C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 525–530, 2000Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations

Une nouvelle caractérisation du spectre essentielet applicationAref JERIBI

Département de mathématiques, faculté des sciences de Gabès, route de Médenine, 6029 Gabès, TunisieCourriel : Aref.Jeribi@fsg.rnu.tn

(Reçu le 16 février 2000, accepté après révision le 5 juin 2000)

Résumé. Dans cette Note, nous donnons une caractérisation du spectre essentiel dans les espacesvérifiant la propriété de Dunford–Pettis ou dans les espaces isomorphe àLp(Ω), p > 1. En-suite, nous l’appliquons à l’équation de transport. 2000 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

A new characterization of the essential spectrum and application

Abstract. In this Note we give a characterization of the essential spectrum on a spaces which possessthe Dunford–Pettis property or which isomorphic to one of the spacesLp(Ω), p > 1,and we apply thus result in transport equation. 2000 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

LetX be a Banach spaces satisfying the hypothesis

(H)

X has the Dunford–Pettis property or isomorphic to one of the spaces

Lp(Ω,Σ,dµ), p > 1, where(Ω,Σ, dµ) is a positive mesure space.

Let A be a closed densely defined linear operator onX . We define the essential spectrum ofA by:σess(A) =

⋂C∈K(X)σ(A+C), whereK(X) stands for the ideal of all compact operators onX .

If X has the Dunford–Pettis property then we define the weak spectrum ofA by:

σFw (A) =⋂

C∈GFA

(X)

σ(A+C),

whereGFA (X) =K ∈L(X) such that(λ−A)−1K weakly compact onX for someλ ∈ ρ(A)

.

If X is isomorphic to one of the spacesLp(Ω), p > 1, then we define the weak spectrum of the operatorAby:σSw(A) =

⋂C∈GS

A(X) σ(A+C), whereGSA(X) =

K ∈ L(X) such that(λ−A)−1K is strictly singular

onX for someλ∈ ρ(A)

.

Note présentée par Pierre-Louis LIONS.

S0764-4442(00)01606-2/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 525

A. Jeribi

The main result of this Note is the following:

THEOREM 1. –LetX be a Banach space satisfying the hypothesis(H).1. LetA be a closed densely defined linear operator onX .(a) If X has the Dunford–Pettis property, then: (i) σC(A)⊂ σFw (A), whereσC(A) denote the continuous

spectrum ofA; (ii) σR(A)⊂ σFw (A), whereσR(A) denote the residual spectrum ofA; (iii) λ /∈ σFw (A)if and only if λ−A is Fredholm operator onX and i(λ−A) = 0; (iv) σess(A) = σFw (A).

(b) If X is isomorphic to one of the spacesLp(Ω), p > 1, then: (i) σC(A)⊂ σSw(A); (ii) σR(A)⊂ σSw(A);(iii) λ /∈ σSw(A) if and only if λ − A is Fredholm operator onX and i(λ − A) = 0; (iv) σess(A) =σSw(A).

2. LetA andB be two closed densely defined linear operators onX .(a) If X has the Dunford–Pettis property and if for someλ ∈ ρ(A)∩ρ(B) we have(λ−A)−1− (λ−B)−1

is weakly compact onX , thenσFw (A) = σFw (B).(b) If X is isomorphic to one of the spacesLp(Ω), p > 1, and if for someλ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) we have

(λ−A)−1 − (λ−B)−1 is strictly singular onX , thenσSw(A) = σSw(B).

Remark1. – 1. The statement (i) and (ii) shows that the continuous spectrum and the residual spectrumare contained in the weak spectrum.

2. The statement (iii) provides a characterization of the weak spectrum on spaceX satisfying thehypothesis (H).

3. Due toK(X) ( GFA (X) andK(X) ( GSA(X), the statement (iv) shows that the definition of theessential spectrum on these spaces by means of compact operators is restrictive.

