Unité 1 : Les nombres jusqu’à 10 000€¦ · Unité 1 • Les nombres jusqu’à 10 000 Calcul mental Compter de 1 en 1 Dites un nombre à 2 chiffres puis de-mandez aux élèves

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Unité 1 • Les nombres jusqu’à 10 000

Unité 1 : Les nombres jusqu’à 10 000Compter, lire, écrire, représenter, comparer, ordonner et utiliser les nombres jusqu’à 10 000.

Au CE1, les enfants ont appris à compter, lire, écrire, représenter, comparer et ordonner les nombres jusqu’à 1 000. Dans cette unité, ils vont apprendre à faire de même avec les nombres jusqu’à 10 000.

La représentation des nombresLes élèves vont continuer à utiliser le matériel de base 10, les tableaux de numération, les cartes de couleur et les droites numériques. Cela va leur permettre d’associer une représentation concrète du nombre au mot qui le désigne à l’oral et à l’écrit, ainsi qu’à son symbole numérique. Pour aller plus loin dans l’abstraction, ils vont apprendre à utiliser les disques-nombres, qui sont de tailles similaires mais sur lesquels différentes valeurs numériques sont inscrites (1, 10, 100 et 1 000). À ce stade, les enfants ont encore besoin de travailler à partir de représentations concrètes afin de renforcer leur maîtrise du concept de nombre.

CompterDe même qu’avec les nombres jusqu’à 1 000 en CE1, les élèves vont revoir ce qu’il est nécessaire de connaître pour compter : cardinalité et ordinalité des nombres, classe-ment et regroupement. La construction du concept de nombre chez l’enfant ne repose pas sur un aspect unique mais plutôt sur l’intégration de dimensions multiples. Il arrive que les enfants aient du mal à coordonner deux aspects différents, comme la cardinalité et l’ordinalité, ou encore la correspondance un à un et la cardinalité, et ce même s’ils maîtrisent par ailleurs chacun de ces aspects lorsqu’ils sont abordés séparément. Le matériel de base 10, les droites numériques, ainsi que d’autres outils sont utilisés tout au long de cette unité pour permettre aux élèves d’apprendre à associer la représentation physique du nombre au symbole correspondant et au mot qui le désigne.

Valeur de positionAprès avoir révisé la valeur de position des unités, des dizaines et des centaines, les élèves de CE2 découvrent la valeur de position des milliers. Ils doivent savoir identifier un nombre à partir de la valeur de ses quatre chiffres. On attend également d’eux qu’ils sachent identifier les nombres sous forme numérique comme sous forme de mots : par exemple, 4 321 et « quatre mille trois cent vingt et un ». Ils progressent également dans leur maîtrise de la composition et de la décomposition des nombres. Si la décomposition évidente de 432 est 4 centaines, 3 dizaines et 2 unités, il est important que les enfants apprennent à identifier d’autres décompositions possibles, qui leur servi-

ront pour les algorithmes de calcul de l’unité 2. Ainsi, 432, c’est aussi 4 centaines, 2 dizaines et 12 unités. La position des milliers n’est pas plus compliquée à lire que celle des centaines : on lit d’abord le chiffre qui se trouve en position des milliers, puis on rajoute le mot mille. 5 000 se dit donc « cinq mille ». Comprendre la valeur de position des milliers aide les enfants à mieux saisir le principe des valeurs de position : à chaque fois qu’on se déplace vers la gauche, la valeur des chiffres devient dix fois plus grande.

Comparer et ordonnerLes élèves apprennent à comparer des nombres à 4 chiffres en utilisant les termes « plus grand que » et « plus petit que ». Ils apprennent aussi à identifier « le plus petit » et « le plus grand » nombre au sein d’un groupe de nombres. Au CE1, les élèves ont appris à comparer deux nombres à 3 chiffres en comparant d’abord les chiffres des centaines puis en se déplaçant vers la droite pour comparer les chiffres des dizaines et les chiffres des unités. Au CE2, ils appliquent cette même stratégie en comparant d’abord les chiffres situés le plus à gauche (les chiffres des milliers) puis en se déplaçant progressivement vers la droite.

SuitesEn apprenant à comparer deux nombres et à en ordonner trois ou plus, les élèves comprennent la notion d’ordre croissant ou décroissant d’une série de nombres donnés et peuvent ensuite compléter des suites de nombres. Ils vont explorer des suites de nombres croissantes ou décroissantes dans lesquelles on ajoute ou soustrait 1, 10, 100 ou 1 000 à chaque nombre. Les suites de nombres sont une base importante pour le développement du raisonnement algébrique et de l’analyse fonctionnelle. Quand ils observent la suite 4 057, 4 157, 4 257… les élèves remarquent les éléments qui changent et ceux qui ne changent pas.

Difficultés générales d’apprentissage• Comprendre que 1 000 et 10 centaines ont la même

valeur, de même que 10 000 et 10 milliers.• Faire la distinction entre mille et milliers.• Savoir orthographier les nombres.• Comprendre la composition/décomposition des

nombres qui contiennent des zéros, comme 5 002.• Compléter des suites dans lesquelles on passe d’une

centaine à l’autre, ou d’un millier à l’autre. Par exemple : 6 945, …, 7 145.

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1 Exploration de l’illustration pleine page Projetez l’illustration page 6 du fichier 1 au tableau ou demandez aux élèves d’observer leur fichier. « Où se déroule la scène ? » Demandez aux élèves s’ils sont déjà entrés dans une agence de voyage et de décrire cette expérience. « Quels sont les personnages que vous reconnaissez ? » (Alice, Adèle et Maël), « Quels sont les indices qui font penser au voyage ? » Attirez l’attention des élèves sur l’affiche « Promo voyages ». « Quelles sont les 5 destinations proposées sur cette affiche ? », « Que signifie la lettre ”J” ? », « Quel séjour correspond à une semaine ? » Localisez les 5 pays sur une carte du monde ou le globe terrestre. Focalisez l’attention des élèves sur Adèle et Maël : « Quelle question se posent-ils ? », « Qu’est-ce qu’une croisière ? »Passez ensuite à la lecture des prix affichés (certains élèves seront capables de lire des nombres à 4 chiffres) et demandez aux élèves d’essayer de lire le montant du chèque et de déduire à quel séjour ce tarif correspond (21 jours au Japon).Expliquez aux élèves ce qu’ils vont apprendre dans cette unité sur les nombres à 4 chiffres (les lire, les écrire, comprendre la valeur des chiffres qui les composent, les comparer, les représenter sur une droite, etc.). Invitez-les à feuilleter les pages de l’unité 1 et à observer les images.

2 Représenter les nombres avec le matériel de base 10 La manipulation à l’aide du matériel de base 10 est essentielle pour des enfants de 8 ans. Elle offre une représentation concrète du nombre et aide les élèves à comprendre la valeur des chiffres et la dénomination orale d’un nombre en fonction de ses centaines, dizaines et unités. Demandez : « Combien de passagers peuvent embarquer pour la croisière ? » (675) Écrivez le nombre en chiffres puis en lettres au tableau. Sans directives d’abord, demandez aux élèves de représenter ce nombre à l’aide de leur matériel de base 10 (figure 1). Observez leurs actions

Étapes de la séance Durée Modalité

1 Exploration de l’illustration pleine page20

min Collectif

2 Représenter les nombres avec le matériel de base 10

20 min

Collectif puis en binôme

3 Représenter les nombres avec les cartes de numération

20 min

Collectif, en binôme puis individuel

Fichier 1 : pp. 6-7Fichier photocopiable : p. 6Annexe : 1-1 « Cartes de numération »

Matériel pédagogique : matériel de base 10

Vocabulaire : centaines, dizaines, unités

DÉMARCHE PÉDAGOGIQUE

Explorer différentes représentations des nombres : représentation concrète, verbale/orale et symbolique. Identifier la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 3 chiffres.

Compétence du programme 2016 : Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers.

Objectifs


Calcul mental Compter de 1 en 1

Dites un nombre à 2 chiffres puis de-mandez aux élèves de compter les uns après les autres à partir de ce nombre.À votre signal, demandez-leur de compter à rebours jusqu’au nombre de départ.Répétez l’activité avec d'autres nombres à 2 chiffres, en privilégiant les nombres supérieurs à 69. Variante : À la place d'un nombre à 2 chiffres, dites un nombre à 3 chiffres.

