TransparentsFiltrageAnalogique complet 2013

Filtrage Analogique

T.Ditchi

Licence de Sciences et Technologies Mention Ingénierie Electronique

I. Introduction

2

Filtrage analogique élimination d'une partie du spectre d'un signal

- Radiocommunication : sélection du canal

- élimination d'un bruit

- sélection de fréquence à la sortie d'un circuit non linéaire ( mélangeur, oscillateur…)

- analyse spectrale

Filtrage numérique même application que le filtrage analogique

+ transformation de signaux

- apparition d'échos

- modification d'une voix

- ….

- ….

3

I. Introduction

les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels)

- fréquences BF ( 0 à qq MHz )

car gain AOP…

les filtres passifs

- fréquences HF (qq 10 MHz 1GHz) ou µOnde (1GHz 100GHz)

car inductances…

les filtres à résonateurs

- à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz )

- cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz 100GHz )

les filtres à ondes de surface

- qq 100 MHz

4

I. Introduction

les filtres passifs en µOnde

Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,…

Technologie Lignes

Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC)

I. Introduction

5

1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz

les filtres passifs à composants

les filtres actifs AOP

filtres à quartz

filtres à cavité

filtres passifs àlignes et hybride

filtres à onde de surface

MMIC

6

I. Introduction

7 8

II. Les systèmes linéaires

9

Signal : Toute grandeur physique

Température = fonction ( lieu)

Tension = fonction ( temps )

Signaux : continus(physique) ou discontinus(approximation de certains cas physiques)

transitoires commence à un instant (t=0)se termine au bout d'un temps fini ou

périodiques

0t → ∞→

10


Exemples de signaux

Signal sinusoidal

Signaux transitoires ou impulsionnels

Portes

Impulsion triangulaire

Echelon de Heavyside

Impulsion exponentielle

Impulsion de Dirac

Signaux périodiques discontinus

peignes

créneau

TΠ

T∆

/ ( )t Te u t−

( )u t

( )tδ

1/T

2/T

T

T

11


Définition de l'Impulsion de Dirac : δ(t)

( ) 1t dtδ+∞

−∞=∫δ(t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité :

/

0 0 0( ) lim( ) lim( ) lim( ( ))t T

T TT T Tt e u tδ −

→ → →= Π = ∆ =

/ ( ) 1t TT Tdt dt e u t dt

+∞ +∞ +∞ −

−∞ −∞ −∞Π = ∆ = =∫ ∫ ∫On remarque que :

δ

t

T∆

t

T∆

t

T∆

t

T∆

t…

Exemple avec l’impulsion triangulaire

12


Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : δ(t)

( )tδ

t0

0( )t tδ −

t0 t0

0( )t tδ −

t0

e(t0) δ(t-t0)

xt0

e(t)

t0

0 0 0( ). ( ) ( ) ( )e t t t e t t tδ δ− = −

13


e1(t) s1(t)

linéaires : α e1(t) + β e2(t) α s1(t) + β s2(t)

Invariant dans le temps :

e (t-τ) s (t-τ)

(e retardé de τ) (s retardé de τ)

Système

Système LinéaireIndépendant du temps

S.L.I

e2(t) s2 (t)

14


signal e(t) et signal approché ~e(t) :

e(t)

t

~e(t)

~ ( ) ( ) ( )Tn

e t e t nT t nT T+∞

=−∞= = Π −∑

ε(t)=e (t) - ~e(t)T 0

0

donc 0

( ) lim ( ) ( )TT

n

e t e t nT t nT T+∞

→ =−∞

= = Π − ∑

( ) ( ') ( ') ' ( ) ( )e t e t t t dt e t tδ δ+∞

−∞

= − = ∗∫ Produit de convolution

Impulsion carrée amplitude 1/T

15


( ') ( ')) '( e t t t dte t δ+∞

−∞

= −∫ ( ) ( ') ( ') 's t e t h t t dt+∞

−∞

= −∫

( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗

δ(t) h(t) réponse impulsionnelleS.L.I

t0

δ(t-t') h(t-t')S.L.I

tt'0

e(t)

tS.L.I

s(t)

0

S.L.It0

16


( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗

δ(t)

h(t) réponse impulsionnelle

e(t)

17


18

19 20

III. Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace et de Fourier

21

III.1 Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace

22

Propriétés Signal temporel

Transformée de Laplace

( )s t ( )S p

Linéarité 1 2( ) ( )a s t b s t+ 1 2( ) ( )a S p b S p+

Dérivation temporelle

'( ) ( )s t s tt

∂=∂

( ) ( 0 )p S p s t +− =

Dérivation ( ) ( ) ( )

nn

ns t s t

t

∂=∂

1 2 ( 2) ( 1)( ) ( 0 ) '( 0 ) .... ( 0 ) ( 0 )n n n n np S p p s t p s t p s t s t− + − + − + − +− = − = − − = − =

Intégration

0( ') '

ts t dt∫

( )S p

p

Convolution 1 2( ) ( )s t s t∗ 1 2( ) ( )S p S p

1 2( ) ( )s t s t 1 2( ) ( )S p S p∗

0( ) ( ) p tS p s t e dt

+∞ −= ∫

Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux)

1( ) ( )

2p ts t S p e dp

jπ+∞

−∞= ∫ S(p)

T.L

T.L-1

s(t<0)= 0

s(t)

III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace

23

n° s(t) causaux ( s(t<0)=0 ) S(p)

1 Dirac δ(t) 1

3 Echelon de Heavyside u(t) 1/p

6 e-a t 1 / (p+a)

9 ( 1-e-a t) ( )

a

p p a+

11 a t b te e− −− ( )( )

b a

p a p b

−+ +

17 1

1 ( )a t b tb e a eb a

− −− −−

( )( )

a b

p p a p b+ +

18 2

2sin( 1 )

1N tN

Ne tζ ωω ω ζζ

− −−

2

2

1

2 1N N

p pζω ω

+ + avec ζ <1

19

2

2

11 sin( 1 )

1N t

Ne tζ ω ω ζ ψζ

−− − +−

avec

21( )arctg

ζψζ−

=

2

2

1

2 1N N

p pp ζ

ω ω

+ +

avec ζ

<1

24


e(t) s(t)Système

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m

d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t

dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

Par Transformée de Laplace

2 22 1 0 2 1 0( ) ( )

[...] ( 0 ) [...] ( 0 )

[...] '( 0 ) [...] '( 0 )

b p b p b S p a p a p a E p

s t e t

s t e t

+ +

+ +

+ + + +

+ = = + =+ = + =

2 2

2 1 0 2 1 02

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n

d s t ds t d e t de tb b b s t a a a e t

dt dt dt dt+ + = + +

Dans le cas d’un système du 2nd degré

25


2 22 1 0 2 1 0( ) ( )