4. Let us notice that following Pelczynski ([12], Theorem 1) the class of weakly compact operators onL1-spaces is nothing else but the family of strictly singular operators onL1-spaces. So, the last theoremmay be regarded as an extension of [8], Theorems 3.1 and 3.2, toLp-spaces for1 < p <∞, and angeneralization of [8], Theorems 3.1 and 3.2, [9], Theorems 3.2 and 3.3, and [5], Theorem 3.2, and gives anunified definition of the essential spectrum on Banach spaces which possess the Dunford–Pettis property orwhich isomorphic toLp(Ω), p > 1.

5. The statement 2 of Theorem 1 provides a practical criterion for the stability ofσess(·) for perturbedlinear operators and generalizes ([13], Theorem 4.7, p. 17).

1. Introduction et notations

Dans ce travail, nous présentons une caractérisation du spectre essentiel des opérateurs linéaires fermés àdomaine dense dans un espace de Banach possédant la propriété de Dunford–Pettis ou isomorphe à l’un desespacesLp(Ω), p > 1. Nous utilisons, ensuite, ce résultat pour analyser le spectre essentiel de l’opérateurde transport monodimensionnel avec des conditions aux limites générales.

SoitX un espace de Banach. Nous désignons parL(X) (resp.C(X)) l’espace des opérateurs linéairesbornés (resp. non bornés, fermés à domaines denses) surX . L’opérateurA ∈ C(X) est dit de Fredholmsi R(A) est fermé et les deux quantitésα(A) := dim[N(A)] et β(A) := codim[R(A)] sont finies, oùN(A) (resp.R(A)) désigne le noyau (resp. l’image) de l’opérateurA. Nous notons parΦ(X) l’ensembledes opérateurs de Fredholm surX . Le nombrei(A) := α(A) − β(A) est appelé l’indice deA, quant àl’ensemble desλ ∈C tels que(λ−A) est un opérateur de Fredholm est noté parΦA. Enfin, parρ(A) (resp.σ(A)) nous désignons l’ensemble résolvant (resp. le spectre) de l’opérateurA.

DÉFINITION 1. – Un opérateurB ∈ L(X) est ditstrictement singuliersi sa restriction à tout sous-espacedeX de dimension infinie n’est pas un isomorphisme.

Nous rappelons qu’un opérateur compact est strictement singulier. La réciproque est en général fausse.Néanmoins, lorsqueX est un espace de Hilbert, nous avonsK(X) = S(X), oùK(X) (resp.S(X)) désigne

526

Une nouvelle caractérisation du spectre essentiel et application

l’ensemble des opérateurs compacts (resp. strictement singuliers) dansX . Pour les propriétés de l’espaceS(X) on pourra consulter [3], par exemple.

DÉFINITION 2. – Un opérateurA ∈ L(X) est ditfaiblement compactsi A(B) est faiblement relative-ment compact pour tout ensemble bornéB ⊂X .

L’ensemble des opérateurs faiblement compact dansX , F(X), est un idéal bilatère deL(X) contenantK(X) (cf. [2,3]). Néanmoins, lorsqueX = L1(Ω,Σ,dµ), où(Ω,Σ,dµ) est un espace mesuré ouX = C(K)avecK un compact alorsF(X) = S(X) (voir [12]).

DÉFINITION 3. – On dit qu’un espace de BanachX possède la propriété de Dunford–Pettissi pour toutespace de BanachY , pour tout opérateur faiblement compactT :X→ Y , T envoi un ensemble faiblementcompact deX dans un ensemble compact deY .

Nous rappelons que les espacesL1(Ω,Σ,dµ), où(Ω,Σ,dµ) est un espace mesuré etC(K), oùK est uncompact, possédant la propriété de Dunford–Pettis.

LEMME 1. – (i) SiX possède la propriété de Dunford–Pettis, alorsF(X)F(X)⊂K(X).(ii) SiX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω,Σ,dµ), p > 1, alorsS(X)S(X)⊂K(X).

DÉFINITION 4. – SoitA un élément deC(X). On appellespectre essentielde A, la partie du plancomplexe définie par :

σess(A) =⋂

C∈K(X)

σ(A+C),

oùK(X) désigne l’idéal des opérateurs compacts surX .

