travail de remise à niveau en mathématiques

Travail de remise à niveau en mathématiques 1/ 20

TRAVAIL DE REMISE A NIVEAU

EN MATHEMATIQUES POUR LA RENTREE EN 1ERE

Ce travail est à rendre le jour de la rentrée au professeur principal.

Ne pas faire toutes les fiches d’un coup et ne pas commencer une semaine avant la rentrée.

Le travail est à faire de façon rédigée dans un cahier. Avant de faire les exercices, reprendre le cours qui a été fait durant l’année scolaire ou regarder des cours sur internet afin de s’assurer que le cours est maitrisé. Le programme de mathématiques en 1ère est très exigeant et nécessite une bonne maîtrise du programme de seconde, tant des notions abordées que des types de raisonnements utilisés. Une attention particulière doit être apportée à la rigueur de la rédaction, à travers laquelle sera évaluée la rigueur du raisonnement.

Vous devez savoir maitriser l’utilisation de la calculatrice graphique.

Il ne faut en aucun cas chercher à commencer le programme de première en avance, cela ne permettant pas d’aborder la construction des connaissances en cours dans de bonnes conditions, bien au contraire...


I. Calculs et généralités

1. Les fractions

On considère des nombres a, b, c, d non nuls. Pour additionner deux fractions, il faut ………………………… Pour multiplier deux fractions :

�� x �� =

Pour diviser deux fractions : �� :

�� =

Exercice n°1 : Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible. (les étapes de calcul doivent apparaitre) :

A = �� -

�� x � B =

-1249-3

-35

C = 1 +

17

1 + 13

D =

7-6 ×

3-10

-145 ×

1-5

2. Les puissances

Soit a et b deux nombres non nuls et m et n deux entiers strictement positifs. a0 =

a1 =

a- n =

am x an =

(am)n =

(a x b)n =

�� =

��

=

Exercice n°2 : Ecrire sous la forme 2a x 3b x 5c x 7d où a, b, c, d sont des entiers relatifs, les nombres suivants :

A = 358 x 186 273 x 63² B =

95 x 636 x 147 188 x 985 C =

454 x 276 x 1057 426 x 245 x 757


3. Les racines carrées

a et b désignent des nombres positifs.

�√��2= √�x� = �� =

Exercice n°3 :

a. Calculer A = 3 2 + 5 2 – 7 2 + 2 2 B = 5 3 × (-2 5 )

C = (-2 7 )2

b. Écrire sous la forme « a + b c » (a, b et c sont des entiers relatifs) :

A = 2(3 + 5 ) B = 3(6 – 2 ) C = 3 (4 + 3 )

D = 2 3 (5 – 2 3 ) E = 5 7 (-4 + 3 7 ) F = -9 11 (-2 11 – 6)

c. Écrire sous la forme « a b » (a et b sont des entiers relatifs, b est le plus petit possible) :

A = 40 B = 99 C = 54 D = 63

E = 32 F = 288 G = 845 H = 847


4. Développement et factorisation

Pour tout nombre a, b, c, d et k, on a : K(a + b) = (a + b)(c + d) = Identités remarquables : (a + b)² = (a – b)² = (a + b)(a – b) =

Attention : En ôtant les parenthèses précédées d’un signe -, il faut penser à changer tous

les signes qui sont à l’intérieur des parenthèses. Exercice n°4 :

a. Développer les expressions suivantes :

A = (2X + 1)² B = (3X + 1)² C = (1 + 3X)² D = (3 – X)² E = (X – 2)² F = (1 - 3X)² G = (3 – 5X)² H = (4 - 3X²)²

I = (3X – 1)(3X + 1) J = (5 + 3X)(5 - 3X) K = (3 + 4X) (3 - 4X) L = (11X – 12)(11X + 12) M = (X + 1)² + (X – 3)² N = (3 – X)² + (X + 5)² P = (X – 2)² + (X + 4)(X – 4) Q = (2X + 1)² - (X + 3)²

b. Factoriser les expressions suivantes :