[...] ( 0 ) [...] ( 0 )

[...] '( 0 ) [...] '( 0 )

b p b p b S p a p a p a E p

s t e t

s t e t

+ +

+ +

+ + + +

+ = = + =+ = + =

Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-)

2 22 1 0 2 1 0( ) ( )b p b p b S p a p a p a E p + + = + +

C'est-à-dire 2

2 1 0

22 1 0

( )

( )

a p a p aS p

E p b p b p b

+ + = + +

22 1 0

22 1 0

( )a p a p a

H pb p b p b

+ + = + +

noté

Fonction de Transfert (opérationnelle) 26


plus généralement

Fonction de Transfert (opérationnelle)

11 0

11 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a p a p aS pH p

E p b p b p b

−−

−−

+ + += =+ + +

Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II

e(t)Système

( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗

T.L

( ) ( ) . ( ( ))S p E p TL h t=

Donc ( ) ( ( ))H p TL h t=

la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle 27


Calculons la fonction de transfert de ce système

e(t) s(t)

T.L

- e s R i= ( ) - ( ) ( )E p S p R I p=

dsi C

dt= ( ) ( )I p C p S p=

d'où - E S R C p S=

c.a.d1

1

SH

E R C p= =

+

Domaine temporel Domaine de Laplace

1( )CZ

Cp=

28


Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système

e(t) s(t)

T.L-1

( ) 1E p =

Domaine temporel Domaine de Laplace

c.a.d1 1/

1 1 /

RCS

R C p p RC= =

+ +

1 1

S

E R C p=

+or

T.L

/1 t RCs e

RC−=

( ) (t)e t δ=

29


III.2 Les systèmes linéaires Par Transformée de Fourier

30

Transformée de Fourier

Etudions maintenant la réponse des systèmes àun signal d'entrée périodique

31

Série de Fouriersignaux périodiques (T0 = 1/f0)

0( ) j n tn

n

s t c e ω+∞

=−∞

= ∑ où ω0 = 2 π /T0

où0

0

0

/ 2

/ 2( )

T j n tn T

c s t e dtω−

−= ∫

par exemple : créneau de périodeT0

0 T0 2T0

t

0

0

0

0

0.5

2 / cos( )

2 / 3 cos(3 )

2 / 5 cos(5 )

2 / 7 cos(7 )

t

t

t

t

π ωπ ωπ ωπ ω

III.2 Transformée de Fourier

32

Série de Fourier d'un créneau de période T0

0 T0 2T0

t

t

33


Signaux non périodiques (période infinie)signaux périodiques (période finie)

0( ) j n tn

n

s t c e ω+∞

=−∞

= ∑0

0

0

/ 2

/ 2( )

T j n tn T

c s t e dtω−

−= ∫

( ) ( ) j ts t S f e dfω+∞

−∞= ∫

( ) ( ) j tS f s t e dtω+∞ −

−∞= ∫

Transformée de FourierSérie de Fourier

34


T.F

par exemple : porte de largeur T

t

s(t)

f0

|S(f)|=T sinc(π f t)

0 T0 2T0

par exemple : créneau de périodeT0

t

s(t)

T.F

f0 f0 3f0 5f0

|S(f)|

35


n° s(t) S(f)

Linéarité 1 2( ) ( )a s t b s t+ 1 2( ) ( )a S f b S f+

Dérivation temporelle '( ) ( )s t s t

t

∂=∂

( )j S fω

Convolution 1 2( ) ( )s t s t∗ 1 2( ) ( )S f S f

1 2( ) ( )s t s t 1 2( ) ( )S f S f∗

Dirac δ(t) 1

Peigne de Dirac ( ) ( )eT e

n

pgn t t nTδ+∞

=−∞

= −∑ 1 1

( )ne e

f nT T

δ+∞

=−∞

−∑

s(t-t0)

0 ( )j te S fω−

0( )S f f−0 ( )j te s tω

36


e(t) s(t)Système

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m


dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

Réponse fréquentielle

11 0

11 0

( ) ( ) ...( )( )

( ) ( ) ( ) ...

m mm m

n nn n

a j a j aS fH f

E f b j b j b

ω ωω ω

−−

−−

+ + += =+ + +

Par Transformée de Fourier :

11 0

11 0

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

n nn n

m mm m

b j S f b j S f b S f

a j m E f a j E f a E f

ω ωω ω

−−

−−

+ + +

= + + +

Obtenue en remplaçant p par jωdans la fct de transfert opérationnelle

37


Réponse fréquentielle

( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗e(t)Système

T.F

( ) ( ) . ( ( ))S f E f TF h t=

Donc ( ) ( ( ))H f TF h t=

la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle

11 0

11 0

( ) ( ) ...( )( )

( ) ( ) ( ) ...

m mm m

n nn n

a j a j aS fH f

E f b j b j b

ω ωω ω

−−

−−

+ + += =+ + +

38


Calculons la réponse fréquentielle de ce système

e(t) s(t)

T.F

- e s R i= ( ) - ( ) ( )E f S f R I f=ds

i Cdt

= ( ) ( )I f C j S fω=

d'où - E S R C j Sω=

c.a.d1

1

SH

E j RCω= =

+

Domaine temporel Domaine de Fourier

1( )CZ

jCω=

39


Prenons une entrée sinusoïdale :

or

0 0( ) cos( )e t e tω= T.F [ ]00 0( ) ( ) ( )

2

eE ω δ ω ω δ ω ω= − + +

La réponse à cette entrée vaut :

[ ]00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

eS E H Hω ω ω δ ω ω δ ω ω ω= = − + +

[ ]00 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

eS H Hω ω δ ω ω ω δ ω ω= − + − +

0( )0 0( ) | ( ) | jH H e ϕ ωω ω=

0 0( ) ( )00 0 0( ) | ( ) | ( ) ( )

2j je

S H e eϕ ω ϕ ωω ω δ ω ω δ ω ω− = − + +

et 0( )0 0( ) | ( ) | jH H e ϕ ωω ω −− =

donc

40


T.F-10 0 0 0( ) ( )0

0( ) | ( ) |2

j j t j j tes t H e e e eϕ ω ω ϕ ω ωω − − = +

0 0( ) ( )00 0 0( ) | ( ) | ( ) ( )

2j je

S H e eϕ ω ϕ ωω ω δ ω ω δ ω ω− = − + +

donc

( )0 0 0 0( ) | ( ) | cos ( )s t e H tω ω ϕ ω= +

•Le gain G(ω0) du système e0/s0 à ω0 = | H(ω0) |

•Le déphasage ϕ(ω0) de s(t) par rapport à e(t) àω0= argument( H(ω0) )

