Filtrage Analogique
T.Ditchi
Licence de Sciences et Technologies Mention Ingénierie Electronique
I. Introduction
2
Filtrage analogique élimination d'une partie du spectre d'un signal
- Radiocommunication : sélection du canal
- élimination d'un bruit
- sélection de fréquence à la sortie d'un circuit non linéaire ( mélangeur, oscillateur…)
- analyse spectrale
Filtrage numérique même application que le filtrage analogique
+ transformation de signaux
- apparition d'échos
- modification d'une voix
- ….
- ….
3
I. Introduction
les filtres actifs (à Amplificateurs Opérationnels)
- fréquences BF ( 0 à qq MHz )
car gain AOP…
les filtres passifs
- fréquences HF (qq 10 MHz 1GHz) ou µOnde (1GHz 100GHz)
car inductances…
les filtres à résonateurs
- à quartz ( piézo-électrique) ( 100MHz )
- cavité métallique ou diélectrique ( 1GHz 100GHz )
les filtres à ondes de surface
- qq 100 MHz
4
I. Introduction
les filtres passifs en µOnde
Optimisation de la puissance disponible composants non dispersifs : C, L,…
Technologie Lignes
Technologie hybride Technologie Intégrée (MMIC)
I. Introduction
5
1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz 100MHz 1GHz 10GHz 100GHz
les filtres passifs à composants
les filtres actifs AOP
filtres à quartz
filtres à cavité
filtres passifs àlignes et hybride
filtres à onde de surface
MMIC
6
I. Introduction
7 8
II. Les systèmes linéaires
9
Signal : Toute grandeur physique
Température = fonction ( lieu)
Tension = fonction ( temps )
Signaux : continus(physique) ou discontinus(approximation de certains cas physiques)
transitoires commence à un instant (t=0)se termine au bout d'un temps fini ou
périodiques
0t → ∞→
10
II. Les systèmes linéaires
Exemples de signaux
Signal sinusoidal
Signaux transitoires ou impulsionnels
Portes
Impulsion triangulaire
Echelon de Heavyside
Impulsion exponentielle
Impulsion de Dirac
Signaux périodiques discontinus
peignes
créneau
TΠ
T∆
/ ( )t Te u t−
( )u t
( )tδ
1/T
2/T
T
T
11
II. Les systèmes linéaires
Définition de l'Impulsion de Dirac : δ(t)
( ) 1t dtδ+∞
−∞=∫δ(t) : Impulsion de largeur nulle mais de surface unité :
/
0 0 0( ) lim( ) lim( ) lim( ( ))t T
T TT T Tt e u tδ −
→ → →= Π = ∆ =
/ ( ) 1t TT Tdt dt e u t dt
+∞ +∞ +∞ −
−∞ −∞ −∞Π = ∆ = =∫ ∫ ∫On remarque que :
δ
t
T∆
t
T∆
t
T∆
t
T∆
t…
Exemple avec l’impulsion triangulaire
12
II. Les systèmes linéaires
Quelques propriétés de l'Impulsion de Dirac : δ(t)
( )tδ
t0
0( )t tδ −
t0 t0
0( )t tδ −
t0
e(t0) δ(t-t0)
xt0
e(t)
t0
0 0 0( ). ( ) ( ) ( )e t t t e t t tδ δ− = −
13
II. Les systèmes linéaires
e1(t) s1(t)
linéaires : α e1(t) + β e2(t) α s1(t) + β s2(t)
Invariant dans le temps :
e (t-τ) s (t-τ)
(e retardé de τ) (s retardé de τ)
Système
Système LinéaireIndépendant du temps
S.L.I
e2(t) s2 (t)
14
II. Les systèmes linéaires
signal e(t) et signal approché ~e(t) :
e(t)
t
~e(t)
~ ( ) ( ) ( )Tn
e t e t nT t nT T+∞
=−∞= = Π −∑
ε(t)=e (t) - ~e(t)T 0
0
donc 0
( ) lim ( ) ( )TT
n
e t e t nT t nT T+∞
→ =−∞
= = Π − ∑
( ) ( ') ( ') ' ( ) ( )e t e t t t dt e t tδ δ+∞
−∞
= − = ∗∫ Produit de convolution
Impulsion carrée amplitude 1/T
15
II. Les systèmes linéaires
( ') ( ')) '( e t t t dte t δ+∞
−∞
= −∫ ( ) ( ') ( ') 's t e t h t t dt+∞
−∞
= −∫
( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗
δ(t) h(t) réponse impulsionnelleS.L.I
t0
δ(t-t') h(t-t')S.L.I
tt'0
e(t)
tS.L.I
s(t)
0
S.L.It0
16
II. Les systèmes linéaires
( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗
δ(t)
h(t) réponse impulsionnelle
e(t)
17
II. Les systèmes linéaires
18
19 20
III. Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace et de Fourier
21
III.1 Les systèmes linéaires Par Transformée de Laplace
22
Propriétés Signal temporel
Transformée de Laplace
( )s t ( )S p
Linéarité 1 2( ) ( )a s t b s t+ 1 2( ) ( )a S p b S p+
Dérivation temporelle
'( ) ( )s t s tt
∂=∂
( ) ( 0 )p S p s t +− =
Dérivation ( ) ( ) ( )
nn
ns t s t
t
∂=∂
1 2 ( 2) ( 1)( ) ( 0 ) '( 0 ) .... ( 0 ) ( 0 )n n n n np S p p s t p s t p s t s t− + − + − + − +− = − = − − = − =
Intégration
0( ') '
ts t dt∫
( )S p
p
Convolution 1 2( ) ( )s t s t∗ 1 2( ) ( )S p S p
1 2( ) ( )s t s t 1 2( ) ( )S p S p∗
0( ) ( ) p tS p s t e dt
+∞ −= ∫
Transformée de Laplace unilatérale (signaux causaux)
1( ) ( )
2p ts t S p e dp
jπ+∞
−∞= ∫ S(p)
T.L
T.L-1
s(t<0)= 0
s(t)
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
23
n° s(t) causaux ( s(t<0)=0 ) S(p)
1 Dirac δ(t) 1
3 Echelon de Heavyside u(t) 1/p
6 e-a t 1 / (p+a)
9 ( 1-e-a t) ( )
a
p p a+
11 a t b te e− −− ( )( )
b a
p a p b
−+ +
17 1
1 ( )a t b tb e a eb a
− −− −−
( )( )
a b
p p a p b+ +
18 2
2sin( 1 )
1N tN
Ne tζ ωω ω ζζ
− −−
2
2
1
2 1N N
p pζω ω
+ + avec ζ <1
19
2
2
11 sin( 1 )
1N t
Ne tζ ω ω ζ ψζ
−− − +−
avec
21( )arctg
ζψζ−
=
2
2
1
2 1N N
p pp ζ
ω ω
+ +
avec ζ
<1
24
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
e(t) s(t)Système
1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
Par Transformée de Laplace
2 22 1 0 2 1 0( ) ( )
[...] ( 0 ) [...] ( 0 )
[...] '( 0 ) [...] '( 0 )
b p b p b S p a p a p a E p
s t e t
s t e t
+ +
+ +
+ + + +
+ = = + =+ = + =
2 2
2 1 0 2 1 02
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n
d s t ds t d e t de tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt+ + = + +
Dans le cas d’un système du 2nd degré
25
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
2 22 1 0 2 1 0( ) ( )
[...] ( 0 ) [...] ( 0 )
[...] '( 0 ) [...] '( 0 )
b p b p b S p a p a p a E p
s t e t
s t e t
+ +
+ +
+ + + +
+ = = + =+ = + =
Si système au repos avant la première exitation s(0+)=s(0-)= e(0+)=e(0-)
2 22 1 0 2 1 0( ) ( )b p b p b S p a p a p a E p + + = + +
C'est-à-dire 2
2 1 0
22 1 0
( )
( )
a p a p aS p
E p b p b p b
+ + = + +
22 1 0
22 1 0
( )a p a p a
H pb p b p b
+ + = + +
noté
Fonction de Transfert (opérationnelle) 26
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
plus généralement
Fonction de Transfert (opérationnelle)
11 0
11 0
...( )( )
( ) ...
