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TRIANGLE
Inégalité triangulaire
Inégalité triangulaire
1.Définition
2.Cas du triangle.
3.Cas des points alignés.
Plan du chapitre
Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long.
A(Andernos)
B(Cap Ferret)
C(Ile aux oiseaux)
Inégalité triangulaire
Donc AB < AC + CB
1. Définition.
Le plus court chemin pour aller d'un point à un autre, c'est la ligne droite. Tout trajet différent (détour) sera obligatoirement plus long.
Inégalité triangulaire
Donc AC < AB + BC
1. Définition.
A(Andernos)
B(Cap Ferret)
C(Ile aux oiseaux)
• Une bouée M est sur le trajet "direct" Andernos – Cap ferret.Les points A, M et C sont donc alignés (et dans cet ordre).
M(Bouée)
• De plus,on ne peut pas trouver une bouée N telle que :AB > AN + NC
(c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)
Donc AM + MB = AB
A(Andernos)
B(Cap Ferret)
C(Ile aux oiseaux)
• La bouée est sur le trajet "direct" Andernos – Cap ferret.Les points A, M et B sont donc alignés (et dans cet ordre).
• De plus,on ne peut pas trouver une bouée N telle que :AB > AN + NB
(c’est impossible, le plus court chemin est la ligne droite)
Donc AM + MB = AB
M(Bouée)
A(Andernos)
B(Cap Ferret)
C(Ile aux oiseaux)
Finalement, on peut donc conclure que :
Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours :
« Peu importe qui sont .. »
AB AC + CBPar
Finalement, on peut donc conclure que :
Propriété : Quels que soient les points A, B et C, on a toujours :
« Peu importe qui sont .. »
AC AB + BCPar
AC
2. Dans un triangle.
A
BC
AB
BC
On a :
Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
< AB + BC
< AC + CB
< BA + AC
Par
AC
2. Dans un triangle.
A
BC
AB
BC
On a :
Propriété : Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés.
< AB + BC
< AC + CB
< BA + AC
Par
Exemple 1 :
Peut-on construire le triangle ABC ?
A
BC
9 cm5 cm
13 cm
On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer.
• Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC.
• Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.
Exemple 1 :
Peut-on construire le triangle ABC ?
A
BC
9 cm5 cm
13 cm
On doit vérifier la propriété que l’on vient d’énoncer.
• Il est évident que AC < AB + BC et que AB < AC + CB car AC et AB sont déjà inférieurs à BC.
• Il suffit donc de vérifier la 3ème inégalité, celle qui concerne BC, la longueur du plus long côté.
A
BC
9 cm5 cm
13 cm
BC = 13 cm
BA + AC = 5 + 9
= 14 cm
La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.
Donc BC < BA + BC
A
BC
9 cm5 cm
13 cm
BC = 13 cm
BA + AC = 5 + 9
= 14 cm
La longueur de chacun des côtés étant donc inférieure à la somme des deux autres, on peut donc construire le triangle ABC.
Donc BC < BA + BC
Exemple 2 :
Peut-on construire le triangle IJK ?
• Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
K
I
J
7,6 cm3,9 cm
3,4 cm
Exemple 2 :
Peut-on construire le triangle IJK ?
• Comme on vient de le voir dans l’exemple précédent, il suffit de vérifier que la longueur du plus long côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.
K
I
J
7,6 cm3,9 cm
3,4 cm
IK = 7,6 cm
IJ + JK = 3,9 + 3,4
= 7,3 cm
D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.
Donc IK > IJ + JK
K
I
J
7,6 cm3,9 cm
3,4 cm
IK = 7,6 cm
IJ + JK = 3,9 + 3,4
= 7,3 cm
D’après la propriété, ceci est impossible. Donc on ne peut pas construire le triangle IJK, il n’existe pas.
Donc IK > IJ + JK
K
I
J
7,6 cm3,9 cm
3,4 cm
3. Cas des points alignés.
Propriété :Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre.
Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC.
par
AB
C
ABBC
= AC
+
3. Cas des points alignés.
Propriété :Si AC = AB + BC alors les points A, B et C sont alignés dans cet ordre.
Réciproquement, si A, B et C sont alignés dans cet ordre alors AC = AB + BC.
par
AB
C
ABBC
= AC
+
Exemples :
Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a :
AB = AC + CB
Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a :
IK = IJ + JK
AC
B
IJ
K
Exemples :
Les points A, C et B sont alignés dans cet ordre donc on a :
AB = AC + CB
Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre donc on a :
IK = IJ + JK
AC
B
IJ
K
On donne trois points R, S et T tels que :RS = 3cm ST = 12 cm RT = 9 cmLes points R, S et T sont-ils alignés ?
Solution : RS + RT = 3 + 9= 12= ST
Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre.
S R T
On donne trois points R, S et T tels que :RS = 3cm ST = 12 cm RT = 9 cmLes points R, S et T sont-ils alignés ?
Solution : RS + RT = 3 + 9= 12= ST
Donc les points S, R et T sont alignés dans cet ordre.
S R T
