Une Construction des diﬀérents ensembles de nombrestsmaths.free.fr/Prepa/LesNombres/Lesensemblesdenombres.pdf · Dans tous les cas, le chapitre 1 a pour vertu de montrer aux lecteurs

Une Constructiondes différents ensembles de nombres∗

Jean Philippe Pardigon

Juillet 2007

∗Document destiné à des élèves de terminale S cherchant à parfaire leurs connaissances avant la prépa, et dans l’espoir qu’il leur seraabordable.

i

Table des matières

1 Introduction 1

1.1 Les nombres : une nécessité de toujours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Comment définir des objets nouveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Les propriétés des différents types de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Quelques définitions indispensables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.2 L’odre dans les différents types d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.3 Ensembles discrets, continus, denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.4 Le principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.5 Une propriété importante qui vraie N mais pas dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 La construction de l’ensemble des entiers naturels N 1

2.1 Les axiomes de Péano : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Démonstration des premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2.1 Le principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2.2 Tout entier non nul possède un prédécesseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.3 N est un ensemble discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 L’addition dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3.1 Définition de la somme de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3.2 Propriétés de l’addition dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Relation d’ordre dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Définition de la relation d’ordre dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.2 Propriétés de ≤ dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 La multiplication dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1 Définition de la multiplication dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.2 Propriétés de la multiplication dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 La construction de l’ensemble des nombres entiers relatifs Z 1

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.1.1 Idée maîtresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

ii

TABLE DES MATIÈRES iii

3.1.2 Relation d’équivalence - Classe d’équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2.1 Une relation d’équivalence fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2.2 L’ensemble Z des entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2.3 Abus de notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2.4 Représentant principal d’une classe d’équivalence - Définition de Z+ et Z−. . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 L’addition dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3.1 Définition de l’addition dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3.2 Propriétés de l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3.3 N est inclus dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.4 Notation définitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3.5 La soustraction dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 La multiplication dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.1 Introduction intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.2 Définition de la multiplication dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.3 Propriétés de la multiplication dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.5 Ordre dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5.1 Définition et théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5.2 Entiers relatifs positifs - négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5.3 Ordre et opérations dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6 Immersion de N dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.6.1 Immersion de (N,+) dans (Z,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6.2 Immersion de (N,×) dans (Z,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6.3 Immersion de

(N,≤

N

)dans

(Z,≤

Z

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.7 Quelques rudiments d’arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7.1 Diviseur d’un nombre - Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7.2 Diviseurs commun - PGCD de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 La construction de l’ensemble des nombres rationnels Q 1

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2.1 Une relation d’équivalence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2.2 L’ensemble Q des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.2.4 Simplification - Représentant privilégié d’une classe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.3 L’addition dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.3.1 Définition de l’addition dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

TABLE DES MATIÈRES iv


4.3.3 La soustraction dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3.4 Z est inclus dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4 La multiplication dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.1 Définition de la multiplication dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4.2 Propriétés de la multiplication dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5 Ordre dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.5.1 Les sous-ensembles Q+ et Q− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6 Immersion de Z dans Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.6.1 Immersion de (Z,+) dans (Q,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.6.2 Immersion de (Z,×) dans (Q,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.6.3 Immersion de (Z,≤) dans (Q,≤) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 La construction de l’ensemble des nombres réels R 1

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.1.1 Irrationnalité de√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

5.1.2 L’idée de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.1.3 Les coupures de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5.1.4 Quelques propriétés de S√2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5.2 Définition des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.2.1 Les données du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.2.2 Sections de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5.2.3 Définition de l’ensemble R des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2.4 Immersion de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2.5 Ordre total sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5.2.6 Densité de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.2.7 Immersion de (Q,≤) dans (R,≤) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.3 Deux théorèmes fondamentaux de l’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.4 L’addition dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.4.1 Définition de la somme de deux réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10


5.4.3 Immersion de (Q,+) dans (R,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.4.4 Opposé d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.4.5 L’ordre dans R est compatible avec l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5 La multiplication dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.5.2 Propriétés de la multiplication dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.5.3 Inverse d’un réel non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.5.4 Immersion de (Q,×) dans (R,×) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TABLE DES MATIÈRES v

5.6 Différences entre l’ordre dans Q et l’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.6.2 Densité de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.6.3 Densité de R−Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.6.4 Le théorème de Cantor Dedekind - Complétude (ou continuité) de R . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Abstract

TABLE DES MATIÈRES vi

PréfaceCet ouvrage s’adresse en priorité à des élèves de terminale S courageux et curieux de prendre contact avec les

mathématiques du post-bac. Il est cependant, pour certaines parties, très nettement au dessus du niveau qu’ils ontatteint en fin de terminale. Ainsi toutes les démonstrations ne seront pas vraiment à leur portée. Un élève de prépa(l’année pochaine donc) devrait par contre pouvoir tout appréhender ou presque, certains chapitres n’étant cependantpas au programme de Mathsup ; il faut bien faire des choix.

Pour chacun des chapitres, les idées de départ ainsi que les conclusions sont importantes ; il s’agit des particularitésqui ont amené les mathématiciens à "inventer" les nouveaux nombres. N’hésitez pas à las parcourir.

Toutes les propriétés de tous les chapitres (sauf peut-être le chapitre 5) sont faciles d’accès à tout un chacun dansla mesure où il s’agit des propriétés que vous connaissez déjà des nombres que vous manipulez depuis longtemps. Ilpourra donc être intéressant de parcourir la totalité de l’ouvrage sans s’attarder sur les démonstrations. Cela, un élèvede terminale curieux pourra y parvenir et en tirera profit.

Dans tous les cas, le chapitre 1 a pour vertu de montrer aux lecteurs ce qu’est la rigueur mathématiques espérant leconvaincre de la nécessité d’une telle rigueur ; voire de se poser la question : "comment ont-ils osé me faire manipulertous ces nombres sans jamais me les définir". La réponse est évidente : "parce que vous n’auriez pas été capable decomprendre" mais appelle une autre question :"comment ai-je pu faire des maths sans jamais me poser moi-même cesquestions ni demander d’éclairage sur la chose ?". Cela a de toute façon été la démarche de l’Homme depuis qu’il acommencé à faire des maths, et c’est bien normal.

Le chapitre 1 présente les grand principes mathématiques sur les rôles respectifs des différents "objets" que sontles axiomes, définitions et théorèmes. Il présente ensuite les différentes propriétés que peuvent posséder les nombres.Ce sont ces propriétés qui seront étudiées dans la suite de l’ouvrage.

Le chapitre 2 présente les nombres entiers naturels, manipulés depuis l’école primaire, mais toujours pas précisé-ment définis. Ce chapitre est accessible aux élèves de TS dans sa totalité. Les démonstrations reposent, pour la plupart,sur l’axiome de récurrence. Ce sont des exercices originaux de démonstrations par récurrence.

Le chapitre 3 et le chapitre 4 se ressemblent assez, l’un présentant les entiers relatifs, l’autre les nombresrationnels. Là encore les idées exposées ne sont pas d’une difficulté extrême. Elles sont intéreesantes pour un élèvecurieux et les démonstrations ne sont pas d’une difficulté particulière.

Le chapitre 5 présente cette fois les nombres réels dans leur totalité, donc plus présisément les irrationnels. Lesconcepts sont déjà compliqués et les démonstrations plus encore. L’introduction et la conclusion peuvent présenter unintérêt pour l’élève de terminale, le reste étant d’un niveau nettement supérieur.

Chapitre 1

Introduction

1.1 Les nombres : une nécessité de toujours.

L’Homme a depuis bien longtemps eu besoin de nombres. Il lui a fallu compter les fruits cueillis, les bêtes dans letroupeau, ... Le premier nombre auquel il a pensé était donc entier positif.

Devant l’impossibilité de faire certaines soustraction (dont le second opérande serait supérieur au premier), il a sentiplus tard la nécessité de définir l’opposé d’un entier naturel. C’était l’acte de naissance de l’entier relatif.

L’Homme a voulu ensuite exprimer des rapports de longueur entre des segments (Thalès en particulier dans son fameuxthéorème). Le rapport 1/2, avant d’être un nombre était le "lien" entre un segment et le segment limité au milieu. Lenombre rationnel allait être inventé.

S’apercevant ensuite de ce que le certains nombres (les racines carrées en particulier) ne pouvaient pas s’exprimercomme une fraction, il lui a fallu créer les nombres irrationnels.

Plus tard, la nécessité d’un nombre dont le carré est négatif à amené le nombre i et la construction de l’ensemble desnombres complexes.

Pourtant ces conceptions empiriques des nombres ne reposent que sur une la nécessité et la pratique ; elles sontnettement insuffisantes pour les mathématiciens qui ont besoin de définitions strictes et rigoureuses. Depuis ces tempslointains, le mathématicien a pris le temps d’étudier les propriétés de chacun de ces types de nombres. Ces propriétéspermettront ainsi d’énoncer les définitions claires de ces nombres et des ensembles qu’ils constituent (N,Z,Q,R).

1.2 Comment définir des objets nouveaux

Certains objets, dits primitifs ne peuvent être définis. Il en est ainsi de la droite dont une définition pourrait être :"un ensemble de points alignés". Mais qu’est-ce qu’un point, et que signifie aligné ? Si des points sont définis alignés dèslors qu’ils sont sur une même droite, on tourne somptueusement en rond.

Mais, ce n’est pas parce que certains concepts échappent à toute définition qu’il faut ne rien définir.

Axiome

Définition 1.1. On appelle axiome, tout énoncé non démontrable considéré comme évident en soi.

On parle aussi parfois de postulat, mot qui a pratiquement le même sens qu’axiome

1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 2

( http ://serge.mehl.free.fr/chrono/Euclide.html )

Euclide (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie), après avoir défini (autant que faire se peut les mots point, droite,angle ...) énonce les cinq axiomes suivants.

1. On peut conduire une droite d’un point quelconque à un point quelconque.

2. On peut prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

3. D’un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, cesdroites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Le dernier postulat est le bien connu 5eme postulat d’Euclide. On peut aussi en donner la formulation équivalenteci-dessous :

Soient une droite(d) et un point M situé hors de cette droite ; il ne passe par M qu’une seule droite (d′) parallèle à (d).

Les mathématiciens ont longtemps essayé de montrer que ce cinquième postulat était en fait un théorème (doncdémontrable) qui pouvait se déduire des précédents. Il n’en est rien ; c’est bel et bien un axiome.

Cette axiomatique est à l’origine de toutes les propriétés de la géométrie dite euclidienne que nous connaissons tous(plus ou moins bien).

Les nombres seront donc définis de la même manière c’est à dire à l’aide d’axiomes. Encore faut il que ces axiomespuissent être considérés comme évidents en soi, c’est à dire que les objets qu’ils permettront de créer et de manipulerrespectent bien les usages que la pratique "ancestrale" a mis en place.

1.3 Les propriétés des différents types de nombres

Nous allons étudier ce qui fait la différence entre un nombre entier, un rationnel, un réel. On va beaucoup tournerautour de mots tels que discret et continu (qui s’opposent) et certains nouveau mots devront être défini.

Que signifie donc le mot "ordre" ? On va en particulier avoir besoin de formaliser le signe ≤ . en donnant une définitionen trois points qui paraîtront comme allant de soi ! !

1.3.1 Quelques définitions indispensables

Relation d’ordre

Définition 1.2. Une relation ≤ qui lie deux éléments d’un ensemble E est une relation d’ordre si et seulement sielle possède les propriétés suivantes :1. Pour tout x de E, x ≤ x (propriété appelée la réflexivité)

2. Pour tous x, y de E,

{x ≤ yy ≤ x

⇒ x = y (propriété appelée antisymétrie)

3. Pour toust x, y, z de E,

{x ≤ yy ≤ z

⇒ x ≤ z (propriété appelée transitivité)

Toute relation possédant ces trois propriétés : réflexivité, antisymétrie et transitivité est dite relation d’ordre.

Lorsque tous les éléments d’un ensemble peuvent être comparés (c’est le cas de N,Q,R) la relation d’ordre estdite totale. Remarquons qu’il n’existe pas de relation d’odre total dans C. On peut comparer deux réels (en tant quecomplexes) mais on ne peut pas comparer 1 et i par exemple.


Majorant

Définition 1.3. On appelle majorant d’un ensemble ordonné tout nombre supérieur ou égal à tous les éléments decet ensemble.

Un simple exemple dans R : 5 est un majorant de l’intervalle [1; 3] . Notons que sans précision supplémentaire, quandon parle d’intervalle, il s’agit d’un ensemble de réels. Si on veut désigner les entiers compris entre 1 et 3, il faudra lepréciser.

Plus petit élément d’un ensemble ordonné

Définition 1.4. On appelle plus petit élément d’un ensemble ordonné, quand il existe, l’élément de cet ensemblequi est inférieur à tous les autres.

Par exemple, l’intervalle fermé [1; 3] possède un plus petit élément : 1 mais l’intervalle ouvert ]1; 3[ n’en possède pas.On aurait envie de dire que c’est 1, sauf que 1 n’est pas élément de l’intervalle. Par contre 1 est minorant de cet intervalle.

Vous élargirez sans problème l’idée pour définir le plus grand élément.

Borne inférieure d’un ensemble ordonné

Définition 1.5. On appelle borne inférieure d’un ensemble ordonné, quand elle existe, le plus grand élément del’ensemble des minorants de l’ensemble. De la même manière, la borne sup est le plus petit majorant.

Si on considère encore cet intervalle ouvert ]1; 3[ , l’ensemble de minorant est ]−∞; 1] ( et ce serait pareil si on considéraitl’intervalle [1; 3] ). Cet ensemble possède un plus grand élément : 1 qui est donc la borne inférieure de ]1; 3[ . Sa borne supserait évidemment 3.

Remarquons que quand le plus petit (Resp : plus grand ) élément existe, il est aussi forcément la borne inférieure(Resp : supérieure).

Ensemble bien ordonné

Définition 1.6. Un ensemble ordonné E est dit bien ordonné lorsque toute partie non vide de E admet un pluspetit élément.

Intuitivement, on sait bien que cette propriété sera vraie dans N mais pas dans R (intervalles ouverts)

Une conséquence sera que toute paire paire {a, b} d’éléments de E possède un plus petit élément. Donc de deuxnombres, l’un est forcément plus grand que l’autre. Autrement dit, tous les éléments de E sont comparables ; l’ordre esttotal sur E..

Ces considérations un peu théoriques étant exposées, il va être possible d’étudier les propriétés qui vont faire desentiers ( et des autres nombres ) ce qu’ils sont. Mais attention, il ne s’agit ici que de propriétés usuellement conférées àces nombres, propriétés qu’il faudra absolument que la construction rigoureuse permette de démontrer. Lafin de ce chapitre énonce les plus importantes.


1.3.2 L’odre dans les différents types d’ensemble

Les ensembles N,Z,Q,R sont bien ordonnés et l’ordre communément utilisée est total. Ces ensembles ne sont pasmajorés.

1.3.3 Ensembles discrets, continus, denses

L’ensemble N est discret, ce qu’on pourra exprimer en disant qu’entre deux entiers, il y a un "vide". Un chronomètreque égrène les secondes est franchement discret, un chronomètre que marque les centièmes de secondes paraît continu,mais ne nous trompons pas, ce n’est pas le cas.Entre deux centièmes, il y a dix millièmes, etc... En fait, entre deux

rationnels, on peut toujours en "glisser" un troisième.1

3entre

1

4et1

2puis encore

3

10entre

1

4et1

3. Cette propriété est

appelée densité. On dit que l’ensemble Q des rationnels est dense, alors que N ne l’est évidemment pas.

Mais la densité ne fait pas la continuité. En effet, on sait depuis bien longtemps, et ce n’est pas bien compliqué àdémontrer, que

√2 ne peut pas s’écrire sous forme de fraction c’est à dire qu’il n’existe aucun rationnel dont le carré

vaut 2.√2est un irrationnel. On pourra toujours trouver des rationnels très voisins de

√2, quand on en aura trouvé un,

on pourra toujours en glisser un autre plus proche encore. Pourtant, si on dessine sur la droite réelle tous les rationnels(c’est bien entendu impossible), il y aura "un petit trou" à l’endroit de

√2. C’est cette discontinuité qui incitera à créer

le nombre irrationnel et l’ensemble R qui est non seulement dense, mais continu ! ! !

1.3.4 Le principe de récurrence

Remarquons d’abord que N n’et pas majoré mais qu’il possède un plus petit élément qui est 0.

On appelle (Pn) une propriété qui dépend de l’entier naturel n.

⋆ Si P0 est vraie (si P est vraie à l’ordre 0)

⋆ Si, supposant que Pn est vraie(si P est vraie à l’ordre n) on démontre que Pn+1 est vraie( P est vraie àl’ordre n+ 1)

La propriété est alors vraie pour tout entier naturel n.

Ceztte hérédité, qui donne au fils (l’ordre n+ 1) la propriété du père (l’ordre n) n’est possible que dans un ensemblediscret (le fils de 1 dans N est 2, mais quel est-il dans R ? 1.1 ou 1.01 ou 1.001 ?). Ce principe de récurrence, plus que toutautre, donne à N toute sa spécificité.

1.3.5 Une propriété importante qui vraie N mais pas dans R

La propriété énoncée ci-dessous est une des propriétés fondatrices de N, qui sera mise en défaut dans R.

Proposition 1.1. Dans N, toute partie non vide et majorée possède un plus grand élément.

Exemple : Soit "l’intervalle" d’entiers {1,2,3,4}, cet ensemble est non vide et possède un majorant : 5 par exemple. Ildoit donc, d’après la propriété ci-dessus admettre un plus grand élément, ici 4.

Si on considère le même intervalle dans R, [1; 4] fermé, le résultat est le même, MAIS si on considère cette fois ]1; 4[ ,5 est toujours majorant, 4 est borne supérieure, mais l’intervalle ne possède pas de plus grand élément, car si proche de4 que soit un nombre, on pourra toujours en glisser un (densité de R) entre lui et 4.

On pourra par contre énoncer la propriété ci-dessous :

Proposition 1.2. Dans R, toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

Voici donc mises en évidence les principales propriétés qui vont différencier les entiers, les rationnels, les réels. Dans leschapitres qui suivent, nous allons construire rigoureusement les ensembles de ces nombres et constater que ces propriétésdécoulent de ces définitions.

Chapitre 2

La construction de l’ensemble des entiersnaturels N

Les propriétés énoncées dans le chapitre précédent sont souvent admises et connues pour allant de soi. Voyons commentl’axiomatique proposée par Giuseppe Peano permet de les démontrer.

2.1 Les axiomes de Péano :

Giuseppe Peano est un mathématicien italien né le 27 août 1858 et mort le 20 avril 1932.

Il a énoncé cinq axiomes qui permettent de définir les nombres entiers naturels.

Axiomes de Péano

P1 - 0 est un entier naturel. L’ensemble N des entiers naturels n’est donc pas vide.P2 - Tout entier naturel n a un successeur qui sera noté n+ (ou n+ 1 avec un peu d’anticipation)P3 - Aucun entier naturel n’a 0 pour successeur (leur ensemble a donc un premier élément).P4 - Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.P5 - Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensembleest égal à N. (On en déduira le principe de récurrence).

Remarque : le successeur de 0 s’appelle 1, le successeur de 1 s’appelle 2, etc..

2.2 Démonstration des premières propriétés

2.2.1 Le principe de récurrence

Rappelons son énoncé :

Principe de récurrence

On appelle (Pn) une propriété qui dépend de l’entier naturel n.⋆ Si P0 est vraie (si P est vraie à l’ordre 0)⋆ Si, supposant que Pn est vraie on démontre que Pn+1 est vraieou autrement dit, si P étant vraie à l’odre n, elle l’est forcément aussi à l’order n+ 1

La propriété est alors vraie pour tout entier naturel n.

1

CHAPITRE 2. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS N 2

Démonstration

Le principe de récurrence rappelé ci-dessous se démontre à l’aide de l’axiome P5.

Soit (Pn) une propriété dépendant de n et E l’ensemble des entiers naurels n tels que Pn est vraie.

La propriété étant vraie pour 0, 0 appartient à E.

P étant vraie à l’ordre n, elle l’est encore à l’ordre suivant qui est n+ ( ou n+1 pour coller à l’énoncé habituel) ; cetteproposition se traduit par : si n appartient à E, son successeur n+ appartient à E.

L’ensemble E vérifie les conditions dans l’axiome P5 ; E est donc l’ensemble N tout entier, ce qui prouve que P estvraie pour tout entier n.

2.2.2 Tout entier non nul possède un prédécesseur

Prédécesseur

Définition 2.1. On appelle prédécesseur de n noté n− l’entier dont le successeur est n.

Proposition 2.1. Tout entier non nul possède un prédécesseur

Démonstration

On va démontrer la propriété énoncée à l’aide, encore, de l’axiome P5.

Si on note E l’ensemble des entiers qui possèdent un prédécesseur et F = {0} ∪E.

Pour tout n appartenant à F, d’après P2, n admet un successeur n+ ce qui se lit aussi n+ admet un prédécesseur : n.

Donc, n+ appartient à F et on a montré que F est une partie de N qui contient 0 et les successeurs de chacun de seséléments. C’est donc N lui même.

On vient donc d’établir que N = {0}∪E qui traduit le fait que tout entier (sauf 0 axiome P3) admet un prédécesseur.

2.2.3 N est un ensemble discret.

La définition des nombres entiers comme successeurs les uns des autres prouve clairement qu’entre n et n+ il n’y aurapas d’autre entier. On "saute" donc de n à n+.

2.3 L’addition dans N

2.3.1 Définition de la somme de deux entiers

Addition dans N

Définition 2.2. La somme de deux entiers est définie par récurrence de la manière suivante :· Pour tout entier n, n+ 0 = n (A1)·Pour tout entier n, n+ 1 = n+ (A2)·Pour tous entiers n et p = 0, n+ p = (n+ p−)

+ (A3)


Remarque : le troisième point s’écrit aussi n+ p = (n+ p−) + 1 ou encore, avec une notation moins légale mais plususuelle n + p = (n+ p− 1) + 1. Mais attention, gardez vous de "simplifier ces 1" car les propriétés de l’addition (icil’associativité) n’ont pas encore été démontrées (elle le seront plus loin) et en plus ce −1 n’a pas de sens de soustraction,mais seulement de prédécesseur.

Notons surtout qu’écrite au rang suivant, cette propriété s’énonce par : n+ p+ = (n+ p)+ (A′3)

Il est important de bien noter, à ce moment, que cette opération correspond bien à ce qu’on attend de l’additiond’entiers. On peut par exemple montrer que 3 + 2 = 5, ou plutôt que 3 + 2 donne pour résultat le successeur de 4.

En effet, d’après A3, 3 + 2 = (3 + 2−)+. Or, le successeur de 1 est 2, ce qui s’énonce aussi par : le prédécesseur de

2 est 1. Ainsi, 3 + 2 est égal au sucesseur de 3 + 1. Or, d’après A2, 3 + 1 est égal au successeur de 3 qui est 4, et pourfinir, 3 + 2 est égal au succsseur de 4 qui est 5.

2.3.2 Propriétés de l’addition dans N

Associativité de l’addition dans N

Théorème 2.1. L’addition dans N est associative c’est à dire que ∀ (n, p, q) ∈ N3, (p+ q) + n = p+ (q + n)

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence. Soit (Pn) : (p+ q) + n = p+ (q + n)

Initialisation : (p+ q) + 0 = p+ q (d’après (A1))

Or q + 0 = q donc p+ (q + 0) = p+ q.

On constate donc que (p+ q) + 0 = p+ (q + 0) qui prouve que P0 est vérifiée.

Hérédité : En supposant Pn est vérifiée, montrons que Pn+1 l’est encore.

Supposons donc (p+ q) + n = p+ (q + n)

(p+ q) + (n+ 1) = (p+ q) + n+, or d’après (A′3) (p+ q) + n+ = ((p+ q) + n)+

On a donc (p+ q) + (n+ 1) = ((p+ q) + n)+ et en utilisant l’hypothèse de récurrence :

(p+ q) + (n+ 1) = (p+ (q + n))+

Il suffit alors d’utiliser (A′3) dans l’autre sens, c’est à dire (p+ (q + n))+ = p+ (q + n)+

puis encore d’après (A′3) : (q + n)+= q + n+ = q + (n+ 1)

On a donc (p+ q) + (n+ 1) = p+ (q + (n+ 1))

Qui prouve donc, par récurrence que la propriété est vraie pour tout n.


Commutativité de l’addition dans N

Théorème 2.2. L’addition dans N est commutative c’est à dire que ∀ (n, p, ) ∈ N2, n+ p = p+ n

Démonstration

⋆ Démontrons d’abord, par récurrence la propriété (Pn) : pour tout entier n, n+ 0 = 0 + n.

Initialisation : P0 s’écrit 0 + 0 = 0 + 0 trivial.

hérédité : supposons n+ 0 = 0 + n.

Alors, (n+ 1) + 0 = n+ 1 d’après (A1) et 0 + (n+ 1) = 0 + n+ = (0 + n)+

d’après (A′3)

On a donc (n+ 1) + 0 = n+ 1 et 0 + (n+ 1) = n+ 1, c’est à dire (n+ 1) + 0 = 0 + (n+ 1)

Qui prouve donc par récurrence que cette propriété est vérifiée pour tout entier n.

⋆ Démontrons ensuite, par récurrence la propriété (Qn) : pour tout entier n, n+ 1 = 1 + n.

Initialisation : Q0 s’écrit 0 + 1 = 1 + 0 en effet, 0 + 1 = (0 + 0)+

d’après (A′3)

= 0+ = 1

Et d’autre part 1 + 0 = 1 d’après (A1)

hérédité : supposons n+ 1 = 1 + n et montrons que (n+ 1) + 1 = 1 + (n+ 1)

Alors, (n+ 1) + 1 = (1 + n) + 1 d’après l’hypothèse de récurrence.

Donc (n+ 1) + 1 = 1 + (n+ 1) par associativité.


⋆ Démontrons par récurrence la propriété (Rn) : pour tous entiers n et p : p+ n = n+ p

Initialisation : d’après ce qui précède, R0 est vraie.

