Un chalet à rénover · Web viewUn chalet à rénover Source : pixabay.com Situation d’apprentissage MAT-4173 : Représentation géométrique en contexte général 1 Guide de l’enseignant

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Situation d’apprentissage

MAT-4173 : Représentation géométrique en contexte général 1

Guide de l’enseignant

Créé par Christine TibollaEnseignante de mathématiquesCommission scolaire Marie-Victorin

Un chalet à rénover


Informations générales sur la situation d’apprentissage

Domaine général de formation

- Environnement et consommation

Compétences disciplinaires

Compétence 1 : Utiliser des stratégies de résolution de situations problèmes.

- Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation problème

- Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situation problème- Élaboration d’une solution appropriée à la situation problème- Validation appropriée des étapes de la solution élaborée

Compétence 2 : Déployer un raisonnement mathématique.

- Formulation d’une conjecture appropriée à la situation- Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés- Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation- Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente- Justification congruente des étapes d’une démarche pertinente

Compétence 3 : Communiquer à l’aide du langage mathématique.

- Interprétation juste d’un message à caractère mathématique- Production d’un message conforme à la terminologie, aux règles et aux conventions

propres à la mathématique et en fonction du contexte

Famille de situations d’apprentissage

- Mesure et représentation spatiale

Compétences transversales

- Résoudre des problèmes- Exercer son jugement critique- Se donner des méthodes de travail efficaces- Actualiser son potentiel- Communiquer de façon appropriée

Savoirs essentiels

- Relations trigonométriques et métriques dans le triangle- Triangles semblables et isométriques

Christine Tibolla – Commission scolaire Marie-Victorin Page 2



Informations pour l’enseignant

Cette situation d’apprentissage doit être utilisée lorsque l’élève a étudié les relations métriques et trigonométriques. Elle permet le développement des trois compétences disciplinaires, mais l’objectif premier est de favoriser la représentation visuelle interne de l’élève. Ainsi, pour chaque tâche aucun schéma n’est présenté à l’élève. Cependant, vous trouverez en annexe, pour chaque tâche, deux représentations. La première peut être distribuée aux élèves ayant de la difficulté à se créer une image mentale de la situation et la seconde peut être remise aux élèves ayant de la difficulté à placer les données sur la représentation. Malgré tout, il est fortement conseillé de laisser l’élève effectuer plusieurs tentatives avant de lui remettre une aide visuelle.

La première tâche est guidée et permet donc à l’élève de comprendre les différentes étapes nécessaires à la résolution d’une situation problème. Cette tâche est suivie d’un questionnaire, permettant à l’élève d’effectuer une autorégulation, pour qu’il réalise ses forces ou lacunes en ce qui a trait à la résolution de situation problème.

Les deux autres tâches ne sont pas guidées et permettent donc à l’enseignant d’évaluer les capacités des élèves à effectuer une représentation visuelle et à résoudre des situations problèmes.

Si vous désirez effectuer des commentaires, vous pouvez communiquer avec l’auteure à l’adresse suivante : [email protected]




Mise en contexte

Votre meilleur ami, Alexandre, a reçu en héritage

le chalet de son grand-père situé dans la région

de Charlevoix, qui a été construit sur une falaise

qui permet de voir le fleuve Saint-Laurent. En

vous montrant des photos de la plage, il

mentionne que l’endroit est paradisiaque et qu’il

a plusieurs souvenirs d’enfance sur la plage avec

ses cousins et cousines.

En allant visiter sa nouvelle acquisition, Alexandre a pu constater que plusieurs rénovations

devront être effectuées pour restaurer le chalet. De plus, votre ami décide d’apporter quelques

modifications au chalet et à son aménagement extérieur. Il vous demande votre collaboration pour

réaliser les travaux, mais surtout pour l’aider dans la planification de ceux-ci. Afin de vous aider,

voici les mesures du chalet et du terrain, qu’il a prises lors de sa dernière visite.