A = 4(X + 3) + 9X (X + 3) B = (X – 3)(2X + 1) + (2X + 1) C = (X + 1)(3 – X) + (X + 1)(2 + 5X)

D = 5(1 - 2X) – (X + 1)(2X - 1) E = (X + 1)² + (X + 1)(3X + 1) F = (3X – 4)(2 – X) – (3X – 4)² G = (4X + 4)(1 - 2X) + (X + 1) H = X² + 10X + 25 I = 100 – 40 X + 4X²

J = X² - 4 K = 4 - 64X² L = 16 - 9X² M = (X + 1)² - 4 N = 36 – (4 - 3X)² P = (3X– 4)² - (6X + 1)²

Q = (X + 6)² - (3X – 1)² R = (X + 4)(2X + 1) + X² - 16 S = 25 – X² - (X – 5)(2X + 3)

Exercice n°5 : a. On donne l’expression K(X) = (5X – 3)² + 6(5X – 3)

i. Développer et réduire K() ii. Calculer K( 2)

b. On pose N = 20 - 45 – 7 5 Ecrire le nombre N sous la forme p q avec p entier relatif et q entier le plus petit possible.


5. Intervalles et ensembles de nombres

a. Ensembles de nombres :

L’ensemble de tous les nombres que nous utilisons s’appelle l’ensemble des nombres réels : �. L’ensemble des nombres entiers positifs ou négatifs s’appelle l’ensemble des entiers relatifs : �. L’ensemble des nombres entiers positifs s’appelle l’ensemble des entiers naturels : �. L’ensemble des nombres écrits sous forme décimale (qui n’a qu’un nombre fini de chiffres après la virgule) s’appelle l’ensemble des décimaux : ð L’ensemble des nombres écrits sous forme fractionnaire �� avec a et b deux éléments de � s’appelle l’ensemble des nombres rationnels : �.

Exercice n°6 :

a. Compléter par le symbole appartient, n’appartient pas : 745 … � �

… � -9 … � -26 … �

3,2 … � 27 … ð -65,07 … ð �� … ð

-47 … � - 1/3 … ð 11/13 … ð - 0,1 / 0,002 … �

- 21/3 … � 11/13 … � - 9 478 … � 1/7 … ð

b. Donner le plus petit ensemble auquel appartient chaque nombre :

57,258 932 ϵ …………… √144 ϵ ………………… ��

� ϵ ……………………… √ ϵ ………… - 25,26 ϵ ………

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b. Intervalles :

Exercice n°7 :

a. Donner l’intervalle qui correspond à chaque inégalité

Inégalité

a . 3 ≤ x ≤ 8 ⇔ x ∈

c. -1 < x < 2 ⇔ x ∈

e. 0 ≤ x < 5 ⇔ x ∈

b. Donner l’inégalité qui correspond à chaque intervalle

Intervalle

a . x ∈ [1 ; 9] ⇔

c. x ∈ [6 ; +∞[ ⇔

e. x ∈ ]-∞ ; 8] ⇔

c. Représenter sur l’axe les différents intervalles, puis écrire plus simplement leur réunion.

0 a.

0 b.

0 c.

0 d.

0 e.


correspond à chaque inégalité :

Intervalle Inégalité

b . 2 ≤ x

d. x ≤ 7

f. 3 < x ≤ 15

Donner l’inégalité qui correspond à chaque intervalle : c.