Hérédité : Supposons Rn vraie, c’est à dire p+ n = n+ p et montrons que

Alors p+ (n+ 1) = (p+ n) + 1

Donc p+ (n+ 1) = (n+ p) + 1 = n+ (p+ 1) = n+ (1 + p) d’après le point précédent

Ona donc p+ (n+ 1) = (n+ 1) + p en utilisant l’associativité de l’addition.



Régularité de l’addition dans N

Théorème 2.3. L’addition dans N est régulière c’est à dire que ∀ (n, p, ) ∈ N2, n+ p = n+ q ⇒ p = q

Démonstration

C’est à dire que pour tous entiers n, p et q : n+ p = n+ q ⇒ p = q propriété notée (Pn)

Initialisation : P0 est vraie car 0 + p = p et 0 + q = q donc 0 + p = 0 + q ⇒ p = q

Hérédité : Supposons n+ p = n+ q ⇒ p = q et montrons que (n+ 1) + p = (n+ 1) + q ⇒ p = q

En effet (n+ 1) + p = n+ (p+ 1) = (n+ p) + 1 en utilisant associativité et commutativité

de même (n+ 1) + q = n+ (1 + q) = n+ (q + 1) = (n+ q) + 1.

Ainsi, (n+ 1)+ p = (n+ 1)+ q ⇒ (n+ p)+ 1 = (n+ q)+ 1 qui signifie que n+ p et n+ q ont même successeur. Doncd’après l’axiome P4 de Péano, n+ p et n+ q sont égaux. D’après l’hypothèse de récurrence on a alors p = q.

Donc (n+ 1)+ p = (n+ 1)+ q ⇒ p = q pouve que Pn+1 est vraie ce qui prouve par récurrence que cette propriété estvérifiée pour tout entier n.

Remarque : La réciproque est évidemment vraie aussi, c’est à dire que p = q ⇒ p+ n = q+ n, pour tous entiers n, pet q. Il s’agit d’une conséquence de l’axiome P4.

En effet, par récurrence

Initialisation : p = q ⇒ p+ 0 = q + 0

Hérédité : En supposant p = q ⇒ p + n = q + n, alors p = q ⇒ p + (n+ 1) = (p+ n) + 1 = (q + n) + 1 d’aprèsl’hypothèse de récurrence.

Donc p = q ⇒ p+ (n+ 1) = (q + n) + 1 = q + (n+ 1) .

D’où le résultat par récurrence.

On a donc en fait l’équivalence, pour tous entiers p, q et n : p = q ⇔ p+ n = q + n

Proposition 2.2. En ajoutant membre à membre deux égalités, on obtient une égalité vraie, c’est à dire que, pour tous

entiers a, b, c, d,

{a = bc = d

⇒ a+ c = b+ d.

Démonstration

Il suffit d’appliquer deux fois le théorème ci-dessus :

a = b⇒ a+ c = b+ c et c = d⇒ c+ b = d+ b.

On en déduit, l’addition étant commutative dans N que a+ c = b+ d


2.4 Relation d’ordre dans N

2.4.1 Définition de la relation d’ordre dans N

La relation d’ordre dans N

Définition 2.3. Pour tous entiers n et p, n ≤ p si et seulement si il existe un entier x tel que n+ x = p. Si x = 0,on pourra noter n < p.

La relation ainsi définie est une relation d’ordre, c’est à dire qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Démonstration

⋆ Réflexivité : On a évidemment ∀n ∈ N, n+ 0 = n ⇒ n ≤ n (correspond à x = 0)

⋆ Transitivité : ∀ (n, p, q) ∈ N3{

n ≤ p⇒ ∃x ∈ N n+ x = pp ≤ q ⇒ ∃y ∈ N p+ y = q

⇒ q = (n+ x) + y

Donc ∀ (n, p, q) ∈ N3{

n ≤ p⇒ ∃x ∈ N n+ x = pp ≤ q ⇒ ∃y ∈ N p+ y = q

⇒ q = n+ (x+ y) avec x+ y ∈ N. Donc n ≤ q

⋆ Antisymétrie :

Lemme : ∀ (x, y) ∈ N2 : x+ y = 0⇔ x = y = 0.Supposons en effet y = 0, y admet alors un prédécesseur y−On peut alors écrire : : x+ y = (x+ y−)

+ = 0.Ce qui entraîne donc que 0 admet un prédécesseur x+ y− qui contredit P3.L’hypothèse faite est donc absurde et y = 0. La commutativité de l’addition donne x = 0.

Revenons à l’antisymétrie :

∀ (n, p) ∈ N2,{

n ≤ p⇒ ∃x ∈ N n+ x = pp ≤ n⇒ ∃y ∈ N p+ y = n

⇒ (p+ y) + x = p⇒ p+ (y + x) = p

Donc en utilisant la régularité de l’addition,

{n ≤ pp ≤ n

⇒ x+ y = 0.

Et d’après le lemme,

{n ≤ pp ≤ n

⇒ x = y = 0 donc n = p.

Remarque : n ≤ p ⇔ ∃x ∈ N tel que n + x = p. Ce nombre x sera noté p − n définissant ainsi une soustraction,opération interne dans N, mais qui n’est possible que lorsque le premier opérande est supérieur au second. C’est lasoustraction de l’école primaire.


2.4.2 Propriétés de ≤ dans N

La relation d’ordre dans N est compatible avec l’addition

Théorème 2.4. ≤ est compatible avec l’addition c’est à dire que ∀ (n, p, q) ∈ N, n ≤ p⇒ n+ q ≤ p+ q

Démonstration

En effet, n ≤ p⇒ ∃x ∈ N n+ x = p

⇒ ∃x ∈ N n+ x+ q = p+ q

⇒ ∃x ∈ N (n+ q) + x = p+ q en utilisant commutativité et associativité de +

qui prouve que : n+ q ≤ p+ q

Proposition 2.3. En ajoutant membre à membre deux inégalités, de mêmes natures on obtient une inégalité vraie, c’est

à dire que, pour tous entiers a, b, c, d,

{a ≤ bc ≤ d

⇒ a+ c ≤ b+ d.

Démonstration

Il suffit d’appliquer deux fois le théorème ci-dessus :

a ≤ b⇒ a+ c ≤ b+ c et c ≤ d⇒ c+ b ≤ d+ b.

On en déduit, l’addition étant commutative dans N et par transitivité de ≤ que a+ c ≤ b+ d

N n’a pas de majorant

Théorème 2.5. N n’est pas majoré

Démonstration

Supposons M majorant de N. D’après P5, M + 1 ∈ N

M étant majorant de N, on a donc M + 1 ≤M

Sachant que M ≤M + 1, on a donc M =M + 1 (antisymétrie de la relation d’ordre) qui est impossible.

≤ est une relation d’ordre total dans N

Théorème 2.6. La relation d’ordre dans N est une relation d’ordre total

Démonstration

Démontrons par récurrence que pour tout couple (n; p) d’entiers naturels, on a forcément n ≤ p ou p ≤ n.

On va même montrer par récurrence qu’on a soit n < p, soit p ≤ n.

Posons donc (Pn) : ∀p ∈ N, p ≤ n ou n < p.


Initialisation : P0 est vraie car ∀p ∈ N, p = 0 + p⇒ 0 ≤ p

Hérédité : Supposons que ∀p ∈ N, p ≤ n ou . n ≤ p

On va en fait scinder n ≤ p en n < p ou n = p

Alors, ∀p ∈ N, ou ∃x ∈ N tel que n = p+ x ou bien ∃y ∈ N∗ tel que p = n+ y ou n = p

⋆Dans la première éventualité, n = p+ x et d’après le théorème précédent, n+ 1 = p+ x+ 1

or x ∈ N donc n+ 1 = p+ (x+ 1)⇒ p ≤ n+ 1

⋆Dans la deuxième éventualité ∃y ∈ N∗ tel que p = n+ 1 + y−(car y = 0 admet un prédécesseur)

et y− ∈ N donc p = n+ 1 + y− ⇒ n+ 1 ≤ p

⋆Dans la dernière éventualité, n = p⇒ n = p+0 donc p ≤ n qui ramène à la première éventalité donc p ≤ n+1

On a donc bien, par disjonction des cas, ∀p ∈ N, p ≤ n+ 1 ou . n+ 1 ≤ p qui prouve que Pn+1 est vraie

La propriété est donc vraie pour tout n et l’ordre est total.

Non densité de N

Théorème 2.7. N est un ensemble non dense (ou discret), c’est à dire qu’il existe un couple d’entiers naturels (n;p)tel qu’il n’existe aucun entier naturel q tel que n < q < p

Démonstration

Prenons p = n+ 1 et montrons q’il n’existe aucun entier entre n et n+ 1.

supposons q ∈ N tel que n < q < n+ 1.

n < q ⇒ ∃x ∈ N∗ tel que q = n+ x

q < n+ 1⇒ ∃y ∈ N∗ tel que n+ 1 = q + y

On a donc

q = n+ xn+ 1 = q + yx = 0 et y = 0

⇒ n+ 1 = n+ x+ y

L’addition étant régulière, on a donc x+ y = 1⇒ x+ y− + 1 = 1

⇒ x+ y− = 0

⇒ x = 0 et y− = 0 (vu dans un lemme ci-dessus)

et x = 0 contredit l’hypothèse.


N est un ensemble bien ordonné

Théorème 2.8. N est un ensemble bien ordonné c’est à dire que toute partie non vide A de N admet un plus petitélément.

Démonstration

Remarque préliminaire : n < p⇔ n+ 1 ≤ p

En effet, n < p⇔ ∃x ∈ N∗ n+ x = p

Or x = 0⇒ x a un prédécesseur x−donc n < p⇔ ∃x− ∈ N n+ x− + 1 = p

⇔ ∃x− ∈ N n+ 1 + x− = p

⇔ n+ 1 ≤ p

D’où le résultat.

Considérons donc une partie non vide A de N et M l’ensemble de ses minorants.

⋆ ∀n ∈ A, 0 + n = n⇒ 0 ≤ n. 0 est donc un minorant de A et M n’est pas vide.

⋆ Montrons qu’il existe un minorant p de A plus grand que tous les autres, c’est à dire un entier p inférieur à tousles éléments de A et tel que p+ 1 ne minore plus A.

En effet, si tel n’était pas le cas (hypothèse d’absurde), M serait une partie de N contenant 0 et le successeur dechacun de ses éléments. M serait donc N tout entier.(d’après P5).

Dès lors, si A n’est pas vide et contient a, l’ensemble des minorants de A étant N, tous les entiers sont des inférieursà a qui est donc majorant de N.qui n’est pas majoré.

A est donc une partie vide ce qui contredit l’hypothèse de départ.

L’ensemble N est donc bien ordonné et l’odre est un ordre total sur N.

Propriété d’une partie majorée dans N

Théorème 2.9. Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

Démonstration

Soit A une partie non vide de N et M l’ensemble supposé non vide des majorants de A (puisque A est majorée).

D’après ce qui précède, M admet un plus petit élément m qui est donc borne supérieure de A. Il reste à montrer quem ∈ A pour qu’il soit le plus petit élément de A.

Supposons m /∈ A.(hypothèse d’absurde) Alors ∀n ∈ A, n =m et n ≤m puisque m majore A.

Donc n < m⇒ n ≤m− (déjà vu dans une formulation légèrement différente).

Ainsi, m− majore A et m− ∈M ce qui contredit le fait que m est le plus petit élément de M.

Remarque : m = 0 car sinon 0 majore A⇒ A vide (voir ci-dessus), ce qui autorise à utiliser m−.


Toute partie non vide de N est minorée

Théorème 2.10. Toute partie non vide de N est minorée

Démonstration

Soit A une partie non vide de N et E l’ensemble des minorants de A.

Remarquons en premier que pour tout entier naturel n, on a n = 0 + n qui prouve que 0 ≤ n donc que 0 minore Ndonc aussi A.

Ainsi 0 appartient à E qui n’est pas vide.

Si A = {0} , 0 est son seul et son plus petit élément.

Supposons donc qu’il existe un élément p de A qui ne soit pas nul et notons A∗ = A− {0}

De plus par définition de E, ∀a ∈ A,∀n ∈ E ⇒ n ≤ a. Ainsi a majore E qui est donc une partie non vide et majoréede N et admet en tant que telle un plus grand élément M.

M vérifie :

{∀a ∈ A,M ≤ a∃p ∈ A∗ :M + 1 > p

⇔{∀a ∈ A,M ≤ a∃p ∈ A∗ :M > p− 1

Or M appartient à E donc minore A. Ainsi M > p− 1⇒ p− 1 /∈ A. et de même

∀k ∈ N tel que 1 ≤ k ≤ p, p− k ≤ p− 1 < M prouve que p− k /∈ A.

Ainsi tout nombre b de la forme p− k, avec k > 0 n’est pas un élément de A. Proposition qui s’écrit aussi :{

b = p− k ⇒ b /∈ Ak > 0

⇔{

p = b+ k ⇒ b /∈ Ak > 0

⇔ p > b⇒ b /∈ A dont la contraposée est : b ∈ A⇒ p ≤ b

p est donc un minorant de A.

C’est évidemment le plus petit car supposons p′ un autre minorant de A appartenant à A.

On a d’après cde qui précède a ≤ a′ et a′ ≤ a puisque a′ minore A et p appartient à A. Donc p = p′.

a est le plus petit minorant de A, de plus p appartient à A c’est donc son plus petit élément.

2.5 La multiplication dans N

2.5.1 Définition de la multiplication dans N

Définition 2.4. La multiplication dans N est définie de la manière suivante :

∀ (n, p) ∈ N2,

n× 0 = 0n× 1 = nn× p+ = n× p+ n ou encore n× (p+ 1) = n× p+ n

Il s’agit bien de la multiplication à laquelle on est habitué.

Montrons que 3× 2 = 6 (successeur de 5)

En effet, 3× 2 = (3× 1) + 3. Or 3× 1 = 3 d’après le second point. Donc 3× 2 = 3 + 3Et 3 + 3 = (3 + 3−)

+= (3 + 2)

+= 5+ = 6.


2.5.2 Propriétés de la multiplication dans N

Distributivité de la multiplication sur l’addition

Théorème 2.11. Dans N, la multiplication est distributive sur l’addition

C’est à dire que ∀ (n, p, q) ∈ N3,{

p× (q + n) = p× q + p× n(p+ q)× n = p× n+ q × n

Démonstration

Démontrons par récurrence : soit P (n) : p (q + n) = pq + pn et (p+ q)n = pq + pn

Initialisation : P (0) s’écrit : p (q + 0) = pq + p× 0

vraie puisque p (q + 0) = pq et p× 0 = 0⇒ pq + p× 0 = pq

et de plus, (p+ q)× 0 = 0 de même que p× 0 + q × 0 = 0 + 0 = 0

Hérédité : supposons P (n) vérifiée

c’est à dire d’une part p (q + n) = pq + pn et d’autre part : (p+ q)n = pq + pn

Alors, p (q + (n+ 1)) = p ((q + n) + 1) d’après l’associativité de +

= p× (q + n) + p d’après la définition de ×

= pq + pn+ p hypothèse de récurrence

= pq + p (n+ 1) d’après la définition de ×

De même (p+ q) (n+ 1) = (p+ q)n+ (p+ q) d’après la définition de ×

= pn+ qn+ p+ q hypothèse de récurrence

= pn+ p+ qn+ q commutativité de +

= p (n+ 1) + q(n+ 1) d’après la définition de ×

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n

La multiplication dans N est associative

Théorème 2.12. × est associative, c’est à dire ∀ (n, p, q) ∈ N3, (np) q = n (pq)

Démonstration

En effet soit (Pn) : (np) q = n (pq)

Initialisation : (0× p) q = 0× q = 0 et 0× (pq) = 0

Hérédité : Supposons (np) q = n (pq)

Alors : ((n+ 1) p) q = (np+ p) q (distributivité)

= (np) q + pq (distributivité)

= n (pq) + pq (hypothèse de récurrence)


= (n+ 1) (pq) (distributivité)


Nullité d’un produit

Théorème 2.13. Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs l’estC’est à dire ∀ (n; p) ∈ N2, n× p = 0⇔ n = 0 ou p = 0

Démonstration

La condition suffisante est évidente.n = 0 ou p = 0⇒ np = 0.

Pour la condition nécessaire, supposons np = 0 avec n = 0 et p = 0.

n et p admettent donc des prédécesseurs n− et p−. On a alors np = (n− + 1) (p− + 1)

Et par distributivité, np = n−p− + n− + p− + 1

Donc np = 0⇒ n−p− + n− + p− + 1 = 0, c’est à dire que n−p− + n− + p− est un prédécesseur de 0, ce qui contreditP3.

L’hypothèse faite : np = 0 avec n = 0 et p = 0 est donc abssurde.

Régularité de la multiplication dans N

Théorème 2.14. × est régulière dans N, c’est à dire, ∀n = 0 et ∀ (p, q) ∈ N2, np = nq ⇔ p = q

Démonstration

Condition suffisante :

Soit à montrer que ∀ (p, q) ∈ N2∀n = 0, p = q ⇒ np = nq

La propriété est vraie pour n = 1 (évident)

Supposons la vraie à l’ordre n c’est à dire p = q ⇒ np = nq

Alors, (n+ 1) p = np+ n

= nq + n d’après l’hypothèse de récurrence

= (n+ 1) q

D’où le résultat

Condition nécessaire :

Supposons p > q,

Alors p = q + r, alors np = nq ⇔ n (q + r) = nq

⇔ nq + nr = nq

⇔ nr = 0

⇔ n = 0 ou r = 0 d’après le théorème précédent.

Or n = 0 donc r = 0 et p = q.


≤ est compatible avec la multiplication dans N

Théorème 2.15. ≤ est compatible avec × dans N c’est à dire : ∀ (m,n, p) ∈ N3,m ≤ p⇒ n×m ≤ n× p

Démonstration

∀ (m,n, p) ∈ N3,m ≤ p⇒ n×m ≤ n× p,m ≤ p⇒ ∃k ∈ N : p = m+ k

Donc la multiplication étant régulière, n× p = n× (m+ k)⇒ n× p = n×m+ n× k.

Ainsi, il existe un entier k′ = n× k tel que n× p = n×m+ k′, ce qui prouve que n×m ≤ n× p

Proposition 2.4. Connue sous le nom de propriété d’Archimède :

Soit a un entier naturel et b un entier naturel non nul, Alors il existe un entier naturel n tel que nb ≥ a.

Ou encore, ∀ (a; b) ∈ N×N∗,∃n ∈ N : nb ≥ a

Démonstration

Si a = 0, alors n = 1 convient. D’où son existence.

Si a = 0, alors n = a convient puisuqe b ≥ 1⇒ ab ≥ a (compatibilité ci-dessus)

Corollaire. Etant donnés deux entiers naturels a et b ( b = 0), on peut encadrer a par deux multiples consécutifs de b(inégalité stricte à droite)

Donc ∀ (a; b) ∈ N×N∗,∃q ∈ N : bq ≤ a < b (q + 1)

2.6 Conclusion

Nous venons donc, à l’aide de cinq axiomes seulement, de définir les nombres entiers naturels ; et dans un secondtemps, les opérations sur ces nombres Nous vérifions bien entendu au passage que les comportements sont bien ceux qu’onattend.

Il est logique aussi de vérifier que les cinq axiomes étaient bien indispensables, et c’est bien le cas.

P1 et P2 permettent de donner une existence "discrète" aux entiers

P3 sert à prouver que tout entier possède un prédécesseur et aussi que larelation ≤ est antisymétrique.

P4 est indispensable pour la commutativité

P5 permet d’établir le théorème de récurrence, base de tout raisonnement dansN.

Pour être précis, il faudrait vérifier non pas qu’ils sont utiles, mais indispensables, mais ça c’est plus difficile. Il faudraitaussi s’assurer qu’il n’y a pas redondance, c’est à dire par exemple que P5 n’est pas un théorème démontrable à l’aide desquatre premiers axiomes ; mais ça aussi ....

Chapitre 3

La construction de l’ensemble des nombresentiers relatifs Z

3.1 Introduction

A l’école primaire, on apprend qu’une soustraction n’est possible que si le premier opérande est plus grand que lesecond. Dit autrement, l’équation x + 2 = 3 admet une solution unique mais x + 3 = 2 n’a pas de solution (dans N,évidemment). Il fait aujourd’hui 3 degrés ; quelle température fera-t-il demain si le thermomètre chute de 5 degrés ?

Ce problème est en fait lié à la non existence, pour chaque élément de N, d’un symétrique pour l’addition (on l’appelleraopposé). L’addition est bien une opération interne dans N qui est associative et possède un élément neutre 0. Il lui manqueune propriété fondamentale pour que (N,+) devienne un groupe(1) : l’existence pour tout entier naturel d’un opposé.Ainsi, pour tout entier naturel n il devrait exister un nombre n′ tel que n+ n′ = n′ + n = 0. Si tel était le cas, l’additionétant régulière, toute équation du type n + 3 = 2 admettrait une solution unique : n = 2 + opp (3) obtenue en ajoutantau deux nombres , opp (3) .Malheureusement, ce n’est pas le cas, car dans N 3 n’a pas d’opposé.

C’est précisément pour répondre à ce besoin qu’on a inventé l’ensemble Z des entiers relatifs, qui est en fait N auquelon a rajouté l’ensemble des opposés de tous les entiers naturels.

(1) Un ensemble E muni d’une opération interne (les deux opérandes ainsi que le résultat appartiennent à E) est ditun groupe si et seulement si :

— L’opération est associative— admet un élément neutre 0— Tout élément de E admet un symétrique appelé dans le cas de l’addition opposé. C’est à dire que ∀x ∈ E,∃x′ ∈ E :

x+ x′ = 0

Si de plus l’opération est commutative, le groupe est dit commutatif.

3.1.1 Idée maîtresse

Puique le but premier est de rendre possibles certaines soustractions, l’idée est de considérer qu’un nombre est en faitle résultat d’une soustraction. On pourra ainsi définir le nombre 2 comme étant le résultat de la soustraction 3− 1. Onpourra alors identifier le nombre 2 avec le couple (3, 1) (attention l’ordre compte). Mais alors, cette définition permetd’inventer le résultat de la soustraction 1− 3 et de l’appeler (1, 3) dans un premier temps, et −2 par la suite.

Remarques : cette nouvelle définition du nombre appelle trois remarques fondamentales

1. La soustraction n’étant pas toujours définie, il faudra ne pas employer ce mot et le contourner en ne parlantque d’addition.

1

CHAPITRE 3. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES ENTIERS RELATIFS Z 2

2. On peut ainsi définir les nombres négatifs mais aussi REdéfinir les nombres positifs. Il faudra bien entendus’assurer de la compatibilité des deux définitions qui existent d’un nombre entier naturel. En d’autres termes, il fauras’assurer que N est bien inclus dans Z et qu’un entier naturel a bien mêmes propriétés que s’il est considéré comme entierrelatif positif.

3. Le nombre 2 a été défini par le couple (3, 1) mais aurait tout aussi bien pu l’être par le couple (7, 5) ou (2, 0) .Tous ces couples sont équivalents par arpport au nombre qu’ils définissent. On dira qu’ils appartiennent à la même classed’équivalence dont le représentant le plus significatif est (2, 0) puisqu’il permet de faire apparaître directement le nombre2.

3.1.2 Relation d’équivalence - Classe d’équivalence.

On a déjà rencontré, dans le chapitre précédent la notion de relation d’ordre, et vu le rôle capital qu’elle joue dans laconstruction de N. Rappelons qu’une relation d’ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.

Quelles propriétés deux "choses" équivalentes possèdent-elles ?

1. D’abord, on dit que deux choses sont équivalentes, sous-entendant ainsi que l’ordre n’intervient pas ; d’où lasymétrie.

2. Toute chose est équivalente à elle-même, d’où la réflexivité.

3. Si a est équivalent à b lui-même équivalent à c, alors a est équivalent à c. D’où la transitivité.

Voici donc pourquoi, dans le but de répondre au concept naturel d’équivalence, les mathématiciens ont décidé dedonner la définition suivante d’une relation d’équivalence :

Relation d’équialence

Définition 3.1. Soit E un ensemble quelconque. Une relation définie entre deux éléments de E est une relationd’équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. C’est à dire si :1. ∀x ∈ E,xRx qui se lit x est en relation avec x.; c’est la réflexivité2. ∀ (x; y) ∈ E2, xRy⇒ yRx ; c’est la symétrie

3. ∀ (x; y; z) ∈ E3,

{xRyyRz

⇒ xRz; c’est la transitivité.

Example 1. Un exemple non mathématique : la relation : "être de la même famille que" est une relation d’équivalence.

1. Pierre est de la même famille que Pierre.

2. Si Pierre est de la même famille que Paul, alors, Paul est de la même famille que Pierre.

3.

{Si Pierre est de la même famille que PaulEt Paul est de la même famille que Jean

Alors, Pierre est de la même famille que Jean.

Example 2. Un autre exemple immédiat est l’égalité dans N.

Classe d’équivalence

Définition 3.2. Etant donnée une relation d’équivalence R, on appelle classe d’équivalence dont un représentant estx l’ensemble des éléments de E qui sont en relation avec x.

Ce qui s’écrira :·x = {y ∈ E : xRy}

Dans la relation d’équivalence définie dans l’exemple ci-dessus, les classes d’équivalences sont les familles.


3.2 Définitions

Dans ce qui précède, il est dit avec anticipation que le nombre −2 sera défini comme résultat de la soustraction 0−2 ou3− 5 ou 5− 7 ... Ces couples (0; 2) , (3; 5) , (5; 7) étant équivalents pour cette définition. Mais comment éviter d’écrire unesoustraction qui n’a pas de sens ? Tout simplement en écrivant que (0; 2) , (3; 5) sont équivalents parce-que 0+ 5 = 3+ 2.Voilà comment déguiser une soustraction en addition.

3.2.1 Une relation d’équivalence fondamentale

Une remation d’équivalence fondamentale

Théorème 3.1. La relation définie sur N2 par :∀(n, p) ∈ N2,∀(n′, p′) ∈ N2, (n, p)R (n′, p′))⇔ n+ p′ = n′ + pest une relation d’équivalence.