Aborder la méthode de Singapour en classe de CE2 Si votre classe n’a pas travaillé sur la méthode de Singapour au CP ou au CE1, laissez les élèves feuilleter le premier fichier, découvrir les chapitres qui vont être étudiés, rechercher et identifier les 4 personnages principaux.Répondez à leurs questions et profitez de ce moment d’échange avec la classe pour leur demander quels sont les nombres qu’ils savent lire et écrire, puis dans quelles circonstances de la vie quotidienne on utilise les nombres.Les élèves du Cycle 2 connaissent 4 fonctions du nombre :• compter (cardinalité) ;• ordonner (ordinalité) ;• mesurer ;• nommer ou numéroter.

Revoyons les centaines, les dizaines et les unités (1)Séance 1

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et écoutez leurs échanges. « Combien y a-t-il de centaines dans ce nombre ? De dizaines ? D’unités ? » Poursuivez : « Quelle somme peut-on écrire pour exprimer le nombre 675 à l’aide des 6 centaines, 7 dizaines et 5 unités ? » 600 + 70 + 5 est la décomposition additive la plus simple du nombre 675 en centaines, dizaines et unités. Demandez aux élèves d’ajouter 2 dizaines et de nommer le nombre obtenu (695), puis d’ajouter 1 centaine (795), puis 3 unités (798). Formez des binômes et demandez à chacun d’écrire sur leur ardoise une somme pour représenter chaque nombre obtenu (figure 2). Il est important d’écrire les égalités dans les deux sens (le nombre à gauche ou à droite du signe égal) suivant qu’on parle d’une décomposition ou d’une composition.Poursuivez le jeu en demandant aux élèves de retirer des centaines, des dizaines ou des unités. Enfin, donnez un nombre comme 415 et demandez : « Que doit-on faire pour l’obtenir à partir du dernier nombre trouvé ? » Les élèves doivent alors décrire les changements.

3 Représenter les nombres avec les cartes de numération

Faites observer la page 7 du fichier 1. « Idris a représenté le nombre de passagers avec son matériel de base 10 dans un tableau de numération. Il a ensuite utilisé ses cartes de numération pour nous aider à comprendre la valeur de chaque chiffre. » Montrez les 3 cartes (600, 70, 5) et rappelez, en le modélisant, l’alignement sur le côté droit et la superposition des cartes. Demandez aux élèves, regroupés en binômes, d’effectuer la même mani-pulation avec leurs propres cartes de numération (annexe 1-1). Proposez ensuite la représentation de 2 nombres qui comportent un zéro : 640 et 502 par exemple. Analysez collectivement les réalisations des binômes. Écrivez au tableau les phrases mathématiques correspon-dantes en respectant le code couleur du fichier : 600 + 40 + 0 = 640. Associez-y l’écriture en lettres « six cent quarante ». Concluez la leçon avec l’exercice 1 page 7 du fichier 1 et les exercices page 6 du fichier photocopiable, à faire en autonomie.

Différenciation Soutien : Proposez aux élèves en difficulté de représenter des nombres à 3 chiffres dont la lecture est plus aisée : 245, 357, 128. Revenez sur le nombre « soixante-quinze » et demandez : « Pourquoi ce nombre a-t-il cette appellation particulière ? » Approfondissement : Proposez aux élèves de trouver tous les nombres à 3 chiffres qui contiennent les chiffres 5, 6, et 7, puis de les écrire sous forme de sommes de trois termes, comme dans la leçon.

Activité optionnelle Synthèse de la séance

Jeu du furetFormez 4 équipes, placées en rond. Donnez un nombre de départ (ex. : 134). Le premier élève ajoute 1 centaine et dit le nombre (234) ; le deuxième fait de même et dit 334, et ainsi de suite. L’équipe marque 1 point pour chaque tour effectué sans erreur. Proposez des variantes : soustraire au lieu d’ajouter ; une dizaine au lieu d’une centaine…

• Je sais lire un nombre à 3 chiffres.• Je connais la valeur de chaque

chiffre dans un nombre à 3 chiffres.• Je sais représenter un nombre à 3

chiffres avec du matériel de base 10 et des cartes de numération.

• Je sais écrire un nombre sous forme de somme.


Fichier 1 p. 6

Fichier 1 p. 7

675 = 600 + 70 + 5

Figure 1

600 + 90 + 5 = 695700 + 90 + 5 = 795700 + 90 + 8 = 798

Figure 2

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1 Trois expressions d’un nombre à 3 chiffres Projetez le haut de l’encadré « J’observe » de la page 8 du fichier 1 au tableau ou demandez aux élèves d’observer leur fichier. Analysez ensemble les 3 expressions ou représentations du nombre 675 sur le tableau d’Alice. Faites oraliser une expression à la fois : la première est le nombre écrit en lettres ; la deuxième est la décomposition additive la plus simple en centaines, dizaines et unités écrite à l’aide de nombres et de mots ; la troisième est la même décomposition additive en centaines, dizaines et unités mais cette fois-ci exprimée sous forme d’une somme de trois nombres. Il est important que les élèves comprennent l’équivalence entre ces trois expressions. Citez d’autres nombres, en commençant par un nombre à 2 chiffres (ex. : 27) et demandez aux élèves d’écrire individuellement sur leur ardoise les trois expressions (vingt-sept, 2 dizaines et 7 unités, 20 + 7). Continuez avec des nombres à 3 chiffres non nuls comme 524 puis 498. Terminez avec une discussion sur les nombres comme 207, 530 et 700 qui contiennent une ou deux fois le chiffre zéro. Confrontez les opinions des élèves. Comparez les nombres 207 et 27 : « En quoi sont-ils semblables ; en quoi sont-ils différents ? »

2 Représenter un nombre à 3 chiffres avec des disques-nombres

Demandez aux élèves d’observer le bas de l’encadré « J’observe » de la page 8 du fichier 1. Un nouveau matériel pédagogique est introduit pour représenter les unités de numération : unités, dizaines et centaines sont toutes symbolisées par des disques de couleur sur lesquels leur valeur numérique est inscrite. Demandez aux élèves de déduire les correspondances avec le matériel de base 10.


1 Trois expressions d’un nombre à 3 chiffres

20 min Collectif

2 Représenter un nombre à 3 chiffres avec des disques-nombres

20 min

Collectifpuis en binôme

3 Pratique autonome 20

minEn binôme ou

individuel

Fichier 1 : pp. 8-9Fichier photocopiable : p. 7Annexe : 1-2 « Disques-nombres »

Matériel pédagogique : matériel de base 10, pièces de monnaie

Vocabulaire : centaines, dizaines, unités, disques-nombres


Explorer différentes représentations de nombres (concrète, verbale/orale et symbolique) et comprendre les correspondances entre ces représentations. Identifier la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 3 chiffres.


Objectifs


Calcul mental En chiffres et en lettres

Dictez aux élèves des nombres com-pris entre 0 et 69, un par un, dans l’ordre ou le désordre. Demandez-leur de les écrire en chiffres et en lettres sur leur ardoise.

Variante 1 : À la place d’un nombre, dictez « cinq dizaines et sept unités » ou « quatre dizaines et zéro unité » par exemple.Variante 2 : Reprenez la variante 1 en dictant d’abord le nombre d’unités, suivi du nombre de dizaines.

Qu’est-ce qu’un nombre décimal ? Le système décimal est un système de numération utilisant la base 10, ce qui signifie que les puissances de 10 (1, 10, 100, 1 000…) sont privilé-giées.Dans notre système décimal, 10 unités permettent de créer 1 dizaine.De même, 10 dizaines permettent de créer 1 centaine. Dans le tableau de centaines, dizaines et unités, cela revient à dire que, lorsque nous avons 10 éléments dans une co-lonne, nous les regroupons pour en faire un élément dans la colonne im-médiatement à gauche.10 unités = 1 dizaine➜ 10 × 1 = 1010 dizaines = 1 centaine➜ 10 × 10 = 10010 centaines = 1 millier➜ 10 × 100 = 1 000


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Laissez le temps aux enfants de se familiariser avec les disques. Introduisez ce nouveau modèle graduellement, en commençant par des représentations concrètes de différents nombres à trois chiffres. Les élèves vont s’habituer peu à peu à la représentation des nombres sous forme de disques grâce aux images de leur fichier. Formez des binômes et demandez-leur de modéliser, avec leur matériel de base 10 et leurs disques (annexe 1-2) les deux nombres représentés dans le tableau en bas de page (exercice 1) et de répondre à la question posée. Prenez le temps de faire compter les dizaines et les unités dans les deux colonnes, pour le nombre 18 d’abord, puis pour le nombre 125. Continuez avec l’exercice 2 page 9.Le matériel des disques marque une progression vers l’abstraction car :• on ne peut plus voir ou compter 10 disques 1 dans 1 disque 10 (ou

10 disques 10 dans 1 disque 100 ) ; • la taille de chaque disque n’est plus proportionnelle à la valeur

numérique qu’il représente. Remarque : Aucun modèle d’apprentissage ne peut garantir que les élèves comprennent bien la relation entre 10 et 1. C’est en insistant sur le fait qu’1 centaine correspond à 10 dizaines, de même qu’1 dizaine correspond à 10 unités, que vous pourrez les aider à saisir la structure de notre système décimal.