Inégalité Intervalle

b . x ∈ ]-10 ; +∞[

d. x ∈ [2 ; 7[

f. x ∈ ]-21 ; -1]


[-3 ; 2] ∪ [2 ; 5] ∪ [5 ; 7] =

[-1 ; 4] ∪ [0 ; 5] =

]-2 ; 2 [ ∪ ]0 ; 4[ ∪ ]1 ; 5[ =

]-5 ; -3 [ ∪ [-3 ; 0[ ∪ ]0 ; 5[ = [-6 ; -1] ∪ ]-1 ; 2] ∪ ]0 ; +∞[ =

Intervalle

⇔ x ∈

⇔ x ∈

⇔ x ∈

Inégalité

⇔

⇔

⇔



d. Représenter sur l’axe les différents intervalles, puis écrire plus simplement leur intersection.

e. Ecrire chaque ensemble de la façon la plus simple possible. a. [-1 ; 4] ∪ [0 ; 5] = f. [-4 ; 3] ∩ [1 ; 9] =

b. [-7 ; 2] ∩ [4 ; +∞[ = g. [-1 ; 0] ∪ [1 ; 5] =

c. [-7 ; -2] ∩ [-2 ; 5[ = h. [-1 ; 4] ∪ [5 ; 7] ∪ ]4 ; 5[ =

d. ]-∞ ; 1[ ∩ ]-1 ; +∞[ = i. ]-∞ ; -1[ ∩ ]1 ; +∞[ =

e. ]-∞ ; 0[ ∩ [0 ; +∞[ = j. [-1 ; 4] ∪ [3 ; 5] ∪ [7 ; 12] =

0 a. [-4 ; 4] ∩ [2 ; 5] =

0 b. [-5 ; 5] ∩ [-1 ; 2] =

0

c. ]-5 ; 4[ ∩ ]3 ; +∞[ =

0 d. ]-2 ; 3[ ∩ ]3 ; 6] =

= 0

e. [-6 ; 3] ∩ [-2 ; 6] ∩ [-1 ; 1[ =


6. Equations et inéquations :

Equation produit : A x B = 0 � Equation quotient : �� = 0 � Pour résoudre une inéquation produit ou quotient : il faut ☛ mettre tous les termes à gauche pour avoir 0 à droite ; ☛ factoriser ou mettre au même dénominateur ; ☛ faire un tableau de signes ; ☛ conclure.

Exercice n°8 :

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

7 X = 21 - 3X = 12 5X – 25 = 0 4X – 3 = 5 4X + 2 = X + 11 3X – 7 = -2X - 9 7X – 8 = 3X + 4 4X + 7 = 4X + 3

5 X > 10 7X < 21 X + 2 ≥ 5 - 2X > 5 3X ≤ - 9 3X + 5 > -4 - 4X + 7 ≤ 2X + 6 2X – 3 > 5X + 6

3x + 12 + 6x

= 6 (-x + 5)(3x – 1)(3 + 2x)(-7x – 3)

= 0 (2x + 1)(5x – 4)(8x – 6)(-4 + 3x)(-6x – 3)

= 0 x3x – 1

= 3x – 1x

(5x + 1)(7 – 3x)(x + 2) = 0 3x² – 2x = 7x (2x – 3)(4 + 7x) + (2x – 3)(x + 4) = 0 (5x + 3)² = 4(2x + 5)²

(2x – 1)² – (7x + 3)² = 0

(-2x + 7)(5x – 4) ≤ 0 (3x + 2)(5x – 4) > 0

23x + 1

≤ 5

x – 3x + 1

+ 2x + 5x – 2

> 3 2x² + 13 + x

< 2x


II. Fonctions

1. Généralités

Lorsqu’à tout nombre X d’une partie D de � on associe un nombre réel y et un seul, alors on définit une fonction sur l’ensemble D. D est l’ensemble de définition de la fonction f. Y est l’image de X par f et X est un antécédent de y par f. Une fonction f est croissante sur un intervalle I si : Pour tout a,b ϵ I, si a < b alors f(a) < f(b) Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si : Pour tout a,b ϵ I, si a < b alors f(a) > f(b)

Exercice n°9 : Soit la fonction f dont la représentation graphique est :

1. Par lecture graphique : déterminer :

a. L’ensemble de définition de f. b. L’image de 3 par f, l’image de 5 par f. c. Le (ou les) antécédent(s) de 0 par f. d. Le (ou les) antécédent(s) de 5 par f. e. Les extremums de f sur son domaine de définition.