Démonstration

Réflexivité : ∀ (n, p) ∈ N2, n+ p = n+ p⇒ (n, p)R (n, p)

Symétrie : ∀ (n, p, n′, p′) ∈ N4 : (n, p)R (n′, p′)⇔ n+ p′ = n′ + p

⇔ n′ + p = n+ p′

⇔ (n′, p′)R (n, p)

Transitivité : ∀ (n, p, n′, p′, n”, p”) ∈ N6 : (n, p)R (n′, p′)⇔ n+ p′ = n′ + p

(n′, p′)R (n”, p”)⇔ n′ + p” = n” + p′

On en déduit en faisant la somme membre à membre que n+ p′ + n′ + p” = n′ + p+ n” + p′

et en simplifiant d’après la propriété de régularité de l’addition dans N, n+ p” = +p+ n”

C’est à dire (n, p)R(n”, p”

).

On a ainsi prouvé que : ∀ (n, p, n′, p′) ∈ N4 :{

(n, p)R (n′, p′)(n′, p′)R (n”, p”) ⇒ (n, p)R

(n”, p”

)

La relation est bien associative ; étant par ailleurs réflexive et symétrique, c’est bien une relation d’équivalence.

Exemple 3.1. (7, 5)R (3, 1) car 7 + 1 = 5 + 3.

En fait, ces deux couples sont eux-même en relation avec (2, 0) , ce qui est facile à établir. Il appartiennent tous àla même classe d’équivalence. C’est cette classe d’équivalence qui déterminera l’entier +2, ce qu’on voit aisemment, enanticipant un peu car 7− 5 = 3− 1 = 2− 0 = 2.

3.2.2 L’ensemble Z des entiers relatifs

Entier relatif

Définition 3.3. On appelle nombre entier relatif toute classe d’équivalence de la relation d’équivalence définie ci-dessus sur N2. L’ensembles des nombres entiers relatifs est noté Z.


Cette définition extrêmemnt théorique (mais absolument rigoureuse) ne doit pas faire oublier le concept intutif pré-cédemment évoqué selon lequel le nombre 2 est indifféremment le résultat des soustractions 5− 3, 6− 4, 2− 0 donc seradésigné par les couples (5; 3) , (6; 4) , (2; 0) qui appartiennent tous à la même classe d’équivalence. Mais on peut ainsidéfinir −2 qui sera la classe d’équivalence de (3; 5) ou (2; 4) ou (0; 2) .

3.2.3 Abus de notation

Un entier relatif r devrait être noté r =

◦︷︸︸︷(p; q) notation réservée à la classe d’équivalence du couple (p; q) . Pour des

raisons de commodité, on notera à chaque fois qu’aucune confusion n’est possible r = (p; q) , c’est à dire qu’on confondra

la classe et le couple qui la représente. C’est évidemment illégal car

◦︷︸︸︷(p; q) désigne en fait l’ensemble de tous les couples

équivalents à (p; q) et pas seulement (p; q) . De plus par exemple

◦︷︸︸︷(5; 3) =

◦︷︸︸︷(6; 4) (qui est vrai) sera noté avec cet abus

d’écriture (5; 3) = (6; 4) qui est évidemment faux.

Dans ce même esprit, on écrira soit (p; q) ∈ Z, ce qui est abusif car (p; q) est un élément de N2 et pas Z.

3.2.4 Représentant principal d’une classe d’équivalence - Définition de Z+ et Z−.

Propriété : Soit (n; p) un entier relatif quelconque. Alors, pour tout entier naturel k, (n+ k; p+ k)R (n; p)Démonstration immédiate puisque n+ k + p = p+ k + n.

On en déduit que tous les couples de la forme (n+ k; p+ k) où k ∈ Nsont des représentants de la même classe d’équivalence. Ils désignent donc le même entier relatif

Représentant principal

Définition 3.4. On appelle représentant principal d’une classe d’équivalence le représentant constitué d’un coupled’entiers naturels dont l’un est nul.

Unicité du représentant principal

Théorème 3.2. Ce représentant existe et est unique

Démonstration

Procédons par disjonction des cas : ∀ (n; p) ∈ N2,

⋆n > p⇒ n = p+ k avec k ∈ N∗ par définition de la relation d’ordre dans N.

Ainsi n > p⇒ (n; p) = (p+ k; p) = (p+ k; p+ 0)

⇒ (n; p) = (k; 0) d’après la propriété ci-dessus. C’est le représentant principal qui existe donc et est évi-demment unique car si k = k′ alors (k; 0) et (k′; 0) ne sont pas équivalents, donc (k′; 0) n’est pas un représentant de(n; p) .

L’ensemble de nombres entiers relatifs dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k ∈ N∗ est appeléZ+∗.

⋆n < p⇒ n+ k = p et le représentant principal est de même (0; k) .


L’ensemble de nombres entiers relatif dont le représentant prinicipal est de la forme (k; 0) avec k ∈ N∗ est appelé Z−∗.

⋆n = p⇒ (n;p) = (n;n) = (0 + n; 0 + n)⇒ (n; p) = (0; 0).

Ce représentant principal est bien commode car il permet de "visualiser" la valeur intuitive de l’entier relatif. En effet(2; 0) désigne l’entier 2 (ce qui est plus net qu’avec le représentant (5; 3)) tandis que (0; 2) désignera l’entier −2.

Remarque : Z+∩Z− = {0} . En effet (n, p) ∈ Z+∩Z− ⇔{(n, p) ∈ Z+(n, p) ∈ Z− ⇔

{n ≤ pp ≤ n

⇔ n = p d’après l’antisymétrie

de l’ordre dans N.

3.3 L’addition dans Z

3.3.1 Définition de l’addition dans Z

L’aspect intuitif évoqué depuis le début et avec lequel on s’autorise à parler de soustraction) permet d’écrire que si(n, p) désigne en fait le nombre n − p et de même (n′, p′) le nombre n′ − p′, alors la somme de ces deux nombres sera(n− p)+ (n′ − p′) c’est à dire en utilisant prématurément certaines propriétés de l’addition, (n+ n′)− (p+ p′) . On peutdonc "inventer" l’addition en donnant la définition suivante :

Addition de deux entiers relatifs

Définition 3.5. ∀ (r, r′) ∈ Z2{

r = (n, p)r′ = (n′, p′)

alors r + r′ = (n+ n′, p+ p′) .

3.3.2 Propriétés de l’addition

Retrouvons ci-dessous les propriétés bien connues de l’addition que sont l’asociativité, la commutativité, la régularité.

Associativité de l’addition

Théorème 3.3. L’addition dans Z est associative, c’est à dire que ∀ (r, r′, r”) ∈ Z3, (r + r′) + r” = r + (r′ + r”)

Démonstration

Avec des notations évidentes :

[(n, p) + (n′, p′)] + (n”, p”) = (n+ n′, p+ p′) + (n”, p”)

= (n+ n′ + n”, p+ p′ + p”)

= (n+ (n′ + n”) , p+ (p′ + p”)) par associativité de l’addition dans N

= (n, p) + [(n′ + n”) , (p′ + p”)]

= (n, p) + [(n′, p′) + (n”, p”)]

Commutativité de l’addition

Théorème 3.4. L’addition dans Z est commutative, c’est à dire que ∀ (r, r′) ∈ Z2, r + r′ = r′ + r


Démonstration

Evidente en utilisant la commutativité de l’addition dans N

(n, p) + (n′, p′) = (n+ n′, p+ p′)

= (n′ + n, p′ + p) d’après la commutativité de l’addition dans N

= (n′, p′) + (n, p)

Il existe un élément neutre pour l’addition dans Z

Théorème 3.5. L’addition dans Z admet un élément neutre : (0, 0), c’est à dire que ∀r ∈ Z, r + 0 = 0 + r = r avec0 = (0, 0)

Démonstration

Evident puisque 0 est élément neutre de l’addition dans N

(n, p) + (0, 0) = (n+ 0, p+ 0)

= (n, p)

et en utilisant la commutativité ce-dessus, (n, p) + (0, 0) = (0, 0) + (n, p) = (n, p)

Régularité de l’addition dansZ

Théorème 3.6. L’addition dans Z est régulière, c’est à dire que :∀ (r, r′, r”) ∈ Z3, r + r′ = r + r”⇒ r′ = r”

Démonstration

Avec des notations évidentes :(n, p) + (n′p′) = (n, p) + (n”p”)⇔ (n+ n′, p+ p′) = (n+ n”, p+ p”)

⇔{

n+ n′ = n+ n”p+ p′ = p+ p”

d’après l’égalité dans N2.

⇔{

n′ = n”p′ = p”

puisque l’addition dans N est régulière

⇔ (n′, p′) = (n”, p”)

⇔ r′ = r”

Addition membre à membre

Une propriété facile : ∀ (a, b, c, d) ∈ Z4,{

a = bc = d

⇒ a+ c = b+ d.

Se démontre en utilisant deux fois la régularité de + :

{a = bc = d

⇒{

a+ c = b+ cc+ b = d+ b

⇒ a+ c = b+ d.


Tout entier relatif admet un symétrique unique dans Z

Théorème 3.7. Pour tout entier relatif r, il existe un entier relatif r′ tel que r + r′ = r′ + r = 0.

Remarquons en premier lieu que la condition r′ + r = r + r′, indispensable dans le cas général n’amène rien dans lecas d’une opération commutative.

Démonstration

∀r ∈ Z, (n, p) + (p, n) = (n+ p, p+ n) .

On rappelle à l’occasion la relation d’équivalence fondamentale : (n, p)R (n′, p′)⇔ n+ p′ = n′ + p

Ainsi, (n+ p) + 0 = 0 + (n+ p) se lit aussi : (n+ p, n+ p)R (0, 0) .

Ainsi (n, p) + (p, n) = (0, 0) qu’on convient de noter 0.

On a donc montré que le relatif (n, p) admet pour symétrique (p, n) .

Ce symétrique est de plus unique d’après la régularité de l’addition dans Z.

Supposons en effet qu’il existe deux symétriques r′ et r” :

{r + r′ = 0r + r” = 0

⇒ r = r”

Remarques :

1. Dans le cas de l’addition le symétrique d’un nombre sera appelé opposé de celui-ci. On conviendra dans quelqueslignes de noter−r l’opposé de r. Notons le encore opp(r) pour quelques instants Cette propriété d’existence d’un symétriquepour l’addition est la propriété fondamentale qui manquait aux entiers naturels. Elle complète les propriétés d’associativitéet d’existence d’un élément neutre pour faire de l’ensemble Z, muni de l’addition ce qu’on appelle un groupe. L’additionétant commutative, ce groupe est naturellement dit commutatif.

2. L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même. En effet, r + opp(r) = 0 se lit aussi opp(r) + r = 0 quiprouve que r est l’opposé de opp(r).

3. Deux entiers relatifs ont même opposé si et seulement si ils sont égaux.

En effet opp(r) = opp(r′)⇒ r+ opp(r) = r + opp(r′)

⇒ r + opp(r′) = 0

⇒ r + opp(r′) = r′ + opp(r′)

⇒ r = r′, l’addition étant régulière.

4. r appartient à Z+ si et seulement si son opposé appartient à Z−.

En effet, si (n, p) est un représentant de r ∈ Z+, alors n ≥ p.

Mais alors son opposé étant (p, n) , n ≤ p⇒ (p, n) ∈ Z−.

3.3.3 N est inclus dans Z

Il s’agit de démontrer que tout entier naturel est aussi un entier relatif.

Principe de la démonstration : Il suffit de mettre en évidence une bijection ϕ de N sur Z. Ainsi, à tout entier natureln on pourra associer un unique entier relatif ϕ(n), et inversement, à tout entier relatif ϕ(n) on pourra associer un uniqueentier naturel n. Dans ces conditions, on pourra dire que l’antécédent et l’image, qui se correspondent mutuellement d’unmanière unique peuvent être idéntifiés l’un à l’autre (de la même manière qu’on identifie souvent un point et son couplede coordonnées cartésiennes).


Démonstration

Soit ϕ : N −→Z

n �−→ (n, 0)

Montrons alors que ϕ est une bijection de N sur Z.c’est à dire que ∀ (n, 0) ∈ Z,∃!n ∈ N (n, 0) = ϕ (n)

L’existence est triviale

L’unicité : supposons que (n, 0) ait deux antécédents n et n′ par ϕ. On a donc

{ϕ (n) = (n, 0)ϕ (n′) = (n, 0)

Or, ϕ (n′) = (n′, 0) . On a donc forcément (n, 0) = (n′, 0) . Mais n’oublions pas que cette égalité abusivement écritecomme une égalité entre deux couples de naturels, correspond en fait à l’égalité entre deux relatifs, c’est à dire entredeux classes d’équivalence. On devrait donc en fait écrire plutôt (n, 0)R (n′, 0) c’est à dire n+ 0 = n′ + 0⇒ n = n′.D’où l’unicité annoncée.

Voilà donc établi qu’à tout entier relatif de la forme (n, 0) , c’est à dire appartenant à l’ensemble appelé Z+, correspondd’une manière unique un entier naturel. Cette correspondance univoque permet d’identier l’entier relatif à son antécédentdans N, et voilà que tout élément de N devient un élément de Z+, donc de Z. N est donc inclus dans Z. On dit qu’on aimmergé N dans Z. L’entier relatif (n, 0) pourra alors être tout simplement noté n.

3.3.4 Notation définitive

On connaît la bijection ϕ de N sur Z qui permet d’identifier le relatif (n, 0) de Z+ à l’entier naturel n.

On a vu de plus qu’à tout relatif (n, p) on peut associer un opposé unique.(p, n) .

Ainsi, la fonction ψ : n �−→ (0, n) est une bijection de N dans Z−. On conviendra dès lors de noter −n ce relatif (0, n)qui n’est autre que l’opposé de (n, 0) c’est à dire de n.

Ainsi, si n ∈ N, n ∈ Z+ désigne le relatif (0, n) alors que son opposé (n, 0) ∈ Z− est noté −n

Ou encore, (n, p) ∈ Z+ ⇒ (n, p) = (k, 0) sera noté k (c’est le cas où n ≥ p)

(n, p) ∈ Z− ⇒ (n, p) = (0, k) sera noté −k (c’est le cas où n ≤ p).

Et voilà l’ensemble Z bien connu retrouvé dans ses notation habituelles.

3.3.5 La soustraction dans Z

La soustraction dans Z

Définition 3.6. On définit alors la différence r − r′ comme la somme de r et de l’opposé de r′.C’est à dire : ∀ (r, r′) ∈ Z2, r − r′ = r + opp(r′)

Avec les notation précédentes, (n, p)− (n′, p′) = (n, p) + (p′, n′) donc (n, p)− (n′, p′) = (n+ p′, p+ n′)

Remarque : r − r′ est l’opposé de r′ − r.

En effet, (n, p)− (n′, p′) = (n+ p′, p+ n′)

= − (p+ n′, n+ p′)

= − [(p, n) + (n′, p′)]= − [− (n, p) + (n′, p′)]= − [(n′, p′) + (− (n, p))]


= opp (r′ − r)

3.4 La multiplication dans Z

3.4.1 Introduction intuitive

Avec toujours la même présentation intuitive qui veux que le représentatant (n, p) de la classe d’équivalence désigne enfait le nombre n−p, leur produit (n, p)×(n′, p′) désignera le nombre (n− p)×(n′ − p′) c’est à dire avec une distributiviténon encore démontrée, le nombre (nn′ + pp′)− (np′ + n′p) .

D’où l’idée de poser (n, p)× (n′, p′) = (nn′ + pp′;np′ + n′p) . Il reste à vérifier qu’elle est compatible avec la multipli-cation définie sur N, et possède les propriétés qu’on attend d’elle. C’est l’objet des paragraphes qui suivent.

3.4.2 Définition de la multiplication dans Z

la multiplication dans Z

Définition 3.7. On définit l’opération × suivante : ∀ (r, r′) ∈ Z2, r = (n, p) et r′ = (n′, p′)(n, p)× (n′, p′) = (nn′ + pp′;np′ + n′p)

Remarque : La multiplication ainsi définie est une opération interne, puisque nn′+pp′ et np′+n′p sont des entiers na-turels. Le couple (nn′ + pp′;np′ + n′p) est donc bien le représentant d’une classe d’équivalence de la relation d’équivalencedéfinissant les éléments de Z.

3.4.3 Propriétés de la multiplication dans Z

En travaillant avec les représentants principaux, c’est à dire des couples de la forme (0, n) et (n, 0)

Règle des signes :

Il s’agit juste de constater que la règle des signes bien connue est respectée par le définition ci-dessus.

En effet :

Si N ∈ Z+ et P ∈ Z− c’est à dire N = (n, 0) et P = (0, p) alors N × P = (0, np) est bien un nombre de Z−

possédant pour valeur absolue le produite des valeurs absolues (même si le mot de valeur absolue n’a pas encore été défini.

Vous vérifierez de la même manière les autres cas.

Associativité de la multiplication dans Z

Théorème 3.8. La multiplication dans Z est associative

Démonstration

Montrons, que ∀ (n, p, n′, p′, n”, p”) ∈ N6, ((n, p)× (n′, p′))× (n”, p”) = (n, p)× ((n′, p′)× (n”, p”))

En effet, (n, p)× (n′, p′) = (nn′ + pp′;np′ + n′p)


donc ((n, p)× (n′, p′))× (n”, p”) = (nn′ + pp′;np′ + n′p)× (n”, p”)

C’est à dire ((n, p)× (n′, p′))× (n”, p”) = ((nn′ + pp′)× n” + (np′ + n′p)× p”; (nn′ + pp′) p” + (np′ + n′p)× n”)

= (nn′n” + n”pp′ + np′p” + n′pp”;nn′p” + pp′p” + nn”p′ + n′n”p) (⋆)

d’après la distributivité de × sur + dans N.

D’autre part : ((n′, p′)× (n”, p”)) = (n′n” + p′p”;n′p” + n”p′)

Donc (n, p)× ((n′, p′)× (n”, p”)) = (n× (n′n” + p′p”) + p× (n′p” + n”p′) ;n× (n′p” + n”p′) + p (n′n” + p′p”))

= (nn′n” + np′p” + n′pp” + n”pp′;nn′p” + nn”p′ + n′n”p+ pp′p”) (�)

En comparant les égalités (⋆) et (�) compte tenu de la commutativité de + dans N, on obtient la propriété attendue.

Commutativité de la multiplication dans Z

Théorème 3.9. La multiplication dans Z est commutative

Démonstration

Montrons, que ∀ (n, p, n′, p′) ∈ N4, (n, p)× (n′, p′) = (n′, p′)× (n, p) .

(n, p)× (n′, p′) = (nn′ + pp′;np′ + n′p)

(n′, p′)× (n, p) = (n′n+ p′p, n′p+ p′n)

Ces deux seconds membres sont égaux grâce aux proprités de l’addition dans N.

La multiplication dans Z admet un élément neutre

Théorème 3.10. La multiplication dans Z admet un élément neutre : (1; 0) noté 1.

Démonstration

∀ (n, p) ∈ N2, (n, p)× (1; 0) = (n× 1 + p× 0;n× 0 + p× 1)

= (n; p) .

Distributivité de la multiplication sur l’addition dans Z

Théorème 3.11. Dans Z, la multiplication est distributive sur l’addition

Démonstration

Montrons que ∀ (n, n′, n”, p, p′, p”) ∈ N6, (n, p)× ((n′, p′) + (n”, p”)) = (n, p)× (n′, p′) + (n, p)× (n”, p”)

En effet, (n, p)× ((n′, p′) + (n”, p”)) = (n, p)× (n′ + n”, p′ + p”)

= (n× (n′ + n”) + p (p′ + p”) , n× (p′ + p”) + p× (n′ + n”))

= (nn′ + nn” + pp′ + pp”, np′ + np” + n′p+ n”p) (⋆)


Et, (n, p)× (n′, p′) + (n, p)× (n”, p”) = (nn′ + pp′;np′ + n′p) + (nn” + pp”;np” + n”p)

= (nn′ + pp′ + nn” + pp”;np′ + n′p+ np” + n”p) (�)

Et en comparant (⋆) et (�) , on constate l’égalité des deux expressions.

Notation définitive de l’opposé d’un nombre

On décide d’appeler −1 le nombre (0, 1)

Il suffit alors de remarquer que opp (n, p) = (p, n) et que (p, n) = (0, 1)×(n, p) pour pouvoir écrire que opp(r) = (−1)×r

Et de prendre pour notation définitive −r pour opp(r).

On rappelle (voir remarques du paragraphe sur les propriétés de l’addition) que −r = −r′ ⇔ r = r′

Régularité de la multiplication dans Z

Théorème 3.12. La multiplication est régulière dans Z∗, c’est à dire que ∀ (a, b) ∈ Z2,∀c ∈ Z∗, a = b⇔ ac = bc

On remarquera que la condition nécessaire est vraie même pour c = 0.

Démonstration

⋆Si a, b, et c sont des éléments de Z+, donc de N, la démonstration a été faite (régularité de la multiplication dansN).

⋆Si a, b, et c sont des éléments de Z+ et c élément de Z−.

c ∈ Z− ⇒−c ∈ Z+ et dans ce cas a = b⇔ a× (−c) = b× (−c)

Or, on a établi que −c = (−1)× c et d’après l’associativité de × :

a× (−c) = b× (−c)⇔ (−1)× ac = (−1)× bc

⇔− (ac) = − (bc)

⇔ ac = bc d’après la remarque rappelée ci-dessus.

⋆ Les autres cas possibles de signes pour a, b et c amènent des démonstrations identiques.

Multiplication membre à membre

Une propriété évidente : ∀ (a, b, c, d) ∈ Z4,{

a = bc = d

⇒ ac = bd

En utilisant deux fois la régularité de × :

{a = bc = d

⇒{

ac = bccb = db

⇒ ac = bd

Nullité d’un produit

Théorème 3.13. Le produit de deux entiers relatifs est nul si et seulement si l’un des deux est nulC’est à dire ∀ (r; r′) ∈ Z2 , rr′ = 0⇔ r = 0 ou r′ = 0


Démonstration

Posons r = (n; p) et r′ = (n′; p′) .

Alors rr′ = (n, p)× (n′, p′) = (nn′ + pp′;np′ + n′p) .

Donc rr′ = 0⇔ (nn′ + pp′;np′ + n′p) = (0; 0)

⇔ nn′ + pp′ + 0 = np′ + n′p+ 0

⇔ nn′ − np′ = n′p− pp′

⇔ n (n′ − p′) = p (n′ − p′)

⇔ n (n′ − p′)− p (n′ − p′) = 0

⇔ (n′ − p′) (n− p) = 0

⇔ n′ − p′ = 0 ou n− p = 0 (propriété de N : théorème 2.12)

Ainsi rr′ = 0⇔ n = p ou n′ = p′

C’est à dire si et seulement si r = 0 ou r′ = 0.

3.5 Ordre dans Z

3.5.1 Définition et théorème

Relation d’ordre dans Z

Définition 3.8. On définit sur Z la relation ≤Z

suivante :

∀(r, r′) ∈ Z2,{

r = (n, p)r′ = (n′, p′)

r ≤Zr′ ⇔ n+ p′ ≤

Nn′ + p.

où ≤N

désigne la relation d’ordre définie sur N dans le chapitre précédent. Cette distinction entre les deux relations

d’ordre sera abandonnée sitôt qu’on aura immergé

(N,≤

N

)dans

(Z,≤

Z

). Nous la noterons dès lors ≤ dans les deux

cas.

Remarque : c’est toujours la notation implicite de la différence car r désignant l’entier n−p, et r′ désignant n′−p′, direque r ≤ r′ revient à dire que n− p ≤ n′ − p′, c’est à dire, pour éviter cette soustraction encore interdite, n+ p′ ≤ n′ + p.

L’ordre dans Z est total

Théorème 3.14. La relation ≤Z

est une relation d’ordre total sur Z.

Démonstration

Réflexivité : ∀r ∈ Z, r = (n, p) , n+ p ≤N

n+ p⇒ r ≤Z

r

Antisymétrie : ∀(r, r′) ∈ Z2,{

r = (n, p)r′ = (n′, p′)

,

r ≤Z

r′

r′ ≤Zr⇒ r = r′


En effet,

r ≤Z

r′ ⇒ n+ p′ ≤N

n′ + p

r′ ≤Zr ⇒ n′ + p ≤

Nn+ p′

⇒ n+p′ = n′+p puisque≤N

etant une relation d’ordre dans N est antisymétrique.

Or n+ p′ = n′ + p⇒ (n, p) = (n′, p′)

Rappelons que cette dernière notation est abusive et qu’on devrait noter (n, p)R (n′, p′) c(deux représentants différentsd’une même classe d’équivalence qui est le nombre entier relatif).

Transitivité : ∀(r, r′, r”) ∈ Z3 et avec des notations évidentes,

r ≤Z

r′ ⇒ n+ p′ ≤N

n′ + p

r′ ≤Z

r”⇒ n′ + p” ≤N

n” + p′

Or la relation ≤N

dans N permet d’ajouter deux inégalités membre à membre.

Ainsi

n+ p′ ≤N

n′ + p

n′ + p” ≤N

n” + p′⇒ n+ p′ + n′ + p ≤

Nn′ + p+ n” + p′

En simplifiant l’inégalité obtenu (travail dans N ), on obtint donc n+ p ≤N

p+ n”

qui prouve que (n, p) ≤Z(n”, p”)

D’où la transitivité.

L’ordre est total : En effet, l’ordre c étant total dans N, deux possibilités :

Soit n+ p′ ≤N

n′ + p et on a alors (n, p) ≤Z(n′, p′)

Soit n′ + p ≤N

n+ p′ et on a alors (n′, p′) ≤Z(n, p)

Mais de toutes manières, les deux entiers relatifs (n, p) et (n′, p′) sont comparables.

3.5.2 Entiers relatifs positifs - négatifs

L’entier relatif (0, 0) sera donc identifié à l’entier naturel 0.

Propriété : Montrons que 0 est inférieur ou égal à tout élément de Z+(on dira bien entendu que ce nombre estpositif).

Démonstration

∀ (n, p) ∈ Z+,∃ n′ ∈ N (n, p)R (n′, 0)

Or n′ ∈ N⇒ 0 ≤N

n′ (puisque n′ = n′ + 0)

⇒ 0 + 0 ≤N

n′ + 0

⇒ (0, 0) ≤N(n′, 0) d’après l’identification ci-dessus.

On montre d’une manière tout à fait analogue que tout élément de Z− est inférieur ou égal à 0.

Remarque : Par transitivité de ≤, ∀n ∈ Z−,∀p ∈ Z+,

n ≤Z0

0 ≤Z

p⇒ n ≤

Zp

Montrant ainsi que tout entier relatif négatif est inférieur ou égal à tout entier relatif positif.


