AR Visé – 3ème Générale Préparation de l’examen de septembre – 1ère session Page 1

MATHEMATIQUES 3ème année.

Préparation de l’examen de 1ère session en Septembre

Date : Le mardi 4/09/2018 de 8h25 à 10h25 au réfectoire des P. Prépare correctement en utilisant les exercices ci-dessous. Le correctif est situé sur le site internet de l’école http://www.ecoles.cfwb.be/arvise/INFOS_GEN/accueil.htm

UAA1 : Les figures isométriques

Revoir les définitions de hauteur, médiane, médiatrice et bissectrice dans un triangle et connaître

le nom des points d’intersection de ces droites remarquables.

Savoir énoncer la propriété des angles d’un triangle, les propriétés des angles déterminés par des

droites parallèles et une sécante, la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle.

CHAPITRE 2 : Les figures isométriques

Définis deux figures isométriques.

…………………............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

Enonce les 3 cas de similitude des triangles sisométriques.

CCC : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

CAC : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

ACA : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1) Observe attentivement les notations sur les figures.

Justifie que les triangles donnés sont isométriques en énonçant le cas utilisé EIF iso IHG

EF // GH et EG // FH

KJL iso JNM

OPA iso RTS

NOM : LEHAEN Prénom : Célia Classe : 3 G

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2) Soit le parallélogramme ABCD. Sachant que AX // YC :

a) Démontre que le triangle AOD est isométrique au triangle COB

b) Démontre que : 1) |XA| = |YC|

2) |DX| = |BY|

CHAPITRE 3 : les figures semblables

Définis deux figures semblables.

…………………...............................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

Enonce les 3 cas de similitude des triangles semblables.

CCC : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

CAC : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

AA : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Le rapport des périmètres de deux figures semblables est égal ………………………………………….......

……………………………………………………………………………………………………………...............................................................

P’ = ………… k = …………

Le rapport des aires de deux figures semblables est égal ………………………………………………............

…………………………………………………………………………………………………..........................................................................

A’ = ………… k2 = ………… k = ……………

1) Justifie que les triangles donnés sont semblables puis note les proportions correspondantes.

|𝐽|̂ = |�̂�| et JK // MN

2) Calcule le rapport de similitude qui permet d’agrandir le triangle ABC

puis calcule les côtés [AC] et [BC] . Compare les aires des deux triangles.

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3) On agrandit un triangle ABC pour obtenir le triangle A’B’C’. Si |AB | = 7 et |A’B’|= 17,5 :

a) Quel est le rapport de similitude des 2 triangles ?

b) Si l’aire de ABC vaut 24 cm², quelle est l’aire de A’B’C’ ?

4) Si l’aire de la figure F vaut 50 cm² et l’aire de la figure F’ 512 cm²

a) Quel est le rapport de similitude des deux triangles ?

b) Que mesure [B’C’] si |BC| =3 cm ?

5) Soit un trapèze quelconque ABCD. Les diagonales [AC] et

[BD] se coupent en I.

Démontre que |AB|.|ID| = |BI|.|CD|

6) Un téléphérique relie la station C (altitude 2000m) à la station B (altitude

2800m).

A l’altitude de 2600m, un pylône soutient le

câble (point E). Les points H et A sont tels que

CAEH ⊥ et CABA ⊥ .

De plus CE = 1350m. Calcule BE .

Chapitre 4 : Thalès

Enonce le théorème de Thalès (cas général).

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………...............................

Attention, il ne faut pas confondre les égalités relatives au théorème de Thalès et les égalités

relatives aux triangles semblables.

1 TRIANGLES SEMBLABLES

………… = …………. = …………

2 THÉORÈME DE THALÈS

………… = …………. = …………

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1) Dans la figure ci - dessous DE // BC.

Complète :

a) Les triangles ADE et ABC sont semblables car :

b) On en déduit les proportions suivantes :

c) On peut appliquer le théorème de Thalès car :

d) On en déduit les proportions suivantes :

e) En utilisant les proportions adéquates, calcule x et y.

2) Dans la figure ci-contre, AB // CD .

