique (8.2, 8.3)
xe,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26)
α W/(m2 K) coefficient de convection
β 1/K facteur de dilatation
VI TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
Symbole Unité Signification
xe,th m longueur d'entrée thermique (8.25, 8.26)
α W/(m2 K) coefficient de convection
β 1/K facteur de dilatation
δ m épaisseur de la couche limite
η - variable adimensionelle de BLASIUS (7.5)
ε N s/m2 viscosité turbulente (6.60)
εth m2/s coefficient de diffusion thermique turbulent (6.61)
κ - exposant isentrope (cp/cv)
λ W/(m K) coefficient de conduction (conductivité) thermique
m2/s diffusivité thermique (2.1)
µ N s/m2 coefficient de viscosité dynamique
ν m2/s coefficient de viscosité cinématique
ρ kg/m3 masse volumique (densité)
σ W/(m2 K4) constante de Stefan-Boltzmann
σ N/m2 tension visqueuse normale
τ t h s constante de temps
τ N/m2 tension de cisaillement
Θ K différence de température (5.3)
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES VII
Indices
( )1 condition de départ
( )2 condition finale
( )ex grandeur de sortie
( )in grandeur d'entrée
( )m valeur moyenne
( )n composante normale
( )s surface, paroi
( )f fluide
( ) valeur moyenne
VIII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
PARAMETRES ADIMENSIONNELS DE SIMILITUDE POUR LA
TRANSMISSION DE CHALEUR ET DE MASSE
Désignation: ( définition )
Interprétation:
Nombre de BIOT: Bi = α L
λsolide
Rapport entre la résistance thermique interne d'un solide et la résistance thermique de la
couche limite.
Coefficient de frottement: Cf = τs
ρ w2
2
Contrainte surfacique adimensionnelle.
Nombre d'ECKERT: Ec = w2
cp (Ts - Tm)
Rapport entre l'énergie cinétique du fluide et la différence d'enthalpie de la couche limite.
Nombre de FOURIER: Fo = t
L2
Rapport entre la chaleur de conduction et l'énergie thermique stockée dans le solide
(temps adimensionnel).
Nombre de FROUDE: Fr = w2
g L
rapport entre les forces d'inertie et les forces de gravité.
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES IX
Nombre de GRASHOF: Gr = g β (Ts - T∞) L3
ν2
Rapport entre la force ascensionelle et la force visqueuse.
Nombre de MACH: M = wa
Rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son.
Nombre de NUSSELT: Nu = α L
λfluide
Gradient de température adimensionnel sur la surface.
Nombre de PECLET: Pe = w LΛ = ReL Pr
Paramètre indépendant, adimensionnel du transfert de chaleur.
Nombre de PRANDTL: Pr = νΛ =
cp µλ
Rapport entre la diffusivité de quantité de mouvement et la conductivité thermique.
Nombre de REYLEIGH: Ra = g β (Ts - T∞) L3
ν2 Pr
Produit de Gr et Pr: Ra = Gr Pr.
Nombre de REYNOLDS: Re = w L
ν
Rapport entre la force d'inertie et la force visqueuse.
X TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
Nombre de SCHMIDT: Sc = ν
DAB
Rapport entre la quantité de mouvement et la diffusivité de la masse.
Nombre de STANTON: St = α
ρ w cp =
NuRe Pr
Nombre de NUSSELT modifié.
Nombre de SHERWOOD: Sh = α LDAB
Gradient de concentration adimensionnel à la surface.
Nombre de WEBER: We = r w2 L
σ
Gradient de concentration adimensionnel à la surface.
TABLE DES MATIERES, SYMBOLES XI
LITTERATURE
MAC ADAMS W. H. Transmission de chaleur
Dunod
INCROPERA F. P. Fundamentals of heat and mass transfer
DE WITT D. P. John Wiley & Sons
WELTY J. R. Engineering heat transfer
John Wiley & Sons
CHAPMAN A. J. Heat transfer
Macmillan Publishing Company
HOLMAN J. P. Heat transfer
McGraw-Hill Book Company
KERN D. Q. Process heat transfer
McGraw-Hill Book Company
LANGHAAR H. L. Dimensional analysis and theory of models
John Wiley & Sons
AUTEURS VDI - Wärmeatlas
VDI-Verlag Düsseldorf
XII TABLE DES MATIERES, SYMBOLES
TRANSMISSION DE CHALEUR 1
1. INTRODUCTION, MODES DETRANSMISSION DE CHALEUR
1.1 Conduction
1.2 Convection
1.3 Rayonnement
T1
T2
Q ray.
T2T1
Qcond.T2
T1
w
Qconv.
2 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR
1. INTRODUCTION, MODES DE TRANSMISSION DE CHALEUR
En thermodynamique nous avons défini deux formes transitoires d'énergie, le travail et
la chaleur. Elles sont transitoires, car elles existent seulement quand un échange
d'énergie entre deux systèmes se produit (p.ex. énergie cinétique, potentielle, interne,
énergie d'écoulement, énergie chimique, etc.).
La transformation est appelée travail si l'échange se produit sans transmission de
masse et sans différence de température entre les deux systèmes.
Si l'échange se produit à cause de la différence de température entre les deux
systèmes, il s'agit de transmission de chaleur.
Les deux systèmes peuvent aussi être deux parties du même corps (p.ex. une barre
chauffée).
L'expression de "transfert de chaleur" n'est pas correcte selon le langage
thermodynamique car le "flux de chaleur" est un mécanisme de transmission d'énergie
interne et non une quantité en mouvement.
Le cours de transmission de chaleur conduit à l'étude des modes de transmission et au
calcul de la quantité d'énergie (chaleur) transmise. Nous développons des méthodes de
calcul dont l'application s'adresse aux problèmes de l'industrie et de l'environnement.
Importance de la transmission de chaleur
L'ingénieur mécanicien et le chimiste rencontrent très souvent dans leur travail des
problèmes qui concernent la transmission de chaleur.
Donnons quelques exemples:
• génération de forces (énergie) par des machines thermiques,
• chauffage et refroidissement divers,
• divers procédés chimiques (p.ex. raffinage du pétrole),
• pollution thermique par décharge de chaleur dans l'environnement (air, eau).
Concepts fondamentaux et modes de base de la transmission de chaleur
Le premier principe de la thermodynamique nous dit que la chaleur donnée par un corps
est égale à la chaleur reçue par l'autre.
Le second principe de la thermodynamique nous définit la direction de la transmission: la
chaleur est transmise du corps le plus chaud vers le plus froid.
TRANSMISSION DE CHALEUR 3
Nous distinguons trois modes de base de transmission de chaleur (Fig. 1.1):
• conduction
• convection
• radiation
T1 T2
q
w
q
T1
T2
q1
2q
T1
T2
T1 > T2 T1 > T2 T1 T2
conduction convection rayonnement
à travers une d'une surface à entre deux
paroi solide un fluide surfaces
Figure 1.1 Différents modes de transmission de chaleur‚ conduction, convection et
rayonnement
1.1 CONDUCTION
La conduction est l'échange d'énergie interne d'un corps à un autre (ou d'une partie d'un
corps à une autre partie) par échange de l'énergie cinétique de mouvement des
molécules par communication directe ou par l'intermédiaire des électrons libres dans les
métaux.
Ce "flux" d'énergie (ou chaleur) passe des molécules de niveau d'énergie plus élevé
vers les molécules d'énergie plus faible (p.ex. une barre métallique chauffée d'un côté
se réchauffe à l'autre bout).
Le mécanisme physique est plus simplement démontré par l'observation d'un gaz (Fig.
1.1) entre deux parois de température différente. En chaque point de l'espace,
4 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR
T1 T2
T2
T1
T
x
qx
Figure 1.2 Transmission de chaleur par la diffusion d'énergie due au mouvement
des molécules
la température est liée au mouvement moyen (translation ainsi que rotation et vibration
interne). Par la collision des molécules, l'énergie est transmise des molécules de niveau
d'énergie plus élevé aux molécules de niveau d'énergie moins élevé.
Pour des liquides la situation est semblable mais les distances entre les molécules sont
plus petites (collisions plus intenses et plus fréquentes).
Dans les solides la conduction est attribuée aux activités atomiques sous la forme de
vibrations du réseau cristallin. Dans un non-conducteur, la transmission d'énergie est liée
aux ondes cristallines, dans le conducteur aux mouvements des électrons libres.
La quantité (taux) de chaleur transmise est définie par l'équation de FOURIER, qui se
présente pour le cas monodimensionnel par
q = - λ dTdx (1.1)
Le flux de chaleur (q [W/m2]) dans la direction x par unité de surface est proportionnel(λ) au gradient de température dT/dx.
TRANSMISSION DE CHALEUR 5
Le facteur λ est une propriété de transport caractéristique des matériaux que nous
appelons la conductivité thermique [W/(m K)].
Le signe négatif exprime le fait que le transport se produit dans la direction de
température décroissante.
Dans le cas unidimensionnel avec une distribution linéaire de température (stationnaire) le
gradient est donné par
dTdx =
T2 - T1L (1.2)
donc
q x = - λ T2 - T1
L = λ T1 - T2
L (1.3)
La chaleur (puissance) transmise est pour la surface A
Q x = q x A (1.4)
1.2 CONVECTION
La transmission de chaleur par convection se compose de deux mécanismes physiques
• transmission par le mouvement des molécules (diffusion),
• transmission par déplacement volumique (déplacement des volumes dans
l'espace).
Notre intérêt particulier se porte sur la transmission de chaleur entre un fluide en
mouvement et une paroi, la température des deux éléments étant différente (Fig. 1.3).
Dans le fluide, près de la paroi, nous trouvons une zone à fort gradient de vitesse la
couche limite de vitesse.
Dans le cas où il existe une différence de température entre le fluide et la paroi, il se
forme aussi une couche limite de température qui peut avoir une épaisseur égale ou
différente à celle de la couche limite de vitesse.La transmission de chaleur se met en route si Ts ≠ Tf.
Dans la zone près de la paroi, la transmission de chaleur est dominé par le mouvement
des molécules (diffusion) et à l'extérieur par le mouvement turbulent.
Dans ce type de transmission de chaleur, la mécanique des fluides joue un rôle
important.
6 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR
Les lois de la conduction doivent être couplées avec celles du mouvement du fluide.
Les équations différentielles résultantes figurent par conséquent parmis les plus
complexes de la mathématique appliquée.
Concernant la nature de l'écoulement le long des parois, nous distinguons deux types
de convection:
• convection forcée
quand le mouvement est entraîné par une force extérieure (ventilateur, pompe, etc),
yy
y = δ wδ Tδ
q
distribution de vitesse distribution de température
Processus [W/(m2 K)]
• Convection libre 5 - 25
• Convection forcée
gaz 25 - 250
liquides 50 - 20'000
• Convection avec
changement de phase
(ébullition, condensation) 2'500 - 100'000
Valeurs typiques des coefficients de convection
Figure 1.3 Transmission de chaleur dans la couche limite
TRANSMISSION DE CHALEUR 7
• convection libre
si le mouvement du fluide est causé par la différence de densité (en fonction de la
différence de température).
Par la convection en général l'énergie interne du fluide est transmise. Mais il existe aussi
des cas où la chaleur latente participe aussi à la transmission. Ce type d'échange est
normalement accompagné par un changement de phase (ébullition et condensation).α représente le coefficient de transmission de chaleur par convection qui dépend des
conditions de la couche limite (surface, Re, propriétés du fluide).
Quelques valeurs typiques sont présentées dans le tableau (Fig. 1.3).
La transmission de chaleur est définie par la relation de NEWTON
q = α (Ts - Tf) (1.5)
où q représente le flux de chaleur par convection, Ts la température de la paroi, Tf la
température du fluide.
1.3 RAYONNEMENT
Chaque surface solide, liquide ou gazeuse émet de l'énergie thermique par radiation. La
transmission d'énergie est réalisé par ondes électromagnétiques qui ne nécessitent pas
la présence d'un médium de transport.
Le flux maximal (W/m2) émis par la radiation est donné par la loi de STEFAN-
BOLTZMANN
q = σ T4s (1.6)
où σ = la constante de Stefan-Boltzmann
σ = 5,67 *10 -8 [W/(m2 K4)] (1.7)
Le flux réel émis par une surface réelle est
q = ε σ T4s (1.8)
où ε = émissibilité (rendement par rapport à la radiation idéale).
8 CHAP.1 : INTRODUCTION, MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR
La radiation est émise dans toutes les directions. Les ondes électromagnétiques reçues
par une surface sont partiellement absorbées et partiellement réfléchies.
L'échange de radiations thermiques entre deux corps est donc considérablement plus
compliquée que l'équation de Stefan-Bolzmann.
entourage àtempérature T ent
air T f
surface : ε = émissivité , A = surface , T = températures
convq
qrad,ent
qrad ,s
Figure 1.4 Echange de rayonnement entre une surface et son entourage
Dans de nombreux cas techniques nous trouvons une petite surface (Ts) entourée d'une
grande surface (Tent), (Fig. 1.4). Le gaz entre les surfaces ne participe pas à la radiation.
Dans ce cas, la transmission est donnée par
q = QA = ε σ ( T4s - T4ent) (1.9)
RESUME DU CHAPITRE 1
• La conduction thermique est définie par l'équation de FOURIER.
• La convection thermique est définie par l'équation de NEWTON.
• Le rayonnement est défini par l'équation de STEFAN-BOLTZMANN.
TRANSMISSION DE CHALEUR 9
2. PROPRIETES THERMIQUESDES MATERIAUX
2.1 Conductivité thermique
2.2 Chaleur spécifique
2.3 Diffusivité thermique
2.4 Coefficient d'expansion thermique
2.5 Viscosité
2.6 Nombre de Prandtl
10 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX
2. PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX
Pour pouvoir calculer les problèmes de transfert de chaleur, il faut connaître les valeurs
numériques des propriétés physiques des matériaux en considération.
2.1 CONDUCTIVITE THERMIQUE
La conductivité représente la facilité de propagation de la chaleur dans un matériau en
fonction d'une différence de température donnée.
Selon la loi de Fourier, la conductivité thermique est definie par
[W/m·K] = qx
(∂T/∂x) (2.1)
Donc pour une gradient de température donnée, le flux de chaleur augment avec
l'augmentation du coefficient de chaleur.
La conduction est essentiellement un transfert d'énergie par l'intermédiaire du
mouvement (vibration) des molécules. Par conséquent la conductibilité dépend de:
• la composition chimique,
• la phase (liquide, gaz, solide),
• la structure cristalline des solides,
• la température, la pression, et
• l'homogénéité.
Dans la suite nous considérerons des matériaux homogènes.
Nous observons dans le tableau A.1 que les liquides sont en général meilleurs
conducteurs que les gaz et les solides meilleurs conducteurs que les liquides.
L'exemple suivant montre les valeurs numériques pour les 3 phases du mercure:
• solide T = -193 °C λ = 48 W/(m K)
• liquide T = 0 °C λ = 8 W/(m K)
• gaz T = 200 °C λ = 0,0341 W/(m K)
Le tableau A.1 montre aussi que les matériaux cristallins (quartz) sont de meilleurs
conducteurs que les matériaux amorphes (verre).
TRANSMISSION DE CHALEUR 11
Dans les cristaux il existe un mécanisme additionnel de transfert d'énergie thermique, la
vibration du réseau cristallin dans la direction décroissante de la température.
Les imperfections dans la structure cristalline dérangent la propagation de ces ondes et
diminuent généralement la capacité de convection.
Dans le cas des métaux, un troisième mécanisme entre en jeu, le mouvement des
électrons libres dans le réseau cristallin (les ions positifs occupent les places cristallines).
Un gradient de température cause une "dérive" des électrons vers la température la plus
basse (raison pour laquelle les métaux sont bons conducteurs).
La conductibilité des métaux est proportionnelle à la température absolue et au "libre
parcours moyen" des molécules. Ce dernier diminue avec la température.
La conductibilité des liquides dépend en premier lieu de la température.
La conductibilité des gaz augmente généralement avec la température et diminue avec
le poids moléculaire. La pression influence la conductibilité près du point critique.
Temperature (K)
500
200
100
50
20
10
5
2
1100 300 500 1000 2000 5000
(W/m·K)Argent
CuivreOr
Aluminium
Tungstène
Platine
FerAcier
Aluminium oxyde
Pyroceram Quarz
Figure 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux
12 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX
Les isolants thermiques sont souvent de structure non homogène et dispersée dans un
volume d'air ou de gas. Leur conductivité thermique depend de la conductivité, de la
radiation thermique du solide, et du rapport volumétrique de l'espace libre.
0,01 0,1 1 10 100 1000
métaux purs
alliages
solides nonmétalliques
isolations
liquides
gaz
[W/(m K)]
Tableau 2.1 Coefficients de conduction des différents matériaux à
température et pression normales (20°C et 1 bar)
2.2 CHALEUR SPECIFIQUE
La chaleur spécifique représente la variation de la température d'un matériau avec la
quantité de chaleur introduite
• à pression constante
cp [J/(kg K)]
• à volume constant
cv [J/(kg K)]
La chaleur spécifique d'une substance est généralement fonction d'un état
thermodynamique.
TRANSMISSION DE CHALEUR 13
La chaleur spécifique est dans la plupart des cas traités par l'ingénieur, indépendante de
la pression.
La température par contre influence la chaleur spécifique.Dans les gaz l'influence de la température sur cp est plus importante que pour les
solides. Pour la vapeur (par ex. eau) à la fois T et p influencent la chaleur spécifique.
2.3 DIFFUSIVITE THERMIQUE
Elle est définie par
[m2/s] = λ
ρ cp (2.2)
elle inclut la conductivité (λ), la chaleur spécifique (cp) et dépend de l'état du gaz (ρ).
2.4 COEFFICIENT D'EXPANSION THERMIQUE
La force agissant dans le cas de la convection libre est la gravité provoquant le
mouvement de couches de fluide de densité différentes. Le processus est caractérisé
par le coefficient d'expansion thermique
β = 1ρ
∂ρ
∂Tp
(2.3)
pour les gaz parfaits nous avons
ρ = p
R T (2.4)
il devient donc
β [1/K] = 1ρ
- p
R T-2 =
1T (2.5)
Pour les liquides le coefficient d'expansion thermique est approximativement donné
14 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX
par
β [1/K] = 0,0776 ( Tcr - T ) - 0,641 (2.6)
2.5 VISCOSITE
Toutes les substances réelles montrent une résistance à la déformation. La résistance est
proportionnelle à la vitesse de la déformation (couche limite).
La résistance au mouvement de cisaillement est définie par le terme de viscosité.
Viscosité dynamique
Nous étudions le cas d'un écoulement laminaire le long d'une paroi. Le mouvement relatif
des molécules entre deux couches voisines provoque une force de frottement
tangentielle qui est selon NEWTON proportionnelle au gradient de vitesse
τ = µ dwdy (2.7)
Le coefficient µ [N s/m2] est appelé viscosité dynamique.
Viscosité cinématique
Le rapport de la viscosité dynamique et de la densité du fluide est appelé la viscosité
cinématique
ν [m2/s] = µρ (2.8)
Elle représente le rapport entre les forces visqueuses et les forces d'inertie du fluide.
La viscosité des liquides dépend en premier lieu de la température et seulement très
peu de la pression.
Pour les gaz c'est la température qui influence le plus la viscosité, la pression également
mais surtout autour du point critique.
La viscosité des vapeurs varie généralement en fonction de la température et de la
pression.
TRANSMISSION DE CHALEUR 15
2.6 NOMBRE DE PRANDTL
Dans les problèmes de conduction, il existe un échange d'énergie tant par les effets de
viscosité que par ceux de conduction. Dans ce cas, le nombre de PRANDTL joue un
rôle important
Pr = µ cpλ =
ν ρ cpλ =
νΛ (2.9)
Sa valeur est donc définie par les propriétés du fluide et dépend donc en premier lieu
de la température.
RESUME DU CHAPITRE 2
• La conduction thermique est essentiellement un transfert d'énergie par
l'intermédiaire du mouvement des molécules qui dépend de la composition chimique, de
la phase, de la structure cristalline des solides, de la température, de la pression et de
l'homogénéité des matériaux.
• Les propriétés thermiques des matériaux sont définies par la chaleur spécifique cp,cv , la diffusivité thermique Λ, le coefficient d'expansion thermique β et la viscosité µ.
16 CHAP. 2 : PROPRIETES THERMIQUES DES MATERIAUX
TRANSMISSION DE CHALEUR 17
3. INTRODUCTION A LACONDUCTION THERMIQUEUNIDIMENSIONNELLE
3.1 Relations fondamentales
3.2 Conduction thermique unidimensionnelle, stationnaire
3.2.1 La plaque plane
3.2.2 La barre de section variable
3.2.3 La paroi circulaire
T1 T2
Qx
z+dzQ
xQ
yQ
zQ
genQ
stQx+dxQ
y+dyQ
dx
dy
dz
18 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
3. INTRODUCTION A LA CONDUCTION THERMIQUE
3.1 RELATIONS FONDAMENTALES
La conduction de chaleur représente la transmission d'énergie par l'activité moléculaire en
fonction d'un gradient de température.
Nous étudions d'abord la conduction dans une barre (Fig. 3.1)
∆xA
A
qx
T1
T2
Figure 3.1 Transmission de chaleur par conduction dans une barre
Avec la relation de FOURIER, la quantité de chaleur transmise est
Qx = - A λ dTdx (3.1)
et le flux de chaleur
qx = Qx A = - λ
dTdx (3.2)
Nous rappelons que le signe négatif indique que la transmission se fait du côté haute
température vers le côté basse température. L'équation (3.2) montre que le flux de
chaleur est une quantité directionnelle. La section A est normale à la direction du flux.
Généralement le flux de chaleur est perpendiculaire aux surfaces isothermes.
Sous forme vectorielle nous pouvons écrire (T = champs de température (scalaire))
TRANSMISSION DE CHALEUR 19
q = - λ
i ∂T∂x + j
∂T∂y + k
∂T∂z (3.3)
nous pouvons aussi écrire
qn = - λ ∂T∂n (3.4)
où n est la direction normale à la surface isotherme.
L'objectif de l'étude de la conductibilité est généralement de déterminer la distribution de
température dans un média à partir de conditions limites données. A partir de la
distribution de température nous pouvons calculer le flux de chaleur en tout point par la
relation de FOURIER (important p.ex. pour le refroidissement des aubes de turbines,
contraintes thermiques, etc.).
La démarche à suivre est l'utilisation de la loi de conservation de l'énergie‚ la définition du
volume de contrôle et l'identification des processus de transmission d'énergie. L'équation
différentielle résultante est à résoudre pour des conditions limites données.
Nous définissons d'abord dans le médium un petit volume de contrôle de (dx dy dz)
(voir Fig. 3.2). Si des gradients de température existent dans le médium, la conduction
se met en route.
Perpendiculairement aux surfaces nous obtenons les quantités de chaleur:
Qx+dx = Qx + ∂Qx∂x dx (3.5a)
Qy+dy = Qy + ∂Qy∂y dy (3.5b)
Qz+dz = Qz + ∂Qz∂z dz (3.5c)
Nous admettons une source d'énergie dans le volume (p.ex. par processus chimique,
électrique, nucléaire, etc.)
Qgen = qg dx dy dz (3.6)
L'énergie stockée dans le matériau est
20 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
T=cte (isotherme)
x
z y
T(x,y,z)
xQ
yQ
zQ
genQ
stQ
x+dxQ
y+dyQz+dzQ
dx
dy
dz
z y
Figure 3.2 Volume de contrôle pour la conduction dans un système de
coordonnées cartésiennes
Qst = ρ cp ∂T∂t dx dy dz (3.7)
où ρ cp (∂T/∂t) est la variation de l'énergie interne du médium par unité de volume.
Selon la loi de conservation de l'énergie
Q in - Qex + Qgen = Qst (3.8)
TRANSMISSION DE CHALEUR 21
Donc avec (3.6) et (3.7)
Qx + Qy + Qz + qgen dx dy dz - Qx+dx - Qy+dy - Qz+dz = ρ cp ∂T∂t dx dy dz (3.9)
avec (3.5)
- ∂Qx∂x dx -
∂Qy∂y dy -
∂Qz∂z dz + qg dx dy dz = ρ cp
∂T∂t dx dy dz (3.10)
Avec les équations de FOURIER
Qx = - λ dy dz ∂T∂x (3.11a)
Qy = - λ dx dz ∂T∂y (3.11b)
Qz = - λ dx dy ∂T∂z (3.11c)
Nous obtenons finalement
∂
λ
∂T∂x
∂x + ∂
λ
∂T∂y
∂y + ∂
λ
∂T∂z
∂z + qg = ρ cp ∂T∂t (3.12)
(3.12) représente l'équation de la transmission de chaleur. La solution nous permet de
calculer la distribution de température en fonction du temps.
L'équation (3.12) exprime qu'en tout point d'un médium la transmission de chaleur par
conduction dans le volume de contrôle et de l'énergie générée à l'intérieur est égale à la
variation de la chaleur stockée dans le volume.Dans le cas où la conductibilité (λ) est constante, nous avons
∂2T∂x2 +
∂2T∂y2 +
∂2T∂z2 +
qgλ =
1Λ
∂T∂t (3.13)
où (Λ = λ/ρ cp) représente la diffusivité thermique.
22 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
z r
x y
T(r, ,z)
r d
dr
dz
rQ
ϕQ
zQ
r+drQ
ϕ+dϕQ
z+dzQ
Figure 3.3 Volume de contrôle [dr (r d ) dz] pour la conduction dans un système
de coordonnées cylindriques (r, , z)
Dans le cas de conditions stationnaires (∂T/∂t=0) l'équation se réduit à
∂
λ
∂T∂x
∂x + ∂
λ
∂T∂y
∂y + ∂
λ
∂T∂z
∂z + qg = 0 (3.14)
Finalement pour le cas unidimensionnel et stationnaire et sans source de chaleur interne(qg=0) nous obtenons
d
λdT
dxdx = 0 (3.15)
Les équations (3.16) et (3.17) représentent l'expression pour la transmission par
conduction dans respectivement des coordonnées cylindriques
1r
∂
λr
∂T∂r
∂r + 1r2
∂
λ∂T∂ϕ
∂ϕ + ∂
λ
∂T∂z
∂z + qg = ρ cp ∂T∂t (3.16)
TRANSMISSION DE CHALEUR 23
z
y
T(r, )
Q r
Q r+dr
Qϕ+dϕ
Qϕ
Q ψ+dψ
Q ψ
drr sin ψ dϕ
r dψ
Figure 3.4 Volume de contrôle [dr (r sin d ) (r dy)] pour la conduction dans un
système de coordonnées sphériques (r, , )
et sphériques
1r2
∂
λr2
∂T∂r
∂r + 1
r2sin2ϕ ∂
λ∂T∂ϕ
∂ϕ + 1
r2sin2ψ ∂
λsinψ∂T∂ψ
∂ψ + qg = ρ cp ∂T∂t (3.17)
CONDITIONS LIMITES ET CONDITIONS INITIALES
Pour déterminer la distribution de température dans un médium, il faut résoudre
l'équation (3.13) pour des conditions initiales et des conditions données sur la surface.
