TS Chap 9 : Cours sur l'Intégration de fonctions

8/12/2019 TS Chap 9 : Cours sur l'Intgration de fonctions

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cou r s savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

exemple dapplicationOn considre la fonction f: sur

On subdivise lintervalle en segments damplitude Calculeren utilisant la dfinition.

corrig commentSur laire sous la courbe

est encadre par celle dun rectan-

gle daire nulle associe et

par celle dun rectangle daire gale

associ

Et ainsi de suite jusquau dernier

intervalle o laire

sous la courbe est encadre par

laire du rectangle de largeur et

de longueur associe

et laire du rectangle de largeur et de longueur 1 associe

Donc laire sous la courbe reprsentant fsur est telle que :

soit

Indication : On rappelle que la somme des carrs des n premiers nombres entiers

naturels est

Donc

soit ;

or ,

do

x x2 0;1[ ].

0 ;1[ ] 1n--- . f x( )dx0

1

1

0 1n---

2n---

n 1n

------------1

0;1n--- ,

x 0

1n---

1n---

2 x 1

n---

2.

n 1n

------------;1 ,

1n---

n 1n------------

2

xn 1

n------------

2

1n--- x 1.

0;1[ ]

0 1n2------

1n--- n 1

n------------

2 1n---+ + f x( )dx

0

1

+ 1n2------1n--- 2

n---

2 1n--- 1

n--- 1+ + +

1n3------ 1 22 n 1( )2+ + +[ ] f x( )dx

0

1

1n3------ 1 22 n2+ + +( ).

n n 1+( ) 2n 1+( )6

-------------------------------------------- .

16n3---------- n 1( ) n( ) 2n 1( ) f x( )dx

0

1

16n3----------n n 1+( ) 2n 1+( ), 13---

12n-------

16n2----------+ f x( )dx

0

1

13---1

2n-------

16n2----------+ +

13---

12n-------

16n2----------+

n +lim

13---

12n-------

16n2 ----------+ +

n +lim

13---= =

f x( )dx0

1

13--- .=


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CHAPITRE 7

INTGRATION

220

Proprits des intgrales

1.

Proprits

Soit f

etg

deux fonctions dfinies et continues sur

;

Relation de Chasles :

Linarit de lintgrale :

Si f

est paire, alors

Si f

est impaire, alors

Si f

est priodique de priode T

, alors

2.

Intgrales et ingalits

Soit f

etg

deux fonctions dfinies et continues sur

Si pour tout rel , on a alors

Consquence :

Si pour tout x

de on a

alors

Ingalit de la moyenneLa fonction f

tant continue sur il existe deux rels m

etM

tels que,pour tout rel on ait et alors :

3.

Thorme de la moyenne

Pour toute fonction f dfinie et continue sur lintervalle il existe au

moins un rel c

de tel que

Le rel est appel valeur moyenne def

sur

2

a b,[ ].

f x( )dxa

a

0= f x( )dxa

b

f x( )dx.b

a

=

f x( )dxa

b

f x( )dxa

c

f x( )dx.c

b

+= ( ) ( )

f g+( ) x( )dxa

b

f x( )dxab

g x( )dxab

.+=

f x( )dxa

a

2 f x( )dx.0a

=f x( )dx

a

a

0.=f x( )dx

a

a T+

f x( )dx.0T

=

a b,[ ].

x a b,[ ] f x( ) 0, f x( )dxa

b

0.a b,[ ] f x( ) g x( ),

f x( )dxa

b

g x( )dx.a

b

a b,[ ]x a b,[ ] , m f x( ) M

m b a( ) f x( )dxa

b

M b a( )

a b,[ ],

a b,[ ] f c( ) 1b a------------ f x( )dx.

a

b

=f c( ) a b,[ ].


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4.Interprtations gomtriques

Soit fune fonction continue et positivereprsente dans un repre orthogonal.

Lencadrement

signifie que laire du domaine color estminore par laire du rectangle ABCD,et majore par celle du rectangle ABEF.

Lgalit

signifie que laire du domaine colorest gale celle du rectangle ABGH.

exemple dapplicationSoit la fonction fdfinie sur par

Montrer que fest borne sur en dduire un encadrement de :

corrig commentLa fonction fest drivable sur , donc

Pour donc fest dcroissante et par suite :

soit

Pour donc fest croissante et par suite :

soit Donc

Daprs le thorme de lingalit de la moyenne on a alors :

do :

A

f c( )

a bc

m

M

B

CD

EF

GH

O

m b a( ) f x( )dxa

b

M b a( )

f c( ) 1b a------------ f x( )dx

a

b

=

0;23--- f x( ) 3x2 2x 1.+=

0;23--- ,

3x2 2x 1+( )dx.0

23---

f x( ) 6x 2.=

0 x 13---, 6x 2 0

f 13--- f x( ) f 0( ) 2

3--- f x( ) 1.

13--- x

23--- , 6x 2 0

f13--- f x( ) f 2

3---

23--- f x( ) 1. x 0 ;2

3--- , 2

3--- f x( ) 1.

2

3

---2

3

--- 0

f x( )dx0

23---

1 2

3

--- 0

49--- f x( )dx

0

23---

23---


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CHAPITRE 7

INTGRATION

222

Intgration et drivation

1.