Complète :

a) Les triangles ABE et EDC sont semblables car :

b) On en déduit les proportions suivantes :

c) On peut appliquer le théorème de Thalès car :

d) On en déduit les proportions suivantes :

e) En utilisant les proportions adéquates, calcule x et y.

3) Dans la figure ci - dessous, peut-on affirmer que AB // CD ?

4) Un silo à grains a la forme d’un cône surmonté d’un

cylindre de même axe.

Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées

par DJ et par CK ont été posées contre le silo.

Ces deux échelles sont-elles parallèles ?

5) Partage un segment de 7 cm en 3 segments isométriques consécutifs.

6) Construis la 4ème proportionnelle aux nombres 2, 5 et 3 et vérifie algébriquement.

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UAA2 : Triangle rectangle

Chapitre 3 : Trigonométrie Le cosinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du

…………………………………………………………………………………………… et celle de ……………………………………………….

Le sinus d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du

…………………………………………………………………………………………… et celle de ……………………………………………….

La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égal au rapport entre la longueur du

…………………………………………………………………………………………… et celle du …………………………………………………

cos �̂� = ……………

sin �̂� = ……………

tan �̂� = ……………

1) Utilise la calculatrice pour déterminer les valeurs suivantes au centième près :

cos 52° = …………… sin 14° = ……………… tan 34° = ……………

tan 71° = …………… cos 7° = ……………… sin 82° = ……………

2) Utilise la calculatrice pour déterminer les amplitudes suivantes au centième près :

cos  = 0,71 |Â| = …………… sin Ê = 0,15 |Ê| = ……………

tan Ô = 7,3 |Ô| = …………… tan Ê = 0,7 |Ê| = …………

3) Ecris les rapports qui te permettent de calculer :

Sin D = Sin

F =

Cos D = Cos

F =

Tan D = Tan

F =

4) En observant les triangles rectangles ci-dessous, détermine les valeurs demandées à 0,01 près :

cos Ê = ..........

..........

= ……………

F

9 8

G

H I

6

5,4

12

8 4

E D A

B C 8

9

sin  = ..........

..........

= ……………

tan Î = ..........

..........

= ……………

F

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5) Dans chaque triangle rectangle, recherche la longueur x (au centième près) sans calculer

l’amplitude du 3ème angle :

6) Dans chaque triangle, recherche l’amplitude de l’angle α au centième près :

7) Une rampe a une longueur de 93 m. La différence de niveau entre les points extrêmes est

de 15m. Quel est l’angle d’inclinaison de la rampe ?

8) Les côtés de même longueur d’un triangle isocèle mesurent 34 m et l’amplitude de l’angle au

sommet égale 36°. Calcule l’aire de ce triangle (à 0,01 près).

x 4

P

G

13 x

N

U

F

8 x

M

7

S

B

R

T L x

5 65°

I

C

x

12

32°

T O

x

58°

G S

24°

48°

S 17°

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

……………………………

7

S

L

T O 11

5

α

……………………………

……………………………

……………………………

O

N E 5

8 α

……………………………

……………………………

……………………………

T E

5

12

α ……………………………

……………………………

……………………………

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UAA4 : Les fonctions du premier degré

Une fonction du 1er degré affine en x est une expression de la forme : .....................................

Son graphique est ....................................................................................................................................

m est ............................................................... et p ...................................................................................

Une fonction du 1er degré linéaire en x est une expression de la forme : ...................................

Son graphique est ......................................................................................................................................

Une fonction constante est une expression de la forme : ..............................................................

Son graphique est .....................................................................................................................................

La pente d’une droite est .......................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

m = ...........................................

si m > 0 alors la fonction est ......................................................

Si m < 0 alors la fonction est ......................................................

Si m = 0 alors la fonction est ......................................................

Tableau de signes de f(x) = y = mx + p

Zéro = .....................

1) En observant le graphique ci-dessous, détermine la pente m de la droite ainsi que son

ordonnée à l’origine p. Déduis-en donc la relation algébrique :

f(x) = ………………………………..

2) Détermine l’expression analytique de la fonction du 1er degré f qui passe par les points A (2 , 1 )

et B ( 5, -4 ).

f(x) = …………………………………………………………..

