Un modèle de contact visqueux pour la simulation numérique ... · Ecoulements ﬂuide/particules A. Lefebvre Contact? Cas lisse Cas rugueux Modèle de contact visqueux Le modèle

Ecoulementsfluide/particules

A. Lefebvre

Contact ?Cas lisse

Cas rugueux

Modèle decontactvisqueuxLe modèle plan/part

Schéma (plan/part)

Multi-particules

Résultatsnumériques

Couplage

PénalisationMéthode

Exemple

Couplage Flub

Un modèle de contact visqueux pour lasimulation numérique d’écoulements

fluide/particules

Aline Lefebvre

Laboratoire de Mathématiques,Bât. 425, Université Paris-Sud - Orsay, France

GDT “Application des Mathématiques”Rennes, le 9 Janvier 2008


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Motivation

• Fluides complexes :étude des propriétés macroscopiques

• Exemple : viscosité apparente d’une suspension

• Cas dilué : études théoriques [Einstein, 1906]

• Cas concentré : nécessité de la simulation numérique

• Gestion des interactions rapprochées.

=⇒ Recherche d’une méthode gérant les contacts tout enprenant en compte les interactions rapprochées.


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Notations

x i

Ω

θi

Bi

Ω ⊂ R2 domaine borné

(Bi)1≤i≤N inclusions rigides dans Ω

B = ∪Ni=1Bi domaine rigide

x i coordonnées du centre de masse de Bi

θi angle par rapport à la verticale de Bi

V = (Vi = x i)i

ω = (ωi = θi)i


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Problème considéré

u = (u1, u2) et p définis dans Ω \ BV ∈ R

2N et ω ∈ RN

Ecoulement fluide/particules

Navier-Stokes : ρfDuDt

− µu + ∇p = fΩ\B dans Ω \ B

∇ · u = 0 dans Ω \ B

u = 0 sur ∂Ω

Mouvement rigide : u(x) = Vi + ωi(x − x i)⊥ sur ∂Bi ∀ i

PFD : mBi

dVi

dt=

∫

Bif i −

∫

∂Bi

σnds ∀ i

Jx i ωi =

∫

Bi

(x − x i)⊥ · f i −

∫

∂Bi

(x − x i)⊥ · σnds ∀ i


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Plan

1 Lubrification et contactCas lisseCas rugueux

2 Un modèle de contact visqueuxLe modèle plan/particuleSchéma numérique (plan/particule)Cas multi-particulesRésultats numériquesIntégration à un solveur fluide/particules

3 Simulation directe par une méthode de pénalisationDescription de la méthodeUn exemple : vésicules en cisaillementCouplage avec le modèle de contact visqueux


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Plan





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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Non-contact en temps fini

x

y

Uey

q

r

Hypothèses :

• Particules lisses

• Navier-Stokes

Résultat 2D : [M. Hillairet]Il n’y a pas contact en tempsfini.

Définition : Force de lubrification = Force exercée par lefluide visqueux sur la particule (notée Flub).


A. Lefebvre

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Cas rugueux


Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Développement asymptotique

replacements

x

y

Uey

q

r

PFD au premier ordre

[Cox, Brenner, 1967]

Flub ∼ −6πµr2 Uq

ey (3D)

mq = −6πµr2 qq

+ mfy (1)

Propriété :

(1) possède une unique solution maximale qui est globale.

Point clé : mq(t) = C1 − C2ln(q(t)) + m∫ t

0fy (s)ds.

=⇒ pas de contact en temps fini.

Remarque : situation à la limite du contact.


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Cas rugueux

r

q

qs < rs

r

r

q

qs < rsrs

rs − qs

Observation expérimentale [Vinogradova, Yacubov, 2006]

La force de lubrification exercée par un objet rugueux estéquivalente à celle qu’exercerait un objet lisse décalé.

Conséquences :• q + qs ne tend pas vers zéro en temps fini.

• Il peut y avoir contact en temps fini.