3 Pratique autonomeDistribuez les exercices 1 et 2 page 7 du fichier photocopiable. Ces activités ne devraient pas présenter de difficultés particulières. Faites travailler les élèves en binômes ou individuellement.

Différenciation Soutien : Si certains élèves ont des difficultés à comprendre qu’un disque « 100 » représente un nombre 10 fois plus grand qu’un disque « 10 », utilisez des pièces de monnaie (vraies ou fausses) afin d’illustrer ce phénomène en l’ancrant dans une réalité qui leur sera peut-être plus accessible : une pièce de 10 centimes vaut 10 fois plus qu’une pièce de 1 centime. Approfondissement : Dans l'exercice 2 de la page 7 du fichier photocopiable, demandez aux élèves avancés, en plus d’écrire les nombres en chiffres, de trouver deux autres façons d’exprimer chaque nombre en s’inspirant du tableau d’Alice en haut de la page 8 du fichier 1.


Je représente un nombre !Faites travailler les élèves en binômes. Donnez-leur soit les blocs, soit les disques, ainsi qu’un tableau de numéra-tion. Un des enfants doit utiliser le matériel pour représenter un nombre compris entre 100 et 999. L'autre enfant doit « lire » le nombre et l'inscrire dans le tableau de numération.Inversez ensuite les rôles puis le processus.

• Je sais lire un nombre à 3 chiffres.• Je comprends le sens et la valeur

de chaque chiffre dans un nombre à 2 ou 3 chiffres.

• Je sais représenter un nombre à 2 ou 3 chiffres avec des disques-nombres.

• Je vois la correspondance entre les différentes représentations d’un nombre.


Fichier 1 p. 8

Fichier 1 p. 9

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1 Lier les trois représentations concrètes d’un nombre Dites à voix haute « 258 » et demandez aux élèves d’être bien attentifs à tous les mots utilisés pour dire ce nombre : « deux cent / cinquante / huit ». Demandez à un élève de venir au tableau représenter ce nombre avec du matériel de base 10, à un deuxième de le représenter avec des disques-nombres et enfin à un troisième de le représenter avec des cartes de numération. Assurez-vous que les élèves fassent bien le lien entre les trois représentations : (1) le matériel de base 10 qu’ils connaissent et qui est la plus élémentaire des trois représentations car la taille des blocs est proportionnelle à la valeur numérique représentée ; (2) les disques-nombres qui représentent une progression vers l’abstraction, car la taille des disques est identique, seules les couleurs et les inscriptions diffèrent ; (3) les cartes de numération qui représentent les termes de la décomposition additive la plus simple du nombre. Faites verbaliser la valeur du chiffre 2 (deux centaines ou 200), puis celle de 5 (5 dizaines ou 50) et enfin celle de 8 (8 unités ou 8). Écrivez ensuite au tableau la phrase mathématique additive correspondante en respectant le code couleur du fichier : 200 + 50 + 8 = 258. Associez-y l’écriture en lettres « deux cent cinquante-huit ». Concluez en invitant les élèves à réaliser individuellement l’exercice 1 du fichier 1 page 10. Faites remarquer que le nombre 537 n’est relié à aucune carte.

2 Comprendre le sens et la valeur de chaque chiffre Écrivez au tableau 4 nombres (512, 451, 705 et 57) et interrogez les élèves sur la valeur du chiffre 5 dans chaque nombre. Si besoin, aidez les élèves dans leur réflexion avec un tableau de numération à 3 colonnes.


1 Lier les trois représentations concrètes d’un nombre

20 min

Collectif puis individuel

2 Comprendre le sens et la valeur de chaque chiffre

20 min



min Individuel

Fichier 1 : p. 10Fichier photocopiable : pp. 8-10

Matériel pédagogique : matériel de base 10, cartes de numération, disques-nombres, 1 dé rouge, 1 dé vert, 1 dé bleu


Identifier la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 3 chiffres, comprendre son sens et l’exprimer de différentes façons. Comprendre l’équivalence entre représentations concrètes et expressions.


Objectifs


Calcul mental Comparer 2 nombres

Écrivez au tableau une paire de deux nombres à 2 chiffres. Les élèves écrivent sur leur ardoise le nombre le plus grand (alternez avec le nombre le plus petit). Commencez par 2 nombres dont le chiffre des dizaines est différent : 87 et 99 par exemple. Demandez aux élèves d’expliquer en quoi cette comparaison est très facile. Poursuivez avec des nombres dont le chiffre des dizaines est identique : 87 et 89 par exemple. Variante 1 : Demandez aux élèves de combien le nombre est plus grand ou plus petit.Variante 2 : Reprenez avec deux nombres à 3 chiffres. De temps à autre, faites verbaliser les stratégies. Variante 3 : Faites ordonner trois nombres (à 2 chiffres puis à 3 chiffres).


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Centaines Dizaines Unités

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500 10 2

Expliquez que la réponse peut prendre différentes formes : par exemple, pour le chiffre 5 dans 512, les réponses « cinq centaines », « 5 centaines », « cinq cents » et « 500 » (la plus simple) sont équivalentes, donc toutes acceptables. Il est important de modéliser ce genre de flexibilité en ma-thématiques ; dans le cas contraire, les élèves peuvent avoir l’impression que les mathématiques sont fixes et rigides et qu’il n’y a toujours qu’une réponse juste possible. Poursuivez en demandant aux élèves de travailler en binôme sur les exercices 2, 3 et 4 du fichier 1 page 10. Proposez du matériel ou un ta-bleau de numération (C/D/U) à ceux qui en auraient besoin. Notez que dans l’exercice 4 a) à d), on cherche une partie, mais dans l’exercice 4 e) à h), on cherche le tout.

3 Pratique autonomeLes exercices 1 à 4 pages 8 à 10 du fichier photocopiable sont à réaliser en autonomie, les élèves s’étant déjà entraînés à ce type d’activités. Variez vos exigences selon les acquis des élèves. Ainsi, pour l’exercice 1, certains élèves peuvent écrire les trois nombres en lettres ou même trouver tous les nombres à trois chiffres contenant 3, 4 et 5. Dans l’exercice 2, vous pouvez demander aux élèves avancés de donner la position et la valeur de chaque chiffre, ainsi que le nombre qu’il représente. L’exercice 3 contient une énigme : faites-le remarquer aux élèves pour les motiver !

Différenciation Soutien : Proposez à un groupe d’élèves en difficulté de lancer à tour de rôle 3 dés de 3 couleurs, un rouge pour les centaines, un vert pour les dizaines et un bleu pour les unités. Faites lire et écrire le nombre obtenu puis demandez d’oraliser la valeur de chaque chiffre. Répétez l’entraînement avec 2 dés pour deux des trois valeurs positionnelles, la troisième (que vous déterminerez d’avance) étant 0. Approfondissement : Proposez des trains de nombres aux élèves avancés, tels que : 632 ➜ ____ ➜ 602 ➜ ____ ➜ 607 ➜ ____ ➜ 807. Demandez-leur de compléter les blancs avec l’opération effectuée : +/– n unités ou +/– n dizaines ou +/– n centaines.


Jeu de cartesFormez des groupes de 4 élèves. Chaque joueur reçoit 3 cartes, face cachée, et forme le plus grand nombre possible. Une fois les nombres mon-trés, si le joueur qui a formé le plus grand nombre indique correctement la valeur représentée par chaque chiffre, il marque 1 point.

• Je sais lire et écrire les nombres à 3 chiffres.

• Je sais représenter un nombre concrètement avec du matériel varié.

• Je comprends la valeur de chaque chiffre dans un nombre.

• Je sais décomposer un nombre à 3 chiffres en centaines, dizaines et unités.