3.5.3 Ordre et opérations dans Z

L’addition est compatible avec l’ordre dans Z

Théorème 3.15. ≤ est compatible avec l’addition dans Z c’est à dire ∀ (r, r′, r”) ∈ Z3, r ≤Z

r′ ⇔ r + r” ≤Z

r′ + r”

Démonstration

Avec des notations évidentes : (n, p) ≤Z(n′, p′)⇔ n+ p′ ≤

Nn′ + p

r + r” ≤Z

r′ + r”⇔ (n+ n”, p+ p”) ≤Z(n′ + n”, p′ + p”)

⇔ n+ n” + p′ + p” ≤N

p+ p” + n′ + n”

⇔ n+ p′ ≤N

p+ p′ en simplifiant par n” + p” d’après la régularité de +.

⇔ (n, p) ≤Z(n′, p′)

⇔ r ≤Z

r′

Ordre et multiplication dans Z

Théorème 3.16. ∀ (r, r′) ∈ Z2,∀r” ∈ Z+, r ≤Z

r′ ⇔ r × r” ≤Zr′ × r”

∀ (r, r′) ∈ Z2,∀r” ∈ Z−, r ≤Z

r′ ⇔ r′ × r” ≤Z

r × r” (inversion de l’inégalité)

Démonstration

La première partie du théorème est en fait la compatibilité de ≤ et de + dans N.

Pour la seconde partie montrons d’abord que r ≤Z

r′ ⇔−r′ ≤Z−r.

en effet, avec des notations évidentes : (n, p) ≤Z(n′, p′)⇔ n+ p′ ≤

Nn′ + p (♠)

Or −r = (p, n) et −r′ = (p′, n′) donc −r′ ≤Z

r ⇔ p′ + n ≤N

p+ n′ (♥)

En comparant (♥) et (♠) on voit l’équivalence attendue.

Dés lors, ∀r” ∈ Z−,−r” ∈ Z+ ⇒ r ≤Zr′ ⇔ r × (−r”) ≤

Zr′ × (−r”)

⇔− (r × r”) ≤Z− (r′ × r”)

⇔ r′ × r” ≤Z

r × r” d’après ce qui précède

3.6 Immersion de N dans Z

On a déjà montré que N est inclus dans Z, mais on ne parlera d’mmersion que lorsqu’on aura vérifié que :


La somme de deux entiers naturels est la même que la somme des deux relatifs auxquels ils sont égaux

Le produit de deux entiers naturels est le même que le produit des deux relatifs auxquels ils sont égaux

Deux entiers naturels et les deux relatifs auxquels ils sont égaux sont rangés dans le même ordre.

3.6.1 Immersion de (N,+) dans (Z,+) .

Montrons donc que l’addition de deux entiers naturels est la même que ceux-ci soient considérés comme des élémentsde N ou de Z.

En effet, ∀ (n, n′) ∈ N, (n, 0) + (n′, 0) = (n+ n′, 0) d’après la définition de + dans Z.

Or (n, 0) désigne l’entier naturel n , (n′, 0) l’entier naturel n′, et (n+ n′, 0) l’entier naturel n + n′. L’addition desentiers relatifs donne bien le même résultat que l’addition des entiers naturels correspondants.

D’où la compatibilité recherchée et l’immersion de (N,+) dans (Z,+)

Remarque : avec la fonction ϕ définie ci-dessus et qui nous avait permis d’identifier n à (n, 0) , on écrirait toutsimplement ϕ(n+ n′) = ϕ (n) + ϕ (n′)

3.6.2 Immersion de (N,×) dans (Z,×)

Il s’agit de démontrer que la multiplication de deux éléments de Z+ est égale à la multiplication des deux entiersnaturels auxquels ils sont égaux.

Soit (n, 0) ∈ Z+ et (n′, 0) ∈ Z+

Alors, (n, 0)× (n′, 0) = (nn′, 0) qui est bien l’entier naturel nn′.

3.6.3 Immersion de

(N,≤

N

)dans

(Z,≤

Z

)

Il suffit maintenant de démontrer la compatibiité de l’ordre défini dans Z avec celui déjà existant dans N.

En d’autres termes, il faut prouver, et c’est bien là la moindre des choses, que deux entiers natrels sont rangés dansle même ordre qu’ils soient considérés comme éléments de N ou de Z. C’est à dire qu’ils soient comparés à l’aide de ≤

Nou

de ≤Z.

Ainsi, démontrons que ∀ (n, n′) ∈ N2, (n, 0) ≤Z(n′, 0)⇔ n ≤

Nn′

Démonstration

Facile car d’après la définition de la relation d’ordre dans Z, on a :

∀ (n, n′) ∈ N2, (n, 0) ≤Z(n′, 0)⇔ n+ 0 ≤

Nn′ + 0

c’est à dire ∀ (n,n′) ∈ N2, (n, 0) ≤Z(n′, 0)⇔ n ≤

Nn′

Voilà donc démontrée la compatibilité des deux relations d’ordre. L’immersion de N dans Z peut donc être étendue à

l’immersion de

(N,≤

N

)dans

(Z,≤

Z

). La première immersion a permis de simplifier le notations en écrivant n à la place

de (n, 0) , la seconde permettra de noter du même symbole ≤ les deux relations d’ordre.


3.7 Quelques rudiments d’arithmétique

Il n’est pas question ici de présenter un cours complet d’arithmétique, mais juste quelques concepts qui seront utilisésplus tard, en particulier dans le chapitre sur les nombres rationnels.

3.7.1 Diviseur d’un nombre - Division euclidienne

Diviseur d’un nombre

Définition 3.9. Un entier relatif non nul d est un diviseur de l’entier relatif a, qui sera noté d/a si et seulement s’il

existe un entier relatif k tel que a = kd. Ainsi d/a⇔{

d = 0∃k ∈ Z : a = kd

. On dit aussi que a divise b et que b est un

multiple de a.

Remarque. Si d est un diviseur de a, −d l’est aussi.

C’est évident puisque a = kd⇒ a = (−k)× (−d)

Division euclidienne

Théorème 3.17. Pour tous entiers relatifs a et b (b = 0) , il existe un couple unique d’entiers (q; r) où q est un élément

de Z et r un entier naturel vériant :

{a = bq + r0 ≤ r < |b| où |b| désigne la valeur absolue de b c’est à dire |b| =Max (−b; b) q

et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a (appelé diviseur) par b (appelé dividende)

Démonstration

Existence : Nous allons utiliser un raisonnement par disjonction des cas, discutant sur les signes relatifs de a et b.

1/ a ≥ 0 et b > 0. a et b sont donc deux entiers naturels.

D’après le corollaire de la propriété d’Archimède ( proposition 2.4. du chapitre 1), il existe un entier naturel qtel que qb ≤ a < (q + 1) b

Ainsi qb ≤ a⇒ ∃r ∈ N : a = qb+ r .

On a donc r ∈ N⇒r ≥ 0 et a < (q + 1) b⇒ qb+ r < (q + 1) b donc r < b. D’où l’existence de q et r.

2/ a ≤ 0 et b < 0. Posons alors −a ≥ 0 et −b > 0 qui ramènent au cas précédents.

Donc ∃ (q; r) ∈ Z×N :{−a = (−b)× q + r0 ≤ r < b

⇔{

a = b× q − r0 ≤ r < b

(en multipliant les deux membres par −1)

— Si r = 0, on a a = b× q et le couple (q; 0) convient.

— Si r = 0 le système précédent devient :

{a = b× (q + 1)− b− r0 < r < b

Il suffit alors de remarquer que 0 < r < b s’écrit aussi

{r > 0r < b

⇒{−r < 0−r > b

⇒{−r − b < −b−r − b > 0

donc 0 < −r − b < −b qui prouve que le couple (q + 1;−r − b) convient (|b| = −b)

3/ a ≤ 0 et b > 0 −a et b sont des entiers naturels, donc en application du premier point :

∃ (q; r) ∈ Z×N :{−a = b× q + r0 ≤ r < b

⇔{

a = b× (−q)− r0 ≤ r < b

(en multipliant les deux membres par −1)


— Si r = 0, on a a = b× (−q) et le couple (−q; 0) convient.

— Si r = 0 le système précédent devient :

{a = b× (−q − 1) + b− r0 < r < b

Avec

{r > 0r < b

⇒{−r < 0−r > −b

⇒{

b− r < bb− r > 0

donc 0 < b− r < b

Le couple (−q − 1; b− r) convient donc

4/ a ≥ 0 et b < 0 ; L’entier −n étant naturel, ∃ (q; r) ∈ Z×N :{

a = (−b)× q + r0 ≤ r < −b

⇔{

a = b× (−q) + r0 ≤ r < −b

Le couple (−q; r) convient donc.

Par disjonction des cas, on voit que la couple (q; r) existe toujours

Unicité : supposons qu’il existe un second couple (q′; r′) on a alors

{a = bq + r0 ≤ r < |b| et

{a = bq′ + r′

0 ≤ r′ < |b|

Donc bq + r = bq′ + r′ ⇒ b (q − q′) = r′ − r. Donc b divise r′ − r ainsi que −b d’après la remarque précédente. Si b et−b divisent r′ − r, le plus grand des deux qui est |b| le divise aussi. Ainsi |b| divise r′ − r.

D’autre part,

{0 ≤ r < |b|0 ≤ r′ < |b| ⇔

{−|b| ≤ −r < 00 ≤ r′ < |b| ⇒ − |b| < r′ − r < |b| .

r′ − r est donc un multiple de |b| stritement compris entre −|b| et |b| .

Or les multiples de |b| sont dans {· · · ,−2 |b| ,−|b| , 0, |b| , 2 |b| , · · · } donc r′ − r = 0 et r′ = r.

Enfin

{bq + r = bq′ + r′

r′ = r⇒{

bq = bq′

r′ = r⇒ q = q′ en simplifiant par b non nul.


3.7.2 Diviseurs commun - PGCD de deux entiers naturels

Diviseur commun

Définition 3.10. On appelle diviseur commun aux deux entiers relatifs a et b tout nombre qui divise à la fois a et b.

On peut convenir de noter D (a) et D (b) les ensembles des diviseurs de a et b. Un diviseur commun à a et b est doncun élément de D (a) ∩D (b) .

PGCD de deux nombres

Théorème 3.18. L’ensemble des diviseurs communs à tout couple d’entiers naturels non nuls admet un plusgrand élément appelé PGCD des entiers naturels a et b. Il sera noté δ = PGCD (a, b) ou encore δ = a ∧ b

Démonstration

Soit D l’ensemble des diviseurs communs positifs de a et b.

D n’est pas vide car 1 divisant a et b en est un élément.

De plus n ∈ D⇒{

a = knb = k′n

⇒{

a ≥ nb ≥ n

qui prouve que D est majoré.


Une partie non vide et majorée de N admettant un plus grand élément, D admet un plus grand élément δ.

Il majore tous les diviseurs positifs communs à a et b, et à fortiori les négatifs. C’est bien le plus grand diviseur communà a et b.

Il est unique comme plus grand élément d’un ensemble (par l’absurde).

Proposition 3.1. a et b sont deux entiers naturels dont le PGCD est δ. On a alors a = δa′ et b = δb′ avec a′ ∧ b′ = 1.

Démonstration

Supposons en effet que a′ ∧ b′ = d > 1. Alors d/a′ ⇒ a′ = kd et de même b′ = k′d

On en déduit que a = kdδ et b = k′dδ. Donc dδ est un diviseur commun à a et b, or d > 1⇒ dδ > δ contradiction

Nombres premiers entre eux

Définition 3.11. Deux entiers naturels sont premiers entre eux si et seulement si leur pgcd vaut 1

Remarque : Deux nombres premiers entre eux n’ont pour diviseurs communs que 1 et −1. En effet, −1 et 1 sontdiviseurs communs.

Supposons d diviseur commun à a et b. Soit d > 0 et a ∧ b = 1⇒ d ≤ 1. Ainsi 0 < d ≤ 1⇒ d = 1

Soit

{d < 0d = −1 ⇒ −d > 1. Or on sait que si d divise un nombre, −d aussi. −d est donc un diviseur commun à a et b

supérieur à leur p gcd . Contradiction.

Théorème de Bezout

Théorème 3.19. Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls tous les deux et dont le PGCD est d, il existe un coupled’entiers relatifs u et v tels que d = au+ bv ∀ (a; b) ∈ Z2, (a; b) = (0; 0) ,∃ (u; v) ∈ Z2 : au+ bv = δ avec δ = a ∧ b

Démonstration

Soit E l’ensemble des entiers naturels non nuls de la forme an + bm ou m et n sont des entiers relatifs. E ={N ∈ N∗ : N = an+ bm, (m;n) ∈ Z2

}.

Remarquons qu’un élément de la forme an+ bm est soit un élément de E, soit nul.

On remarque aussi que a ∈ E (pour m = 0 et n = 1 si a est positif, n = −1 sinon).

L’ensemble E n’est donc pas vide ; il admet donc un plus petit élément p (proposition 2.4. du chapitre sur le entiersnaturels)

Ainsi, ∃ (u; v) ∈ Z2 : au+ bv = p. La démonstration vise à démontrer que p = δ, et ce en deux points :

— Tout diviseur commun à a et b divise p

∀d ∈ D (a) ∩D (b) ,{∃k ∈ Z : a = kd∃k′ ∈ Z : b = k′d

⇒ p = kdm+ k′dn

On a donc p = d (km+ k′n) qui prouve que d divise p. On aura donc en particulier δ/p


Or p = 0 donc ∃k ≥ 1 : p = kδ qui entraîne p ≥ δ— p étant positif, la division euclidienne de a par p donne :{

a = qp+ r0 ≤ r < p

⇔{

r = a− qp0 ≤ r < p

⇔{

r = a− q (au+ bv)0 ≤ r < p

⇔{

r = a (1− qu) + (−b) v0 ≤ r < p

⇔{

r ∈ E ou r = 0 (d’après la première remarque ci-dessus)0 ≤ r < p

Or p étant le plus petit élément de E, r < p⇒ r /∈ E d’où r = 0.On en déduit que p divise a. Un raisonnement identique montre que p divise bp est donc un diviseur commun à a et b donc p ≤ δ

On a donc d’après le premier point p ≥ δ, et p ≤ δ d’après le second. Ainsi p = δ qui prouve le théorème.

Théorème de Gauss

Théorème 3.20. Soit a, b, c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et est premier avec b, alors a divise c,

∀ (a; b; c) ∈ Z∗3,{

a/bca ∧ b = 1

⇒ a/c.

Démonstration

a/bc⇒ ∃k ∈ Z : bc = ka

Or d’après le théorème de Bezout, ∃ (u; v) ∈ Z2 : au+ bv = 1 et en multipliant les deux membres par c : acu+ bcv = c

On a donc

{bc = kaacu+ bcv = c

⇒ acu+ kav = c

⇒ a (cu+ kv) = c donc a divise c.

3.8 Conclusion

Après avoir créé les nombres entiers naturels, on s’est rendu compte que la résolution de certaines équations "additives",supposait l’existence pour tout entier d’un opposé. Ce problème amena la création de l’ensemble Z dont le rôle étaitprécisément d’offrir à chaque entier (relatif cette fois) un symétrique appelé opposé dans le cas de l’addition. Les équationspouvaient cette fois être résolues dans Z. La propriété de symétrisation de tout entier relatif, ajoutées aux propriétésprécédentes ded l’addition qui sont l’associativité, l’existence d’un élément neutre faisait de (Z,+) un groupe, commutatifqui de plus est.

Le problème se pose à nouveau dans Z, mais avec la multiplication cette fois. L’équation 2x = 1 n’admet pas desolution dans Z.

En effet (2, 0)× (n, p) = (1, 0)⇒ (2n, 2p) = (1, 0) cette égalité étant bien entendu à prendre au sens de l’égalité dansZ, c’est à dire l’égalité entre deux classes d’équivalence.

On ferait donc mieux d’écrire (2, 0)× (n, p) = (1, 0)⇒ (2n, 2p)R (1, 0)c’et à dire (2, 0)×(n, p) = (1, 0)⇒ 2n+1 = 2p+0. Cette égalité entre un nombre pair et un nombre impair n’admettant

pas de solution dans N (car n et p sont des éléments de N).

Ce problème, d’une manière rigoureusement analogue au précédent va amener la création d’un nouvel ensemble : Q ,ensemble des nombres rationnels, et (Q,×). deviendra un groupe commutatif.

Chapitre 4

La construction de l’ensemble des nombresrationnels Q

4.1 Introduction

On se souvient que les nombres relatifs sont nés du besoin de résoudre dans Z des équations comme x + 5 = 3. Demême alors que 2x = 4 admet un solution unisque dans Z, une équation comme 2x = 5 n’en admet pas dans Z. Cetteéquation pourrait provenir du besoin de partager 5 quantités entre deux personnes.

On va donc définir les nombres rationnels (fractions) suivant une dé&marche en tout point analogue à celle utiliséepour définir les entiers relatifs.

On se souvient qu’un entier relatif est une classe d’équivalence et qu’implicitement, il est le résultat d’une soustrac-tion, même si le mot a été habilement évité pendant toute la présentation. Là encore, il va falloir définir une relationd’équivalence, et ls nombre rationnels serpnt des classes d’équivalence relatives à celle-ci. Implicitement, le rationnel sera

le résultat d’une division qu’il faudra contourner. Ainsi1

2sera le résultat de la division de 1 par 2, tout comme

2

4et3

6par

exemple. Et si ces division donnent le même résultat, c’set tout simplement d’après le schéma :1

2=2

4car 1× 4 = 2× 2

et1

2=3

6car 1× 6 = 2× 3. Là encore, on contournera l’opération encore non définie (la division) avec la multiplication.

4.2 Définitions

4.2.1 Une relation d’équivalence :

Relation d’équivalence fondamentale

Théorème 4.1. La relation R de Z× Z∗ définie par (x; y)R (x′; y′)⇔ xy′ = yx′ est une relation d’équivalence.

On va donc démontrer que cette relation est réflexive, symétrique et transitive.

Démonstration

Dans tout ce qui suit, x, x′, x” sont des entiers relatifs quelconques, y, y′, y” sont des entiers relatifs non nuls quelconques

Réflexivité : Facile puisque xy = yx⇒ (x; y)R (x; y)

1

CHAPITRE 4. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES RATIONNELS Q 2

Symétrie : (x; y)R (x′; y′)⇔ xy′ = yx′

⇔ y′x = x′y commutativité de × dans Z

⇔ x′y = y′x

⇔ (x′; y′)R (x; y)

Transitivité : remarquons déjà que si x est nul, (0; y)R (x′; y′)⇔ 0 = yx′

Et y étant non nul, (0; y)R (x′; y′)⇔ x′ = 0

⋆ Si x = 0,

{(0; y)R (x′; y′)⇔ x′ = 0(0; y′)R (x”; y”)⇔ x” = 0

donc (0; y)R (0; y”) prouve la transitivité dans ce cas particulier.

⋆ Si x = 0,{

(x; y)R (x′; y′)⇔ xy′ = yx′

(x′; y′)R (x”; y”)⇔ x′y” = y′x”⇒ xy′×x′y” = yx′×y′x” en faisant les produits membre à membre.

Donc xy”× x′y′ = yx”× x′y′ en utilisant associativité et commutativité de ×

Or x′ = 0 puisque x0 de meêm que y′ = 0. Ainsi x′y′ = 0 et d’après la régularité de × dans Z, xy” = yx”.

On a donc établi que

{(x; y)R (x′; y′)(x′; y′)R (x”; y”) ⇒ (x; y)R (x”; y”) .

4.2.2 L’ensemble Q des nombres rationnels

Nombre rationnel

Définition 4.1. On appelle nombre rationnel toute classe d’équivalence de la relation d’équivalence définie ci-dessussur Z× Z∗. L’ensembles des nombres entiers relatifs est noté Q.

Cette définition extrêmemnt théorique (mais absolument rigoureuse) ne doit pas faire oublier le concept intutif pré-

cédemment évoqué selon lequel le nombre1

2est indifféremment le résultat des divisions de 1 par 2 ou de 2 par 4 ou de 3

par 6 donc sera désigné par les couples (1; 2) , (2; 4) , (3; 6) qui appartiennent tous à la même classe d’équivalence puisque

1× 4 = 2× 2 et1

2=3

6car 1× 6 = 2× 3.

Remarque : Tout couple (a; b) pourra être considéré comme le représentant d’une classe d’équivalence (donc commeun rationnel) dès lors que b = 0.

4.2.3 Notation

Un entier relatif q devrait être noté q =

◦︷︸︸︷(a; b) notation réservée à la classe d’équivalence du couple (a; b) . Ainsi, avec

des notations évidentes, q = q′ si et seulement si

◦︷︸︸︷(a; b) =

◦︷︸︸︷(a′; b′) donc si et seulement si (a; b)R (a′; b′) .

On notera en fait

◦︷︸︸︷(a; b) sous la forme

a

b(appelée fraction) où a est appelé numérateur et b dénominateur (non nul).

Lorqu’on écriraa

b=

a′

b′il faudra en fait comprendre

◦︷︸︸︷(a; b) =

◦︷︸︸︷(a′; b′) c’est à dire (a; b)R (a′; b′) ou encore ab′ = ba′ où on

reconnait les produits en croix.


Dès lors, les manipulations des rationnels seront celles auxquelles on est habitués, l’égalité entre deux rationnelsmasquant le fait qu’il s’agit d’une égalité entre deux classes d’équivalence, c’est à dire que les deux représentants sont enrelation l’un avec l’autre.

4.2.4 Simplification - Représentant privilégié d’une classe d’équivalence

Propriété : Soita

bun entier relatif quelconque. Alors, pour tout entier relatif k non nul,

a

b=

ka

kb

Evident puisquea

b=

ka

kb⇔ (a; b)R (ka; kb) vrai puisque a× kb = b× ka.

Dans ces conditions de tous les représentanska

kbpossibles, on préfèrera celui dont le numérateur et le dénominateur sont

premiers entre eux (concept suppposé connu dans Z). On reconnaît bien entendu ici la classique propriété de simplificationd’une fraction.

Proposition 4.1. Pour tout couple (a; b) de Z× Z∗, il existe un unique (p; q) ∈ Z× Z+∗ tel que

{ a

b=

p

qp ∧ q = 1

Où p ∧ q désigne le pgcd de p et q.p

qest le représentant privilégié de

a

b(fraction irréductible).

Démonstration

Unicité : Supposons

{ a

b=

p

qp ∧ q = 1

et

a

b=

p′

q′

p′ ∧ q′ = 1

Alors

p

q=

p′

q′

p′ ∧ q′ = 1⇒{

pq′ = p′qp′ ∧ q′ = 1

⇒ p divise p′ d’après le théorème de Gauss

Donc ∃k ∈ Z : p′ = kp et en remplaçant dans pq′ = p′q, il vient pq′ = kpq ⇒ q′ = kq

k est donc un diviseur de p′ et de q′ ; sachant que p′ ∧ q′ = 1 on a donc k ∈ {−1,+1} .

Or q ∈ Z+∗ et q′ ∈ Z+∗. On a donc k = 1 et

{p = p′

q = q′

Existence : Soit δ = a ∧ b. On a alors a = δa′ et b = δb′ avec a′ ∧ b′ = 1. (propriété 3.1. du chapitre précédentparagraphe arithmétique)

Ainsia

b=

δa′

δb′⇒ a

b=

a′

b′avec a′ ∧ b′ = 1 prouve l’existence d’un tel couple.

4.3 L’addition dans Q

4.3.1 Définition de l’addition dans Q

L’addition dans Q

Définition 4.2. ∀ (q, q) ∈ Z2

q =a

b, (b = 0)

q′ =a′

b′, (b′ = 0)

alors q + q′ =ab′ + a′b

bb′


Remarquons en premier que bb′ étant non nul,ab′ + a′b

bb′est bien un élément de Q. L′addition est donc une opération

interne dans Q.

Remarque : Dans le cas où b = b′, c’est à dire si les dénominateurs sont égaux, on obtienta

b+

a′

b=

ab+ a′b

b× b=

b (a+ a′)

b× b=

a+ a′

baprès simplification. On retrouve les habitudes de réduction au même dénominateur.


Retrouvons ci-dessous les propriétés bien connues de l’addition que sont l’asociativité, la commutativité, la régularité.

Associativité de l’addition dans Q

Théorème 4.2. L’addition dans Q est associative, c’est à dire que ∀ (q, q′, q”) ∈ Z3, (q + q′) + q” = q + (q′ + q”)

Démonstration

∀ (a, b) ∈ Z× Z∗,∀ (a′, b′) ∈ Z× Z∗,∀ (a”, b”) ∈ Z× Z∗.(a

b+

a′

b′

)+

a”

b”=

ab′ + a′b

bb′+

a”

b”

=ab′b” + a′bb” + a”bb′

bb′b”en utilisant les propriétés de l’addition dans Z.

a

b+

(a′

b′+

a”

b”

)=

a

b+

a′b” + a”b′

b′b”

=ab′b” + a′bb” + a”bb′

bb′b”d’où

(a

b+

a′

b′

)+

a”

b”=

a

b+

(a′

b′+

a”

b”

)

Commutativité de l’addition dans Q

Théorème 4.3. L’addition dans Q est commutative, c’est à dire que ∀ (q, q′) ∈ Z2, q + q′ = q′ + q

Démonstration

∀ (a, b) ∈ Z× Z∗,∀ (a′, b′) ∈ Z× Z∗

a

b+

a′

b′=

ab′ + a′b

bb′et

a′

b′+

a

b=

a′b+ ab′

b′b.

Ainsia

b+

a′

b′=

a′

b′+

a

ben utilisant la commutativité de + et × dans Z.


L’addition dans Q admet un élément neutre

Théorème 4.4. L’addition dans Q admet un élément neutre :0

1, c’est à dire que ∀r ∈ Q, q + 0 = 0 + q = q avec

0 =0

1

Démonstration

∀ (a, b) ∈ Z× Z∗

a

b+0

1=

a× 1 + 0× b

b× 1 =a

b, et

0

1+

a

b=

a

b+0

1d’après la commutativité de + dans Q.