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Plan





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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Comportement pour µ → 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

qµ(t)

solution non visqueuse

0.006≤µ≤ 0.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5µ ln(qµ(t))

µ=0.2

µ=0.1

µ=0.05

µ=0.02

µ=0.006

fy = −2 1[0,2]+2 1[2,+∞[

qµ = −µqµ

qµ+ fy

qµ(0) = 0

qµ(0) = 1


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Modèle de contact visqueux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

ag replacements

q(t)

γ(t)

fy = −2 fy = 2

Problème (P)

q+ = PCq,γq−

mq = mfy + λ

supp(λ) ⊂ t , q(t) = 0

γ = −λ

q ≥ 0, γ ≤ 0

Cq,γ =∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 si γ− < 0

R+ si

∣

∣

∣

∣

∣

γ− = 0

q = 0

R sinon


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Résultat de convergence

Modèle visqueux :

(Pµ)

mqµ(t) + γµ(t) =

mu0 + γ0µ + m

∫ t0 fy (s)ds

γµ(t) = µln(qµ(t))

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

qµ(t)

γµ(t)

fy = −2 fy = 2

Contact visqueux :

(P′)

mq(t) + γ(t) = mu =

mu0 + m∫ t

0 fy (s)ds

q ≥ 0, γ ≤ 0, qγ = 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

q(t)

γ(t)

fy = −2 fy = 2

Propositions

⇒ Convergence de (Pµ) vers (P′) quand µ tend vers zéro.

⇒ Equivalence des problèmes (P) et (P′).

⊲⊲ Non-unicité des solutions dans le cas général.


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Visqueux ou non visqueux ?

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025 modèle de contact visqueuxmélasse : µ=100miel : µ=10huile de ricin : µ=1huile d’olive : µ=0.1sang : µ=0.025

couche defluide visqueux


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Prise en compte de la rugosité

r1

r2q

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

q, modèle non rugueuxγ, modèle non rugueuxq, modèle rugueuxγ, modèle rugueux

fy = −2 fy = 2

• rugosité =⇒ contact

• Modèle proposé : contact pour q = r1 + r2

=⇒ seuillage de γ : γ ≥ γmin = µln(r1 + r2)


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Schéma numérique

Rappel du modèle :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

PSfr

q(t)

γ(t)

fy = −2 fy = 2

Problème (P)

q+ = PCq,γq−

mq = mfy + λ

supp(λ) ⊂ t , q(t) = 0

γ = −λ

q ≥ 0, γ ≤ 0

Cq,γ =∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 si γ− < 0

R+ si

∣

∣

∣

∣

∣

γ− = 0

q = 0

R sinon


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Problème de projection associé

Problème (Pn)

qn, un, γn, f n connus, u solution de :

u ∈ K n,

12|u − (un + hf n)|

2m = min

v∈K n

12|v − (un + hf n)|

2m

avec (v , w)m = (mv , w)

K n =

v , qn + hv ≥ 0 si γn = 0

qn + hv = 0 si γn < 0

Alors ∃λ ∈ R tel que mu − un

h= mf n + λ


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Algorithme

Etapes de l’algorithme

qn, un, γn connus,

f n = 1h

∫ tn+1

tn fy (s)ds

un+1 solution de (Pn)

on a alors λn+1 tel que

m un+1−un

h = mf n + λn+1

γn+1 = γn − hλn+1

qn+1 = qn + hun+1

Equations continues associées

q+ = PCq,γq−

Cq,γ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 si γ− < 0

R+ si γ− = 0, q = 0

R sinon

mq = mfy + λ

γ = −λ

q = u


A. Lefebvre

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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Résultat de convergence

tn+1tn

qn

qn+1

tn+1tn

un

tn+1tn

γn

γn+1

tn+1tn

λn

Théorème

Si f est localement intégrable sur I, il existe une sous-suitetelle que

uh −→ u dans L1(I), qh −→ q dans W 1,1(I) avec q = u,

λh⋆

− λ dans M(I), γh −→ γ dans L1(I) avec γ = −λ,

où (q, γ) est une solution de (P ′).

⊲⊲ Non-unicité des solutions dans le cas général.

⇒ Méthodes "consistance+stabilité" non applicables.


