CHAPITRE 2 : LES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES

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CHAPITRE 2 : LES TRIANGLES ISOMÉTRIQUES

ET SEMBLABLES

Nom : ________________________

Groupe : ______

Cours 1

Notions géométriques importantes : A) Angles :

Angles isométriques : deux angles dont les mesures sont égales.

Angles complémentaires : deux angles dont la somme de leurs

mesures est égal à 90°.

Angles supplémentaires : deux angles dont la somme de leurs

mesures est égal à 180°.

Angles adjacents : deux angles qui ont le même sommet, un côté

commun et qui sont situés de part et d’autre

du côté commun.

Angles adjacents complémentaires : Deux angles dont les côtés

extérieurs forment un

angle de 90°.

Angles adjacents supplémentaires : Deux angles dont les côtés

extérieurs forment un angle

de 180°.

Angles opposés par le sommet : Deux angles qui ont le même

sommet et dont les côtés de l’un

sont les prolongements des

côtés de l’autre.

Deux angles opposés par le sommet sont isométriques.

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Des angles correspondants formés par des parallèles coupées par

une sécante sont isométriques.

Des angles alternes-internes formés par des parallèles coupées

par une sécante sont isométriques.

Des angles alternes-externes formés par des parallèles coupées

par une sécante sont isométriques.

B) Segments :

Segments isométriques : Deux segments qui ont la même mesure.

Hauteur : segment abaissé perpendiculairement du sommet sur le

côté opposé.

Médiane : segment joignant le sommet d’un angle au point milieu

du côté opposé.

Médiatrice : droite perpendiculaire élevée au milieu d’un côté.

Bissectrice : demi-droite issue du sommet d’un angle et le

divisant en deux angles isométriques.

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C) Triangles :

La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés

isométriques sont isométriques.

Dans tout triangle isocèle, l’axe de symétrie supporte une

hauteur, une bissectrice, une médiane et une médiatrice.

D) Quadrilatères :

La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est de 360°.

Carré : - les quatre côtés sont isométriques

- les côtés opposés sont parallèles

- les quatre angles sont droits

- les diagonales sont isométriques, perpendiculaires et

se coupent en leur milieu

Parallélogramme : - les côtés opposés sont isométriques


- les angles opposés sont isométriques

- les diagonales se coupent en leur milieu

Rectangle : - les côtés opposés sont isométriques


- les quatre angles sont droits

- les diagonales se coupent en leur milieu

Losange : - les quatre côtés sont isométriques


- les angles opposés sont isométriques

- les diagonales sont perpendiculaires et se coupent

en leur milieu

Devoir : document 1: Triangles isométriques #1

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Cours 2

Les triangles isométriques :

Deux triangles sont isométriques lorsque leurs éléments _________________ (trois angles

et trois côtés) sont ________________ .

Exemple :

Les triangles ABC et DEF sont isométriques, car leurs angles homologues sont

isométriques et leurs côtés homologues sont isométriques.

___ ____ , ____ ____ et ____ ____

_____ DE , _____ _____ et _____ _____

On écrit alors ∆ABC ____ ∆DEF .

Remarques :

– Le symbole « » se lit « est isométrique à » ou « est __________ à » .

.

Le symbole d’égalité

concerne des nombres

alors que le symbole

d’isométrie ()

concerne des objets

géométriques. On a

donc m AB = m DE ,

mais AB DE .

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Les conditions minimales d’isométrie de triangles

Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont isométriques, il n’est pas nécessaire de

vérifier que tous leurs __________________________ et tous leurs

________________________ sont isométriques . Il suffit de s’assurer que les triangles

respectent une des trois conditions minimales suivantes .

A. La condition minimale d’isométrie CCC

Deux triangles ayant _________________________ isométriques sont nécessairement

isométriques.

Exemple :

∆ _________ ∆ _________ , car AB , _____ _____ et _____ _____ .

B. La condition minimale d’isométrie CAC

Deux triangles ayant un __________ isométrique compris entre deux côtés

________________ isométriques sont nécessairement isométriques .

Exemple :

∆_______ ∆______ , car ___ ___ , GH

et _____ _____ .

Attention ! Le triangle

ABC n’est pas isométrique

au triangle GHJ, car

l’angle de 40° n’est pas

compris entre les côtés de

3 cm et de 3,5 cm.

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C. La condition minimale d’isométrie ACA

Deux triangles ayant un ______________________ compris entre deux ________

homologues isométriques sont nécessairement isométriques.

Exemple :

∆NPR ∆________, car ____ _____ , ______ ST et

____ ____ .

Exercices :

Trouve les paires de triangles isométriques parmi les triangles ci-dessous. De plus, pour

chacune de ces paires, indique quelle condition minimale d’isométrie est respectée.

a)

b)

c)

Devoir : Document 1 : Triangles isométriques : # 2 à 6

Mini-test #1 au prochain cours

Attention ! Le triangle DEF

n’est pas isométrique au

triangle NPR, car le côté

de 3 cm n’est pas compris

entre les angles de 30° et

de 125° .