Diagramme de Bode = représentation de | H(ω0) | et de ϕ(ω0)

41


42

43 44

III.3 Diagramme de Bode

45


Cad

( )0 0 0 0| ( ) | cos ( )e H tω ω ϕ ω+

•Le gain

•Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = ϕ(ω0) =argument( H(ω0) )

Diagramme de Bode = représentation de log10| H(ω) | et de ϕ(ω)

0 0cos( )e tω

On a montré que :

Système

0 0( ) ( )G Hω ω=

46

Exemple : soit un filtre du 1er ordre 1

( )1

Hj

ωωτ

=+

2

10 10 10 2

1( ) 20 log ( ) 10 log ( ) 10 log

1 ( )dBG H Hω ω ωωτ

= = = +

( ) ( )1

arctgωτϕ ω = −et 10( ) 20 log ( )dBG Hω ω=

( )210( ) 10 log 1 ( )dBG ω ωτ= − +

47


( )( )210 10

0lim 10 log 1 ( ) 10 log (1) 0dBG dBω

ωτ→

= − + = − =

Comportement asymptotique

comportement du système à certaines fréquences caractéristiques

par ex qd ω0 ou qd ω∞

Droite horizontale 0 dB

Quand ω0

48



( )( )2 210 10 10lim 10 log 1 ( ) 10 log (( ) ) 20 log ( )

ωωτ ωτ ωτ

→∞− + = − = −

( )lim 20 log( ) 20 log( )dBGω

ω τ→∞

= − −

Droite de pente -20 dB/décade

d’ordonnée à l’origine 20 log( )τ−

quand ω 10 ω alors -20 log(ω) -20 log(10ω)=-20log(ω)-20

Quand ω∞

49



( )lim dBGω →∞

Droite horizontale 0dB

Droite de pente -20 dB/decade

d’ordonnée à l’origine 20 log( )τ−

( )0

lim dBGω →

1E41E3 1E5

-20

-15

-10

-5

-25

0

freq, Hz

dB(o

ut)

50



Les asymptotes se croisent quand 21010 log (( ) ) 0ωτ− =

21010 log (( ) )G ωτ= −0G dB=

cad quand ω=1/τ

et G(ω=1/τ )= -3dB

-3dB

1E41E3 1E5

-20

-15

-10

-5

-25

0

freq, Hz

dB(o

ut)

51


-45° pour ω=1/τ

( ) ( )arctgϕ ω ωτ= −

1E41E3 1E5

-80

-60

-40

-20

-100

0

freq, Hz

phas

e(ou

t), d

eg

52


IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre

53

ζ=0.1

ζ=0.3

ζ=0. 707

ζ=6

IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre

Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients

d’amortissement ζ

54

ζ=0.1

ζ=0.3

ζ=0. 707

ζ=6

Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients

d’amortissement ζ

55


ζ=1

ζ=0.707

ζ=0. 1

ζ=0.3

ζ=3

Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement ζ

56


V. Gabarits – Normalisation -Transposition

57

Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?

V. Gabarits – normalisation - transposition

58

G|H(ω)|

ωωp

59

0

1

fréquences

| H(f) |

0



60

| H(f) |

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Arg(H(f))


TF-1

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

h(t)

temps

fréquences-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Non causal !!!


G

Gmax

Gmin

0

1 fa/fp=1/k

ωn

ωωaωp

Passe Bas

61


G

Gmax

Gmin

0

1

ωn

ωωpωa

Passe Haut fa/fp=1/k

62


G

Gmax

Gmin

0

1

ωn

0 1/ω ω 0 2/ω ω

ω1ω22

' 01

1

ωωω

=2

' 02

2

ωωω

=

ωωp= ω’

1 – ω1

ωa= ω’2 – ω2

Passe Bande2 0/ω ω 1 0/ω ω

ω0

63


G’

Gmax

Gmin

0

ω0

ω

ω1ω2

2' 01

1

ωωω

=2

' 02

2

ωωω

=

ωp

ωn

11 0/ω ω 0 2/ω ω2 0/ω ω 0 1/ω ω

2 /p aω ω

Coupe Bande

64


65 66

67

VI. Recherche de H(p) à partir de |H(ω)|

68

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires(poly chapitre 2 - page 10)

69

e(t) s(t)Système

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m


dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

2 ( ) ( )( ) ( )

n

d s t ds tLC RC s t e t

dt dt+ + =

Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2emeordre

( ) ( )di

e t R i L s tdt

= + +

( )ds

i t Cdt

=e(t)

i(t)

s(t)

R L

11 0

11 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a p a p aS pH p

E p b p b p b

−−

−−

+ + += =+ + +de fonction de Transfert :

70

VI.1 Stabilité des systèmes linéaires

solution générale: solution de l'équation sans second membre

cad ( e(t)=0 régime libre)

Solutions de l'équation différentielle :

+ solution particulière: solution de l'équation avec second membre

cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent)

2 ( ) ( )( ) ( )

n

d s t ds tLC RC s t e t

dt dt+ + =

71

Stabilité

étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0

un système est dit stablesi quand e(t>0) = 0lim ( ) 0t

s t→∞

=

1

1 01

( ) ( )... ( ) 0

n n

n nn n

d s t d s tb b b s t

dt dt

−

− −+ + + =

les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle

0 ,p te p t≠ ∀

.......... ;n p t

n p tn

d ep e

dt=

p tp tde

p edt

=et on a :2

22

;p t

p td ep e

dt=

d'où :

or :

11 0... 0n p t n p t p t

n nb p e b p e b e−−+ + + =

donc : 11 0... 0n n

n nb p b p b−−+ + + = appelée équation caractéristique

72


résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de

l'équation caractéristique : 11 0... 0n n

n nb p b p b−−+ + + =

Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn

sont soient simples réelsou complexes, ou bien doubles réels.

i ip α= i i ip jα σ= ± 'i i ip p α= =

( ) i ts t eα=

( ) cos( ) sin( )i it ti is t c e t d e tα αω ω= +

( ) ( ) i ts t c t d eα= +

C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert.