• Pour définir les conditions sur la surface il faut deux conditions limites pour chaque
coordonnée (équation du 2ème degré dans des coordonnées spatiales).
• Pour définir la condition initiale, une seule condition suffit car l'équation est du 1er
ordre pour le temps.
24 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
3.2 CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE,
STATIONNAIRE
Nous désignons le problème de la transmission de chaleur comme étant
monodimensionnel quand une seule coordonnée spatiale est suffisante pour décrire
le phénomène de transport.
La stationnarité exprime que la température en chaque point ne varie pas avec le
temps.
3.2.1 LA PLAQUE PLANE
La Fig. 3.5 montre une coupe de la paroi. Nous obtenons la distribution de température
dans la paroi par l'équation (3.14) appropriée
d
λdT
dxdx = 0 (3.18)
Pour des températures constantes des parois, la solution est donnée par
T(x) = C1 x + C2
Les constantes C1 et C2 sont à déterminer par les conditions aux limites
T(0) = Ts,1 et T(L) = Ts,2
pour x=0: Ts1 = C2
pour x=L: Ts2 = C1 L + C2 = C1 L + Ts,1
C1 = (Ts,2 - Ts,1)
L
La solution générale est donc
T(x) = Ts,1 + (Ts,2 - Ts,1) xL (3.19)
TRANSMISSION DE CHALEUR 25
L'équation (3.19) nous montre que la température dans la paroi est, pour le cas donné,
linéaire avec x.
La quantité de chaleur peut être calculée avec l'équation de FOURIER (3.1)
Qx = -λ A dTdx =
λ A L (Ts,1 - Ts,2) (3.20)
et le flux de chaleur
qx = Qx A =
λL (Ts,1 - Ts,2) (3.21)
Il est à noter que le flux de chaleur est indépendant de x. Nous pouvons obtenir le
même résultat par un bilan d'énergie sur les surfaces.
x
x=0 x=L
w1
w2
fluide chaud
fluide froid
T
Tf,1Ts,1
Tf,2
Ts,2
a) distribution de température
b) Circuit thermique équivalent
1α A1
1α A2λ A
LT f,1 Ts,1 Ts,2 Tf,2Qx
Figure 3.5 Transmission de chaleur à travers une plaque plane
26 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
L'équation (3.21) nous rappelle qu'il existe une analogie entre la diffusion de la chaleur et
la conduction électrique.
Similaire à la loi de OHM pour l'électricité
Rél = (Us,1 - Us,2)
I (3.22)
nous pouvons définir une résistance thermique de conduction
Rth,cond = (Ts,1 - Ts,2)
Qx‚ cond(3.23)
et une résistance thermique de convection
Rth,conv = (Ts - Tf)Qconv
(3.24)
Utilisant pour la conduction la relation de FOURIER (1.1) et pour la convection à la
surface l'équation de NEWTON (1.6), on obtient
Rth,cond = (Ts‚1 - Ts‚2)
A λ (Ts‚1 - Ts‚2)L
= L
λ A (3.25)
et
Rth,conv = (Ts - Tf)
A α (Ts - Tf) =
1α A (3.26)
La chaleur conduite au travers de la paroi selon la Fig. 3.5 est identique dans les trois
sections
Qx = (Tf‚1 - Ts‚1)
1α1 A
= (Ts‚1 - Ts‚2)
Lλ A
= (Ts‚2 - Tf‚2)
1α2 A
(3.27)
ce qui nous donne
Qx = (Tf‚1 - Tf‚2)
Rth‚tot (3.28)
avec
Rth,tot = 1
α1 A + L
λ A + 1
α2 A (3.29)
TRANSMISSION DE CHALEUR 27
La résistance thermique totale en série est donc égale à la somme des résistances des
éléments.
Cette forme est utile pour définir les conditions dans une paroi composée par des
couches de propriétés thermiques différentes. La Fig. 3.6 montre l'exemple d'une paroi
composée de trois couches.
La puissance-chaleur transmise dans une paroi composée de N couches se calcule
selon (3.28) avec
Rth,tot = 1
αf1 A + L1
λ1 A + L2
λ2 A + L3
λ3 A +.....+ LN
λN A + 1
αf2 A (3.30)
Dans les parois composites il existe en général un saut de température entre les
couches qui est une conséquence de la résistance de contact.
b) Circuit thermique équivalent
a) distribution de température
w1
w2
fluide chaud
fluide froid
T
Tf,1
Ts,1
Tf,2L1 L2
L3
Ts,3
Ts,4
Ts,2
1α A1
1α A2
Qx
λ AL1
1 λ AL2
2 λ AL3
3
Figure 3.6 Circuit thermique équivalent pour une paroi composée de couches de
conductivité différentes
28 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
3.2.2 LA BARRE DE SECTION VARIABLE
Nous étudions la conduction monodimensionnelle dans une barre de section variableselon Fig. 3.7. Le taux de chaleur Qx reste constant le long de x mais le flux de chaleur
varie avec la section A(x)
Qx = q (x) A(x) = - λ(x) dTdx A(x) (3.31)
avec Qx(x) = cte l'intégration nous donne la distribution de la température T(x)
Qx ⌡⌠
x1
x
1
A(x) dx = - ∫T1
T λ(x) dT (3.32)
dx
x
x=L
A1
T1
A2
T2A(x)
T(x)
qx
qx+dxQ x Q x
Figure 3.7 Transmission de chaleur dans une barre de section variable
3.2.3 LA PAROI CIRCULAIRE
Dans diverses applications techniques on trouve des parois circulaires (tubes, etc.)
exposées à des fluides de température différentes entre la surface intérieure et
extérieure (Fig. 3.8).
Pour le cas de la conduction stationnaire et sans génération de chaleur le problème est
défini par l'équation (3.16) donc
TRANSMISSION DE CHALEUR 29
1r
d
λ r
dTdr
dr = 0 (3.33)
Pour λ=cte la solution de l'intégration double est
T(r) = C1 ln r + C2 (3.34)
Les constantes sont définies par les conditions aux limites
pour r = r1: Ts,1 = C1 ln r1 + C2
pour r = r2: Ts,2 = C1 ln r2 + C2
donc C1 = Ts‚1 - Ts‚2ln (r1 / r2) et C2 = Ts‚1 -
Ts‚1 - Ts‚2ln (r1 / r2) ln r1
Introduit dans (3.33) nous obtenons pour la distribution radiale de la température
T(r) = Ts,1 - (Ts,1 - Ts,2 ) ln (r / r1)ln (r2 / r1) (3.35)
Notons que la distribution de la température dans la paroi cylindrique est logarithmique.
Ts1
Ts2
λ
T
r1 r2 r
Figure 3.8 Transmission de chaleur à travers une paroi circulaire
30 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Avec la relation de FOURIER
Q r = q r A(x) = - λ(x) dTdr 2 π r L (3.36)
et avec la dérivé de la température selon (3.35) nous trouvons pour la puissance-
chaleur transmise
Q r = 2 π L λ Ts‚1 - Ts‚2ln (r2 / r1) (3.37)
pour la conduction
R th-r, cond = Ts‚1 - Ts‚2
Qr =
ln (r2 / r1)2 π L λ (3.38)
et pour la convection
R th-r, conv = Tf - Ts
Qr =
12 π L αf
(3.39)
λ 1 λ 3λ 2
T
r1 r2 r3 r4
Ts1
Ts2
Ts3
Ts4
r
λ 1 λ 3λ 2 ><
Exemple:
Tf2
Tf1
α 2α 1
Figure 3.9 Distribution de la température dans une paroi composite cylindrique
TRANSMISSION DE CHALEUR 31
Par analogie avec la paroi plane nous obtenons pour le tube circulaire composé
Q r = Tf ‚1 - Tf‚2R th-r‚ tot
(3.40)
Pour la paroi à N couches (voir Fig. 3.9) la résistance thermique totale est donnée par
R th-r‚ tot = 1
2π r1 L αf‚1 +
ln (r2/r1)2 π L λ1
+ ln (r3/r2)
2 π L λ2 +....+
ln (rN+1/rN)2 π L λN
+ 1
2 π rN+1 L αf‚2
(3.41)
RESUME DU CHAPITRE 3
• La distribution de température est linéaire dans une plaque plane.
• La résistance thermique de conduction est définie par la géométrie (L, A) et lecoefficient de conduction λ.
• La résistance thermique de convection est définie par la géométrie (A) et lecoefficient de convection α.
• La résistance thermique totale d'une paroi composite est la somme de la résistance
de chacune des couches.
• Le taux de chaleur transmise à travers une plaque plane composite Q est
proportionnel à la différence de température des fluides et inversement proportionnel à
la résistance thermique totale.
• Dans une section variable, le taux de chaleur Q reste constant dans la direction
axiale mais le flux de chaleur q(x) est inversement proportionnel à la surface A(x).
• Le flux de chaleur dans la paroi circulaire varie d'une façon logarithmique dans la
direction radiale.
• La distribution de température dans la paroi circulaire a une allure logarithmique.
32 CHAP.3 : CONDUCTION THERMIQUE UNIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
• La distribution de température dans la paroi composite cylindrique se calcule
comme celle de la paroi plane par la différence de température et la résistance
thermique.
TRANSMISSION DE CHALEUR 33
4. CONDUCTION THERMIQUEBIDIMENSIONNELLE,STATIONNAIRE
4.1 Solutions analytiques
4.2 Analogie rhéoélectrique
4.3 Méthode graphique
4.4 Méthodes numériques
yx
T
T=cte
34 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
4. CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Dans la plupart des cas le problème de la transmission de chaleur ne dépend pas
seulement d'une seule coordonnée. Etudions le cas de la Fig. 4.1.
Pour déterminer la distribution de température, nous utilisons la forme appropriée de
l'équation (3.13)
∂2T∂x2 +
∂2T∂y2 = 0 (4.1)
Les méthodes utilisées pour déterminer le champ de température, donc pour résoudre
l'équation (4.1) sont
• méthode analytique,
• méthode analogique,
• méthode graphique, et
• méthode numérique (différences finies).
La solution analytique de l'équation implique des séries mathématiques compliquées et
peut être calculée seulement dans de rares cas possédant une géométrie et des
conditions aux limites simples. Les méthodes analytiques donnent la solution exacte
pour la température en chaque point (x,y).
Les méthodes graphiques et numériques permettent de calculer des problèmes
complexes mais donnent seulement des valeurs approximatives en des points
discrets.
4.1 SOLUTIONS ANALYTIQUES
Nous discutons ici la méthode de séparation des variables. Dans ce but nous
considérons une plaque rectangulaire selon Fig. 4.2. La transmission de chaleur par
conduction est définie par (4.1).
Conformément à la méthode de séparation des variables, nous admettons que la
solution pour la distribution de température peut être exprimée par deux fonctions X(x)
et Y(y), chacune dépendant seulement d'une variable
TRANSMISSION DE CHALEUR 35
yx
T
T=cte
H
Distribution de la température dans une plaque d'épaisseur constante: T=T(x,y)
300
310
320330
340 T=350 °C
360 370
380390
400
y
x
Représentation des isothermes dans la plaque
Figure 4.1 Transmission de chaleur bidimensionnelle dans une plaque
36 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
T(x,y) = X(x) Y(y) (4.2)
Avec (4.2) nous obtenons après division par (X Y) pour (4.1)
- 1X
∂2X∂x2 =
1Y
∂2Y∂y2 (= C2) (4.3)
Les deux côtés de l'équation (4.3) sont égaux à la même constante (C2). Nous
pouvons la définir par
∂2X∂x2 + C2 X = 0 (4.4)
∂2Y∂y2 - C2 Y = 0 (4.5)
La solution générale des deux équations différentielles ordinaires est définie par
Y = B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y) (4.6)
X = B3 sin (C x) + B4 cos (C x) (4.7)
Avec (4.6) et (4.7), la solution générale pour T est
T = [B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y)] [B3 sin (C x) + B4 cos (C x)] (4.8)
Les constantes C et B sont à déterminer par les conditions limites.
Plaque rectangulaire avec température constante sur trois bords et
distribution donnée sur un bord
La plaque chauffée est illustrée dans la Fig. 4.2. La température est tenue constante sur
les bords x=0, x=L et y=0. Sur le côté à y=W la température varie entre 0 < x < L
selon f(x).
L'équation différentielle (4.1) est donc à satisfaire pour les conditions aux limites:
x= 0: T = T1
x= L: T = T1
TRANSMISSION DE CHALEUR 37
isothermes
300
320
340
360380
400
T=310°C
y
x
T1
T2
T1
T1
x=0 x=L
y=0
y=H
T =300 °C1
T =400 °C2
Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté
y
x
T1
T1
T1
x=0 x=L
y=0
y=H
T =300 °C1
T = f(x)
isothermes
300
T=310°C
350340330
320
Plaque avec température constante sur trois bords et distribution donnée sur un bord
Figure 4.2 Exemples de solution analytique pour la conduction thermique
38 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
y = 0: T = T1
y = W: T = f(x)
Le problème à résoudre consiste à trouver la distribution de température en chaque
point de la plaque T = T(x,y).
Pour simplifier les équations nous introduisons comme variable la différence de
température
Θ = T - T1 (4.9)
Le système à résoudre est maintenant
∂2Θ∂x2 +
∂2Θ∂y2 = 0 (4.10)
pour les conditions aux limites de
x= 0: Θ = 0 (1)
x= L: Θ = 0 (2)
y = 0: Θ = 0 (3)
y = W: Θ = f(x) - T1 (4)
La solution a la même forme que (4.8):
Θ = [B1 sinh (C y) + B2 cosh (C y)] [B3 sin (C x) + B4 cos (C x)] (4.11)
Pour satisfaire (3) il faut que B2 = 0, donc
Θ = B1 sinh (C y) [B3 sin (C x) + B4 cos (C x) ] (4.12)
Pour satisfaire (1) il faut que B4 = 0
Θ = B1 sinh (C y) [B3 sin (C x)] (4.13)
La substitution de la condition (2) donne avec B = B1 B3
0 = B sinh (C y) sin (C L) (4.14)
TRANSMISSION DE CHALEUR 39
La seule possibilité de satisfaire (4.14) est que
sin (C L) = 0
donc pour
Cn = n πL , n= 0, 1, 2, 3, 4, ....... (4.15)
L'équation (4.15) donne un nombre infini de solutions pour l'équation différentielle (4.14).
La solution la plus générale est donnée par superposition
Θ = ∑n=1
∞ Bn sinh (Cn y) sin (Cn x) (4.16)
Bn représente la constante B pour chaque solution (Cn = 0 pour n=0).
Appliquons finalement la condition (4) pour y=W, nous avons
[f(x) - T1] = ∑n=1
∞ Bn sinh (Cn W) sin (Cn x) (4.17)
Cn = n πL n= 0, 1, 2, 3, 4, ....... (0 < x < L)
En utilisant les fonctions orthogonales et le fait que [Bn sinh (Cn W)]= cte, la solution pour
Bn de (4.17) est:
Θ = 2L ∑
n=1
∞
sinh
nπyL
sinh nπW
L
sin nπxL
⌡⌠
0
L
[ f(x) - T1 ] sin nπxL dx (4.18)
Dans le cas particulier, pour f(x)= T2 =cte à y = W, la solution selon (4.18) est
T - T1T2 - T1
= 2π ∑
n=1
∞
1 + (-1)n+1
n sinh
n π yL
sinh
n π WL
sin
n π xL (4.19)
40 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
La Fig. 4.2 montre le résultat d'un exemple de ce dernier cas.
L'avantage des solutions analytiques réside dans l'obtention de la valeur exacte de la
température en chaque point et à chaque instant, ce qui permet de varier facilement tous
les paramètres en jeu en vue d'une étude systématique d'optimalisation. La solution
exacte est malheureusement restreinte à peu de cas simples. Ces solutions analytiques
servent aujourd'hui à tester la précision des méthodes numériques.
4.2 ANALOGIE RHEOELECTRIQUE
Nous étudions le flux électrique dans une plaque plane d'épaisseur constante. Selon les
données de la Fig. 4.3
ix dy + iy dx =
ix +
∂ix∂x dx dy +
iy +
∂iy∂y dy dx (4.20)
donc∂ix∂x +
∂iy∂y = 0 (4.21)
où les variables représentent:
U (Volt) la tension électrique
I (Amp) le courant électrique
i (A/m) le courant par unité de largeur
R (Ohm) la résistance électrique
Avec
I = UR (4.22)
donc
ix = - 1R
∂U∂x
(4.23)
iy = - 1R
∂U∂y
TRANSMISSION DE CHALEUR 41
ix dy
y
dy
dx
x
iy dx
iy + ∂ iy∂y
dy dx
ix + ∂ ix∂x
dx dy
V
+-
Voltmètre
V=cte
V
+ -
papier conducteur
v=cte
alimentation
a) isothermes b) flux de chaleur constant
grandeurs analogues
Champ de température champ électrique
T (K) U (Volt)q x, q y (W/m2) ix, iy (A/m)
Q (W) I (A)λ [W/(m K)] 1/R (1/Ohm)
Figure 4.3 Exemple de la méthode analogique pour la conduction thermique
42 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
nous obtenons l'équation différentielle de LAPLACE
∂2U∂x2 +
∂2U∂y2 = 0 (4.24)
où∆U = 0
Nous constatons une analogie formelle entre les équations de la transmission de chaleur
(4.1) et celle pour le flux d'électricité dans la plaque (4.24).
Les grandeurs analogues sont répertoriées dans la Fig. 4.3.
L'analogie rhéoélectrique peut être appliquée en général pour les problèmes décrits par
l'équation différentielle du type
∆Φ = F(Φ)
donc pour les champs de potentiel pour lesquels l'opérateur de LAPLACE (∆) est égal
à une fonction donnée F(Φ) (source interne).
Pour l'application pratique nous utilisons une couche (papier) conductrice dans laquelle
nous découpons la géométrie du corps à étudier. Les bords du modèle représentent
des frontières isolées, donc des lignes équipotentielles.
Nous introduisons le courant électrique sur les bords selon la Fig. 4.3. Pour obtenir les
lignes équipotentielles (lignes de température ou flux de chaleur constants) nous utilisons
un voltmètre.
La Fig. 4.3 représente un exemple d'analogie rhéoélectrique.
4.3 METHODE GRAPHIQUE
La méthode graphique est applicable pour des limites adiabates ou/et isothermes du
domaine de calcul. La méthode exige une patience considérable et ne donne que des
résultats d'une précision limitée.
L'avantage pour le débutant utilisant cette méthode est qu'elle développe l'intuition pour
la nature du champ de température et du flux de chaleur.
La méthode se base sur le fait que les lignes de température constante sont
perpendiculaires aux lignes de flux de chaleur. Le but de la méthode est de trouver les
lignes de températures et les lignes de flux de chaleur pour un problème posé. La
démarche de la méthode sera discutée sur la base de l'exemple selon la Fig. 4.4.
TRANSMISSION DE CHALEUR 43
• Identifier des lignes de symétrie qui sont définies par les conditions géométriques
et thermiques.
• Définir les lignes de symétrie comme adiabates, donc des lignes de flux de chaleur
(pas de transmission perpendiculaire sur ces lignes).
• Tracer les lignes de température constante (coordonnées curvilignes y). A noter
que ces isothermes doivent être perpendiculaires aux adiabates.
• Tracer les lignes de flux de chaleur (coordonnées curvilignes x) en créant des
cadres curvilignes.Les segments ∆x et ∆y doivent être identiques ou approximatifs dans un élément (Fig.
4.4)
∆x ≡ ab + cd2 = ∆y ≡ ac + bd
2 (4.25)
Nous trouverons la solution généralement seulement après plusieurs itérations et la
précision atteinte n'est pas très élevée.La chaleur conduite dans un élément entre deux lignes de flux est Q j pour la solution
exacte et doit être identique pour chaque filet. La chaleur totale transmise est donc
Q = ∑j=1
M Q j = M Q j (4.26)
où M est le nombre de lignes de flux de chaleur dans le dessin.Avec la différence de température entre les isothermes ∆Ti nous obtenons selon
l'équation de FOURIER
Q j ≈ λ A j ∆Ti∆x ≈ λ L ∆y
∆Ti∆x (4.27)
L'accroissement de température est le même pour toutes les isothermes donc
∆T1-2 = ∑n=1
N ∆Ti = N ∆Ti (4.28)
avec (4.26) et (4.28) nous obtenons pour ∆x ≈ ∆y
44 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
L
T2T1
i=1 2 3 4 5 6N=6,1
j=1
M=4
3
2
isotherme
T2
adiabate
Q j
Q j
T1
∆T i
a
b
cd
y
x
∆x
∆y
Figure 4.4 Méthode graphique pour la conduction thermique
Q ≈ L MN λ ∆T1-2 (4.29)
Nous définissons le facteur de forme F
Q = F λ (T1 - T2) (4.30)
avec
F = L MN (4.31)
Le nombre des "canaux" M limités par des adiabates et le nombre des isothermes N
entre les deux parois à température donnée (T1, T2) sont obtenus par le dessin des
lignes orthogonales.
TRANSMISSION DE CHALEUR 45
Pour assurer l'égalité des segments ∆x=∆y il est utile de dessiner à l'intérieur de chaque
élément une cercle touchant les isothermes et les adiabates.
La Fig. 4.5 montre pour quelques exemples le réseau des lignes isothermes etadiabates. Le diamètre des cercles (∆x) est une mesure pour le gradient local de la
température.
dT
dx i,j
≈
∆T
∆x i,j
Dans le tableau 4.1 on trouve des expressions analytiques pour le facteur de forme (F)
pour quelques configurations
B12
B22
B1/2B2/2
T2T1
z
T1
T2
d2
d1
Figure 4.5 Exemples de la méthode graphique pour la conduction thermique
46 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
configuration facteur de forme (F)
T1 T2
z
d1
d2
tube circulaire excentré de longueur L
à l'intérieur d'un cylindre de même
longueur
F = 2 π L
Arch
d1
2 + d22 - 4z2
2 d1 d2
T1
T2
dB
tube circulaire de longueur L à
l'intérieur d'un solide carré de même
longueur
F = 2 π L
ln
4 L
d
T1
T2
r2
r1
tube circulaire à l'intérieur d'un
tube hexagonal
F = 2 π L
ln
r2
r1 - 0‚1067
d
zT1
T2 tube enterré horizontalement de
longueur L
L >> d: F = 2 π L
Arch (2z/d)
L >> d et
z > 1,5d: F = 2 π L
ln (4z/d)
Tableau 4.1 - 1 Facteur de forme pour la conduction thermique
TRANSMISSION DE CHALEUR 47
configuration facteur de forme (F)
d
z
T2
T1
sphère enterrée
F = 2 π d
1 - d
4 z
z
z
d
T2
T2
T1
tube circulaire horizontal de longueur L
entre deux plans parallèles de même
longueur et de largeur infinie (z>d/2)
F = 2 π L
ln
8 z
π d
T2T1
d1 d2
B
deux tubes cylindriques dans un
milieu infini homogène
F = 2 π L
Arch
4 B2 - d1
2 - d22
2 d1 d2
d
L
T2
T1
tube circulaire vertical dans un
milieu semi-infini (L>>d)
F = 2 π L
ln
4 L
d
Tableau 4.1 - 2 Facteur de forme pour la conduction thermique
48 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
4.4 METHODE NUMERIQUE
Pour la plupart des cas pratiques liés aux problèmes de transmission de chaleur, il est
impossible de trouver des solutions analytiques (géométries et conditions aux limites
complexes). Pour ces cas nous pouvons appliquer des méthodes numériques qui se
basent sur la discrétisation des variables. Les valeurs numériques de la température sont
définies en des points discrets du corps à des intervalles de temps discrets.
Il existe plusieurs méthodes numériques pour résoudre les problèmes liés à la
transmission de chaleur.
Nous discutons ici la méthode des différences finies qui se base sur la transformation
des dérivées de l'équation de transmission de chaleur en différences finies.
Une autre méthode utilisée aujourd'hui est appelée la méthode des éléments finis.
T(x)
i -1 i i+1i - 0,5 i + 0,5
x
∆x ∆x
i , j +1
i , j -1
i , ji -1, j i +1, j
maillage de calcul
approximation pardifférences finies
noeud intérieur
y
x
∆x
j
i
Figure 4. 6 Méthode numérique pour la conduction bidimensionnelle
TRANSMISSION DE CHALEUR 49
Définition du maillage de calcul
Le premier pas à entreprendre est la définition du maillage de calcul pour le problème
posé (voir exemple Fig. 4.6). Il est important de noter que chaque noeud
représente la valeur (température) moyenne d'un certain domaine défini par le maillage
(voir Fig. 4.6).
Le choix du réseau des noeuds est arbitraire et doit être adapté au problème spécifique
et à la précision du calcul souhaitée.
4.4.1 FORMULATION "DIFFERENCES FINIES"
Nous remplaçons dans l'équation différentielle (4.1)
∂2T∂x2 +
∂2T∂y2 = 0
les dérivées partielles par des différences finies dans les noeuds (i, j) selon Fig.
4.6 par
∂2T
∂x2 i, j
=
∂T
∂xi+0.5‚ j
-
∂T
∂xi-0.5‚ j
∆x (4.32)
Pour les gradients de température nous utilisons les approximations suivantes
∂T
∂x i+0.5‚ j
= Ti+1‚ j - Ti ‚ j
∆x (4.33)
∂T
∂x i-0.5‚ j
= Ti ‚ j - Ti-1‚ j
∆x (4.34)
Introduisant dans (4.32) nous obtenons
∂2T
∂x2 i, j
= Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 2 Ti ‚ j
∆x2 (4.35)
50 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
De la même manière nous obtenons pour la dérivée selon y
∂2T
∂y2 i, j
=
∂T
∂yi‚ j+0.5
-
∂T
∂yi‚ j-0.5
∆y (4.36)
∂2T
∂y2 i, j
= Ti‚ j+1 + Ti ‚ j-1 - 2 Ti ‚ j
∆y2 (4.37)
Pour un maillage avec ∆x = ∆y l'équation (4.1) se transforme avec (4.35) et (4.35) à
Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0 (4.38)
Pour le noeud (i, j) l'équation différentielle est donc transformée en une équation
algébrique approximative. Elle peut être appliquée à tout noeud interne équidistant de
ses voisins.
4.4.2 LA METHODE DE BILAN D'ENERGIE
Nous pouvons obtenir l'équation des différences finies pour un noeud également par un
bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud.
Pour des conditions stationnaires nous pouvons écrire
Q in + Q g = 0 (4.39 a)
où Q in représente le flux de chaleur introduit et Q g la chaleur générée dans le volume
de contrôle. Pour l'élément selon Fig. 4.7-1 le bilan d'énergie donne
∑n=1
4 ( Qn )i ‚ j + q g (∆x ∆y 1) = 0 (4.39)
n représente ici les noeuds voisins et ( Q n )i,j la chaleur conduite entre les noeuds.
La transmission de chaleur par conduction (dans les directions x ou y seulement)
TRANSMISSION DE CHALEUR 51
depuis les noeuds voisins vers [i, j] est donné par
Q (i-1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti-1‚ j - Ti ‚ j
∆x
Q (i+1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti+1‚ j - Ti ‚ j
∆x
(4.40)
Q (i, j+1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j+1 - Ti ‚ j
∆y
Q (i, j-1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j-1 - Ti ‚ j
∆y
Introduisant les équations (4.40) dans (4.39) pour ∆x = ∆y nous obtenons
Ti, j+1 + Ti, j-1 + Ti+1, j + Ti-1, j + q g ∆x ∆y
λ - 4 Ti, j = 0 (4.41)
Pour le cas sans source de chaleur interne (q g=0) l'équation (4.41) est identique à (4.38).
Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0 (4.42)
Pour obtenir les équations de différences finies pour les noeuds situés sur la surface
externe du corps il faut utiliser la méthode de bilan d'énergie. Pour illustrer cette méthode
nous étudions le cas selon Fig 4.7-2b.
Pour les surfaces en contact avec le corps solide nous obtenons
Q (i-1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y) Ti-1‚ j - Ti ‚ j
∆x
Q (i+1, j) ⇒(i, j) = λ (1 ∆y2 )
Ti+1‚ j - Ti ‚ j∆x
(4.43)
Q (i, j+1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x) Ti‚ j+1 - Ti ‚ j
∆y
Q (i, j-1) ⇒(i, j) = λ (1 ∆x2 )
Ti‚ j-1 - Ti ‚ j∆y
L'échange de chaleur par convection entre la surface du solide et le fluide est donné par
Q (f) ⇒(i, j) = α (1 ∆x2 ) (Tf - Ti‚ j) + α (1
∆y2 ) (Tf - Ti‚ j) (4.44)
52 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Pour le cas q g = 0 l'équation de conservation d'énergie (4.39) prend la forme
Ti, j+1 + Ti-1, j + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j
2 + α ∆x Tf
λ - 3 + α ∆x
λ Ti, j = 0 (4.45)
Dans les Fig. 4.7 la formulation des équations de différences finies est répertoriée pourdifférentes configurations de noeuds avec ∆x = ∆y et sans génération de chaleur q g=0.
∆x
∆yQ
Q Q
Q
i, j
i, j +1
i, j -1
i -1, j i +1, j
T
y
x
i-1,j
i+1,j
i, j
i,j+1
i,j-1
Ti‚ j+1 + Ti‚ j-1 + Ti+1‚ j + Ti-1‚ j - 4 Ti‚ j = 0
Equation des différences finies pour un noeud interne
Figure 4.7 - 1 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle
TRANSMISSION DE CHALEUR 53
∆y
Q
Q
Q
∆x
Tf
i, j+1
i -1, j
i, j -1
i, j
Q conv
2 Ti-1, j + Ti, j +1 + Ti, j-1 + 2 α ∆x
λ Tf - 2
α ∆x
λ + 2 Ti, j = 0
a) Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane
∆x
Qconv
Qconv
Q
Q Q
Q
i, j i+1, ji -1, j
i, j+1
∆y
i, j -1 Tf
Ti, j+1 + Ti-1, j + 12 (Ti, j-1 + Ti+1, j ) +
α ∆xλ Tf -
3 + α ∆x
λ Ti, j = 0
b) Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne
Figure 4.7 - 2 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle
54 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
∆x
Qconv
Qconv
i, ji -1, j
∆y
i, j -1
Q
Q
Tf
(Ti-1, j + Ti, j -1 ) + 2 α ∆x
λ Tf - 2
α ∆x
λ + 1 Ti, j = 0
a) Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe
∆x
∆y
Q
Q
i, j +1
i, j -1
i -1, j i +1, j
i, j
∆x'
∆y'
∆x'/2
∆y'/2
T1
T2
Q conv
a=∆x'∆x
21+a Ti+1, j +
21+b Ti, j-1 +
2a(1+a) T1 +
2b(1+b) T2 -
2
a + 2b Ti, j = 0
b) Equation des différences finies pour un noeud près d'une paroi courbée avec
température non uniforme de la paroi (T1, T2)
Figure 4.7 - 3 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle
TRANSMISSION DE CHALEUR 55
4.4.3 SOLUTION DES EQUATIONS "DIFFERENCES FINIES"
Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul, nous
obtenons un système d'équations algébrique linéaire, dont la solution donne la
distribution de la température en ces noeuds.
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour résoudre ce problème que l'on peut
grouper en deux types distincts:
• méthodes directes, et
• méthodes itératives.
Dans la suite nous discuterons les deux types de solutions.
METHODE D'ELIMINATION DE GAUSS
L'idée de la méthode de GAUSS consiste à résoudre le système des équations
algébriques par substitution. Nous discutons cette méthode à l'aide de l'exemple d'un
système de trois équations suivant
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)
a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 = C2 (ii) (4.49)
a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3 (iii)
L'équation doit être organisée de telle façon que a11≠0. Nous multiplions la première
équation (i) par
b2 = a21a11
et la déduisons de la deuxième (ii)
(a21 - b2 a11) T1 + (a22 - b2 a12) T2 + (a23 - b2 a13) T3 = C2 - b2 C1
Avec les nouveaux coefficients
a'21 = a21 - b2 a11 = 0
a'22 = a22 - b2 a12
56 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
a'23 = a23 - b2 a13
C'2 = C2 - b2 C1
Le système (4.49) devient
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)
a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.50)
a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3 (iii)
Ensuite nous définissons
b3 = a31a11
Par multiplication de (i) avec b3 et soustraction de (iii), nous obtenons
a'32 T2 + a'33 T3 = C'3
où les nouvelles constantes sont définies par
a'31 = a31 - b3 a11 = 0
a'32 = a32 - b3 a12
a'33 = a33 - b3 a13
C'3 = C3 - b3 C1
Le sytème (4.50) est maintenant réduit à
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)
a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.51)
a'32 T2 + a'33 T3 = C'3 (iii)'
Nous procédons de la même manière avec les équations (4.51): (ii)' et (iii)' et
définissons
TRANSMISSION DE CHALEUR 57
b'3 = a'32a'22
pour obtenir
a'33 T3 = C''3avec
a''32 = a'32 - b'3 a'22 = 0
a''33 = a'33 - b'3 a'23
C''3 = C'3 - b'3 C'2
La forme finale de l'équation (4.49) est la suivante
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1 (i)
a'22 T2 + a'23 T3 = C'2 (ii)' (4.52)
a''33 T3 = C''3 (iii)''
La solution pour les températures est obtenue par la dernière équation (4.52) (iii),substituant T3 dans (ii) et finalement T3 et T2 dans (i). Les résultats pour T1, T2 et T3 sont
T3 = C''3a''33
(i)
T2 = C'2 - a'23 T3
a'22 (ii) (4.53)
T1 = C1 - a12 T2 - a13 T3
a11 (iii)
Pour a11, a'22 et a'33 = 0 il n'existe pas de solution, le système (4.49) est singulier.
La figure 4.8 montre le schéma synoptique pour le calcul par ordinateur.
58 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Données: ai,j = coefficients de la matrice
C j = constantes des équations linéaires
n = nombre total des noeuds
Tn = Cna n, n
non
oui
oui
non
non
k = 1
i = k + 1
ranger que : a k, k ≠ 0
a i, k = 0
b = a i, ka k, k
j = k + 1
a i, j = a i, j - b a k, j
j = j + 1
Ci = Ci - b Ck
k = n - 1
i = n
j = n
i = i + 1
k = k + 1
non
non
oui
oui
i = n - 1
j = i + 1
S = 0
S = S + ai Tj
Ti = Ci - Sa i, i
i = 1
stop
j = n j = j + 1
i = i - 1
oui
Figure 4.8 Schéma synoptique pour la méthode d'élimination de GAUSS
TRANSMISSION DE CHALEUR 59
LA METHODE DE L'INVERSION DE MATRICE
Nous considérons un nombre N d'équations linéaires (N = nombre total des noeuds)
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 + ..... +a1N TN = C1
a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 + ..... +a2N TN = C2 (4.54)
.......
.......aN1 T1 + aN2 T2 + aN3 T3 + ..... +aNN TN = CN
Les coefficients aij et Cn représentent des valeurs connues et T1, T2 ... TN des
températures inconnues dans les noeuds. Dans l'écriture matricielle l'équation (4.54)
prend la forme
[ A ] [ T ] = [ C ] (4.55)
avec
[ A ] =
a11 a12 a13 .......... a1N
a21 a22 a23 .......... a2N
... ... ... .......... ...
aN1 aN2 aN3 .......... aNN
(4.56)
[ T ] =
T1
T2
T3
..
TN
[ C ] =
C1
C2
C3
..
CN
(4.57)
Le vecteur de solution [T] peut être exprimé selon la relation (4.51)
[ T ] = [ A ]-1 [ C ] (4.58)
où [A]-1 représente l'inverse de la matrice [A]
60 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
[ A ]-1 =
b11 b12 b13 .......... b1N
b21 b22 b23 .......... b2N
... ... ... .......... ...
bN1 bN2 bN3 .......... bNN
(4.59)
Nous obtenons les températures dans les noeuds selon (4.56) par
T1 = b11 C1 + b12 C2 + ..... + b1N CN
T2 = b21 C1 + b22 C2 + ..... + b2N CN (4.60)
.......
.......TN = bN1 C1 + bN2 C2 + ..... + bNN CN
Le problème consiste maintenant à calculer les coefficients de la matrice inverse [A]-1.
Pour ce problème il existe des programmes adéquats dans les bibliothèques des
divers centres de calcul.Les solutions directes posent des problèmes pour les coefficients non linéaires, donc aij
= f(T) et Cn = f(T).
D'autre part, pour résoudre le problème pour un grand nombre de noeuds (N), il faut un
ordinateur de très grande capacité.
METHODE D'ITERATION DE GAUSS-SEIDEL
Quand les méthodes directes deviennent trop encombrantes, on utilise de préférence
les méthodes itératives. Une des plus populaires est la méthode de GAUSS-SEIDEL.
Dans la suite, nous discuterons cette méthode à l'exemple d'un système d'équation
avec 3 inconnues (N = 3)
a11 T1 + a12 T2 + a13 T3 = C1
a21 T1 + a22 T2 + a23 T3 = C2 (4.61)
a31 T1 + a32 T2 + a33 T3 = C3
Pour a11 ≠ 0, a22 ≠ 0, ... aNN ≠ 0 nous pouvons écrire
TRANSMISSION DE CHALEUR 61
T1 = 1
a11 (C1 - a12 T2 - a13 T3) (i)
T2 = 1
a22 (C2 - a21 T1 - a23 T3) (ii) (4.62)
T3 = 1
a33 (C3 - a31 T1 - a32 T2) (iii)
La procédure approximative pour résoudre les équations (4.62) est la suivante:
initialisation k = 0
• définition des valeurs initiales pour les températures T1(0), T2
(0), T3(0)
première itération k = 1
• calculer T1(1) selon (4.62) (i) avec T2
(0), T3(0)
• calculer T2(1) selon (4.62) (ii) avec T1
(1), T3(0)
• calculer T3(1) selon (4.62) (iii) avec T1
(1), T2(1)
deuxième itération k = 2
• calculer T1(2) selon (4.62) (i) avec T2
(1), T3(1)
• calculer T2(2) selon (4.62) (ii) avec T1
(2), T3(1)
• calculer T3(2) selon (4.62) (iii) avec T1
(2), T2(2)
et ainsi de suite....
k-ème itération
• T1(k) =
1a11
[C1 - a12 T2(k-1)- a13 T3
(k-1)]
• T2(k) =
1a22
[C2 - a21 T1(k)- a23 T3
(k-1)]
• T3(k) =
1a33
[C3 - a31 T1(k)- a32 T2
(k)]
62 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Données: ai,j = coefficients des équations linéaires
C j = constantes des équations linéaires
IMAX = nombre des noeuds dans la direction x
JMAX = nombre des noeuds dans la direction yε = erreur admissible (erreur = somme des différences de température
dans les noeuds entre les deux dernières itérations)
stop
TDIFREL > ERRMAX
i = 1
T i = T 0
i = IMAX
ERRMAX = 0
i = 1
Σ = 0
i = i + 1
j = 1
j = i
Σ = Σ + a i, j + T i
j = JMAX
TEMP = 1a i, i
C i - Σ
TDIFREL = TEMP - T i
TEMP
ERRMAX = TDIFREL
T i = TEMP
ERRMAX > ε
oui
non
oui
non
oui
non
oui
non
oui
non
j = j + 1
i = i + 1
i = IMAX
Figure 4.9 Schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL
TRANSMISSION DE CHALEUR 63
Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur un côté.
Comparaison des résultats obtenus avec différents nombres de noeuds.
Figure 4.10-1 Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique
64 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
Isothermes dans la plaque rectangulaire chauffée sur les côtés
Figure 4.10-2 Exemple de calcul numérique pour la conduction thermique
TRANSMISSION DE CHALEUR 65
Le processus d'approximation est à poursuivre jusqu'à ce que la précision demandée
soit atteinte. Ce qui peut être défini par la différence entre deux approximations
successives
| Tn(k) - Tn
(k-1) | < ε (5.63)
ou par la différence relative
| Tn
(k) - Tn(k-1)
Tn(k) | < ε (5.64)
pour chaque noeud.
Le schéma synoptique pour la méthode itérative de GAUSS-SEIDEL est montré dans
la Fig. 4.9.
Les problèmes des méthodes numériques se résument ainsi:
• les erreurs numériques,
• la stabilité du calcul, et
• la convergence.
RESUME DU CHAPITRE 4
• La conduction thermique 2D est décrite par l'équation de LAPLACE.
• Pour déterminer le champ de température 2D nous utilisons des méthodes:
analytique, analogique, graphique et numérique.
• Les solutions analytiques servent souvent à tester les programmes de calcul
numérique.
• La méthode numérique de type différences finies se base sur la transformation des
dérivées de l'équation de la transmission de chaleur en différences finies.
• Les équations des différences finies aux noeuds de calcul peuvent être obtenues
par un bilan d'énergie pour un volume de contrôle autour du noeud.
66 CHAP.4: CONDUCTION THERMIQUE BIDIMENSIONNELLE, STATIONNAIRE
• Par la formulation des équations des différences finies en chaque noeud de calcul,
nous obtenons un système d'équation algébrique linéaire, dont la solution donne la
distribution de la température en ces noeuds.
• Le système d'équation algébrique linéaire peut être résolu par des méthodes
directes ou itératives.
• Les problèmes des méthodes numériques sont les erreurs numériques, la stabilité
de calcul et la convergence.
TRANSMISSION DE CHALEUR 67
5. CONDUCTION THERMIQUEINSTATIONNAIRE
5.1 Méthode de capacité thermique globale
5.2 Paramètres universels de la méthode de calcul instationnaire
5.3 Solution analytique pour la conduction monodimensionnelle
instationnaire
5.4 Méthode numérique pour la conduction instationnaire
Tf
T i
T( t)
T(t )0T(t )1
T(t )2
T(t )3
68 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
5. CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
Nous appelons le phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou
transitoire quand la distribution de température varie dans un corps avec le temps.
Chaque processus de transmission de chaleur parcourt cette phase avant que la
conduction stationnaire ne soit établie. Cette phase est souvent négligeable par rapport
au temps de fonctionnement stationnaire (p.ex. fonctionnement d'une centrale
thermique), dans certains cas par contre la condition transitoire est le processus primaire
(traitement thermique des matériaux). Pour les machines thermiques (p.ex. turbine à gaz,
turbine à vapeur) pendant la période de démarrage la distribution de la température
dans les éléments chauds peut provoquer des contraintes thermiques dangereuses.
Dans ce chapitre nous traitons les problèmes de conduction thermique pour les cas où le
temps apparaît comme variable supplémentaire à côté des coordonnées spatiales.
5.1 METHODE DE CAPACITE THERMIQUE GLOBALE
Nous rencontrons le plus souvent le cas où la température à la limite d'un corps à
température constante change brusquement.
Nous plongeons soudainement un corps à température homogène Ti dans un liquide à
température Tf < Ti (Fig. 5.1). A partir de l'instant de submersion (t=0) la température du
corps diminue et se rapproche de Tf. Nous admettons d'abord que la température varie
dans le corps d'une façon uniforme, donc homogène [T(x,y) = cte] à chaque instant t
(nous admettons que les gradients de température sont négligeables dans le corps).
Cette approximation est valable si la résistance à la conduction est faible par rapport à la
résistance de transmission de chaleur sur la surface entre liquide et solide. Négligeant les
gradients (�∂ T/∂xn) nous ne pouvons pas utiliser l'équation de transmission de chaleur
(3.13) mais seulement un bilan d'énergie global. Nous pouvons écrire
Qex + Qst = 0 (5.1)
ou
α As (T - Tf) + ρ V cp dTdt = 0 (5.2)
TRANSMISSION DE CHALEUR 69
Nous introduisons la différence de température
θ ≡ T - Tf (5.3)
Avec (dT/dt =dθ/dt) nous obtenons
α As θ + ρ V cp dθdt = 0
La température à l'instant t est obtenue par intégration à partir des conditions initiales θi =
(Ti - Tf)
A sT T i
=
t = 0
t > 0
T = T ( t )
T i
T f < T i Q st Q ex
Ti = température initiale du bloc
Tf = température du fluide
Figure 5.1 Refroidissement d'un bloc plongé soudainement dans un bain froid
ρ V cpα As
⌡⌠
θi
θdθθ = - ∫
0
tdt
donc
ρ V cpα As
ln θiθ = t (5.4)
70 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
ou
θθi
= T - TfTi - Tf
= e- t
α Asρ V c p (5.5)
L'équation (5.4) nous permet de calculer le temps jusqu'à ce que le corps prenne la
température (T) tandis que l'équation (5.5) nous donne la température à un instant (t)
donné.
Le facteur (5.5) représente une constante de temps du problème
τth (sec) = 1
α As ρ V cp = Rth, conv C th (5.6)
que l'on peut interprêter comme le produit de la résistance thermique de convection (Rth,
conv) et de la capacité thermique (Cth) du bloc (voir 3.26).
L'énergie-chaleur transmise dans le temps est donnée par
Q = ∫0
t
Q dt = ∫0
t
q As dt = ∫0
t α As (T -Tf) dt
donc
Q = α As ∫0
t θ dt
avec θ selon (5.5)
Q = ρ V cp θi
1 - e- t
τth(5.7)
La question qui se pose est jusqu'à quelle limite peut-on négliger les gradients de
température à l'intérieur du corps pendant la période de transition, donc quelles sont les
limites d'application de la méthode développée ci-dessus.
Pour répondre à cette question nous étudions le cas selon la Fig. 5.2. Nous tenons la
température sur la surface S1 constante Ts,1.
La température de la paroi S2 est T f < Ts,2 < Ts,1. Dans des conditions stationnaires le
bilan d'énergie donne
λ A (Ts‚1 - Ts‚2)Lc
= α A ( Ts,2 - Tf )
TRANSMISSION DE CHALEUR 71
ou
Ts‚1 - Ts‚2Ts‚2 - Tf
=
Lcλ A1
α A =
Rth‚condRth‚conv
Nous appelons ce rapport le nombre de BIOT
Bi ≡ Rth‚condRth‚conv
= α Lλ (5.8)
écoulementw
xL couche limite
convection ( α )
T f
T
T s,1T ⇒ Bi << 1s,2
conduction ( λ )
T ⇒ Bi 1s,2
T ⇒ Bi >> 1s,2
Q cond = Q conv
Figure 5.2 Signification du nombre de BIOT pour un problème de transmission
de chaleur par convection
Le paramètre adimensionnel Bi joue un rôle fondamental dans les problèmes de
transmission de chaleur par convection sur une paroi.
La figure 5.2 montre l'influence du nombre de BIOT sur le gradient de température dans
la paroi. Il représente le rapport entre la différence de température dans la paroi et la
différence entre la surface et le fluide.
La figure 5.2 révèle que pour les valeurs Bi«1 le gradient de température est
négligeable dans les processsus instationnaires.
72 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
Par contre, pour les valeurs élevées de Bi»1, les gradients de température dans le
corps sont importants dans la phase transitoire de conduction.
La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à 5%)
pour
Bi = α Lc
λ ≤ 0,1 (5.9)
où Lc représente la longueur caractéristique du problème définie par
Lc = VAs
(5.10)
Avec la longueur caractéristique l'exposant de (5.5) peut être exprimé par
t α Asρ V cp
= t α
ρ cp Lc =
α Lcλ
t λLc
2 ρ cp
t α Asρ V cp
= Bi Fo (5.11)
avec
Fo = t ΛLc2 (5.12)
Le coefficient Fo est appelé nombre de FOURIER et représente un temps
adimensionnel et est une autre grandeur caractéristique importante des problèmes de
transmission de chaleur instationnaire.
5.2 PARAMETRES UNIVERSELS DE LA METHODE DE CALCUL
INSTATIONNAIRE
Quand le nombre de Biot pour un problème de conduction instationnaire dépasse la
limite Bi ≥ 0,1, la méthode de calcul globale donne des erreurs trops grandes
(supérieures à 5 %). Dans ce cas, nous devons calculer avec une méthode précise.
Nous étudions d'abord un cas simple de conduction monodimensionnelle et considérons
une paroi d'épaisseur 2L sans génération de chaleur (Fig. 5.3). L'équation générale du
TRANSMISSION DE CHALEUR 73
problème (3.13) se réduit dans ce cas à
∂2T∂x2 =
1Λ
∂T∂t (5.13)
où la température dans les points x est aussi une fonction du temps (t)
T = T(x, t)
xL L
xL Lδ δ
Ti
Ts Ts
TfTf
T0
w w
T
t ≤ 0 t > 0Tf = Ti Tf < Ti
Figure 5.3 Distribution de la température dans une paroi symétriquement
refroidie par convection
Dans les conditions initiales pour t<0 la température de la paroi est
T(x,0) = Ti (5.14)
tandis que la distribution est homogène
∂T
∂x x=0 = 0 (5.15)
74 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
A partir du temps t = 0, un flux de liquide de refroidissement à température Tf < Ti
parcourt les surfaces et refroidit la paroi. Les conditions aux limites sont définies à chaque
instant par le bilan d'énergie
- λ
∂T
∂x x=L = α [T(L,t) - Tf] (5.16)
La température dans la paroi dépend donc des 8 paramètres suivants:
T = T(x, t, Ti, Tf, L, λ, Λ, α) (5.17)
Pour résoudre le problème, il est avantageux de réduire le nombre de paramètres
indépendants. Dans ce but nous définissons :
• la température adimensionnelle (0 ≤ Θ* ≤ 1)
Θ* ≡ ΘΘi
= T - TfTi - Tf
(5.18)
• la coordonnée adimensionnelle
x* ≡ xL (5.19)
• le temps adimensionnel (nombre de Fourier)
t* ≡ Λ t
L2 = Fo (5.20)
• le nombre de Biot
Bi ≡ α Lλ (5.21)
Avec ces paramètres les équations dimensionnelles peuvent être transformées en
∂2Θ*∂x*2 =
∂Θ*∂Fo (5.22)
avec
Θ*(x*,0) = 1 (5.23)
TRANSMISSION DE CHALEUR 75
∂Θ*
∂x* x*=0 = 0 (5.24)
et
∂Θ*
∂x* x*=L = - Bi Θ*(1,t*) (5.25)
Le nombre de variables indépendantes du problème est réduit à 3:
Θ* = f(x*, Fo, Bi) (5.26)
La distribution instationnaire de la température pour une géométrie similaire est donc une
fonction universelle de x*, Fo et Bi.
5.3 SOLUTION ANALYTIQUE POUR LA CONDUCTION MONODIMEN-
SIONNELLE INSTATIONNAIRE
Le problème de conduction thermique instationnaire selon Fig. 5.3 est décrit par
l'équation
∂2Θ∂x2 =
1Λ
∂Θ∂t (5.27)
où
Θ ≡ T - Tf
La solution peut être déterminée par la méthode de séparation des variables (voir
chapitre 4.1)
Θ(x,t) = X(x) τ(t) (5.28)
La substitution dans (5.27) donne
τ d2X
dx2 = 1Λ X
dτdt (5.29)
76 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
ou après division par (X τ)
1X
d2Xdx2 =
1Λ
1τ
dτdt (5.30)
Nous définissons ς2 pour la valeur constante pour les deux côtés et obtenons
1X
d2Xdx2 = ς2 (5.31a)
et1Λ
1τ
dτdt = ς2 (5.32a)
La solution générale de (3.32-a) est
τ = A e Λ ς2 t (5.33a)
L'expression (5.33a) donne une augmentation de τ avec t et se rapproche de l'infini
pour des grandes valeurs de t. Ce résultat est physiquement impossible (voir 5.28).
Pour obtenir une solution valable il faut que ς2 ait un signe négatif. Les équations (5.31)
et (5.32) prennent donc la forme
dτdt = -Λ ς2 τ (5.31)
TRANSMISSION DE CHALEUR 77
0,05
0,6
0,2
0,8
0,4
13 2,5 2
1,75 1,5
1,25
4
5
6
78
91015
30
40
50
60
70
8090
100
1/B
i=20
1
0,00
1
0,00
2
0,00
3
0,00
4
0,00
6
0,00
80,
01
0,02
0,03
0,04
0,06
0,080,
1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,8
Fo
0 i
LL
Ti
Tf
T0
T f
x
02
46
810
2040
6080
100
200
300
400
500
600
700
800
T
Figure 5.4-1 Température au milieu ( x = 0 ) de la paroi (solution analytique)
78 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
0,2
0,4
0,6
x* = 0,8
0,9
1
0
0,2
0
0,4
0,6
1
0,01 0,05 0,1 0,5 1 5 10 100501/Bi
Figure 5.4-2 Distribution de température dans la paroi ( 0 < x < L )
Bi = 0,001
0,01
0,1
1 5
10
20
50
0
1
0,6
0,4
0,2
QQ 0
10-5 10 -4 10 -3 10-2 10-1 10 21 10 103 104
Fo Bi2
Figure 5.4-3 Echange d'énergie dans la paroi
TRANSMISSION DE CHALEUR 79
et
d2Xdx2 = - ς2 X (5.32)
La solution générale de (5.31) et (5.32) est
τ = A e −Λ ς2 t(5.33)
et
X = B cos (ς x) + C sin (ς x) (5.34)
Pour la température Θ nous obtenons selon (5.28)
Θ(x,t) = e −Λ ς2 t [ A B cos (ς x) + A C sin (ς x) ] (5.35)
La solution du problème est finalement avec ξn = ςn L
Θ* = ∑n=1
∞ Kn e −ξn2 Fo
cos (ξn x*) (5.36)
où les constantes sont obtenues par les conditions aux limites
Kn = 4 sin ξn
2 ξn + sin (2 ξn) (5.37)
où ξn représente les "valeurs propres" de l'équation transcendante (n=1,2,3, ...)
ξn tg ξn = Bi (5.38)
Les figures 5.4 représentent les résultats du calcul analytique pour la paroi selon Fig. 5.3.
La Fig. 5.4-1 permet de calculer la température au milieu (x=0) de la paroi dans les
instants t et la Fig. 5.4-2 la distribution dans les points 0<x<L. La Fig. 5.4-3 représente la
transmission d'énergie en fonction du nombre de Biot (Bi) et du nombre de Fourier (Fo).