m mm m
n nn n
a p a p aS pH p
E p b p b p b
−−
−−
+ + += =+ + +
Remarque : le dénominateur est l'équation caractéristique vue au chapitre II
e(t)Système
( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗
T.L
( ) ( ) . ( ( ))S p E p TL h t=
Donc ( ) ( ( ))H p TL h t=
la fonction de Transfert est la Transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle 27
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
Calculons la fonction de transfert de ce système
e(t) s(t)
T.L
- e s R i= ( ) - ( ) ( )E p S p R I p=
dsi C
dt= ( ) ( )I p C p S p=
d'où - E S R C p S=
c.a.d1
1
SH
E R C p= =
+
Domaine temporel Domaine de Laplace
1( )CZ
Cp=
28
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
Calculons la réponse impulsionnelle h(t) de ce système
e(t) s(t)
T.L-1
( ) 1E p =
Domaine temporel Domaine de Laplace
c.a.d1 1/
1 1 /
RCS
R C p p RC= =
+ +
1 1
S
E R C p=
+or
T.L
/1 t RCs e
RC−=
( ) (t)e t δ=
29
III.1 Les systèmes linéaires par Transformée de Laplace
III.2 Les systèmes linéaires Par Transformée de Fourier
30
Transformée de Fourier
Etudions maintenant la réponse des systèmes àun signal d'entrée périodique
31
Série de Fouriersignaux périodiques (T0 = 1/f0)
0( ) j n tn
n
s t c e ω+∞
=−∞
= ∑ où ω0 = 2 π /T0
où0
0
0
/ 2
/ 2( )
T j n tn T
c s t e dtω−
−= ∫
par exemple : créneau de périodeT0
0 T0 2T0
t
0
0
0
0
0.5
2 / cos( )
2 / 3 cos(3 )
2 / 5 cos(5 )
2 / 7 cos(7 )
t
t
t
t
π ωπ ωπ ωπ ω
III.2 Transformée de Fourier
32
Série de Fourier d'un créneau de période T0
0 T0 2T0
t
t
33
III.2 Transformée de Fourier
Signaux non périodiques (période infinie)signaux périodiques (période finie)
0( ) j n tn
n
s t c e ω+∞
=−∞
= ∑0
0
0
/ 2
/ 2( )
T j n tn T
c s t e dtω−
−= ∫
( ) ( ) j ts t S f e dfω+∞
−∞= ∫
( ) ( ) j tS f s t e dtω+∞ −
−∞= ∫
Transformée de FourierSérie de Fourier
34
III.2 Transformée de Fourier
T.F
par exemple : porte de largeur T
t
s(t)
f0
|S(f)|=T sinc(π f t)
0 T0 2T0
par exemple : créneau de périodeT0
t
s(t)
T.F
f0 f0 3f0 5f0
|S(f)|
35
III.2 Transformée de Fourier
n° s(t) S(f)
Linéarité 1 2( ) ( )a s t b s t+ 1 2( ) ( )a S f b S f+
Dérivation temporelle '( ) ( )s t s t
t
∂=∂
( )j S fω
Convolution 1 2( ) ( )s t s t∗ 1 2( ) ( )S f S f
1 2( ) ( )s t s t 1 2( ) ( )S f S f∗
Dirac δ(t) 1
Peigne de Dirac ( ) ( )eT e
n
pgn t t nTδ+∞
=−∞
= −∑ 1 1
( )ne e
f nT T
δ+∞
=−∞
−∑
s(t-t0)
0 ( )j te S fω−
0( )S f f−0 ( )j te s tω
36
III.2 Transformée de Fourier
e(t) s(t)Système
1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
Réponse fréquentielle
11 0
11 0
( ) ( ) ...( )( )
( ) ( ) ( ) ...
m mm m
n nn n
a j a j aS fH f
E f b j b j b
ω ωω ω
−−
−−
+ + += =+ + +
Par Transformée de Fourier :
11 0
11 0
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n nn n
m mm m
b j S f b j S f b S f
a j m E f a j E f a E f
ω ωω ω
−−
−−
+ + +
= + + +
Obtenue en remplaçant p par jωdans la fct de transfert opérationnelle
37
III.2 Transformée de Fourier
Réponse fréquentielle
( ) ( ) ( )s t e t h t= ∗e(t)Système
T.F
( ) ( ) . ( ( ))S f E f TF h t=
Donc ( ) ( ( ))H f TF h t=
la réponse fréquentielle est la Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle
11 0
11 0
( ) ( ) ...( )( )
( ) ( ) ( ) ...
