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1010Chapitre
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUESFONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
La musique est une mathématiquesonore, la mathématique est une
musique silencieuse.
Edouard Herriot
On attribue à Pythagore l'origine de l'étude physique des sons émis par des cordes tendues. Ilfaut ensuite attendre le XVIIe siècle pour comprendre ce qu'est un son.En fait si on joue une note, le son obtenu est une superposition de phénomènes vibratoires régispar des fonctions sinusoïdales appelées harmoniques.Le timbre du son musical est justement caractérisé par le nombre et l'intensité de ces harmo-niques.L'étude des cordes vibrantes sera, jusqu'au XIXe siècle, l'un des grands problèmes des physicienset des mathématiciens.
1 RAPPELS DE PREMIÈRE
1.1 Définition et premières propriétés
Soit (O ; I , J ) un repère orthonormé du plan et C le cercle trigonométrique 1.À tout réel x, on associe un point M du cercle C tel que x soit une mesure en radians de l'angle
orienté(−→OI;−−→OM
)et réciproquement.
Par dé�nition, cos(x) et sin(x) sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée de M .
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on peut écrire cos(x) = cosx et sin(x) = sinx.
Notation
On dé�nit la tangente de x par tanx =sinx
cosxpour tout x 6= π
2+ kπ avec k ∈ Z.
1. C'est-à-dire le cercle de centre O, de rayon 1 et orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'unemontre.
LYCÉE BLAISE PASCAL
1S.DELOBEL
M.LUITAUD
2 Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
Un clic sur l'image et c'est magique !
Pour tout réel x et pour tout entier k, on a :
cos2 x+ sin2 x = 1 (relation fondamentale)−1 6 cosx 6 1 −1 6 sinx 6 1
cos(x+ 2kπ) = cosx sin(x+ 2kπ) = sinx(On dit alors que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques 2 de période 2π.)
Propriété 1.
Les angles remarquables :
Angle en radians 0π
6
π
4
π
3
π
2
Cosinus 1
√3
2
√2
2
1
20
Sinus 01
2
√2
2
√3
21
0
π
6
π
4
π
3
π
2
1
2
√2
2
√3
2
1
2
√2
2
√3
2
Exercice 1 Pour utiliser la relation fondamentale
Déterminer cosx sachant que sinx =1
3et x ∈
[ π2; π].
Exercice 2 Pour utiliser la relation fondamentaleSoit A(x) = (cosx+ sinx)2 + (cosx− sinx)2.
1. Calculer A(π4
)et A
(π3
).
2. Que peut-on conjecturer ? Le prouver.
2. On dit qu'une fonction est périodique de période T lorsque pour tout réel x, on a f(x+ T ) = f(x).
Cours de Terminale S 3
Exercice 3 Fonction périodiqueDémontrer que les fonctions suivantes sont périodiques de période T .
1. f(x) = cos(4x)− 5 T =π
22. g(x) = sin(πx) T = 2
Exercice 4 Des équations trigonométriquesRésoudre dans R les équations suivantes :
1. cos(2x) = −√2
2
2. 2 sin2 x− 3 sinx− 2 = 0
Exercice 5 Signe de fonction trigonométrique
Soit f la fonction dé�nie sur[0 ; 2π
]par f(x) = cosx+
1
2.
Compléter : f(x) > 0⇐⇒ cosx > . . . . . .
f(x) = 0⇐⇒ cosx = . . . . . .
f(x) < 0⇐⇒ cosx < . . . . . .
x
Signede f(x)
0 2π
Exercice 6 Signe de fonction trigonométrique, encore
Soit g la fonction dé�nie sur
[−π2
;π
2
]par f(x) = cos
(2x− π
3
).
Compléter :
Lorsque x décrit
[−π2
;π
2
], 2x − π
3décrit . . . . . . . . .
x
Angle
2x − π
3Signede g(x)
−π2
π
2
4 Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
1.2 Les angles associés
Soit x un réel.Les angles associées à x sont −x, π − x, π + x, π2 − x et π
2 − x.Connaissant les valeurs de cosx et de sinx, on peut en déduire les valeurs exactes des cosinus etsinus des angles associés à x. Utilisons le cercle trigonométrique.
x
−x{cos(−x) = cosx
sin(−x) = − sinx
xπ − x
{cos(π − x) = − cosx
sin(π − x) = sinx
x
π + x{cos(π + x) = − cosx
sin(π + x) = − sinx
x
π
2− x
{cos(π2 − x
)= sinx
sin(π2 − x
)= cosx
x
π
2+ x
{cos(π2 + x
)= − sinx
sin(π2 + x
)= cosx
Théorème 2 (Les angles associés).