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Mesures du chalet et du terrain

- Largeur du terrain : environ 100 pi- Longueur du terrain : environ 150 pi- Région boisée : environ 50 pi2

- Largeur du chalet : 21,4 pi- Longueur du chalet : 25,7 pi- Hauteur du premier étage : 9 pi- Hauteur du deuxième étage (murs extérieurs) : 4 pi- Longueur de la terrasse : 19,4 pi- Largeur de la terrasse : 4,5 pi- Longueur de la pente du toit 1 : 14 pi- Longueur de la pente du toit 2 : 16,2 pi- Angle entre les deux pentes du toit : 90°- Hauteur de la falaise : 27,6 pi- Distance entre la maison et la falaise : 10 pi




Tâche 1 – L’espace pour le foyer

Alexandre s’est mis en tête qu’il voulait installer un foyer extérieur pour profiter des

belles soirées d’été. Il vous explique que lui et sa conjointe ont déjà trouvé un foyer

abordable et surtout original, car il est de forme cylindrique. Pour éviter de brûler le

gazon, il voudrait poser des dalles de béton à l’endroit où le foyer sera posé. En entendant

la conversation, la conjointe d’Alexandre mentionne qu’elle a vu de superbes dalles dans

la remise près du chalet et qu’elle voudrait les utiliser pour créer un motif de soleil,

autour de la dalle circulaire de 76,2 cm de diamètre où sera placé le foyer. Dans son élan

de passion, elle vous mentionne que les 20 tuiles sont des triangles, dont l’un des

sommets possède un angle de 77,5° et que les côtés qui forment cet angle sont congrus et

mesure quatre pouces. Alexandre devient alors hésitant et dit qu’il sera impossible

d’effectuer ce projet, car il n’y aura pas assez de tuiles. Sentant la tension monter dans le

couple, vous voulez essayer d’éviter une dispute en démontrant qui a raison à l’aide d’un

raisonnement mathématique et d’un schéma de la situation.


Une bonne représentation visuelle est importante pour bien résoudre une situation problème. Afin d’y parvenir, il faut d’abord lire attentivement l’énoncé et déterminer les éléments nécessaires pour résoudre la situation problème. Pour vous aider, voici quelques questions qui vous aideront à bien représenter la situation.


Question 1

Dans vos propres mots, décrivez ce que l’on recherche dans cette situation problème.

Question 2

Déterminez les éléments qui vous permettront de résoudre la situation problème.

Question 3

Effectuez un schéma de la situation problème.


76,2 cm

Représentation du motifReprésentation d’une tuile

4 po4 po 77,5°

a b

C

Est-ce que les 20 tuiles sont suffisantes pour créer le motif de soleil ?

- Dalle circulaire de 76,2 cm de diamètre- 20 tuiles triangulaires- Triangles isocèles avec un angle de 77,5° et deux côtés qui le bordent de 4 po


Question 4

Déterminez les étapes qui vous seront nécessaires pour résoudre la situation problème.

Question 5

Résoudre la situation problème en présentant clairement les étapes de votre démarche.


76,2 cm

- Effectuer la conversion des unités pour obtenir les mêmes unités.- Déterminer la circonférence de la dalle circulaire.- Trouver la mesure du côté manquant des tuiles triangulaires.- Déterminer le nombre de tuiles nécessaire pour effectuer le motif.- Se prononcer sur la faisabilité du projet.

- Effectuer la conversion des unités pour obtenir la même unité.

1 po = 2,54 cm L = 4 po x 2,54 cm 4 po = L 1 po

- Déterminer la circonférence de la dalle circulaire.

C = π x d C = π x (76,2 cm)

L = 10,16 cm

C = 239,39 cm



- Trouver la mesure du côté manquant des tuiles triangulaires.

Possibilité 1 Possibilité 2 Possibilité 3

Puisque le triangle est isocèle, les deux angles manquants (a et b) sont identiques et que la somme des angles d’un triangle est de 180°.