Fichier 1 p. 10

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1 Mise en contexte : jeux avec les grands nombres Animez un jeu du furet. Demandez aux élèves de compter de 100 en 100. Chaque élève désigné au hasard ajoute à son tour 100. Faites ensuite de même mais à rebours. Poursuivez avec des variantes : compter de 100 en 100 à partir d’un nombre comme 104 jusqu’à 904 puis à rebours ; compter de 100 en 100 à partir d’un nombre comme 125 jusqu’à 925 puis à rebours. Au début, évitez de compliquer les choses en utilisant des nombres contenant 70, 80 ou 90. Ce qui importe, c’est que les élèves automatisent le comptage de 100 en 100 (cf. encadré ci-contre).

2 Représenter 1 000 avec le matériel de numération Installez une petite plate-forme au centre ou à l’avant de la classe, assez haute pour que tout le monde puisse la voir. Placez-y 10 cubes unités, 10 barres de dix, 10 plaques de cent et 1 gros cube de mille. Organisez le matériel selon les 3 dimensions de la classe (de l’avant à l’arrière, de gauche à droite, puis de bas en haut) :1. Alignez (de l’avant à l’arrière) 10 cubes unités, un par un, pendant que les enfants les comptent en chœur. Quand vous arrivez à « dix », remplacez les 10 cubes unités par une barre de dix et demandez : « Êtes-vous d’accord pour dire que 10 unités, c’est une dizaine ? »2. Alignez ensuite 10 barres de dix de gauche à droite, une par une, pendant que les enfants comptent les dizaines en chœur. Quand vous arrivez à « cent », remplacez les 10 barres de dix par 1 plaque de cent et demandez : « Êtes-vous d’accord pour dire que 10 dizaines, c’est une centaine ? »3. Enfin, empilez 10 plaques de cent, une par une, pendant que les enfants comptent les centaines en chœur. S’ils comptent vite, il est possible qu’ils passent de « neuf cents » à « dix cents ». Commencez par accepter cette nomenclature et utilisez-la. À « dix cents », remplacez les


1 Mise en contexte : jeux avec les grands nombres

20 min Collectif

2 Représenter 1 000 avec le matériel de numération

20 min


3 Résoudre un problème 20

minCollectif puis en

groupe ou en binôme

Fichier 1 : p. 11 Matériel pédagogique : disques-nombres, matériel de base 10, 1 tableau de numération par binôme, 1 rame de 500 pages de papier

Vocabulaire : mille, millier


Lire et écrire le nombre 1 000 en comprenant la valeur positionnelle de chaque chiffre. Le représenter avec du matériel de numération varié : matériel de base 10, disques-nombres.


Objectifs


Calcul mental Deviner un nombre

Faites deviner des nombres à 2 chiffres aux élèves : « Je pense à un nombre plus grand que 45 mais plus petit que 48 ; il contient le chiffre 7. Quel est ce nombre ? » Laissez un temps de réflexion puis demandez aux élèves d’écrire la réponse sur leur ardoise.

Compter devient plus facile Faites remarquer aux élèves, lorsqu’ils apprennent à compter de 100 en 100 jusqu’à 1 000, que plus les nombres sont grands, plus les mots qui les désignent sont simples. Faites-leur prendre conscience de ce fait en récapitulant les différentes difficultés qu’ils ont rencontrées jusqu’à présent : • compter de 1 en 1 jusqu’à 10 est

simple ; • compter de 10 en 10 jusqu’à 100

est plus compliqué car cela implique d’apprendre les mots-nombres soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt-dix ;

• compter de 100 en 100 jusqu’à 1 000 redevient facile puisqu’on commence toujours par le nom du chiffre des centaines, auquel on ajoute le mot « cent ».

Analysons les milliers, les centaines, les dizaines et les unités (1)Séance 4

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10 plaques de cent par 1 gros cube de mille et demandez : « Connaissez-vous un autre mot pour désigner ”dix cents” ? »Beaucoup d’élèves connaîtront la réponse : 10 centaines, c’est un millier. Écrivez au tableau : 10 centaines, c’est 1 millier ou 10 x 100 = 1 000.Le fait de construire le cube de 1 000 de cette façon, c’est-à-dire en commençant par un cube unité que l’on multiplie par 10 trois fois, en utilisant les trois dimensions de la salle de classe pour organiser la modélisation, va permettre aux enfants de visualiser la relation suivante : « 1 000 = 10 x 10 x 10 » ou « 1 000, c’est 10 au cube » ou « 1 000 = 103 », ce qu’ils apprendront plus tard. Pour bien poser les bases de ce concept et connecter la structure géométrique du cube à la structure numérique du système décimal, faites courir votre doigt le long de chaque dimension du cube en disant : « Dix fois dix fois dix, c’est mille. » Distribuez aux élèves répartis en binôme du matériel de base 10, des disques-nombres et un tableau de numération. Demandez-leur de représenter le nombre 1 000 avec 10 centaines (plaques et/ou disques) puis d’écrire mille avec 4 chiffres dans le tableau. Faites oraliser : « le ”1” représente un millier ; le 1er ”0” représente 0 centaine ; le 2e ”0” représente 0 dizaine ; le 3e ”0” représente 0 unité. » Terminez avec la représentation par les binômes de nombres comme 1 250 ou 2 345 dans leurs tableaux.

3 Résoudre un problèmeProjetez la page 11 du fichier 1 ou demandez aux élèves de suivre dans leur fichier. Après une révision du même apprentissage à l'aide des sachets de thé d’Adèle (« 10 boîtes de cent, ça fait 1 000 »), passez au problème d’Idris. Pendant qu’un volontaire lit la première partie à voix haute, montrez à la classe votre rame de 500 pages. Un des objectifs ici est de comprendre que 500 est la moitié de 1 000, ce qui veut dire que compter de 500 en 500 prend deux fois plus de temps que compter de 1 000 en 1 000. Afin de vous assurer que les enfants font bien le lien entre les différentes représentations, faites-les travailler en groupe ou en binôme avec : la droite numérique (dans la bulle d’Idris) ; le tableau ci-contre (figure 1) ; le matériel pédagogique (soit en empilant 5 plaques de 100 à la fois, soit en ajoutant des disques « 100 » 5 par 5) ; et enfin des rames de papier de 500 pages.

Différenciation Soutien : Comme l’apprentissage va graduellement se détacher du matériel de base 10 pour aller vers l’utilisation des disques-nombres, il est essentiel que les élèves saisissent bien leur valeur. Refaites la démonstration présentée dans le deuxième paragraphe, mais en utilisant cette fois les disques-nombres : 10 disques bleus, c’est un disque vert ; 10 disques verts, c’est un disque rose et 10 disques roses, c’est un disque bleu foncé. Les élèves doivent s’entraîner à représenter différents nombres composés de 2, 3 ou 4 chiffres. Approfondissement : Demandez aux élèves avancés d’imaginer 1 000 pièces de 1 centime et demandez : « Combien d’argent cela représente ? » Continuez avec 1 000 pièces de 5 centimes, de 10 centimes, de 1 euro, de 2 euros, etc.

Synthèse de la séance

• Je sais lire, écrire et représenter le nombre 1 000.• Je comprends la valeur de chacun de ses chiffres.


Fichier 1 p. 11

Figure 1

Nombre de rames

Nombre de feuilles

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1 500

2 1 000

3 1 500

4 2 000

etc. etc.

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1 Représentations multiples de 1 354 Revoyez rapidement l’empilement de 10 plaques de cent. « Comment s’appelle le grand cube obtenu ? » (Un millier ou mille sont des réponses acceptables.) « Combien contient-il de centaines ? » (10), « De di-zaines ? » (100), « D’unités (ou de petits cubes) ? » (1 000). Dites aux élèves : « Vous allez travailler sur des grands nombres, supérieurs à (ou plus grands que) mille, et même des nombres composés de plusieurs milliers. Nous allons revoir les différentes façons de représenter un nombre avec notre matériel. » Formez des ateliers de 4 élèves. Chaque atelier va représenter le nombre 1 354, avec soit :• du matériel de base 10 ;• des disques-nombres ;• des cartes de numération superposables.Distribuez un des trois matériels à chaque atelier et accordez-leur 3 minutes. Faites-les tourner (en laissant le matériel à disposition) pour voir les deux autres représentations concrètes. Vous pouvez photographier les réalisations des ateliers, où vous repérerez des réponses justes comme des erreurs, et les projeter ensuite pour en discuter. Les raisonnements illogiques et les réponses erronées peuvent être très instructifs, dans la mesure où ils révèlent souvent la façon dont les élèves abordent les problèmes mathématiques compliqués. Étudier ensemble les travaux des enfants leur montre d’une part qu’il est important d’être ouvert aux corrections, et d’autre part que les erreurs peuvent devenir un outil d’apprentissage. Concluez cette première partie en projetant la page 12 du fichier 1 au tableau, ou en demandant aux enfants de suivre dans leur livre. Ils y trouveront les trois représentations qu’ils viennent de produire.


