Cours 6 : Effets visqueux et décollement Théorie de la ...hebergement.u-psud.fr/master2dfe/IMG/pdf/Master2_-_DFE_-_06... · A grand nombre de Reynolds, les effets visqueux sont

Master 2 – Dynamique des fluideset énergétique

Reynald [email protected]

Cours 6 : Effets visqueux et décollementThéorie de la couche limite

complète linéarisée stationnaire

frottement, flux de chaleur

Equations moyennées (RANS)

instationnaire

théorie des profils minces et de la ligne

portante

Simulation des grosses structures (LES)

Simulation numérique directe (DNS)

Les méthodes de prévision en aérodynamique classiqu e

LES EQUATIONS GENERALES DU MOUVEMENT

APPROXIMATION DU FLUIDE NON VISQUEUX

Cas général : Equations d'Euler

Ecoulement irrotationnel

Equation du potentielMonodimensionnel Bidimensionnel

Supersonique : Méthode des caractéristiques

Transsonique, Supersonique : Méthodes numériques

Tridimensionnel : Méthodes numériques

Ecoulement incompressibleEquation de Laplace

Solutions analytiquesMéthode des singularités

PRISE EN COMPTE DES EFFETS VISQUEUX

L'approximation de couche limite

Problème completRésolution numérique des

équations de Navier -StokesEquations d'Euler :modèles non

visqueux

Méthode de couplage :fluide parfait - fluide

visqueux

ESSAIS EN SOUFFLERIE

EQUATIONS DE NAVIER-STOKES

dans la réalité, la voiture se déplace dans l'atmosp hèreau repos en roulant sur une route fixe

en essai, l'air s'écoule autour de la maquette immobi le et laroute est fixe problème de la simulation de l'effet de sol

fixe

fixe tunnel hydrodynamique Onera

Effets visqueux et décollement

plancher mobile simulation de l'effet de sol

fixe

plancher mobile

tunnel hydrodynamique Onera


dans les écoulements usuels, les termes visqueux so nt négligeables, non en raison de la petitesse de la viscosité mais d es variations progressives de la vitesse presque partout dans le champ

(((( )))) (((( ))))j

ij

ij

jii

xxp

x

uu

tu

∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ++++δδδδ

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====ττττ

i

j

j

iij

k

kij x

u

xu

xu

La viscosité se manifeste quand le champ présente des gradientsde vitesse élevés ou des discontinuités dans le cadre deséquations d'Euler (approximation du fluide non visq ueux)

équation du mouvement (Navier-Stokes)

tenseur des contraintesvisqueuses

Manifestations de la viscosité

Régions où les gradients de vitesse deviennent très grands

V1 V2

(ΣΣΣΣ)

onde de choc couche limitecouche de mélange

ondes de choclignes de glissement : sillage et frontières fluidesparois (lignes de glissement particulières) : discontinuité devitesse en raison de la condition d'adhérence


équations satisfaites par 2 types de discontinuité

1 - si flux de masse à travers ( ΣΣΣΣ) onde de choc

2 - si composante normale à ( ΣΣΣΣ) nulle ligne de glissement

équations de Rankine-Hugoniot régissant une discont inuité de part et d’autre d’une surface ( ΣΣΣΣ) :

[[[[ ]]]] 0n.Vh i ====ρρρρ��

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 0npn.VV ====++++ρρρρ��

[[[[ ]]]] 0n.V ====ρρρρ��

0n.V ====ρρρρ��

0n.V ≠≠≠≠ρρρρ��

Ondes de choc et lignes de glissement

continuité

mouvement

énergie


Les équations d’Euler étant symétriques, elles n’indi quent pas la direction de l’évolution. Il faut les compléter par une condition sur l’entropie (deuxième principe)

0sss 12 ≥≥≥≥−−−−====∆∆∆∆

(((( )))) ∫∫∫∫∞∞∞∞++++

∞∞∞∞−−−−

λλλλ++++

µµµµ====−−−−ρρρρ dxdxdT

dxdu

T34

T1

ssu22

212

Ondes de choc

les ondes de choc sont des phénomènes visqueux donn ant lieuà production d’entropie