� la fonction cosinus est une fonction paire 3car pour tout x ∈ R, cos(−x) = cosx.� la fonction sinus est une fonction impaire car pour tout x ∈ R, sin(−x) = − sinx.
Exercice 7 Paire ? Périodique ?Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = cosx+ sinx.
1. Démontrer que f(−π) = f(π).
2. La fonction f est-elle paire ?
3. Démontrer que f est périodique de période 2π.
3.� Une fonction est paire lorsque le domaine de dé�nition est symétrique par rapport à zéro et les images de
deux nombres opposés sont toujours égales.Exemples : la fonction carrée, la fonction valeur absolue...
� Une fonction est impaire lorsque le domaine de dé�nition est symétrique par rapport à zéro et les imagesde deux nombres opposés sont toujours opposés.Exemples : la fonction cube, la fonction inverse...
� Il existe des fonctions ni paire ni impaire.Exemples : La fonction racine carrée, la fonction exponentielle...
Cours de Terminale S 5
Exercice 8 Équations et associésRésoudre dans R les équations suivantes :
1. cos(x2+π
3
)= − cosx 2. cosx = sinx
1.3 Les formules d’addition et de duplication
Soient a et b deux réels.
cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin bcos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b
sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin bsin(a− b) = sin a cos b− cos a sin b
Théorème 3 (Les formules d'addition).
En prenant a = b, nous obtenons les formules suivantes :
Soit a un réel.
cos (2a) =
cos2 a− sin2 a
2 cos2 a− 1
1− 2 sin2 a
et sin (2a) = 2 sin a cos a
Théorème 4 (Les formules de duplication).
Soit a un réel.
cos2 a =1 + cos(2a)
2et sin2 a =
1− cos(2a)
2
Théorème 5.
2 DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
On admet que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.
2.1 Dérivabilité en 0
limx→0
sinx
x= 1 et lim
x→0
cosx− 1
x= 0
Proposition 6.
6 Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
Indication pour la première limite :
Dans le repère (O ; I , J ), C est le cercle trigonométrique decentre O et de rayon OI = 1.
Le point M est sur l'arc de cercle_
IJ .Le projeté orthogonal de M sur [OI] est le point C et la droite∆ est la perpendiculaire à (OI) passant par I.T est le point d'intersection des droites (OM) et ∆.On note de plus :� A1 l'aire du triangle OIM ;� A2 l'aire du secteur angulaire OIM ;� A3 l'aire du triangle OIT ;
� x une mesure de l'angle(−→OI;−−→OM
).
x
C
CO I
J
M
T
∆
On admet que A1 6 A2 6 A3.
1. Exprimer A1, A2 et A3 en fonction de x.
2. Démontrer que pour tout x ∈]
0 ;π
2
[, sinx 6 x 6
sinx
cosx.
3. En déduire un encadrement desinx
x.
4. Prouver que limx→0x>0
sinx
x= 1.
5. Soit x ∈]−π
2; 0[.
a. À quel intervalle appartient −x ?
b. Déduire de l'encadrement de la question 3, un encadrement desinx
xpour x ∈
]−π
2; 0[.
c. Prouver que limx→0x<0
sinx
x= 1.
6. Conclure.
Indication pour la deuxième limite :
Utiliser le théorème 5 pour prouver que, pour tout réel x, cosx−1 = −2 sin2 x
2et utiliser la limite précédente.
Preuve
Exercice 9
Déterminer les limites suivantes :
1. limx→0
sin(2x)
x2. lim
x→0
sin(3x)
sin(2x)3. lim
x→+∞x sin
(1
x
)
Les deux résultats ci-dessus nous permettent d'a�rmer que les fonctions cosinus et sinussont dérivables en 0 et que les nombres dérivés en 0 sont :
sin′(0) = 1 et cos′(0) = 0
2.2 Fonction dérivée
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et on :
cos′(x) = − sinx et sin′(x) = cosx
Théorème 7.