1 Représentations multiples de 1 35425

min En ateliers tournants

2 Trois expressions d’un nombre à 4 chiffres

20 min

Collectifpuis individuel


min Individuel

Fichier 1 : pp. 12-13Fichier photocopiable : pp. 11-12

Matériel pédagogique : matériel de base 10, disques-nombres, cartes et tableaux de numération

Vocabulaire : mille, millier


Identifier la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 4 chiffres. Le représenter avec du matériel de numération varié : matériel de base 10, disques-nombres, cartes de numération.


Objectifs


Calcul mental Deviner un nombre

Posez des devinettes aux élèves comme à la séance 4, mais cette fois-ci en mélangeant solutions uniques et multiples et/ou en utilisant des nombres à 3 chiffres. Exemples : « Mon chiffre des cen-taines est 6 et mon chiffre des uni-tés est 2, le chiffre des dizaines est le double de celui des unités. » (642), « C'est le nombre le plus grand que je peux écrire avec les chiffres 7, 8 et 9. » (987), « J’ai 9 centaines, le chiffre de mes unités est le double de celui de mes dizaines. », (912/924/936/948).

Quelques précisions Notre système de numération indo-arabe est un système de numération décimal. Il emploie 10 chiffres (de 0 à 9) et une notation positionnelle pour représenter les nombres entiers naturels. Pour les autres ensembles de nombres, on utilise des signes supplémentaires, comme par exemple un petit trait pour les nombres négatifs ou une virgule pour les nombres décimaux. Pour faciliter la lecture d’un grand nombre, on espace les groupes de 3 chiffres, partant de la droite, comme dans 8 000 ou 18 000. Mais ceci n’est pas une notation universelle.Attention : Dans le nombre 1 354, le chiffre des centaines est 3 et il représente 3 centaines. Mais si l’on décompose le millier en centaines (1 millier, c’est 100 centaines), le nombre de centaines est 13 car 1 354 = 13 × 100 + 54. Enfin, « décimal » veut dire en base 10 : l’expression « 1 000 + 300 + 50 + 4 » deviendra, avec les puissances de 10, « 1 x 103 + 3 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100 » (où 100 = 1).


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2 Trois expressions d’un nombre à 4 chiffres Attirez maintenant l’attention des élèves sur le tableau d’Alice en bas de la page 12 du fichier 1. S’ils ont oublié comment exprimer un nombre, demandez-leur de revenir à la page 8 et d’observer les trois expressions proposées en haut de la page, cette fois pour les nombres à trois chiffres : la première est le mot-nombre ou le nombre écrit en lettres ; la deuxième est la décomposition additive la plus simple en milliers, centaines, dizaines et unités, écrite à l’aide de nombres et de mots ; la troisième est la même décomposition additive en milliers, centaines, dizaines et unités mais cette fois-ci exprimée sous forme d’une somme de quatre nombres. Il est important que les élèves comprennent l’équivalence entre ces trois expressions. Terminez la discussion en leur demandant de regarder l’exercice 1 de la page 13 et de déterminer laquelle de ces trois expressions y est utilisée. Une fois qu’ils ont compris qu’il s’agissait d’un mélange de nombres et de mots, demandez-leur de compléter la page individuellement. Prenez le temps de discuter de la partie c) avec toute la classe. Posez la question suivante : « Quelles sont les différences et les points communs entre cette activité et ce que nous avons fait hier ? » Différences : Hier, nous avons représenté le nombre 1 000, alors qu’ici, il s’agit du nombre 10 000. Points communs : Dans chaque cas, lorsqu’on a 10 unités dans un rang, on les remplace par une unité dans le rang de gauche. De la même façon que 10 centaines faisaient 1 millier, ici 10 milliers font 1 « dix mille ». Rappelez le titre du chapitre et dites aux enfants qu’il s’agit du plus grand nombre qu’ils vont étudier cette année !

3 Pratique autonomeDistribuez les pages 11 et 12 du fichier photocopiable. L’exercice 1 est à réaliser en totale autonomie. Pour l’exercice 2, dites aux élèves d’utiliser le matériel de leur choix. Enfin, pour l’exercice 3, certains élèves auront besoin d’aide, ce qui est normal. Remarquez que les dizaines (3, 0, 4 et 0) ne posent pas de problèmes majeurs de langue.

Différenciation Soutien : Multipliez les représentations de nombres à 4 chiffres avec le matériel de base 10 et faites noter chacun des nombres dans un tableau de numération à 4 colonnes. Approfondissement : Demandez aux élèves avancés de compléter les représentations des nombres de la page 13 du fichier 1 par les phrases mathématiques correspondantes.


Je représente mon nombre préféréL’élève utilise sa créativité et ses connaissances mathématiques pour créer une affiche pour son nombre à 4 chiffres préféré. L’affiche doit inclure au moins 5 représentations (dessin, décomposition, nombre, mots, droite numérique, tableau…).

• Je sais lire, écrire et représenter un nombre à 4 chiffres.

• Je comprends le sens et la valeur de chaque chiffre.

• Je comprends l’équivalence entre les expressions variées.


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1 Disques-nombres et unités de numération Débutez la séance par un rappel des correspondances entre le matériel de base 10 et les disques-nombres étudiées en séance 5. Invitez les élèves à ouvrir leur fichier 1 page 14 et à compter les milliers, les centaines, les dizaines et les unités des exercices 1 a) et 1 b) puis à compléter individuellement les tableaux de numération. Analysez collectivement l’exercice 1 c). Dessinez le tableau de numéra-tion à 4 colonnes et les disques-nombres puis remplissez chaque colonne en interrogeant 4 volontaires. Si un élève propose de mettre 11 dans la colonne des centaines, comptez le nombre total de chiffres dans le ta-bleau : 5 – 1 – 1 – 2 – 4. Faites remarquer que le nombre est composé de plus de 4 chiffres et rappelez que dans le système décimal, il ne faut qu’un chiffre pour chaque unité de numération. Évoquez ensuite la construction du cube de mille (10 plaques de cent font 1 cube de mille). Puis, à l’aide de questions, guidez les élèves pour qu’ils trouvent la solu-tion : « Combien y a-t-il de centaines ? », « Par quoi peut-on remplacer 10 disques 100 ? » Dites que « 11 centaines, c’est équivalent à 10 cen-taines et 1 centaine ou 1 millier et 1 centaine ». Terminez en invitant les élèves à lire le phylactère d’Alice puis demandez à un volontaire de procéder à l’échange au tableau, c’est-à-dire remplacer 10 disques roses par 1 disque bleu foncé. Faites écrire individuellement le nombre obtenu, soit 6 124.

2 Comprendre le sens et la valeur de chaque chiffre Commencez cette deuxième partie de la leçon avec une activité collective. Sur leur ardoise, les élèves tracent un tableau de numération à 4 colonnes. Dites un nombre à 4 chiffres, par exemple 4 234. Au signal, les élèves écrivent le nombre en plaçant chaque chiffre sur la ligne 2 de la colonne correspondante. Sur la ligne 3, ils indiquent la valeur représentée par chaque chiffre.


1 Disques-nombres et unités de numération

15 min

Collectif et individuel

2 Comprendre le sens et la valeur de chaque chiffre

25 min

Collectif, individuel puis en binôme


minIndividuel

ou en binôme


Matériel pédagogique : disques-nombres


Lire et écrire des nombres à 4 chiffres en comprenant la valeur positionnelle de chaque chiffre. Les représenter avec du matériel de numération.

Compétence du programme 2016 : Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers. Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération (m, c, d, u).

Objectifs


Calcul mental Ajouter/soustraire 1 ou 2

Donnez aux élèves un nombre à 2 chiffres et demandez-leur de dire à voix haute, ou d’écrire sur leur ar-doise, le nombre qui vient juste après (ce qui revient à chercher n + 1). Pour-suivez en demandant aux élèves de trouver n + 2. Demandez ensuite aux élèves de trou-ver le nombre qui vient juste avant le nombre que vous aurez énoncé (ce qui revient à chercher n – 1). Poursuivez en demandant aux élèves de trouver n – 2. Remarque : À ce stade, avec n donné, les nombres n – 2, n – 1, n + 1 et n + 2 ne sont pas obtenus par des calculs. Les élèves les trouvent en comptant ou en comptant à rebours à partir de n. Variante : Si vous pensez que vos élèves sont prêts, reprenez l’activité avec n + 3 et n – 3.