Une telle condition n’est pas nécessaire avec les éq uations de Navier-Stokes,les termes dissipatifs imposant le sens correct de l a variation d’entropie


action de la composante tangentielle traînée de frottement

action de la composante normale traînée de pression

les ondes de choc traînée d’onde

les couches limites traînée de frottement

Régions de production d’entropie

physiquement, la traînée/poussée résulte des actions du fluide sur le véhicule

les pertes en aérodynamique interne sont une autre expre ssion de la traînée


Traînée et pertes d'efficacité sont liées à la produc tion d'entropie

−−−−δδδδ−−−−====≡≡≡≡ηηηη

vp0i

i

CCs

exppp

dtd

xq

x

u1dtds

T ii

i

i

i

jij

ξξξξαααα−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−

∂∂∂∂∂∂∂∂

ττττρρρρ

====

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ρρρρδδδδ−−−−δδδδ==== dsn.VhsTV1

T i00

��

équation de l'énergie écrite avec l'entropie spécif ique

expression pour la perte de pression génératrice

expression d'Oswatitsch pour la traînée généralisée


• réactions chimiques (combustion)• transferts thermiques (écoulement non-adiabatique)• viscosité

Pour les prises d'air , les pertes d'efficacité sont presque uniquement dues aux effets visqueux : dans les ondes de choc, les couches limites des par ois

Pour les tuyères propulsives , les trois facteurs peuvent jouer :

• poursuite de réactions chimiques au cours de la dét ente• flux de chaleur aux parois (refroidissement)• viscosité dans les ondes de choc et les couches limi tes


Facteurs de production d’entropie


soufflerie S8Ch Onera

Effets visqueux à grand nombre de Reynolds

L'importance relative des effets visqueux est carac térisée par le nombre de Reynolds


0

00 LVR

µµµµρρρρ====

Les conditions de référence ρρρρ0, V0, µµµµ0 sont le plus souvent cellesde l'écoulement amont uniforme

la masse volumique ρρρρ0, la vitesse V 0, la longueur L(corde du profil) et la viscosité moléculaire µµµµ0sont des grandeurs de référence

R grand forces de viscosité presque part out négligeables


Le nombre de Reynolds est une mesure du rapport

couches limitessillagescouches de mélange

A grand nombre de Reynolds, les effets visqueux son t confinésdans des couches minces

équations d’Euler

R →→→→ ∞∞∞∞ : limite du fluide non-visqueux ou fluide parfait

forces d'inertie / forces de viscosité


couche limite

sillage

couche de mélange

Régions du type couche mince


• déformation apparente de la surface du véhicule ou du dispositif : effet de déplacement, effet d'obstruction (blocage du débit)

• origine et siège des phénomènes de transfert : frottement pariétal, flux de chaleur

• phénomènes catastrophiques bouleversant le champ aérodynamique : décollement plus ou moins massif, fluctuations à grande échelle, accentuation des flux de chaleur

• pollution et nuisances diverses : bruit, vibrations

Conséquences des effets visqueux


A grand nombre de Reynolds, les effets visqueux son t confinésdans des couches minces

l'écart entre la solution de fluide non-visqueux et l'écoulement réel caractérise l'importance des effets visqueux

il est devenu un paramètre à effet d'histoire : sa valeur définit l'état de la couche limite quand elle aborde la rég ion du décollement (effet sur le paramètre de forme H i par exemple)

le nombre de Reynolds perd de sa signification

ceci n'est plus vrai en cas de décollement massif : alors les régionsvisqueuses - ou dissipatives - prennent une taille co mparable àcelle de la maquette

yx ∂∂∂∂∂∂∂∂<<<<<<<<

∂∂∂∂∂∂∂∂


�� équations de Prandtl ou équations de la couche limi te

nombre de Reynolds grand couches visqueus es mincesdécrites par une forme simplifiée des équations de Navier-Stokes

Euler Prandtl

couplage

Navier-Stokesnon visqueux couche visqueuse mince

hiérarchie des approximations

du fait de l'existence d'une couche limite, l'obsta cle "vu" par le fluide externe non-visqueux est différent de l'obst acle réel

fluide non-visqueux Euler


d'interaction ou couplage fluide non visqueux- fluide visqueux

modification de la condition aux limites au voisina ge ducorps pour les équations d'Euler

distribution p(x)

conditions aux limites sur l'obstacle

équations de Prandtl

le développement de la couche limite est fonction d e la distributionde pression p(x) sur le corps donnée par la solutio n de fluidenon visqueux, d'où la notion



Théorie de la couche limite (Prandtl, 1904)