80 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
1
0,5
00 0,5 1x/L
50100
200
400
800
t=1600 min
3200
Ti(°C) = 250
Tf(°C) = 50
L(m) = 0,1
ρ(kg/m3) = 1000
cp(J/kg K) = 4218
λ(W/m K) = 50
α(W/m2 K) = 5
Bi = 0,01
1
0,5
00 0,5 1x/L
50100
200400
800
t=1600 min
3200
Ti(°C) = 250
Tf(°C) = 50
L(m) = 0,1
ρ(kg/m3) = 1000
cp(J/kg K) = 4218
λ(W/m K) = 0,5
α(W/m2 K) = 5
Bi = 1
1
0,5
00 0,5 1x/L
50
100200
400
800
t=1600 min3200
Ti(°C) = 250
Tf(°C) = 50
L(m) = 0,1
ρ(kg/m3) = 1000
cp(J/kg K) = 4218
λ(W/m K) = 0,5
α(W/m2 K) = 50
Bi = 10
Figure 5.5 Evolution de la température dans une paroi pour différents nombres
de Biot
TRANSMISSION DE CHALEUR 81
Pour le calcul numérique il est avantageux d'utiliser les relations données dans le tableau5.1. Il donne des équations approximatives pour les quatres premiers coefficients ξn de
la série (5.36), donc
Θ* = T - TfTi - Tf
= K1 e −ξ12 Fo cos (ξ1 x*) + K2 e −ξ22 Fo
cos (ξ2 x*) +
+ K3 e −ξ32 Fo cos (ξ3 x*) + K4 e −ξ42 Fo
cos (ξ4 x*) (5.39)
QQ0
= 1 - K1
sinξ1ξ1
e -ξ12 Fo+ K2
sinξ2ξ2
e -ξ22 Fo+
+ K3
sinξ3ξ3
e -ξ32 Fo+ K4
sinξ4ξ4
e -ξ42 Fo (5.40)
AvecQ0 = ρ cp V (Ti - Tf) (5.41)
La Fig. 5.5 montre l'évolution de la température dans une paroi pour différents nombres
de Biot selon le calcul à l'aide des relations (5.39) et (5.40). Nous constatons que pour
Bi=0,01 la température est presque constante dans la paroi à chaque moment. La
variation maximale de la température dans la paroi reste au dessus de 5% pour Bi<0,1,
c'est pourquoi la méthode de capacité globale peut être appliquée jusqu'à cette limite.
Pour Bi=1 nous obtenons une distribution variable de la température dans la paroi et
pour Bi=10 une très grande différence dans le centre et sur la surface pendant le
refroidissement.
Par une méthode analogue à celle de la plaque plane on peut trouver la solution
analytique pour le cylindre et pour la sphère. Les Tableaux 5.2 et 5.4 donnent les
équations approximatives pour le calcul numérique des séries des solutions analytiques.
La définition des variables adimensionnelles pour le cylindre et la sphère sont
r* = rr0
, Fo = t Λr02 , Bi =
α r0λ (5.42)
avec r0 comme diamètre extérieur.
Pour le cylindre J0 et J1 représentent des fonctions de BESSEL données dans le
Tableau 5.3.
82 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
• 0 < Bi < 10
ξ1 = 0.0349 + 0.7241 Bi
1+Bi - 0.0374e-0.3Bi + 0.0584 Bi0.3
1+Bi0.3 + 0.9297 Bi0.5
1+Bi0.5
• 10 < Bi < ∞
ξ1 = 2.1783 - 2.4753 Bi
1+Bi - 0.6863e-0.3Bi - 4.3632 Bi0.3
1+Bi0.3 + 5.8457 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 4
ξ2 = 4.3360 - 0.0696 Bi
1+Bi - 1.1940e-0.3Bi - 0.0167 Bi0.3
1+Bi0.3 + 0.0341 Bi0.5
1+Bi0.5
• 4 < Bi < ∞
ξ2 = 3.7451 - 2.3609 Bi
1+Bi - 0.5639e-0.3Bi - 8.5132 Bi0.3
1+Bi0.3 + 11.0653 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ3 = 6.2832 + 0.1508Bi + 0.0120 Bi0.2
1+Bi0.2 - 0.0351 Bi0.33
1+Bi0.33 + 0.0309 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ3 = 9.2452 -4.6813 Bi
1+Bi -24.0280 Bi0.2
1+Bi0.2 +7.3786Bi0.33
1+Bi0.33 +15.7064 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ4 = 9.4248 + 0.1032Bi + 0.0049 Bi0.2
1+Bi0.2 - 0.0147 Bi0.33
1+Bi0.33 + 0.0126 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ4 =11.3864 -5.3934 Bi
1+Bi -19.5291 Bi0.2
1+Bi0.2+5.4268 Bi0.33
1+Bi0.33 +15.7884 Bi0.5
1+Bi0.5
Θ* = ∑n=1
N
Kn e −ξn2 Fo cos (ξn x*)
Kn = 4 sin ξn
2 ξn + sin (2 ξn)
QQ0
= 1 - ∑n=1
N
Kn sin ξn
ξn e- ξn2 Fo
Q0 = ρ cp V (Ti - Tf)
Tableau 5.1 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la
conduction instationnaire dans une plaque plane
TRANSMISSION DE CHALEUR 83
• 0 < Bi < 1
ξ1 = 1.2099 Bi
1+Bi - 2.0891 Bi0.3
1+Bi0.3 +2.7480 Bi0.33
1+Bi0.33 +0.6260 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ1 = 0.3839 + 1.4883 Bi
1+Bi - 2.5928 Bi0.3
1+Bi0.3 -0.2197 Bi0.33
1+Bi0.33 +3.0479 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ2 = 3.8317 + 0.2381 Bi + 0.2692 Bi0.3
1+Bi0.3 -0.3585 Bi0.33
1+Bi0.33 +0.1122 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ2 = 4.7263 - 3.5882 Bi
1+Bi - 11.448 Bi0.3
1+Bi0.3 -0.7017 e-0.3Bi +14.781 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ3 = 7.0162 + 0.1439 Bi - 0.2858 Bi0.3
1+Bi0.3 +0.3549 Bi0.33
1+Bi0.33 -0.0756 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ3 = 7.4019 - 5.8604 Bi
1+Bi - 11.767 Bi0.3
1+Bi0.3 -8.9596 Bi0.33
1+Bi0.33 +26.083 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ4 = 10.174 + 0.1046 Bi - 0.472 Bi0.3
1+Bi0.3 +0.5907 Bi0.33
1+Bi0.33 -0.1324 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ4 = 9.9370 - 6.3556 Bi
1+Bi - 3.0187 Bi0.3
1+Bi0.3 -14.604 Bi0.33
1+Bi0.33 +24.671 Bi0.5
1+Bi0.5
Θ* = ∑n=1
N
Kn J0(ξn r*) e−ξn2 Fo
Kn = 2ξn
J1(ξn)
J02(ξn) + J12(ξn)
QQ0
= 1 - ∑n=1
N
4 Bi2
ξn2 (ξn
2 + Bi2) e- ξn2 Fo
Q0 = ρ cp V (Ti - Tf)
Tableau 5.2 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la
conduction instationnaire dans un cylindre
84 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
Fonction d'ordre 0 non modifiée
• 0 < x < 3J0(x) = 1 - 2.2499997 (x/3)2 + 1.2656208 (x/3)4 - 0.3163899 (x/3)6 +
0.0444479 (x/3)8 - 0.0039444 (x/3)10 + 0.0002100 (x/3)12
• 3 < x < ∞J0(x) = x-1/2 f0 cosθ0
f0 = 0.79788456 - 0.00000077 (3/x) - 0.00552740 (3/x)2 - 0.00009512 (3/x)3 +
+ 0.00137237 (3/x)4 - 0.00072805 (3/x)5 + 0.00014476 (3/x)6
θ0 = x - 0.78539816 - 0.04166397 (3/x) - 0.00003954 (3/x)2 +
+ 0.00262573 (3/x)3 - 0.00054125 (3/x)4 - 0.00029333 (3/x)5 +
+ 0.00013558 (3/x)6
Fonction d'ordre 1 non modifiée
• 0 < x < 3J1(x) = x [ 0.5 - 0.56249985 (x/3)2 + 0.21093573 (x/3)4 - 0.03954289 (x/3)6 +
+ 0.00443319 (x/3)8 - 0.00031761 (x/3)10 + 0.00001109 (x/3)12 ]
• 3 < x < ∞J1(x) = x-1/2 f1 cosθ1
f1 = 0.79788456 + 0.00000156 (3/x) + 0.01659667 (3/x)2 + 0.00017105 (3/x)3 -
- 0.00249511 (3/x)4 + 0.00113653 (3/x)5 - 0.00020033 (3/x)6
θ1 = x - 2.35619449 + 0.12499612 (3/x) + 0.00005650 (3/x)2 -
- 0.00637879 (3/x)3 + 0.00074348 (3/x)4 + 0.00079824 (3/x)5 -
- 0.00029166 (3/x)6
x = ξn ou x = ( ξn r* ) selon tableau 5.2
Tableau 5.3 Formules approximatives pour la fonction de BESSEL
TRANSMISSION DE CHALEUR 85
• 0 < Bi < 1
ξ1 = 1.6620 Bi
1+Bi -3.7134 Bi0.3
1+Bi0.3 +4.9112 Bi0.33
1+Bi0.33 +2.5350 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ1 = 0.5210 + 1.7032 Bi
1+Bi - 3.6814 Bi0.3
1+Bi0.3 -1.7041 Bi0.33
1+Bi0.33 +5.7561 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ2 = 4.4933 + 0.2192 Bi - 0.0743 Bi0.3
1+Bi0.3 +0.0909 Bi0.33
1+Bi0.33 -0.0146 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ2 = 5.6788 - 4.9072 Bi
1+Bi - 15.512 Bi0.3
1+Bi0.3 -0.7286 e-0.3Bi +19.569 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ3 = 7.7256 + 0.1330 Bi - 0.2793 Bi0.3
1+Bi0.3 +0.3515 Bi0.33
1+Bi0.33 -0.0799 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ3 = 9.4503 - 6.4472 Bi
1+Bi - 86.584 Bi0.3
1+Bi0.3 +70.379 Bi0.33
1+Bi0.33 +19.468 Bi0.5
1+Bi0.5
• 0 < Bi < 1
ξ4 = 10.904 + 0.0923 Bi - 0.0457 Bi0.3
1+Bi0.3 +0.0582 Bi0.33
1+Bi0.33 -0.0137 Bi0.5
1+Bi0.5
• 1 < Bi < ∞
ξ4 = 11.872 - 6,4183 Bi
1+Bi - 79.490 Bi0.3
1+Bi0.3 +68.683 Bi0.33
1+Bi0.33 +15.551 Bi0.5
1+Bi0.5
Θ* = ∑n=1
N
Kn sin (ξn r*)
ξn r* e−ξn2 Fo
Kn = 4 (sin ξn - ξn cos ξn)
2 ξn - sin (2 ξn)
QQ0
= 1 - ∑n=1
N
12ξn
3 (sin ξn - ξn cos ξn)2
2 ξn - sin (2 ξn) e- ξn2 Fo
Tableau 5.4 Formules approximatives pour la solution analytique concernant la
conduction instationnaire dans une sphère
86 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
5.4 METHODES NUMERIQUES POUR LA CONDUCTION
INSTATIONNAIRE
La solution analytique du problème est seulement possible pour des géométries très
simples. Dans les problèmes réels rencontrés par l'ingénieur on utilise pour cette raison
dans la plupart des cas des méthodes numériques.
Le problème de conduction instationnaire sans génération de chaleur interne est décrit
par (voir 3.13)
∂2T∂x2 +
∂2T∂y2 +
∂2T∂z2 =
1Λ
∂T∂t
Les méthodes numériques se basent sur la même démarche que celle discutée au
chapitre 4.4 pour la condition stationnaire.
A part les conditions spatiales (x, y, z) il faut toutefois aussi discrétiser le temps.
Pour le faire nous introduisons le paramètre p et définissons le temps actuel par
t = p ∆t (5.43)
où ∆t représente le laps de temps entre deux pas de calcul.
Nous commençons le calcul instationnaire à partir d'une solution stationnaire. Après le
calcul de la température en chaque noeud nous avançons de ∆t (donc: p+1) et
recalculons l'équilibre pour ce pas (Fig. 5.6).
Nous devons donc déterminer la température en chaque noeud (Ti, j) à des instants
précis
⇒ t, t+∆t, t+2∆t, ...
ou avec (p) comme index de pas de calcul dans le temps
⇒ p, p+1, p+2, ...
Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes différentes:
• la méthode explicite, et
• la méthode implicite.
Dans la suite, nous discutons les deux méthodes à l'exemple de la conduction
instationnaire monodimensionnelle donnée par
TRANSMISSION DE CHALEUR 87
∂2T∂x2 =
ρ cpλ
∂T∂t (5.44)
∆x
Qconv
Qst
Qcond
ii -1∆x
∆x ∆x
i -1 i +1i
Qst
Qcond Qcond
noeud interne noeud sur une surface plane
t
T
x
∆x∆x
∆x ∆t∆t
i-1,p
i,p
i+1,p
i-1, p+1
i+1, p+1
i, p+1
Evolution de la température dans les noeuds de calcul en fonction du temps
Figure 5.6 Distribution de la température dans les noeuds pour un calcul
numérique de la conduction instationnaire monodimensionnelle dans une paroi
88 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
LA METHODE EXPLICITE
Nous utilisons la méthode de discrétisation selon chapitre 4.4. La transmission de chaleur
par conduction depuis les noeuds voisins vers le noeud (i) est donnée pour un noeud
interne (Fig. 5.6) avec (∆y=∆x) par
Q (i-1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti-1 - Ti
∆x (5.45)
Q (i+1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti+1 - Ti
∆x (5.46)
et la chaleur "stockée" dans le temps ∆t
( )Qst ∆t = ρ cp (1 ∆x2) Ti
(p+1) - Ti (p)
∆t (5.47)
La somme des taux de chaleur est à chaque instant égale à zéro, donc
λ [ ]Ti-1(p) - Ti
(p) + Ti+1(p) - Ti
(p) = ρ cp ∆x2
∆t (Ti (p+1) - Ti
(p)) (5.48)
ouλ
ρ cp
∆t∆x2 [ ]Ti-1
(p) - Ti(p) + Ti+1
(p) - Ti(p) = Ti
(p+1) - Ti (p) (5.49)
La température à l'instant (t+∆t) ou (p+1) dans le noeud (i) est après introduction du
nombre de Fourier
Ti (p+1) = Ti
(p) (1- 2 Fo) + Fo ( ) Ti-1(p) + Ti+1
(p) (5.50)
Pour le noeud sur la surface (Fig. 5.6) nous obtenons avec
Q (i-1) ⇒(i) = λ (1 ∆x) Ti-1 - Ti
∆x (5.51)
Q (conv) ⇒(i) = α (1 ∆x) (Tf - Ti) (5.52)
et
( )Qst ∆t = ρ cp (1 ∆x ∆x2 )
Ti (p+1) - Ti
(p)
∆t (5.53)
TRANSMISSION DE CHALEUR 89
Par l'équilibre des flux de chaleur
λ ( )Ti-1(p) - Ti
(p) + α ∆x ( )Tf - Ti(p) = ρ cp
∆x2
2 ∆t ( )Ti (p+1) - Ti
(p) (5.54)
2 λ
ρ cp
∆t∆x2 ( )Ti-1
(p) - Ti(p) + 2
α ∆xλ
∆t λρ cp ∆x2 ( )Tf - Ti
(p) = Ti (p+1) - Ti
(p) (5.55)
pour la température sur la paroi à l'instant t+∆t (ou p+1)
Ti (p+1) = 2 Fo ( )Ti-1
(p) + Bi Tf + ( )1- 2 Fo - 2 Bi Fo Ti (p) (5.56)
Cette formulation est nommée la formulation explicite car elle permet de calculer la
température "future" dans les noeuds Ti(p+1) d'une façon explicite par la distribution de
température actuelle dans les noeuds.
LA METHODE IMPLICITE
La formulation implicite est donnée par
Ti+1 (p+1) - 2 Ti
(p+1) + Ti-1 (p+1)
∆x2 = 1Λ
Ti (p+1) - Ti
(p)
∆t (5.57)
Dans cette formulation nous calculons les températures "futures" dans les noeuds (Ti(p+1))
par la température actuelle Ti (p) et les températures futures des noeuds voisins.
Comparaison des méthodes explicite et implicite
La Fig. 5.7 explique la différence entre la méthode explicite et implicite à l'exemple de la
conduction instationnaire monodimensionnelle. Dans la méthode explicite nous
définissons la température pour le noeud (i) dans l'instant (t+∆t) à partir de la distribution
de la température dans les trois noeuds voisins (i-1, i, i+1) au moment
90 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
∆x∆x
∆x∆t
t
T
x
T i P
T i +1 P
T i P+1
T i -1 P
a) Méthode explicite
∆x∆x
∆x∆t
t
T
x
T i P
T i P+1
T i -1 P+1
T i +1 P+1
b) Méthode implicite
Figure 5.7 Différence entre la méthode explicite et implicite
TRANSMISSION DE CHALEUR 91
(t). L'évolution de la température dans le temps dépend ici du gradient de température
dans la direction x qui a tendance à s'équilibrer vers la solution stationnaire [T(x)=Tf]. La
température à l'instant (t+∆t) peut être calculée directement par les valeurs connues à
l'instant (t).
Dans la méthode implicite la température à l'instant (t) est définie par les gradients de
température au même instant. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires
avec autant d'inconnues que de noeuds de calcul.
Il est évident que la méthode explicite est plus simple. Elle a toutefois le désavantage
que le pas spatial (∆x) et le pas de temps (∆t) doivent satisfaire les critères selon figures
5.8 pour assurer la stabilité du calcul.
Cette considération conduit souvent à de très petits ∆t qui résultent lors de périodes de
calcul très longues afin d'obtenir la solution.
Pour réduire le temps de calcul on a recourt pour cette raison souvent à une méthode
implicite qui demande la solution simultanée du système des équations algébriques
linéaires. Cette méthode a l'avantage d'être stable sans condition préalable.
Si la température aux limites varie avec le temps [Tf = f(t)] on traite le problème
normalement comme le cas avec température Tf = cte. On fixe les conditions pendant le
calcul d'un pas et varie (Tf) avant d'éxécuter le pas suivant.
La formulation des équations des différences finies pour le cas bidimensionnel peut être
développée par la méthode du bilan d'énergie discutée au chapitre 4.4.2. Dans les
figures 5.8 nous trouvons les définitions de différents éléments typiques pour les
configurations bidimensionnelles les plus courantes.
92 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
∆x
∆yQ
Q Q
Q
i, j
i, j +1
i, j -1
i -1, j i +1, j
méthode explicite (5.58)
Ti,j(p+1) = Fo [ Ti+1,j
(p) + Ti-1,j(p) +Ti,j+1
(p) + Ti,j-1(p) ]+ (1 - 4 Fo) Ti,j
(p)
critère de stabilité: Fo ≤ 1/4
méthode implicite (5.59)
(1 + 4 Fo) Ti,j(p+1) - Fo [ Ti+1,j
(p+1) + Ti-1,j(p+1) + Ti,j+1
(p+1) + Ti,j-1(p+1) ] = Ti,j
(p)
Equation des différences finies pour un noeud interne
définition: Bi = α ∆x
λ
Fo = Λ ∆t∆x2
Figure 5.8 - 1 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle instationnaire
TRANSMISSION DE CHALEUR 93
∆y
Q
Q
Q
∆x
Tf
i, j+1
i -1, j
i, j -1
i, j
Q conv
méthode explicite (5.60)
Ti,j(p+1) = Fo [ 2 Ti-1,j
(p) + Ti,j+1(p) +Ti,j-1
(p) + 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 2 Bi Fo] Ti,j(p)
critère de stabilité: Fo (2 + Bi) ≤ 0.5
méthode implicite (5.61)
[1 + 2 Fo (2 + Bi)] Ti,j(p+1) - Fo [ 2 Ti-1,j
(p+1) + Ti,j+1(p+1) + Ti,j-1
(p+1)] =
= Ti,j(p) + 2 Bi Fo Tf
Equation des différences finies pour un noeud sur une surface plane
définition: Bi = α ∆x
λ
Fo = Λ ∆t∆x2
Figure 5.8 - 2 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle instationnaire
94 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
∆x
Qconv
Qconv
Q
Q Q
Q
i, j i+1, ji -1, j
i, j+1
∆y
i, j -1 Tf
méthode explicite (5.62)
Ti,j(p+1) =
23 Fo [ Ti+1,j
(p) + 2 Ti-1,j(p) + 2 Ti,j+1
(p) + Ti,j-1(p) +
+ 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 43 Bi Fo] Ti,j
(p)
critère de stabilité: Fo (3 + Bi) ≤ 34
méthode implicite (5.63)
[1 + 4 Fo (1 + 13 Bi)] Ti,j
(p+1) - 23 Fo [ Ti+1,j
(p+1) + 2 Ti-1,j(p+1) +
+ 2 Ti,j+1(p+1) + Ti,j-1
(p+1) ] = Ti,j(p) +
43 Bi Fo Tf
Equation des différences finies pour un noeud dans un coin interne
définition: Bi = α ∆x
λ
Fo = Λ ∆t∆x2
Figure 5.8 - 3 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle instationnaire
TRANSMISSION DE CHALEUR 95
∆x
Qconv
Qconv
i, ji -1, j
∆y
i, j -1
Q
Q
Tf
méthode explicite (5.64)
Ti,j(p+1) = 2 Fo [ Ti-1,j
(p) + Ti,j-1(p) + 2 Bi Tf ] + [1 - 4 Fo - 4 Bi Fo] Ti,j
(p)
critère de stabilité: Fo (1 + Bi) ≤ 14
méthode implicite (5.65)
[1 + 4 Fo (1 + Bi)] Ti,j(p+1) - 2 Fo [ Ti-1,j
(p+1) + Ti,j-1(p+1)] = Ti,j
(p) + 4 Bi Fo Tf
Equation des différences finies pour un noeud sur un coin externe
définition: Bi = α ∆x
λ
Fo = Λ ∆t∆x2
Figure 5.8 - 4 Méthode numérique pour un problème de conduction
bidimensionnelle instationnaire
96 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
oui
non
oui
T 1 (p) = T 1
(p-1) (1 - 2 Fo) + Fo 2 T 2 (p-1)
T N1 (p) = 2 Fo T N
(p-1) + Bi Tf +
+ 1 - 2 Fo - 2 Bi Fo T N (p-1)
T i (p) = T i
(p-1) + 1 - 2 Fo +
+ Fo T i -1 (p-1) + T i +1
(p-1)
i = N
t = t max
i = 2
stop
non
∆ t réductionoui
non
oui
i = i + 1
Fo = Λ ∆ t∆ x2
∆ x = LN
N1 = n+1p = 1t = 0i = 1
T i = T in
p = p + 1t = p ∆t
Fo < 0,5
i = N1
non
i = i + 1
Données :
Tin , Tf , λ , c p , α , ρ, L , N , ∆ t , t max
i = 1 i -1 i i+1 i = N1
Tf
∆ y = ∆ x∆ x
L
i = 2 i = N
∆ x
Tableau 5.5 Schéma synoptique pour la méthode de calcul explicite de
transmission de chaleur monodimensionnelle instationnaire
TRANSMISSION DE CHALEUR 97
Tableau 5.6 Valeurs propres n (n=1,2,3,4,5) en fonction du nombre de Biot pour
la conduction monodimensionnelle instationnaire
98 CHAP.5 : CONDUCTION THERMIQUE INSTATIONNAIRE
RESUME DU CHAPITRE 5
• Nous appelons phénomène de transmission de chaleur instationnaire ou transitoire
lorsque la distribution de température varie dans un corps avec le temps.
• Le nombre de Biot (Bi) joue un rôle fondamental dans les problèmes de
transmission de chaleur par convection. Il représente le rapport entre la résistance
thermique de conduction d'un solide et la résistance thermique de convection.
• Le nombre de Fourier (Fo) est le deuxième paramètre important de la transmission
de chaleur instationnaire. Il represente le temps adimensionnel.
• La méthode de capacité de chaleur globale peut être utilisée (erreur inférieure à
5%) pour Bi ≤ 0,1.
• Il existe une solution analytique pour la conduction instationnaire dans la plaque
plane, pour le cylindre et pour la sphère. Les solutions générales sont représentées par
les paramètres adimensionnels Bi et Fo.
• Les méthodes numériques se basent sur la transformation des dérivées de
l'équation différencielle du problème en différences finies. En plus des conditions
spatiales (x, y, z) il faut également discrétiser le temps.
• Pour l'expression des différences finies, nous distinguons deux méthodes: la
méthode explicite et la méthode implicite.
• La formulation explicite permet de calculer la température "future" dans les noeuds
Ti(p+1) directement à partir de la distribution de température actuelle dans les noeuds.
• Dans la formulation implicite nous calculons les températures "futures" dans les
noeuds Ti(p+1) par la température actuelle Ti
(p) et les températures futures des noeuds
voisins. Nous obtenons donc un système d'équations linéaires avec autant d'inconnues
que de noeuds de calcul.
TRANSMISSION DE CHALEUR 99
6. PRINCIPES FONDAMENTAUXDE LA CONVECTIONTHERMIQUE
6.1 Principes fondamentaux de l'écoulement visqueux
6.1.1 La couche limite hydrodynamique
6.1.2 La couche limite thermique
6.1.3 Simplifications et approximations
6.2 Propriétés de la couche limite turbulente
6.3 Etude de similitude et paramètres adimensionnels
6.3.1 Méthode de l'analyse dimensionnelle
6.3.2 Signification physique des paramètres adimensionnels
u u
100 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
6. LA CONVECTION THERMIQUE
Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une
surface et un fluide se déplaçant le long de la surface.
Dans les chapitres précédents nous avons appliqué la convection comme condition aux
limites pour les problèmes de conduction avec le coefficient de convection donné.
Dans les chapitres suivants nous discutons les mécanismes de transmission par
convection et nous développons des méthodes pratiques pour la détermination du
coefficient de convection α.
La transmission de chaleur par convection est étroitement liée à la mécanique des fluides
car le transport de chaleur se fait ici essentiellement par le mouvement des particules du
fluide dans le voisinage de la surface de contact.
Considérons l'écoulement autour des aubes d'une turbine (Fig. 6.1). La vitesse (w) et la
température (Tf) du fluide varient le long de l'aube (x). Le flux de chaleur local est donné
par
dQ = q(x) dAs (6.1)
ou avec la relation de NEWTON
dQ = α (Tf(x) - Ts) dAs (6.2)
Le coefficient de convection est lui-même une fonction des conditions locales
α = α(x)
et doit être déterminé avec les grandeurs d'écoulement.
La chaleur totale transmise par convection est
Qtot = ∫
α (Tf - Ts) dAs (6.3)
Pour les grandeurs d'écoulement données (w, Tf) le problème consiste à déterminer les
coefficients de convection locaux α(x).
Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par convection:
TRANSMISSION DE CHALEUR 101
• convection forcée: dans ce cas le mouvement du fluide est dû à des forces
externes (p. ex. pompe ou différence de pression dans la Fig. 6.1).
• convection libre: le mouvement du fluide est ici dû à la différence de densité qui
résulte de l'échauffement du fluide par le corps lui-même.