D’où0

1+

a

b=

a

b+0

1=

a

b

Remarque. On convient de noter Q∗ l’ensemble Q−{0

1

}

Régularité de l’addition dans Q

Théorème 4.5. L’addition dans Q est régulière, c’est à dire que :∀ (q, q′, q”) ∈ Z3, q + q′ = q + q”⇒ q′ = q”

Démonstration

∀ (a, b) ∈ Z× Z∗,∀ (a′, b′) ∈ Z× Z∗,∀ (a”, b”) ∈ Z× Z∗.a

b+

a′

b′=

a

b+

a”

b”⇔ ab′ + a′b

bb′=

ab” + a”b

bb”

⇔ ab′b” + a′bb”

bb′b”=

ab′b” + a”bb′

bb′b”en multipliant par b” numérateur et dénominateur du membre de

gauche et par b′ ceux du membre de droite, d’après la propriété du 2.3.

Ainsia

b+

a′

b′=

a

b+

a”

b”⇔ (ab′b” + a′bb”) bb′b” = (ab′b” + a”bb′) bb′b” produits en croix

⇔ ab′b” + a′bb” = ab′b” + a”bb′ régularité de × dans Z avec bb′b” = 0

⇔ a′bb” = a”bb′ régularité de + dans Z

⇔ a′b” = a”b′ régularité de × dans Z avec b = 0

⇔ a′

b′=

a”

b”d’où le résultat.

Proposition 4.2. Addition membre à membre :∀ (a, b, c, d) ∈ Q4,{

a = bc = d

⇒ a+ c = b+ d.

Se démontre en utilisant deux fois la régularité de + :

{a = bc = d

⇒{

a+ c = b+ cc+ b = d+ b

⇒ a+ c = b+ d.


Tout entier relatif admet un symétrique unique dans Q

Théorème 4.6. Pour tout entier relatif q, il existe un entier relatif unique q′ tel que q + q′ = q′ + q = 0.

Remarquons en premier lieu que la condition q′ + q = q + q′, indispensable dans le cas général n’amène rien dans lecas d’une opération commutative.

Démonstration

Existence : ∀q ∈ Q, posons q =a

b, b = 0

Alors q′ =−a

bvériifie les conditions attendues.

En effet,a

b+−a

b=

a− a

b=0

b= 0.

Unicité : L’unicité tient à la régularité de l’addition. Supposons en effet qu’il existe deux symétriques q′ et q” de q.

Dès lors, on a q + q′ = q + q”⇒ q′ = q”.

Remarques :

1. Dans le cas de l’addition le symétrique d’un nombre sera appelé opposé de celui-ci. On conviendra dans quelqueslignes de noter −q l’opposé de q. Notons le encore opp(q) pour quelques instants Cette propriété d’existence d’un sy-métrique pour l’addition est la propriété fondamentale qui manquait aux entiers naturels. Elle complète les propriétésd’associativité et d’existence d’un élément neutre pour faire de l’ensemble Q, muni de l’addition un groupe. L’additionétant commutative, ce groupe est commutatif.

2. L’opposé de l’opposé d’un nombre est le nombre lui-même. En effet, q + opp(q) = 0 se lit aussi opp(q) + q = 0 quiprouve que q est l’opposé de opp(q).

3. Deux entiers relatifs ont même opposé si et seulement si ils sont égaux.

En effet opp(q) = opp(q′)⇒ q+ opp(q) = q + opp(q′) (régularité)

⇒ q + opp(q′) = 0 (puisque q+ opp(q) = 0)

⇒ q + opp(q′) = q′ + opp(q′)

⇒ q = q′, l’addition étant régulière.

4.3.3 La soustraction dans Q

La soustraction dans Q

Définition 4.3. On définit la soustraction dansZ par ∀ (q; q′) ∈ Q, q − q′ = q + (−q′)où q′ est l’oposé de q.

On vérifiera aisemment toutes les propriétés connues de la soustraction.


4.3.4 Z est inclus dans Q

Il s’agit de démontrer que tout entier relatif est aussi un rationnel.

Principe de la démonstration : Il suffit de mettre en évidence une bijection ϕ de Z sur Q. Ainsi, à tout entierrelatif n on pourra associer un unique rationnel ϕ(n), et inversement, à tout rationnel ϕ(n) on pourra associer un uniqueentier relatif n. Dans ces conditions, on pourra dire que l’antécédent et l’image, qui se correspondent mutuellement d’unmanière unique peuvent être idéntifiés l’un à l’autre.

Démonstration

Soit ϕ : Z −→ Q

n �−→ n

1

Montrons alors que ϕ est une bijection de Z sur Q.c’est à dire que ∀n1∈ Q,∃!n ∈ N n

1= ϕ (n)

L’existence est triviale

L’unicité : supposons quen

1ait deux antécédents n et n′ par ϕ. On a donc

ϕ (n) =

n

1ϕ (n′) =

n

1

Or, ϕ (n′) =n′

1. On a donc forcément

n

1=

n′

1donc n× 1 = n′ × 1 Et n = n′. D’où l’unicité annoncée.

Voilà donc établi qu’à tout rationnel de la formen

1correspond d’une manière unique un entier relatif. Cette correspon-

dance univoque permet d’identier l’entier relatif antécédent à son image dans Q, et voilà que tout élément de Z devient

un élément de Q. Z est donc inclus dans Q. On dit qu’on a immergé Z dans Q. L’entier relatifn

1pourra alors être tout

simplement noté n.

4.4 La multiplication dans Q

4.4.1 Définition de la multiplication dans Q

La multiplication dans Q

Définition 4.4. On définit l’opération × suivante : ∀ (q, q′) ∈ Q2, q = a

bet q′ =

a′

b′, b = 0, b′ = 0

a

b× a′

b′=

aa′

bb′

Remarque : La multiplication ainsi définie est une opération interne,

{b = 0b′ = 0 ⇒ bb′ = 0


4.4.2 Propriétés de la multiplication dans Q

Immersion de (N,×) dans (Z,×)

Il s’agit de démontrer que la multiplication de deux éléments de Z est égale à la multiplication des deux rationnelsauxquels ils sont égaux.

En effet,n

1× n′

1=

nn′

1× 1 doncn

1× n′

1=

nn′

1qui est bien l’entier nn′

Associativité de la multiplication dans Q

Théorème 4.7. La multiplication dans Q est associative

Démonstration

Conséquence immédiate de l’associativité de × dans Z.

En effet ∀ (a; a′; a”) ∈ Z3,∀ (b; b′; b”) ∈ Z∗3, ab

(a′

b′× a”

b”

)=

a

b× a′a”

b′b”

=a (a′a”)

b (b′b”)

=(aa′) a”

(bb′) b”

=aa′

bb′× a”

b”

=

(a

b

a′

b′

)× a”

b”

Commutativité de la multiplication dans Q

Théorème 4.8. La multiplication dans Q est commutative

Démonstration

Montrons, que ∀ (a; a′) ∈ Z2,∀ (b; b′) ∈ Z∗2, ab× a′

b′=

a′

b′× a

b

a

b× a′

b′=

aa′

bb′

=a′a

b′b, la multiplication étant commutative dans Z

=a′

b′× a

b


La multiplication dans Q admet un élément neutre

Théorème 4.9. La multiplication dans Q admet un élément neutre :1

1noté 1.

Démonstration

∀ (a; b) ∈ Z× Z∗, a

b× 11=

a

bet bien sur, d’après la commutativité de × dans Q,

1

1× a

b=

a

b

Distributivité de la multiplication sur l’addition dans Q

Théorème 4.10. Dans Q, la multiplication est distributive sur l’addition

Démonstration

Montrons que ∀ (a; a′; a”) ∈ Z3,∀ (b; b′; b”) ∈ Z∗3, ab

(a′

b′+

a”

b”

)=

a

b× a′

b′+

a

b× a”

b”

a

b

(a′

b′+

a”

b”

)=

a

b× a′b” + a”b′

b′b”

=a (a′b” + a”b′)

bb′b”

=aa′b” + aa”b′

bb′b”(distributivité dans Z)

D’autre parta

b× a′

b′+

a

b× a”

b”=

aa′

bb′+

aa”

bb”

=aa′bb” + aa”bb′

bb′bb”

=b (aa′b” + aa”b′)

b (b′bb”)( distributivité et associativité dans Z )

=aa′b” + aa”b′

b′bb”( simplification par b = 0 )

Notation définitive de l’opposé d’un nombre

On décide d’appeler −1 le nombre−11

Il suffit alors de remarquer que opp(ab

)=−a

bet que (−1)× a

b=−a

bpour pouvoir écrire que opp(

a

b) = (−1)× a

b

Et de prendre pour notation définitive que ∀q ∈ Q, −q pour opp(q).


Régularité de la multiplication dans Q

Théorème 4.11. La multiplication est régulière dans Q∗, c’est à dire que ∀ (q; q′) ∈ Q2,∀q” ∈ Q∗, q = q′ ⇔ qq” = q′q”On remarquera que la condition nécessaire est vraie même pour q” = 0.

Démonstration

Posons q =a

b, q′ =

a′

b′, q” =

a”

b”avec b = 0, b′ = 0, b” = 0 et a” = 0

qq” = q′q”⇔ aa”

bb”=

a′a”

b′b”

⇔ aa”b′b” = a′a”bb”

⇔ ab′ = a′b en simplifiant par a”b” non nul puisque a” = 0 et b” = 0.

Proposition 4.3. Multiplication membre à membre : ∀ (a, b, c, d) ∈ Q4,{

a = bc = d

⇒ ac = bd

En utilisant deux fois la régularité de × :

{a = bc = d

⇒{

ac = bccb = db

⇒ ac = bd

Le produit de deux rationnels est nul si et seulement si l’un des deux est nul

Théorème 4.12. C’est à dire ∀ (q; q′) ∈ Q2 , qq′ = 0⇔ q = 0 ou q′ = 0

Démonstration

Posons q =a

bet q′ =

a′

b′. Alors qq′ =

aa′

bb′

Donc qq′ = 0⇔ aa′

bb′= 0

⇔ aa′ = 0

⇔ a = 0 ou a′ = 0 (propriété de N : théorème 2.12)


4.5 Ordre dans Q

4.5.1 Les sous-ensembles Q+ et Q−

Les sous-ensembles Q+ et Q−

Définition 4.5. On convient de noter Q+ ={a

b∈ Q / ab ≥ 0

}et Q− =

{a

b∈ Q / ab ≤ 0

}

On notera aussi Q+∗ = Q+ −{0

1

}et Q−∗ = Q− −

{0

1

}

Proposition 4.4. Q+ ∩Q− ={0

1

}ou encore en utilisant la notation 0 =

0

1, Q+ ∩Q− = {0}

Démonstration

On peut d’ores et déjà remarquer que 0 ∈ Q+ et 0 ∈ Q− donc 0 ∈ Q+ ∩Q−

∀ (a; b) ∈ Z× Z∗, ab∈ Q+ ∩Q− ⇔

{ab ≤ 0ab ≥ 0

Or la relation ≤ étant antisymétrique dans Z,

{ab ≤ 0ab ≥ 0 ⇒ ab = 0.

Or b étant non nul, ab = 0⇔ a = 0.

Ainsia

b∈ Q+ ∩Q− ⇔ a = 0

⇔ a

b= 0

Proposition 4.5. ∀ (a; b) ∈ Z× Z∗, ab∈ Q+ ⇒−a

b∈ Q−

Démonstration

On a démontré que dans Z , r ≥ 0⇔−r ≤ 0

dès lors,a

b∈ Q+ ⇔ ab ≥ 0

⇔−ab ≤ 0

⇔ −a

b≤ 0

⇔−a

b≤ 0

⇔−a

b∈ Q−


Proposition 4.6. On démontre facilement que ∀ (q; q′) ∈ Q,{

q ∈ Q+q′ ∈ Q+ ⇒ q + q′ ∈ Q+

Démonstration

Soit q =a

bet q′ =

a′

b′avec bb′ = 0

{q ∈ Q+q′ ∈ Q+ ⇒

{ab ≥ 0a′b′ ≥ 0

Procédons par disjonction des cas en envisageant le cas où a et a′ sont tous deux positifs, puis le cas où ils sont designes contraires puis le cas où ils sont tous deux négatifs.

⋆ Soit a ≥ 0 et a′ ≥ 0

mais alors a′b′ ≥ 0⇒ b′ ≥ 0 et ab ≥ 0⇒ b ≥ 0

ab′ + a′b ≥ 0 et bb′ ≥ 0 donc (ab′ + a′b)× bb′ ≥ 0⇒ ab′ + a′b

bb′∈ Q+

C’est à dire q + q′ ∈ Q+

⋆ Soit a ≥ 0 et a′ ≤ 0

mais alors a′b′ ≥ 0⇒ b′ ≤ 0 et ab ≥ 0⇒ b ≥ 0

ab′ + a′b ≤ 0 et bb′ ≤ 0 donc (ab′ + a′b)× bb′ ≥ 0⇒ ab′ + a′b

bb′∈ Q+


⋆ Soit a ≤ 0 et a′ ≥ 0 se ramène au cas précédent.

⋆ Soit a ≤ 0 et a′ ≤ 0

mais alors a′b′ ≥ 0⇒ b′ ≤ 0 et ab ≥ 0⇒ b ≤ 0

ab′ + a′b ≥ 0 et bb′ ≥ 0 donc (ab′ + a′b)× bb′ ≥ 0⇒ ab′ + a′b

bb′∈ Q+


D’où le résultat par disjonction des cas.


On pourra redémontrer les règles des signes habituelles.

Relation d’ordre fondamentale

Définition 4.6. On définit alors la relation ≤ dans Q par : ∀ (q; q′) ∈ Q2, q ≤ q′ ⇔ q′ − q ∈ Q+

ou encorea

b≤ a′

b′⇔ a′

b′− a

b∈ Q+

Il s’agit bien d’une relation d’ordre

Théorème 4.1. La relation ≤ ainsi définie est une relation d’ordre

Démonstration

On va donc démontrer sa réflexivité, son antisymétrie et sa transitivité.

Réflexivité : 0 ∈ Q+ ⇒ donca

b− a

b∈ Q+ donc

a

b≤ a

b.

Antisymétrie : ∀ (a; a′) ∈ Z2, ∀ (b; b′) ∈ Z∗2,

a

b≤ a′

b′a′

b′≤ a

b

⇔

a′

b′− a

b∈ Q+

a

b− a′

b′∈ Q+

⇔

a′

b′− a

b∈ Q+

a′

b′− a

b∈ Q−

(Propriété 4.2.)

⇔ a′

b′− a

b= 0 (Propriété 4.1.)

⇔ a′

b′=

a

b

Transitivité : ∀ (a;a′; a”) ∈ Z3, ∀ (b; b′; b”) ∈ Z∗3,

a

b≤ a′

b′a′

b′≤ a”

b”

⇔

a′

b′− a

b∈ Q+

a”

b”− a′

b′∈ Q+

D’après la propriété 4.3. on a donca′

b′− a

b+

a”

b”− a′

b′∈ Q+

Ainsi

a

b≤ a′

b′a′

b′≤ a”

b”

⇒ a”

b”− a

b∈ Q+ donc

a

b≤ a”

b”d’où la transitivité annoncée.

4.6 Immersion de Z dans Q

On a déjà montré que Z est inclus dans Q, mais on ne parlera d’immersion que lorsqu’on aura vérifié que :

La somme de deux entiers naturels est la même que la somme des deux relatifs auxquels ils sont égaux

Le produit de deux entiers naturels est le même que le produit des deux relatifs auxquels ils sont égaux

Deux entiers naturels et les deux relatifs auxquels ils sont égaux sont rangés dans le même ordre.


4.6.1 Immersion de (Z,+) dans (Q,+)

On a déjà immergé Z dans Q. Montrons maintenant que l’addition de deux entiers relatifs est la même que ceux-cisoient considérés comme des éléments de Z ou de Q.

En effet, ∀ (n, n′) ∈ Z, n1+

n′

1=

n+ n′

1d’après la définition de + dans Q.

Orn

1désigne l’entier naturel n ,

n′

1l’entier naturel n′, et

n+ n′

1l’entier naturel n+n′. L’addition des entiers relatifs

donne bien le même résultat que l’addition des rationnels correspondants.

D’où la compatibilité recherchée et l’immersion de (Z,+) dans (Q,+)

Remarque : avec la fonction ϕ définie ci-dessus et qui nous avait permis d’identifier n àn

1, on écrirait tout simplement

ϕ(n+ n′) = ϕ (n) + ϕ (n′)

4.6.2 Immersion de (Z,×) dans (Q,×)

Montrons donc que la multiplication de deux entiers relatifs est la même que ceux-ci soient considérés comme deséléments de Z ou de Q.

En effet, ∀ (n, n′) ∈ Z, n1× n′

1=

nn′

1d’après la définition de × dans Q.

n

1désignant l’entier relatif n,

n′

1l’entier relatif n′,

nn′

1l’entier relatif nn′ on a bien le résultat désiré.

4.6.3 Immersion de (Z,≤) dans (Q,≤)

Il suffit maintenant de démontrer la compatibiité de l’ordre défini dans Q avec celui déjà existant dans Z.

En d’autres termes, il faut prouver, que deux entiers relatifs sont rangés dans le même ordre qu’ils soient considéréscomme éléments de Z ou de Q.

Ainsi, démontrons que ∀ (n, n′) ∈ Z2, n1≤ n′

1⇔ n ≤ n′

Démonstration

En effet,n

1≤ n′

1⇔ n′

1− n

1∈ Q+

⇔ n′ − n

1∈ Q+

⇔ n′ − n ≥ 0

⇔ n ≤ n′

Chapitre 5

La construction de l’ensemble des nombresréels R

5.1 Introduction

Dès le collège, on apprend à manipuler les racines carrées, en particulier en relation avec le théorème de Pythagore.Le lycée fait ensuite la part belle aux études de fonctions définies sur R éludant la réalité d’un nombre réel pour n’enconserver que l’aspect purement intuitif. Il peut alors sembler curieux d’apprendre ce qu’est une fonction continue, qui,dans l’esprit possède une courbe "traçable" sans lever le crayon.sans se poser la question de la continuité de l’ensemble dedépart qu’est R.La continuité d’une fonction suppose que sur un intervalle donné, la courbe ne possède pas de trou,.maissi c’était l’intervalle de départ qui possèdait des trous ? ? ? Il en serait sans doute de même de la courbe. Si on traçe unecourbe dont l’ensemble de départ est une partie de Q, la notion de continuité n’a aucun sens.

Cette démarche fut similaire dans l’histoire de math, c’est à dire que l’idée de continuité de R a de loin précédé saconstruction rigoureuse. Un des premiers problèmes qui se posèrent aux mathématiciens grecs fut de construire, à partird’un carré, un carré d’aire double. Quelle doit être la longueur du côté de ce nouveau carré ?

Les mathématiciens de l’antiquité, qui attendaient bien évidemment un résultat numérique sous forme décimale s’aper-çurent, mais après de longues recherches, que le problème n’avait pas de solution. On pouvait certes construire ce carréen utilisant la diagonale du premier, mais cela ne répondait pas à la question numérique ; et pour cause, il n’y a pas,et vous le savez bien, de solution, puisque

√2 n’est pas un nombre rationnel. Nous en devons la démonstration, donnée

ci-dessous, aux Pythagoriciens (VIeme siècle avant Jésus-Christ).

5.1.1 Irrationnalité de√2

Il s’agit de démontrer qu’il n’existe aucun nombre rationnel q tel que q2 = 2.

Lemme 5.1. Nous aurons besoin de la proprité suivante :

pour tout entier naturel n, n2 est pair si et seulement si n l’est.

∀n ∈ N, n2 pair ⇔ n pair.

Condition nécessaire : Procédons par contraposition en supposant n impair.

Il existe donc un entier k tel que n = 2k + 1

n = 2k + 1⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1

⇒ n2 = 2(2k2 + 2k

)+ 1. Ainsi, il existe k′ entier tel que n2 = 2k′ + 1 avec ( k′ = 2k2 + 2k qui est entier)

On a donc démontré que n impair ⇒ n2 impair qui prouve par contraposition que n2 pair ⇒ n pair.

1

CHAPITRE 5. LA CONSTRUCTION DE L’ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS R 2

Condition suffisante : n pair ⇒ n = 2k donc n2 = 2× 2k2 avec 2k2 entier. donc n2 est pair aussi.

Démonstration

Démontrons maintenant la propriété proprement dite, et supposons qu’il existe un tel rationnel et quea

bsoit son

représentant irréductible.

On a donc(ab

)2= 2 avec a et b premiers entre eux, c’est à dire ne possédant pas de diviseur commun autre que 1.

Retenons en particulier, car ce sera la clé de la démonstration qu’ils ne peuvent pas être pairs tous les deux.

(ab

)2= 2⇒ a2 = 2b2 qui est un nombre pair. D’après le lemme ci-dessus, a est donc pair.

Ainsi, a = 2k et donc(ab

)2= 2⇒ 4k2

b2= 2 donc 2b2 = 4k2.

On en déduit évidemment que b2 = 2k2 qui est pair et donc que b est pair d’après le lemme.

La contradiction apparaît alors facilement puisque a et b étant tous deux pairs,a

bn’est pas irréductible.

5.1.2 L’idée de Dedekind

Dedekind, mathématicien allemand né en 1831 et mort en 1916, utilisa la représentation des nombres sur une droite,la droite numérique à laquelle nous sommes maintenant habitués, pour visualiser les nombres qu’il connaissait à l’époque :les entiers et les rationnels. Il remarqua en particulier, que, aucun rationnel n’ayant 2 pour carré, si on représente lesrationnels sur cette droite, on aura forcément un petit trou à l’endroit de

√2 (attention cette notation n’existe pas encore).

Et, p et q étant deux rationnels encadrant cette valeur, même si Q est dense, c’est à dire qu’on peut placer une infinitéde rationnels entre p et q, aucun ne viendra "boucher exactement" le trou en

√2.

C’est ce besoin de continuité qui l’amena à concevoir le nombre réel ; mais comment le définir exactement et surtoutrigoureusement ?

5.1.3 Les coupures de Dedekind

Dedekind eut alors l’idée d’appeler coupure (nous en verrons une définition rigoureuse et plus générale ultérieurement),l’ensemble de rationnels défini par exemple par : S√2 =

{x ∈ Q+, x2 < 2

}∪Q− Remarquons tout de même que les réels

n’étant pas encore définis, cette notation√2 n’a aucun sens et S√2 est en fait un anachronisme. De plus, toujours en

utilisant un vocabulaire encore interdit (car utilisant des concepts non encore définis) S√2 est l’ensemble des rationnels

contenus dans l’intervalle]−∞;

√2[). On conçoit que cette coupure définit le nombre

√2 bien que celui-ci n’appartienne

pas à la coupure. On aurait envie de dire qu’il en est la borne supérieure, mais là encore, cela suppose le nombre réeldéfini. On montrera même que cette coupure définit d’une manière bijective ce nombre, c’est à dire qu’à

√2 correspond

la coupure S√2 et qu’à S√2 correspond le réel√2. C’est cette correspondance bijective qui permettra de donner comme

définition de√2, la coupure S√2, . Un réel (irrationnel ici) est défini comme un ensemble infini de rationnels. C’est certes

un peu abstrait, mais seule l’efficacité compte, et ici, elle est grande.

Ce n’est pas la première fois qu’une correspondance bijective permet d’assimiler des objets d’essences différentes. Parexemple le point se confond avec son couple de coordonnées cartésiennes, le complexe avec son couple partie réelle, partieimaginaire, mais aussi avec le couple module argument (modulo 2π). Dans Q, on confond aussi le rationnel p

qavec le

couple (p, q) . Bref, ici, on confondra√2 et S√2.

Mais Dédekind eut aussi l’idée de coupures plus simples ; par exmple, r érant un rationnel quelconque, on peut définirla coupure Sr = {x ∈ Q, x < r} . De la même manière que S√2 permettait de définit

√2, Sr permettra de définir r. On

voit donc que les coupures permettront aussi de redéfinir les rationnels en tant que réels.


Il est important de bien remarquer dès maintenant que la coupure S√2, ensemble de rationnels, ne possède pas de plusgrand élément, ni de borne supérieure dans Q. La coupure Sr , elle, ne possède pas de plus grand élément mais possèdeune borne supérieure dans Q.

Cette non existence de plus grand élément sera en effet une des propriétés qui permettront de définir les coupures.

5.1.4 Quelques propriétés de S√2

Proposition 5.1. S√2 ={x ∈ Q+, x2 < 2

}∪Q−, ne possède pas de plus grand élément.

Démonstration

Par l’absurde ; Soit M le plus grand élément de S√2. On a alors M ∈ Q et M2 < 2

On a de plus M > 0 (car 0 ∈ S√2 et M étant le plus grand élément de S√2,M > 0)

Posons a =M(M2+6)3M2+2 et montrons que a ∈ S√2 et a > M.

En effet, a−M =M(M2+6)3M2+2 −M =

2M(2−M2)3M2+2 . Or M2 < 2⇒ a−M > 0 donc a > M.

De plus, a2 − 2 =(M(M2+6)3M2+2

)2− 2 = M6−6M4+12M2−8

(3M2+2)2=(M2−2)3

(3M2+2)2

Or M2 < 2⇒ a2 − 2 < 0 donc a ∈ S√2.

a ∈ S√2 et a > M contredit l’hypothèse : M est le plus grand élément de S√2.

Proposition 5.2. S√2 ={x ∈ Q+, x2 < 2

}∪Q−, ne possède pas de borne supérieure dans Q

La proposition énoncée ci-dessus est fondamentale, même si sa démonstration présente peu d’intérêt. Elle prouve eneffet qu’un ensemble de rationnel, non vide et majoré peut n’avoir pas de borne supérieure ; c’est dans l’esprit à causede cette lacune que Q présente des discontinuités. Nous verrons par contre que dans R, toute partie non vide et majoréepossède une borne sup. En ce qui concerne S√2, considéré cette fois comme un ensemble de réels (et non plus de rationnels),

on démontrera qu’il admet une borne supérieure dans R. Celle-ci est√2 vous l’aviez compris.

Démonstration

Rappelons que la borne supérieure d’un ensemble est le plus petit des majorants de l’ensemble. S√2 n’ayant pas de plusgrand élément, le plus petit majorant, s’il existe et est rationnel, ne peut pas appartenir à S√2. C’est donc forcémentun rationnel positif dont le carré est supérieur ou égal à 2. L’idée de la démonstration est alors de montrer dans unpremier temps que tous les rationnels positifs dont le carré est supérieur ou égal à 2 sont des majorants de S√2 ; on

dirait aujourd’hui :

x2 ≥ 2x > 0x ∈ Q

⇒ x >√2 .