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Modèle multi-particulesplan/particule

q(t) ∈ R, γ(t) et λ(t) ∈ R

q ≥ 0, γ ≤ 0

Cq,γ =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

0 si γ− < 0

R+ si γ− = q = 0

R sinon

q+ = PCq,γq−

γ = −λ

mq = mfy + λ

multi-particules

q(t) ∈ R2N , γ(t) et λ(t) ∈ R

N(N−1)/2

Dij ≥ 0, γij ≤ 0

Cq,γ =

v tq.∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Gij · v = 0 si γ−

ij < 0

Gij · v ≥ 0 si γ−

ij = 0Dij = 0

q+ = PCq,γq−

γ = −λ

Mq = Mf +∑

i<j λij Gij

qiqj

ei,j

Dij

Gij(q) = ∇Dij(q) ∈ R2N ,

Gij(q) = (. . . , 0, −enij , 0, . . . , 0, en

ij , 0, . . . , 0)i j


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Problème de projection associéProblème (Pn

N)

qn, un, fn, γn connus, u solution de :

u ∈ K n

12|u − (un + hfn)|

2M = min

v∈K n

12|v − (un + hfn)|

2M

avec (v, w)M = (Mv, w)

K n =

v, Dnij + hGn

ij · v ≥ 0 si γnij = 0

Dnij + hGn

ij · v = 0 si γnij < 0

∃λ ∈ RN(N−1)/2 tel que M

un+1 − un

h= Mfn +

∑

i<j

λijGnij


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Programmation

⊲⊲ Gestion des contacts en O(N).

⇒ Méthode de recherche desvoisins (bucket sorting).

⇒ Gestion dynamique avec effetmémoire (utilisation de la STLC++).

particule i

⊲⊲ Modularité du modèle et des méthodes numériques.

⇒ Programmation Orientée Objet (avec J. Laminie).

⊲⊲ Visualisation.

⇒ Librairie VTK (avec S. Faure).


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Résultats numériques

• Billard visqueux.

• Loto.

• Code C++.


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Méthode de splitting

• S solveur fluide/particule sans prise en compte des contacts.

• qn, γn, un (vitesse fluide), et f n (champ de forcesextérieures) connus.

1) Calcul des vitesses des particules sans gestion descontacts :

un+1/2 = S(qn, un, f n)

2) Projection de ces vitesses sur l’espace contraint :

un+1 ∈ K n,12

∣

∣

∣un+1 − un+1/2

∣

∣

∣

2

M= min

v∈K n

12

∣

∣

∣v − un+1/2

∣

∣

∣

2

M

3) Evolution de γ et q :

γn+1 = γn − hλn+1 qn+1 = qn + hun+1


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Plan





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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Méthodes numériques directes :état de l’art

• Maillages non structurés

• Problème fluide/solide• Découplé [Hu et al 92], [Johnson, Tezduyar 96]• Couplé [Hu 96], [Maury 99]

• Déplacement du maillage• Remaillage à chaque instant [Hu et al 92]• Méthode ALE [Hu 96], [Maury 99]

• Méthodes de domaines fictifs

• Utilisation de multiplicateurs de Lagrange [Glowinskiet al 99], [Patankar et al 00]

• Pénalisation [Wan, Turek 07]

• Lagrangien augmenté [Caltagirone et al 05]


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Le problème sans inertie

u = (u1, u2) et p définis dans Ω \ BV ∈ R

2N et ω ∈ RN

Ecoulement fluide/particules sans inertie

Fluide de Stokes : −µu + ∇p = fΩ\B dans Ω \ B

∇ · u = 0 dans Ω \ B

u = 0 sur ∂Ω

Mouvement rigide : u = Vi + ωi(x − x i)⊥ sur ∂Bi ∀ i

PFD :∫

Bif i =

∫

∂Bi

σnds ∀ i

∫

Bi

(x − x i)⊥ · f i =

∫

∂Bi

(x − x i)⊥ · σnds ∀ i


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Minimisation sous contrainte

Espaces fonctionnels contraints intervenant :