4 cm

4 cm

100 o 100 o

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Cours 3

La recherche de mesures manquantes

À l’aide d’exemples, apprenons à démontrer que les triangles sont isométriques.

1) Soit le parallélogramme suivant, démontre, en utilisant le cas d’isométrie ACA, que

le triangle ABD est isométrique au triangle BDC

Affirmations Justifications

8

2) Dans la figure ci-dessous, d1 // d2, d3 // d4 et d5 // d6. De plus, on dispose des

informations suivantes:

– CF FI

– D, H, J et N sont les points milieu des segments CF, FI, IL et CL.

Complète le raisonnement qui permet de déduire que CDN LMN.

A. Le raisonnement déductif

Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur

Devoir : Document 1 :Triangles isométriques # 7-8-9-10-11

Mini-test # 2 au prochain cours


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Cours 4 :

Exercices : Document 1 : triangles isométriques

# 12-13-14-15-16-17

Cours 5

Le raisonnement déductif

Le processus de recherche de mesures manquantes

s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments

homologues de triangles isométriques. C’est pourquoi il est

essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont

isométriques avant de calculer la mesure en

question.

Exemple :

Quelle est la mesure

du segment DE et de

l’angle D dans la

figure ci-contre ?

Pièges et astuces


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Exemple :

Voici un losange dans lequel on a tracé les diagonales. Complète le raisonnement qui

permet de déduire que SRU STU.

Devoir : Terminer le document 1 : triangles isométriques donc # 18 à 21


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Cours 6 :

Les triangles semblables

Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles homologues sont _________________

et les mesures de leurs côtés homologues sont _____________________ . Le coefficient

de proportionnalité correspond alors au rapport de similitude (k) des deux triangles .

Exemple :

Les triangles ABC et DEF sont _________________, car leurs

_____________ homologues sont isométriques et les mesures de

leurs _______________ homologues sont proportionnelles :

A ____ , ____ ____ et ____ ____

ABm =

EFm =

On écrit alors ∆ABC ∆________

Les conditions minimales de similitude de triangles

Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont ________________, il suffit de s’assurer

que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes .

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A. La condition minimale de similitude CCC

Deux triangles dont les mesures des trois côtés homologues sont ___________________

sont nécessairement semblables.

Exemple :

DEm =

BCm =

CAm

B. La condition minimale de similitude CAC

Deux triangles ayant un _______________________ compris entre deux côtés

_________________ dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement

semblables .

Exemple :

∆GHJ ∆KLM, car ____ ____

et GHm

Attention ! Le triangle ABC

n’est pas semblable au triangle

GHJ, car l’angle de 40° n’est

pas compris entre les côtés de

3 cm et de 3,5 cm.

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C. La condition minimale de similitude AA

Deux triangles ayant deux ___________________________ isométriques sont

nécessairement semblables .

Exemple :

∆NPR ∆STU, car ____ ____ et P ____

Remarques :

– Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un

triangle est de 180°, on peut conclure que le triangle ABC

est semblable au triangle NPR.

– Une droite parallèle à celle portée par un côté d’un triangle détermine

des triangles semblables puisque la condition minimale de similitude AA

est respectée.

Puisque GH BC, alors ∆ _______ ∆ABC .

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Exercices : Parmi les triangles suivants, indique les paires de triangles semblables dans

les triangles ci-dessous ainsi que la condition minimale de similitude.

Devoir : Document 2 : triangles semblables : # 1-2-3-4-5

Mini-test #3 au prochain cours

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Cours 7

La recherche de mesures manquantes

Le raisonnement déductif

Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui

existent entre les éléments homologues de triangles semblables. C’est pourquoi il est

essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont semblables avant de

calculer la mesure manquante.

Exemple 1 :

Par le cas de similitude CAC ,

démontre que le triangle ABC est

semblable au triangle ADE. Par la suite,

détermine la mesure du segment BC et de

l’angle BCA.


1,4 cm

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Exemple 2 :

À l’aide des informations suivantes, détermine la

mesure du segment AD.

𝑚 𝐴𝐸 ̅̅ ̅̅ ̅= 5 cm

𝑚 𝐵𝐸 ̅̅ ̅̅ ̅= 3 cm

𝑚 𝐷𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅= 4,6 cm

𝑚 𝐸𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅= 4 cm

𝑚 𝐵𝐶 ̅̅ ̅̅ ̅= 7 cm 55AEDm

55ACBm


Devoir : Document 2 : Les triangles semblables # 6-7-8-9

B C

D

A

E

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Cours 8 Exemple 1 : Sachant que AB //DF et que BD //FG , détermine la mesure de AG .