m mm m
n nn n
a j a j aS fH f
E f b j b j b
ω ωω ω
−−
−−
+ + += =+ + +
38
III.2 Transformée de Fourier
Calculons la réponse fréquentielle de ce système
e(t) s(t)
T.F
- e s R i= ( ) - ( ) ( )E f S f R I f=ds
i Cdt
= ( ) ( )I f C j S fω=
d'où - E S R C j Sω=
c.a.d1
1
SH
E j RCω= =
+
Domaine temporel Domaine de Fourier
1( )CZ
jCω=
39
III.2 Transformée de Fourier
Prenons une entrée sinusoïdale :
or
0 0( ) cos( )e t e tω= T.F [ ]00 0( ) ( ) ( )
2
eE ω δ ω ω δ ω ω= − + +
La réponse à cette entrée vaut :
[ ]00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
eS E H Hω ω ω δ ω ω δ ω ω ω= = − + +
[ ]00 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
eS H Hω ω δ ω ω ω δ ω ω= − + − +
0( )0 0( ) | ( ) | jH H e ϕ ωω ω=
0 0( ) ( )00 0 0( ) | ( ) | ( ) ( )
2j je
S H e eϕ ω ϕ ωω ω δ ω ω δ ω ω− = − + +
et 0( )0 0( ) | ( ) | jH H e ϕ ωω ω −− =
donc
40
III.2 Transformée de Fourier
T.F-10 0 0 0( ) ( )0
0( ) | ( ) |2
j j t j j tes t H e e e eϕ ω ω ϕ ω ωω − − = +
0 0( ) ( )00 0 0( ) | ( ) | ( ) ( )
2j je
S H e eϕ ω ϕ ωω ω δ ω ω δ ω ω− = − + +
donc
( )0 0 0 0( ) | ( ) | cos ( )s t e H tω ω ϕ ω= +
•Le gain G(ω0) du système e0/s0 à ω0 = | H(ω0) |
•Le déphasage ϕ(ω0) de s(t) par rapport à e(t) àω0= argument( H(ω0) )
Diagramme de Bode = représentation de | H(ω0) | et de ϕ(ω0)
41
III.2 Transformée de Fourier
42
43 44
III.3 Diagramme de Bode
45
III.3 Diagramme de Bode
Cad
( )0 0 0 0| ( ) | cos ( )e H tω ω ϕ ω+
•Le gain
•Le déphasage de s(t) par rapport à e(t) = ϕ(ω0) =argument( H(ω0) )
Diagramme de Bode = représentation de log10| H(ω) | et de ϕ(ω)
0 0cos( )e tω
On a montré que :
Système
0 0( ) ( )G Hω ω=
46
Exemple : soit un filtre du 1er ordre 1
( )1
Hj
ωωτ
=+
2
10 10 10 2
1( ) 20 log ( ) 10 log ( ) 10 log
1 ( )dBG H Hω ω ωωτ
= = = +
( ) ( )1
arctgωτϕ ω = −et 10( ) 20 log ( )dBG Hω ω=
( )210( ) 10 log 1 ( )dBG ω ωτ= − +
47
III.3 Diagramme de Bode
( )( )210 10
0lim 10 log 1 ( ) 10 log (1) 0dBG dBω
ωτ→
= − + = − =
Comportement asymptotique
comportement du système à certaines fréquences caractéristiques
par ex qd ω0 ou qd ω∞
Droite horizontale 0 dB
Quand ω0
48
III.3 Diagramme de Bode
Comportement asymptotique
( )( )2 210 10 10lim 10 log 1 ( ) 10 log (( ) ) 20 log ( )
ωωτ ωτ ωτ
→∞− + = − = −
( )lim 20 log( ) 20 log( )dBGω
ω τ→∞
= − −
Droite de pente -20 dB/décade
d’ordonnée à l’origine 20 log( )τ−
quand ω 10 ω alors -20 log(ω) -20 log(10ω)=-20log(ω)-20
Quand ω∞
49
III.3 Diagramme de Bode
Comportement asymptotique
( )lim dBGω →∞
Droite horizontale 0dB
Droite de pente -20 dB/decade
d’ordonnée à l’origine 20 log( )τ−
( )0
lim dBGω →
1E41E3 1E5
-20
-15
-10
-5
-25
0
freq, Hz
dB(o
ut)
50
III.3 Diagramme de Bode
Comportement asymptotique
Les asymptotes se croisent quand 21010 log (( ) ) 0ωτ− =
21010 log (( ) )G ωτ= −0G dB=
cad quand ω=1/τ
et G(ω=1/τ )= -3dB
-3dB
1E41E3 1E5
-20
-15
-10
-5
-25
0
freq, Hz
dB(o
ut)
51
III.3 Diagramme de Bode
-45° pour ω=1/τ
( ) ( )arctgϕ ω ωτ= −
1E41E3 1E5
-80
-60
-40
-20
-100
0
freq, Hz
phas
e(ou
t), d
eg
52
III.3 Diagramme de Bode
IV. Les systèmes du 1er et du 2nd ordre
53
ζ=0.1
ζ=0.3
ζ=0. 707
ζ=6
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
Gain en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients
d’amortissement ζ
54
ζ=0.1
ζ=0.3
ζ=0. 707
ζ=6
Phase en fonction de la fréquence normalisée pour plusieurs coefficients
d’amortissement ζ
55
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
ζ=1
ζ=0.707
ζ=0. 1
ζ=0.3
ζ=3
Réponse indicielle pour plusieurs coefficients d’amortissement ζ
56
IV. Les systèmes du 1er et 2ème ordre
V. Gabarits – Normalisation -Transposition
57
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
V. Gabarits – normalisation - transposition
58
G|H(ω)|
ωωp
59
0
1
fréquences
| H(f) |
0
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
V. Gabarits – normalisation - transposition
60
| H(f) |
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Arg(H(f))
Filtre Passe Bas parfait … est il possible ?
TF-1
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
h(t)
temps
fréquences-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Non causal !!!
V. Gabarits – normalisation - transposition
G
Gmax
Gmin
0
1 fa/fp=1/k
ωn
ωωaωp
Passe Bas
61
V. Gabarits – normalisation - transposition
G
Gmax
Gmin
0
1
ωn
ωωpωa
Passe Haut fa/fp=1/k
62
V. Gabarits – normalisation - transposition
G
Gmax
Gmin
0
1
ωn
0 1/ω ω 0 2/ω ω
ω1ω22
' 01
1
ωωω
=2
' 02
2
ωωω
=
ωωp= ω’
1 – ω1
ωa= ω’2 – ω2
Passe Bande2 0/ω ω 1 0/ω ω
ω0
63
V. Gabarits – normalisation - transposition
G’
Gmax
Gmin
0
ω0
ω
ω1ω2
2' 01
1
ωωω
=2
' 02
2
ωωω
=
ωp
ωn
11 0/ω ω 0 2/ω ω2 0/ω ω 0 1/ω ω
2 /p aω ω
Coupe Bande
64
V. Gabarits – normalisation - transposition
65 66
67
VI. Recherche de H(p) à partir de |H(ω)|
68
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires(poly chapitre 2 - page 10)
69
e(t) s(t)Système
1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
2 ( ) ( )( ) ( )
n
d s t ds tLC RC s t e t
dt dt+ + =
Par exemple, dans le cas d’un circuit RLC série, on a un système du 2emeordre
( ) ( )di
e t R i L s tdt
= + +
( )ds
i t Cdt
=e(t)
i(t)
s(t)
R L
11 0
11 0
...( )( )
( ) ...
m mm m
n nn n
a p a p aS pH p
E p b p b p b
−−
−−
+ + += =+ + +de fonction de Transfert :
70
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
solution générale: solution de l'équation sans second membre
cad ( e(t)=0 régime libre)
Solutions de l'équation différentielle :
+ solution particulière: solution de l'équation avec second membre
cad ( régime forcé = transitoire + régime permanent)
2 ( ) ( )( ) ( )
n
d s t ds tLC RC s t e t
dt dt+ + =
71
Stabilité
étude du régime libre, cad étude de la réponse du système avec e(t)=0
un système est dit stablesi quand e(t>0) = 0lim ( ) 0t
s t→∞
=
1
1 01
( ) ( )... ( ) 0
n n
n nn n
d s t d s tb b b s t
dt dt
−
− −+ + + =
les fonction de la forme s(t) = e p t sont solutions de cette équation différentielle
0 ,p te p t≠ ∀
.......... ;n p t
n p tn
d ep e
dt=
p tp tde
p edt
=et on a :2
22
;p t
p td ep e
dt=
d'où :
or :
11 0... 0n p t n p t p t
n nb p e b p e b e−−+ + + =
donc : 11 0... 0n n
n nb p b p b−−+ + + = appelée équation caractéristique
72
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
résoudre l'équation différentielle revient donc à trouver les solutions de
l'équation caractéristique : 11 0... 0n n
n nb p b p b−−+ + + =
Ces pôles sont notées : p1 , p2 , …, pn
sont soient simples réelsou complexes, ou bien doubles réels.
i ip α= i i ip jα σ= ± 'i i ip p α= =
( ) i ts t eα=
( ) cos( ) sin( )i it ti is t c e t d e tα αω ω= +
( ) ( ) i ts t c t d eα= +
C’est-à-dire les pôles de la fonction de transfert.