Dans le cas de la convection forcée l'écoulement le long des surfaces est normalement
calculé séparément du problème thermique.
Pour la convection libre par contre, l'écoulement résulte de la distribution de la
température dans le solide‚ c'est pourquoi la transmission de chaleur et l'écoulement
autour du corps doivent être calculés simultanément.
La solution analytique du problème de convection est possible seulement pour peu de
cas très simples. Pour les problèmes pratiques nous sommes obligés de développer
des méthodes approximatives. Dans le but de choisir les variables valables du
problème et de comprendre leur signification physique, nous étudions d'abord
l'écoulement visqueux le long d'une plaque plane.
6.1 PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ECOULEMENT VISQUEUX
Nous étudions les principes fondamentaux de l'écoulement visqueux à l'exemple de
l'écoulement le long d'une plaque plane à vitesse externe w∞ constante (Fig. 6.2). A une
distance assez grande (y > δ) nous avons un écoulement potentiel non
x
w1
w2
x
d A s
w (x)
T (x)f
q (x)
T (x)s
δ (x)
Figure 6.1 Transmission de chaleur par convection sur une aube de turbine
102 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
influencé par la viscosité. Les effets de celle-ci se font seulement remarquer dans la
couche d'écoulement au voisinage direct de la surface solide dans la couche limite.
La couche limite se forme sous l'influence du frottement sur la paroi où la vitesse de
l'écoulement converge vers la valeur zéro.
Avec la distance croissante (y ⇒ δ) la vitesse du fluide augmente et atteint la valeur de
l'écoulement potentiel pour y = δ. L'épaisseur de la couche limite est définie à
l'endroit où w(y) = 0,99 w .
Nous définissons la force de frottement entre les couches à vitesses différentes (w(y))
comme tension de cisaillement τ.
Elle représente la force visqueuse tangentielle par unité de surface de contact. Selon
NEWTON la tension de cisaillement est proportionnelle au gradient de vitesse local
τ = µ dwdy (6.4)
Le coefficient de proportionnalité µ est appelé viscosité dynamique. Il est une
propriété des matériaux et dépend généralement de la température. Pour l'air par
exemple la fonction est donnée selon SUTHERLAND par
µair [N s/m2] = 1,486.10-6 T1‚5
T + 110‚6 (6.5)
Dans le cas où la température de la surface solide (Ts(K)) est différente de la
température du fluide (Tf(K)), nous obtenons également une couche limite de
température à proximité du corps solide (voir Fig. 6.2).
Le mécanisme de transmission à travers la couche limite dépend du mouvement des
molécules dans celle-ci. Nous distinguons différents types de couches limites qui se
forment le long d'une paroi solide dans un écoulement. Nous les discutons avec
l'exemple d'une plaque plane dans un écoulement parallèle de vitesse w∞ = cte (Fig.
6.3).
Couche limite laminaire
Dans la première partie de la couche limite les molécules se déplacent en étant
ordonnées dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel (w∞). Le
TRANSMISSION DE CHALEUR 103
y
w(y)τ
τδ (x)
x
δ
w∞w∞
y
a) Couche limite de vitesse sur une plaque plane
y
x
δ
T∞y
T∞
δ (x)th
th
T(y)
b) Couche limite de température sur une plaque plane
Figure 6.2 Définition de la couche limite
profil de vitesse dans la couche limite laminaire est à peu près parabolique. La
transmission d'énergie se passe ici par frottement des molécules entre les couches
adjacentes. La transmission de chaleur dans la couche limite laminaire se fait par
conduction selon la loi de FOURIER.
Couche limite transitoire
Après une certaine distance le mouvement des particules dans la couche limite devient
instable et elles commencent à se déplacer à travers les couches. L'endroit de la
transition dépend de l'écoulement externe, des propriétés du fluide et de la rugosité de
la surface. Pour la plaque plane à surface lisse la transition commence
104 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
x laminaire turbulent
y
transitoire
sous-couche laminaire
couche limite
δ
zone tampon
u∞
Différents types de couche limite le long d'une plaque plane
y
δ
W
y
δ
W
W = w / w
= (T - T ) / ( T - T )s
∞
∞ ∞
W = w / w
= (T - T ) / ( T - T )s
∞
∞ ∞
a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente
Profils de vitesse et de température typiques dans la couche limite
Figure 6.3 Evolution de la couche limite sur une plaque plane
TRANSMISSION DE CHALEUR 105
pour
Re = w∞ x
ν = ρ w∞ x
µ ≤ 5.105 (÷106) (6.6)
Le paramètre Re est une valeur adimensionnelle et est appelé le nombre de
REYNOLDS.
Couche limite turbulente
Après la zone de transition (Refin/Redébut ≤ 2) la couche limite devient complètement
turbulente. Dans la couche limite turbulente il n'existe plus de couche d'écoulement
ordonnée. Au mouvement principal du fluide, se superpose un mouvement aléatoire
des groupes de molécules dans toutes les directions. Pour des raisons d'échelle des
groupes, l'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite
laminaire.
Dans la suite nous développons les équations de base pour la couche limite de vitesse
(couche limite hydrodynamique) et la couche limite thermique.
6.1.1 LA COUCHE LIMITE HYDRODYNAMIQUE
La conservation de masse pour l'élément de contrôle (Fig. 6.4-a) est donnée par
(ρu) dy + (ρv) dx -
ρu +
∂(ρu)∂x dx dy -
ρv +
∂(ρv)∂y dy dx = 0 (6.7)
Après division par (dx.dy) l'équation de continuité prend la forme
∂(ρu)∂x +
∂(ρv)∂y = 0 (6.8)
Une deuxième relation est définie par l'équation de quantité de mouvement qui dit que
la variation de quantité de mouvement de l'élément est égale à la somme des forces
agissant sur celui-ci.
106 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
d x
d y
y
x
lignes de courant dansla couche limite
Elément de contrôle dans la couche limite
y
x
x, y
w
u
v
d x
d yρ u ρ u +
∂ ( ρ u )∂ x
d x
ρ v + ∂ ( ρ v )
∂ y d y
ρ v
Conservation de masse pour l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche limite
Figure 6.4-a Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche
limite
TRANSMISSION DE CHALEUR 107
y
x
x, y
d x
d y
σy y
σx x
σx x + ∂ ( σx x )
∂ x d x
σy y + ∂ ( σy y )
∂ y d y
τy x + ∂ ( τy x )
∂ y d y
τx y + ∂ ( τx y )
∂ x d x
τx y
τy x
Contraintes normales et de cisaillement sur l'élément de contrôle (dx.dy.1) dans la
couche limite
σx x σx x
τy x
τy x
τx yτx y
a) Déformation linéaire par les b) Déformation angulaire par les
contraintes normales contraintes de cisaillement
Déformations de l'élément de fluide par les contraintes visqueuses
Figure 6.4-b Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche
limite
108 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
y
x
x, y
d x
d y
( ρ v ) u + ∂ [ ( ρ v ) u ]
∂ y d y
( ρ u ) u + ∂ [ ( ρ u ) u ]
∂ x d x( ρ u ) u
( ρ v ) u
Echange de quantité de mouvement dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la
couche limite
Figure 6.4-c Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche
limite
y
x
x, y
dx
dyQ conv, x
Q cond, x Q cond, x+dx
Q conv, x+dx
Q conv, y+dyQ cond, y+dy
Q cond, y Q conv, y
Q g
E
Echange d'énergie thermique dans un élément de contrôle (dx.dy.1) dans la couche
limite
Figure 6.4-d Bilan de masse et d'énergie pour l'élément de contrôle dans la couche
limite
TRANSMISSION DE CHALEUR 109
Nous distinguons deux types de forces sur l'élément (Fig. 6.4-b).
• Les forces massiques (d'accélération)
(force du corps, gravitation, centrifuge, magnétique, etc.) qui sont proportionnelles au
volume. Leur composantes dans les directions x, y par unité de volume sont Fm,x et
Fm,y.
• Les forces surfaciques
(pression, contraintes visqueuses normales [σ] et tangentielles [τ] qui sont
proportionnelles aux surfaces. Leurs composantes dans les directions x, y sont Fs,x et
Fs,y.
Les forces surfaciques sont données par
Fs,x =
∂σxx
∂x - ∂p∂x +
∂τyx∂y dx dy (6.9)
Fs,y =
∂σyy
∂y - ∂p∂y +
∂τxy∂y dx dy (6.10)
L'échange de quantité de mouvement dans l'élément est représenté dans la Fig. 6.4-c.
Pour l'écoulement incompressible, stationnaire nous obtenons pour l'équation de
quantité de mouvement dans la direction x
u ∂u∂x + v
∂u∂y = Fm,x -
1ρ
∂p∂x +
1ρ
∂σxx
∂x + ∂τyx∂y (6.11)
et dans la direction y
u ∂v∂x + v
∂v∂y = Fm,y -
1ρ
∂p∂y +
1ρ
∂σyy
∂y + ∂τxy∂x (6.12)
Pour les fluides dits "Newtoniens" les contraintes visqueuses sont proportionnelles aux
gradients de vitesses et sont définies par les relations de STOKES
σxx = 2 µ ∂u∂x -
23 µ
∂u
∂x + ∂v∂y (6.13)
σyy = 2 µ ∂v∂y -
23 µ
∂u
∂x + ∂v∂y (6.14)
110 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
τxy = τyx = µ
∂u
∂y + ∂v∂x (6.15)
Les équations (6.8) et (6.11) avec l'hypothèse de STOKES (6.15) définissent les
conditions d'écoulement visqueux dans la couche limite. Elles sont connues sous le nom
d'équations de NAVIER-STOKES.
Pour l'écoulement stationnaire laminaire on obtient
u ∂u∂x + v
∂u∂y = Fm,x -
1ρ
∂p∂x + ν
∂2u
∂x2 + ∂2u∂y2 (6.16)
et
u ∂v∂x + v
∂v∂y = Fm,y -
1ρ
∂p∂y + ν
∂2v
∂x2 + ∂2v∂y2 (6.17)
Afin de déterminer la distribution des vitesses dans la couche limite, il faut résoudre le
système d'équations mentionné.
6.1.2 LA COUCHE LIMITE THERMIQUE
L'énergie de l'écoulement par unité de masse se compose de l'énergie interne (e) et de
l'énergie cinétique w2/2 (avec w2 = u2 + v2).
L'énergie de convection liée au mouvement des particules (c'est-à-dire des groupes) au
travers de l'élément de contrôle (Fig. 6.4-d) est donnée par (nous définissons ici
l'énergie comme chaleur)
Qconv,x - Qconv,x+dx = ρu
e+w2
2 dy -
ρu
e+w2
2 + ∂∂x
ρu
e+w2
2 dx dy =
= - ∂∂x
ρu
e + w2
2 dx dy (6.18)
En outre, de l'énergie est aussi échangée par le mouvement moléculaire thermique c'est-
à-dire par la conduction.
Qcond,x - Qcond,x+dx = -λ ∂T∂x dy -
-λ∂T∂x -
∂∂x
λ
∂T∂x dx dy =
= ∂∂x
λ
∂T∂x dx dy (6.19)
TRANSMISSION DE CHALEUR 111
Le travail des forces externes (Fm) peut aussi amener une part supplémentaire
d'énergie
Eext,x = Fm,x u dx dy + ∂∂x[ ](∂σxx - p)u dx dy +
∂∂y[ ]∂τyx u dx dy (6.20)
Les équations (6.18) à (6.20) avec les équations analogues pour les composantes y
avec une production interne d'énergie (qg) donnent finalement
- ∂∂x
ρu
e+w2
2 - ∂∂y
ρv
e+w2
2 + ∂∂x
λ
∂T∂x +
∂∂y
λ
∂T∂y +
+ Fm,x u + Fm,y v - ∂(pu)
∂x - ∂(pv)
∂y + ∂(σxxu+τxyv)
∂x - ∂(τyxu+σyyv)
∂y + qg = 0 (6.21)
Il est plus commode de transformer cette équation par multiplication par u et v et de
déduire le résultat obtenu de (6.21)
ρu ∂h∂x + ρv
∂h∂y =
∂∂x
λ
∂T∂x +
∂∂y
λ
∂T∂y + u
∂p∂x + v
∂p∂y + µ Φ + qg (6.22)
avec l'enthalpie
h = e + pρ (6.23)
et la dissipation visqueuse (µ Φ)
µ Φ ≡ µ
∂u
∂y + ∂v∂x
2 + 2
∂u
∂x2 +
∂v
∂y2
- 23
∂u
∂x + ∂v∂y
2(6.24)
Les termes de l'équation (6.24) sont dus aux tensions visqueuses tangentielles et
normales. Ils représentent la quantité d'énergie mécanique produite dans l'écoulement
par les forces visqueuses transformée en énergie thermique (dissipation).
6.1.3 SIMPLIFICATIONS ET APPROXIMATION
La forme complète de la couche limite hydrodynamique et thermique peut être
simplifiée dans la plupart des cas pratiques. Les simplifications suivantes peuvent être
112 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
faites:
• écoulement stationnaire,
• écoulement incompressible (ρ = cte),
• propriétés physiques (λ, µ, etc) constantes,
• forces massiques négligeables (Fm = 0), et
• sans génération d'énergie (qg = 0).
En outre, pour la couche limite on peut faire les approximations suivantes:
• Pour la couche limite hydrodynamique
u » v (6.25)
∂u∂y »
∂u∂x ,
∂v∂y ,
∂v∂x (6.26)
Dans ce cas on peut négliger les contraintes normales (6.13) et (6.14) et pour les
contraintes de cisaillement on obtient
τxy = τyx = µ ∂u∂y (6.27)
• Pour la couche limite thermique on peut admettre
∂T∂y »
∂T∂x (6.28)
Avec les simplifications (6.25) à (6.28) nous obtenons pour l'équation de continuité
∂u∂x +
∂v∂y = 0 (6.29)
et pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x
u ∂u∂x + v
∂u∂y = -
1ρ
∂p∂x + ν
∂2u∂y2 (6.30)
L'équation de quantité de mouvement dans la direction y sera réduite à
TRANSMISSION DE CHALEUR 113
∂p∂y = 0 (6.31)
c'est-à-dire que la pression statique est constante à travers la couche limite et définie par
l'écoulement potentiel externe!
Avec les simplifications mentionnées l'équation d'énergie prend la forme
u ∂T∂x + v
∂T∂y = Λ
∂2T∂y2 +
νcp
∂u
∂y2
(6.32)
La partie (ν cp)(∂u/∂y) de l'équation représente la dissipation visqueuse (µΦ). Dans de
nombreux cas ce terme peut être négligé par rapport au terme de convection (côté
gauche de l'équation) et la conduction Λ (∂2T/∂y2).
Afin de déterminer la distribution de u, v, T dans la couche limite, les équations (6.29),
(6.30) et (6.32) doivent être résolues pour le problème donné.
La couche limite hydrodynamique (6.29), (6.30) n'est pas couplée avec (6.32) et peut
être calculée indépendamment.
La distribution de température dans la couche limite dépend de la distribution de vitesse
selon (6.32). Après avoir calculé T(x,y) on peut déterminer le coefficient de transmission
par convection en appliquant la relation de FOURIER pour la conduction sur la surface
q = - λf
∂T
∂yy=0
(6.33)
car à y=0 la vitesse de fluide w=0 et la transmission de chaleur se fait seulement par
conduction. Par égalité entre la chaleur transmise par conduction et par convection
(équation de NEWTON)
q = α (Ts - Tδ) (6.34)
nous obtenons pour le coefficient de transmission de chaleur par convection
α = - λf
∂T
∂yy=0
1Ts - Tδ
(6.35)
La valeur numérique du coefficient α dépend du mécanisme de la transmission dans la
couche limite, des propriétés du fluide et de la géometrie de la surface.
114 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
Il existe une différence importante entre la transmission de chaleur dans la couche limite
laminaire et turbulente:
• dans la couche limite laminaire l'énergie est transférée par le mouvement
moléculaire (conduction)
• dans la couche limite turbulente l'échange d'énergie se fait par un mouvement
aléatoire intense des groupes ("boules") tourbillonnaires de molécules.
Pour des raisons d'échelle entre molécules et "boules tourbillonnaires" le transfert de
chaleur dans la couche limite turbulente est beaucoup plus importante que dans la
couche limite laminaire.
Néanmoins à cause de la présence d'une sous-couche laminaire à la base de la couche
turbulente, la conduction joue un rôle important également dans la transmission de chaleur
dans la couche limite turbulente.
6.2 PROPRIETES DE LA COUCHE LIMITE TURBULENTE
Les problèmes pratiques de l'ingénieur concernent dans la plupart des cas des
écoulements turbulents. Dans la couche limite turbulente les grandeurs d'écoulement
fluctuent ( ' ) autour d'une valeur moyenne (— ). Pour l'écoulement turbulent
bidimensionnel stationnaire nous pouvons écrire
u = _u + u'
v = _v + v'
(6.36)
p = _p + p'
T = _T + T'
Il est à retenir que l'intégrale des valeurs moyennes des fluctuations est nulle (p. ex.)
TRANSMISSION DE CHALEUR 115
_u' =
1∆t
∫t
t+∆t u' dt = 0 (6.37)
mais les valeurs moyennes intégrales des produits ne sont pas nécessairement nulles
___u' v' =
1∆t
∫t
t+∆t u' v' dt ≠ 0 (6.38)
Pour la description de l'écoulement turbulent nous devons formuler les équations
instationnaires du problème. Dans le tableau 6.3 nous trouvons les équations de
continuité, quantité de mouvement et d'énergie pour l'écoulement laminaire et turbulent.
Après introduction des valeurs moyennes (— ) dans les équations de forme
instationnaire, les équations pour la couche limite turbulente prendront la même forme
que pour l'écoulement laminaire.
Dans la couche limite turbulente le déplacement des "boules" tourbillonnaires
provoquent un échange de quantité de mouvement et d'énergie-chaleur
supplémentaire. Comme pour la couche limite laminaire nous pouvons définir une
contrainte de cisaillement turbulente qui est proportionnelle aux vitesses de
fluctuations
τt = - ρ ___u' v' = ρ ε
∂u∂y (6.39)
Le terme (ρ ___u' v') est aussi appelé tension de Reynolds.
De même le flux de chaleur turbulent provenant des fluctuations macroscopiques
qt = - ρ cp
___u' T' = - ρ cp εh
∂_T
∂y (6.40)
Après introduction dans les équations pour l'écoulement turbulent (voir tableau 6.3),
nous obtenons pour la couche limite turbulente des équations de même forme que pour
la couche limite laminaire
∂_u
∂x + ∂_v
∂y = 0 (6.41)
116 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
_u
∂_u
∂x + _v
∂_u
∂y = - 1ρ
∂p∂x +
1ρ
∂( )τ l + τ t
∂y (6.42)
_u
∂_T
∂x + _v
∂_T
∂y = ( )τl + τt
ρ cp ∂_u
∂y + ( )−ql −qt
ρ cp(6.43)
Pour la solution nous devons connaître les fluctuations turbulentes de u', v', T'.
Dans le tableau 6.3 nous avons composé les définitions de la tension de cisaillement et
du flux de chaleur pour la couche limite laminaire et turbulente.
Pour la couche limite laminaire les facteurs de proportionnalité µ et Λ représentent des
propriétés physiques.
Pour la couche limite turbulente la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion
thermique turbulente h ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais
dépendent eux-mêmes du gradient de vitesse (∂_u/∂y), respectivement du gradient de
la température (∂_T/∂y).
ε = —
u' v'
∂—u /∂y
(6.44)
εh = —
u' T'
∂—T /∂y
(6.45)
Dans la couche limite turbulente nous pouvons définir une tension de cisaillement et un
flux de chaleur apparent
τ app = τ l + τ t = ρ (ν + ε) ∂
_u
∂y (6.46)
q app = q l + q t = -ρ cp (Λ + εh) ∂
_T
∂y (6.47)
En les introduisant dans les équations de base (6.57) à (6.59) nous obtenons des
équations de même forme pour la couche limite laminaire et turbulente.
TRANSMISSION DE CHALEUR 117
Nous avons constaté que le nombre de PRANDTL moléculaire (laminaire)
Pr = νΛ (6.48)
est une propriété physique des fluides. Le nombre de PRANDTL turbulent défini
selon
Prt = εεh
(6.49)
ne représente pas une propriété physique mais dépend de la distribution de ε et εh
dans la couche limite. Dans la couche limite turbulente on prend souvent Prt = 1 pour des
raisons de similitude de transmission de quantité de mouvement et de chaleur
turbulente.
Le tableau 6.3 montre la comparaison des équations de base pour la couche limite
laminaire et turbulente.
118 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
couche limite laminaire couche limite turbulente
continuité:
∂u∂x +
∂v∂y = 0
∂u∂x +
∂v∂y = 0
∂_u
∂x + ∂_v
∂y = 0
quantité de mouvement:
u ∂u∂x + v
∂u∂y = -
1ρ
dpdx + ν
∂2u∂y2 =
= - 1ρ
dpdx +
1ρ
∂τ l∂y
∂u∂t + u
∂u∂x + v
∂u∂y = -
1ρ
dpdx + ν
∂2u∂y2
—u
∂—u
∂x + —v
∂—u
∂y = - 1ρ
d—p
dx + ν ∂2—
u∂y2 -
∂(___u' v')∂y
énergie:
u ∂T∂x + v
∂T∂y = -
νcp
du
dy2 + Λ
∂2T∂y2
=
= - 1
ρ cp τ l
dudy +
1ρ cp
∂q l∂y
∂T∂t + u
∂T∂x + v
∂T∂y =
1ρ cp
du
dy2 + Λ
∂2T∂y2
—u
∂—T
∂x + —v
∂—T
∂y = - νcp
d—u
dy
2 +
(___u' v')cp
∂—u
∂y +
+ Λ ∂2—
T∂y2 -
∂(___v' T')∂y
tension de cisaillement:
τ l = µ dudy = ρ ν
dudy τ t = -ρ (
___u' v') = ρ ε
d–u
dy , ε =
___u' v'
∂—u
∂y
flux de chaleur:
q l = -λ dTdy = -ρ cp Λ
dTdy q t = -ρ cp (
___v' T') = -ρ cp εh d
—T
dy , εh =
___v' T'
∂—T
∂y
Tableau 6.3 Comparaison des équations de base pour la couche limite laminaire et
turbulente incompressible
TRANSMISSION DE CHALEUR 119
6.3 ETUDE DE SIMILITUDE ET PARAMETRES ADIMENSIONNELS
Nous avons déjà vu dans le chapitre 5.2 que par groupement des variables en
paramètres adimensionnels il est possible de réduire le nombre de variables
indépendantes d'un problème. Par conséquent nous pouvons simplifier le traitement
analytique et les études systématiques. D'autre part les paramètres de similitude
permettent de dériver une solution d'un problème en étude d'un problème similaire déjà
connu avec des conditions physiques différentes.
Dans la suite nous discutons brièvement les principes de base de la méthode de
l'analyse des dimensions et ensuite nous les appliquons aux problèmes de
transmission de chaleur. Pour les détails de la méthode se référer à la littérature spéciale
(p.ex. Langhaar H. L., Dimensional Analysis and Theory of Models, John Wiley &
Sons).
6.3.1 METHODE DE L'ANALYSE DIMENSIONNELLE
Toutes les grandeurs physiques sont exprimées dans les quatre dimensions
fondamentales suivantes:
• la masse (kg) M
• la longueur (m) L
• le temps (s) t
• la température (K) T
Les variables de base des problèmes de transmission de chaleur et leur dimensions
sont données dans le tableau 6.1.
Le nombre de variables indépendantes du problème de transmission de chaleur par
convection (w, L, ρ, µ, cp, λ, α) est n = 7.
Selon le théorème de BUCKINGHAM nous pouvons formuler
N = n - r (6.50)
120 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
variable symbole (unité) dimension
vitesse w (m s-1) L1 t-1
longueur caractéristique L (m) L1
densité de fluide ρ (kg m-3) M1 L-3
viscosité du fluide µ (kg s-1 m-1) M1 t-1 L-1
chaleur massique cp (J kg-1 K-1) L2 t-2 T-1
coefficient de conduction λ (W m-1 K-1) M1 L1 t-3 T-1
coefficient de convection α (W m-2 K-1) M1 t-3 T-1
Tableau 6.1 Unités et dimensions des variables de la transmission de chaleur par
convection
variables adimensionnelles, où (r) représente le rang de la matrice défini par les
exposants des dimensions des variables données dans le tableau 6.2.
w L ρ µ cp λ α
M 0 0 1 1 0 1 1
L 1 1 -3 -1 2 1 0
t -1 0 0 -1 -2 -3 -3
T 0 0 0 0 -1 -1 -1
Tableau 6.2 Exposants des dimensions des variables de la transmission de
chaleur par convection
La matrice définie dans le tableau 6.2 a le rang r = 4. Selon BUCKINGHAM nous
pouvons donc formuler
N = 7 - 4 = 3
paramètres adimensionnels pour les problèmes de transmission de chaleur par
convection.
TRANSMISSION DE CHALEUR 121
Chaque paramètre (∏i) sera formulé par des expressions potentielles des variables de
base:
∏i = w k1i L k2i ρ k3i µ k4i cp k5i λ k6i α k7i (6.51)
pour i = 1 ⇒ N.
Pour que les paramètres ∏i deviennent adimensionnels, l'exposant de chaque
dimension doit avoir la valeur (0).
∏i[1] = [L1 t-1]k1i [L1]k2i [M1 L-3]k3i [M1 t-1 L-1]k4i [L2 t-2 T-1]k5i *
* [M1 L1 t-3 T-1]k6i [M1 t-3 T-1]k7i (6.52)
ou avec les dimensions groupées
∏i[1] = M (k3i+k4i+k6i+k7i) L (k1i+k2i-3k3i-k4i+2k5i+k6i) *
* t (-k1i-k4i-2k5i-3k6i-3k7i) T (-k5i-k6i-k7i) (6.53)
Pour éliminer les dimensions, les exposants entre parenthèses doivent avoir la valeur
zéro, ce qui nous définit le système d'équations linéaires suivant
k3i + k4i + k6i + k7i = 0
k1i + k2i -3 k3i - k4i + 2 k5i + k6i = 0
(6.54)
-k1i - k4i -2 k5i -3 k6i -3 k7i = 0
-k5i - k6i - k7i = 0
Afin de déterminer les paramètres adimensionnels ∏i nous devons résoudre le
système d'équations linéaires (6.54) pour les coefficients ki. Pour la définition de chaque
paramètre ∏i nous pouvons choisir la valeur de quatre des coefficients ki (normalement
on donne la valeur ki = 0) et calculer les autres trois ki par l'équation (6.54).
Nous obtenons par la méthode de l'analyse de dimension pour la convection thermique
les paramètres adimensionnels suivants:
122 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
∏1 ⇒ nombre de REYNOLDS
Re = w ρ L
µ (6.55)
∏2 ⇒ nombre de PRANDTL
Pr = µ cpλ =
νΛ (6.56)
∏3 ⇒ nombre de NUSSELT
Nu = α Lλ (6.57)
Par la division du nombre de Nusselt (Nu) par le produit de (Re Pr) nous obtenons le
nombre de STANTON
St = NuRe Pr =
αρ w cp
(6.58)
Les paramètres (6.55) à (6.57) peuvent être développés également à partir des
équations de la couche limite hydrodynamique et thermique.