Remarque1. – Le spectre essentiel d’un opérateur linéaireA à domaine dense dans un espace de Banachest stable par les compacts, c’est-à-direσess(A + K) = σess(A) pourK ∈ K(X). Dans les espacesLp,p> 1, et C(K), oùK est un espace métrique compact, A. Jeribi et K. Latrach ont montré dans [8] et [9]que le spectre essentiel d’un opérateur linéaire est stable par les opérateurs strictement singuliers c’est-à-direσess(A+S) = σess(A) pourS un opérateur strictement singulier. Récemment, K. Latrach [5] a étenduce résultat pour des opérateurs faiblement compact dans les espaces de Banach vérifiant la propriété deDunford–Pettis.

DÉFINITION 5. – SoitX un espace de Banach vérifiant l’hypothèse

(H1)

X possède la propriété de Dunford–Pettis ou est isomorphe à l’un des espaces

Lp(Ω,Σ, dµ), p > 1, où(Ω,Σ, dµ) est un espace mesuré,

et soitA un élément deC(X).(i) Si X possède la propriété de Dunford–Pettis, alors on définit le spectre faible deA, la partie du plan

complexe donnée par :

σFw (A) =⋂

C∈GFA

(X)

σ(A+C),

oùGFA (X) = K ∈ L(X) tel que(λ−A)−1K ∈F(X) pour un certainλ ∈ ρ(A).(ii) Si X est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, alors on définit le spectre faible deA, la partie

du plan complexe donnée par :

σSw(A) =⋂

C∈GSA

(X)

σ(A+C),

oùGSA(X) = K ∈ L(X) tel que(λ−A)−1K ∈ S(X) pour un certainλ ∈ ρ(A).

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A. Jeribi

Le but de cette Note est le résultat suivant :

THÉORÈME 1. –SoitX un espace de Banach vérifiant l’hypothèse(H1) et soitA un élément deC(X).(i) SiX possède la propriété de Dunford–Pettis, alorsσess(A) = σFw (A).(ii) SiX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, alorsσess(A) = σSw(A).

Démonstration. –Notons tout d’abord que siX possède la propriété de Dunford–Pettis, alorsσess(A)⊂σFw (A) carK(X)⊂ GFA (X) et siX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, alorsσess(A)⊂ σSw(A)car K(X) ⊂ GSA(X). Pour montrer l’inclusion dans l’autre sens, nous considéronsλ /∈ σFw (A) (resp.λ /∈ σSw(A)), il existe alorsK ∈ GFA (X) (resp.K ∈ GSA(X)) tel queλ ∈ ρ(A + K). Ceci nous donneλ∈ΦA+K et i(λ−A−K) = 0.

Soitµ ∈ ρ(A), nous avons

(λ−A−K)−1K =[I + (λ−A−K)−1(µ− λ+K)

](µ−A)−1K. (1)

SiX possède la propriété de Dunford–Pettis, alors en utilisant (1) et le fait queF(X) est un idéal bilatère

deL(X), nous déduisons que(λ−A−K)−1K ∈ F(X) et par conséquent,((λ−A−K)−1K

)2 ∈K(X)(voir lemme 1 (i)).

SiX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, alors en utilisant (1) et le fait queS(X) est un idéal

bilatère deL(X), nous déduisons que(λ−A−K)−1K ∈ S(X) et par conséquent((λ−A−K)−1K

)2 ∈K(X) (voir lemme 1 (ii)).

En utilisant [8], théorème 2.1, nous déduisons que(I + (λ−A−K)−1K) est un opérateur de Fredholmd’indice zéro. En écrivantλ − A = (λ − A − K)(I + (λ − A − K)−1K) et en utilisant le théorèmed’Atkinson ([10], proposition 2.c.7 (ii), p. 77) nous déduisonsλ∈ΦA et i(λ−A) = 0. Le résultat découle,maintenant, du [13], théorème 4.5, p. 15.2

Remarque2. – 1. Le théorème 1 caractérise le spectre essentiel dans les espaces de Banach vérifiantl’hypothèse (H1).

2. Notons queK(X) ( GFA (X) et K(X) ( GSA(X). Ainsi, le théorème 1 montre que la définition duspectre essentiel dans les espacesX vérifiant l’hypothèse (H1) est restrictive.