180° — 77,5° = 102,5° 102,5° ÷ 2 = 51,25°

Loi des sinus

Sin a = Sin c A C

Sin 51,25° = Sin 77,5° 10,16 cm C

C = 10,16 cm x Sin 77,5° Sin 51,25°

Loi des cosinus

C2 = A2 + B2 – 2AB cos c

C2 = (10,16 cm) 2 + (10,16 cm) 2 – 2 (10,16 cm) (10,16 cm) cos 77,5°

C2 = 161,77 cm

Propriétés des triangles isocèles

Dans un triangle isocèle, la hauteur sépare en deux l’angle formé par les côtés congrus et forme un angle de 90° avec la base du triangle.

Sin C/2 = ____C1 _

Hypoténuse

Sin 38,75° = C1 _ 10,16 cm

C1 = sin 38,75° x 10,16 cmC1 = 6,36 cm = C2

C = C1 + C2

C = 6,36 cm + 6,36 cmC = 12,72 cm

C = 12,72 cm10,16 cm

38,75°

a

C1 C2

C = 12,72 cm


Réponse : Il est possible d’effectuer le motif si l’hypoténuse du triangle est accolée sur la dalle

circulaire.


- Déterminer le nombre de tuiles nécessaire pour effectuer le motif.

La circonférence indique la longueur où les tuiles triangulaires devront être positionnées.

Le nombre de tuiles nécessaire = la circonférence de la dalle ÷ la longueur du côté du triangle

Tuiles nécessaires selon le petit côté

Le nombre de tuiles nécessaire = 239,39 cm ÷ 10,16 cm

Le nombre de tuiles nécessaire = 23,56 tuiles

Tuiles nécessaires selon le grand côté

Le nombre de tuiles nécessaire = 239,39 cm ÷ 12,72 cm

Le nombre de tuiles nécessaire = 18,82 tuiles

Nombre de tuiles nécessaire selon le petit côté : 24 tuiles

Nombre de tuiles nécessaire selon le grand côté : 19 tuiles


Auto-évaluation Cotes

1 Je n’ai pas réussi.2 J’ai réussi avec l’aide de mon enseignant.3 J’ai réussi en révisant mon cahier.4 J’ai réussi de manière autonome.

À l’aide des cotes ci-contre, déterminez les aspects que vous devez améliorer dans la résolution d’une situation problème. Après avoir déterminé la cote pour chaque question, additionnez-les et référez-vous aux instructions décrites dessous le questionnaire.

CotesReprésentation

J’ai réussi à déterminer ce qu’on recherchait dans la situation problème.J’ai réussi à effectuer une représentation visuelle de la situation problème.

PlanificationJ’ai réussi à déterminer les informations importantes pour résoudre la situation problème.J’ai réussi à déterminer les étapes nécessaires pour résoudre la situation problème.

ActivationLes étapes de ma démarche sont claires.Les étapes de ma démarche sont cohérentes avec ce que l’on recherchait dans la situation problème.

RéflexionJ’ai réussi à prendre une décision grâce aux résultats obtenus.

Total (addition des cotes)En quelques mots, décrivez ce que vous ressentez lorsque vous effectuez la résolution d’une situation problème.

En quelques mots, décrivez ce que vous ressentez lorsque vous devez effectuer une représentation visuelle d’une situation problème

Instructions7-15 Si vous avez obtenu un résultat dans cet intervalle, il est important de rencontrer votre



enseignant, afin de déterminer des stratégies adéquates pour vous aider dans la résolution de situation problème.

16-28 Si vous avez obtenu un résultat dans cet intervalle, vous avez peu ou pas de difficulté lors de la résolution de situation problème. Vous pouvez donc passer à la tâche 2.



Tâche 2 —Le prolongement de la terrasse.