73


( ) i ts t eα=

( ) cos( ) sin( )i it ti is t c e t d e tα αω ω= +

( ) ( ) i ts t c t d eα= +

dans tous les cas, réponse stable si : αi < 0

74

Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc :

où αi = Re( pôles de H(p) )


Conclusion1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m


dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

s(t) stablesi les pôles de la fonction de transfert sont àRe< 0

Dans le plan complexe

Systèmes instables

Re(pi)

Im(pi)pi

p*i

Systèmes stables

11 0

11 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a p a p aS pH p

E p b p b p b

−−

−−

+ + += =+ + +

fonction de transfert

75


VI.2 Recherche de H(p) stable

76

77

On connait ou

on choisit

( )H ω

Pour déterminer

e(t) s(t)

K=1

R0 R0

q C0

m C0

On cherche

( )H p


e(t) s(t)S.L.I

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m


dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps

11 0

11 0

( ) ( ) ... ( )( ) ( )

( ) ( ) ... ( )

m mm m

n np jn n

a j a j a N jH H p

b j b j b D jω

ω ω ωωω ω ω

−−

−=−

+ + += = = ∈+ + +

ℂ

La réponse fréquentielle H(jω) s'écrit :

78


11 0

11 0

( ) ( ) ... ( )( ) ( )

( ) ( ) ... ( )

m mm m

n np jn n

a j a j a NH H p

b j b j b Dω

ω ω ωωω ω ω

−−

−=−

+ + += = = ∈+ + +

ℂ

2 4 2 40 2 4 1 3 5( ) ... ...D b b b j b b bω ω ω ω ω ω = − + − + − + −

2 3 40 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ....D b b j b j b j b jω ω ω ω ω= + + + + +

2 21 2( ) ( ) ( )D D j Dω ω ω ω= +

fct Réelle paire en ω

fct réelle paire en ω

impaire en ω

propriété de |H(ω)|

1°) propriété de |H(w)|

79


2 21 2( ) ( ) ( )N N j Nω ω ω ω= +

fct Réelle paire en ω

fct réelle paire en ω

impaire en ω

de même

2 21 2

2 21 2

( ) ( )( )

( ) ( )

N j NH

D j D

ω ω ωωω ω ω

+=+d'où


80


2 2 2 2 22 1 2

2 2 2 2 21 2

( ) ( )( )

( ) ( )

N NH

D D

ω ω ωωω ω ω

+=+

cad est une fonction de ω2 uniquement2( )H ω

donc


81


1 2

1 2

( ) ( ) ....( )( )

( ) ( ) ....( )m

n

p z p z p zH p K

p p p p p p

− − −=− − −

où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p)

pôles et zéros de H(p) H(-p)

et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p)

On a vu que :

- les pôles et les zéros de H(p) sont soient réelssoient complexes conjugués

- Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum)

d'où la répartition suivante :

Re

Impi

p*i

zi

zi*

2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)

82


1 2

1 2

( ) ( ) ....( )( )

( ) ( ) ....( )m

n

p z p z p zH p K

p p p p p p

− − − − − −− =− − − − − −

de plus

1 2

1 2

( ) ( ) ....( )( ) ( 1)

( ) ( ) ....( )n m m

n

p z p z p zH p K

p p p p p p+ + + +− = −

+ + +cad

donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous

Im

Re

pi

p*i

zi

zi*

-pi

-p*i

-zi

-zi*

2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)

83


* ( ) ( )p j

H H pω

ω=−

=de plus :

donc [ ]2 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )p j

H H H H p H pω

ω ω ω=

= = −

donc2

/( ) ( ) ( )

p jH p H p H

ωω

=

− =

|H(ω)|2 est fct de ω2 uniquement

3°) Calcul de H(p)

3°) Calcul de H(p)

donc* ( ) ( )

p jH H p ωω

== −

( ) ( )p j

H H pω

ω=

=

2 2

2( )

pH

ωω

=−

=

On sait que :

84


donc2 2

2( ) ( ) ( )

pH p H p H

ωω

=−

− =

connuinconnu

On cherche H(p) stable et à déphasage minimum

Re

Impi

p*i

zi

zi*

-pi

-p*i

-zi

-zi*

On ne garde que ces pôles et zéros que l’on associe à H(p)

3°) Calcul de H(p)

85

On élimine ces pôles et zéros que l’on associe à H(-p)


par ex :2

4

1( )

1 2H ω

ω=

+

d'où( )2

2

22

1( ) ( ) ( )

1 2pH p H p H

pωω

=−− = =

+ −

cad4

1( ) ( )

1 2H p H p

p− =

+

recherche des pôles et des zéros :

- pas de zéro

- pôles : 41 2 0p+ = 4 2 (2 1)0.5 0.5 0.5j k j kp e eπ π+= − = − =cad

(2 1)40.84

j kp e

π+=cad

3°) Calcul de H(p)

86


cad

40.84j

eπ3

40.84j

eπ

5

40.84j

eπ 7

40.84j

eπ

3 5

4 4

( )

( 0.84 ) ( 0.84 )j j

KH p

p e p eπ π=

− −

3°) Calcul de H(p)

87


cad

3 5

4 4

( )

( 0.84 ) ( 0.84 )j j

KH p

p e p eπ π=

− −

2( )

2 0.5

KH p

p p=

+ +

Et on peut choisir 0.5K = Pour obtenir une fct normalisée( gain max = 1)

3°) Calcul de H(p)

88

2( )

2 0.5

KH p

p p=

+ +2

4

1( )

1 2H ω

ω=

+

donc


VII. Prototypes de Filtres

89

VII.1 Temps de propagation de groupe -retard de phase

90

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 cos cos

2 2

d d d de t t t

ω ω ω ω ω ω ω ω− + + − − + =

[ ] [ ]0( ) 2 cos cose t t d tω ω=

( )e t 0cos( )d tω ω= − 0cos( )d tω ω+ +

91

VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 ( )cos ( ) dd t ω ωω ω ϕ − − −=

0 ( )( ) 2 cos( ) cos ( )d

s t t d tdω

ϕω ϕ ωω

= + +

[ ]0 ( )( ) 2 cos( ) coss t t d t dωω ϕ ω ϕ= + +

0 ( )cos ( ) dd t ω ωω ω ϕ + + ++ ( )s t

92


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Retard de phase Temps de propagation de groupe

00

( ) 2 cos cos ( )d

s t t d td

ϕ ϕω ωω ω

= + +

[ ]0( ) 2 cos( ) cose t t d tω ω=

0w

ϕ−dw

dϕ−

93


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ϕ(ω)

94


Carré filtré avec déphasage linéaireen fct fréq

Carré initial

Carré initial

Carré filtré avec déphasage NON linéaireen fct fréq

Déformation

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.80 2 4 6 8 10 12 14

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ϕ(ω)

95


96

phase = fonction linéairede la fréquence

Pas de Pas de déformationdes signaux dans la bande passante


VII.2 Prototypes

97

2

2 2( 1) 2 2 21 1

1 1( )