Puis on procèdera par l’absurde en supposant que y0 est la borne supérieure rationnelle de S√2 et on montrera qu’ilexiste un rationnel y positif, dont le carré est supérieur à 2 (c’est donc un majorant de S√2), et inférieur à y0. Celacontredit évidemment l’hypothèse y0 borne supérieure de S√2.

⋆ Montrons donc que tous les rationnels positifs dont le carré est supérieur ou égal à 2 sont des majorants de S√2.

En effet, soit y un tel nombre, c’est à dire

{y > 0y2 ≥ 2 , alors pour tout x de S√2,

{x2 < 2y2 ≥ 2 ⇒ x2 < y2

Or y > 0 ; on a donc ◦ soit x < 0 et donc forcément x < 0 < y donc x < y


◦ soit x > 0 et alors x2 < y2 ⇒ x < y (propriété de Q)

Dans tous les cas, donc pour tout x de S√2 on a y > x. Donc y majore S√2.

⋆ Supposons maintenant que le rationnel y0 soit la borne supérieure de S√2.On sait qu’alors y0 ∈ Q et y20 ≥ 2. On a

même y20 > 2(car aucun rationnel n’a 2 pour carré) et y0 > 0.

Soit y un autre majorant rationnel de S√2. Montrons qu’on peut trouver 0 < y < y0, c’est à dire a ∈ Q+∗ tel que

y = y0 − a. qui majore encore S√2. Pour cela, trouvons un a tel que : (y0 − a)2> 2 avec y0 − a > 0⇒ a < y0.

En effet, (y0 − a)2> 2⇔ y20 − 2ay0 + a2 > 2

⇔ 2ay0 < y20 − 2 + a2

Si on choisit a tel que 2ay0 < y20 − 2, on a y20 − 2ay0 − 2 > 0⇒ y20 − 2ay0 − 2 + a2 > a2

⇒ (y0 − a)2 > a2 + 2 donc (y0 − a)2 > 2

Ainsi, en choisissant 0 < a <y20 − 22y0

on est assuré que (y0 − a)2> 2 ( on pourra vérifier qu’on a alors y = y0− a > 0)

Cette condition suffisante étant remplie on a alors

{y2 > 2y > 0

, donc y majore S√2.

Comme de plus

{y = y0 − aa > 0

⇒ y < y0, y0 n’est plus la borne supérieure de S√2 ce qui contredit l’hypothèse.

Il reste à justifier que ce choix de a ∈]0;

y20 − 22y0

[est possible par la densité de Q.

5.2 Définition des nombres réels

5.2.1 Les données du problème

(Q,+) est un groupe commutatif (c’est à dire que l’addition dans Q est associative, commutative, admet un élémentneutre 0 et que tout rationnel admet un symétrique dans Q ). De plus, Q est totalement ordonné par ≤, et dense, c’est àdire qu’entre deux rationnels, on peut toujours en placer un troisième (donc de proche en proche une infinité).

Mais, toute partie majorée de Q n’admet pas forcément une borne supérieure ( S√2 par exemple) . On va donc créerR pour remédier à cela. On dira alors que (R,+) est un groupe parfait.

5.2.2 Sections de Q

Les coupures de Dedekind sont volontiers appelées aujourd’hui des sections.

On appelle section de Q toute partie S de Q possédant les propriétés suivantes :

1. S = ∅ et S = Q (on dit que S est une partie propre de Q)

2. ∀ (x, y) ∈ Q2,{

x ∈ Sy ≤ x

⇒ y ∈ S (notons qu’il s’agit ici de l’ordre défini sur Q)

3. S n’a pas de plus grand élément.

On retrouve ainsi clairement les propriétés vue ci-dessus au cours de la présentation des coupures de Dedekind.

On peut ainsi montrer facilement que S√2 est une section.(les deux premiers points sont faciles, le troisième a déjàété démontré).


Exemple 5.1. Pour tout rationnel r, Sr = {x ∈ Q, x < r} est une section

Démonstration

1. r − 1 ∈ Sr ⇒ Sr = ∅ et r + 1 > r ⇒ r + 1 /∈ Sr donc Sr = Q

2. ∀ (x, y) ∈ Q2,{

x ∈ Sr ⇒ x < ry ≤ x

⇒ y < r ⇒ y ∈ Sr (transitivité de ≤ dans Q)

3. Par l’absurde, soit M le plus grand élément de Sr :

{M < rM ∈ Q ;∃M ′ ∈ Q , M < M ′ < r (densité de Q)

Ce qui contredit l’hypothèse M est plus grand élément de Sr

Toute section est strictement majorée

Théorème 5.1. Un rationnel qui n’appartient pas à une section majore strictement cette section ; une section étantdifférente de Q, un tel majorant existe, et toute section est donc strictement majoréeSoit S une section de Q. ∀x ∈ Q, x /∈ S ⇒ ∀y ∈ S, x > y.

Démonstration

Soit S une section de Q .

∀x ∈ Q, mais x /∈ S. Supposons qu’il existe un y de S tel que x ≤ y, d’après le second point de définition d’une section,on a alors x ∈ S, ce qui contredit l’hypothèse.

5.2.3 Définition de l’ensemble R des nombres réels

On appelle ensemble des nombres réels noté R, l’ensemble des sections de Q. Un nombre réel apparaît donc comme unensemble infini de rationnels (même si le cerveau n’en retient que la borne supérieure). Cette définition d’un réel commeun ensemble permettra de manipuler le nombre réel avec des outils préexistants, ceux de la théorie de ensembles.

5.2.4 Immersion de Q dans R

Il s’agit en fait de montrer que tout rationnel est aussi un réel .

On va établir une bijection entre l’ensemble∑

des sections de type Sr et Q. On pourra alors alors identifier chaquesection de type Sr à un rationnel.

Soit la fonction φ : Q −→∑

r �−→ Sr

Pour toute section Sr il existe un rationnel unique r tel que φ (r) = Sr

L’existence est assuré par la définition de Sr = {x ∈ Q : x < r} qui impose l’existence de r.

Pour l’unicité supposons l’existence de deux rationnels r et r′différents, tels que par exemple :

r < r′ et tels que φ (r) = φ (r′) .

D′après la densité de Q, il existe un rationnel x tel que r < x < r′. Mais alors x < r′ ⇒ x ∈ Sr′ et r < x⇒ x /∈ Sr,d’après le théorème 5.1.

On a donc x ∈ φ (r) et x /∈ φ (r′) donc φ (r) = φ (r′) ce qui contredit l’hypothèse.

D’où l’unicité de r et la bijectivité de la fonction φ. On peut donc identifier r et Sr et considérer qu’un rationnel estun réel. On dit qu’on a plongé Q dans R ou qu’on a immergé Q dans R


5.2.5 Ordre total sur R

Les nombres réels étant des ensembles, on va définir une relation d’ordre naturelle sur les ensembles : l’inclusion.

Lemme 5.2. ⊂ est une relation d’ordre. Mais l’ordre n’est en général pas total.

Démonstration

Rappelons que A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B

· Réflexivité : ∀x ∈ A, x ∈ A⇒ A ⊂ A

· Antisymétrie :

{A ⊂ BB ⊂ A

⇒ A = B. C’est la défintion même de l’égalité entre deux ensembles.

A = B si et seulement si tout élément de A est élément de B (donc A ⊂ B) et réciproquement (donc B ⊂ A)

· Transitivité :

{A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ BB ⊂ C ⇔ ∀x ∈ B,x ∈ C

⇒ ∀x ∈ A, x ∈ B donc x ∈ C et A ⊂ C.

Mais cet ordre n’est pas total. {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} mais {1, 2, 8} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} est faux

de même que {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ {1, 2, 8} est une assertion fausse aussi.

Tous les ensembles ne peuvent donc pas être comparés à l’aide de l’inclusion qui n’est qu’un ordre partiel.

Une relation fondamentale

Définition 5.1. S1 et S2 étant deux réels quelconques (sections de Q), S1 ≤ S2 ⇔ S1 ⊂ S2.On notera S1 < S2 ⇔ S1 � S2 (le signe � se lisant inclus au sens strict, donc inclus mais non égal).

Cette relation est une relation d’ordre total

Théorème 5.2. ≤ est alors une relation d’ordre total sur R.

Démonstration

≤ hérite naturellement des propriétés de réflexivité, d’antisymétrie et de transitivité de l’inclusion. Elle constitue doncune relation d’ordre sur R.

Par contre l’ordre qui est partiel dans le cas général devient total sur R, c’est à dire quand il s’agit de sections de Q.

Il s’agit de démontrer que S1 = S2 ⇒ S1 ⊂ S2 ou S2 ⊂ S1

En effet, S1 = S2 ⇒ ∃x1 ∈ Q,

{x1 ∈ S1x1 /∈ S2

ou ∃x1 ∈ Q,

{x1 ∈ S2x1 /∈ S1

. Ces deux cas sont identiques, seul le premier sera

traité.

x1 /∈ S2 donc x1 majore strictement S2 d’où : ∀x2 ∈ S2, x2 < x1

Donc ∀x2 ∈ S2,

{x2 < x1x1 ∈ S1

⇒ x2 ∈ S1 et donc S2 ⊂ S1.

Le second cas non traité aurait amené S1 ⊂ S2.On a donc bien S1 = S2 ⇒ S1 ⊂ S2 ou S2 ⊂ S1


L’ordre ainsi défini correspond-il à l’ordre intuitif entre les nombres ? Si on trace la droite numérique et qu’on considèreles sections comme des demi-droites infinies "vers la gauche", le nombre réel est alors l’extrémité (non incluse) droite.On a bien cette notion d’inclusion pour les demi-droites qui correspond à l’odre naturel concernant les nombres qu’ellesdéfinissent.

Densité de (R,≤)

Théorème 5.3. (R,≤) est dense ce qui signifie que ∀ (S, S′) ∈ R tels que S < S′,∃S” ∈ R : S < S” < S′

entre deux réels distincts on peut en "placer" un troisième.

Démonstration

S < S′ ⇒ S � S′ .

⇒ ∃r ∈ Q,

{r ∈ S′

r /∈ S

Mais r n’est pas le plus grand élément de S′ (qui n’en possède pas) donc

∃r′ ∈ S′, r < r′ ⇒ Sr ⊂ Sr′(facile à établir) donc Sr < Sr′ remarquons que dans r < r′ il s’agit de l’ordre dans Q alorsque dans Sr < Sr′ il s’agit de l’ordre dans R.

L’ordre étant total dans R, Sr′ et S′ sont comparables or

{r′ /∈ Sr′r′ ∈ S′

donc Sr′ ⊂ S′ ⇒ Sr′ < S′

De plus ∀x ∈ S, r /∈ S ⇒ r > x

Donc ∀x ∈ S, x ∈ Sr ⇒ S ⊂ Sr donc S ≤ Sr

Donc en récapitulant, S ≤ Sr < Sr′ < S′ c’est à dire, en posant S” = Sr′ :

∀ (S, S′) ∈ R, S < S′ ⇒ ∃S” ∈ R : S < S” < S′ d’où la densité de R.

5.2.6 Densité de Q dans R

Densité de Q dans R

Théorème 5.4. Q est dense dans R, c’est à dire qu’entre deux réels quelconques existe toujours un rationnel.

Démonstration

Soit S et S′ deux réels quelconques distincts et supposons S < S′ c’est à dire S � S′. On est donc assuré de l’existenced’un rationnel x′ appartenant à S′ mais pas à S.

On a presque déjà le résultat car on va facilement établir que S ≤ Sx′ < S′. L’inégalité au sens large étant gênante,on est amené à considérer un z′ de S′ tel que x′ < z′ et à montrer que S < Sz′ < S′


Ainsi, S < S′ ⇒ ∃x′ ∈ S′, x′ /∈ S. (donc x′ majore strictement S)

Mais S′ n’a pas de plus grand élément ; ainsi, ∃z′ ∈ S′, x′ < z′.

Mais, ∀x ∈ S, x′ /∈ S ⇒ x < x′ < z′.

⋆ Ainsi, ∀u ∈ Sx′ , u < x′ ⇒ u < z′ ⇒ u ∈ Sz′ qui prouve que Sx′ ⊂ Sz′ ou encore Sx′ ≤ Sz′ .

Mais comme de plus,

{x′ ∈ Sz′x′ /∈ Sx′

⇒ Sx′ = Sz′ donc d’après ce qui précède Sx′ < Sz′

⋆ De plus, ∀v ∈ Sz′ , v < z′. Comme z′ ∈ S′ qui est une section de Q,

{v < z′

z′ ∈ S′⇒ v ∈ S′.

On en déduit évidemment que Sz′ ≤ S′, mais comme précédemment,

{z′ ∈ S′

z′ /∈ Sz′⇒ Sz′ = S′ donc Sz′ < S′

⋆ Enfin, ∀x ∈ S, x < x′ ⇒ x ∈ Sx′ donc S ≤ Sx′ .

Les trois points qui précèdent prouvent que S ≤ sx′ < Sz′ < S′ donc S < Sz′ < S′.

On a bien intercalé un rationnel Sz′ entre les deux réels (distincts) quelconques S et S′.

5.2.7 Immersion de (Q,≤) dans (R,≤)

On a vu que tout rationnel est aussi un réel ; il reste à établir que l’ordre défini sur R, est compatible avec celui définisur Q.

Il suffit pour cela d’établir que r ≤ r′ ⇔ Sr ≤ Sr′ ,

La condition nécessaire est est facile puisque r ≤ r′ ⇒ ∀x < r, x < r′ donc ∀x ∈ Sr, x ∈ Sr′ c’est à dire Sr ≤ Sr′

Condition suffisante : Sr ≤ Sr′ ⇒ ∀x ∈ Sr, x ∈ Sr′ c’est à dire, ∀x < r, x < r′

Montrons par l’absurde qu’on a forcément r ≤ r′. Supposons en effet r > r′.

Q étant dense, ∃x ∈ Q : r′ < x < r⇒{

x ∈ Srx /∈ Sr′

qui contredit l’hypothèse Sr ⊂ Sr′

5.3 Deux théorèmes fondamentaux de l’ordre dans R

Propriété d’une partie non vide et majorée

Théorème 5.5. Toute partie non vide et majorée (resp : minorée) de R admet une borne supérieure (resp : inférieure)

Démonstration

Soit E un ensemble de réels non vide majoré, et A l’ensemble des rationnels qui ne majorent pas E.

On va montrer successivement que A est une section de Q (donc un réel), que A majore E et que c’est le plus petitde ses majorants. Ce sera donc sa borne supérieure

Remarque. Il n’y a aucune contradiction à ce que l’ensemble des rationnels ne majorant pas E (en considérant quechaque rationnel n’est pas un majorant de E) soit, en tant que section, donc de réel, un majorant de E (c’est à direque tous les éléments de E sont inférieurs à ce réel).

1. A = ∅.


En effet, E = ∅ ⇒ ∃S ∈ E, S est un réel, donc une section de Q. Il est non vide et n’admet pas de plus grandélément

Donc ∃x ∈ S qui n’étant pas son plus grand élément, ∃y ∈ S : x ≤ y avec y ∈ S ⇒ y ∈ E.

x ne majore donc pas S et appartient donc à A qui n’est pas vide.

2. A = Q

E étant majoré par S0 par exemple, S0 = Q⇒ ∃x /∈ S0 et x majore alors strictement S0.

Ainsi, ∀x0 ∈ S0, x > x0, x0 étant un majorant de E. On en déduit que x majore E donc x /∈ A.

3.

{x ∈ Ay ≤ x

⇒ y ∈ A

En effet, x ∈ A⇒ x ne majore pas E. Donc, il existe L appartenant à E tel que x ≤ L.

Or y ≤ x. On a donc y ≤ L et y ne majorant pas E appartient à A.

4. A ne possède pas de plus grand élément :

Supposons a ∈ A plus grand élément de A. Alors x ∈ A⇒ x ≤ a.

Mais a ∈ A⇒ a ne majore pas E donc ∃S ∈ E : a < S (avec S ∈ R)

C’est à dire ∃y ∈ S : a < y (avec y ∈ Q cette fois). On a donc x ≤ a < y

Mais a <a+ y

2< y avec a ∈ A et y ∈ E.

a étant le plus grand élément de A, a <a+ y

2⇒ a+ y

2/∈ A.

Pourtant

{ a+ y

2< y

y ∈ E⇒ a+ y

2ne majore pas E donc

a+ y

2∈ A. Contradiction.

A ce moment de la démonstration, on a établi que A est une section de Q, donc un réel.

5. A majore E

Par l’absurde : supposons qu’il existe x dans E tel que x > A. Rappelons que A ∈ R.

D’après la densité de Q dans R, ∃q ∈ Q : A < q < x

Or A < q ⇒ q /∈ A (puisque A est une section et d’après le théorème 5.1.) majore E.

Ainsi, q n′appartenant pas à A est un majorant de E, ce qui contredit l’hypothèse q < x avec x ∈ E.

6. A est le plus petit majorant de E

Par l’absurde encore ; supposons B majorant de E avec B < A.

Par densité de Q dans R,∃q ∈ Q : B < q < A

mais q < A⇒ q ∈ A, donc q ne majore pas E.

Il existe donc x dans E tel que q ≤ x. Or B < q entraîne B < x

Cela contredit l’hypothèse B majorant de E.

Remarques. On prouve ainsi que toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. On démontreraitsans difficulté que toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure dans R. Remarquons de plus que cespropriétés sont fausses dans Q comme il a déjà été vu ci-dessus.


Propriété carcatéristique de la borne supérieure

Théorème 5.6. Propriété caractéristique de la borne supérieure dans R

Soit X un ensemble de réels,M = Sup (X)⇔{∀x ∈ X,x ≤M∀ε > 0,∃x ∈ X,x > M − ε

Démonstration

Démontrons en deux étapes la condition nécessaire et la condition suffisante.

Condition nécessaire : M est un majorant de X, donc ∀x ∈ X,x ≤M

Mais c’est le plus petit, donc ∀ε > 0⇒M − ε < M ⇒M − ε ne majore plus X donc ∃x ∈ X,x > M − ε.

Condition suffisante : Montrons que

{∀x ∈ X,x ≤M∀ε > 0,∃x ∈ X,x > M − ε

⇒M = Sup (X)

∀x ∈ X,x ≤M ⇒M est un majorant de X.

Soit M ′ un autre majorant de X . Supposons M ′ < M.

Ainsi M ′ < M ⇒M −M ′ > 0. Posons ε =M −M ′ > 0.

La seconde condition indique alors que ∃x ∈ X,x > M − ε, donc x > M ′ ce qui contredit M ′ majorant de X.

On a donc démontré par l’absurde que tout autre majorant de X est supérieur ou égal à M qui est donc bornesupérieure de X.

Remarques. Cela se traduit en français par : M est supérieur à tous les éléments de X, mais si on retranche une quantitépositive, si petite soit elle à M, on pourra trouver un réel de X supérieur à cette valeur. Cette propriété associée àl’existence garantie d’une borne supérieure carctérise R et porte en elle la propriété sans doute la plus importante de R :la continuité.

5.4 L’addition dans R

5.4.1 Définition de la somme de deux réels

L’addition dans Q dans R

Définition 5.2. S1 et S2 étant des réels quelconques, on définit leurs somme S = S1 + S2 comme étant l’ensembledes rationnels pouvant s’écrire comme somme d’un rationnel appartenant à S1 et d’un rationnel appartenant à S2.C’est à dire :S = {x ∈ Q, x = x1 + x2 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2}

L’opération ainsi définie correspond-elle à l’addition naturelle de deux réels ? Si on ramène une section à sa bornesupérieure, comme cela semble intuitif depuis la définition des nombres réels, on comprend que l’ensemble S aura pourborne supérieure la somme des bornes sup de S1 et de S2.

L’addition de deux rationnels considérés comme réels donne-elle le même résultat que l’addition des deux mêmesrationnels condidérés comme éléments de Q ? Cette question essentielle au sens de la compatibilité et de la cohérence dupropos aura sa réponse dans quelques lignes.


Opération interne

Théorème 5.7. L’addition ainsi définie est une opération interne. C’est à dire que la somme de deux réels est unréel.

Démonstration

Il faut donc montrer que S est une réel, c’est à dire une section de Q.

⋆

{S1 ∈ R⇒ S1 = ∅ ⇒ ∃x1 ∈ S1S2 ∈ R⇒ S2 = ∅ ⇒ ∃x2 ∈ S2

⇒ ∃x ∈ Q : x = x1 + x2 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2 ⇒ x ∈ S et S = ∅

⋆

{S1 ∈ R⇒ S1 = Q⇒ ∃x1 ∈ Q et x1 /∈ S1S2 ∈ R⇒ S2 = Q⇒ ∃x2 ∈ Q et x2 /∈ S2

Considérons alors le réel x = x1 + x2. Se peut-il qu’il appartienne à S, c’est à dire qu’il s’écrive x = y1 + y2 avecy1 ∈ S1 et y2 ∈ S2

Procédons par l’absurde et posons x = y1 + y2 avec y1 ∈ S1 et y2 ∈ S2

Alors, x1 /∈ S1 ⇒ x1 > y1 (Théorème 5.1) et de même x2 > y2

On en déduit, l’addition dans Q conservant l’ordre, que x1 + x2 > y1 + y2, c’est à dire x > x. Contradiction.

Ainsi, x ∈ Q mais x /∈ S. Donc S = Q

⋆ Soit x ∈ S et x′ ∈ Q tel que x′ ≤ x, montrons que x′ ∈ S.

Alors, x = x1 + x2 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2 d’où x− x2 = x1 ∈ S1

Or x′ ≤ x⇒ x′ − x2 ≤ x− x2 ⇒ x′ − x2 ≤ x1 ⇒ x′ − x2 ∈ S1.

Alors x′ = (x′ − x2) + x2 avec x′ − x2 ∈ S1 et x2 ∈ S2 donc x′ ∈ S

⋆ Supposons que S admette un plus grand élément M.

Alors, M peut s’écrire M = x1 + x2 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2

Mais, S1 étant une section de Q, elle n’admet pas de plus grand élément.

Donc il existe X1 appartenant à S1 tel que X1 > x1 et de même X2 appartenant à S2 tel que X2 > x2.

Dès lors le rationnel X = X1 +X2 appartient à S et est strictement supérieur à M

Ce qui contredit l’hypothèse M plus grand élément de S.


Associativité et commutativité de l’addition dans R

Théorème 5.8. L’addition dans R est associative et commutative.

Démonstration

Ces propriétés sont directement héritées des mêmes propriétés de l’addition dans Q.

Par exemple, S1 + S2 = {x ∈ Q, x = x1 + x2 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2}


et S2 + S1 = {x ∈ Q, x = x2 + x1 avec x1 ∈ S1 et x2 ∈ S2}

Or, dans Q, x2 + x1 = x1 + x2 donc S1 + S2 = S2 + S1

L’addition dans R admet un élément neutre

Théorème 5.9. L’addition dans R, admet pour élément neutre S0 c’est à dire ∀S ∈ R, S + S0 = S0 + S = SOù S0 est défini par S0 = {x ∈ Q, x < 0} . (C’est le Sr avec r = 0 et c’est donc le zéro de Q).

Démonstration

Il faut montrer que S + S0 = S ; la commutativité de l’addition fera le reste.

On va donc établir que S + S0 ⊂ S et S ⊂ S + S0

⋆ ∀s ∈ S + S0,∃ (x, x0) ∈ S × S0 : s = x+ x0

Or x0 ∈ S0 ⇒ x0 < 0 donc x+ x0 < x⇒ s < x.

On a donc

{s < xx ∈ S

⇒ s ∈ S. Ainsi, ∀s ∈ S + S0, s ∈ S donc S + S0 ⊂ S

⋆ ∀s ∈ S, S n’a pas de plus grand élément, donc il existe x ∈ S tel que s < x

Donc s− x < 0, c’est à dire s− x ∈ S0.

On peut donc écrire, pour tout s de S, s = x+ (s− x) où s− x ∈ S0 et x ∈ S.

Donc ∀s ∈ S, s ∈ S + S0 d’ou S ⊂ S + S0

Régularité de l’addition dans R

Théorème 5.10. L’addition est régulière dans R, c’est à dire que :pour tous réels S, S′ et S”, S = S′ ⇔ S + S” = S′ + S”

Démonstration

Condition nécessaire : S = S′ ⇒ S + S” = S′ + S”

Démontrons la double inclusion : S = S′ donc ∀x ∈ S, x ∈ S′

∀x ∈ S + S”, x = s+ s” avec s ∈ S et s” ∈ S”. Mais s ∈ S ⇒ s ∈ S′ donc x ∈ S′ + S” et S + S” ⊂ S′ + S”

L’autre inclusion se démontre de la même manière et prouve alors l’égalité S + S” = S′ + S”.

Condition suffisante : S + S” = S′ + S”⇒ S = S′

Par l’absurde, supposons S > S′. Il existe donc s ∈ S tel que s /∈ S′.

Dès lors, ∀s” ∈ S”, s+ s” ∈ S + S”, mais s /∈ S′ et donc majore strictement S′.


Ainsi, ∀x ∈ S′, x < s⇒ x+ s” < s+ s” (relation d’ordre dans Q)

Donc s+ s” majore strictement S′ + S” et ne peut lui appartenir (car une section n’a pas de plus grand élément).

Ainsi s+ s” est un élément de S + S” qui n’appartient pas à S′ + S”. Contradiction de l’hypothèse.

5.4.3 Immersion de (Q,+) dans (R,+) .

Ce problème est celui de la compatibilité de l’addition définie dans R, avec celle déjà définie dans Q. On cherche donc àdémontrer que la somme de deux rationnels considérés comme tels est égale à la somme de ces deux rationnels considéréscomme des réels. On cherche donc à démontrer que Sr + Sr′ = Sr+r′ ou encore que φ(r) + φ(r′) = φ(r + r′).