Théorie de la couche limite

(((( )))) (((( ))))j

ij

ij

jii

xxp

x

uu

tu

∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

++++∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

++++∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ++++δδδδ

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====ττττ

i

j

j

iij

k

kij x

u

xu

xu

(((( ))))0

xu

t i

i ====∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

point de départ : équations de Navier-Stokes

continuité

mouvement

+

(((( ))))iijji

2

jj u

x2V

hx

ut

)h( ΦΦΦΦ−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂====

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yx ∂∂∂∂∂∂∂∂<<<<<<<<

∂∂∂∂∂∂∂∂

énergie

cas bidimensionnel : x le long du corps, y normal à la paroi

hypothèse fondamentale

analyse d'ordre de grandeur des termes


point de départ : équations de Navier-Stokes

(((( )))) (((( ))))0

yv

xu

t====

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yxp

yu

vxu

ut

)u(∂∂∂∂

ττττ∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

0yp ====

∂∂∂∂∂∂∂∂

(((( ))))ΦΦΦΦ−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂====

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

uy2

uh

yv

2u

hx

ut

)h( 22

continuité

mouvement

énergie


cas bidimensionnel

yu

∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ

yh

CyT

P ∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====ΦΦΦΦ

λλλλµµµµ

==== pr

CP (pour l'air P r = 0,72)

yh

Pr ∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ−−−−====ΦΦΦΦ

nombre de Prandtl

frottement flux de chaleur


cas bidimensionnel

∂∂∂∂∂∂∂∂

−−−−++++

∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yu

uP1

1yh

P1

yyh

vxh

ut

)h(

r

i

r

iii

énergie

2u

h2

vuhh

222

i ++++≅≅≅≅++++++++====

h i enthalpie totale (d'arrêt ou génératrice)


cas bidimensionnel

0xp ====

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yh

yyh

vxh

ut

)h( iiii

∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yu

yyu

vxu

ut

)u(

Intégrale particulière : relation de Crocco

plaque plane et si 1Pr ====

et comme

(pour l'air P r = 0,72)


uhi ββββ++++αααα====

eie

p

ie

p

ie

i

uu

h

h1

h

h

hh

−−−−++++====

hp ≡≡≡≡ enthalpie du gaz à la paroi

e ≡≡≡≡ conditions à la frontière externe de la couche limit e


Intégrale particulière : relation de Crocco

p ≡≡≡≡ conditions à la paroi

Paroi isolante ou athermane : pas de flux de chaleu r à la paroi

00yu

:comme0yu

yh

paroiparoiparoi

i ====ββββ→→→→≠≠≠≠

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂ββββ====

∂∂∂∂∂∂∂∂

iei htetanconsh ========

iep hh ====

en réalité Pr < 1 enthalpie du gaz à la paroi hf inférieure àl'enthalpie génératrice du gaz

enthalpie d'arrêt constante dans la couche limite


facteur de récupération r < 1 (en général pris égal à 0,9)

ei

ef

hhhh

re

−−−−−−−−====

enthalpie de frottement ou de récupération

(((( ))))2u

rhhrhh2e

eief e====−−−−====−−−−

2u

rhh2e

ef ++++====


Paroi isolante ou athermane : pas de flux de chaleu r à la paroi

eie

p

ie

p

ie

i

uu

T

T1

T

T

TT

−−−−++++====

ei

ef

ei

ef

TTTT

hhhh

ree

−−−−−−−−====

−−−−−−−−====

2e

e

f M2

1r1

TT −−−−γγγγ++++====

facteur de récupération

température de frottement(récupération)

Tf est la température de la paroi quand elle est en éq uilibre thermique avec l'écoulement (température d'équilibr e adiabatique)


Relation de Crocco pour un gaz parfait

plaque plane athermane



Transition laminaire - turbulentCouche limite turbulente

Transition laminaire - turbulent

eee ,,V µµµµρρρρ

La transition se produit quand le nombre de Reynolds l ocal

est égal au nombre de Reynolds de transition e

eee

XVR


e

TeeeT

XVR


parcourslaminaire

région detransition

régimeturbulent

début detransition

fin detransition

XT

réponse d'une sonde (anémomètre) placée en un point fixe dansune couche limite

V V V

temps temps temps

région laminaire région de transition région turbulente


ReX = 20 000

ReX = 50 000

ReX = 200 000

Transition sur une plaque plane. Tunnel hydrodynami que Onera


régime laminaire régime turbulent

ReD = 200 000 ReD = 300 000

Transition sur une sphère. Tunnel hydrodynamique On era


une couche limite turbulente résiste mieux au décol lementqu'une couche limite laminaire


décollement

décollement



Application : la balle de golf


régimelaminaire

régimeturbulent

Propriétés caractéristiques

la transition est caractérisée par l'apparition d'i nstabilités au seinde la couche limite

ces instabilités (fluctuations) sont rapidement amp lifiées etprennent une allure chaotique régime turbulent

l'apparition de la transition dépend de nombreux fa cteurs

nombre de Reynolds

nombre de Mach

gradient de pression (une compression favorise la t ransition )

perturbations dans l'écoulement amont, bruit

état thermique de la paroi

le régime est turbulent dans la vaste majorité des a pplications


temps t

f(vitesse)

signal fluctuantvaleur moyenne

opération de moyenne sur l'écoulement turbulent (Re ynolds)