Cours de Terminale S 7
Indication pour la fonction cosinus :
Soit a ∈ R et h un réel non nul.Démontrer que le taux d'accroissement de cos en a est
τ(h) =cos(a+ h)− cos(a)
h= cos a
cosh− 1
h− sin a
sinh
h.
Puis conclure en utilisant la proposition 6.Réitérer la même démarche pour la fonction sinus.
Preuve
Exercice 10
Soient Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions dé�nies sur R par f(x) = cosx etg(x) = sinx.
Les tangentes à Cf au point d'abscisseπ
4et à Cg au point d'abscisse
3π
4sont-elles parallèles ?
Exercice 11
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.
1. f(x) = x cosx sur R
2. g(x) = sin2 x sur R
3. h(x) = tanx sur]−π2;π
2
[4. k(x) =
cosx
xsur
]0 ; +∞
[2.3 Composition
Soit u une fonction dé�nie et dérivable sur un intervalle I. Alors on a :
cos′(u) = −u′ sinu et sin′(u) = u′ cosu
Proposition 8.
Exercice 12
Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur l'intervalle donné.
1. f(x) = cos(10x+
π
3
)sur R
2. g(x) =(sin(x2+π
3
))2sur R
3. h(x) =
√1− sin2 x
2sur
]−π2
;π
2
[4. k(x) =
sin 2x
cos 2xsur
]−π4
;π
4
[
3 ÉTUDE DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
3.1 Étude de la fonction cosinus
On a vu précédemment que la fonction cosinus est périodique de période 2π.On peut donc restreindre l'étude de la fonction cosinus à un intervalle d'amplitude 2π,
[−π ; π
]par exemple.On sait, de plus que la fonction cosinus est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport àl'axe des ordonnées dans un repère orthogonal.On peut �nalement restreindre l'étude à l'intervalle
[0 ; π
].
La courbe complète de la fonction cosinus s'obtiendra en e�ectuant une symétrie axiale d'axe(Oy) puis des translations de vecteurs 2kπ
−→i (k ∈ Z).
8 Chapitre 10. Fonctions trigonométriques
x
cos′(x)
cosx
0 π
0 − 0
11
−1−1
Courbe de la fonction cosinus :
Exercice 13
Soit f la fonction dé�nie sur[0 ; 2π
]par f(x) =
√3 cos(2x)− sin(2x).
1. Démontrer que, pour tout réel x ∈[0 ; 2π
], f(x) = 2 cos
(2x+
π
6
).
2. Dresser le tableau de variation de f .
3. Résoudre dans R l'équation f(x) = −√3.
Exercice 14
Résoudre graphiquement, dans
[−7π2
;7π
2
], l'inéquation cosx <
−12
x
y
π2
π 3π2
2π 5π2
3π 7π2
−π2
−π−3π2
−2π−5π2
−3π−7π2
Ccos
0 π2
1
3.2 Étude de la fonction sinus
On a vu précédemment que la fonction sinus est périodique de période 2π.On peut donc restreindre l'étude de la fonction sinus à un intervalle d'amplitude 2π,
[−π ; π
]par exemple.On sait, de plus que la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport àl'origine O du repère.On peut �nalement restreindre l'étude à l'intervalle
[0 ; π
].
La courbe complète de la fonction sinus s'obtiendra en e�ectuant une symétrie centrale decentre O puis des translations de vecteurs 2kπ
−→i (k ∈ Z).
Cours de Terminale S 9
x
sin′(x)
sinx
0π
2π
+ 0 −
00
11
00
Courbe de la fonction sinus :
Exercice 15
Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = 2 sinx+ sin(2x).
1. Démontrer que f est périodique de période 2π.
2. Étudier la parité 4 de f .
3. Déduire des questions précédentes le domaine d'étude de f .
4. Dresser le tableau de variation de f sur son domaine d'étude.
5. Représenter Cf dans un repère (O ; ~ı , ~ ) orthogonal.
4. Étudier la parité d'une fonction, c'est chercher si la fonction est paire, impaire ou ni paire ni impaire