... 1 ( )n nn n

Ha a a A

ωω ω ω ω−

−

= =+ + + +

1°) Filtres de Butterworth


Réponse la plus plate possible

( ) ( ) ( )2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

0 0 0

0 ; 0 ; ..... ; 0( ) ( ) ( )

n

n

A A A

ω ω ωω ω ω

−

−

= = =

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

1 2 10 ; 0 ; ..... ; 0na a a −= = =

calcul de H(ω)

98

VII.2 Prototypes

2

2

1( )

1nn

Ha

ωω

=+

cad

La fréquence normalisée vaut : ωn = ω/ωp

2

2

2

1( )

1n

np

H ωωω

=+

d'où

2

2

1( )

1nn

H ωω

=+


On désire normaliser à -3dB

Donc on veut ( ) 3pG dBω ω= = −2

2

1 1( )

1 2p nn p

Ha

ωω

= =+

21/ nn pa ω=

99

VII.2 Prototypes

2

1( ) ( )

1n n nn

H p H pω

− =+

Calcul de la fonction de Transfert

2 2

2

2 2

1 1( ) ( ) ( )

( ) 1 ( 1) 1n nn n n n n n

pn n

H p H p Hp pω

ω=−

− = = =− + − +

On cherche les pôles deH(pn) H(-pn)

2( 1) 1 0n nnp− + =


100

VII.2 Prototypes

2 4

1( ) ( )

( 1) 1n nn

H p H pp

− =− +

Prenons par exemple une fonction d'ordre 2

4 1np = −cad

4 1 0np + =pôles

4 2 (2 1)j k j knp e eπ π π+ += =donc

(2 1) / 4j knp e π+=donc

/ 4 3 / 4 5 / 4 7 / 4; ; ;j j j jnp e e e eπ π π π=donc


101

VII.2 Prototypes

qui se répartissent comme suit :

/ 4 3 / 4 * 5 / 4 * 7 / 41 1 1 1; ; ;j j j jp e p e p e p eπ π π π= − = − = =

Pour calculer H(p) on ne doit garder que les pôles à partie réelle négative

Re

Imp1-p1

-p1* p1

*


102

VII.2 Prototypes

cad 3 / 4 * 5 / 41 1;j jp e p eπ π− = − =

Re

Im-p1

-p1*

et H(pn) vaut :( )( )3 /4 5 /4

( )n j jn n

KH p

p e p eπ π=

− −

2

1( )

1 2n

n n

H pp p

=+ +

cad


103

VII.2 Prototypes

n 1/H(pn)

1 pn+1

2 pn²+1,414pn+1

3 (pn+1)(pn²+pn+1)

4 (pn²+0,7654pn+1)(pn²+1,8478pn+1)

5 (pn+1)(pn²+0,6180pn+1)(pn²+1,6180pn+1)

6 (pn²+0,5176pn+1)(pn²+1,414pn+1)(pn²+1,9318pn+1)

7 (pn+1)(pn²+0,4450pn+1)(pn²+1,247pn+1)(pn²+1,8022pn+1)

8 (pn²+0,3986pn+1)(pn²+1,111pn+1)(pn²+1,6630pn+1)(pn²+1,9622pn+1)


104

VII.2 Prototypes

|H(ωn)| Filtres de Butterworth

- pas d'ondulation dans la bande

- pulsation de référence (ωn=1) =pulsation de coupure à -3dB

-3dB

10.1 10

n=1

n=2

n=3

n=4

asymptotes en

-20 n dB/decade

ωn


105

VII.2 Prototypes

0°

- 360°

- 45°

-90°

- 270°

-180°

10.1 10ωn

n=1

n=2

n=3

n=4

- 135°

Phase de H(ωn) Filtres de Butterworth


106

VII.2 Prototypes

2°) Filtres de Chebychev


1 2( ) 2 ( ) ( )n n nT x xT x T x− −= −

A) Polynomes de Chebychev

0 ( ) 1T x = 1( )T x x=

00 0.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 11 1.21.2--55

00

55

1010

1515

2020

2525

TT22

TT33

TT44

TT55

TT66

TTnn(x)(x)

107

VII.2 Prototypes

2 2 22

1( ) 1 ( )

( )n n n

n

A TH

ω ε ωω

= = +B) Filtres de Chebychev de type I

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n=2

n=4

n=3

|H(ωn)|2

ωn

ε=0.1


108

VII.2 Prototypes

2 2 22

1( ) 1 ( )

( )n n n

n

A TH

ω ε ωω

= = +

0.1 1 10-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0.1 1

-1

0

ε=0.5 1 dB d'ondulation

ordres 2 à 6

-2


109

VII.2 Prototypes

2 2 22

1( ) 1 ( )

( )n n n

n

A TH

ω ε ωω

= = +

C) Propriétés des Filtres de Chebychev

- n oscillations dans la bande passante

- "equal ripple"

- ondulation fonction de ε

- ondulation ε=1 ondulation=3 dB

ε=0.5 ondulation=1 dB

- |H(ωn=1)| = - ondulation ≠ -3 dB en général

- asymptotes en -20n dB/decade

- Coupure + raide que Butterworth

- phase – linéaire que Butterworth


110

VII.2 Prototypes

3°) Filtres de Legendre

3°) Filtres de Legendre (Papoulis)

2 2 22

1( ) 1 ( )

( )n n n

n

A LH

ω ε ωω

= = +

où Ln(x)

n Ln(x)1 x2 x2

3 3 x3 -3 x2 + x4 6 x4 – 8 x3 + 3 x2

5 20 x5 -40 x4+ 28 x3 -8 x2 + x6 50 x6 – 120 x5 + 105 x4 – 40 x3 +6 x2

111

VII.2 Prototypes

10-1

100

101

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

ordre 2 à 5


112

VII.2 Prototypes

0.1 1-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

ordre 2 à 5

ε=1 gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passanteε=0.5 gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante


113

VII.2 Prototypes 4°) Filtres de Cauer

4°) Filtres de Cauer2

2

2

( )( )

( )n

n

n

NH

D

ωωω

=

1

nb extrema dans la bande passante = ordre du filtre

nb zéro = Ent(ordre du filtre /2)

zéros

114

VII.2 Prototypes

C) Propriétés des Filtres de Cauer

- n oscillations dans la bande passante

- asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade

ordres pairs : asymptote horizontale

- phase – linéaire que Chebychev


22

2

( )( )