2. Tracer le tableau de variation de f sur son domaine de définition. 3. Décrire par des phrases les variations de f sur son domaine de définition. 4. Résoudre graphiquement :

a. f(X) = 2 b. f(X) < -1


Exercice n°10 : Soit la fonction f définie par f(X) = 2X² + 9X - 5

1. Déterminer le domaine de définition de f. 2. Vérifier que f(X) = 2 (X – )(X + 5) 3. Déterminer, par le calcul : (résultats donnés en valeur exacte)

a. L’image de 6 par f b. L’image de √3 par f c. L’image de (6 - 2√5) par f d. Le(s) antécédent(s) de -5 par f e. Le(s) antécédent(s) de 0 par f.

4. Le point A(-8 ; -61) appartient-il à la courbe représentative de f ? Justifier. Exercice n°11 :

1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :

a. f(X) = 5X² + 8X b. g(X) = �� c. h(X) =

� �√� �

2. Dresser le tableau de valeurs, avec un pas de 0,5, de la fonction f sur [-3 ; 3] et faire la

représentation graphique dans un repère orthonormé. (arrondir au dixième et prendre 2 cm pour une unité sur chaque axe)

f(X) = �!�� Exercice n°12 : Soit la fonction f dont le tableau de variation est le suivant :

1. Quel est le domaine de définition de f ? 2. Décrire par des phrases les variations de f. 3. Quel est le minimum de f sur son domaine de définition ? 4. Quel est le maximum de f sur son domaine de définition ? 5. Si X ϵ [-7 ; 1], à quel intervalle appartient f(X) ? 6. Comparer : lorsque cela est possible

a. f(-6) et f(-5) b. f(-4) et f(0) c. f(-7) et f(3) d. f(-5) et f(2)


Exercice n°13 :

Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on dispose d'une plaque carrée de côté 6 dm, dans laquelle on découpe à chaque coin un carré de côté X dm . On obtient ainsi le patron d'une boîte sans couvercle.

Soit V la fonction qui à la longueur X associe le volume de la boîte. 1. a) déterminer l'ensemble de définition D de la fonction V. b) Déterminer, en fonction de X, les dimensions de cette boîte. c) En déduire que pour tout réel X de l'intervalle D, . 2. Calculer V(1,5). Interpréter concrètement ce résultat. 3. Pour quelle(s) valeur(s) de X obtient-on une boîte cubique? Quel est alors le volume de cette boîte ? 4. Compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide du mode TABL la calculatrice.

X 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

5. Construire la représentation graphique de la fonction V dans un repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisses et 0,5 cm en ordonnées). 6. Conjecturer graphiquement le volume maximal de la boîte. Pour quelle(s) valeur(s) de X est-il atteint ? 7. Vérifier que pour tout réel X de l'intervalle D. 8. En déduire que, pour tout réel X de l'intervalle,D . Ceci permet-il de valider la conjecture de la question 6 ?


2. Fonctions affines et systèmes

Une fonction affine est définie par f(X) = m X + p ; sa représentation graphique est une droite d’équation y = mX + p avec m le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine. Si la représentation graphique d’une fonction affine passe par les points A(XA ; yA) et B(XB ; yB), Alors : m =

"# "$�# �$ et p = yA – m XA

Si m > 0, la fonction est croissante. Si m < 0, la fonction est décroissante. Soit le système :

aX + by = c a’X + b’y = c’ avec b ≠ 0 et b’≠ 0

Pour savoir le nombre de solutions, il faut calculer :

Exercice n°14 : Dans le repère orthonormé, on a tracé la représentation graphique de diverses fonctions affines.

Déterminer l’expression de chacune des fonctions affines.