Couche limite turbulente

'fff ++++==== ∫∫∫∫++++

====Tt

tdtf

T1

f

'TTT

'

'ppp

'VVV

++++====ρρρρ++++ρρρρ====ρρρρ

++++====++++====��

0'T''p'V ========ρρρρ========

'j

'i

tij uuρρρρ−−−−====ττττ

écoulement décomposé en une composante moyenne et unecomposante fluctuante moyenne au sens de Reynolds

avec

tel que 0'f ==== et

l'opération de moyenne introduit dans les équations deNavier-Stokes des termes de corrélation

tensions de Reynolds


Frottement et flux de chaleur turbulents apparents

'v'uyu

tlT ρρρρ−−−−∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ττττ++++ττττ====ττττ

(((( )))) 'T'uCyT

ptlT ρρρρ++++∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====ΦΦΦΦ++++ΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ

'v'ut ρρρρ−−−−====ττττ

(((( )))) 'T'uCpt ρρρρ====ΦΦΦΦ

frottement

flux de chaleur


yu

'v'u tt ∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ====ρρρρ−−−−≡≡≡≡ττττ

(((( ))))yT

'T'uC tpt ∂∂∂∂∂∂∂∂λλλλ−−−−====ρρρρ≡≡≡≡ΦΦΦΦ


tµ

Viscosité tourbillonnaire et conductibilité thermiqueturbulentes apparentes

on introduit

et tλ


Equations de bilan

(((( )))) (((( ))))0

yv

xu

t====

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yxp

yu

vxu

ut

)u( T

∂∂∂∂ττττ∂∂∂∂++++

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂ 0

yp ====

∂∂∂∂∂∂∂∂

(((( ))))TT

22

uy2

uh

yv

2u

hx

ut

)h( ΦΦΦΦ−−−−ττττ∂∂∂∂∂∂∂∂====

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

continuité

mouvement

énergie


Nombre de Prandtl turbulent

====∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂

yh

vxh

ut

)h( ii

1PP rtr ======== (((( ))))

∂∂∂∂∂∂∂∂µµµµ++++µµµµ

∂∂∂∂∂∂∂∂====

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂ρρρρ

yh

yyh

vxh

u it

ii

9,0C

Pt

pttr ≅≅≅≅

λλλλµµµµ

====

∂∂∂∂∂∂∂∂

µµµµ++++µµµµ++++

∂∂∂∂∂∂∂∂

µµµµ−−−−µµµµ++++

µµµµ−−−−µµµµ∂∂∂∂∂∂∂∂

yh

PPyu

uPPy

i

rt

t

rrt

tt

r


si

Loi de Crocco modifiée

(((( )))) (((( ))))2

efi

epfpi u

uhh

uu

hhhhe

−−−−++++−−−−++++====

2

ee

f

ee

pf

e

p

e uu

1TT

uu

T

TT

T

T

TT

−−−−−−−−

−−−−++++====

relation de Crocco

relation plus précise loi de Crocco modifiée

eie

p

ie

p

ie

i

uu

h

h1

h

h

hh

−−−−++++====

température de frottement T f exprimée en fonction du facteur de récupération r = 0,9

température statique


Grandeurs caractéristiques de la couche limite

perte de quantité de mouvement directement liée au frottement pariétal (traînée de frottement, perte d'efficacité)