Démonstration

Démontrons la double inclusion :

⋆Sr + Sr′ ⊂ Sr+r′

En effet, ∀x ∈ Sr + Sr′ , x = s+ s′ avec

{s ∈ Srs′ ∈ Sr′

⇒{

s < rs′ < r′

On en déduit que s+ s′ < r + r′ ⇒ x ∈ Sr+r′

⋆Sr+r′ ⊂ Sr + Sr′

∀x ∈ Sr+r′ , x < r + r′ ⇒ r + r′ − x > 0⇒ r + r′ − x

2> 0 donc −r + r′ − x

2< 0

On a donc

r − r + r′ − x

2< r

r′ − r + r′ − x

2< r′

⇒

r − r + r′ − x

2⊂ Sr

r′ − r + r′ − x

2⊂ Sr′

Or x = r − r + r′ − x

2+ r′ − r + r′ − x

2s’écrit donc comme somme d’un rationnel de Sr et d’un rationnel de Sr′ . On

en déduit donc que x ∈ Sr + Sr′

5.4.4 Opposé d’un nombre réel

Comment définir l’opposé d’un nombre réel ? Le premier cas facile est celui où le réel est rationnel, c’est à dire dansle cas d’une section du type Sr.

La compatibilité impose de poser −(Sr) = S−r.

Dans le cas d’un irrationnel, c’est à dire d’une section ne pouvant pas se mettre sous la forme Sr, un schéma permetde mieux comprendre :

-S

0

S

Les parties grisées (l’une infinie "vers la droite", l’autre "vers la gauche") sont symétriques par rapport à 0. Leséléments de −S correspondants par symétrie aux réels n’appartenant pas à S. On a donc envie de penser que −x ∈ −Ssi et seulement si x /∈ S.

Cette nouvelle définition ne convenant pas au cas d’une section de type Sr car r /∈ Sr donc −r devrait appartenir à−Sr c’est à dire à S−r, ce qui n’est pas le cas. On est donc obligé de conserver une définition en deux points :


Opposé d’un réel

Définition 5.3. L’opposé d’un nombre réel S est défini par :· Si S est de type Sr : −Sr = S−r· Si S n′est pas de type Sr : −S = {x ∈ Q : −x/∈ S}

On montre facilement que dans le second cas, −x ∈ S ⇒ x /∈ −S et x ∈ S ⇒−x /∈ −S

Il reste à prouver que l’ensemble ainsi défini est bien une section (donc un réel),

puis que S + (−S) = −S + S = S0 élément neutre de l’addition.


Théorème 5.11. L’opposé d’un nombre réel est un nombre réel

Démonstration

Déjà démontré dans le cas d’une section de type Sr puisque S−r est une section.

Dans l’autre cas : Soit S une section de Q qui n’est pas de type Sr.

⋆ S = Q⇒ ∃x∈ Q, x /∈ S. Mais x /∈ S ⇒−x ∈ −S ⇒−S = ∅

⋆ S = ∅ ⇒ ∃x∈S. Mais x ∈ S ⇒−x /∈ −S ⇒−S = Q

⋆

{x ∈ −Sy ≤ x

⇔{

−x /∈ S−x ≤ −y

⇔{−x est un majorant strict de S−y ≥ −x

⇒−y est un majorant strict de S

On a donc −y /∈ S et donc y ∈ −S.

⋆ Supposons que −S admette M pour plus grand élément. Montrons qu’alors −S = {x ∈ Q, x ≤M}

En effet, ∀x ∈ −S, x ≤M puisque M est le plus grand élément de −S

Réciproquement,

{x ≤MM ∈ −S

⇒ x ∈ −S d’après le point précédent.

Ainsi, x ∈ −S ⇔ x ≤M, d’où le résultat annoncé.

Or x ∈ −S ⇔−x /∈ S d’où −x /∈ S ⇔ x ≤M dont la négation est :

x > M ⇔−x ∈ S ou encore, −x ∈ S ⇔ x > M donc −x ∈ S ⇔−x < −M

Qui prouve que S est une section de type Sr et donc qui contredit l’hypothèse.


Théorème 5.12. Pour tout réel S, S + (−S) = −S + S = S0 élément neutre de l’addition.Tout nombre réel S admet un symétrique pour l’addition appelé opposé de S. C’est le réel −S

Démonstration

La commutativité de l’addition permet de ne démontrer qu’une seule égalité.

1. Cas d’une section de type Sr : Sr + (−Sr) ⊂ S0 (rappelons que −Sr = S−r).


⋆

{∀x ∈ Sr, x < r∀y ∈ −Sr, y < −r

⇒ x+ y < 0⇒ x+ y ∈ S0.

⋆ ∀x0 ∈ S0, x0 < 0⇒ x02 < 0

On a donc r + x02 < r ⇒ r + x0

2 ∈ Sr

−r + x02 < −r⇒ −r + x0

2 ∈ S−r

On a donc, ∀x0 ∈ S0, x0 =(r + x0

2

)+(−r + x0

2

)⇒ S0 ⊂ Sr + S−r

2. Cas d’une section qui n’est pas de type Sr.

⋆

{∀x ∈ S

∀y ∈ −S,−y /∈ S⇒−y > x⇒ x+ y < 0⇒ x+ y ∈ S0. Donc S + (−S) ⊂ S0

⋆ Pour montrer que S0 ⊂ S + (−S), nous aurons besoin du résultat suivant :

Lemme 5.3. ∀x0 ∈ S0,∃x ∈ S : x − x0 /∈ S. C’est à dire que pour tout x0 négatif, en s’approchant suffisamment dela borne supérieure de S, on est certain qu’en retranchant x0 < 0, on "tombera" à droite de la borne sup.

Démonstration

Par l’absurde supposons que ∀x ∈ S, x− x0 ∈ S

Alors, x− x0 ∈ S ⇒ x− x0 − x0 ∈ S et par récurrence, x− nx0 ∈ S pour tout n.

Or pour z /∈ S, soit n ≥ x− z

x0.

Alors, nx0 ≤ x− z (car x0 < 0)

Donc

{x− nx0 ≥ zz /∈ S (donc majore S)

⇒ x− nx0 /∈ S

D’où la contradiction

Dès lors la démonstration est très simple : ∀x0 ∈ S0,∃x ∈ S : x− x0 /∈ S ⇒ x0 − x ∈ −S

D’où x0 = (x0 − x) + x s’écrit comme somme d’un élément de S et d’un élément de −S

Ainsi, S0 ⊂ S + (−S) et la double inclusion démontrée prouve bien que S + (−S) = S0

Proposition 5.3. Un nombre est négatif ou nul si et seulement si son opposé est positif ou nul

Cette proposition s’écrit encore S ≤ 0⇔−S ≥ 0 ou en core S ≤ 0⇔ 0 ≤ −S

ou en termes d’inclusions : S ⊂ S0 ⇔ S0 ⊂ −S.

Démonstration

Condition nécessaire : S ⊂ S0 ⇒ S0 ⊂ −S

Suposons x0 ∈ S0 mais x0 /∈ −S.

Alors, x0 /∈ −S ⇒−x0 ∈ S. Or S ⊂ S0 donc −x0 ∈ S0.

Mais alors x0 ∈ S0 et −x0 ∈ S0 est contradictoire.

Condition suffisante : S0 ⊂ −S ⇒ S ⊂ S0


Suposons s ∈ S mais s /∈ S0 et rappelons que −S0 = S−0 donc −S0 = S0 (ou, dans Q : 0 = −0 ! ! ! !)

Alors,

{s ∈ Ss /∈ S0

⇒{−s /∈ −S−s ∈ −S0

⇒{−s /∈ −S−s ∈ S0

ce qui contredit l’hypothèse S0 ⊂ −S

Corollaire. ∀ (a; b) ∈ R2, a ≤ b⇔−b ≤ −a

En effet, ∀ (a; b) ∈ R2, a ≤ b⇔ a− b ≤ 0 en ajoutant −b à chaque membre.

⇔− (a− b) ≥ 0⇔ b− a ≥ 0 en remarquant que a− b+ b− a = 0 donc b− a = − (a− b)

⇔−a ≥ −b

⇔−b ≤ −a

5.4.5 L’ordre dans R est compatible avec l’addition

Compatibilité de la relation d’ordre avec l’addition dans R

Théorème 5.13. S et S′ étant deux réels quelconques, alors ∀X ∈ R, S +X ≤ S′ +X ⇔ S ≤ S′

Démonstration

Condition suffisante : S ≤ S′ ⇔ S ⊂ S′

⇔ ∀s ∈ S, s ∈ S′ dès lors, ∀y ∈ S +X,∃ (s, x) ∈ S ×X : y = s+ x

Mais appartient aussi à S′, donc y s’écrit comme somme d’un élément de S′ et d’un élément de X. Il appartient doncà S′ +X.

Ainsi S +X ⊂ S′ + x d’où S +X ≤ S′ + x

Condition nécessaire : Tout réel admet un opposé. Soit −X l’oposé de X.

D’après la conditon nécessaire ci-dessus, S +X ≤ S′ +X ⇒ S +X −X ≤ S′ +X −X

⇒ S ≤ S′

5.5 La multiplication dans R

5.5.1 Définition

Nul ne s’étonnera du fait que le produit de deux réels dépendra des signes de ceux-ci. Ainsi, sera d’abord défini leproduit de deux réels positifs. Les autres cas seront définis à partir de celui-ci.

Produit de deux réels positifs

Définition 5.4. Le produit de deux réels S et S′ positifs (c’est à dire S ≥ S0 et S′ ≥ S0) est défini par :S × S′ = {z ∈ Q : z = xx′ où x ∈ S ∩Q+∗ et x′ ∈ S′ ∩Q+∗} ∪Q−. noté aussi SS′


Remarques. Ce produit répond-il à ce qu’on en attend ?Voyons par exemple que 2× 3 = S2 × S3 = S6.

En effet, S2 × S3 est d’après la définition ci-dessus constitué des rationnels négatif et des rationnels positifs obtenusen faisant le produit des rationnels contenus dans ]0; 2[ par ceux de ]0; 3[ .

Le nombre ainsi obtenu est donc un rationnel de ]0; 6[ .Ainsi, S2 × S3 est la réunion de Q− et des rationnels de ]0; 6[ ;c’est bien S6.

La multiplication dans R

Définition 5.5. Terminons la définition pour les réels de signes quelconques� si S ≥ S0 et S′ ≤ S0 : S × S′ = − (S × (−S′))� si S ≤ S0 et S′ ≥ S0 : S × S′ = − ((−S)× S′)� si S ≤ S0 et S′ ≤ S0 : S × S′ = (−S)× (−S′)

La multiplication est une opértion interne dans R

Théorème 5.14. Le produit de deux réels est un réel

Démonstration

Il suffit de démontrer ce théorème dans le cas où les réels sont positifs. Dans les autres cas, il sera facile de conclureen utilisant le fait que l’opposé d’un réel est un réel, puis le fait que le produit de réels positifs est un réel.

1. Q− ⊂ SS′ ⇒ SS′ = ∅

2.

{(S = ∅ et S > S0)⇒ ∃x /∈ S, x > 0(S′ = ∅ et S′ > S0)⇒ ∃x′ /∈ S′, x′ > 0

Montrons alors que z = xx′ /∈ SS′

En effet, z ∈ SS′ ⇒{∃y ∈ S ∩Q+∗∃y′ ∈ S ∩Q+∗ ⇒ z = yy′

Mais alors,

{x /∈ Sy ∈ S

⇒ x > y et de même

{x′ /∈ S′

y′ ∈ S′⇒ x′ > y′

On a donc

{x > y > 0x′ > y′ > 0

⇒ xx′ > yy′ donc z > z. contradiction.

3. Soit

{x ∈ SS′

y ∈ Q, y ≤ xmontrons que y ∈ SS′

Si y ≤ 0, alors y ∈ Q− ⇒ y ∈ SS′

Si y > 0, alors x ∈ SS′ ⇒ ∃s ∈ S ∩Q+∗ et ∃s′ ∈ S′ ∩Q+∗ tels que x = ss′

Or y ≤ x⇒ y ≤ ss′ ⇒ y = ss′ − q avec q ∈ Q+

On peut toujours supposer s ≤ s′ (sinon on inverse les rôles) et y = s(s′ − q

s

)

Or q > 0, s > 0 doncq

s> 0 et s′ − q

s< s′ donc s′ − q

s∈ S′.

Comme s ∈ S, y s’écrit comme produit d’une rationnel strictement positif de S et d’un autre de S′.

Donc y ∈ SS′


4. SS′ n’a pas de plus grand élément.

Supposons que ce plus grand élément existe et ,notons le M.

Alors M > 0 et

{∃m ∈ S ∩Q+∗∃m′ ∈ S ∩Q+∗ tels que M =mm′

Or S et S′ n’ont pas de plus grands éléments, donc

{∃n ∈ S ∩Q+∗ : n > m∃n′ ∈ S ∩Q+∗ : n′ > m′ ⇒ nn′ ∈ SS′

de plus

{n > mn′ > m′ ⇒ nn′ > mm′ qui contredit le fait que M = mm′ est plus grand élément de SS′.

5.5.2 Propriétés de la multiplication dans R

Pour être absolument rigoureux, il faudrait envisager tous les cas possibles pour les signes des différents opérandes.

Le plus souvent il sera envisagé le cas S > S0 et S′ > S0, les autres cas étant laissés aux bons soins du lecteur, quin’aura en général qu’à utiliser les propriétés de l’opposé d’un réel.

Commutativité de la multiplication dans R

Théorème 5.15. La multipliplication dans R est commutativec’est à dire ∀ (S, S′) ∈ R2, SS′ = S′S

Démonstration

Il faut démontrer la double inclusion SS′ ⊂ S′S et S′S ⊂ SS′.

∀z ∈ S × S′,

� si z ∈ Q− ⇒ z ∈ S′S

� si z > 0,∃x ∈ S ∩Q+∗ , ∃x′ ∈ S′ ∩Q+∗, z = xx′

mais la commutativité de × dans Q permet d’écrire z = x′x⇒ z ∈ S′S.

On a donc bien S × S′

L’autre inclusion se démontre exactement de la même manière

Associativité de la multiplication dans R

Théorème 5.16. La multipliplication dans R est associative,c’est à dire ∀ (S, S′, S”) ∈ R2, (SS′)S” = S (S′S”)

Démonstration

La démonstration est en tout point analogue à la précédente sauf qu’au moment d’utiliser la commutativité de × dansQ, on utilise ici son associativité.


Distributivité de la multiplication sur l’addition dans R

Théorème 5.17. La multipliplication dans R est distributive par rapport à l’addition,c’est à dire ∀ (S, S′, S”) ∈ R3, S (S′ + S”) = SS′ + SS” et (S + S′)S” = SS” + S′S”.

Seule sera démontrée la première égalité, la seconde découlant alors de la commutativité de ×.

Démonstration

La encore supposons S, S′ et S” positifs. alors SS′ + SS” > 0

∀z ∈ S (S′ + S”)

� si z ∈ Q− ⇒{

z ∈ SS′

z ∈ SS”Or SS′ + SS” > 0, donc z ∈ SS′ + SS”

� si z > 0,∃x ∈ S ∩Q+∗ et ∃y ∈ (S′ + S”) ∩Q+∗ : z = xy

Or y ∈ (S′ + S”) ∩Q+∗ ⇒ ∃s′ ∈ S′ ∩Q+∗ et ∃s” ∈ S” ∩Q+∗ : y = s′ + s”

D’où z = x (s′ + s”)⇒ z = xs′ + xs” (distributivité dans Q)

avec xs′ ∈ SS′ ∩Q+∗ et xs” ∈ SS” ∩Q+∗.


La multiplication dans R admet un élément neutre

Théorème 5.18. S1 est élément neutre pour × dans RC’est à dire ∀S ∈ R, SS1 = S1S = S avec S1 = {x ∈ Q : x < 1}

Démonstration

La commutativité permet de ne démontrer qu’un double inclusion. De plus, là encore, la démonstration n’est proposéeque pour S > S0

⋆ ∀z ∈ SS1,

Soit z ∈ Q− et z ∈ S

Soit z > 0 et ∃s ∈ S ∩Q+∗ et ∃s1 ∈ S1 ∩Q+∗ : z = ss1

On a alors z < s puisque s1 < 1. Or

{z < ss ∈ S

⇒ z ∈ S

On a donc bien dans tous las cas : SS1 ⊂ S

⋆ ∀z ∈ S,

S n’ayant pas de plus grand élément, il existe z′ ∈ S tel que z′ > z.


De plus, S > S0. On a donc z′ > 0.

Mais alors,

{z = z′ × z

z′0 < z < z′

⇒

z = z′ × z

z′

0 <z

z′< 1

z s’écrit donc comme produit de z′ ∈ S et dez

z′∈ S1. Donc z ∈ SS1 et S ⊂ SS1

5.5.3 Inverse d’un réel non nul

Définition

Comme lors de la définition de l’opposé d’un réel, nous allons définir un ensemble de rationnels de telle sorte qu’il aitles caractéristiques attendues de l’inverse du réel considéré ; montrer ensuite que cet ensemble de rationnels est bien unréel (section de Q) et enfin, montrer qu’ils’agit bien de l’inverse au sens usuel du terme, et que chaque réel non nul admetdonc un inverse.

Tout comme pour l’opposé, on sera amené à étudier séparément les cas S rationnel (section de type Sr) et le cas Snon rationnel.

Intuitivement, l’inverse de Sr esr S 1

r

, pour r non nul.

Dans l’autre cas, les éléments de1√2

devront vérifier x <1√2

donc1

x>√2, c’est à dire

1

xn’être pas élément de S√2.

D’où l’idée de définition qui suit :

Inverse d’un réel non nul

Définition 5.6. Soit S un réel non nul, on définit un ensemble de rationnels noté1

Spar :

⋆ Si S est de type Sr,1

Sr= S1

r

(pour r = 0)

⋆ Si S > S0 n’est pas de type Sr,1

S=

{x ∈ Q∗+ : 1

x/∈ S

}∪Q−

⋆ Si S < S0,1

S= −

(1

−S

)

Remarques. 1.Il est évident que cette définition n’aura d’intérêt qu’après avois démontré qu’elle est bien une section de

Q, et que le réel ainsi défini vérifie bien S × 1

S=1

S× S = S1.

2. La seconde définition pourrait "presque" convenir aux rationnels.

En effet, x ∈ S1r

⇒ x <1

r⇒ 1

x> r ⇒ 1

x/∈ Sr.

Cependant, d’après la seconde définition, r /∈ Sr ⇒1

r∈ S1

r

, ce qui permettrait à1

rd’être le plus grand élément de

S1r

qui ne pourrait plus être un réel. Le premier point de la définition permet d’exclure ce terme gênant ; une définition

en deux points est donc bien une nécessité.

3. Dans chacun des deux cas1

x∈ S ⇒ x /∈ 1

S. Cela permettra, quand on aura démontré que

1

Sest un réel, de montrer

facilement que l’inverse de1

Sest S.


Proposition 5.4. Pour tout réel S non nul, l’ensemble1

Sdéfini ci-dessus est un réel.

Démonstration

Dans le premier cas, aucune démonstration n’est nécessaire puisque1

Sest aussi du type Sr donc une section de Q.

Pour le second cas, c’est à dire si S n’est pas du type Sr, il suffit de démontrer la propriété pour S > S0, le passage

aux valeurs négatives étant facile puisque si S < S0,1

S= −

(1

−S

).

Or −S > S0 donc1

−Sest un réel, et son opposé −

(1

−S

)est lui-même un réel. D’où le résultat.

Soit donc une section S qui n’est pas de type Sr et telle que S > S0 ; (on aurait pu écrire soit un réel S irrationnel etstrictement positif)

1. Q− ⊂ 1

S⇒ ∃x ∈ Q, x /∈ S Donc

1

S = ∅.

2. Montrons que S > S0 ⇒{∀x ∈ 1

S∀y ∈ Q, y ≤ x

⇒ y ∈ 1

S

Procédons par disjonction des cas concernant les signes respectifs de x et y pour montrer que y ∈ 1

S

⋆ x ≤ 0 et y ≤ x⇒ y ≤ 0. Donc y ∈ Q− ⇒ y ∈ 1

S.

⋆

{x > 0y ≤ 0 ⇒ y ∈ Q− ⇒ y ∈ 1

S

⋆

{x > 0y > 0

. Alors,

{x ∈ 1

Sx > 0

⇒ 1

x/∈ S, donc ∀s ∈ S,

1

x> s.

Si s = 0,1

y≥ 1

x> s⇒ 1

y/∈ S ⇒ y ∈ 1

S

Si s = 0, 1x

> s⇒ x <1

s.

Or y ≤ x, donc y <1

s⇒ 1

y> s, donc

1

y/∈ S et y ∈ 1

S.

4. Démontrons par l’absurde que1

Sn’admet pas de plus grand élément.

S > S0 donc1

x/∈ S ⇒ 1

x> 0⇒ x > 0 ( x ∈ Q)

Soit M le plus grand élément de1

S.

M ∈ 1

S⇒ 1

M/∈ S donc

1

Mmajore strictement S

Or S > S0 donc 0 appartient à S. On en déduit que1

M> 0

Soit alors un rationnel s de S. Montrons qu’alors il existe un autre nombre M ′ < M tel que s <1

M ′ . Il sera pour cela


nécessaire de discuter suivant le signe de s.

⋆

{∀s ∈ Ss ≤ 0 , s ≤ 0⇒ 1

M ′ > 0 > s (1)

⋆

{∀s ∈ Ss > 0

⇒{

s <1

Ms > 0

⇒{∀s ∈ Ss > 0

,1

s> M > 0

D’après la densité de Q,∃M ′ ∈ Q,1

s> M ′ > M

Ainsi

{∀s ∈ Ss > 0

,1

s> M ′ > 0⇒ s <

1

M ′ si s > 0 (2)

(1) et (2) prouvent par disjonction des cas que1

M ′ majore strictement S

Donc1

M ′ /∈ S ⇒M ′ ∈ 1

S.

Ainsi M ′ est un élément de1

Splus grand que M. Contradiction.

Lemme 5.4.

{∀x ∈ Q0 < x < 1

la suite (un) de terme général un =

(1

x

)nest croissante non majorée.

Démonstration

1. (un) est croissante.En effet, pour tout n ∈ N, un+1 − un =

(1

x

)n+1−(1

x

)n

Donc un+1 − un =

(1

x

)n(1

x− 1)

. Or 0 < x < 1⇒ 1

x> 1 donc

1

x− 1 > 0.

On a donc bien un+1 − un > 0 et la suite est croissante.

2. Pour montrer que (un) n’est pas majorée, on va écrire1

x= 1+ a (a > 0) et établir par récurrence que pour tout n

entier naturel, un ≥ 1 + na (inégalité dite de Bernouilli)

Soit Pn la proposition un ≥ 1 + na

Initialisation : u0 = 1. P0 s’écrit alors 1 ≥ 1. Vrai

Hérédité : supposons Pn vraie, c’est à dire un ≥ 1 + na

Alors un+1 = (1 + a)n+1

= (1 + a)n(1 + a) .

Ainsi, d’après l’hypothèse de récurrence, un+1 ≥ (1 + na) (1 + a)

C’est à dire un+1 ≥ 1 + a+ na+ na2 ≥ 1 + a+ na

On a donc bien un+1 ≥ 1 + (n+ 1) a qui prouve que Pn+1 est encore vraie.

Remarques. On a donc démontré que (un) croissante non majorée tend vers +∞ (attention, on est dans Q). Ainsi, toutfamille de termes de cette suite ne peut être bornée qu’à condition de ne comporter qu’un nombre fini de termes (sinon,n tendant vers +∞, la famille ne pourrait être bornée). C’est cette remarque qui sera utilisée dans la démonstrationsuivante.


Tout réel non nul admet un inverse

Théorème 5.19. Tout réel non nul admet un inverse, c’est à dire :∀S ∈ R∗,∃S′ ∈ R : SS′ = S′S = S1 (élément neutre de × qui pourrait être noté 1).

Ce nombre S′ n’est autre que1

S.

Remarques. 1. Nous commenceront par démontrer ce théorème dans le cas d’un réel strictement positif. Ayant ainsidémontré que tout réel strictement positif admet un inverse, pour tout réel S < 0 (on pourrait écrire S < S0), son opposé−S > 0 admet un inverse S′ tel que (−S)S′ = S′ (−S) = S1.

Or (−S)S′ = S (−S′) et S′ (−S) = (−S′)S.

Ainsi S (−S′) = (−S′)S = S1 prouve que le réel stictement négatif S admet un inverse −S′ ( opposé de l’inverse del’opposé de S).

2.Il faudra démontrer ce théorème dans le cas d’un réel rationnel puis dans l’autre cas.

3.Il faudra enfin à chaque fois démontrer la double inclusion S × 1

S⊂ S1 et S1 ⊂ S × 1

S.

Démonstration

Tout réel de type Sr.avec r > 0 admet un inverse

⋆ Sr × S 1

r⊂ S1

Sr × S 1

r={z ∈ Q : z = xx′ où x ∈ Sr ∩Q+∗ et x′ ∈ S 1

r∩Q+∗

}∪Q−

∀z ∈ Sr × S 1

r, (z = xx′ où x ∈ Sr ∩Q+∗ et x′ ∈ S 1

r∩Q+∗) ou z ∈ Q−

si z ∈ Q− alors z ∈ S1

si z = xx′ avec x ∈ Sr ∩Q+∗ et x ∈ S 1

r∩Q+∗

alors z = xx′ avec 0 < x < r et 0 < x′ <1

ret ainsi, xx′ < 1

On en déduit que z ∈ S1 d’où l’inclusion attendue.

⋆ S1 ⊂ Sr ×1

S 1

r

∀x1 ∈ S1, x1 < 1 donc ∃z ∈ Q+∗, x1 < z < 1

Alors, x1 = zr × x1z× 1

r

Or

{z < 1z ∈ Q+∗et r > 0

⇒ zr < r⇒ zr ∈ Sr

et

{x1 < zz ∈ Q+∗et r > 0

⇒{ x1

z< 1

r > 0⇒ x1

z× 1

r<1

r⇒ x1

z× 1

r∈ S1

r

Ainsi, tout élément x1 de S1 s’écrit comme produit d’un élément positif de Sr et d’un élément positif de S1r

. D’où

l’inclusion annoncée.


On a donc

Sr × S 1

r⊂ S1

S1 ⊂ Sr ×1

S 1

r

⇒ Sr × S 1

r= S1

La commutativité de × montre que Sr × S 1

r= S 1

r× Sr = S1 qui prouve donc que :

Tout réel strictement positif de type Sr admet un inverse : S 1

r.