D1D2

D3

D4

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y


Exercice n°15 : Dans un repère orthonormé, on a les points A(3 ; 4), B(7 ; -2), C (-3 ; 1) et D(-2 ; -5).

1. Déterminer la fonction affine f dont la représentation graphique passe par les points A et C. 2. Déterminer en justifiant son sens de variation. 3. Déterminer l’équation de la droite :

a. (BD) b. (AB) c. (BC) d. Parallèle à la droite (BD) passant par A.

3. Déterminer par le calcul, les coordonnées du point d’intersection R des droites (AB) et (BD). Exercice n°16 : Après avoir vérifié le nombre de solutions pour chaque système, les résoudre (lorsque cela est possible) :

a. + y = 5 – y = 1 b.

+ y = 15 2 + y = 21 c.

3 + 4y = 24 + 5y = 19

d. % 2& − 4( = 5−6& + 12( = 10- e. %4& + 2( = 66& + 3( = 9- f. %−4& + 8( = 102& − 4( = −5 -

Exercice n°17 : Une personne dispose de 6 €. Elle peut dépenser cette somme soit en achetant 10 croissants et un cake, soit en achetant 4 croissants et 2 cakes. Calculer le prix d’un croissant et d’un cake.

4. Fonction carré et polynômes du second degré

La fonction carré est définie sur � par f(X) = X². Sa représentation graphique est une parabole qui passe par l’origine. Elle est donc décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; + ∞[. Une fonction polynôme de degré 2 est définie sur � par : f(X) = aX² + bX + c avec a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole qui a pour sommet le point S(0; 2) avec 0 = - �� et 2 = f(0). Son axe de symétrie a pour équation X = 0.

Exercice n°17 :

1. Faire la représentation graphique de la fonction carré sur l’intervalle [-6 ; 6] dans un repère orthogonal.

2. Dresser le tableau de variation de la fonction carré sur chacun des intervalles suivants : a. I = [1 ; 5] b. I = [-3 ; 4]

3. Comparer les nombres suivants sans utiliser la calculatrice : (en justifiant) a. 2,31² et 2,315² b. (-4,52)² et (-4,53)² c. (-6,502)² et (-6,5025)²


Exercice n°18 : 1. Soit la fonction f définie sur � par f(X) = (X² + 1)² - (X² - 1)².

Est-ce une fonction polynôme du second degré ? pourquoi ?

2. Etudier les variations, puis dresser le tableau de variation des fonctions f et g définies sur � par :

a. f(X) = -3X² + X + 2 b. g(X) = 5X² - 7X

Exercice n°19 : Soit f et g les fonctions polynômes du second degré définies sur � par : f(X) = 2X² + 3X – 14 et g(X) = X² + X + 1

1. Montrer que pour tout réel X, f(X) – g(X) = (X – 3)(X + 5) 2. En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes représentatives de f et g.

5. Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur � \ {0} par f(X) = � Sa représentation graphique est une hyperbole. Elle est donc décroissante sur ]-∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; + ∞[

Exercice n°20 :

1. Dans un repère orthogonal, faire la représentation graphique de la fonction inverse sur l’intervalle [-6 ; 6].

2. Soit a un réel appartenant à chacun des intervalles donnés ci-dessous. Dans chaque cas, donner un encadrement de l’inverse de a en justifiant :

a. I = [4 ; 10] b. I = [1 ; 5] c. I = [-3 ; -1]


III. Probabilités et statistiques

1. Statistiques Exercice n°21 : Un dictionnaire de Scrabble indique en première page le nombre de mots qu’il contient en fonction du nombre de lettres qui le composent :

1. Calculer le nombre moyen de lettres des mots donnés dans ce dictionnaire. 2. Déterminer, par le calcul, la médiane et les quartiles de cette série statistique.