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Milliers Centaines Dizaines Unités

4 2 3 4

4 000 200 30 4

Insistez sur la particularité du chiffre 4 dans le nombre 4 234 : « Il occupe 2 positions différentes dans un même nombre : chaque 4 correspond donc à une valeur différente, 4 000 pour le premier et 4 pour le second. » Confrontez les résultats. Pour chaque chiffre, faites verbaliser sa position et la valeur qu’il représente. Variez ensuite les nombres : proposez d’abord des nombres à 4 chiffres non nuls puis continuez avec des nombres ne comportant aucune dizaine, aucune unité, et même aucune dizaine et aucune unité, etc. Revoyez les cas 9 000 et 10 000. Pour terminer, demandez aux élèves de réaliser les exercices 2, 3, 4 et 5 page 15 du fichier 1 qui sont semblables aux exercices de la séance 3. L’exercice 6 pourra être réalisé en binôme ou analysé collectivement au préalable. C’est un exercice pré-algébrique : l'étoile joue le rôle de la valeur inconnue qu’il faut rechercher dans chaque égalité. Demandez : « Que faut-il ajouter à 8 090 pour obtenir 8 190 ? » et « Que faut-il ajouter à 2 005 pour obtenir 2 035 ? »

3 Pratique autonomeLes exercices 1 à 5 pages 13 et 14 du fichier photocopiable sont à réaliser en autonomie ou en binôme, les élèves s’étant déjà entraînés à ce type d’activités. Les exercices qui peuvent poser problème sont l’exercice 2 (les nombres contiennent des zéros) et l’exercice 3, une énigme. L’exercice 5 permet de revoir 3 expressions utilisées pour décrire un chiffre : (1) il occupe la position des ___ ; (2) il a pour valeur ___ ; (3) il représente le nombre ___ (dans sa décomposition additive).

Différenciation Soutien : Proposez aux élèves qui ont du mal à écrire des nombres qui contiennent des zéros (exercice 2 du fichier photocopiable) d'utiliser d'abord le matériel pédagogique (disques-nombres par exemple) pour représenter les nombres, puis de retranscrire les chiffres dans un tableau de numération. Approfondissement : Demandez aux élèves en demande de défi de trouver tous les nombres distincts qu'on peut former avec les chiffres 3, 4, 5 et 6 (exercice 4 du fichier photocopiable) et d'expliquer leur approche systématique.


• Je sais lire, écrire, composer, décomposer et représenter les nombres à 4 chiffres. • Je comprends le sens et la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 4 chiffres.


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1 Comparer deux nombres à 3 chiffres Commencez par demander aux élèves : « Pourquoi est-il important de savoir comparer les nombres ? » Vous obtiendrez des réponses variées. Expliquez qu’avant de calculer une somme ou une différence, il faut toujours comparer les nombres concernés. Dans l’unité 2, les élèves vont travailler sur les additions et les soustractions. Pour faire une soustraction, il faut commencer par déterminer lequel des deux nombres est le plus grand, et lequel est le plus petit. Au CE1, la méthode utilisée pour comparer les nombres à 3 chiffres était la même que celle utilisée au CP pour comparer les nombres à 2 chiffres. De la même façon, les élèves de CE2 vont pouvoir mobiliser la méthode vue au CE1 pour comparer, cette fois, des nombres à 4 chiffres. Il est donc utile de commencer par revoir la méthode de comparaison des nombres à 3 chiffres. Demandez aux élèves de fermer les yeux et écrivez les nombres 849 et 573 au tableau. Cachez les chiffres des centaines et des dizaines de chaque nombre avec des feuilles de papier. Demandez aux élèves d’ouvrir les yeux et de comparer les deux nombres affichés : 9 et 3. « 9, le premier nombre, est clairement le plus grand. » Ôtez alors les notes qui cachent les chiffres des dizaines et demandez de comparer les deux nombres qui apparaissent maintenant : 49 et 73. « C’est maintenant le deuxième nombre qui est le plus grand car son chiffre des dizaines est le plus grand (70 est plus grand que 40). » Enfin, dévoilez les chiffres des centaines et demandez à nouveau de comparer les deux nombres 849 et 573. « C’est à nouveau le premier nombre qui est le plus grand car son chiffre des centaines est le plus grand (800 est plus grand que 500). » Les élèves vont conclure que, dans cet exemple, c’est le chiffre des centaines qui est le plus important. Aidez-les à formuler la règle à tirer de cet exemple : on commence par comparer les chiffres des centaines de chaque nombre et on ne regarde les chiffres de droite (les dizaines) que


1 Comparer deux nombres à 3 chiffres25

min Collectif

2 Comparer et ordonner des nombres à 4 chiffres

15 min



minIndividuel

puis en binôme


Matériel pédagogique : disques-nombres, tableaux et cartes de numération


Comparer deux nombres à 4 chiffres en utilisant le tableau de numération et les disques-nombres. Repérer leur position sur une droite numérique : plus un nombre est à droite, plus il est grand.

Compétence du programme 2016 : Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer et comparer.

Objectifs


Calcul mental Familles des nombres 6 et 7

Donnez à voix haute un nombre infé-rieur ou égal à 6. Les élèves doivent écrire sur leur ardoise son complé-ment à 6. Ils peuvent pour cela utili-ser un schéma de famille de nombres. Faites de même avec les complé-ments à 7. Variante : Si les compléments à 6 et à 7 ont déjà été automatisés au CP/CE1, explorez avec vos élèves les complé-ments à 16 et à 17. Par exemple, si 3 est le complément à 7 de 4, alors 3 est le complément à 17 de 14 et 13 est le complément à 17 de 4.

Comparons et ordonnons les nombres (1)Séance 7

De la bande numérique à la droite numérique et à l’axe des x Au CP et au CE1, la droite numé-rique était représentée par une corde à linge horizontale parfaite-ment droite. Chaque nombre entier naturel était inscrit sur une carte ac-crochée à la corde. Les cartes étaient proches les unes des autres, puisque dans les premières années d’appren-tissage, l’univers numérique des en-fants se limite aux entiers naturels. Au CE1, les élèves ont compris qu’il existe d’autres nombres entre tous ces entiers naturels consécutifs : par exemple, entre 0 et 1, il y a 1

2.

Au CE1, les cartes numériques dispa-raissent : on ne garde que les tirets verticaux pour représenter les nombres. Au fil du temps, les inter-valles entre les entiers naturels consécutifs prendront de plus en plus d’importance, jusqu’à ce qu’au collège, cette ligne numérique de-vienne « l’axe des x ».


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si les chiffres des centaines sont égaux. De même, on ne regarde les chiffres encore à droite (les chiffres des unités) que si les chiffres des dizaines sont égaux. Pour faire la transition avec la leçon du jour, demandez aux élèves de trouver des exemples de chiffres à ajouter en position des milliers.

2 Comparer et ordonner des nombres à 4 chiffres Invitez les élèves à ouvrir leur fichier 1 page 16 et à lire les phylactères d’Adèle et de Maël. La comparaison des nombres 526 et 251 est facile et rapide car 500 est plus grand que 200. Revoyez le sens du symbole <. Faites observer la droite numérique et demandez : « En quoi la droite numérique nous aide-t-elle à voir le plus grand nombre ? », « Le plus grand nombre est à droite, le plus petit à gauche car les nombres sur la droite augmentent de gauche à droite. »Formez des binômes, distribuez à chacun des disques-nombres pour représenter les nombres 3 526 et 4 251 puis faites compléter l’exercice 1 page 16 du fichier 1. Faites oraliser les stratégies utilisées. Insistez sur la nécessité de commencer par le chiffre le plus à gauche, dans ce cas celui des milliers. Tracez ensuite une droite numérique au tableau en y indiquant les nombres 3 000, 3 500, 4 000 et 4 500. Demandez à un volontaire de venir y placer les deux nombres. Écrivez ensuite la phrase mathématique : 3 526 < 4 251.Poursuivez avec la page 17 du fichier 1. Faites observer les deux comparaisons de nombres : la première paire est facile à comparer car 5 000 est plus grand que 4 000. Dans la deuxième paire, il faut comparer les nombres jusqu’aux unités. Faites remarquer que le nombre 4 257 figure dans les deux tableaux : dans le premier, il est le plus petit ; dans le deuxième, il est le plus grand. Pour illustrer ce fait, tracez une droite numérique et placez les 3 nombres. Montrez que 4 257 est entre les deux autres nombres. Faites écrire les phrases mathématiques : 4 257 < 5 934 et 4 257 > 4 251 et faites compléter l’exercice 2.

