7/22/2019 TS Chap 10 : Cours sur les Probabilits Conditionnelles

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9. Conditionnement et indpendance

9.1 Espaces probabiliss

9.1.1 vnements

Dfinition. Lunivers dune exprience alatoireest lensemble constitu des rsul-tats possibles de cette exprience ;

un vnementest une partie de ;

lensembleP() des partiesde est constitu de tous les vnements ;

une issueest un lment de ;

un vnement lmentaireest un vnement compos dune seule issue.

Dfinition. Soient Aet B deux vnements. A B est la runionde Aet B, constitue des lments de qui sont dans A ou B ;

AB est lintersectiondeA et B , constitue des lments de qui sont dansA et B ;

Aest le contrairede A, i.e. son complmentaire dans ;

Aet B sont incompatibleslorsque A B =, i.e. lorsquils sont disjoints.

Dfinition. Lensemble dvnements {Ak}k est une partitionde lvnement B lorsque : lesAk sont deux deux incompatibles ;

la runion des Ak est gale B .

9.1.2 Probabilits

Dfinition. Une probabilit sur un univers fini est une application P : P() [0; 1], quiassocie un vnement Aun nombre P(A), vrifiant :

P() = 1 (normalisation) ;

si A = {1, , n} alors P(A) =n

k=1

P({k}) (-additivit, i.e. la probabilit dun

vnement est la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le composent).

Thorme. 0 P(A) 1 ; P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) ;

P(A) = 1 P(A) ;

si{Ak}k est une partition de B alors P(B) =

k

P(Ak) ;

en particulier, si {Ak}k est une partition de alors

k

P(Ak) = 1.

9.1.3 Variables alatoires

Dfinition. Une variable alatoire(v.a.) sur un univers est une application X : R, quiassocie une issue un nombre rel X().

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Remarque. Aucune contrainte nest impose une v.a., du moins au niveau lyce ; une v.a. sert exploiter numriquement le rsultat brut dune exprience alatoire ;

si est fini alors une v.a. sur prend un nombre fini de valeurs.

Dfinition. Soient aun rel et A un ensemble de rels. On pose :

{X=a}= { , X() =a} ; {XA}= { , X()A}.

9.2 Conditionnement et indpendance

On se place dans un espace probabilis (,P).

9.2.1 Conditionnement

Considrons deux vnements Aet B. Ralisons un certain nombre de fois une mme exp-rience alatoire et notons fAB,fA et fB les frquences de ralisations de A B,Aet B.

Par exemple, considrons le rsultat dexpriences suivant :

n 1 2 3 4 5 6

A

B

La frquence de A B vaut 2

6, celle de Avaut

4

6, celle de B vaut

3

6.

La frquence relative de Apar rapport B vaut fAB

fB, ce qui donne 26/36=23. On peut noter

quil est plus judicieux dobserver directement que la frquence de Asachant que B est ralis

est de 2

3(lors des 3 ralisations de B,A a t ralis 2 fois).

Dfinition. Soient Aet B deux vnements avec P(B)= 0.

La probabilit de A sachantB est PB(A) = P(A|B) =P(A B)

P(B) ;

PB est la probabilit conditionnelle sachant B.

Remarque. PB est bien une probabilit (il est facile de vrifier les deux items de la dfinition

dune probabilit) induite par B sur , et non pas une probabilit sur B.

9.2.2 Indpendance

Remarque. Si A et B sont deux vnements de probabilits non nulles, on peut penser quilssont indpendants (au sens usuel du terme) si les probabilits de leurs ralisations ne dpendent

pas lune de lautre : PB(A) = P(A) par exemple. Ceci donneP(A B)

P(B) = P(A) soit P(AB) =

P(A)P(B).

Dfinition. Deux vnements A et B sont indpendantssi P(A B) = P(A)P(B).

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Thorme. Lors dune rptition dexpriences alatoires indpendantes, la probabilit de laliste des rsultats est le produit des probabilits individuelles de ces rsultats.

Dfinition. On se place dans un univers fini. Deux v.a. X et Y sont indpendantes si lesvnements {X=xi}et{Y =yj}sont indpendants pour toutes valeurs xi de X et yj de Y.

Corollaire.Si les deux v.a.XetYsont indpendantes alors P({X=xi}{Y =yj}) = P({X=xi})P({Y =yj}) pour toutes valeurs xi de X et yj de Y.

9.2.3 Corrlation et causalit

La notion dindpendance dpend de la probabilit choisie. Par exemple lanons un d

ttradrique quilibr et considrons les vnements A = {1, 2} etB ={2, 3}. Il est facile

de voir que A et B sont indpendants. Si maintenant on pipe notre d en changeant les

probabilits de 1,2,3,4 en 1

4

,1

4

,1

3

,1

6

, alors dans ce cas les deux vnements A et B ne

sont plus indpendants.

Le thorme sur la probabilit dune liste de rsultats, bien que simple retenir, est

quelque peu nonc de manire biaise. En effet, la probabilit-produit est justement

construite de sorte ce que la probabilit dune liste soit le produit des probabilits

lmentaires ! Par exemple lanons indpendamment deux fois un d. Il est facile de

voir que les vnements {(1, y)} et {(x, 1)} sont indpendants. Mais la question se

poser est : comment est donc dfinie la probabilit sur cette exprience alatoire ? Ici,

on dfinit P(x, y) =1

6

1

6=

1

36afin de respecter lindpendance des deux lancers. Donc

ncessairement le thorme prcdent sera vrifi...

On a vu que lindpendance est lie la probabilit. La probabilit naturelle res-

pecte la notion intuitive dindpendance puisquelle a justement t construite afin de la

respecter !

Attention ne pas confondre corrlation (i.e. dpendance au sens probabiliste) et cau-

salit (au sens physique) !

La chaleur estivale est indniablement corrle la survenue du Tour de France

cycliste. Pourtant il nexiste pas de lien de causalit entre ces deux vnements.

Corrlation nimplique pas causalit !

La mto est un systme chaotique, sensible de petites variations des conditions

initiales. La position de Vnus dans le ciel un instant donn et le temps quil faitun mois plus tard sont lis par une relation de causalit. Les facteurs jouant sur la

mto sont pourtant trop nombreux pour quune quelconque corrlation existe entre

ces deux vnements.

Causalit nimplique pas corrlation !

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9.3 Probabilits totales

On se place dans un espace probabilis (,P).

9.3.1 Formule des probabilits totalesLorsquun vnement est complexe, sa probabilit peut tre difficile calculer et lon peut

tre amen dcomposer lvnement et le calcul de sa probabilit.

Thorme(formule des probabilits totales). Si {A1, , An} est une partition de avec P(Ak)=0 pour tout k alors la probabilit dun vnement B est donne par

P(B) = PA1(B)P(A1) + + PAn(B)P(An).

Preuve. {BA1, , BAn} est une partition deB puisque ses vnements sont incompatibles

(car lesAkle sont) et leur union donne (BA1)(BAn) =B(A1An) =B =B .

Par consquent P(B) = P(B A1) + + P(B An) = PA1(B)P(A1) + + PAn(B)P(An).

9.3.2 Arbres

La formule des probabilits totales montre rigoureusement les proprits classiques de calcul

sur les arbres de probabilit.

A1

P(A1)

B A1PA1(B)

B A1PA1(B)

A2P(A2)

B A2PA2(B)

B A2PA2(B)

Ici P(B) est la somme des chemins aboutissant B , les branches successives dun chemin tant

multiplies. Au passage, faire un arbre permet de se souvenir de la formule...

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