Dans l’énumération des bons souvenirs que votre ami a vécus dans ce chalet, Alexandre vous mentionne que ses plus beaux souvenirs ont eu lieu sur la plage au pied de la falaise. Avec ses cousins et cousines, il avait l’habitude de faire les cents coups, car personne ne pouvait les voir du chalet. Maintenant qu’il a vieilli et qu’il désire avoir des enfants, il voudrait prolonger la terrasse au deuxième étage du chalet, afin de pouvoir observer les enfants qui jouent sur le bord de l’eau. Même s’il est conscient qu’il ne verra que la moitié de la plage, Alexandre voudrait que de l’extrémité de la terrasse, il puisse observer au moins deux mètres de plage. De plus, il désire que la terrasse ait la même longueur que celle déjà présente. Le contremaître lui explique que le prolongement de la terrasse au deuxième étage sera un projet très dispendieux, car il doit installer des pieux pour la soutenir. Il décide néanmoins de lui faire un prix d’ami. Alexandre devra alors payer 60 $/pi2.

Sachant qu’il n’a qu’un budget de 3 000 $ pour ce projet, aide Alexandre à déterminer s’il pourra effectuer la prolongation de la terrasse et quel en sera le coût.


- Question : Est-ce qu’Alexandre a assez d’argent pour prolonger sa terrasse au deuxième étage ?

- Éléments importants dans la situation problèmeo Largeur de la plage : 4 mo Alexandre veut pouvoir observer 2 m de plageo Hauteur du premier étage : 9 pio Longueur de la terrasse : 19,4 pio Largeur de la terrasse : 4,5 pio Hauteur de la falaise : 27,6 pio Distance entre la maison et la falaise : 10 pio Prix : 60 $/pi2

o Budget : 3 500 $

Maintenant, vous savez les questions que vous devez vous poser pour bien représenter les situations problèmes. Voici deux tâches non guidées qui vous permettront de vous exercer. N’oubliez pas que vous pouvez demander de l’aide à votre enseignant, surtout pour bien représenter la situation problème.



- Représentation

- Étapes nécessaires pour résoudre la situation problèmeo Modifier les unités pour obtenir les mêmeso Déterminer à quelle distance la terrasse se trouve de la falaiseo Déterminer les dimensions de la nouvelle terrasseo Trouver l’aire de la section supplémentaire de la terrasseo Calculer le prix pour effectuer la nouvelle terrasseo Déterminer la faisabilité du projet

2 m 2 m

10 pi

9 pi

Terrasse existante 4,5 pi x 19,4 pi

27,6 pi

Chalet

Falaise

Fleuve



- Résolution (exemple de solution possible)

Modifier les unités pour obtenir les mêmes

1 pi = 0,304 8 m X = 2 m

Déterminer à quelle distance la terrasse se trouve de la falaise

Les deux triangles précédents, obtenus par le prolongement de la vue obtenue de la terrasse, sont semblables par AA. Puisqu’ils ont chacun un angle de 90° et que le prolongement implique un même angle, nous pouvons utiliser les proportions pour obtenir la distance entre la terrasse et la falaise.

9 pi = T _ T = 6,56 pi x 9 pi 27,6 pi 6,56 pi 27,6 pi

Déterminer les dimensions de la nouvelle terrasse

Puisque le chalet se trouve à 10 pi de la falaise, la terrasse doit mesurer :

Largeur de la terrasse = 10 pi — 2,14 pi

T = 2,14 pi

6,56 pi

9 pi

27,6 pi

X = 6,56 pi

T

Largeur de la terrasse = 7,86 pi


Réponse : Avec un budget de 3 000 $, Alexandre ne pourra pas prolonger sa terrasse de

manière à observer 2 m de plage.


Trouver l’aire de la section supplémentaire de la terrasse

Largeur à ajouter à l’ancienne terrasse = 7,86 pi — 4,5 pi

Alexandre veut conserver la longueur de la terrasse, soit 19,4 pi.