73
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
( ) i ts t eα=
( ) cos( ) sin( )i it ti is t c e t d e tα αω ω= +
( ) ( ) i ts t c t d eα= +
dans tous les cas, réponse stable si : αi < 0
74
Les solutions possibles de l’équation différentielle sont donc :
où αi = Re( pôles de H(p) )
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
Conclusion1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
s(t) stablesi les pôles de la fonction de transfert sont àRe< 0
Dans le plan complexe
Systèmes instables
Re(pi)
Im(pi)pi
p*i
Systèmes stables
11 0
11 0
...( )( )
( ) ...
m mm m
n nn n
a p a p aS pH p
E p b p b p b
−−
−−
+ + += =+ + +
fonction de transfert
75
VI.1 Stabilité des systèmes linéaires
VI.2 Recherche de H(p) stable
76
77
On connait ou
on choisit
( )H ω
Pour déterminer
e(t) s(t)
K=1
R0 R0
q C0
m C0
On cherche
( )H p
VI.2 Recherche de H(p) stable
e(t) s(t)S.L.I
1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
où ai et bi sont réels positifs constants dans le temps
11 0
11 0
( ) ( ) ... ( )( ) ( )
( ) ( ) ... ( )
m mm m
n np jn n
a j a j a N jH H p
b j b j b D jω
ω ω ωωω ω ω
−−
−=−
+ + += = = ∈+ + +
ℂ
La réponse fréquentielle H(jω) s'écrit :
78
VI.2 Recherche de H(p) stable
11 0
11 0
( ) ( ) ... ( )( ) ( )
( ) ( ) ... ( )
m mm m
n np jn n
a j a j a NH H p
b j b j b Dω
ω ω ωωω ω ω
−−
−=−
+ + += = = ∈+ + +
ℂ
2 4 2 40 2 4 1 3 5( ) ... ...D b b b j b b bω ω ω ω ω ω = − + − + − + −
2 3 40 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ....D b b j b j b j b jω ω ω ω ω= + + + + +
2 21 2( ) ( ) ( )D D j Dω ω ω ω= +
fct Réelle paire en ω
fct réelle paire en ω
impaire en ω
propriété de |H(ω)|
1°) propriété de |H(w)|
79
VI.2 Recherche de H(p) stable
2 21 2( ) ( ) ( )N N j Nω ω ω ω= +
fct Réelle paire en ω
fct réelle paire en ω
impaire en ω
de même
2 21 2
2 21 2
( ) ( )( )
( ) ( )
N j NH
D j D
ω ω ωωω ω ω
+=+d'où
1°) propriété de |H(w)|
80
VI.2 Recherche de H(p) stable
2 2 2 2 22 1 2
2 2 2 2 21 2
( ) ( )( )
( ) ( )
N NH
D D
ω ω ωωω ω ω
+=+
cad est une fonction de ω2 uniquement2( )H ω
donc
1°) propriété de |H(w)|
81
VI.2 Recherche de H(p) stable
1 2
1 2
( ) ( ) ....( )( )
( ) ( ) ....( )m
n
p z p z p zH p K
p p p p p p
− − −=− − −
où p1 , p2, …pn sont les pôles de H(p)
pôles et zéros de H(p) H(-p)
et z1 , z2, …zm sont les zéros de H(p)
On a vu que :
- les pôles et les zéros de H(p) sont soient réelssoient complexes conjugués
- Re(pôles) et Re(zéros) sont négatives (pour stabilité et déphasage minimum)
d'où la répartition suivante :
Re
Impi
p*i
zi
zi*
2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
82
VI.2 Recherche de H(p) stable
1 2
1 2
( ) ( ) ....( )( )
( ) ( ) ....( )m
n
p z p z p zH p K
p p p p p p
− − − − − −− =− − − − − −
de plus
1 2
1 2
( ) ( ) ....( )( ) ( 1)
( ) ( ) ....( )n m m
n
p z p z p zH p K
p p p p p p+ + + +− = −
+ + +cad
donc les pôles et les zéros de H(p) H(-p) sont répartis comme ci dessous
Im
Re
pi
p*i
zi
zi*
-pi
-p*i
-zi
-zi*
2°) pôles et zéros de H(p)H(-p)
83
VI.2 Recherche de H(p) stable
* ( ) ( )p j
H H pω
ω=−
=de plus :
donc [ ]2 *( ) ( ) ( ) ( ) ( )p j
H H H H p H pω
ω ω ω=
= = −
donc2
/( ) ( ) ( )
p jH p H p H
ωω
=
− =
|H(ω)|2 est fct de ω2 uniquement
3°) Calcul de H(p)
3°) Calcul de H(p)
donc* ( ) ( )
p jH H p ωω
== −
( ) ( )p j
H H pω
ω=
=
2 2
2( )
pH
ωω
=−
=
On sait que :
84
VI.2 Recherche de H(p) stable
donc2 2
2( ) ( ) ( )
pH p H p H
ωω
=−
− =
connuinconnu
On cherche H(p) stable et à déphasage minimum
Re
Impi
p*i
zi
zi*
-pi
-p*i
-zi
-zi*
On ne garde que ces pôles et zéros que l’on associe à H(p)
3°) Calcul de H(p)
85
On élimine ces pôles et zéros que l’on associe à H(-p)
VI.2 Recherche de H(p) stable
par ex :2
4
1( )
1 2H ω
ω=
+
d'où( )2
2
22
1( ) ( ) ( )
1 2pH p H p H
pωω
=−− = =
+ −
cad4
1( ) ( )
1 2H p H p
p− =
+
recherche des pôles et des zéros :
- pas de zéro
- pôles : 41 2 0p+ = 4 2 (2 1)0.5 0.5 0.5j k j kp e eπ π+= − = − =cad
(2 1)40.84
j kp e
π+=cad
3°) Calcul de H(p)
86
VI.2 Recherche de H(p) stable
cad
40.84j
eπ3
40.84j
eπ
5
40.84j
eπ 7
40.84j
eπ
3 5
4 4
( )
( 0.84 ) ( 0.84 )j j
KH p
p e p eπ π=
− −
3°) Calcul de H(p)
87
VI.2 Recherche de H(p) stable
cad
3 5
4 4
( )
( 0.84 ) ( 0.84 )j j
KH p
p e p eπ π=
− −
2( )
2 0.5
KH p
p p=
+ +
Et on peut choisir 0.5K = Pour obtenir une fct normalisée( gain max = 1)
3°) Calcul de H(p)
88
2( )
2 0.5
KH p
p p=
+ +2
4
1( )
1 2H ω
ω=
+
donc
VI.2 Recherche de H(p) stable
VII. Prototypes de Filtres
89
VII.1 Temps de propagation de groupe -retard de phase
90
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 cos cos
2 2
d d d de t t t
ω ω ω ω ω ω ω ω− + + − − + =
[ ] [ ]0( ) 2 cos cose t t d tω ω=
( )e t 0cos( )d tω ω= − 0cos( )d tω ω+ +
91
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 ( )cos ( ) dd t ω ωω ω ϕ − − −=
0 ( )( ) 2 cos( ) cos ( )d
s t t d tdω
ϕω ϕ ωω
= + +
[ ]0 ( )( ) 2 cos( ) coss t t d t dωω ϕ ω ϕ= + +
0 ( )cos ( ) dd t ω ωω ω ϕ + + ++ ( )s t
92
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Retard de phase Temps de propagation de groupe
00
( ) 2 cos cos ( )d
s t t d td
ϕ ϕω ωω ω
= + +
[ ]0( ) 2 cos( ) cose t t d tω ω=
0w
ϕ−dw
dϕ−
93
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 10 12 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ϕ(ω)
94
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
Carré filtré avec déphasage linéaireen fct fréq
Carré initial
Carré initial
Carré filtré avec déphasage NON linéaireen fct fréq
Déformation
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.80 2 4 6 8 10 12 14
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ϕ(ω)
95
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
96
phase = fonction linéairede la fréquence
Pas de Pas de déformationdes signaux dans la bande passante
VII.1 Temps de propagation de groupe - retard de phase
VII.2 Prototypes
97
2
2 2( 1) 2 2 21 1
1 1( )
... 1 ( )n nn n
Ha a a A
ωω ω ω ω−
−
= =+ + + +
1°) Filtres de Butterworth
1°) Filtres de Butterworth
Réponse la plus plate possible
( ) ( ) ( )2 2 2 1 2
2 2 2 2 1
0 0 0