3. Le théorème 1 montre que le spectre essentiel est stable par les opérateurs deGFA (X) etGSA(X) dansles espaces de Banach vérifiant l’hypothèse (H1), c’est-à-dire siX possède la propriété de Dunford–Pettis,alorsσess(A+K) = σess(A), pour toutK ∈ GFA (X) et siX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1,alorsσess(A+K) = σess(A), pour toutK ∈ GSA(X).

THÉORÈME 2. –SoitX un espace de Banach vérifiant l’hypothèse(H1) et soientA etB deux élémentsdeC(X).(i) SiX possède la propriété de Dunford–Pettis et s’il existeλ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) tel que(λ−A)−1 − (λ−

B)−1 ∈ F(X), alorsσFw (A) = σFw (B).(ii) Si X est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, et s’il existeλ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) tel que

(λ−A)−1 − (λ−B)−1 ∈ S(X), alorsσSw(A) = σSw(B).

Démonstration. –En utilisant lemme 1, ([14], théorème, p. 287) et ([13], lemme 4.6, p. 16), nousdéduisons queΦA = ΦB et i(ν −A) = i(ν −B) pour toutν ∈ΦA. Pour conclure il suffit d’appliquer [13],théorème 4.5, p. 15.2

Remarque3. – Le théorème 2 présente un critère pratique d’invariance duσess(·) des opérateurs linéairesperturbés et généralise [13], théorème 4.7, p. 17.

COROLLAIRE 1. –SoitX un espace de Banach vérifiant l’hypothèse(H1) et soitA un élément deC(X).1. SiX possède la propriété de Dunford–Pettis, alors: (i) σC(A) ⊂ σFw (A) et σR(A)⊂ σFw (A) ; (ii) λ /∈σFw (A) si et seulement siλ ∈ΦA et i(λ−A) = 0.

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Une nouvelle caractérisation du spectre essentiel et application

2. SiX est isomorphe à l’un des espacesLp(Ω), p > 1, alors : (i) σC(A) ⊂ σSw(A) et σR(A) ⊂ σSw(A) ;(ii) λ /∈ σSw(A) si et seulement siλ∈ΦA et i(λ−A) = 0.

2. Application à l’équation de transport

Dans ce qui suit, nous appliquons le résultat obtenu (théorème 1) à l’équation de transport monodimen-sionnelle avec des conditions aux limites générales. Le cadre fonctionnel du problème est : soit

Xp := Lp([−a, a]× [−1,1],dxdξ

)(16 p <∞), a > 0,

X0p := Lp

(−a× [−1,0], |ξ|dξ

)× Lp

(a × [0,1], |ξ|dξ

):=X0

1,p ×X02,p,

‖ψ0; X0p‖ :=

[∥∥ψ01 ; X0

1,p

∥∥p +∥∥ψ0

2 ; X02,p

∥∥p]1/p =

[∫ 0

−1

∣∣ψ(−a, ξ)∣∣p|ξ|dξ +

∫ 1

0

∣∣ψ(a, ξ)∣∣p|ξ|dξ]1/p

de la même façon, soit

X ip := Lp

(−a× [0,1], |ξ|dξ

)×Lp

(a× [−1,0], |ξ|dξ

):=X i

1,p ×X i2,p,∥∥ψi,X i

p

∥∥ =[∥∥ψi1; X i

1,p

∥∥p +∥∥ψi2; X i

2,p

∥∥p]1/p =

[∫ 1

0

∣∣ψ(−a, ξ)∣∣p|ξ|dξ +

∫ 0

−1

∣∣ψ(a, ξ)∣∣p|ξ|dξ]1/p

.

Désignons parAH l’opérateur

AHψ(x, ξ) =−ξ ∂ψ∂x

(x, ξ)− σ(ξ)ψ(x, ξ) +

∫ 1

−1

κ(x, ξ, ξ′)ψ(x, ξ′) dξ′ = THψ+Kψ,

oùx ∈ [−a, a], ξ ∈ [−1,1] etσ(·) ∈ L∞[−1,1]. L’opérateur d’advectionTH est défini par :

THψ(x, ξ) =−ξ ∂ψ∂x

(x, ξ)− σ(ξ)ψ(x, ξ), D(TH) = ψ ∈Wp tel queHψ0 = ψi,

oùWp =ψ ∈Xp tel queξ ∂ψ∂x ∈Xp

.