Aire de la section à ajouter = 19,4 pi x 3,36 pi

Calculer le prix pour effectuer la nouvelle terrasse

Prix du prolongement de la terrasse = 60 $/pi2 x 65,18 pi2

Largeur à ajouter = 3,36 pi

Aire à ajouter = 65,18 pi2

Prix du prolongement de la terrasse = 3 910,80 $


Tâche 3 – La rénovation du toit

Après avoir longuement réfléchi et discuté avec sa conjointe, Alexandre a conclu qu’effectuer la rénovation du toit puis vérifier le puits artésien et l’isolation des fenêtres sont des tâches trop ardues pour ses capacités en construction. Par contre, il désire tout de même participer à la planification des travaux de rénovation du toit, car il désire y apporter quelques changements. Alexandre mesure 6 pi et a remarqué que les chambres situées au deuxième étage sont très basses, dues à l’inclinaison du toit. Puisqu’il entame des rénovations, il voudrait modifier le toit de manière à pouvoir être debout lorsqu’il se trouve à 2 pi des murs extérieurs de la maison. À l’aide d’un raisonnement mathématique, aide Alexandre à déterminer les modifications à apporter.


- Question : Quelles modifications Alexandre doit-il apporter pour être debout lorsqu’il se trouve à trois pieds des murs extérieurs au deuxième étage ?

- Éléments importants dans la situation problèmeo Largeur du chalet : 21,4 pi o Hauteur du deuxième étage (murs extérieurs) : 4 pio Longueur de la pente du toit 1 : 14 pio Longueur de la pente du toit 2 : 16,2 pio Angle entre les deux pentes du toit : 90°o Alexandre mesure 6 pi

- Représentation

-

21,4 pi

2 pi 2 pi

16,2 pi 14 pi

4 pi



a = 49,2° b = 40,9°

Y = 2,32 pi Z = 1,73 pi

- Étapes nécessaires pour résoudre la situation problèmeo Angles a et b avant rénovationo Hauteur à 2 pi des murs extérieurs avant rénovationo Angles a et b après rénovationo Déterminer les modifications à apporter

- Résolution (exemple de solution possible)

Angles a et b avant rénovation

Sin a = 16,2 pi _ Sin b = 14 pi_ 21,4 pi 21,4 pi

a = sin-1 (16,2 pi) b = sin-1 (14 pi) 21,4 pi 21,4 pi

Hauteur de Y et Z à 2 pi des murs extérieurs avant rénovation

Tan a = Y _ Tan b = Z _ 2 pi 2 pi

Tan 49,2° = Y _ Tan 40,9° = Z _ 2 pi 2 pi

Y = Tan 49,2° x 2 pi Z = Tan 40,9° x 2 pi

Étant donné que la hauteur des murs extérieurs est de 4 pi, seul le côté Z nécessite une modification, pour qu’Alexandre puisse être debout à 2 pi des murs extérieurs.


Réponse : Afin qu’Alexandre puisse être debout à deux pieds des murs extérieurs au

deuxième étage, il doit augmenter l’angle d’inclinaison de la pente 2 à 45°, donc une

augmentation de 4,1°. Ainsi, le mur intérieur devra être allongé à 11,5 pi.

Conclusion

Dans vos propres mots, résumez les travaux de rénovation qu’Alexandre peut ou non effectué et quels en sont les spécifications.

Autoréflexion


Angle b après rénovation

Tan b = 2 pi _ 2 pi

b = Tan-1 2 pi _ 2 pi

L’élève peut s’arrêter ici ou continuer en déterminant la hauteur du mur intérieur

Sin 45° = hauteur du mur intérieur 16,2 pi

Hauteur du mur intérieur = Sin 45° x 16,2 pi

2 pi

2 pi

b

b = 45°

La hauteur du toit à 2 pi des murs extérieurs : Grandeur d’Alexandre — hauteur du mur 6 pi — 4 pi = 2 pi

Hauteur du mur intérieur = 11,5 pi


En quelques mots, décrivez les différentes stratégies que vous avez utilisées lors de la résolution des situations problèmes.

En quelques mots, expliquez comment les schémas vous ont aidé dans la résolution des situations problèmes.