Exercice n°22 : Pour chacun des élèves d’un lycée, on a relevé la distance, en km, du domicile au lycée. On a obtenu les résultats suivants :

1. Calculer la moyenne de la distance parcourue par les élèves. 2. Calculer l’étendue. 3. Calculer les fréquences et les fréquences cumulées croissantes et décroissantes. On

présentera les résultats dans un tableau et on arrondira à 0,01 près. 4. Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes (on prendra 1 cm pour 1 km et 1 cm

pour une fréquence cumulée de 0,1) 5. Déterminer graphiquement la médiane et les quartiles.


2. Probabilités

Exercice n°23 : Une entreprise fabrique du matériel en très grande série. Ce matériel peut présenter deux défauts, notés A et B. Dans un lot de 1 000 appareils, on a observé que 80 appareils présentaient le défaut A, 110 présentaient le défaut B et 30 présentaient les deux défauts.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

2. On choisit au hasard un appareil parmi les 1000.

a. Quelle est la probabilité qu’il ait exactement le défaut A ? b. Quelle est la probabilité qu’il n’ait aucun défaut ?

3. On tire au hasard un appareil parmi les 1000 et on observe qu’il présente le défaut A. Quelle est la probabilité qu’il présente aussi le défaut B ?

4. On tire au hasard un appareil parmi les 1000 et on observe qu’il ne présente pas le défaut B. Quelle est la probabilité qu’il ne présente pas non plus le défaut B ?

Exercice n°24 : La porte d’entrée d’un immeuble est munie d’un clavier de trois touches marquées par les lettres A, B et C. Le code qui déclenche l’ouverture de la porte est formé de deux lettres distinctes ou non.

1. Faire un arbre qui dénombre l’ensemble des codes possibles : 2. Déterminer le nombre de codes possibles. 3. Déterminer la probabilité des évènements suivants :

a. A : « le code se termine par A ». b. B : « le code est formé de deux lettres différentes » c. C : « le code comporte au moins une fois la lettre A ».

Exercice n°25 : Une campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l’éclairage de 400 véhicules :

• 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage. • 140 des 400 véhicules présentent un défaut d’éclairage. • 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d’éclairage.

Soit E : « le véhicule présente un défaut d’éclairage » F : « le véhicule présente un défaut de freinage »

1. Faire un diagramme de Venn qui traduise la situation. 2. On choisit au hasard un véhicule parmi ceux qui ont été examinés. Déterminer :

a. P(F ∩ 45555) b. P(E ∩ 65555) c. P(45555 U 65555) d. P(E U F)


Exercice n°26 : Voici les résultats d’un sondage effectué en 1999 après de 2 000 personnes, à propos d’internet :

• 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par internet, • 35 % des personnes interrogées ont moins de 30 ans, et parmi celles-ci, quatre cinquièmes

déclarent être intéressées par internet, • 30 % des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85 % ne sont pas

intéressées par internet. 1. Compléter le tableau suivant :

Intéressées par

internet Non intéressées par

internet Total

Moins de 30 ans

De 30 à 60 ans

Plus de 60 ans

Total 2 000

2. On choisit au hasard une personne parmi les 2 000 interrogées. On suppose qu’il y a

équiprobabilité. On considère les évènements suivants : A : « la personne interrogée a moins de 30 ans » B : « la personne interrogée est intéressée par internet » a. Calculer P(A) b. Calculer P(B) c. Définir par une phrase l’évènement 75555 puis calculer P(75555) d. Définir par une phrase l’évènement A∩ B puis calculer P(A∩ B). En déduire P(A U B).

3. On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par internet.

Quelle est la probabilité qu’elle ait plus de 30 ans ?

3. Echantillonnage Exercice n°27 : On sait que dans la population française, 26 % des individus sont allergiques au pollen. Les services sanitaires d’une ville demandent si ce même pourcentage s’applique aussi à leurs concitoyens. Pour répondre à cette question, ils constituent un échantillon de taille 400 personnes et observent que 130 sont allergiques au pollen.

a. Utiliser la formule donnée en cours pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des personnes allergiques au pollen pour des échantillons de 40 individus de la population française.

b. Calculer la fréquence observée dans la population. Conclure.