Rappelons que tout élémentψ deWp admet des traces aux points−a et a, éléments des espacesX0p etX i

p (voir, par exemple, [1]). Nous les notons, respectivement,ψ0 etψi.L’opérateur frontièreH relie les flux sortant et rentrant est donné par :H :X0

p →X ip, H ∈ L(X0

p ,Xip).

Quant à l’opérateur de collisionK =AH−TH , défini par :K :Xp→Xp, ψ 7→∫ 1

−1 κ(x, ξ, ξ′)ψ(x, ξ′) dξ′,est supposé borné dansXp, oùκ(·, ·, ·) est une fonction mesurable de[−a, a]× [−1,1]× [−1,1] dansR.Notons que l’opérateurK agit seulement sur la variableξ′, donc on peut voir, simplement,x comme unparamètre dans[−a, a]. Donc on peut considérerK comme une fonction enx, K : x ∈ [−a, a] 7→K(x) ∈Z , oùZ := L(Lp([−1,1], dξ)).

On suppose que l’opérateur de collision vérifie l’hypothèse suivante :K est mesurable, c’est-à-direx ∈ [−a, a] tel queK(x) ∈O est mesurable siO⊂ Z est un ouvert,

il existe un ensemble compactT ⊂ Z tel queK(x) ∈ T p.p.,K(x) ∈K(Lp([−1,1], dξ)) p.p.,

oùK(Lp([−1,1], dξ)) désigne l’idéal des opérateurs compacts surLp([−1,1], dξ).Nous rappelons aussi (voir [7], théorème 3.1) que le spectre de l’opérateur d’advectionT0 (c’est-à-

dire TH , H = 0) est réduit à son spectre continu. En utilisant [7], lemme 4.1, nous obtenonsσess(T0) =σC(T0) = λ∈C tel queReλ6−λ∗ :=− lim inf|ξ|→0 σ(ξ).

Nous posons

λ0 :=

−λ∗ si ‖H‖6 1,−λ∗ + 1

2a log(‖H‖) si ‖H‖> 1.

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A. Jeribi

PourReλ> λ0, λ ∈ ρ(TH), et nous avons la relation

(λ− TH)−1 − (λ− T0)−1 =∑n>0

BλH(MλH)nGλ, (2)

oùMλ, Bλ etGλ sont des opérateurs bornés. Pour les détails voir [6].

THÉORÈME 3. –Supposons que l’opérateur frontièreH est strictement singulier, alors

σess(TH) = σess(T0).

Démonstration. –La preuve découle de l’équation (2) et du théorème 2.2La proposition suivante joue un rôle essentiel dans la preuve du théorème 4.

PROPOSITION 1. –Si l’opérateur de collisionK vérifie l’hypothèse(H2). Alors l’opérateur (λ −TH)−1K est compact(resp. faiblement compact) dansXp, p > 1 (resp.X1).

La démonstration est détaillée dans [4].

THÉORÈME 4. –Si l’opérateur de collisionK vérifie l’hypothèse(H2) nous avons

σess(AH) = λ ∈C tel queReλ6−λ∗.

Démonstration. –En utilisant la proposition 1, nous déduisons que l’opérateur de collisionK ∈GSTH (Xp). Le résultat découle des théorèmes 1 et 3.2

Remarque4. – Dans le cadre de la neuronique (H = 0) en dimension quelconque il est bien connuqueσess(T0) = σC(T0) = λ ∈ C tel queReλ 6 −λ∗ (voir [7], p. 6211). En utilisant le lemme 2.1de [11], nous avons l’opérateur de collisionK ∈ GST0

(Xp) et nous déduisons du théorème 1 queσess(A0) =σess(T0).

Les résultats trouvés dans cette Note généralisent ceux obtenus dans [5,8] et [9].

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