L'introduction des paramètres adimensionnels permet de réduire le nombre de variables
du problème de 7 à 3. Avec les paramètres adimensionnels nous obtenons des
relations simplifiées et généralisées.
Quand nous avons trouvé la relation (par essais ou par calculs)
Nu = f( Re, Pr )
nous pouvons l'appliquer pour des géométries similaires.
Dans les chapitres suivants nous développons des méthodes pour la détermination de
relations [Nu = f( Re, Pr )] pour des cas pratiques.
TRANSMISSION DE CHALEUR 123
6.3.2 SIGNIFICATION PHYSIQUE DES PARAMETRES
ADIMENSIONNELS
Le nombre de REYNOLDS peut être interprêté comme le rapport entre les forcesd'inertie (FI) et les forces visqueuses (Fτ) dans la couche limite.
Ces forces peuvent être exprimées par les grandeurs caractéristiques de l'écoulement:
FI ≈ ρ w2
L
Fτ ≈ µ wL2
Le nombre de REYNOLDS est donc:
FIFτ
≈ ρ w L
µ ≡ Re (6.59)
Le nombre de PRANDTL représente une propriété physique du fluide pour la couche
limite laminaire. Il exprime le rapport entre la diffusion de la quantité de mouvement et la
diffusion thermique:
Pr ≡ νΛ (6.60)
avec
Λ = λ
ρ cp
Il définit également le rapport entre l'épaisseur des couches limites hydrodynamique (δ)
et thermique (δth) selon POHLHAUSEN:
δδth
= Pr 1/3 (6.61)
Dans les tableaux A.2 nous trouvons des exemples de valeurs pour des gaz et des
liquides.
La Fig. 6.5 montre l'influence du nombre de Prandtl sur le rapport entre l'épaisseur de la
couche limite hydrodynamique et thermique:
124 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
• pour Pr 1
la diffusion d'énergie thermique est beaucoup plus importante que la diffusion de la
quantité de mouvement par conséquent
th >> .
C'est le cas pour les bons conducteurs avec facilité de dégager de la chaleur ou pour
des fluides à faible viscosité (p.ex. les métaux liquides).
Comportement typique pour des huiles pour lesquelles le nombre de Pr augmente
considérablement pour des températures décroissantes.
y y y
δ
δ th
Tδ
uδ
Tδ
Tδuδ
uδ
δ th
δ th
δ
δ
=
Pr << 1 Pr = 1 Pr >> 1
<< th = th >> th
10-3 10-2 10 2 10 310-1 1041011Pr =
huileseaugazmétaux liquides
Grandeurs typiques des nombres de Prandtl pour fluides techniques
Figure 6.5 Signification physique du nombre de Prandtl
TRANSMISSION DE CHALEUR 125
• pour Pr 1
la diffusion de la quantité de mouvement et la diffusion thermique sont à peu près du
même ordre de grandeur. L'épaisseur des couches limites hydrodynamique et
thermique est identique selon (6.61)
th
Nombreux gaz montrent ce comportement.
• pour Pr » 1
La transmission de quantité de mouvement l'emporte sur les transmissions de chaleur
donc
th «
Une grandeur importante pour la couche limite, le coefficient de frottement C f
C f = τs
ρ u2
2
(6.62)
du
dy
uδδ
y
u
dT*
dy*
y*
T*(y*)
T(y*)δ th
T* , T
couche limite hydrodynamique couche limite thermique
Figure 6.6 Signification du nombre de Nusselt
126 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
est définie avec la tension de cisaillement (τs) sur la surface
τs = µ
∂u
∂yy=0
(6.63)
Pour la couche limite thermique la grandeur analogue au Cf est exprimée par le nombre
de NUSSELT (voir Fig. 6.6)
Nu =
∂T*
∂y* y*=0(6.64)
avec
T* = T(y*) - Ts
T∞ - Ts(6.65)
y* = yL
Le coefficient de convection n'est pas une grandeur physique. Il dépend des propriétés
de matériaux mais il est fortement influencé par le mode d'échange de l'énergie chaleur à
travers la couche limite.
Le tableau 6.4 montre les valeurs typiques du coefficient de convection pour des cas
plus importants dans le domaine technique.
RESUME DU CHAPITRE 6
• Nous appelons convection thermique la transmission d'énergie-chaleur entre une
surface et un fluide se déplaçant le long de la surface.
• Nous distinguons deux modes différents de transmission de chaleur par
convection: la convection forcée et la convection libre.
• Selon la relation de Newton la chaleur transmise par convection est proportionelle(α) à la différence de température entre le fluide et la surface.
TRANSMISSION DE CHALEUR 127
• Le coefficient de convection thermique (α) est une fonction des conditions locales
de la couche limite hydrodynamique.
• Dans la couche limite laminaire les molécules se déplacent en étant ordonnées
dans les couches suivant la direction de l'écoulement potentiel.
• Dans la couche limite turbulente, au mouvement principal du fluide, se superpose
un mouvement aléatoire des groupes de molécules dans toutes les directions.
L'échange d'énergie est ici beaucoup plus intense que dans la couche limite laminaire.
• L'écoulement visqueux dans la couche limite est décrit par l'équation de NAVIER-
STOKES.
• Les équations pour la couche limite hydrodynamique (Navier-Stokes) ne sont pas
couplées avec l'équation d'énergie et peuvent être calculées indépendamment. La
distribution de température dans la couche limite par contre dépend de la distribution de
vitesse.
• Pour la couche limite laminaire la viscosité et le coefficient de diffusion thermique
représententent des propriétés physiques.
• Pour la couche limite turbulente, la viscosité turbulente et le coefficient de diffusion
thermique turbulent ne sont pas des propriétés physiques du fluide mais dépendent
eux-mêmes du gradient de vitesse respectivement du gradient de la température.
• Les paramètres adimensionnels importants de la convection forcée sont: le
nombre de REYNOLDS (Re), le nombre de PRANDTL (Pr) et le nombre de
NUSSELT (Nu).
128 CHAP.6 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA CONVECTION THERMIQUE
Vap
eurs
con
dens
ées
Eau
en
ébul
ition
Con
vect
ion
forc
ée e
au
Con
vect
ion
natu
relle
eau
Fre
on c
onde
nsé
Fre
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vapo
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Hyd
roca
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onde
nsée
s
Hyd
roca
rbur
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vapo
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rbur
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quid
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Hyd
roca
rbur
es g
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ses
Hui
les
Hyd
rog
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Air
com
prim
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Con
vect
ion
forc
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ir-at
m.
Con
vect
ion
natu
relle
air-
atm
.
(W/m
K)
23
10
410
1
510
2
4
6 8
2
4
6
82
4
6 8
2
4
6
82
4
6 8
102
10
Ta
ble
au
6.4
V
ale
urs
appro
xim
ativ
es
du c
oeffic
ient de c
onve
ctio
n α
TRANSMISSION DE CHALEUR 129
7. CONVECTION POURL'ECOULEMENT EXTERNE
7.1 La couche limite laminaire sur une plaque plane
7.2 Ecoulement turbulent sur la plaque plane
7.3 Ecoulement autour d'un cylindre
7.4 Ecoulement transversal dans un faisceau de tubes
u
u
130 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
7. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est appelé
écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se
développe sans influence de l'entourage (p.ex. sur une aile d'avion).
Dans le chapitre 6 nous avons trouvé que le phénomène de convection forcée peut être
défini par une relation entre les trois paramètres adimensionnels Nu, Re et Pr. Le
problème de calcul de la transmission de chaleur consiste à déterminer la relation
Nu = f( Re, Pr )
La solution peut être obtenue par
• calcul théorique
par la solution des équations de base (développée au chapitre 6) pour une géométrie
et des conditions aux limites données.
• méthode expérimentale (ou empirique)
par des mesures systématiques sur diverses géométries. Les relations entre les
paramètres adimensionnels sont obtenues dans ce cas par la corrélation des valeurs
mesurées.
La solution analytique du problème est seulement possible dans quelques cas très
simples. Pour les cas pratiques, on recourt aux expériences.
L'importance des solutions théoriques réside dans le fait qu'elles nous montrent le
caractère des relations et permettent d'évaluer l'influence des paramètres physiques ce
qui est important pour développer des relations empiriques.
7.1 LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SUR UNE PLAQUE PLANE
SOLUTION DE BLASIUS POUR LA COUCHE LIMITE LAMINAIRE SANS
DISSIPATION
L'écoulement sur une plaque plane représente non seulement le cas le plus simple mais
également un cas pratique et important pour l'ingénieur.
Nous étudions l'écoulement stationnaire, incompressible et laminaire sans dissipation le
long d'une plaque plane (Fig. 7.1).
TRANSMISSION DE CHALEUR 131
x laminaire turbulent
y
transitoire
sous-couche laminaire
couche limite
δ
zone tampon
u∞
Couche limite sur une plaque plane
1
0
y
δ
5
0
2
3
4
1
η η = y u ∞ν x
1 0 u / u∞ 1 0 u / u∞
a) couche limite laminaire b) couche limite turbulente
Figure 7.1 Couche limite hydrodynamique sur une plaque plane
Les équations de base se réduisent à (voir chapitre 6):
• la continuité
∂u∂x +
∂v∂y = 0 (7.1)
132 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
• la quantité de mouvement pour dp/dx = 0
u ∂u∂x + v
∂v∂y = ν
∂2u∂y2
(7.2)
∂p∂y = 0
• l'énergie [sans dissipation donc (ν/cp)(∂u/∂y)2 = 0]
u ∂T∂x + v
∂T∂y = Λ
∂2T∂y2
(7.3)
La solution pour la couche limite hydrodynamique a été trouvée par BLASIUS.Les vitesses sont définies par la fonction de courant ψ(x,y) selon
u ≡ ∂ψ∂y et v ≡ -
∂ψ∂x
Après introduction des nouvelles variables f et η
f(η) ≡ ψ
u∞ ν xu∞
= ψ
ν x u∞(7.4)
et
η ≡ y u∞ν x (7.5)
l'équation de quantité de mouvement peut être transformée en une équation différentielleordinaire (valeurs numériques pour η, f', f'' dans le Tableau 7.1).
La solution de l'équation nous donne les résultats suivants:• l'épaisseur de la couche limite laminaire (δ=y pour u/u∞ = 0,99)
δ ≡ 5u∞ν x
= 5 x Re-1/2 (7.6)
• la tension de cisaillement sur la surface (y=0) au point x
τs = µ
∂u
∂y y=0(7.7)
TRANSMISSION DE CHALEUR 133
τs = 0,332 u∞ ρ µ u∞
x (7.8)
• le coefficient de frottement local
C f,x = τs‚x
ρ u∞2
2
= 0,664 Rex-1/2 (7.9)
La solution de BLASIUS est une solution de similitude (η = variable de similitude) c'est-
à-dire que le profil de vitesse u/u∞ reste géométriquement similaire à partir de x=0. Avec
η = y u∞ν x =
yx Rex1/2
uu∞
= Φ
y
δ = Φ ( η )
avec δ comme épaisseur de la couche limite.
A partir du profil de vitesse dans la couche limite nous pouvons calculer la distribution de
la température dans celle-ci. Avec la température relative
T* = T - TsT∞ - Ts
(7.10)
l'équation d'énergie prend la forme
d2T*dη2
+ 0,5 Pr f(η) dT*dη = 0 (7.11)
La solution a été trouvée numériquement pour différents nombres de PRANDTL pour
les conditions aux limites
T*(0) = 0 et T*(∞) = 1
134 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
f f'=u/u f''00,20,40,60,8
1,01,21,41,61,8
2,02,22,42,62,8
3,03,23,43,63,8
4,04,24,44,64,8
5,05,25,45,65,8
6,06,26,46,66,8
7,07,27,47,67,8
8,08,28,48,6
00,006640,026560,059740,10611
0,165570,237950,322980,420320,52952
0,650030,781200,922301,072521,23099
1,396821,569111,746961,929542,11605
2,305762,498062,692382,888263,08534
3,283293,481893,680943,880314,07990
4,279644,479484,679384,879315,07928
5,279265,479255,679245,879246,07923
6,279236,479236,679236,87923
00,066410,132770,198940,26471
0,329790,393780,456270,516760,57477
0,629770,681320,728990,772460,81152
0,846050,876090,901770,923330,94112
0,955520,966960,975870,982690,98779
0,991550,994250,996160,997480,99838
0,998980,999370,999610,999770,99987
0,999920,999960,999980,999990,99996
0,999960,999960,999960,99996
0,332060,331990,331470,330080,32739
0,323010,316590,307870,296670,28293
0,266750,248350,228090,206460,18401
0,161360,139130,117880,098090,08013
0,064240,050520,038970,029480,02187
0,015910,011340,007930,005430,00365
0,002400,001550,000980,000610,00037
0,000220,000310,000070,000040,00002
0,000010,000010,000000,00000
Tableau 7.1 Valeurs de la fonction f( ) pour la convection forcée sur la plaque
plane
TRANSMISSION DE CHALEUR 135
Les résultats donnent avec Pr≥0,6 pour le gradient de température sur la surface (η=0)
∂T*
∂η η=0 = 0,332 Pr1/3 (7.12)
avec (7.5) et (7.10)
∂T*
∂η η=0 =
1T∞ -Ts
u∞ν x
∂T
∂y y=0(7.13)
∂T
∂y y=0 = (T∞ -Ts)
u∞ν x 0,332 Pr1/3 (7.14)
Le coefficient de convection local (αx) peut être calculé par le flux de chaleur sur la paroi
αx = qx
Ts -T∞ =
- λTs -T∞
∂T
∂y y=0
avec (7.14)
αx = - λ
Ts -T∞ (T∞ -Ts)
u∞ν x 0,332 Pr1/3 (7.15)
nous obtenons la relation
Nux = αx x
λ = 0,332 Rex1/2 Pr1/3 (7.16)
valable pour Pr ≥ 0,6.L'équation (7.16) montre que le coefficient de convection αx varie avec la coordonnée x.
Pour la plaque de longueur x=L nous obtenons les valeurs moyennes
NuL = αx L
λ = 0,664 ReL1/2 Pr1/3 (7.17)
La Figure 7.2a montre la distribution de température dans une couche limite laminaire
pour différents nombres de PRANDTL.
Il est à noter que pour une raison d'égalité formelle de l'équation de quantité de
mouvement (7.2) et d'énergie (7.3) nous obtenons des formes similaires pour le profilde vitesse (u/u∞) et le profil de température (T*) pour le cas de ν = Λ donc Pr=1
136 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
T - TsT∞ -Ts
= uu∞
(7.18)
Nous rappelons que pour les gaz l'ordre de grandeur du nombre de PRANDTL est Pr ≤1.La Figure 7.2a montre que pour Pr > 1, δth < δ et pour Pr <1, δth > δ.
COUCHE LIMITE LAMINAIRE AVEC DISSIPATION
Dans la solution de BLASIUS nous avons admis que la dissipation est négligeable par
rapport aux autres termes de l'équation d'énergie. Cette simplification n'est plus valable
si la vitesse de l'écoulement externe dépasse une certaine limite.
Ecoulement sur une surface adiabate
Nous étudions l'écoulement sur une plaque isolée. Dans ce cas, il n'existe pas de flux dechaleur sur la paroi donc (dT/dy)y=0 = 0. La température d'équilibre de la paroi est
nommée température de récupération (Tr).
La démarche du calcul est similaire à celle de BLASIUS.
La solution est
Tr = T∞ + r0(Pr) u∞2
2cp(7.19)
La fonction r0(Pr) est le facteur de récupération qui est donné pour la couche limite
laminaire par
r0(Pr) ≈ Pr1/2 (7.20)
et pour la couche limite turbulente par r0(Pr) ≈ Pr1/3.
ECOULEMENT LAMINAIRE VISQUEUX SUR UNE PLAQUE CHAUFFEE OU
REFROIDIE
Nous étudions maintenant le cas où la température de la paroi est maintenue à Ts. Nous
trouvons la solution par introduction du paramètre de BLASIUS
η = y u∞/(ν x)
TRANSMISSION DE CHALEUR 137
Les résultats possibles sont montrés dans la Figure 7.2b.Par rapport à la température de récupération Tr (température pour paroi adiabate) nous
distinguons trois cas:• pour Ts > Tr, le flux de chaleur passe de la paroi vers le fluide,
• pour Ts = Tr, nous avons les conditions adiabates, et
• pour Ts < Tr, le flux de chaleur est dirigé vers la paroi.
L'inversion du profil de température exprime le fait que la chaleur dissipée s'écoule
partiellement vers la paroi et partiellement dans le fluide.
Les résultats pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celui sans
dissipation, donc
Nux = 0,332 Rex1/2 Pr1/3 (7.21)
NuL = 0,664 ReL1/2 Pr1/3 (7.22)
mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération selon
q = α (Ts - Tr) (7.23)
A partir de (7.29) on peut écrire pour la couche limite laminaire
Tr - T∞ = Pr1/2 u∞2
2 cp
divisé par (Tr - T∞)
Tr - T∞Ts -T∞
= 0,5 r0(Pr) u∞2
cp(Ts -T∞)
138 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
δ - hydrodynamique
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1
Pr = 1
0,7
3
10
50
T*
η = y u ∞ν x
a) Distribution de la température dans la couche limite sans dissipation
T∞T
Tr
couche limite
u∞
yq = 0q < 0 q < 0 q > 0
Ts < Tr Ts < Tr
Ts < T∞ Ts > T∞ Ts = Tr > T∞
Ts > Tr > T∞
b) Distribution de la température dans la couche limite avec dissipation
Figure 7.2 Couche limite laminaire sur une plaque plane chauffée
TRANSMISSION DE CHALEUR 139
Le dernier facteur de (7.23) représente le nombre de ECKERT
Ec = u∞2
cp(Ts - T∞) (7.24)
Nous pouvons donc écrire
Tr - T∞Ts - T∞
= 0,5 r0(Pr) Ec = 0,5 Pr0,5 Ec (7.25)
Le nombre de Eckert est une mesure pour la compressibilité de l'écoulement. La relation
entre le nombre Ec et le nombre de Mach pour le gaz idéal est donnée par
Ec = (κ-1) T∞
Ts - T∞ M∞
2 (7.26)
7.2 ECOULEMENT TURBULENT SUR LA PLAQUE PLANE
La couche limite se développe sur une plaque plane au début toujours laminaire. Si le
nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devient turbulenteaprès une zone de transition (Recrit = 5.105-106).
Le profil de vitesse dans la couche limite turbulente est plus rempli que dans le cas
laminaire. Il est approximativement
uu∞
=
y
δ1/7
(7.27)
Dans la région à proximité de la paroi l'écoulement reste laminaire (sous-couche
laminaire). Dans cette région (7.27) n'est pas valable.
De nombreux essais ont permis d'obtenir les différentes relations pour la couche limite
turbulente sur la plaque plane (SCHLICHTING). L'épaisseur de la couche limite
turbulente est décrite par
δ = 0,381 x Rex- 0,2 (7.28)
valable pour: 5.105 < Rex < 107.
140 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
La relation montre que l'épaisseur de la couche limite turbulente augmente plus
rapidement que celle de la couche limite laminaire.
Le coefficient de frottement est donné par
C f = τs
ρ u∞2
2
= 0,045
u∞ δ
ν- 0,25
(7.29)
L'expression
Reδ = u∞ δ
ν (7.30)
représente le nombre de REYNOLDS relatif à l'épaisseur de la couche limite.Il est plus pratique de relier Cf avec Rex
C fx = 0,0592 Rex- 0,2 (7.31)
valable pour: 5.105 < Rex < 107.
La transmission de chaleur locale est définie par
Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr 0,33 ( 0,6 < Pr < 60 ) (7.32)
Une meilleure approximation que la distribution exponentielle de (1/7) est donnée par la
distribution universelle de vitesse. Elle est donnée par
u = C1 τsρ ln y + C2 (7.33)
Le terme s/ est appelé la vitesse de cisaillement
uτ = τsρ =
C f u∞2
2 (7.34)
où τs peut être calculé par le coefficient de frottement Cf (7.29).
Avec la vitesse et les coordonnées adimensionnelles
u+ = uuτ
(7.35)
y+ = y uτν (7.36)
TRANSMISSION DE CHALEUR 141
on obtient
u+ = C1 ln y+ + C3 (7.37)
Les expériences ont donné pour les trois zones de la couche limite turbulente lesrelations suivantes (avec ε selon (tableau 6.1))
• sous-couche laminaire: 0 < y+ < 5
u+ = y+ (7.38)
εν = 0 (7.39)
• zone tampon: 5 < y+ < 30
u+ = 5 ln y+ - 3,05 (7.40)
εν =
y+
5 - 1, 0 < εν < 5 (7.41)
• zone turbulente: y+ > 30
u+ = 2,5 ln y+ + 5,5 (7.42)
εν =
y+
2‚5 - 1, εν > 11 (7.43)
Pour le calcul de la transmission de chaleur nous utilisons la similitude entre la transmission
de quantité de mouvement et de chaleur. Nous étudions d'abord l'écoulement
laminaire.
Pour la vitesse adimensionnelle (u/u∞) nous pouvons écrire (solution de BLASIUS)
d2
u
u∞
dη2 + 0,5 f(η) d
u
u∞dη = 0 (7.44)
avec les conditions aux limites
u(0)u∞
= 0, u(∞)u∞
= 1
Pour la température adimensionnelle T* = (T - Ts) / (T∞ - Ts) nous obtenons
142 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
d2T*dη2 + 0,5 f(η) Pr
dT*dη = 0 (7.45)
avec
T*(0) = 0, T*(∞) = 1
Pour Pr = 1 les deux équations (7.44) et (7.45) sont similaires, où
T* ⇒ uu∞
doncT - TsT∞ -Ts
⇒ uu∞
(7.46)
Ces relations impliquent que
1T∞ -Ts
∂T∂y = 1u∞
∂u∂y (7.47)
Pour l'écoulement laminaire avec les définitions
τ = ρ ν ∂u∂y (7.48)
q = ρ cp Λ ∂T∂y (7.49)
on peut écrire (7.47) pour Pr = ν/Λ = 1
qτ = - cp T∞ -Ts
u∞(7.50)
La conséquence de (7.50) est que dans la couche limite laminaire pour Pr=1 le rapport
entre le flux de chaleur et la tension de cisaillement est constant.
Pour l'écoulement laminaire nous pouvons écrire pour (7.50)
qTs -T∞
= τ cpu∞
(7.51)
En introduisant le coefficient de convection α
α = τs cpu∞
(7.52)
TRANSMISSION DE CHALEUR 143
Pour Pr=1 il existe donc une relation unique entre le coefficient de convection (α) et la
contrainte de cisaillement sur la paroi (τs).
Par conséquent une valeur élevée de transmission de chaleur est accompagnée de
pertes importantes.A partir de (7.52) nous pouvons développer la relation ( pour Pr = 1, ν = Λ ou µ = λ/cp )
αx xλ =
τs cp xλ u∞
= τs xµ u∞
(7.53)
Nux = 0,5 Cfx Rex (7.54)
Dans la suite nous étendons la similitude aux écoulements turbulents et Pr≠1.
L'ANALOGIE DE REYNOLDS POUR LA CONVECTION TURBULENTE
Pour l'écoulement turbulent nous avons introduit
τ = ρ (ν + ε) ∂u∂y (7.55)
et
q = - ρ cp (Λ + εh) ∂T∂y (7.56)
Reynolds a négligé les zones laminaires et transitoires de la couche limite turbulente. Lesgrandeurs turbulentes sont ε » L et nous pouvons les éliminer
qτ = - cp
εhε
∂T∂y = -
cpPrt
∂T∂u (7.57)
Pour Prt ≈ 1 nous avons ε ≈ εh donc
qτ = - cp
∂T∂u (7.58)
REYNOLDS a admis que la similitude existe entre la couche limite laminaire etturbulente‚ par conséquent (q/τ) est aussi constant dans le cas turbulent (voir (7.51)).
Avec (7.48) et (7.49)
144 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
qsτs
= - cp T∞ - Ts
u∞(7.59)
ou
α = τs cpu∞
(7.60)
Avec cp selon Pr = ν ρ cp/λ = 1
α = τs λ Prµ u∞
(7.61)
et
Nux = 0,5 Cf Rex Pr (7.62)
(7.62) est appelé l'analogie de REYNOLDS pour la convection turbulente sur une
surface plane. Avec (7.28) et (7.29) nous obtenons pour 5.105 < Re < 107
Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr (7.63)
et pour Rex > 107
Nux = 0‚185 Rex Pr(log10 Rex)2‚584 (7.64)
La relation de REYNOLDS a été corrigée sur la base des mesures effectuées par
COLBURN
pour 5.105 < Rex < 107
Nux = 0,5 Cf Rex Pr 0,33 (7.65)
ou
Nux = 0,0296 Rex0,8 Pr 0,33 (7.66)
et pour Rex > 107
Nux = 0‚185 Rex Pr1/3
(log10 Rex)2‚584 (7.67)
TRANSMISSION DE CHALEUR 145
ANALOGIE DE PRANDTL
PRANDTL a introduit la sous-couche laminaire et obtenupour 5.105 < Rex < 107
Nux = 0‚5 C f Rex Pr
1+5 C f2 (Pr-1)
(7.68)
ou
Nux = 0‚0296 Rex0‚8 Pr
1+0‚860 Rex-0‚1 (Pr-1)(7.69)
ANALOGIE DE von KARMAN
Von KARMAN a introduit en plus la zone tampon (y+ = 30) et obtenu
Nux = 0‚5 C f Rex Pr
1+5 C f2 {(Pr-1)+ln[1+0‚8333(Pr-1)]}
(7.70)
Nux = 0‚0296 Rex0‚8 Pr
1+0‚860 Rex-0‚1 {(Pr-1)+ln[1+0‚8333(Pr-1)]}(7.71)
pour 5.105 < Rex < 107
La valeur moyenne pour une plaque de longueur L est
NuL = α Lλ = Pr 0,33 [ ]0‚037 ReL0‚8 - A (7.72)
pour ReL = 3. 105 A = 527
ReL = 5. 105 A = 871
ReL = 1. 106 A = 1670
ReL = 3. 106 A = 4472
Les analogies présentées se basent sur divers modèles physiques et donnent pour le
nombre de Nusselt des valeurs différentes pour les mêmes conditions d'écoulements.D'autre part il faut tenir compte de la variation des propriétés physiques (λ, µ) avec la
température variable dans la couche limite thermique. Pour les calculs on détermine les
propriétés physiques à la température moyenne de la couche limite
146 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
Tm = Ts - Tf
2
Pour les calculs pratiques on recommande les relations suivantes:
Couche limite laminaire
• pour Rex < Rex,crit = 5.105
0,6 < Pr < 50
Nux = (7.16)
NuL = (7.17)
• pour Rex < Rex,crit = 5.105
Pr < 0,05
Nux = 0,565 (Rex Pr) 0,5
NuL = 1,13 (ReL Pr) 0,5
Couche limite turbulente
• pour 5.105 < Rex < 109
Pr ≈ 1
Nux = (7.70) ou (7.71)
avec
C f = 0,0592 Rex- 0,2 pour 5.105 < Rex < 107
C f = 0,37 ( log10 Rex ) -2,584 pour Rex > 107
• pour 5.105 < Rex < 109
0,6 < Pr < 60
Nux = (7.66) ou (7.67)
Plaque plane avec couche limite laminaire + turbulente
La valeur moyenne pour la plaque de longueur L est
• pour 5.105 < ReL < 107
0,6 < Pr < 60
NuL = (7.72)
• pour ReL < 107
NuL = Pr 0,33 [ 0,228 ReL (log10 ReL ) -2,584 - 872 ]
TRANSMISSION DE CHALEUR 147
7.3 ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE
La transmission de chaleur sur un cylindre (tube) dans un écoulement perpendiculaire à
son axe représente un cas élémentaire important pour la pratique (p.ex. échangeur de
chaleur).