3 Pratique autonome

Distribuez les pages 15 et 16 du fichier photocopiable. Pour l’exercice 1 b), aidez les élèves à tracer une droite avec des marques pour les nombres 250, 300 et 350. Les exercices de la page 16 invitent les élèves à pratiquer le sens et la valeur de chaque chiffre dans un nombre à 4 chiffres.

Différenciation Soutien : Multipliez les représentations des nombres à comparer (disques-nombres, cartes de numération, etc.) avec les élèves en diffi-culté. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés de fabriquer une carte heuristique qui décrit la stratégie de comparaison de 2 nombres à 4 chiffres puis affichez-la au mur pour toute la classe.


La bonne placeTracez une droite numérique au tableau. Formez des binômes et distribuez à chacun un post-it sur lequel est écrit un nombre à 3 chiffres. Chaque binôme vient, à tour de rôle, le coller à sa place.

• Je sais comparer deux nombres à 3 chiffres et en ordonner trois.

• Je sais expliquer ma procédure de comparaison et écrire la phrase mathématique correspondante.


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1 Comparer puis ordonner des nombres à 3 chiffres Cette séance est consacrée à l’automatisation de la procédure de comparaison de deux nombres à 3 puis à 4 chiffres. Invitez les élèves à observer l’exercice 1 du fichier 1 page 18 et distribuez-leur des disques-nombres. Demandez à un volontaire d’exposer la situation présentée en 1 a) : comparer 408 et 325. « Par quel chiffre faut-il commencer ? » (par le chiffre des centaines), « Pourquoi ? » (parce que c’est la valeur de position la plus grande). Les chiffres des centaines étant distincts, et puisque 3 < 4, on conclut facilement que 325 < 408. Poursuivez de la même façon avec la comparaison des nombres 299 et 325 par un autre élève. Faites verbaliser la procédure de comparaison puis demandez aux élèves d’écrire l'inégalité mathématique correspondante. Pour l’exercice 1 c), faites expliquer par un élève pourquoi ranger 408, 299 et 325 est rapide (réponse 1 : On sait que 2 < 3 < 4 ; réponse 2 : On utilise ce qu’on a trouvé aux exercices 1 a) et 1 b)). Demandez enfin aux élèves de remplir leur fichier et de placer soigneusement les trois nombres sur la droite numérique. Faites remarquer qu’il y a 10 petits intervalles entre deux centaines consécutives ; chaque intervalle correspond donc à 10 unités. Assurez-vous que le lien entre la position des nombres sur la droite numérique et la grandeur relative des nombres est compris : plus un nombre est grand, plus il est loin de 0, par conséquent, plus il est à droite.

2 Comparer puis ordonner des nombres à 4 chiffres Pour voir si les élèves ont bien compris la procédure exposée en séance 7 et revue en première partie de cette leçon avec des nombres à 3 chiffres, demandez-leur de travailler en binôme sur les exercices 2, 3 et 4. Observez les élèves travailler et surtout, écoutez leurs échanges. Après la mise en commun de leurs réponses, faites-leur verbaliser la procédure de comparaison : « Pour comparer deux nombres à 4 chiffres qui ont le même nombre de milliers, on regarde le nombre de centaines ; s’ils ont


1 Comparer puis ordonner des nombres à 3 chiffres

15 min

Collectif puis individuel

2 Comparer puis ordonner des nombres à 4 chiffres

25 min

En binôme et collectif


min Individuel


Matériel pédagogique : disques-nombres, cubes multidirectionnels


Comparer deux nombres à 4 chiffres en utilisant le tableau de numération et les disques-nombres. Repérer leur position sur une droite numérique. Automatiser la procédure pour ordonner trois nombres ou plus.

Compétence du programme 2016 : Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer et comparer.

Objectifs

Calcul mental Familles des nombres 8 et 9

Donnez à voix haute un nombre infé-rieur ou égal à 8. Les élèves doivent écrire sur leur ardoise son complé-ment à 8. Ils peuvent pour cela utili-ser un schéma de famille de nombres. Faites de même avec les complé-ments à 9. Variante : Si les compléments à 8 et à 9 ont déjà été automatisés au CP/CE1, explorez avec vos élèves les complé-ments à 18 et à 19. Par exemple, si 5 est le complément à 8 de 3, alors 5 est le complément à 18 de 13 ou 15 est le complément à 18 de 3.

Comparons et ordonnons les nombres (2)Séance 8

Carte heuristique La carte heuristique est une repré-sentation visuelle qui reflète une procédure.

Pour trouver le plus grand nombre…

Regarde les milliers.

Facile, ils sont différents !

4 269 4 2691 481 4 481

Oups, ils sont jumeaux !

Regarde les centaines.

Etc.

4 269 est plus grand que 1 481.


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le même nombre de centaines, on regarde le nombre de dizaines ; s’ils sont encore identiques, c’est le nombre d’unités qui déterminera le nombre le plus grand. » Construisez une carte heuristique (voir encadré en page 26) et affichez-la au mur. Vérifiez enfin le placement des nombres sur la droite numérique.Terminez la leçon avec une discussion collective autour de l’exercice 5. Rappelez la structure des nombres pairs et impairs, étudiée au CE1. Dessinez au tableau ou construisez à l’aide de cubes multidirectionnels un bus londonien (pour le nombre 6) et un camion remorqueur (pour le nombre 7).

6 = 2 + 2 + 2 7 = 2 + 2 + 2 + 1 6 est un nombre pair. 7 est un nombre impair.

Tous les nombres pairs étant faits de groupes de 2, ils sont tous des multiples de 2. Ils se terminent donc par 2, 4, 6, 8 ou 0 (comme dans la table de multiplication de 2). Guidez les enfants avec quelques questions : « Pour que le nombre soit pair, quel chiffre peut-on choisir comme chiffre des unités » (4 ou 8), « Pour former le plus grand nombre pair possible, que choisir comme chiffre des milliers ? » (9) Posez la même question pour le chiffre des centaines (8). Ceci implique que 4 sera le chiffre des unités et, par élimination, 5 sera le chiffre des dizaines. 9 854 est le plus grand nombre pair possible. Laissez les élèves travailler en binôme sur l’exercice 5 b) puis confrontez procédures et réponses (le plus petit nombre impair est 4 589).

3 Pratique autonomeLaissez les élèves travailler en autonomie sur les exercices des pages 17 à 19 du fichier photocopiable. S’il vous manque du temps, proposez seulement certains exercices, selon le besoin et l’envie des élèves.

Différenciation Soutien : Pour les élèves en difficulté, reprenez l’exercice 4 page 19 du fichier 1 et comparez chaque chiffre 1 à 1 avec un système de cache sur le tableau de numération. Approfondissement : Pour les élèves en demande de défi, proposez de reprendre l’exercice 5 du fichier 1 avec les chiffres 1, 2, 3 et 4. Deman-dez en quoi ce problème est semblable au problème d’origine et en quoi il est différent.


Bataille de nombresPréparez une série de 30 cartes-nombres (de 0 à 9) placées en pile puis formez des groupes de 4 joueurs. Chaque élève pioche, à tour de rôle, une carte-nombre puis la place dans l’une des 4 colonnes d’un tableau de numération M/C/D/U. Celui qui a formé le plus grand nombre marque le point.

• Je sais identifier le plus grand nombre entre deux nombres à 4 chiffres.

• Je sais ordonner trois nombres à 4 chiffres du plus petit au plus grand et du plus grand au plus petit.


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1 Jeu : entraînement aux suites de nombres Proposez un jeu en chaîne aux élèves. Désignez un meneur et demandez-lui de choisir un nombre à 2 chiffres. Faites ensuite compter les élèves de 1 en 1, d’abord dans l’ordre croissant, puis dans l’ordre décroissant. Reprenez le jeu en augmentant la difficulté en proposant vous-même les 3 premiers nombres de la suite à continuer : les élèves doivent compter de 10 en 10, de 5 en 5, puis de 100 en 100. Pour les premières suites de nombres, laissez au tableau une trace écrite de l’activité en écrivant les premiers nombres et en plaçant des flèches entre les nombres consécutifs, tout en y indiquant le changement répété, additif ou soustractif (ex. : + 10 ou – 100).Pour les suites suivantes, faites verbaliser par les élèves l’opération nécessaire pour trouver le nombre qui suit.