3) Calcule les images demandées de la fonction suivante: f (x) = -4 x + 2.

a) f ( - 1

2 ) = ………………………………………………………………………………………………………………………….

f ( 5 ) = ……………………………………………………………………………………………………………………………

b) Vérifie si le point de coordonnées ( 3, -9 ) appartient ou non au graphique de cette fonction.

c) Cette fonction sera croissante ou décroissante (entoure la bonne réponse), justifie. ……………………………………………………………………………………………………………………………………….

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4) Dresse le tableau de signes des fonctions suivantes et complète les pointillés.

f(x) = 4 x – 16

x

y

G(x) = 4 – 3x

x

y

f(x) ≥0 : .......................................... f(x) > 0 : .....................................

5) Détermine graphiquement (et vérifie algébriquement) le point d’intersection des graphiques

des fonctions f et g. ( !!! choisir comme repère un carré : 2 unités )

f( x) = -4x et g(x) = 2x – 5 f

x

y

g

x

y

6) Complète le tableau :

Fonction Type de

fonction Pente

Croissante,

décroissante,

constante

Zéro Ordonnée à

l’origine

x

y −

f(x) = 2

fx) = 5 – 3x

7) Une voiture dont le réservoir contient 55 litres consomme 6 litres de gasoil aux 100 km.

a) Trace le graphique exprimant la distance parcourue par cette voiture en fonction de la

quantité de gasoil consommé. Pour t’aider, établis le tableau de nombres.

b) quelle distance peut-elle parcourir avant de faire le plein, en supposant qu’à ce moment il

reste 3 litres dans le réservoir ?

c) Etablis l’expression analytique de cette fonction.

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UAA5 : Les outils algébriques

Chapitre 4 : Les polynômes

Un polynôme est ...................................................................................................................................

( a + b )²= ........................... ; (a-b)² = ................................... ; (a-b) ( a+b) = .........................

Le reste de la division d’un polynôme A(x) par (x – a) est ………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………

1) Calcule la valeur numérique des polynômes pour x = -1 ; x = 2

a) P ( x ) = 3x³ - 2x² + x – 5 b) Q ( x ) = -2x³ + x² - 5 x + 2

2) a) Effectue, réduis et ordonne P(x) en fonction des puissances décroissantes de x

P(x) = -3x³ - (7x² - 7x + 2) + (3x³ - 3x4 + 4x² -3)

b) Quel est le degré de ce polynôme ?

c) Est-il complet ?

d) Calcule la valeur numérique pour x = - 2

3) On donne les polynômes suivants :

P ( x ) = 2x - 5x² + x³ + 12 U ( x ) = x³ + 5x - 3x² - 2

Q ( x ) = 16 - 8x + 3x³ + 5x4 V ( x ) = x - 2

R ( x ) = -5x + 3x² - 2x³ + 8 - x W ( x ) = x5 - 3x² + 1

S ( x ) = 2x² - 3 Y ( x ) = x - 1

T ( x ) = - 5 - 2x² + 3 x Z ( x ) = 4x³ - 15 - x

Ordonne et complète les polynômes puis effectue en utilisant les dispositions pratiques :

a) P ( x ) + Q ( x ) - R ( x ) d) U ( x ) : V ( x )

b) S ( x ) . T ( x ) e) W ( x ) : Y ( x )

c) U ( x ) . T ( x ) f) Z ( x ) : T ( x )

4) Voici un jardin rectangulaire de 3x + 2 sur 2x - 3. Aux quatre coins du terrain sont situés

quatre parterres de fleurs. La zone centrale (zone ombrée) est la pelouse.

Calcule l’aire de la pelouse. Justifie par calcul.

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Chapitre 5 : Système d’équations

1) Résous par substitution les systèmes suivants :

7=y+x2

3=y-x3

20=y2-x6

10=y+x7

2) Résous par combinaisons linaires les systèmes suivants :

20=y2-x2

14=y4+x5

3) Résous les problèmes suivants :

a) La somme de deux nombres naturels vaut 27. La différence entre ces deux nombres est 3.

Quels sont ces deux nombres ?

b) J’ai 95 billets de 5 et 20 € pour un montant de 925 €. Combien y a-t-il de billets de

chaque sorte dans ma tirelire ?

c) Il y a deux ans de différence entre mes deux enfants. Actuellement, la différence entre

le quintuple de l’âge du second et le triple de l’âge de l’aîné vaut aussi deux.