Idée de la démonstration dans le cas d’un réel strictement positif qui ne peut pas s’écriresous forme Sr (donc irrationnel) : cherchons par exemple l’inverse du réel 10. (il n’est pas très logique deprendre ici un rationnel, mais ce nest pas gênant et plus facile à comprendre)

On cherche donc à démontrer que S× 1

S⊂ S1 (ce sera immédiat et je n’en parle pas ici), mais surtout que

S1 ⊂ S × 1

S, c’est à dire que tout réel inférieur à 1 peut s’écrire comme produit d’un rationnel de S (donc

< 10) et d’un rationnel de1

S(donc <

1

10).

Prenons donc un élément x de S1 par exemple x =1

2.

Alors1

x= 2⇒

(1

x

)n= 2n et les termes de la suite

(1

x

)n= 2n finiront bien par être supérieur à S = 10.

Il en est ainsi, à partir de n = 4.On a donc 23 plus grand élément de la suite appartenant encore à S (donc < 10).

Ainsi, 24 > 10⇒ 24 /∈ S ⇒ 1

24∈ 1

S.

On en déduit que x =1

2=1

16× 8 = 1

24× 23 avec

{ 1

24∈ 1

S23 ∈ S

Donc x ∈ 1

S× S et par commutativité de ×, x ∈ S × 1

S

Ainsi S1 ⊂1

S× S et S1 ⊂ S × 1

SCeci n’est bien sûr pas une démonstration, mais c’en est l’idée.

Démonstration

⋆ Démontrons d’abord la première inclusion :S × 1

S⊂ S1

{∀x′ ∈ 1

Sx′ > 0

,1

x′/∈ S ⇒ 1

x′majore strictement S

Ainsi, ∀x ∈ S ∩Q+∗, 1x′

> x⇒ xx′ < 1 (puisque x′ > 0)

Ainsi, ∀x ∈ S ∩Q+∗,∀x′ ∈ 1

S∩Q+∗ xx′ ∈ S1.

Il reste à considérer les cas :

x < 0, x′ > 0 ⇒ xx′ < 0 donc xx′ ∈ S1.

x > 0, x′ < 0 ⇒ xx′ < 0 donc xx′ ∈ S1.

x < 0, x′ < 0 ⇒ xx′ = (−x) (−x′) avec −x ∈ S ∩Q+∗ et −x′ ∈ 1

S∩Q+∗ qui ramène au cas précédent.


La commutativité de × prouve donc que S × 1

S⊂ S1 et

1

S× S ⊂ S1.

⋆ Démontrons maintenant que :S1 ⊂1

S× S.

Supposons S > S1 .

∀x ∈ S1 ∩Q+∗, 0 < x < 1 ⇒ 1

x> 1 et d’après le lemme précédent, la suite de terme général

(1

x

)nest croissante et

non majorée.

Soit l’ensemble E =

{

z ∈ S : ∃k ∈ N, z =(1

x

)k}

. et A =

{

k ∈ N, z =(1

x

)k∈ S

}

D’après ce qui précède, si ses éléments sont en nombre infini, E ne sera pas majoré.

Or E est manifestement minoré par 1 et majoré par tout élément y n’appartenant pas à S.

En effet, S = Q⇒ ∃y /∈ S qui donc majore strictement S et par conséquent majore strictement E.

E est donc majoré ce qui prouve que ses éléments sont en nombre fini. Il en va donc de même de A (si A admettaitune infinité d’éléments, il en serait de même de E). Ainsi A est non vide (S > S1 donc 1 ∈ S et donc 1 ∈ E ⇒ 0 ∈ A)et comporte un nombre fini d’éléments. Il admet donc un plus grand élément N (propriété d’une partie non vide et

majorée de N) et, la suite

(1

x

)nétant croissante,

(1

x

)Nsera le plus grand élément de E.

Ainsi,

(1

x

)N∈ S et

(1

x

)N+1/∈ S (la suite est croissante).

Donc1

xN+1/∈ S ⇒ xN+1 ∈ 1

S.

On a donc ∀x ∈ S1 ∩Q+∗, x = xN+1 × 1

xNavec

1

xN∈ S et xN+1 ∈ 1

S.

Donc S1 ⊂1

S× S et par commutativité de × : x = 1

xN× xN+1 ⇒ S1 ⊂ S × 1

S

Supposons maintenant S < S1 .

On n’est plus certain que l’ensemble E précédemment défini n’est pas vide. Par exemple, aucun élément de S12

ne

peut être écrit sous forme 3k (correspondant à x =1

3∈ S1)

On est alors amené à conduire le même raisonnement que précédemment avec l’ensemble F défini par F ={

z ∈ 1

S: ∃k ∈ N, z =

(1

x

)k}

.et B =

{

k ∈ N, z =(1

x

)k∈ 1

S

}

En effet, S < S1 ⇒ 1 /∈ S ⇒ 1

1= 1 ∈ 1

S⇒ 1 ∈ F et 0 ∈ B

Ainsi, F est non vide, minoré par 1 et majoré par tout élément n’appartenant pas à1

Sdonc par tout élément de S.

En effet,1

S = Q⇒ ∃y /∈ 1

Squi donc majore strictement

1

Set par conséquent majore strictement F. F est donc majoré

ce qui prouve que ses éléments sont en nombre fini. de même que B qui admet un plus grand élément N.

F admet donc un plus grand élément

(1

x

)N.


Ainsi,

(1

x

)N∈ 1

Set

(1

x

)N+1/∈ 1

S(la suite est croissante).

Donc1

xN+1/∈ 1

S⇒ xN+1 ∈ S.

On a donc ∀x ∈ S1 ∩Q+∗, x = xN+1 × 1

xNavec

1

xN∈ 1

Set xN+1 ∈ S.

Donc S1 ⊂ S × 1

Set par commutativité de × : x = 1

xN× xN+1 ⇒ S1 ⊂

1

S× S.

On en déduit finalement que dans tous les cas, S1 ⊂ S × 1

Set S1 ⊂

1

S× S.

Ayant établi par ailleurs que S × 1

S⊂ S1 et

1

S× S ⊂ S1, on est assuré que :

S × 1

S= S1 et

1

S× S = S1.

Donc tout réel strictement positif irrationnel admet un inverse :1

S

Ayant déjà démontré la propriété pour les rationnels positifs, on en déduit que tout réel strictement positif, (rationnelou non) admet un inverse.

D’après la remarque du début de paragraphe, il en est ainsi pour tout réel non nul, quel que soit son signe.

Conclusion : Dans R, la multiplication est associative, admet un élément neutre, et tout réel admet un inverse. (R,×)est donc un groupe.

La multiplication étant commutative, (R,×) est même un groupe commutatif.

La multiplication est régulière dans R

Théorème 5.20. × est régulière dans R c’est à dire que ∀ (S, S′) ∈ R2,∀X ∈ R∗, SX = S′X ⇔ S = S′

Démonstration

� La démonstration sera d’abord faite pour S, S′ et X positifs.

Conditon suffisante : Soit à montrer que ∀ (S, S′) ∈ R2,∀X ∈ R∗, S = S′ ⇒ SX = S′X

On peut remarquer que la condition suffisante est encore vraie pour X = 0; c’est la condition nécessaire qui est miseen défaut.

On cherche à démontrer la double inclusion SX ⊂ S′X et S′X ⊂ SX.

∀y ∈ SX, de deux choses l’une :

⋆ soit y < 0⇒ y ∈ S′X (puisque S′X contient Q−)

⋆ soit y ≥ 0⇒ ∃s ∈ S ∩Q+∗,∃x ∈ X ∩Q+∗ tels que y = sx.

Mais S = S′ ⇒ s ∈ S′ ∩ Q+∗ donc y s’écrit comme produit de deux rationnels positifs, l’un appartenant à


S′, l’autre à X. On a ainsi prouvé que y ∈ S′X

Par disjonction des cas, on en déduit que SX ⊂ S′X.

Une démonstration similaire permet de prouver l’autre inclusion, donc l’égalité.

Conditon nécessaire : Soit à montrer que ∀ (S, S′) ∈ R2,∀X ∈ R∗, SX = S′X ⇒ S = S′

X étant un réel non nul, il admet un inverse X−1. Ainsi, en utilisant la condition suffisante précédemment démontrée,

SX = S′X ⇒ (SX)X−1 = (S′X)X−1, donc, en utilisant l’associativité de × : S = S′.

� Si S > 0, S′ > 0 et X < 0, alors SX = −(S × (−X)) et S′X = −(S′ × (−X)).avec cette fois, S, S′ et −x positifs.

Or d’après ce qui précède, S × (−X) = S′ × (−X)⇔ S = S′.

Mais on sait que ∀ (x, x′) ∈ R2, x = x′ ⇔−x = −x′. Ainsi SX = S′X ⇔ −(S × (−X)) = −(S′ × (−X))

⇔ (S × (−X)) = (S′ × (−X))

⇔ S = S′.

Les autres cas sont laissés à la charge du lecteur.

Ordre et multiplication dans R

Théorème 5.21. ∀ (S, S′) ∈ R,∀X ∈ R+∗, SX ≤ S′X ⇔ S ≤ S′

∀ (S, S′) ∈ R,∀X ∈ R−∗, SX ≤ S′X ⇔ S ≥ S′

Démonstration

Démontrons la première affirmation de la même manière que dans le théorème précédent.

Pour ce qui est du cas X < 0, on sait que −X > 0 donc dans ce cas, SX = − (S × (−X)) et S′X = − (S′ × (−X))

SX ≤ S′X ⇔− (S × (−X)) ≤ − (S′ × (−X))

⇔ S′ × (−X) ≤ S × (−X) d’après le corollaire de la proposition 5.3. ci-dessus.

⇔ S′ ≤ S en utilisant la première affirmation puisque −X > 0.

5.5.4 Immersion de (Q,×) dans (R,×)

On cherche à démontrer la compatibilté de la multiplication dans R avec celle définie sur Q.

On va donc établir que ∀ (r, r′) ∈ Q, Srr′ = Sr × Sr′ .

Il va falloir discuter sur le signe des rationnels r et r′, et dans chacun des cas établir la double inclusion.

1. r > 0 et r′ > 0. Rappelons que Srr′ = {x = qq′ avec q ∈ Q+∗ ∩ Sr et q′ ∈ Q+∗ ∩ Sr′} ∪Q−

♦ Sr × Sr′ ⊂ Srr′ . En effet, ∀x ∈ Sr × Sr′ .

Soit x ≤ 0⇒ x ∈ Srr′

Soit x > 0 et x = qq′ avec

{0 < q < r0 < q′ < r′

⇒ 0 < qq′ < rr′


C’est à dire x ∈ Srr′ . Ainsi, ∀x ∈ Sr × Sr′ , x ∈ Srr′ donc Sr × Sr′ ⊂ Srr′

♦ Srr′ ⊂ Sr × Sr′ . En effet, ∀x ∈ Srr′ ,

{x < rr′

rr′ > 0⇒ x

rr′< 1

Soit x ≤ 0 donc x ∈ Sr × Sr′

Soit x > 0. Par densité de Q, on peut choisir un rationnel positif z

tel que

{ x

rr′< z < 1

z > 0(♠)

On a alors : x =x

rr′z× r× rr′z

ret d’après (♠) x

rr′< z ⇒ x

rr′z< 1⇒ x

rr′z× r < r donc

x

rr′z× r ∈ Sr. Comme

de plus, x, r, et r′ sont positifs,x

rr′z× r ≥ 0 donc

x

rr′z× r ∈ Sr ∩Q+∗

et, toujours d’après (♠){

z < 1r > 0 et r′ > 0

⇒ rr′z < rr′ ⇒ rr′z

r< r′ donc

rr′z

r∈ Sr′et là encore

rr′z

r∈

Sr′ ∩Q+∗

Ainsi, ∀x ∈ Srr′ x s’écrit comme produit d’un élément de Sr et d’un élément de Sr′ . Donc Srr′ ⊂ Sr × Sr′ .

2. Si r et r′ sont de signes contraires par exemple : r > 0 et r′ < 0. On sait qu’alors Sr > S0 et Sr′ < S0

Par définition de la multiplication dans R, Sr × Sr′ = − (Sr × (−Sr′)) .

Or −Sr′ = S−r′ avec cette fois −r′ > 0.

D’après ce qui précède, Sr × (−Sr′) = Sr × S−r′ = Sr(−r′) avec Sr(−r′) = S−rr′ = −Srr′ .

En définitive, Sr × Sr′ = − (Sr × (−Sr′)) = − (−Srr′) = Srr′

3. Si r et r′ sont tous deux négatifs, Sr × Sr′ = (−Sr)× (−Sr′) = S−r × S−r′ puisque −r et −r′ sont positifs.

On a donc encore Sr × Sr′ = Sr × Sr′ .

5.6 Différences entre l’ordre dans Q et l’ordre dans R

5.6.1 Introduction

L’ensemble des réls a été construit dans le but de "boucher les trous" que le placement des rationnels laissaient surla droite numérique. On a vu comment cette construction a permis de "boucher le trou" de

√2 et en généralisant un

peu, de toutes les racines carrées non entières (qui ne sont jamais rationnelles). On n’est cependant pas certain d’avoirsuffisamment complété la droite pour la rendre continue. "As-t-on bouché TOUS les trous ?"

L’ensemble R est dense, mais on a vu avec Q que dense n’entraînait nullement continu. Les paragraphes ci-dessousvont permettre d’établir que :

⋆ Q est dense dans R, c’est à dire qu’entre deux réel existe toujours un rationnel (déjà vu).

⋆ R−Q est dense dans R, c’est à dire qu’entre deux réel existe toujours un irrationnel..

Ce qui est vrai pour des réels quelconques l’est en particulier pour des rationnels ou des irrationnels. On est donccertain que :

� entre deux réels existe toujours un réel

� entre deux réels rationnels, existe toujours un rationnel

� entre deux réels irrationnels, existe toujours un rationnel

� entre deux réels rationnels, existe toujours un rationnel

� entre deux réels rationnels, existe toujours un irrationnel

� entre deux réels irrationnels, existe toujours un irrationnel


Il existait donc une infinité d’entiers, une infinité "encore plus grande" de rationnels. Il se trouve que les irrationnelssont "encore bien plus nombreux que les rationnels", et qu’à force, on a bouché tous les trous. Mais cette continuité deR n’est toujours pas établie. Elle le sera dans le dernier paragraphe.

5.6.2 Densité de Q dans R

Déjà vu et démontré ci-dessus.

5.6.3 Densité de R−Q dans R

Densité de R−Q dans R

Théorème 5.22. R−Q est dense dans R, c’est à dire qu’entre deux réels quelconques existe toujours un irrationnel.

Démonstration

On va d’abord démontrer qu’entre deux rationnels distincts quelconques il existe un irrationnel. On en déduira lethéorème énoncé après un raisonnement assez simple.

1. Soit deux rationnels a et b tels a < b et S un irrationnel (section de Q qui n’est pas de la forme Sr).

Soit de plus c rationnel de S et d un rationnel n’appartenant pas à S (donc c < d).

On peut faire le schéma suivant :

L’idée consiste à trouver une bijection f strictement croissante de [c; d] sur [a; b] et l’image de l’irrationnel S sera unirrationnel S′ compris entre a et b.

C’est à dire

Soit f la fonction affine définie par : f : Q −→ Q

x �→ b− a

d− c(x− c) + a.

b− a

d− c> 0 donc f est strictement croissante, et bijective comme toute fonction affine non constante. Sa fonction

réciproque est aussi une fonction affine, de taux d’accroissementd− c

b− a> 0 donc strictement croissante aussi. On

constate de plus facilement que f(c) = a et f(d) = b.

Ainsi, bijection oblige, c < x < d⇔ a < f(x) < b équivalence qui s’écrit aussi a < x < b⇔ c < f−1(x) < d

On montrera aussi facilement que S′ = f(S)⇔ S = f−1(S′). (double inclusion).

⋆ S′ est une section de Q.

1.1. S = Q⇒ ∃x ∈ Q, x /∈ S ⇒ ∃x ∈ Q, f(x) /∈ S′ ⇒ S′ = Q.

1.2.S = ∅ ⇒ ∃x ∈ S ⇒ ∃f(x) ∈ f(S)⇒ ∃f(x) ∈ S′ ⇒ S′ = ∅


1.3.

{x ∈ S′

y ≤ x⇒{

x ∈ S′

f−1 (y) ≤ f−1 (x)car f−1 est strictement croissante.

Ce qui s’écrit encore

{f−1 (x) ∈ S

f−1 (y) ≤ f−1 (x)⇒ f−1 (y) ∈ S puisque S est une section

On a donc y ∈ f(S) c’est à dire y ∈ S′.

1.4. S′ n’a pas de plus grand élément car si M ′ était ce plus grand élément, il est immédiat que f−1(M ′) seraitplus grand élément de S qui n’en possède pas.

⋆ S′ est un irrationnel, car sinon, S′ ∈ Q⇒ f−1 (S′) ∈ Q puisque l’image d’un rationnel par une application affine àcoefficients rationnels est un rationnel. D’où la contradiction.

⋆ Montrons enfin que a < S′ < b.

∀x ∈ Sa, x < a⇒ f−1 (x) < f−1 (a)⇒ f−1 (x) < c⇒ f−1 (x) ∈ S puisque c ∈ S qui est une section.

Ainsi, x ∈ f(S) et Sa ⊂ S′ donc Sa ≤ S′ qu’on écrira plutôt ici a a < S′

∀y ∈ S′,

{y = f(x)x ∈ S

⇒{

y = f(x)x < d

puisque d /∈ S donc majore strictement S.

Or x < d⇒ f (x) < f (d)⇒ y < b⇒ y ∈ Sb donc S′ ⊂ Sb et S′ ≤ Sb. Donc pour résumer Sa ≤ S′ ≤ Sb.

Comme de plus S′ est un irrationnel, on est certain que S′ = Sa et S′ = Sb. d’où Sa < S′ < Sb.

Et en revenant aux notation rationnelles, c’est à dire en écrivant a pour Sa et b pour Sb, on obtient a < S′ < b. Entredeux rationnels distincts quelconques existe bien un réel.

2. Montrons qu’il en est de même avec cette fois deux réels distincts quelconque : x et x′.Q étant dense dans R, ilexiste un rationnel a entre x et x′. Et pour les mêmes raisons, un rationnel b entre a et x′. Le point précédent permetde placer un irrationnel i entre ces deux rationnels. On a donc pour récapituler ces propos : x < a < i < b < x′. Ainsi,entre les réels distincts quelconques existe-t-il bien un irrationnel.

5.6.4 Le théorème de Cantor Dedekind - Complétude (ou continuité) de R

Une première approche consiste à considérer le théorème des suites adjacentes de terminale S. On y démontre que deuxsuites adjacentes possèdent une limite commune. Si on considère des intervalles emboîtés, qui seront définis rigoureusementdans quelques lignes mais qui peuvent être intuitivemet représentés par le schéma ci-dessous : on met en évidence deuxsuites adjacentes (an) et (bn) qui convergent donc vers une même limite réelle l.

b0 b1 b2 b3 a3 a2 a1 a0

On voit donc qu’on peut placer les intervalles emboîtés dans n’importe quelle position, ils définissent une limitecommune qui n’est ni plus ni moins que leur intersection (intersection d’un nombre infini d’intervalles). C’est dans ce"n’importe quelle position que réside la continuité de la droite numérique, donc de R. Chaque point de la droite pourraêtre la limite d’une site définie comme ci-dessus à l’aide d’intervalles embpîtés dont l’intersection est ce point.

Cette approche, pour le moment conceptuelle sera facile à démontrer rigoureusement. Un problème tout de même :la démonstration suppose établi le théorème des suites adjacentes utilise le théorème de la convergence monotone luimême conséquence de la propriété céréctéristisue de la borne supérieure. Il faudra donc pour être rigoureux établir cesthéorèmes, mais on peut comprendre dès maintenant que la complétude (ou continuité) de R est en fait conséquence dela propriété caractéristique de la borne supérieure.

On pourra largement passer directement au théorème de Kantor-Dedekind sans se préoccuper des deux démonstrationsqui suivent seulement destinées à la rigueur du propos. Par contre les définitions premières concernant les suites réellessont supposées connues.


Convergence monotone

Théorème 5.23. Toute suite crissante (Resp : décroissante) et majorée (Resp : minorée) converge

Démonstration

Soit (un)une suite croissnte et majorée.

Il suffit de considérer l’ensemble E = {un ∈ R/∀n ∈ N} (un) étant majorée, E le sera aussi et E est évidemment nonvide. Ainsi E étant non vide et majoré, il admet une borne supérieure M. D’après la propriété caractéristique de laborne supérieure, ∀ε > 0,∃un0 ∈ E tel que M − ε < un0 .

Ainsi, ∀n ∈ N,∃n0 ∈ N′n > n0 ⇒ un > un0 > M − ε (la première inégalité due à la croissance de la suite).

ou encore, ∀n ∈ N,∃n0 ∈ N′n > n0 ⇒M − ε < un < M puisque M est borne supérieure.

La suite (un) converge donc vers M.

Suites adjacentes

Définition 5.7. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante, l’autre décroissante

et si leur différence tend vers 0. C’est à dire

(un) croissante(vn) décroissantelim

n→+∞(un − vn) = 0

Convergence de suites adjacentes

Théorème 5.24. Deux suites adjacentes convergent ves la même limite.

Démonstration

Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes définies comme ci-dessus.

⋆ La suite (wn) définie par wn = vn − un est décroissante

En effet, wn+1 −wn = vn+1 − un+1 − (vn − un)

= vn+1 − vn + un − un+1 avec vn+1 − vn ≤ 0 et un − un+1 ≤ 0.

⋆ La suite (wn) est à termes positifs.

Par l’absurde, supposons wn0 < 0

{(wn) décroissantelim

n→+∞wn = 0

⇒ wn < 0. la suite étant décroissante, ∀n ≥ n0, wn ≤ wn0 <

0.


Il suffit de choisir un ε < |wn0 | pour être certain de ne jamais pouvoir rendre |wn| < ε et (wn) ne converge pas vers 0.

On en déduit donc que ∀n ∈ N, vn − un ≥ 0⇒ un ≤ vn

D’où, compte tenu des monotonies : u0 ≤ u1 ≤ · · · ≤ un−1 ≤ un ≤ vn ≤ · · · ≤ v1 ≤ v0

⋆ On déduit de ce qui précède que (un) est majorée (par v0) et croissante. Elle converge donc.

Et de même, (vn) est minorée (par u0) et décroissante donc convergente.

Enfin,

limn→+∞

un = L

limn→+∞

vn = L′

limn→+∞

(un − vn) = 0

⇒ L = L′. Les deux suites ont donc même limite.

De plus, vu les monotonies des suites, on montre facilement que ∀n ∈ N, L ∈ [un; vn] . (m^mem principe que pourdémontrer que la suite (wn) est à termes positifs). La limite apparaît donc comme l’intersection de tous les interalles

[un; vn] . c’est à dire L =⋂

n∈N

[un; vn] (intersection infinie).

Intervalles emboîtés

Définition 5.8. Deux intervalles [a; b] et [a′; b′] sont dits emboîtés si et seulement si [a′; b′] ⊂ [a; b] , c’est à direa ≤ a′ ≤ b′ ≤ b

Théorème de Cantor Dedekind

Théorème 5.25. Soit In une suite d’intervalles [an; bn] emboîtés de R dont la longueur tend vers 0. On a donc :{∀n ∈ N, In+1 ⊂ Inlim

n→+∞(bn − an) = 0

Alors, il existe un réel c et un seul commun à tous ces intervalles. c est la limite commune

des suites (an) et (bn)

Démonstration

p > n⇒ an ≤ ap < bp ≤ bn.Ainsi, a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ ap < bp · · · ≤ b2 ≤ b1 ≤ b0.

Les suites (an) et (bn) sont donc adjacentes.

On a donc, d’après le théorème qui précède : ∃!c ∈ R,∀n ∈ N, an ≤ c ≤ bn.avec c = limn→+∞

an = limn→+∞

bn

Ainsi l’intersection⋂

n∈N

[an; bn] est réduite à {c} .

Conclusion : Cette intersection infinie⋂

n∈N

[an; bn] n’est jamais vide. Il n’y a donc pas de lacune dans R qui est dit

complet.


5.7 Conclusion

Au risque de lasser le lecteur, revoyons ces notion fondamentales.

On a d’abord créé des ensembles d’entiers (N puis Z) qui réprésentés sur un droite sont "plein de vide". Ce n’estd’ailleurs même pas une doite mais un vague ensemble de points (au sens pixel infinitésimal) séparés par d’énormes trous.Ces ensembles ne sont pas denses, ils sont dits discrets.

L’introduction des nombres rationnels a permis de mettre en évidence la notion de densité, c’est à dire "d’intercalationà l’inifini" et impliquant que tout intervalle d’extrémités distinctes, même ouvert, n’est pas vide (alors que ]2; 3[ est videdans Z.) Cependant bien que dense, cet ensemble représenté par des points alignés ne définit pas une droite continue(même si les trous sont cette fois beaucoup moins gros). Ces lacunes sont parfaitement comblées, comme le prouve lethéorème ci-dessus par l’introduction des nombres irrationnels, c’est à dire la création de R.

Dans cet ensemble R, les rationnels constituent un ensemble dense, mais qui laisse la place pour les irrationnels. Leurnombre est tellement immensément supérieur au nombre des rationnels, que ceux-ci semblent se perdre dans la multitudedes points irrationnels (un peu comme les entiers se perdaient dans la multitude des rationnels, mais d’une manière plusflagrante encore). On peut aussi dire que les points rationnels apparaîssent comme des points épars de la droite numériquede telle sorte que si on enlevait ceux-ci, les points irrationnels ne s’en trouveraient pas moins serrés pour autant . Parcontre, si on enlevait les irrationnels, la droite numérique serait presque vide.

Voilà ce qui fait la grande différence entre l’ordre de N ou Z qui est dit discret, celui de Q qui est dit dense et celui deR qui est dit complet (continu).

Documents

Une Construction des diﬀérents ensembles de nombrestsmaths.free.fr/Prepa/LesNombres/Lesensemblesdenombres.pdf · Dans tous les cas, le chapitre 1 a pour vertu de montrer aux lecteurs