0 ; 0 ; ..... ; 0( ) ( ) ( )
n
n
A A A
ω ω ωω ω ω
−
−
= = =
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂
1 2 10 ; 0 ; ..... ; 0na a a −= = =
calcul de H(ω)
98
VII.2 Prototypes
2
2
1( )
1nn
Ha
ωω
=+
cad
La fréquence normalisée vaut : ωn = ω/ωp
2
2
2
1( )
1n
np
H ωωω
=+
d'où
2
2
1( )
1nn
H ωω
=+
1°) Filtres de Butterworth
On désire normaliser à -3dB
Donc on veut ( ) 3pG dBω ω= = −2
2
1 1( )
1 2p nn p
Ha
ωω
= =+
21/ nn pa ω=
99
VII.2 Prototypes
2
1( ) ( )
1n n nn
H p H pω
− =+
Calcul de la fonction de Transfert
2 2
2
2 2
1 1( ) ( ) ( )
( ) 1 ( 1) 1n nn n n n n n
pn n
H p H p Hp pω
ω=−
− = = =− + − +
On cherche les pôles deH(pn) H(-pn)
2( 1) 1 0n nnp− + =
1°) Filtres de Butterworth
100
VII.2 Prototypes
2 4
1( ) ( )
( 1) 1n nn
H p H pp
− =− +
Prenons par exemple une fonction d'ordre 2
4 1np = −cad
4 1 0np + =pôles
4 2 (2 1)j k j knp e eπ π π+ += =donc
(2 1) / 4j knp e π+=donc
/ 4 3 / 4 5 / 4 7 / 4; ; ;j j j jnp e e e eπ π π π=donc
1°) Filtres de Butterworth
101
VII.2 Prototypes
qui se répartissent comme suit :
/ 4 3 / 4 * 5 / 4 * 7 / 41 1 1 1; ; ;j j j jp e p e p e p eπ π π π= − = − = =
Pour calculer H(p) on ne doit garder que les pôles à partie réelle négative
Re
Imp1-p1
-p1* p1
*
1°) Filtres de Butterworth
102
VII.2 Prototypes
cad 3 / 4 * 5 / 41 1;j jp e p eπ π− = − =
Re
Im-p1
-p1*
et H(pn) vaut :( )( )3 /4 5 /4
( )n j jn n
KH p
p e p eπ π=
− −
2
1( )
1 2n
n n
H pp p
=+ +
cad
1°) Filtres de Butterworth
103
VII.2 Prototypes
n 1/H(pn)
1 pn+1
2 pn²+1,414pn+1
3 (pn+1)(pn²+pn+1)
4 (pn²+0,7654pn+1)(pn²+1,8478pn+1)
5 (pn+1)(pn²+0,6180pn+1)(pn²+1,6180pn+1)
6 (pn²+0,5176pn+1)(pn²+1,414pn+1)(pn²+1,9318pn+1)
7 (pn+1)(pn²+0,4450pn+1)(pn²+1,247pn+1)(pn²+1,8022pn+1)
8 (pn²+0,3986pn+1)(pn²+1,111pn+1)(pn²+1,6630pn+1)(pn²+1,9622pn+1)
1°) Filtres de Butterworth
104
VII.2 Prototypes
|H(ωn)| Filtres de Butterworth
- pas d'ondulation dans la bande
- pulsation de référence (ωn=1) =pulsation de coupure à -3dB
-3dB
10.1 10
n=1
n=2
n=3
n=4
asymptotes en
-20 n dB/decade
ωn
1°) Filtres de Butterworth
105
VII.2 Prototypes
0°
- 360°
- 45°
-90°
- 270°
-180°
10.1 10ωn
n=1
n=2
n=3
n=4
- 135°
Phase de H(ωn) Filtres de Butterworth
1°) Filtres de Butterworth
106
VII.2 Prototypes
2°) Filtres de Chebychev
2°) Filtres de Chebychev
1 2( ) 2 ( ) ( )n n nT x xT x T x− −= −
A) Polynomes de Chebychev
0 ( ) 1T x = 1( )T x x=
00 0.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 11 1.21.2--55
00
55
1010
1515
2020
2525
TT22
TT33
TT44
TT55
TT66
TTnn(x)(x)
107
VII.2 Prototypes
2 2 22
1( ) 1 ( )
( )n n n
n
A TH
ω ε ωω
= = +B) Filtres de Chebychev de type I
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n=2
n=4
n=3
|H(ωn)|2
ωn
ε=0.1
2°) Filtres de Chebychev
108
VII.2 Prototypes
2 2 22
1( ) 1 ( )
( )n n n
n
A TH
ω ε ωω
= = +
0.1 1 10-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0.1 1
-1
0
ε=0.5 1 dB d'ondulation
ordres 2 à 6
-2
2°) Filtres de Chebychev
109
VII.2 Prototypes
2 2 22
1( ) 1 ( )
( )n n n
n
A TH
ω ε ωω
= = +
C) Propriétés des Filtres de Chebychev
- n oscillations dans la bande passante
- "equal ripple"
- ondulation fonction de ε
- ondulation ε=1 ondulation=3 dB
ε=0.5 ondulation=1 dB
- |H(ωn=1)| = - ondulation ≠ -3 dB en général
- asymptotes en -20n dB/decade
- Coupure + raide que Butterworth
- phase – linéaire que Butterworth
2°) Filtres de Chebychev
110
VII.2 Prototypes
3°) Filtres de Legendre
3°) Filtres de Legendre (Papoulis)
2 2 22
1( ) 1 ( )
( )n n n
n
A LH
ω ε ωω
= = +
où Ln(x)
n Ln(x)1 x2 x2
3 3 x3 -3 x2 + x4 6 x4 – 8 x3 + 3 x2
5 20 x5 -40 x4+ 28 x3 -8 x2 + x6 50 x6 – 120 x5 + 105 x4 – 40 x3 +6 x2
111
VII.2 Prototypes
10-1
100
101
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
ordre 2 à 5
3°) Filtres de Legendre
112
VII.2 Prototypes
0.1 1-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
ordre 2 à 5
ε=1 gain de -3 dB et donc une ondulation= 3 dB dans la bande passanteε=0.5 gain de -1 dB et donc une ondulation= 1 dB dans la bande passante
3°) Filtres de Legendre
113
VII.2 Prototypes 4°) Filtres de Cauer
4°) Filtres de Cauer2
2
2
( )( )
( )n
n
n
NH
D
ωωω
=
1
nb extrema dans la bande passante = ordre du filtre
nb zéro = Ent(ordre du filtre /2)
zéros
114
VII.2 Prototypes
C) Propriétés des Filtres de Cauer
- n oscillations dans la bande passante
- asymptotes ordres impairs :-20 dB/decade
ordres pairs : asymptote horizontale
- phase – linéaire que Chebychev
2°) Filtres de Chebychev
22
2
( )( )
( )n
nn
NH
D
ωωω
=
- |H(ωn=1)| = - ondulation ≠ -3 dB en général
- Coupure + raide que Chebychev
115
VII.2 Prototypes 5°) Filtres de Bessel
5°) Filtres de Bessel
Recherche de la phase la + linéaire possible
Distorsion du signal la + faible possible
116
VII.2 Prototypes
0.1 1 10-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0Bessel ordre 2 à 6
ordre 2
temps de propagation de groupe(τ = -dϕ/dω) ( u.a)
pulsations normalisées (ωn)
ordre 3
ordre 4
ordre 5
ordre 6
5°) Filtres de Bessel
117
VII.2 Prototypes
5°) Filtres de Bessel
0.1 1 10-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Bessel ordre 2 à 6
Gain des filtres de Bessel (dB)
pulsations normalisées (ωn)
ordre 2
3
4
5
6
5°) Filtres de Bessel
118
VII.2 Prototypes
6°) Comparaison des prototypes
Comparaison des Gains des prototypes normalisés à – 3 dB
0.1 1 10-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Bessel
Butterworth
Chebychev
Cauer
Legendre
119
VII.2 Prototypes
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Tps
de
prop
agat
ion
de g
roup
e dé
phas
age
(°)
0.1 1 10 100
LegendreButterworthBesselChebychev
-250
-200
-150
-100
-50
ωn
LegendreButterworthBesselChebychev
d
d
ϕω
Phases comparées et linéarité
6°) Comparaison des prototypes
120
VII.2 Prototypes
VIII. Synthèse des Filtres Passifs
121
IX. Synthèse des Filtres Actifs
122
1 1
1 0 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ... ( )
n n m m
n n m mn n m m
d s t d s t d e t d e tb b b s t a a a e t
dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
II Méthodes de Synthèse
T.L. 11 0
11 0
...( )( )
( ) ...