( )n

nn

NH

D

ωωω

=

- |H(ωn=1)| = - ondulation ≠ -3 dB en général

- Coupure + raide que Chebychev

115

VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel

5°) Filtres de Bessel

Recherche de la phase la + linéaire possible

Distorsion du signal la + faible possible

116

VII.2 Prototypes

0.1 1 10-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Bessel ordre 2 à 6

ordre 2

temps de propagation de groupe(τ = -dϕ/dω) ( u.a)

pulsations normalisées (ωn)

ordre 3

ordre 4

ordre 5

ordre 6


117

VII.2 Prototypes


0.1 1 10-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Bessel ordre 2 à 6

Gain des filtres de Bessel (dB)

pulsations normalisées (ωn)

ordre 2

3

4

5

6


118

VII.2 Prototypes

6°) Comparaison des prototypes

Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB

0.1 1 10-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Bessel

Butterworth

Chebychev

Cauer

Legendre

119

VII.2 Prototypes

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tps

de

prop

agat

ion

de g

roup

e dé

phas

age

(°)

0.1 1 10 100

LegendreButterworthBesselChebychev

-250

-200

-150

-100

-50

ωn

LegendreButterworthBesselChebychev

d

d

ϕω

Phases comparées et linéarité

6°) Comparaison des prototypes

120

VII.2 Prototypes

VIII. Synthèse des Filtres Passifs

121

IX. Synthèse des Filtres Actifs

122

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )

n n m m

n n m mn n m m


dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

II Méthodes de Synthèse

T.L. 11 0

11 0

...( )( )

( ) ...

m mm m

n nn n

a p a p aS pH p

E p b p b p b

−−

−−

+ + += =+ + +

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

1 1 1 2( )

1 '

1 2 1 2 1 2

p

p p p pH p

p p p

p p p p p p

ττ τ ζτ τ

τ τ τζτ τ ζτ τ ζτ τ

× × × + + + + = +× × + + + + + +

∏

Pbas_1 Phaut_1 Pbas_2

Pbande_2 Phaut_2 Cbande_2

123

IX. Synthèse des Filtres Actifs 1°) Synthèse par variable d'état

2

2

2

( )( )

( )2 1

N N

S p K pH p

p pE p ζω ω

= =+ +

Prenons par exemple un filtre Passe haut du second ordre :

22

2( ) 2 1 ( )

N N

p pS p E p K pζ

ω ω

+ + =

22

2( ) 1 2 ( )N N

NS p E p Kp p

ω ωζ ω

+ + =

en divisant par2

2N

p

ω

2 22

( ) ( )( ) ( ) 2N N N

S p S pS p K E p

p pω ζω ω= − −

2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )N N Ns t K e t s t dt s t dtω ζω ω= − −∫ ∫∫

Comment réaliser ces différentes fonctions ?

124


1°) Synthèse par variable d'état

2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )N N Ns t K e t s t dt s t dtω ζω ω= − −∫ ∫∫

Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫ ..n dtω ∫

s(t)

1 2 3

( )n s t dtω ∫

on obtient s(t)1en sortie

réponse du filtre passe haut du second ordre

..n dtω ∫

2ζ−

1−

2 ( )n s t dtω ∫∫

125

IX. Synthèse des Filtres Actifs 1°) Synthèse par variable d'état

Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫

1−

s(t)

1 2 3

( )n s t dtω ∫

2 ( )n s t dtω ∫∫

on obtient2et en sortie ( )s t dt∫

cad 2 2

2

( ) ( )2 1

N N

S K pS p E p

p pp ζω ω

= =+ +

qui est un passe bande du second ordre

2ζ

..n dtω ∫

126


1°) Synthèse par variable d'état

Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫

1−

s(t)

1 2 3

( )n s t dtω ∫

2 ( )n s t dtω ∫∫

on obtient3et en sortie ( )s t dt∫∫

cad 3 22

2

( ) ( )2 1

N N

S KS p E p

p pp ζω ω

= =+ +

qui est un passe bas du second ordre

2ζ

..n dtω ∫

127

IX. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Synthèse à 1 A.O.P

e(t)

+

à rétroaction positive

-s(t)

type Salen Key

(développés dans le chapitre suivant) 128


e(t)

-

+ s(t)

type Rauch

mais les structure à 1 AOP de type Salen-Key ou Rauch ont une sensibilité croissante avec le coefficient de qualité Q=1/2ζ

utilisable pour Q<8 cadζ>0.06

à rétroaction négative

2°) Synthèse à 1 A.O.P

129


e(t)

-

à rétroaction double

+ s(t)

type Deliyannis et Friend

les structures à AOP multiple permettent d'obtenir des coefficients de qualité Q=1/2ζ > 50 cad ζ<0.01

2°) Synthèse à 1 A.O.P

130


3°) Synthèse par simulation de composants

ve(t)

Si K est négatif on parle de Negative Impedance Converter (NIC)

ve= k vs

vs(t)

ie is

is= - k' ie'

/ ( ')e s s

e s s

v k v vk k

i i k i= = −

− e sZ K Z=

Zs

Si K est complexe on parle de Generalised Impedance Converter (GIC)

Si K est positif on parle de Positive Impedance Converter (PIC)

131

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. Circuits convertisseurs d'impédance

e(t)

On part d'une structure de filtre passif en échelle

et on simule les inductances par des circuits actifs sans utiliser de self

s(t)

132


3°) a. GIC

équivalent à une self en parallèle (mise à la masse)

vs-+

- +

ve

ie

0 0

0 0

is

1 3 5 4

2

ee

e

v R R R CZ p L p

i R= = =

R1 R2

C4

R3

R5

GIC

133

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC

or vs=ve

5

ss

vi

R=

vs

( )4

33 4

5

e ee

C

v v vv v C p

Z R

− = − =

35 4

11ev v

R C p

= +

23

2 3 5 4

e ev v vi

R R R C p

− −= =

-+

- +

ve

ie

0 0

0 0

is

R1

R2C4

R3

R5

ve

vev3

v2 i3

i3

33

3 3 5 4

e ev v vi

R R R C p

− −= =

22

3 5 4

1e

Rv v

R R C p

= − +

2 2

1 1 3 5 4

ee e

v v Ri v

R R R R C p

−= =

1 3 5 4

2

ee

e

R R R C pvZ

i R= =

134


3°) a. GIC

-+

- +

ve

ie R1 R2

C4R3 R5

GIC

GICve ve

GIC

R

GIC = Generalised Impedance Converter

135

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC

-+

- +R1 R2

C4R3

Pour simuler une inductance en série, il faut 2 GIC

- +

-+R1R2

C4R3

136


Rg

3°) b. Gyrateur

Gyrateur

2ge

ee

RvZ

i Z= =

Rgve ouZ Z

ie

137

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur

Utilisation du Gyrateur

22

2 2g

gc

RR C p L p

Z= =

Rg

C1

C2 L2

C1

22 2gL R C=

138


3°) b. Gyrateur

Structure d’un Gyrateur ?

ie

ve

NIC

Z

NIC

2ge

ee

RvZ

i Z= =vs

Rg Rg

Rg

Z

NIC

Z−où

139

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC

Structure d’un NIC ?