UNIQUEMENT POUR CEUX QUI VONT EN 1ERE S

IV. Repérage et vecteurs

Dans un repère orthonormé, si A(XA ; yA) et B(XB ; yB), alors : ☛ le milieu de [AB] a pour coordonnées : ☛ la longueur AB est : ☛ le vecteur 7899999: a pour coordonnées

Exercice n°28 : ABCD est un carré de centre E. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère :

a. (E ; D ; C) b. (E ; B ; A)

Exercice n°29 : Soit (O ; I ; J) un repère orthonormé du plan. On considère les points : A(2 ; 2), B(7 ; 1) et C(4 ; 4)

1. Faire une figure qui sera complétée par la suite. 2. Démontrer que ABC est un triangle rectangle en C. 3. Détermine les coordonnées du point H, centre du cercle C circonscrit au triangle ABC

en expliquant la méthode. 4. Calculer le rayon de ce cercle C. 5. Déterminer les coordonnées du point E, symétrique de D par rapport à H. 6. Quelle est la nature du quadrilatère ADBE ? Justifier.

Exercice n°30 : On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère :

a. (O ; A ; C) b. (E ; F ; B)


Exercice n°31 : On considère la figure ci-dessous :

1. Déterminer les coordonnées de tous les points dans le repère : a. (O ; I ; J) b. (I ; O ; J)

2. Placer le point F (-2 ; -1) dans le repère (J ; O ; C) 3. Placer le point G(2 ; -3) dans le repère (D ; I ; E)

Exercice n°32 : Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on considère les points A(1 ; -1), B(-4 ; 1) et C (-6 ; -4).

1. Calculer les longueurs AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ? 2. On considère le point D de coordonnées (7 ; � ). Les points A, C et D sont-ils alignés ?

Justifier. 3. Calculer la valeur de y pour que E(13 ; y) soit tel que (AC) et (BE) soient parallèles. 4. Soit F(X ; 1). Déterminer X pour que les vecteurs 769999: et 8;9999: soient colinéaires.

Exercice n°33 :

Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points A(-2 ; 1), B(4 ; 4) et C(� ; -2). 1. Dans un repère, placer les points A, B et C. 2. Calculer les coordonnées de G défini par : 7<99999: = � 7899999: + � 7;99999:. Placer G. 3. Calculer les coordonnées de R milieu de [AC]. Placer R. 4. On considère G’ le symétrique de G par rapport à R. Démontrer que les coordonnées

de G’ sont (-1 ; -2). Placer G’. 5. Démontrer que G’ est le milieu de [BG’]. 6. Déterminer les coordonnées du point M défini par : 4 =7999999: + =8999999: - 2 =;99999: = 09:


Exercice n°34 : mise en équation Dans la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle. AB = 8 et BC = 6. M est un point de [AB] et Q est un point de [BC] tels que AM = QC. P est le point du segment [AD] tel que AMNP est un carré. Le point R est tel que MBQR est un rectangle.

Problème : déterminer la position du point M par rapport à A telle que la somme des aires des quadrilatères AMNP et MBQR soit égale à la moitié de l’aire du rectangle ABCD. Soit X la longueur AP.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour X ? 2. Exprimer en fonction de X la somme des aires des quadrilatères AMNP et MBQR. 3. Mettre le problème en équation et justifier que l’équation à résoudre est X² - 7X + 12 = 0. 4. Soit la fonction g définie par g(X) = X² - 7X + 12.

a. A l’aide de la calculatrice, représenter Cg. b. En déduire par lecture graphique les solutions de l’équation g(X) = 0. Expliquer la

méthode. 5. Vérifier que X² - 7X + 12 = (X – 4)(X – 3). 6. Résoudre le problème par le calcul.

D

A

C

BM

P N

R Q

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travail de remise à niveau en mathématiques