L'écoulement autour du cylindre est représenté dans la Fig. 7.3.
L'écoulement sans effet de viscosité (écoulement potentiel) donnerait une distributionsymétrique de vitesse sur le cylindre. Dans la partie 0°<ϕ<90° l'écoulement est accéléré
et dans la partie 90°<ϕ<180° il est décéléré.
Dans l'écoulement réel une couche limite laminaire se développe avec une épaisseur
croissante à partir du point d'arrêt. En général, l'énergie cinétique dans la couche limite ne
suffit pas pour surmonter le gradient de pression et la couche limite décolle de la surface(pour (∂u/∂y)s=0). Le point de décollement est appelé point de séparation. L'endroit de
la séparation (ϕsep) dépend du type de couche limite caractérisé par le nombre de
Reynolds
Red = ρ u∞ d
µ (7.73)
• pour Red 2.105 la couche limite est laminaire et ϕsep ≤ 80°
• pour Red 2.105 la couche limite se transforme avant le décollement en couche
turbulente et ϕsep ≤ 140°
Le coefficient de traînée (Fx = Force de traînée, Ac = surface frontale du cylindre)
Cx est également influencé par la condition de la couche limite, donc par le nombre de
Reynolds (voir Fig. 7.4).La force de traînée Fx a deux composantes: l'une est liée à la force de frottement sur la
surface et l'autre est la conséquence de la différence de pression entre les faces avant et
arrière du cylindre.
A cause de la complexité de l'écoulement autour du cylindre on recourt aux expériences
pour déterminer la relation Nu=f(Re, Pr). Les résultats des mesures sont représentés
dans la Fig. 7.5.
Cx = Fx
Ac ρ u∞2
2
(7.74)
148 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
dϕ
A A
u∞
A : point d'arrêtT: point de transitionS : point de séparation
Re d = u ∞ d
ν
Re d, crit = 2. 10 5
Au∞
S
S
c.l. laminaire décollement
Au∞
T
T
S
S
c.l. turbulente
décollementc.l. laminaire
laminaire
turbulente
sans frottement
p - p
r u2 / 2
°
1
0
-1
-2
-30 30 60 90 120 180
Figure 7.3 Ecoulement autour d'un cylindre (tube) circulaire
TRANSMISSION DE CHALEUR 149
• pour Red < 105 la couche limite reste laminaire jusqu'au décollement. Le
coefficient Nu diminue entre le point d'arrêt ϕ = 0° et ϕsep = 80° et augmente à nouveau
dans la zone turbulente du sillage.• pour Red > 105 la couche devient turbulente et nous observons deux minima.
Dans la partie laminaire Nu diminue avec ϕ et augmente rapidement à partir de ϕ = 80°-
100° après la transition laminaire-turbulente. Dans la couche limite turbulente nousobservons à l'aval une diminution de Nuϕ qui augmente à nouveau une seconde fois
après la séparation (ϕ ≤ 140°).
100
10
1
0,1
110 -1 10 10 2 10 3 10 4 10 6
C x
Re d
Figure 7.4 Coefficient de traînée pour un cylindre lisse
Les valeurs de nombre de Nusselt pour le point d'arrêt sont données par
Nu0 = 1,14 Red 0,5 Pr 0,37 (7.75)
avec
Nu0 = α0 d
λ (7.76)
150 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
Re = 2,19 .10d5
1,86 .10 5
1,70 .10 5
1,40 .10 5
0,71 .10 51,01 .10 5
0
200
400
600
800
0 60 90 120 18030 °
Nuϕ
Figure 7.5 Variation du coefficient de convection pour un cylindre pour Pr=0,7
(Trans. ASME Vol 71, 1949)
Dans les cas pratiques il est intéressant de connaître des valeurs moyennes. La
corrélation empirique est obtenue par HILPERT selon
Nud = α dλ = C Red
m Pr 0,33 (7.77)
Les constantes C et m sont données dans le tableau 7.2. Les valeurs sont obtenuesavec la température du film (Tδ) selon
Tδ = Ts + Tδ
2 (7.78)
Les différentes mesures donnent une plus ou moins bonne concordance dans undomaine de Red. En général la précision ne dépasse pas 20 %.
TRANSMISSION DE CHALEUR 151
Re C m
w
Td
0,4 - 4
4 - 40
40 - 4.103
4.103 - 4.104
4.104 - 4.105
0,989
0,911
0,683
0,193
0,027
0,330
0,385
0,466
0,618
0,805
w
Td 5.103 - 105 0,246 0,588
w
Td 5.103 - 105 0,102 0,675
w
Td
5.103 - 1,95.104
1,95.104 - 105
0,160
0,0385
0,638
0,782
w
Td 5.103 - 105 0,153 0,638
w
Td 4.103 - 1,5.104 0,228 0,731
Tableau 7.2 Constantes de l'équation (7.75)
7.4 ECOULEMENT TRANSVERSAL DANS UN FAISCEAU DE TUBES
Dans les divers échangeurs de chaleur utilisés dans l'industrie, nous rencontrons un
faisceau de tubes dans l'écoulement transversal. L'arrangement géométrique peut être
multiple. La Fig. 7.6 montre les tubes alignés et la Fig. 7.7 en quinconce.
Le coefficient de convection pour un tube dépend de sa position dans le faisceau.
Le coefficient pour la première rangée est approximativement égal aux conditions pour
les tubes isolés. Avec l'augmentation de la turbulence en aval, la transmission de chaleur
augmente également. Après la 4ème-5ème rangée, la transmission se stabilise.
GRIMISON donne pour l'écoulement de l'air dans un faisceau de tubes (pour plus de
10 rangées N ≥ 10) la valeur moyenne
152 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
¯Nud = C1 Red,maxm (7.79)
avec
Red,max = ρ wmax d
µ (7.80)
tubes alignés ty/d=1,25 ty/d=1,5 ty/d=2,0 ty/d=3,0
tx/d C1 m C1 m C1 m C1 m
1,25 0,348 0,592 0,275 0,608 0,100 0,704 0,0633 0,752
1,50 0,367 0,586 0,250 0,620 0,101 0,702 0,0678 0,744
2,00 0,418 0,570 0,299 0,602 0,229 0,632 0,198 0,648
3,00 0,290 0,601 0,357 0,584 0,374 0,581 0,286 0,608
tubes en quinconce ty/d=1,25 ty/d=1,5 ty/d=2,0 ty/d=3,0
tx/d C1 m C1 m C1 m C1 m
0,600 - - - - - - 0,213 0,636
0,900 - - - - 0,446 0,571 0,401 0,581
1,000 - - 0,497 0,558 - - - -
1,125 - - - - 0,478 0,565 0,518 0,560
1,250 0,518 0,556 0,505 0,554 0,519 0,556 0,522 0,562
1,500 0,451 0,568 0,460 0,562 0,452 0,568 0,488 0,568
2,000 0,404 0,572 0,416 0,568 0,482 0,556 0,449 0,570
3,000 0,310 0,592 0,356 0,580 0,440 0,562 0,428 0,574
Tableau 7.3 Constantes de l'équation (7.79)
valable pour
Nx ≥ 10
2000 < Red,max < 40000
Pr = 0,7
TRANSMISSION DE CHALEUR 153
Les constantes C1, m sont données dans le tableau 7.3.
Pour d'autres fluides (Pr ≠ 0,7) on obtient Nu par
Nud = 1,13 C1 Red,maxm Pr1/3 (7.81)
valable pour
Nx 10
2000 < Red,max < 40000
Pr ≥ 0,7
Pour Nx < 10 le coefficient de convection selon (7.79) est réduit d'un rapport selon
tableau 7.4Le nombre de Reynolds Red,max est défini avec la vitesse maximale du fluide dans le
faisceau de tubes.
Pour des tubes alignés (voir Fig.7.6 a)
wmax = win tyty - d (7.82)
nombre de
rangées Nx
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
pour tubes
alignés
0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0
pour tubes
en quinconce
0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 1,0
Tableau 7.4 Rapport des coefficients de convection ( d) pour faisceau de tubes
avec Nx < 10
Pour des tubes en quinconce avec (voir Fig.7.6 b)
w1 = win tyA1
= win ty
ty - d (7.83)
et
w2 = win ty
2 A2 = win
ty tx
2+ (ty /2)2 - d(7.84)
154 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
w in
T in
t y
d
t x
wmax
A 1
y
x
A1 = (ty - d)
wmax = win tyA1
a) faisceau de tubes alignés
w in
T in
t y
d
t x
A 1
y
x
A 2
A 2
A1 = (ty - d)
A2 = tx2+ (ty /2)2 - d)
w1 = win tyA1
w2 = win ty
2 A2
b) faisceau de tubes en quinconce
Figure 7.6 Définition des paramètres de calcul pour des faisceaux de tubes
La vitesse wmax apparaît dans la section la plus étroite donc
pour A1 < A2 : wmax = w1
et pour A2 < A1 : wmax = w2
Il est important de noter que pour le calcul de la transmission de chaleur dans la série de
tubes il faut tenir compte du changement de température dans la direction de
l'écoulement. La température moyenne dans l'échangeur est
TRANSMISSION DE CHALEUR 155
∆Tm,log = (Ts - Tin) - (Ts - Tex)
ln Ts - TinTs - Tex
(7.85)
Tin étant la température à l'entrée, Tex la température à la sortie et Ts la température à la
surface.
La température de sortie peut être calculée par
Ts - TexTs - Tin
= e -
π d N αρ w in Ny t y c p (7.86)
ou N représente le nombre total des tubes (N=Nx Ny).Avec Tm,log nous obtenons la transmission de chaleur par unité de longueur
Q1 = N α π d ∆Tm,log (7.87)
La chute de pression est une autre grandeur importante pour l'échangeur de chaleur. Elleest donnée par (∆p en N/m2)
∆p = Nx 2 F (wmax ρ)2
ρin
µs
µm 0,14
(7.88)
Pour un faisceau de tubes alignés le facteur empirique F est
F =
0‚25 +
0‚118[ ](ty - d)/d 1‚08 Red,max
- 0‚16 (7.89)
et pour un faisceau de tubes en quinconce
F =
0‚044 +
0‚08 (tx/d)
[ ](ty - d)/d 0‚43+1‚13(d/tx) Red,max- 0‚15 (7.90)
avecµs = la viscosité pour la condition à la surface
µm = la viscosité pour la condition moyenne
156 CHAP. 7 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT EXTERNE
RESUME DU CHAPITRE 7
• L'écoulement autour d'un objet se situant dans un champ sans limite est nommé
écoulement externe. Dans un tel cas la couche limite sur la surface de l'objet se
développe sans influence de l'entourage.
• La solution de BLASIUS pour la couche limite hydrodynamique laminaire est unesolution de similitude, c'est-à-dire que le profil de vitesse u/u∞ reste géométriquement
similaire à partir du point d'arrêt de la plaque.
• Si le nombre de Reynolds dépasse la valeur critique, la couche limite devientturbulente après une zone de transition (Recrit = 5.105-106).
• La distribution de vitesse dans la couche limite turbulente peut être décrite par une
fonction exponentielle de (1/7) ou mieux par la distribution universelle de vitesse.
• Selon la solution de BLASIUS le coefficient de convection peut être défini par une
relation du type Nu = C Re j Pr k.
• La température d'équilibre de la paroi est nommée température de récupération.
• Les relations pour la couche limite avec dissipation sont identiques à celles sans
dissipation, mais le flux de chaleur se calcule avec la température de récupération.
• Il existe plusieurs relations empiriques pour la convection thermique pour les cas
élémentaires comme l'écoulement sur la plaque plane, l'écoulement autour d'un cylindre
ou l'écoulement transversal dans un faisceau de tubes. Les résultats se basent sur des
mesures systématiques couvrant de larges domaines de nombres de Reynolds, et de
nombres de Prandtl.
TRANSMISSION DE CHALEUR 157
8. CONVECTION POURL'ECOULEMENT INTERNE
8.1 Convection pour un tube circulaire
8.1.1 Ecoulement laminaire dans un tube
8.1.2 Ecoulement turbulent dans un tube
8.1.3 Transmission de chaleur dans un conduit circulaire
8.2 Corrélations pour la convection forcée pour un tube circulaire
8.2.1 Ecoulement laminaire dans un tube circulaire
8.2.2 Ecoulement turbulent dans un tube circulaire
8.2.3 Convection forcée pour les tubes non circulaires
uT
158 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
8. CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne. Dans ce
cas la couche limite sur les surfaces se développe d'abord librement puis, après unecertaine distance (longueur d'entrée hydrodynamique xe,h) les couches limites sur les
parois opposées se rencontrent et remplissent toute la surface du canal (Fig. 8.1). Dans
un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement non
visqueux dans le conduit. Dans ce domaine nous désignons le profil de vitesse
"développé".
Les écoulements internes représentent des cas pratiques importants car on les trouve
dans toutes sortes de conduits de section circulaire ou non circulaire.
8.1 CONVECTION POUR UN TUBE CIRCULAIRE
ECOULEMENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE
Nous étudions l'écoulement dans un tube circulaire de section constante (A) avec des
conditions d'entrée constantes u(r,0) = cte.
L'écoulement dans le tube est caractérisé par le nombre de REYNOLDS
Red ≡ um d
ν = ρ um d
µ (8.1)
Avec um comme vitesse moyenne dans la section
• pour Red 2300 l'écoulement est laminaire
• pour Red 4000 l'écoulement est entièrement turbulent
La longueur d'entrée hydrodynamique est pour l'écoulement laminaire
xe‚h
d lam
≈ 0,05 Red (8.2)
et pour l'écoulement turbulent dans le domaine
10 ≤
xe‚h
d turb
≤ 60 (8.3)
TRANSMISSION DE CHALEUR 159
Dans l'écoulement incompressible la vitesse moyenne reste constante le long du tube
et peut être calculée par le débit-masse (m )
um = m
ρ A (8.4)
xxe,h
rr0
umum
u(r,x) u(r,x)
u(r,0)
écoulement non visqueux écoulement visqueux
profil de vitesse "développé"
u(r,x)τ r
r+drτ
p
d r
r
d x
p + d pd x
dx
Equilibre des forces sur l'élément circulaire
Figure 8.1 Ecoulement laminaire dans un tube circulaire
160 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
8.1.1 ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE
Dans la suite nous calculons le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement
développé pour l'écoulement incompressible à propriétés physiques constantes.
Dans ces conditions la vitesse radiale et le gradient dans la direction axiale restent
constants
v = 0
(8.5)dudx = 0
L'équation de quantité de mouvement pour un élément circulaire (Fig. 8.1) d'épaisseur
(dr) est
-τr (2 π r dx) +
τr(2πrdx) +
d[τr(2πrdx)]dr dr +
+ p(2 π r dr) -
p(2πrdr) +
d[p(2πrdr)]dx dx = 0 (8.6)
qui donne après simplification
d(rτr)dr = r
dpdx (8.7)
Avec la loi de NEWTON pour la tension de cisaillement
τr = µ dudr (8.8)
nous obtenons
µr
d
rdudr
dr =
dp
dx (8.9)
Comme le gradient de pression axial (dp/dx) est indépendant de r nous pouvons
intégrer l'équation (8.9) selon r et obtenons
TRANSMISSION DE CHALEUR 161
u(r) = 1µ
dp
dx r24 + C1 ln r + C2 (8.10)
ou avec les conditions aux limites
u(r0) = 0 et
du
dr r=0
= 0
u(r) = - 14µ
dp
dx r20
1 -
r
r0
2
(8.11)
La relation (8.11) nous montre que le profil de vitesse de l'écoulement laminaire
entièrement développé est parabolique.
A partir de la distribution de vitesse selon (8.11) nous pouvons calculer par intégration la
vitesse moyenne
um ρ r20 π = ∫0
r0 u(r) ρ 2 π r dr
um = - 1r20 ⌡
⌠
0
r0
14µ
dp
dx r20
1 -
r
r0
2
2 r dr
um = - r208µ
dp
dx (8.12)
Introduite dans (8.11) nous obtenons le profil de vitesse adimensionnalisé
u(r)um
= 2
1 -
r
r0
2
(8.13)
Avec la définition du coefficient de perte
ζ ≡ -
dp
dx d
ρu2
m2
(8.14)
162 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
lam
inai
re
trans
itoire
cond
uite
s lis
ses
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
810
310
410
510
610
710
8e/d
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
80,
006
0,00
4
0,00
2
0,00
10,
0008
0,00
060,
0004
0,00
02
0,00
01
0,00
001
0,00
005
Re
d
e/d
= r
ugos
ité re
lativ
e
tube
s ét
irés
e
(µm
) =
1,5
acie
r ord
inai
re
46
font
e
26
0bé
ton
300
- 30
00
0,01
5
Figure 8.2 Diagramme de MOODY pour les pertes de pression dans un tube
TRANSMISSION DE CHALEUR 163
on obtient à l'aide de (8.11) le coefficient de perte pour l'écoulement laminaire dans un
tube
ζ = 64Red
(8.15)
Nous définissons le coefficient de frottement sur la surface du tube avec la contrainte defrottement (τs)
C f ≡ τs
ρu2
m2
(8.16)
La relation entre les deux coefficients est avec
τs = 4µ umr0
(8.17)
C f = ζ4 (8.18)
La chute de pression dans un tube de longueur L est donnée par
∆p = ζ Ld ρ u2
m2 (8.19)
8.1.2 ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE
Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus plein
que celui de l'écoulement laminaire.
Les mesures ont montré que la loi du 1/7ème (voir (7.27)) donne une bonne
approximation pour le profil de vitesse turbulent
uumax
=
r0 - r
r0 1/7
(8.20)
Pour une meilleure approximation nous utilisons le profil universel selon (7.32).
164 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
La vitesse moyenne est donnée par
um ≈ 0,8 umax (8.21)
et le coefficient de frottement par
C f = τs
ρu2
max2
= 0,045
ν
umax r0
0,25
(8.22)
Dans l'écoulement turbulent le coefficient de perte ζ est fortement influencé par la
rugosité de la surface. Dans ce domaine nous distinguons trois zones différentes (voir
Fig. 8.2).
La conduite hydrauliquement lisse
Si les inégalités de la surface ne dépassent pas l'épaisseur de la sous-couche laminaire
on parle d'une surface hydrauliquement lisse. Dans ce cas la quantité de mouvement est
transmise seulement par les contraintes surfaciques.Le coefficient de perte ζ dépend seulement du nombre de Reynolds
ζ = 0,316 Red- 0,25 pour 104 < Red < 5.104 (8.23)
etζ = 0,184 Red
- 0.2 pour 3.104 < Red < 106 (8.24)
La conduite hydrauliquement partiellement rugueuse
Dans ce domaine les forces de pression participent à côté des contraintes à la
transmission de la quantité de mouvement.
Pour ce domaine on peut appliquer la relation de PRANDTL
1ζ = 2,0 log
Red ζ
1 + 0‚1 (e/d) Red ζ - 0,8 (8.25)
TRANSMISSION DE CHALEUR 165
ou celle de COLEBROOK
1ζ = 1,74 - 2,0 log
2
ed +
18‚7Red ζ
(8.26)
La conduite hydrauliquement rugueuse
Dans ce domaine la quantité de mouvement est transmise seulement par les forces de
pression. Par conséquence le nombre de Reynolds n'influence pas le coefficient de
perte.
Pour ce domaine von KARMAN donne
1ζ = 1,14 + 2,0 log
de (8.27)
La relation pour conduite hydrauliquement rugueuse (8.27) est utilisée pour
Red > Red-limite
avec
log Red-limite = 2,63315 - 1,29378 (log e/d) - 0,041575 (log e/d)2 -
- 0,001593 (log e/d)3 (8.28)
Pour calculer le coefficient de convection pour la transmission de chaleur dans un conduit
rugueux on peut utiliser la relation empirique de NORRIS
(Nud) rugueuse(Nud) lisse
=
ζ rugueuse
ζ lisse n
(8.29)
avec
n = 0,68 Pr 0,215 (8.30)
166 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
8.1.3 TRANSMISSION DE CHALEUR DANS UN CONDUIT CIRCULAIRE
Nous étudions la transmission de chaleur dans un tube avec température constante dufluide à l'entrée (Tin).
La température de la paroi du tube est Ts>Tin.
Après une certaine longueur (xe,th longueur d'entrée thermique) le profil de température
reste constant. Elle est donnée
• pour l'écoulement laminaire par
xe‚th
d lam
≤ 0,05 Red Pr (8.31)
• pour l'écoulement turbulent par
xe‚th
d turb
≈ 10 (8.32)
Nous définissons la température moyenne par un bilan d'énergie
m cv Tm = ∫A
ρ u cv T dA
donc
Tm = ∫A
ρ u cv T dA
m cv (8.33)
Pour cv=cte nous obtenons pour le tube circulaire
Tm = 2
um r20 ∫0
r0 u T r dr (8.34)
Il est important de noter que la température moyenne Tm varie dans la direction x (à
l'inverse de dum/dx = 0)
dTmdx ≠ 0
TRANSMISSION DE CHALEUR 167
La loi de NEWTON peut être définie par la température Tm
q = αx (Ts - Tm) (8.35)
Le profil de température varie le long du tube en fonction de la transmission de chaleur
mais dans la région du profil développé la forme adimensionnelle du profil reste
constante. Avec
Ts(x) - T(r,x)
Ts(x) - Tm(x)x = 0 (8.36)
Nous pouvons obtenir les conditions (8.36)• pour un flux de chaleur constant (q s=cte)
• pour une température de surface constante (Ts=cte)
Pour calculer l'évolution de la température moyenne Tm nous formulons l'équation
d'énergie
dQ conv + m(cvTm+pv) -
m(cvTm+pv) + m
d(cvTm+pv)
dx dx = 0 (8.37)
où (p v) représente le travail de déplacement du fluide dans le tube.
Après simplifications nous obtenons
dQ conv = m d(cvTm+pv) (8.38)
Pour un gaz parfait, avec
p v = R Tm (8.39)
etcp = cv + R (8.40)
l'équation (8.38) devient
dQ conv = m cp dTm (8.41)
Avec les conditions d'entrée (in) et de sortie (ex)
168 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
Q conv = m cp (Tm,ex - Tm,in) (8.42)
Introduisant le flux de chaleur
dQ conv = q s P dx (8.43)
où P est le périmètre (pour le tube circulaire P=πd) avec (8.28)
dTmdx =
qs Pm cp
= P
m cp α (Ts - Tm) (8.44)
La solution de (8.44) Tm(x) dépend des conditions thermiques de la surface (Ts).
SOLUTION POUR q s(x) = cte
La chaleur transmise par convection est selon (8.43)
Q conv = q s P L (8.45)
et la variation de la température moyenne Tm(x) selon (8.44)
dTmdx =
qs Pm cp
= cte (8.46)
nous obtenons
Tm(x) = Tm,in + qs Pm cp
x (8.47)
La température moyenne varie donc de façon linéaire le long du tube.
TRANSMISSION DE CHALEUR 169
x
Ts
Tm
x e,th
r
Tin TsTsTs Ts
T(r,x)
q = ctes
Profil de température pour q s=cte
x
Tm
x e,th
T in TsTsTs Ts
r
T(r,x)
q s
T = ctes
Profil de température pour Ts=cte
Figure 8.3 Profils de température dans un tube circulaire
170 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
SOLUTION POUR Ts(x) = cte
Avec la définition
∆T = Ts - Tm (8.48)
nous pouvons écrire (8.39) sous la forme
dTmdx = -
d(∆T)dx =
Pm cp
α ∆T (8.49)
L'intégrale pour la longueur 0<x<L
⌡⌠
∆Tin
∆Tex
d(∆T)
∆T = - P
m cp ∫
0
L α dx (8.50)
donne
ln ∆Tex∆Tin
= - P Lm cp
1L ∫
0
L α dx (8.51)
Avec la valeur moyenne du coefficient de convection α L
ln ∆Tex∆Tin
= - P Lm cp
α L (8.52a)
ou
∆Tex∆Tin
= Ts - Tm‚ exTs - Tm‚ in
= e-
P L α Lm cp (8.52b)
Pour la chaleur totale transmise Q conv nous obtenons à partir de (8.42)
Q conv = m cp [ ](Ts-Tm,in) - (Ts-Tm‚ex) = m cp (∆Tin - ∆Tex) (8.53)
avec (m cp) selon (8.52a)
Q conv = α L P L ∆Tm, log (8.54)
TRANSMISSION DE CHALEUR 171
∆Tm, log représente la différence de température logarithmique
∆Tm, log ≡ ∆Tex - ∆Tin
ln∆Tex ∆Tin
(8.55)
8.2 CORRELATIONS POUR LA CONVECTION FORCEE POUR UN
TUBE CIRCULAIRE
Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées théoriquement.
Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un écoulement
turbulent sont obtenues par des essais systématiques.
Dans la suite sont rassemblées les relations pour différents types d'écoulements.
8.2.1 ECOULEMENT LAMINAIRE DANS UN TUBE CIRCULAIRE
• pour Ts(x) = cte et un profil développé selon NUSSELT
Nud ≡ α dλ = 3,66 (8.56)
La relation de HAUSEN inclut l'influence de la longueur L
Nud = 3,66 + 0‚0668
dL Red Pr
1 + 0‚04
d
L Red Pr 0‚66 (8.57)
Pour les tubes "courts" avec influence des longueurs d'entrée (xe,h et xe,th) SEIDER et
TATE donnent
Nud = 1,86
Red Pr
Ld
0,33
µµs
0,14
(8.58)
172 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
pour Ts = cte
0,48 < Pr < 167000,0044 < (µ/µs) < 9,75
(d/L) Red Pr > 10
propriétés pour Tm
• pour q s(x) = cte
Nud = 4,36 (8.59)
8.2.2 ECOULEMENT TURBULENT DANS UN TUBE CIRCULAIRE
• Pour Pr ≤ 1 nous pouvons appliquer la relation de von KARMAN
Nud =
ζ8 Red Pr
1 + 5 ζ8 { }(Pr-1)+ln[1+0‚833(Pr-1)]
(8.60)
avec le coefficient de perte ζ selon (8.23) ou (8.24) pour la conduite lisse.
Il est important de souligner que la relation (8.60) a été développée pour des tubes
lisses et ne peut pas être appliquée aux tubes rugueux (voir équation (8.29)).