K∇ =

u ∈ H10 (Ω), ∇ · u = 0

,

KB =

u ∈ H10(Ω),∀ i ∃ (Vi , ωi) ∈ R

2 × R

tq u = Vi + ωi(x − x i)⊥ p.p. dans Bi

=

u ∈ H10 (Ω), D(u) = 0 p.p. dans B

Problème de minimisation équivalent

u ∈ K∇ ∩ KB

J(u) = minv∈K∇∩KB

J(v)

où J(v) = µ

∫

ΩD(v) : D(v) −

∫

Ωf · v


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Prise en compte du mouvementrigide par pénalisation

Problème de minimisationsous contrainte rigide :problème d’origine.

u ∈ K∇ ∩ KB

J(u) = minv∈K∇∩KB

J(v)

J(v) = µ

∫

ΩD(v) : D(v)

−

∫

Ωf · v

Pénalisation : suite deproblèmes de minimisationsans contrainte.

uε ∈ K∇

Jε(uε) = minv∈K∇

Jε(v)

Jε(v) = J(v)

+1ε

∫

BD(v) : D(v)


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Généralisation au cas avecinertie

Discrétisation en temps : méthode des caractéristiques.

Trouver un+1 ∈ H10 (Ω) et pn+1 ∈ L2(Ω) tels que,

1h

∫

Ωρn+1un+1 · u −

1h

∫

Ω(ρnun) Xn · u

+ 2µ

∫

ΩD(un+1) : D(u) −

∫

Ωpn+1∇ · u

+1ε

∫

BD(un+1) : D(u) =

∫

Ωfn+1 · u ∀ u ∈ H1

0 (Ω)

∫

Ωq∇ · un+1 = 0 ∀ q ∈ L2(Ω)


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Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Applications

• Modèle 2D (très) simplifié de valve cardiaque.

• Simulation d’écoulements fluide/particules.

• Etude d’un nageur dans un fluide de Stokes.(Collaboration avec F. Alouges et A. DeSimone)

• Etudes de vésicules en cisaillement.(Collaboration avec M. Ismail et le LSP de Grenoble.)


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Modèle de vésicule

B1

B2

Bi

Bi+1

µin

µout

• Forces interparticulaires : ressorts et force angulaire

• Membrane fermée : projection des vitesses

• Contrainte de volume constant : multiplicateur deLagrange


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Résultats numériques

• Mouvement de chenille de char

• Mouvement de bascule


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Cas rugueux


Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Prise en compte Flub

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

approximation q−>Flub

(q)

q

Flu

b

F

lub numerique

Flub

approchee

Flub

developpement asymptotique

−1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

approximation d−>Flub

(d)

log(q)

log(

Flu

b)

F

lub numerique

Flub

approchee

Flub

developpement asymptotique

• Calcul numérique 3D-axi :q → Flub(q, u0) à u0 donné (FreeFem++).

• Approximation aux moindres carrés par

Flub(q, u0) =aq

+ b + cq + dq2 + eq3.


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Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Cas test

• m = 20, g = 10, µ = 3, r = 1, q(0) = 1

• fy = −mg 1[0,2] + mg 1[2,+∞[

Calcul de la solution de référence :

• un tel que Flub(qn, un) + Fext = 0.

• qn+1 = qn + hun

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

q

solution de reference

qmin = 3.10−3


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Cas rugueux


Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Résultats

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

q

comparaison des methodes, seuil=1 maille


penalisation

penalisation+contacts

penalisation+lubrification

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

q

influence du seuil, penalisation+contacts


seuil=1 maille

seuil=1.5 maille

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

q

influence du seuil, penalisation+lubrification


seuil=1 maille

seuil=1.5 maille


A. Lefebvre

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Cas rugueux


Schéma (plan/part)

Multi-particules


Couplage


Exemple

Couplage Flub

Perspectives

• Modèle multiparticules

• EDO : non-contact en temps fini ?

• Etude du modèle limite et du schéma.

• Code C++

• Validation sur de nouveaux tests.

• Intégration de la force de friction.

• Couplage avec un code fluide.

• Pénalisation

• Amélioration du modèle de vésicules.

• Convergence en (h, ε)

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