- +

R R Z

ie

ve

ee

e

vZ Z

i= = −

Zve

NIC

- +

R Z

ie

ve

ieNIC

140


3°) a.ii. NIC

-

+

Z

R

R

ve

vs

vei

i

ie

ie

Calcul du NIC

141

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC

-

+

Z

R

R

ve

vs

vei

i

ie

ieei i=

e ev Z i= −

eZ Z= −

Calcul du NIC

e e ev Z i=Par Def :

donc

D’où

e sv v R i− =e s ev v R i− =

142


3°) b. Gyrateur

Calcul du Gyrateur (1/2)

( ) ( )' //g gZ Z R R= + −

ie

ve

NIC

Z

NIC

Rg Rg

Rg

ie

ve

NIC

Z+Rg

Rg

-Rg

ie

ve

NIC

Z'

Rg

( ) ( )'

g gZ R RZ

Z

+ −=

143

IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur

Calcul du Gyrateur (2/2)

ie

ve

NIC

Z'

Rg

( ) ( )'

g gZ R RZ

Z

+ −=

ie

ve

NIC

Z"2

" gRZ

Z

−=

( )( )"

g g

g

Z R RZ R

Z

+ −= +

ie

ve -Z"2

" ge

RZ Z

Z= − =

144


X. Synthèse des Filtres Actifs

145

+

-

donc pour avoir vs ≠ ∞ (ou ±Valim ) il faut

Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits

v-

v+

( )sv G v v+ −= −

( G infini )

v+ = v-

i+

i-

de plus les impédances d'entrée sont infinies

donc i+ et i- sont nuli+ = i -=0

146



e(t)

+

-

s(t)

Z2

Z1

v+ = v-

v- = e

0

1

1 2

Ze s

Z Z=

+e(t)

2

1

1Z

s eZ

= +

si Z1 =R1 et Z2 =R2 alors 2

1

1R

s eR

= +

i

147



e(t)

-

+

s(t)

Z2

Z1

1 2

e s

Z Z

−=v+ = v- = 0

e(t)

s(t)

2

1

s Z

e Z= −

148


2°) Premiers Ordres

e(t)s(t)

+

-s(t)

K=1

R

C

K= 1 + R2 / R1

e(t)

+

-s(t)

R2R1

R

C

Passe

Bas

du

1er or

dres

149


e(t)

R

C s(t)

K

Passe

Bas

du

1er or

dres


150


e(t)

+

-

s(t)

R2

C

Passe

Bas

du

1er or

dres

R1

2 2 2 1

1 1 22

// 1 / /1 1

R C R Cp R RH

R R R CpRCp

−= − = − =++


151


e(t) s(t)

K

Passe Haut du 1er ordres

R

C

e(t) +

-

s(t)

R2

C R1

2 2

1 11/ 1R R Cp

HR Cp R Cp

− −= =+ +

1R C p

H KR C p

=+


152


i=0

Structure Générale des Salen-Key du 2emeordre

e(t) s(t)

Z4

( )1 2

1 4 5 2 3 2 42 3

1

K Y YH

Y Y Y Y Y K Y YZ Z

=

+ + + + − +

3°) Salen-Key

K

Z3

Z2

Z5

Z1

v+vi

153


L’amplificateur de gain K est en général construit autour d’un AOP

Passe Bas de Salen-Key

( ) ( )21 2 3 4 1 2 3 1 4 1 1

KH

R R C C p R R C R C K p=

+ + + − +

3°) Salen-Key

e(t) s(t)

KR1 R2

C4

C3

Z1 = R1

Z2 = R2

Y4 = C4 p

Z5 = ∞

Y3 = C3 p

154



e(t) s(t)

3°) Salen-Key

K=1R0 R0

q C0

m C0

R1 = R2 = R0 C4 = m C0 C3 = q C0

( )2 20 0 0 0

1

2 1H

mq R C p m R C p=

+ +

K=1

( ) ( )21 2 3 4 1 2 3 1 4 1 1

KH

R R C C p R R C R C K p=

+ + + − +

155



3°) Salen-Key

e(t) s(t)

K=1R0 R0

q C0

m C0

2

2

1

2 1N N

Hp pζ

ω ω

=+ +( )2 2

0 0 0 0

1

2 1H

mq R C p m R C p=

+ +

0 0

1N

R C m qω = m

qζ = 1 1

2 2q

Qmζ

= =

156


Passe Bas de Salen-Key : Normalisation

3°) Salen-Key

e(t) s(t)

K=1

R0 R0

q C0

m C00

0

0 0 0

1 1CC

n

Zz

R R C p p= = = 0 1c =

e(t) s(t)

K=1

1 1

q

m

Impédance de référence :R0

00 0

1R C

ω =la pulsation de référence :

R0 1

C0 1

mC0 m

qC0 q

157


Passe Bas de Salen-Key : Normalisation

3°) Salen-Key

2

12 1n n

Hmq p m p

=+ +

m

qζ =

e(t) s(t)

K=1

1 1

q

m

Impédance de référence :R0

00 0

1R C

ω =la pulsation de référence :

0 0

1N

R C m qω =

158


Passe Bas de Salen-Key : exemple

Butterworth

3°) Salen-Key

0.707m

qζ = =

e s

K=1

1 1

q

m

Passe Bas d'ordre 2 de Salen-Key :

2

1

1.4142 1n n

Hp p

=+ +

m=0.7071 ; q=1.4142

159


-40


filtre normalisé

3°) Salen-Key

0.707m

qζ = =

q=1.4142

e s

K=1

1 1

m=0.7071

ωn1 10

-20

0

0.1

db( V(Out1) / V(In) )

PasseBasOrdre2_Normalise_Parfait.sch

160



filtre dénormalisé à f0 = 1 kHz

3°) Salen-Key

Fréquence300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz

-40

-20

-0

db( V(Out1) / V(In) )