Notion de primitive

Soit une fonction f

dfinie et continue sur un intervalle I et a

un rel de I,

la fonctionF

telle que est lunique primitive de fsur I qui

sannule en a.

2. Dfinition dune intgrale laide de primitives

Soit fune fonction dfinie et continue sur un intervalle Fune pri-

mitive quelconque de f.Le nombre rel est indpendant de la primitiveFchoisie, onlappelle intgrale defsur

On note

Remarque :La lettre choisie pour la variable est une variable muette ce qui signi-

fie que :

3. Intgration par parties

Si uet vsont deux fonctions dfinies et deux fois drivables sur :

exemples dapplication Calculer

corrig commentOn ne connat pas de primitive de la fonction logarithme, on utilise une intgra-

tion par parties en posant do

3

F x( ) f t( )dta

x

=

a b,[ ] ,

F b( ) F a( )a b,[ ].

f x( )dxa

b

F b( ) F a( ) F x( ) ab

.= =

f x( )dxa

b

f t( )dta

b

f u( )dua

b

F b( ) F a( ).= = =

a b,[ ]

u x( )v x( )dxa

b

u x( )v x( )a

b

u x( )v x( )dx.a

b

=

xln1

4

dx.

f x( ) xln=g x( ) 1= f x( )

1x---=

g x( ) x.=


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Les fonctions f,gsont drivables et et sont continues sur donc :

Remarque : traduit le fait que est une

primitive de

do

Calculer le relItel que

corrig commentOn commence par crire sans barre de valeur absolue sur

Sur ;

Sur

Donc

soit :

do

crire laide dune intgrale, pour xrel strictement positif.Retrouver grce cette criture qui est aussi la dfinition de la fonction ln, lesvariations de fsur ]0 ; +[.

corrig commentLa fonction ln est la primitive sur ]0 ; +[de la fonction inverse qui sannule en1, donc :

Par dfinition dune primitive dune fonction,

Or sur ]0 ; +[, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +[.

f g 1;4[ ]

xln dx1

4

x xln 14 1

x--- x dx

1

4

=

xln dx1

4 x xln 14 dx14 x xln x 14.= =

xln dx1

4

x xln x 14

= x x xln x

x x.ln

xln dx1

4

4 4ln 4 1ln 1+= xln dx14

4 4ln 3.=

I x 2 dx.0

3

=

x 2 0 ;3[ ].

0;2[ ], x 2 x 2+=

2;3[ ], x 2 x 2.=

I 2 x( )dx0

2 x 2( )dx23+=

I 2x x2

2-----

0

2 x2

2----- 2x

2

3+ 4 2 9

2--- 6 2 4+ += = I 5

2--- .=

xln

xln dtt

------.1

x

=ln x( ) 1

x--- .=

1x--- 0


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CHAPITRE 7

INTGRATION

224

Calculs daires et de volumes

1.

Calcul daire

Soit f

etg

deux fonctions continues surle segment telles que pour tout

x

de on ait Lairedu domaineD

color, dlimit par lescourbes

f

,

g

et les droites dqua-

tions et est gale au rel

tel que Ce

rel est exprim en units daire notu.a.

2.

Calcul de volume

Lespace est rapport un repre orthogonal

Soit V

le volume dun solide dlimit par une surface latrale

et deuxplansP

1

et P

2

parallles et de cotes respectives a

et b

.Soit le plan P

parallle P

1

et P

2

de cote z.Le planPcoupe le solide selon une surface Sdont laire est telle que

soit continue sur et alors

Le volumeV est exprim en units de volume not u.v.

4

0 a b

f

g

D

i

j

a b,[ ],

a b,[ ], f x( ) g x( ) .

x a= x b,=

g x( ) f x( )[ ]dx.a

b

=

O; i j k, ,( ).

O; i j,( )

z( )

z z( ) a b,[ ] V z( )dz.a

b

=

z

a P1

x

y

P2

P

b

i j

k


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cou r s

savo i r - f a i r e exe rc ices cor r igs

e

xemples dapplication

Calculer le volume V

de la boule de centre O et de rayonR

, en cm

3

, dans un

repre orthonorm dunits graphiques 1 cm.

La section de la boule par le plan P

de cote z

est un disque de rayon O

A.

Le triangle OO

A est rectangle en O

donc

Soit laire de ce disque.donc, en centimtres cubes :

Soit

la reprsentation graphique de dans un repreSur [

0 ; +

[

, la courbe subit une rvolution daxe (

O

x

)

.Quel est le volume du solide dtermin par les plans dquationset engendr par la courbe

?

c

orrig comment

La section du solide par un plan perpendiculaire (Ox) est un disque dont laire

S

(

x

)

est telle que soitLa fonction Sest continue sur [0 ; 1], donc le volume Ven u.v du solide est tel que :

do

O; i j k, ,( )

x

Oi j

k

A

y

z

zO

R z R ( )OA2 OA2 O O2 R2 z2.= =

z( ) z( ) R2 z2( )=

V R2 z2( )dzR

R

R2 dzR

R

z2 dzR

R

= =

V R2 z R

R

z3

3-----

R

R

R2 2R( ) 2R3

3----------

= =

V43---R3 cm3 .=

x ex O; i j,( ).

x 0,= x 1=

S x( ) ex( )2= S x( ) e2x.=

V S x( )dx0

1

e2x dx01

12---e2x 01

2--- e2 1( ),= = = =

V2--- e2 1( )=

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