• ou la relation plus simple de COLBURN
Nud = 0,0395 Red0,75 Pr 0,33 pour 104 < Red < 5.104 (8.61)
Nud = 0,023 Red0,8 Pr 0,33 pour 3.104 < Red < 106 (8.62)
• ou la relation de DITTUS-BOELTER
Nud = 0,023 Red0,8 Pr n (8.63)
n = 0,4 pour Ts > Tm
n = 0,3 pour Ts < Tm
TRANSMISSION DE CHALEUR 173
0,7 < Pr < 160104 < Red < 106
|Ts - Tm| < 6°C pour les liquides
|Ts - Tm| < 60°C pour les gaz
propriétés pour Tm
Les deux dernières relations peuvent donner des erreurs allant jusqu'à ± 20 %.
• Une meilleure approximation est donnée par la relation de PETUKHOV
Nud =
µ
µs
n ζ8 Red Pr
1‚07+12‚7 ζ8 (Pr 2/3 -1)
(8.64)
ζ = (1,82 log10 Red - 1,65) - 2
n = 0,11 pour les liquides, Ts > Tm
n = 0,25 pour les liquides, Ts < Tm
n = 0 pour les gaz
0,5 < Pr < 200 (÷ 2000 pour une précision de 10%)104 < Red < 5.106
|Ts - Tm| < 6°C pour les liquides
0 < µ/µs < 40
propriétés pour Tm
Les relations (8.63) à (8.64) sont valables pour L/d ≥ 60. Pour les tubes courts il faut
tenir compte de la longueur d'entrée. Dans ce cas, il est judicieux d'utiliser la
• relation de NUSSELT
Nud = 0,036 Red0,8 Pr 0,33
d
L
0,055
(8.65)
pour 10 < (L/d) < 400
174 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
8.2.3 CONVECTION FORCEE POUR LES TUBES NON
CIRCULAIRES
Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes
circulaires en définissant le diamètre hydraulique comme
dh = 4 AP (8.66)
Ecoulement laminaire
Pour des sections rectangulaires nous définissons
Nud,h = α dhλ (8.67)
avec
dh = 2 a ba + b (8.68)
pour les sections avec coins les nombres de NUSSELT donnés dans le tableau 8.1
donnent de meilleurs résultats.
Ecoulement turbulent
Pour des écoulements turbulents (Red > 2300) nous remplaçons Nud et Red par Nud,h
et Red,h. Dans ce cas, la relation de DITTUS-BOELTER donne des résultats
satisfaisants.
Pour des tubes concentriques le diamètre hydraulique est défini par
dh = dext - dint (8.69)
TRANSMISSION DE CHALEUR 175
RESUME DU CHAPITRE 8
• Quand le fluide passe dans un canal fermé nous parlons d'écoulement interne.
Dans un tel cas on ne peut plus parler de couche limite car il n'existe plus d'écoulement
non visqueux dans le conduit.
• Après une longueur d'entrée le profil de vitesse ne varie plus, on dit qu'il est
"développé".
• L'écoulement dans un tube est caractérisé par le nombre de Reynolds (Red):
- pour Red ≤ 2300 l'écoulement est laminaire
- pour Red ≥ 4000 l'écoulement est entièrement turbulent
• Le profil de vitesse de l'écoulement laminaire entièrement développé est
parabolique.
• Le profil de vitesse de l'écoulement turbulent développé dans un tube est plus
plein que celui de l'écoulement laminaire et suit la loi du 1/7ème.
• La rugosité de la surface n'influence pas le coefficient de perte pour l'écoulement
laminaire. Pour l'écoulement turbulent par contre l'influence est importante.
• Le profil de température dans un tube chauffé est développé après une longueur
d'entrée. Les longueurs d'entrée hydrodynamique et thermique ne sont en général pas
identiques.
• La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon linéaire pour le casde flux de chaleur constant q s(x) = cte.
• La température moyenne de fluide dans un tube varie de façon exponentielle pourle cas de température de parois constante Ts(x) = cte.
• Seules les relations pour l'écoulement laminaire peuvent être calculées
théoriquement. Les corrélations pour la transmission de chaleur par convection dans un
écoulement turbulent sont obtenues par des essais systématiques. Elles sont
exprimées en général dans la forme Nud = f(Red, Pr).
176 CHAP.8 : CONVECTION POUR L'ECOULEMENT INTERNE
• Pour les tubes à section non circulaire, nous pouvons utiliser les relations des tubes
circulaires en définissant le diamètre hydraulique.
TRANSMISSION DE CHALEUR 177
9. LA CONVECTION LIBRE
9.1 Convection libre sur une paroi plane verticale
9.2 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces
externes
9.3 Correlations empiriques pour la convection libre sur les surfaces
internes
178 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
9. CONVECTION LIBRE
La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre ou
naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces
d'ARCHIMEDE qui dépendent du gradient de densité. L'origine de la force d'ascension
(d'Archimède) est normalement la force de gravité mais dans les machines rotatives elle
dépend de la force centrifuge.
Dans la plupart des cas le gradient de densité résulte d'une différence de température
dans le fluide.
Les vitesses des écoulements naturels sont généralement faibles, il en résulte que la
chaleur transmise est généralement plus faible que dans le cas des écoulements forcés.
La convection libre est considérée comme un phénomène important dans de nombreux
cas techniques (p.ex. chauffage par radiateur, "pipelines", appareils électroniques,
mouvements atmosphériques et mouvements de la mer, etc.).
La Fig. 9.1 montre l'exemple d'une condition instable (a) et d'une condition stable (b)
d'un fluide stratifié. Dans le cas (a) la distribution de densité provoque un mouvement
dans le fluide qui établit la condition stable. Dans le cas (b) la
y
ρ(y)
T(y)
y
ρ(y)
T(y)
a) stratification instable b) stratification stable
Figure 9.1 Conditions dans un fluide entre deux parois horizontales à
températures différentes
TRANSMISSION DE CHALEUR 179
x
y
u(y)
Ts > T∞
y
T∞
ρ∞
u∞ = 0
u(y)
y
T > T∞
x
T∞
ρ∞
u∞ = 0
ρ < ρ∞
a) convection libre sur un cylindre, b) convection libre sur une paroi
cas (I) verticale, cas (II)
u(y)
y
T∞
ρ∞
u∞ = 0
T > T∞
ρ < ρ∞
c) décharge d'un jet chaud dans un fluide, cas (I)
(I) écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)
(II) écoulement avec conduction naturelle le long d'une paroi
Figure 9.2 Modes de convection (libre ou naturelle)
180 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
distribution de densité entraîne une condition de stabilité qui se traduit par un fluide sans
mouvement. Dans ce cas la transmission de chaleur entre les deux parois s'effectue par
conduction.
Nous distinguons deux types de conduction libre:
• écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)
• écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi
La Fig. 9.2 montre des exemples pour les deux types de conduction libre.
9.1 CONVECTION LIBRE SUR UNE PAROI PLANE VERTICALE
Nous considérons la plaque plane verticale selon Fig. 9.2-b dont la température est plusélevée que le fluide qui l'entoure (Ts>T∞). Les forces d'ascension (force d'Archimède)
provoquent un écoulement montant le long de la paroi. La vitesse sur la surface est nulle
(u=0) à cause de la viscosité du fluide. Après avoir atteint un maximum, la vitesse tend
de nouveau vers u=0 à la frontière de la couche limite. La couche limite se développe
d'abord de façon laminaire et devient turbulente après une certaine longueur.
Pour analyser la transmission de chaleur par convection naturelle il faut d'abord formuler
l'équation de mouvement de la couche limite qui est définie par les équations de quantité
de mouvement et d'énergie.
La force de gravité réagit dans la direction x. Nous admettons un fluide incompressible
dont les propriétés sont constantes exceptée la densité, qui provoque la force
d'Archimède (approximation de BOUSSINESQ). Avec les simplifications mentionnées
nous pouvons appliquer l'équation (6.16) pour la couche limite.
u ∂u∂x + v
∂u∂y = -
1ρ
∂p∂x + Fm,x + ν ∂
2u∂y2 (9.1)
Sous l'influence de la gravitation la force d'ascension par unité de volume est
Fm,x = - ρ g (9.2)
Pour l'équation de quantité de mouvement dans la direction x nous obtenons ainsi
u ∂u∂x + v
∂u∂y = -
1ρ
∂p∂x - ρ g + ν ∂
2u∂y2 (9.3)
TRANSMISSION DE CHALEUR 181
Le gradient de pression dans la direction x résulte de la hauteur donc du poids par unité
de surface de l'élément fluide
∂p∂x = - ρ∞ g (9.4)
Introduit dans (9.3) nous obtenons
u ∂u∂x + v
∂u∂y =
gρ (ρ∞ - ρ) + ν ∂
2u∂y2 (9.5)
Avec le facteur de dilatation β
β = 1ρ
∂ρ
∂T p(9.6)
qui représente la variation de la densité en fonction de la température à pression
constante, dont la formule approchée est
β ≈ - 1ρ
ρ∞ - ρT∞ - T (9.7)
ou(ρ∞ - ρ) ≈ ρ β (T - T∞) (9.8)
qui, introduite dans (9.5), donne pour la couche limite de la conduction libre
u ∂u∂x + v
∂u∂y = g β (T - T∞) + ν ∂
2u∂y2 (9.9)
Notons que pour la définition de la couche limite il faut connaître la distribution de la
température.
L'équation d'énergie pour la conduction libre est identique à celle pour la convectionforcée (voir (6.32)) dans laquelle la dissipation (ν cp)(∂v/∂y)2 peut être négligée
u ∂T∂x + v
∂T∂y = Λ
∂2T∂y2 (9.10)
Il existe plusieurs approches pour la convection sur la plaque verticale. Dans la suite
nous présentons la solution d'OSTRACH (1953).
Les conditions aux limites sont
182 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
y = 0 : u = v = 0, T = Ts
y = ∞ : u = 0, T = T∞
Nous introduisons le paramètre de similitude
η ≡ 12
Grx 0,25 yx (9.11)
défini par le nombre de GRASHOFF
Grx ≡ x3 g β (Ts - Tf)
ν 2(9.12)
Le nombre de Grashoff peut être interprété physiquement comme la relation entre la
force d'ascension et les forces visqueuses dans un système avec convection libre. Il
joue un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée.
Les vitesses sont exprimées par une fonction de courant
ψ (x,y) = F(η)
4 ν
Gr
4 0‚25
(9.13)
Nous obtenons ainsi pour les composantes de la vitesse
u = ∂ψ∂y =
∂ψ∂η
∂η∂y =
2 νx Grx 0,5 F'(η) (9.14)
v = - ∂ψ∂x =
∂ψ∂η
∂η∂x =
νx 2
Grx 0,25 [ ]η F'(η) - 3 F(η) (9.15)
avec la définition de la température adimensionnelle
T* = T - TfTs - Tf
(9.16)
Nous obtenons pour les équations (9.9) et (9.10) après un calcul intermédiaireconsidérable deux équations ordinaires pour F(η)
F''' + 3 F F'' - 2 (F')2 + T* = 0 (9.17)
T*'' + 3 Pr F T*' = 0 (9.18)
TRANSMISSION DE CHALEUR 183
Pour les conditions aux limites
F'(0) = 0, T*(0) = 1
F'(∞) = 0, T*(∞) = 0
Le gradient de T* sur la paroi pour le coefficient de convection à la position x est donné
par
αx = - λ
∂T
∂y y=0Ts - T∞
= 12
λx Grx 0,25 f(Pr) (9.19)
Pour la paroi de longueur L nous obtenons après intégration sur une longueur L
αL = 43
12
λL GrL 0,25 f(Pr) (9.20)
Dans la forme adimensionnelle les valeurs locales(x) et la valeur moyenne pour x=L
sont données par
Nux = αx x
λ = 12
Grx 0,25 f(Pr) (9.21)
NuL = αL L
λ = 43
12
GrL0,25 f(Pr) (9.22)
Pour la fonction f(Pr) OSTRACH donne
f(Pr) = 0,67 Pr0,5 (0,861 + Pr)-0,25 (9.23)
184 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
Pr = 1
0,72
2
10
100 1000
0,3
0,2
0
F'(η)
0,1
0 1 2 3 5
Profil de vitesse pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une plaque
verticale
0 1 2 3 50
T*(η)
1
0,6
0,4
0,2
0,72
Pr = 1
2
10100
1000
Profil de température pour la convection libre dans la couche limite laminaire sur une
plaque verticale
Figure 9.3 Solution pour la paroi verticale selon OSTRACH
TRANSMISSION DE CHALEUR 185
qui, introduite dans (9.21, 9.22), donne finalement
Nux = 0,478 Grx 0,25 Pr 0,5 ( )0‚861 + Pr -0,25 (9.24)
NuL = 0,637 GrL 0,25 Pr 0,5 ( )0‚861 + Pr -0,25 (9.25)
La figure 9.3 montre la distribution de vitesse et de température dans la couche limite
selon OSTRACH.
Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le
produit (Gr Pr), c'est le nombre de RAYLEIGH
Ra ≡ x3 g β (Ts - Tf)
ν2 Pr (9.26)
qui, introduit dans (9.24) et (9.25) donne finalement
Nux = 0,478 Rax 0,25
1 + 0‚861
Pr-0,25
(9.27)
NuL = 0,637 RaL 0,25
1 + 0‚861
Pr-0,25
(9.28)
Convection libre dans la couche limite turbulente
La couche limite qui se développe sur une plaque verticale est d'abord généralement
laminaire sur une certaine longueur et, après un point de transition, acquiert un caractère
turbulent. Le point de transition dépend de la relation entre les forces d'ascension et les
forces visqueuses, donc du nombre de Grashoff resp. Rayleigh.
Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est
Grx,crit 4. 108
et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est
Rax,crit 109
La transmission de chaleur par convection libre sur la paroi verticale dans la couche limite
turbulente est définie par
186 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
Nux = 0,0295 Grx 0,4 Pr 0,466 ( )1 + 0‚494 Pr 0‚66 - 0,4 (9.29)
NuL = 0,0246 GrL 0,4 Pr 0,466 ( )1 + 0‚494 Pr 0‚66 - 0,4 (9.30)
9.2 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE SUR
LES SURFACES EXTERNES
La solution pour la plaque plane verticale nous montre la nature de la convection libre et
permet de définir les paramètres de similitude (Gr). Pour d'autres cas nous devons
recourir aux expériences pour obtenir les coefficients de convection. Il est également
difficile d'effectuer des mesures pour des écoulements à convection libre, considérant les
faibles vitesses mises en jeu (anémomètre à fil chaud, bulles d'hydrogène, anémomètre
à Laser). Pour la distribution de température on utilise la méthode d'interférométrie
(Mach-Zehnder Interférométrie, Holographie à Laser).
Les corrélations pour l'application pratique ont généralement la forme suivante
__Nu L =
_α Lλ = C Ra L
n (9.31)
Ra L = Gr L Pr = g β (Ts -T∞) L3
ν Λ (9.32)
TRANSMISSION DE CHALEUR 187
ϕ ϕ
plaque verticale
plaque horizontale
plaque horizontale
plaque inclinée
cylindre horizontal
sphère
-q+q
-q
+q
-q
+q
-q+q
+q
+q
configuration équation limites
(9.33) -
(9.36)
(9.37)
10 < Ra < 10
10 < Ra < 10
4L
7
7 11L
10 < Ra < 105L
10(9.38)
(9.33)
(9.34)
9LRa > 10 , ϕ < 60°
9LRa < 10 , ϕ > 60°
g ⇒ g cos ϕ
10 < Ra < 10-5
d12(9.39)
(9.40)Ra < 10
Pr > 0,7
d11
Tableau 9.1 Corrélations empiriques pour convection libre pour différentes
géométries
188 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
PLAQUE VERTICALE
Le nombre de Nusselt est défini selon CHURCHILL et CHU pour tout le domaine de
RaL par
__Nu L =
0‚825 + 0‚387 Ra L
0‚166
[ ]1+ (0‚492 / Pr) 0‚563 0‚2963
2
(9.33)
Pour le domaine laminaire (9.34) donne une meilleure approximation
__Nu L = 0‚68 +
0‚670 Ra L0‚25
[ ]1+ (0‚492 / Pr) 0‚563 0‚444
(0 < Ra L < 109) (9.34)
PLAQUE HORIZONTALE
Pour cette configuration la corrélation pour Nu dépend de la position de la surface en
contact avec le fluide et de la direction du fluide de chaleur (chauffé ou refroidi).
La longueur caractéristique est définie par
L ≡ AsP (9.35)
Pour la surface supérieure de la plaque chauffée ou inférieure de la plaque refroidie
__Nu L = 0,54 Ra L
0‚25 (104 < Ra L < 107) (9.36)
et__Nu L = 0,15 Ra L
0‚33 (107 < Ra L < 1011) (9.37)
Pour la surface inférieure de la plaque chauffée ou supérieure de la plaque refroidie
__Nu L = 0,27 Ra L
0‚25 (105 < Ra L < 1010) (9.38)
TRANSMISSION DE CHALEUR 189
PLAQUE INCLINEE
Pour l'écoulement laminaire l'équation (9.34) peut être utilisée avec remplacement de (g)par (g cos ϕ) dans la définition de RaL. Pour l'écoulement turbulent nous pouvons utiliser
l'équation (9.33) sans modification.
CYLINDRE HORIZONTAL
Cette géométrie représente un cas important et a été étudiée intensivement. Nous
présentons ici la relation de CHURCHILL et CHU qui est valable dans un large
domaine de Ra
__Nu d =
0‚60 + 0‚387 Ra d
0‚166
[ ]1+ (0‚559 / Pr) 0‚563 0‚296
2
(10-5 < Ra d < 1012) (9.39)
SPHERE
CHURCHILL recommande pour Pr>0,7 et Rad<1011 la relation
__Nu d = 2 +
0‚589 Ra d0‚25
[ ]1+ (0‚469 / Pr) 0‚563 0‚444(9.40)
9.3 CORRELATIONS EMPIRIQUES POUR LA CONVECTION LIBRE
SUR LES SURFACES INTERNES
CAVITE RECTANGULAIRE
Dans la cavité horizontale (ϕ=0°) les conditions sont instables pour (voir Fig. 9.4)
Ra L = g β (T1 -T2) L3
ν Λ > 1708 (9.41)
et il existe une transmission de chaleur par convection libre. Le nombre de Nusselt est
pour ce cas selon GLOBE et DROPKIN
190 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
__Nu L =
_α Lλ = 0,069 Ra L
0‚33 Pr L0‚074 (3*105 < Ra L < 7*109) (9.42)
Les propriétés physiques sont définies à la température Tm = (T1+T2)/2.Pour la cavité verticale (ϕ=90°)
__Nu L = 0,18
Pr
0‚2 + Pr Ra L 0,29
(9.43)
pour 1 < (H/L) < 2
10-3 < Pr < 105
103 < (Ra L Pr)/(0,2 + Pr)
et__Nu L = 0,22
Pr
0‚2 + Pr Ra L
0,28
H
L
-0‚25(9.44)
pour 2 < (H/L) < 10
Pr < 105
Ra L < 1010
et__Nu L = 0,42 Pr0,012 RaL
0‚25 ( )H
L
-0,3(9.45)
pour 10 < (H/L) < 40
1 < Pr < 2. 104
104 < Ra L < 109
Pour des cavités inclinées (p.ex. collecteur solaire)
__Nu L = 1 + 1,44
1 -
1708RaLcos ϕ
1 -
1708 (sin 1‚8 ϕ)1‚6
RaLcos ϕ +
+
RaLcos ϕ
5830
0‚33 - 1 (9.46)
pour (H/L) > 12 et 0 < ϕ < ϕ*.
TRANSMISSION DE CHALEUR 191
L'angle critique est une fonction de H/L
(H/L) 1 3 6 12 >12
ϕ* ° 25 53 60 67 70
Quand l'expression entre crochets [ ] est négative, on remet à zéro.
CYLINDRES CONCENTRIQUES
Les relations pour la transmission par convection entre de longs cylindres concentriques
est selon RAITHBY et HOLLAND
λeffλ = 0,386
Pr
0‚861 + Pr0‚25
(Rac*)0‚25 (9.47)
avec
Rac* = [ln (d2 / d1)]4
L3 ( )d1-0‚6 + d2
-0‚6 5 RaL (RaL 102 < Rac* < 107) (9.48)
ϕ
gT1
T2
LH
q
Ld 1
d 2
T 2
T 1
cavité rectangulaire cylindres concentriques
Figure 9.4 Définition des dimensions géométriques pour la convection libre sur les
surfaces internes
192 CHAP. 9 : LA CONVECTION LIBRE
RESUME DU CHAPITRE 9
• La transmission de chaleur entre un fluide et une paroi est appelée convection libre
ou naturelle quand le mouvement du fluide est provoqué uniquement par des forces
d'Archimède qui dépendent du gradient de densité.
• Nous distinguons deux types de conduction libre:
- écoulement avec conduction naturelle dans un espace ouvert (infini)
- écoulement avec conduction naturelle guidé par une paroi
• Le paramètre important pour la convection libre est le nombre de Grashoff. Il joue
un rôle similaire à celui du nombre de Reynolds pour la convection forcée.
• Pour simplifier les relations des problèmes de convection libre, on réunit souvent le
produit (Gr Pr), c'est le nombre de Rayleigh.
• Il existe une solution analytique pour le cas fondamental de la convection libre sur
une paroi plane verticale.
La vitesse tend vers u=0 à la frontière de la couche limite.
• La couche limite se développe d'abord de façon laminaire et devient turbulente
après une certaine longueur.
Le nombre de Grashoff critique pour la transition laminaire turbulente est Grx,crit ≈ 4. 108
et le nombre de Rayleigh critique pour la transition laminaire turbulente est Rax,crit ≈109.
• Il existe des corrélations empiriques pour la convection libre sur les surfaces
externes et les surfaces internes qui sont définies pour les géométries données par une
relation du type Nu = f( Gr, Pr) ou Nu = f( Ra, Pr).
TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 1
ANNEXE
A2 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE
matériau temp. de ρ cp λ
fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]
________________________________________________________________
METAUX
aluminium pur 933 2707 896 237
duralumin (AL-Cu) 2787 883 164
chrome 2118 7160 449 93,7
cobalt 1769 8862 421 99,2
cuivre pur 1358 8933 385 401
bronze commercial 1293 8800 420 52
(90% Cu, 10% Al)
or 1336 19300 129 317
fer pur 1810 7870 447 80,2
acier au carbone
(Mn<1%, Si<0.1%) 7854 434 60,5
magnésium 923 1740 1024 156
nickel pur 1728 8900 444 90,7
nichrome 1672 8400 420 12
(80% Ni, 20% Cr)
Tableau A.1-1 Propriétés thermiques des matériaux à 20°C
TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 3
matériau temp. de ρ cp λ
fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]
________________________________________________________________
inconel X-750 1665 8510 439 11,7
(73% Ni, 15% Cr, 6.7% Fe)
silicium 1685 2330 712 148
argent 1235 10500 235 429
étain 505 7310 227 66,6
titane 1953 4500 522 21,9
zinc 693 7140 389 116
carbone amorphe 1500 1950 - 1,60
Tableau A.1-2 Propriétés thermiques des matériaux à 20°C
A4 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE
matériau temp. de ρ cp λ
fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]
________________________________________________________________
SOLIDES NON METALLIQUES
asphalte 300 2115 920 0,062
bakélite 300 1300 1465 1,4
brique réfractaire au carbone 872 - - 18,5
" 1672 - - 11,0
brique au chrome 473 3010 835 2,3
" 823 2,5
" 1173 2,0
argile réfractaire,
brûlée 1600 K 773 2050 960 1,0
" 1073 - 1,1
" 1373 - 1,1
argile réfractaire,
brûlée 1725 K 773 2325 960 1,3
" 1073 1,4
" 1373 1,4
brique en argile réfractaire 478 2645 960 1,0
922 1,5
1478 1,8
coton 300 80 1300 0,06
Tableau A.1-3 Propriétés thermiques des matériaux
TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 5
matériau temp. de ρ cp λ
fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]
________________________________________________________________
verre
plaque (chaux de soude) 300 2,500 750 1,4
pyrex 300 2,225 835 1,4
glace 273 920 2040 1,88
253 - 1945 2,03
roche 2,79
quartz 300 2640 1105 5,38
caoutchouc, vulcanisé
mou 300 1100 2010 0,13
dur 300 1190 - 0,16
téflon 300 2200 - 0,35
bois, grain croisé
balsa 300 140 - 0,055
cyprès 300 465 - 0,097
sapin 300 415 2720 0,11
chêne 300 545 2385 0,17
pin jaune 300 640 2805 0,15
pin blanc 300 435 - 0,11
Tableau A.1-4 Propriétés thermiques des matériaux
A6 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE
matériau temp. de ρ cp λ
fusion [K] [kg/m3] [J/(kg K] [W/(m K)]
________________________________________________________________
ISOLATIONS
amiante 469 0,155
plaques de liège 160 0,043
laine de verre 24 0,0542
" 96 0,0377
laine minérale 64 0,0388
" 192 0,0391
Tableau A.1-5 Propriétés des matériaux à 20°C
TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE A 7
GAZ à p = 1 bar
T ρ cp µ 106 λ 103 Λ 106 Pr
(K) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -
air
300 1,1614 1007 18,46 26,3 22,5 0,707
1000 0,3482 1141 42,44 66,7 168 0,726
2000 0,1741 1337 68,9 137 589 0,672
ammoniac (NH3 )
300 0,6894 2158 10,15 24,7 16,6 0,887
500 0,4101 2467 17,3 52,5 51,9 0,813
bioxyde de carbone (CO2 )
300 1,773 851 14,9 16,55 11 0,766
500 1,059 1020 23,1 32,5 30,1 0,725
hélium (He)
300 0,1625 5193 19,9 152 180 0,680
1000 0,0488 5193 44,6 354 1400 0,654
fréon (C Cl2 F2 )
273 5748 11,52 8,34 0,794
293 5956 12,33 9,35 0,785
333 6331 13,9 11,44 0,769
373 6656 15,41 13,6 0,754
Tableau A.2-1 Propriétés thermophysiques des materiaux
A8 TRANSMISSION DE CHALEUR : ANNEXE
LIQUIDES SATURES
T ρ cp µ 102 λ 103 Λ 107 Pr
(K) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -
huile de machine
300 884,1 1909 48,6 145 0,859 6400
350 853,9 2118 3,56 138 0,763 546
400 825,1 2337 0,874 134 0,695 152
fréon (C Cl2 F2 )
300 1305,8 0,9781 0,0254 72 0,564 3,5
mercure (Hg)
300 13529 0,1393 0,1523 8540 45,3 0,0248
EAU saturée
T ρ cp µ 103 λ Λ 107 Pr
(°C) (kg/m3) (J/kg K) (N s/m2) (W/m K) (m2/s) -
0 999,8 4218 1,791 0,5619 1,3324 13,45
20 998,3 4182 1,003 0,5996 1,4362 6,99
40 992,3 4179 0,6531 0,6286 1,5158 4,34
60 983,1 4186 0,4668 0,6507 1,5812 3,00
80 971,6 4195 0,3550 0,6668 1,6359 2,23
100 958,1 4215 0,2822 0,6775 1,6776 1,76
200 864,7 4498 0,1336 0,6634 1,7056 0,91
300 712,2 5758 0,0858 0,5450 1,3290 0,91
Tableau A.2-2 Propriétés thermophysiques des materiaux