Détermine l’âge de mes enfants.

Chapitre 6 : Les inéquations

1) Détermine si le nombre -2 est solution des inéquations suivantes :

a) 3x + 4 ≤ - 2 b) x –

≥

– x

2) Résous les inéquations suivantes :

a) -3x – 7 ≥ 5x + 2

b) 3 (2x – 4) ≥ -5 (4x + 1)

c) 4x – 1

5 <

2x + 3

3

d) (2x + 1)² > (x – 2) . (4x + 3) – 7

e) 2x

3 -

4x - 3

4

x - 2

12

Chapitre 7 : La factorisation

Factorise les expressions suivantes (en utilisant la mise en évidence, les groupements, les produits remarquables et/ou la

méthode de Horner).

a) 12a²bc² + 18a²b²c³ g) 25x2 – 9 m) 25x2 + 30x + 9

b) a5b³ + a4b7 - a²b² h) 36x²-(2x+5)² n) 2x4+2x³+3x+3

c) (x + 1)(x + 5) + 7(x + 1) i) (2x-3)²-(3x+5)² o) 6x4-3x³-4x+2

d) (x + 2)(3x + 4) + (x + 2)(x – 3) j) x2 + 4x + 4 p) 2x² + x - 10

e) (x - 3)(4x + 9) – 5(3 - x) k) a2 - 22a +121 q) -3x² +2 x + 1

f) (2x + 4)(x - 1) + (x – 7) (1 - x) l) 9x2 +12x + 4 r) x³ - 4x² + x + 6

2=y+x2

2=y-x6

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Chapitre 8 : Equations réductibles au 1er degré

Un produit de facteurs est nul si et seulement si ............................................................................

a . b = 0 ........................................................

Résous les équations (en factorisant et en utilisant la règle du produit nul).

a) ( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0 e) 2x ( 2x - 3 ) ( 4x-5 )² = 0 i) 3x² = 4x - 1

b) 12x² = 4x f) (2x-1)² = 49

c) 16 x² - 25 = 0 g) ( 3x - 1 )² = ( 2x + 5 ) ²

d) 36x² - 12x + 1 = 0 h) ( x - 5 ) ( 3x + 3 ) - ( 5 - x ) ( 2x - 1 )= 0

Chapitre 9 : Les fractions algébriques

1) Simplifie les fractions (en factorisant le numérateur et le dénominateur) et énonce les

conditions d’existence.

a) 18x5y³

6x7y = b)

3a+3b

a²−b² = c)

ab−ac

b²−2bc+c² =

d) 18x²+12x+2

3x²−5x−2 = e)

6xy²−8y²

9x³−16x = f)

4−𝑥²

𝑥² − 𝑥−2 =

2) Effectue les opérations (en factorisant le numérateur et le dénominateur). Les dénominateurs

sont supposés non nuls.

a) 16a²−9b²

5c.

3cd−7c

4a+3b.

5

3d−7= b)

12ax

3a+3b.

a²−b²

16a²x²= c)

4

x−1−

3x

x+1−

2

x²−1=

d) 3𝑥

𝑥²−9𝑥+18−

2

𝑥²−6𝑥+9 = e)

𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²

𝑎𝑐+𝑏𝑐∶

𝑎²−𝑏²

2𝑎−2𝑏 = f)

2𝑥

2𝑥−3−

7

5𝑥+4 =

g) 3𝑥³

𝑥²−25∶

12𝑥²

𝑥²−10𝑥+25 = h)

−3𝑥

𝑥²+4𝑥+4+

2

𝑥²+3𝑥−10 = i)

𝑥−4

2𝑥−1−

𝑥+7

5𝑥+2

3) Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.

a) 3

x - 1 -

1x + 2

= 5

x - 1

b) 1

x - 1 +

2x + 1

= 3𝑥

𝑥²−2𝑥+1

c) 3

x - 1 =

22 – 3x

d) x

x + 4 +

x4 - x

= 1

x² - 16

4) Calcule l’aire grisée en fonction de a et de b si tu sais que E

est au tiers de [AB] et F à la moitié de [AD].