En quelques mots, expliquez comment la trigonométrie vous a permis de bien cerner et de répondre aux situations problèmes


Grille d’évaluation Tâche 2 – Le prolongement de la terrasse

Critère 1,1 : Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation problème.Manifestations observables À améliorer Présent

Reconnait que l’on cherche à quelle distance de la falaise se trouve la nouvelle terrasse, afin de déterminer la largeur de celle-ci.Tient compte de la présence de la terrasse existante dans la recherche des dimensions de la nouvelle terrasse.Reconnait que l’on cherche à déterminer l’aire du supplément de la terrasse.Commentaires :

Critère 1,2 : Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situation problème.Manifestations observables À améliorer Présent

Utilise les données présentes dans la mise en situation qui sont pertinentes pour résoudre la situation problème.Effectue une représentation visuelle adéquate de la situation.Commentaires :

Critère 2,1 : Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés.Manifestations observables À améliorer Présent

Détermine la distance sur la plage en pied.La distance entre la terrasse et la falaise est obtenue grâce à la théorie des triangles semblables.L’aire est calculée à partir des données pertinentes.Distance entre la terrasse et la falaise est de 2,14 pi.L’aire du prolongement de la terrasse est de 65,18 pi2.Le coût du prolongement est de 3 910,80 $.Commentaires :


Critère 2,2 : Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation.Manifestations observables À améliorer Présent

Reconnait les triangles semblables, grâce à une représentation visuelle adéquate.Recherche l’aire du prolongement de la terrasse.Détermine le coût du prolongement, afin de prendre une décision adéquate.Commentaires :

Critère 2,3 : Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente.Manifestations observables À améliorer Présent

Les étapes du raisonnement sont clairement présentées.La représentation visuelle est adéquate.L’utilisation des symboles mathématiques est appropriée.Commentaires :

Commentaires :

Grille d’évaluation Tâche 3 – La rénovation du toit



Critère 1,1 : Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation problème.Manifestations observables À améliorer Présent

Reconnait que l’on cherche la hauteur du toit à 2 pi des murs extérieursTient compte de la hauteur des murs extérieurs.Reconnait que l’on cherche à déterminer l’angle du toit et la hauteur du mur intérieur.Commentaires :

Critère 1,2 : Mobilisation de stratégies et de savoirs mathématiques appropriés à la situation problème.Manifestations observables À améliorer Présent

Utilise les données présentes dans la mise en situation qui sont pertinentes pour résoudre la situation problème.Effectue une représentation visuelle adéquate de la situation.Commentaires :

Critère 2,1 : Utilisation correcte des concepts et des processus mathématiques appropriés.Manifestations observables À améliorer Présent

Détermine les angles du toit et les hauteurs à 2 pi des murs extérieurs, avant la rénovation.Détermine l’angle nécessaire pour qu’à 2 pi des murs extérieurs, la hauteur soit de 6pi.Détermine la hauteur du mur intérieur après les rénovations.Les angles du toit avant rénovation sont de 49,2° et 40,9°.Les hauteurs du toit avant la rénovation sont de 2,32 pi et 1,73 pi, excluant le 4pi.L’angle et la hauteur du mur intérieur nécessaire sont de 45° et 11,5 pi.Commentaires :

Critère 2,2 : Mise en œuvre convenable d’un raisonnement mathématique adapté à la situation.Manifestations observables À améliorer Présent



Reconnait les différents triangles rectangles, grâce à une représentation visuelle adéquate.Reconnait l’importance de la hauteur des murs extérieurs.Détermine l’angle et la hauteur du mur intérieur pour obtenir la hauteur à 2 pi des murs extérieurs.Commentaires :

Critère 2,3 : Structuration adéquate des étapes d’une démarche pertinente.Manifestations observables À améliorer Présent

Les étapes du raisonnement sont clairement présentées.La représentation visuelle est adéquate.L’utilisation des symboles mathématiques est appropriée.Commentaires :

Commentaires :


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