dyuu

10

ee

*∫∫∫∫

δδδδ

ρρρρρρρρ−−−−====δδδδ

∫∫∫∫δδδδ

−−−−

ρρρρρρρρ====θθθθ

0eee

dyuu

1uu

perte de débit massique due à la présence d'une couc he limite

Épaisseur de déplacement

Épaisseur de quantité de mouvement



débit massique à traversla couche limite ∫∫∫∫

δδδδρρρρ====

0m dyuq

δδδδρρρρ==== ee*m uq

∫∫∫∫∫∫∫∫δδδδδδδδ

ρρρρρρρρ−−−−ρρρρ====ρρρρ−−−−δδδδρρρρ====−−−−

0ee

ee0eem*m dy

uu

1uudyuqq

*eem

*m uqq δδδδρρρρ====−−−−

débit massique à travers δδδδ enfluide non-visqueux

perte de débit massique due à la présence d'une couc he limite

ue

u

y

δδδδ

δδδδ*



(((( ))))*ee

*ee

*mm uuqq δδδδ−−−−δδδδρρρρ====δδδδρρρρ−−−−====

paroi

paroi fictive déplacée

fluide non-visqueux


i

*i

iHθθθθδδδδ====

dyuu

10

e

*i ∫∫∫∫

δδδδ

−−−−====δδδδ ∫∫∫∫

δδδδ

−−−−====θθθθ

0ee

i dyuu

1uu

Paramètre de forme incompressible

caractérise la forme des profils de vitesse dans la couche limite

défini avec les épaisseurs incompressibles


i

*i

iHθθθθδδδδ====

Paramètre de forme incompressible

�Hi = 1,2 - 1,4 pour une couche limite turbulente de plaqu e plane

�Hi = 2,3 - 2,5 au décollement en turbulent

Hi augmente quand la couche limite "se vide"

avec h i = h +u2/2 : enthalpie d'arrêt


−−−−

ρρρρρρρρ====δδδδ

00i

i

eeh dy1

hh

uu

0h ====δδδδpour un écoulement adiabatique :


Épaisseur d'enthalpie

plaque plane sans gradient de pression 0xp ====

∂∂∂∂∂∂∂∂

Grandeurs caractéristiques

( )1* 2

12

x

x, , (x) x

Reδ δ θ ≅≃

Cas de la couche limite de Blasius


( )4* 5

15

x

x, , (x) x

Reδ δ θ ≅≃

une couche limite turbulente s’épaissit plus vitequ’une couche limite laminaire

Cas de la couche limite de Blasius

fonction f pour l’effet de compressibilité (f ≤≤≤≤ 1)

Coefficients de frottement local et moyen

régime laminaire

régime turbulent

( ) ( )f F1 1

2 2x x

0,664 f 1,328 fC C

Re Re= =

( ) ( )f F1 1

6 6x x

0,0368 f 0,0442fC C

Re Re= =

continuité équation de l'entraînement

(((( )))) (((( )))) (((( ))))E

e

eee

ee

**

Cuv

dxd

dxud

udxd ====−−−−δδδδ====ρρρρ

ρρρρδδδδ−−−−δδδδ++++δδδδ−−−−δδδδ

CE : coefficient d'entraînement

transfert - ou entraînement - de masse depuis l'écoul ementextérieur vers la couche limite

Equation de l’entraînement

Formes intégrales des équations de la couche limite

les équations locales sont intégrées selon y entre la paroi (y = 0)et la frontière externe de la couche limite (y = δδδδ)


Equation intégrale de Von Kàrmàn

2C

dxd1

dxdu

u1

2dxd fe

e

e

e

*

====

ρρρρρρρρ

++++

θθθθδδδδ++++θθθθ++++θθθθ

plaque plane2C

dxd f====θθθθ

mouvement (+ continuité) équation intégrale de Von Kàrmàn

perte de quantité de mouvement par effet du frotteme nt

mouvement ×××× u équation de l'énergie cinétique

D3ee

e

e

**e

e

e

e

*

Cu

Ddxdu

u2

dxd1

dxdu

u3

dxd ====

ρρρρ====θθθθ++++

ρρρρρρρρ

++++++++θθθθ

CD : coefficient de dissipation

perte d'énergie de la couche limite par dissipation visqueuse


−−−−


0 2e

2

ee

* dyuu

1uu


−−−−


0eee

** dy1TT

uu dy

yu

D0∫∫∫∫δδδδ

∂∂∂∂∂∂∂∂ττττ====

intégrale de dissipation :


Equation de l’énergie cinétique

la forme intégrale conduit à des équations différent iellesordinaires

les inconnues sont ramenées au nombre de deux

une épaisseur : θθθθ par exemple

un paramètre de forme caractérisant la forme des pr ofilsde vitesse : H i par exemple

deux équations pour les deux inconnues θθθθ et H i

équation de quantité de mouvement (Von Kàrmàn)

équation d’entraînement ou bien de l’énergie cinéti que


Méthode de résolution

les rapports d'épaisseur .....,,****

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

θθθθδδδδ

ainsi que les coefficients DEf C,C,C

sont exprimés par des relations empiriques ou bien calculésà partir d'une famille de profils, par exemple la re lation de Cole :

δδδδ−−−−

−−−−

δδδδδδδδ−−−−

δδδδ++++==== y

w22C

41,01y

log2

C41,01

1uu f

*F

e

δδδδππππ−−−−====

δδδδy

cos1y

woù :


Méthode de résolution

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