m mm m
n nn n
a p a p aS pH p
E p b p b p b
−−
−−
+ + += =+ + +
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 2( )
1 '
1 2 1 2 1 2
p
p p p pH p
p p p
p p p p p p
ττ τ ζτ τ
τ τ τζτ τ ζτ τ ζτ τ
× × × + + + + = +× × + + + + + +
∏
Pbas_1 Phaut_1 Pbas_2
Pbande_2 Phaut_2 Cbande_2
123
IX. Synthèse des Filtres Actifs 1°) Synthèse par variable d'état
2
2
2
( )( )
( )2 1
N N
S p K pH p
p pE p ζω ω
= =+ +
Prenons par exemple un filtre Passe haut du second ordre :
22
2( ) 2 1 ( )
N N
p pS p E p K pζ
ω ω
+ + =
22
2( ) 1 2 ( )N N
NS p E p Kp p
ω ωζ ω
+ + =
en divisant par2
2N
p
ω
2 22
( ) ( )( ) ( ) 2N N N
S p S pS p K E p
p pω ζω ω= − −
2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )N N Ns t K e t s t dt s t dtω ζω ω= − −∫ ∫∫
Comment réaliser ces différentes fonctions ?
124
IX. Synthèse des Filtres Actifs
1°) Synthèse par variable d'état
2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )N N Ns t K e t s t dt s t dtω ζω ω= − −∫ ∫∫
Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫ ..n dtω ∫
s(t)
1 2 3
( )n s t dtω ∫
on obtient s(t)1en sortie
réponse du filtre passe haut du second ordre
..n dtω ∫
2ζ−
1−
2 ( )n s t dtω ∫∫
125
IX. Synthèse des Filtres Actifs 1°) Synthèse par variable d'état
Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫
1−
s(t)
1 2 3
( )n s t dtω ∫
2 ( )n s t dtω ∫∫
on obtient2et en sortie ( )s t dt∫
cad 2 2
2
( ) ( )2 1
N N
S K pS p E p
p pp ζω ω
= =+ +
qui est un passe bande du second ordre
2ζ
..n dtω ∫
126
IX. Synthèse des Filtres Actifs
1°) Synthèse par variable d'état
Σe(t) 2NK ω ..n dtω ∫
1−
s(t)
1 2 3
( )n s t dtω ∫
2 ( )n s t dtω ∫∫
on obtient3et en sortie ( )s t dt∫∫
cad 3 22
2
( ) ( )2 1
N N
S KS p E p
p pp ζω ω
= =+ +
qui est un passe bas du second ordre
2ζ
..n dtω ∫
127
IX. Synthèse des Filtres Actifs 2°) Synthèse à 1 A.O.P
e(t)
+
à rétroaction positive
-s(t)
type Salen Key
(développés dans le chapitre suivant) 128
IX. Synthèse des Filtres Actifs
e(t)
-
+ s(t)
type Rauch
mais les structure à 1 AOP de type Salen-Key ou Rauch ont une sensibilité croissante avec le coefficient de qualité Q=1/2ζ
utilisable pour Q<8 cadζ>0.06
à rétroaction négative
2°) Synthèse à 1 A.O.P
129
IX. Synthèse des Filtres Actifs
e(t)
-
à rétroaction double
+ s(t)
type Deliyannis et Friend
les structures à AOP multiple permettent d'obtenir des coefficients de qualité Q=1/2ζ > 50 cad ζ<0.01
2°) Synthèse à 1 A.O.P
130
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) Synthèse par simulation de composants
ve(t)
Si K est négatif on parle de Negative Impedance Converter (NIC)
ve= k vs
vs(t)
ie is
is= - k' ie'
/ ( ')e s s
e s s
v k v vk k
i i k i= = −
− e sZ K Z=
Zs
Si K est complexe on parle de Generalised Impedance Converter (GIC)
Si K est positif on parle de Positive Impedance Converter (PIC)
131
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. Circuits convertisseurs d'impédance
e(t)
On part d'une structure de filtre passif en échelle
et on simule les inductances par des circuits actifs sans utiliser de self
s(t)
132
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) a. GIC
équivalent à une self en parallèle (mise à la masse)
vs-+
- +
ve
ie
0 0
0 0
is
1 3 5 4
2
ee
e
v R R R CZ p L p
i R= = =
R1 R2
C4
R3
R5
GIC
133
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC
or vs=ve
5
ss
vi
R=
vs
( )4
33 4
5
e ee
C
v v vv v C p
Z R
− = − =
35 4
11ev v
R C p
= +
23
2 3 5 4
e ev v vi
R R R C p
− −= =
-+
- +
ve
ie
0 0
0 0
is
R1
R2C4
R3
R5
ve
vev3
v2 i3
i3
33
3 3 5 4
e ev v vi
R R R C p
− −= =
22
3 5 4
1e
Rv v
R R C p
= − +
2 2
1 1 3 5 4
ee e
v v Ri v
R R R R C p
−= =
1 3 5 4
2
ee
e
R R R C pvZ
i R= =
134
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) a. GIC
-+
- +
ve
ie R1 R2
C4R3 R5
GIC
GICve ve
GIC
R
GIC = Generalised Impedance Converter
135
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a. GIC
-+
- +R1 R2
C4R3
Pour simuler une inductance en série, il faut 2 GIC
- +
-+R1R2
C4R3
136
IX. Synthèse des Filtres Actifs
Rg
3°) b. Gyrateur
Gyrateur
2ge
ee
RvZ
i Z= =
Rgve ouZ Z
ie
137
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur
Utilisation du Gyrateur
22
2 2g
gc
RR C p L p
Z= =
Rg
C1
C2 L2
C1
22 2gL R C=
138
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) b. Gyrateur
Structure d’un Gyrateur ?
ie
ve
NIC
Z
NIC
2ge
ee
RvZ
i Z= =vs
Rg Rg
Rg
Z
NIC
Z−où
139
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC
Structure d’un NIC ?