Explique toutes les étapes de ta démarche.

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Exemple 2 : Pour connaître la hauteur d’une antenne au sommet d’un édifice, Jérôme a eu l’idée

suivante. Il s’est organisé pour viser le sommet de l’antenne tout en s’alignant avec

le coin de l’édifice. La figure ci-dessous illustre les mesures qu’il a prises sachant

que l’édifice possède 12 étages de 4 m de hauteur chacun. Trouve deux manières

différentes de déterminer la hauteur de l’antenne.

Devoir : Document #2 : les triangles semblables : # 10-11-12-13

Mini-test # 4 au prochain cours

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Cours 9

Remarque :

Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de

longueurs proportionnelles.

Puisque DR, ES et FT sont parallèles, alors

DEm

EFm =

mRS

STm

Exemple : VP, UN, TM et SL sont des droites parallèles entre elles.

Quelle est la mesure des segments ST, TU et UV ?

10,9 cm

Devoir : Terminer le document 2

Cours 10: Documents d’exercices préparatoires

Cours 11: Examen première partie du chapitre 2

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Cours 12

Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative

à l’hypoténuse

Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse détermine deux autres

triangles rectangles, semblables au premier.

Par la condition minimale de similitude AA :

• ∆ABC ∆CBH puisque ces deux triangles ont un angle droit

et qu’ils ont l’angle B en commun;

• ∆ABC ∆ACH puisque ces deux triangles ont un angle droit et

qu’ils ont l’angle A en commun.

Par la transitivité de la relation de similitude, ∆CBH ∆ ______.

La relation de

similitude est

transitive, c’est-

à-dire que si

∆ABC ∆DEF

et

∆DEF ∆GHJ,

alors

∆ABC ∆____.

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Les relations métriques dans le triangle rectangle

Établir des proportions à partir des côtés _________________ des triangles rectangles

semblables permet de trouver plusieurs relations métriques qui facilitent la recherche de

mesures manquantes dans un triangle _________________ . Ces relations font intervenir le

concept de moyenne proportionnelle.

1. La moyenne proportionnelle

Lorsque les deux ___________ ou les deux ___________ d’une proportion ont la

même valeur, cette valeur est appelée moyenne proportionnelle des deux autres

valeurs.

Dans la proportion a

b

b

c, on dit que b est moyenne proportionnelle de a et de c.

Exemple 1 : Pour déterminer la hauteur relative à l’hypoténuse du triangle rectangle ABC ci-dessous

nous utiliserons la relation métrique #1 :

Relation métrique #1 :

Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenne

proportionnelle des mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

22

Exercice : Détermine la mesure manquante dans le triangle suivant.

Devoir : Ai-je bien compris : p.96 et p. 98 #1 c)

p. 102 # 6 # 7 e) et #8

23

Cours 13 Exemple 2 : Pour déterminer la mesure de la cathète BC dans le triangle rectangle ABC ci-

dessous, on procède de la façon suivante :


Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle

de la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.

Remarque : BH est la projection de la cathète BC sur l’hypoténuse.

Et AH est la projection de la cathète AC sur l’hypoténuse

24

Exercice : Détermine la donnée manquante dans le triangle suivant :

Devoir : Ai-je bien compris : p.98 #1 b)

p.103 # 7 a) b) d) f) et h)

Mini-test au prochain cours

25

Cours 14 Exemple 3 : En calculant l’aire d’un triangle rectangle de deux façons différentes, on peut déduire

une autre relation métrique dans le triangle rectangle .


Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égale au produit de

l’hypoténuse et de la hauteur relative à l’hypoténuse.

Calcul de l’aire d’un triangle rectangle

Première façon Deuxième façon

Atriangle =

2

CBACm Atriangle =

2

CHABm

On a donc m AC • m CB m AB • m CH

Remarque : Il existe plusieurs démarches permettant de déterminer une mesure

manquante dans un triangle rectangle. Dans tous les cas, on peut avoir

recours aux relations métriques incluant la relation de Pythagore.

Exercice : Détermine la donnée manquante dans le

triangle suivant.

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Exercice

#1 La figure ci-dessous représente le système d’enroulement d’une courroie autour d’un disque

de machinerie agricole. Le mécanicien doit refaire la pièce reliant le centre du cercle à la

circonférence.

À partir de l’information fournie dans la figure, aide le mécanicien à déterminer la mesure du

rayon de la roue.

Devoir : Ai-je bien compris : p. 98 #1a)

p. 103 # 7 c) g) # 8 # 9 p. 105 # 5

Cours 15 : Document d’exercices préparatoires

Cours 16 : Examen sur la partie 2 du chapitre 2 (p.20 à 26)