0 1R k= Ω

00 0

1159C nF

R ω= =

30 2 10ω π=

225 nF

112.5 nF

PasseBasOrdre2_Parfait.sch

161



Passe Bas de Butterworth d'ordre 4

3°) Salen-Key

11

1

0.924m

qζ = =

m1=0.9238 ; q1 =1.0823

m2=0.3826 ; q2 =2.6131

2 2

1 11.8477 1 0.7653 1n n n n

Hp p p p

=+ + + +

22

2

0.383m

qζ = = résonance G(ωr = 0.840 ω0 ) = Vm = 1.41

162


Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4

3°) Salen-Key

2 2

1

0.7653 1

1

1.8477 1n n nn p pH

p p ++=

++

e

m1=0.9238 ; q1 =1.0823

q1 C0

K=1

R0 R0

m1 C0

s

G(ωr = 0.840 ω0 ) = Vm = 1.41

q2 C0

K=1

R0 R0

m2 C0

m2=0.3826 ; q2 =2.6131

PasseBasOrdre4_Parfait.sch Les Q élevé en tête 163


Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4

3°) Salen-Key

fr = 0.840 f0

Fréquence

100Hz 300Hz f0 = 1.0KHz 3.0KHz 10KHz-60

-40

-20

-0

2eme étage1er étage

les 2 étages

Vm = 1.41= 3dB

164


Passe Haut

e(t) s(t)

( ) ( )2

3 4 1 22

3 4 1 2 3 1 2 2 41 1

K R R C C pH

R R C C p R C C C K R p=

+ + + − +

3°) Salen-Key

K

R3

R4

C1 C2

Y1 = C1 p

Y2 = C2 p

Z4 = R4

Z5 = ∞

Z3 = R3

de Salen-Key

165


Passe Haut de Salen-Key

e(t) s(t)

( )( )

2 2 20 0

2 2 20 0 0 0

/

/ 2 / 1

R C p mqH

R C p mq R C p q=

+ +

3°) Salen-Key

1

R3=R0 / q

C1=C0

C1 = C2 = C0 R4 = R0 /m R3 = R0 /q K=1

C2=C0

R4=R0 / m

166



3°) Salen-Key

e(t) s(t)

1

R0 / q

R0 / m

C0 C0

2

2

2

2 2 1

N

N N

p

Hp p

ω

ζω ω

=+ +

0 0N

m q

R Cω = m

qζ =

( )( )

2 2 20 0

2 2 20 0 0 0

/

/ 2 / 1

R C p mqH

R C p mq R C p q=

+ +

167



3°) Salen-Key

e(t) s(t)

1

1/ q

1/ m

1 1

00 0

1R C

ω =0R

R0 1

C0 1

R0 / q 1 / q

R0 / m 1 / m

avec

e(t) s(t)

1

R0 / q

R0 / m

C0 C0

et

168


Passe Bande

3°) Salen-Key

de Salen-Key

2emeordre (mais pentes en ±20dB/dec )

R

e

KCR

s2 RC

mais structure trop sensible aux écarts de valeur

0

1R C

ω =02 2

0 0

// 2 / 1

K pH

p p

ωω ζ ω

=+ +

32

Kζ −=

Gain àω0 : 0 3K

GK

=−

169


Passe Bande de Rauch

R0 / m

e-

C0q R0

C0

s+m R0

1-m2

2emeordre (mais pentes en ±20dB/dec )

2 2 1n

n n

m pH

p m p=

+ +mζ =

0

14

G =

1Nω =

170


Passe Bande

3°) Salen-Key

de Salen-Key

se1

R0 / q

R0 / mC0 C0

1R0 R0

q C0

m C0

4emeordre

(pentes en ±40dB/dec )

171

X. Synthèse des Filtres ActifsExemple de Passe Bande : Chebychev Ordre 6 de bande relative de 20%

(pentes en 1/p3 60dB/dec)

2°) Salen key

100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz

db(V(Out2)/V(Out1))

db(V(Out3)/V(Out2))

db(V(Out3)/V(In))

db(V(Out1)/V(In))

-60

-40

-20

-0

20

Pas

seB

ande

Ord

re3_

Che

bych

ev_0

.20_

Par

fait.

sch

Pente 20dB/dec

Pente 60dB/dec

Pente 40dB/dec

172


Rappel sur la sensibilité

3°) Sensibilité

Elle représente la variation relative de la fonction f par rapport à la variation relative du paramètre xi

Soit une fonction f(x1 , x2 , …, xn),

i

fxSla sensibilité notée vaut : [ ]/ /

ln( )/i

f ix i i

i i i

f f f xS x x f

x x f x

∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂

exemple : f(x,y)= x2 + 3y 2

/ / 2/ 3

fx

f f f x xS x x

x x f x y

∂ ∂ ∂= = =∂ +

A.N : en x=1 et y=1 fxS = 0.5 (50%)

fyS = 0.75 (75%)

2

/ / 3

/ 3fy

f f f yS y y

y y f x y

∂ ∂ ∂= = =∂ +

173


si x varie 20% (dx/x = 0.2 ) alors f varie de [dx/x]*[S x] soit 0.2 * 0.5 = 0.1 = (10% )

si y varie 20% (dy/y = 0.2 ) alors f varie de [dy/y]*[S y] soit 0.2 * 0.75 = 0.15 = (15% )

3°) Sensibilité

e s

1R1 R2

C2

C1

1 2 1 2

1N

R R C Cω = [ ]1 1 2

1 2 1 22

C R R

R R C Cζ

+=

Sensibilité d'un filtre de Salen Key

174


( )21 2 1 2 1 2 1

1

1H

R R C C p R R C p=

+ + +

3°) Sensibilité

e s

1R1 R2

C2

C1

1 2 1 2

1N

R R C Cω =

[ ]1 1 2

1 2 1 22

C R R

R R C Cζ

+=

Sensibilité d'un filtre de Salen Key

[ ]/ln( )

/N

i

N NR i N

i i i

S RR R R

ω ω ω ω∂ ∂= =∂ ∂

[ ] [ ]1 1 1 1 2 1 2 1 1

1 1 11 2 1 2

1 1 1 1ln( ) ln( ) ln( )

2 2 2N

RS R R R R C C R RR R RR R C C

ω ∂ ∂ ∂= = − = − = − ∂ ∂ ∂

2 1 2

12

N N NR C CS S Sω ω ω= = = −

175


11 / R

3°) Sensibilité

Sensibilité d'un filtre de Salen Key1

12

NCSω = −

Fréquence

1.0KHz 10KHz-30

-20

-10

0

10

1

1

20%C

C

δ =

2.7KHz

10%N

N

δωω

= −

2.43KHz

176


Bibliographie

Analyse et synthèse des filtres actifs analogiques, Gérard Mangiante,

Ed. Lavoisier(Bibliothèque Physique Enseignement 612.382 MAN )

Filtres actifs, P. Bildstein, Ed. de la radio

Mathématiques Générales, Jacques Velu, Ed. Dunod(équations différentielles)

(Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 VEL 03E

Les Mathématiques en Licence, 1ere année Tome 2, E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac, Ed. EdiScience(équations différentielles)

(Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 AZO 2(1).03Q

177

Documents

TransparentsFiltrageAnalogique complet 2013