- +
R R Z
ie
ve
ee
e
vZ Z
i= = −
Zve
NIC
- +
R Z
ie
ve
ieNIC
140
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) a.ii. NIC
-
+
Z
R
R
ve
vs
vei
i
ie
ie
Calcul du NIC
141
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) a.ii. NIC
-
+
Z
R
R
ve
vs
vei
i
ie
ieei i=
e ev Z i= −
eZ Z= −
Calcul du NIC
e e ev Z i=Par Def :
donc
D’où
e sv v R i− =e s ev v R i− =
142
IX. Synthèse des Filtres Actifs
3°) b. Gyrateur
Calcul du Gyrateur (1/2)
( ) ( )' //g gZ Z R R= + −
ie
ve
NIC
Z
NIC
Rg Rg
Rg
ie
ve
NIC
Z+Rg
Rg
-Rg
ie
ve
NIC
Z'
Rg
( ) ( )'
g gZ R RZ
Z
+ −=
143
IX. Synthèse des Filtres Actifs 3°) b. Gyrateur
Calcul du Gyrateur (2/2)
ie
ve
NIC
Z'
Rg
( ) ( )'
g gZ R RZ
Z
+ −=
ie
ve
NIC
Z"2
" gRZ
Z
−=
( )( )"
g g
g
Z R RZ R
Z
+ −= +
ie
ve -Z"2
" ge
RZ Z
Z= − =
144
IX. Synthèse des Filtres Actifs
X. Synthèse des Filtres Actifs
145
+
-
donc pour avoir vs ≠ ∞ (ou ±Valim ) il faut
Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits
v-
v+
( )sv G v v+ −= −
( G infini )
v+ = v-
i+
i-
de plus les impédances d'entrée sont infinies
donc i+ et i- sont nuli+ = i -=0
146
X. Synthèse des Filtres Actifs
Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits
e(t)
+
-
s(t)
Z2
Z1
v+ = v-
v- = e
0
1
1 2
Ze s
Z Z=
+e(t)
2
1
1Z
s eZ
= +
si Z1 =R1 et Z2 =R2 alors 2
1
1R
s eR
= +
i
147
X. Synthèse des Filtres Actifs
Rappel sur les Amplificateur Opérationnels Parfaits
e(t)
-
+
s(t)
Z2
Z1
1 2
e s
Z Z
−=v+ = v- = 0
e(t)
s(t)
2
1
s Z
e Z= −
148
X. Synthèse des Filtres Actifs
2°) Premiers Ordres
e(t)s(t)
+
-s(t)
K=1
R
C
K= 1 + R2 / R1
e(t)
+
-s(t)
R2R1
R
C
Passe
Bas
du
1er or
dres
149
X. Synthèse des Filtres Actifs
e(t)
R
C s(t)
K
Passe
Bas
du
1er or
dres
2°) Premiers Ordres
150
X. Synthèse des Filtres Actifs
e(t)
+
-
s(t)
R2
C
Passe
Bas
du
1er or
dres
R1
2 2 2 1
1 1 22
// 1 / /1 1
R C R Cp R RH
R R R CpRCp
−= − = − =++
2°) Premiers Ordres
151
X. Synthèse des Filtres Actifs
e(t) s(t)
K
Passe Haut du 1er ordres
R
C
e(t) +
-
s(t)
R2
C R1
2 2
1 11/ 1R R Cp
HR Cp R Cp
− −= =+ +
1R C p
H KR C p
=+
2°) Premiers Ordres
152
X. Synthèse des Filtres Actifs
i=0
Structure Générale des Salen-Key du 2emeordre
e(t) s(t)
Z4
( )1 2
1 4 5 2 3 2 42 3
1
K Y YH
Y Y Y Y Y K Y YZ Z
=
+ + + + − +
3°) Salen-Key
K
Z3
Z2
Z5
Z1
v+vi
153
X. Synthèse des Filtres Actifs
L’amplificateur de gain K est en général construit autour d’un AOP
Passe Bas de Salen-Key
( ) ( )21 2 3 4 1 2 3 1 4 1 1
KH
R R C C p R R C R C K p=
+ + + − +
3°) Salen-Key
e(t) s(t)
KR1 R2
C4
C3
Z1 = R1
Z2 = R2
Y4 = C4 p
Z5 = ∞
Y3 = C3 p
154
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key
e(t) s(t)
3°) Salen-Key
K=1R0 R0
q C0
m C0
R1 = R2 = R0 C4 = m C0 C3 = q C0
( )2 20 0 0 0
1
2 1H
mq R C p m R C p=
+ +
K=1
( ) ( )21 2 3 4 1 2 3 1 4 1 1
KH
R R C C p R R C R C K p=
+ + + − +
155
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key
3°) Salen-Key
e(t) s(t)
K=1R0 R0
q C0
m C0
2
2
1
2 1N N
Hp pζ
ω ω
=+ +( )2 2
0 0 0 0
1
2 1H
mq R C p m R C p=
+ +
0 0
1N
R C m qω = m
qζ = 1 1
2 2q
Qmζ
= =
156
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : Normalisation
3°) Salen-Key
e(t) s(t)
K=1
R0 R0
q C0
m C00
0
0 0 0
1 1CC
n
Zz
R R C p p= = = 0 1c =
e(t) s(t)
K=1
1 1
q
m
Impédance de référence :R0
00 0
1R C
ω =la pulsation de référence :
R0 1
C0 1
mC0 m
qC0 q
157
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : Normalisation
3°) Salen-Key
2
12 1n n
Hmq p m p
=+ +
m
qζ =
e(t) s(t)
K=1
1 1
q
m
Impédance de référence :R0
00 0
1R C
ω =la pulsation de référence :
0 0
1N
R C m qω =
158
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : exemple
Butterworth
3°) Salen-Key
0.707m
qζ = =
e s
K=1
1 1
q
m
Passe Bas d'ordre 2 de Salen-Key :
2
1
1.4142 1n n
Hp p
=+ +
m=0.7071 ; q=1.4142
159
X. Synthèse des Filtres Actifs
-40
Passe Bas de Salen-Key : exemple
filtre normalisé
3°) Salen-Key
0.707m
qζ = =
q=1.4142
e s
K=1
1 1
m=0.7071
ωn1 10
-20
0
0.1
db( V(Out1) / V(In) )
PasseBasOrdre2_Normalise_Parfait.sch
160
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : exemple
filtre dénormalisé à f0 = 1 kHz
3°) Salen-Key
Fréquence300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz
-40
-20
-0
db( V(Out1) / V(In) )
0 1R k= Ω
00 0
1159C nF
R ω= =
30 2 10ω π=
225 nF
112.5 nF
PasseBasOrdre2_Parfait.sch
161
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : exemple
Passe Bas de Butterworth d'ordre 4
3°) Salen-Key
11
1
0.924m
qζ = =
m1=0.9238 ; q1 =1.0823
m2=0.3826 ; q2 =2.6131
2 2
1 11.8477 1 0.7653 1n n n n
Hp p p p
=+ + + +
22
2
0.383m
qζ = = résonance G(ωr = 0.840 ω0 ) = Vm = 1.41
162
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4
3°) Salen-Key
2 2
1
0.7653 1
1
1.8477 1n n nn p pH
p p ++=
++
e
m1=0.9238 ; q1 =1.0823
q1 C0
K=1
R0 R0
m1 C0
s
G(ωr = 0.840 ω0 ) = Vm = 1.41
q2 C0
K=1
R0 R0
m2 C0
m2=0.3826 ; q2 =2.6131
PasseBasOrdre4_Parfait.sch Les Q élevé en tête 163
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bas de Salen-Key : exemple Passe Bas de Butterworth d'ordre 4
3°) Salen-Key
fr = 0.840 f0
Fréquence
100Hz 300Hz f0 = 1.0KHz 3.0KHz 10KHz-60
-40
-20
-0
2eme étage1er étage
les 2 étages
Vm = 1.41= 3dB
164
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Haut
e(t) s(t)
( ) ( )2
3 4 1 22
3 4 1 2 3 1 2 2 41 1
K R R C C pH
R R C C p R C C C K R p=
+ + + − +
3°) Salen-Key
K
R3
R4
C1 C2
Y1 = C1 p
Y2 = C2 p
Z4 = R4
Z5 = ∞
Z3 = R3
de Salen-Key
165
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Haut de Salen-Key
e(t) s(t)
( )( )
2 2 20 0
2 2 20 0 0 0
/
/ 2 / 1
R C p mqH
R C p mq R C p q=
+ +
3°) Salen-Key
1
R3=R0 / q
C1=C0
C1 = C2 = C0 R4 = R0 /m R3 = R0 /q K=1
C2=C0
R4=R0 / m
166
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Haut de Salen-Key
3°) Salen-Key
e(t) s(t)
1
R0 / q
R0 / m
C0 C0
2
2
2
2 2 1
N
N N
p
Hp p
ω
ζω ω
=+ +
0 0N
m q
R Cω = m
qζ =
( )( )
2 2 20 0
2 2 20 0 0 0
/
/ 2 / 1
R C p mqH
R C p mq R C p q=
+ +
167
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Haut de Salen-Key
3°) Salen-Key
e(t) s(t)
1
1/ q
1/ m
1 1
00 0
1R C
ω =0R
R0 1
C0 1
R0 / q 1 / q
R0 / m 1 / m
avec
e(t) s(t)
1
R0 / q
R0 / m
C0 C0
et
168
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bande
3°) Salen-Key
de Salen-Key
2emeordre (mais pentes en ±20dB/dec )
R
e
KCR
s2 RC
mais structure trop sensible aux écarts de valeur
0
1R C
ω =02 2
0 0
// 2 / 1
K pH
p p
ωω ζ ω
=+ +
32
Kζ −=
Gain àω0 : 0 3K
GK
=−
169
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bande de Rauch
R0 / m
e-
C0q R0
C0
s+m R0
1-m2
2emeordre (mais pentes en ±20dB/dec )
2 2 1n
n n
m pH
p m p=
+ +mζ =
0
14
G =
1Nω =
170
X. Synthèse des Filtres Actifs
Passe Bande
3°) Salen-Key
de Salen-Key
se1
R0 / q
R0 / mC0 C0
1R0 R0
q C0
m C0
4emeordre
(pentes en ±40dB/dec )
171
X. Synthèse des Filtres ActifsExemple de Passe Bande : Chebychev Ordre 6 de bande relative de 20%
(pentes en 1/p3 60dB/dec)
2°) Salen key
100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz
db(V(Out2)/V(Out1))
db(V(Out3)/V(Out2))
db(V(Out3)/V(In))
db(V(Out1)/V(In))
-60
-40
-20
-0
20
Pas
seB
ande
Ord
re3_
Che
bych
ev_0
.20_
Par
fait.
sch
Pente 20dB/dec
Pente 60dB/dec
Pente 40dB/dec
172
X. Synthèse des Filtres Actifs
Rappel sur la sensibilité
3°) Sensibilité
Elle représente la variation relative de la fonction f par rapport à la variation relative du paramètre xi
Soit une fonction f(x1 , x2 , …, xn),
i
fxSla sensibilité notée vaut : [ ]/ /
ln( )/i
f ix i i
i i i
f f f xS x x f
x x f x
∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂
exemple : f(x,y)= x2 + 3y 2
/ / 2/ 3
fx
f f f x xS x x
x x f x y
∂ ∂ ∂= = =∂ +
A.N : en x=1 et y=1 fxS = 0.5 (50%)
fyS = 0.75 (75%)
2
/ / 3
/ 3fy
f f f yS y y
y y f x y
∂ ∂ ∂= = =∂ +
173
X. Synthèse des Filtres Actifs
si x varie 20% (dx/x = 0.2 ) alors f varie de [dx/x]*[S x] soit 0.2 * 0.5 = 0.1 = (10% )
si y varie 20% (dy/y = 0.2 ) alors f varie de [dy/y]*[S y] soit 0.2 * 0.75 = 0.15 = (15% )
3°) Sensibilité
e s
1R1 R2
C2
C1
1 2 1 2
1N
R R C Cω = [ ]1 1 2
1 2 1 22
C R R
R R C Cζ
+=
Sensibilité d'un filtre de Salen Key
174
X. Synthèse des Filtres Actifs
( )21 2 1 2 1 2 1
1
1H
R R C C p R R C p=
+ + +
3°) Sensibilité
e s
1R1 R2
C2
C1
1 2 1 2
1N
R R C Cω =
[ ]1 1 2
1 2 1 22
C R R
R R C Cζ
+=
Sensibilité d'un filtre de Salen Key
[ ]/ln( )
/N
i
N NR i N
i i i
S RR R R
ω ω ω ω∂ ∂= =∂ ∂
[ ] [ ]1 1 1 1 2 1 2 1 1
1 1 11 2 1 2
1 1 1 1ln( ) ln( ) ln( )
2 2 2N
RS R R R R C C R RR R RR R C C
ω ∂ ∂ ∂= = − = − = − ∂ ∂ ∂
2 1 2
12
N N NR C CS S Sω ω ω= = = −
175
X. Synthèse des Filtres Actifs
11 / R
3°) Sensibilité
Sensibilité d'un filtre de Salen Key1
12
NCSω = −
Fréquence
1.0KHz 10KHz-30
-20
-10
0
10
1
1
20%C
C
δ =
2.7KHz
10%N
N
δωω
= −
2.43KHz
176
X. Synthèse des Filtres Actifs
Bibliographie
Analyse et synthèse des filtres actifs analogiques, Gérard Mangiante,
Ed. Lavoisier(Bibliothèque Physique Enseignement 612.382 MAN )
Filtres actifs, P. Bildstein, Ed. de la radio
Mathématiques Générales, Jacques Velu, Ed. Dunod(équations différentielles)
(Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 VEL 03E
Les Mathématiques en Licence, 1ere année Tome 2, E. Azoulay, J. Avignant, G. Auliac, Ed. EdiScience(équations différentielles)
(Bibliothèque Maths-Info Enseignement 03.5 AZO 2(1).03Q
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