2 Analyser et compléter une suite de nombres Faites observer les suites de nombres d’Alice dans l’encadré « J’observe » page 20 du fichier 1. Interrogez les élèves : « Comment les nombres de la première suite sont-ils rangés ? » (Dans l’ordre croissant), « Quelle action est répétée entre deux nombres consécutifs de la suite ? » (On ajoute 100 à chaque fois pour trouver le nombre suivant.) Écrivez les nombres 400, 500, 600 et 700 au tableau. Faites représenter par les élèves le nombre 400 à l’aide de disques-nombres (on commence par 4 disques de 100) ainsi que le changement additif récurrent « + 100 » (on ajoute 1 disque de 100 à chaque fois). Reprenez la même démarche avec 2 000, 2 100, 2 200, 2 300. Demandez aux élèves de modéliser avec des disques-nombres la suite décroissante qui commence par 2 000 et qui diminue de 100 à chaque fois. « Que faut-il faire pour enlever 100 de 2 000 ? »


1 Jeu : entraînement aux suites de nombres

10 min Collectif

2 Analyser et compléter une suite de nombres

20 min


3 Comparer les suites croissantes et décroissantes

15 min



min Individuel


Matériel pédagogique : disques-nombres


Décrire une suite de nombres en utilisant un vocabulaire adapté. Compléter une suite de nombres dans l’ordre croissant et décroissant en comprenant les actions répétées.

Compétence du programme 2016 : Itérer une suite de nombres de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000. Utiliser diverses représentations des nombres.

Objectifs


Calcul mental Additionner sur la droite numérique

La droite numérique permet de visua-liser l’addition sous forme de sauts successifs. Cette visualisation aide à calculer des sommes mentalement. Exemple : 524 + 165 = ? Placez 524 sur une droite, tracez une flèche courbe vers la droite pour re-présenter un premier saut de 100 et placez 624, puis tracez une deuxième flèche pour un saut de 60 et placez 684. Enfin, tracez une dernière flèche pour un saut de 5 et placez 689. Proposez d’autres calculs de ce type aux élèves. Variante : 786 + ? = 900Placez 786, faites un saut de 4, placez 790, faites un saut de 10, placez 800, et enfin, faites un dernier saut de 100 et placez 900. La réponse est 114.

Suites de nombres Les suites de nombres au Cycle 2 sont un moyen d’introduire la notion de fonction étudiée au lycée. Par exemple, la fonction f(x) = 100x + 400 associe le nombre 100x + 400 à tout nombre x d’un intervalle défini :

x f(x) = 100x + 400

0 400

1 500

2 600

3 700

etc. etc.

Les valeurs de la colonne de gauche sont les antécédents, ceux de la colonne de droite, les images. Les nombres de la première suite sur la page 20 du fichier 1 sont les images de cette fonction. Les antécédents implicites sont les nombres entiers naturels. Voilà un pont puissant entre la classe de CE2 et le lycée !

Explorons des suites de nombres (1)Séance 9

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Il faut d’abord décomposer un des deux disques-nombres « 1 000 » en 10 disques-nombres « 100 », puis en retirer un à chaque fois. Concluez cette phase d’observation en expliquant aux élèves qu’il existe plusieurs types de suites de nombres : celles qui se répètent (dont l’ordre est croissant (« + n ») ou décroissant (« – n »), celles qui alternent (par exemple, « + n, – m, + n, – m, etc. ») et bien d’autres encore qu’ils découvriront plus tard. Invitez les élèves à compléter l’exercice 1 en bas de page 20.

3 Comparer les suites croissantes et décroissantes

Poursuivez avec la page 21 du fichier 1. Faites observer les suites de Maël et d’Idris dans les encadrés 2 a) et 2 b). Interrogez les élèves : « En quoi sont-elles semblables ? » (Les deux suites varient de 1 000 à chaque fois.) « En quoi sont-elles différentes ? » (La première est croissante, l’action répétée est « + 1 000 », la deuxième est décroissante, l’action répétée est « – 1 000 ».) « Pourquoi le chiffre des milliers apparaît-il en rouge ? » (C’est le chiffre qui varie.) « Que peut-on dire des 3 autres chiffres ? » (Ils ne varient pas.) Dessinez au tableau un tableau de numération à 4 colonnes et inscrivez le nombre 2 067 puis, en dessous, le nombre 3 067. « Quand on répète l’action ”ajouter 1 000”, seul le chiffre des milliers change. Que se passe-t-il si l’on répète l’action ”ajouter 1 000”? », « ”Ajouter 10”? », « ”Ajouter 1”? » Faites remarquer que pour chacune de ces actions, seul un chiffre change. Terminez en demandant aux élèves de faire l’exercice 3 en bas de page individuellement.

4 Pratique autonomeLes élèves réalisent individuellement les exercices 1 à 3 pages 20 et 21 du fichier photocopiable. Ce sont des applications de ce qu’ils viennent d’apprendre. Laissez les élèves en difficulté utiliser le matériel de leur choix.

Différenciation Soutien : Autorisez les élèves en difficulté à utiliser leurs disques-nombres pour modéliser les actions répétées (« + 10 », « + 100 » ou « + 1 000 ») d’une suite de nombres et lire les nombres formés à chaque fois. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés (ou ceux qui ont fini en avance) de faire les exercices 4 à 6 page 22 du fichier photocopiable, qui demandent un peu d’imagination.


Quelle est la règle ?Inventez une suite de 3 ou 4 nombres et dites-les à voix haute. Les élèves doivent trouver la règle et l’écrire sur leur ardoise (exemple : ajouter 100). Après quelques essais, laissez les élèves créer des suites avec leurs propres règles.

• Je sais analyser une suite de nombres et en déduire l’action (ou l’opération) à répéter pour trouver les nombres suivants.

• Je sais compléter une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.


Fichier 1 p. 20

Fichier 1 p. 21

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1 Construire une suite de nombres Formez 4 équipes de 7 élèves. Distribuez à chaque équipe 5 nombres, chacun étant inscrit sur une demi-feuille A4, ainsi que 2 ardoises. Équipe 1 : 4 128 / 4 129 / 4 130 / 4 131 / 4 132 Équipe 2 : 917 / 1 017 / 1 117 / 1 217 / 1 317 Équipe 3 : 4 576 / 5 576 / 6 576 / 7 576 / 8 576 Équipe 4 : 2 985 / 2 995 / 3 005 / 3 015 / 3 025 À tour de rôle, chaque équipe vient au tableau. Dites « ordre croissant » ou « ordre décroissant ». L’équipe doit alors lire les 5 nombres, construire une suite en alignant les nombres dans le bon ordre et la compléter en écrivant sur les ardoises le nombre qui précède et le nombre qui suit. L’équipe gagnante est celle qui aura formé puis complété sa suite le plus vite possible. Profitez du passage de chaque équipe au tableau pour faire verbaliser l’action qui se répète, ainsi que la règle à respecter pour trouver les deux nombres manquants à inscrire sur les ardoises.

2 Analyser et compléter une suite de nombres En application du jeu précédent, faites travailler les élèves en binôme sur les exercices 1 et 2 page 22 du fichier 1. Dans le premier exercice, la règle est donnée pour chaque suite (les nombres varient de 10, de 100 ou de 1 000). Lorsqu’on compte (de 10 en 10, de 100 en 100, etc.), la suite est croissante. Lorsqu’on compte à rebours, la suite est décroissante. Dans le second exercice, c’est aux élèves d’observer puis d’identifier la règle. Terminez la leçon avec les échelles de l’exercice 3 page 22. Dessinez au tableau l’échelle a) et faites verbaliser la consigne. Ajoutez les flèches d’un nombre à l’autre, pour montrer l’action (+ 3) qui se répète. Faites remarquer qu’il ne faut pas se laisser influencer par la position de l'échelle (verticale, horizontale ou oblique) mais qu’il faut observer les nombres donnés, déceler la règle, compléter la suite puis vérifier en relisant avec attention la suite terminée. Formez ensuite des groupes de 4 ou 5 élèves, laissez-les compléter les échelles suivantes et invitez-les à


1 Construire une suite de nombres20

min En groupe

2 Analyser et compléter une suite de nombres

20 min

En binôme puis en groupe


min Individuel

Fichier 1 : p. 22Fichier photocopiable : pp. 23-25

Matériel pédagogique : ardoises, disques-nombres


Décrire une suite de nombres en utilisant un vocabulaire adapté. Compléter une suite de nombres dans l’ordre croissant et décroissant en comprenant les actions répétées.

Compétence du programme 2016 : Itérer une suite de nombres de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100, de 1 000 en 1 000. Utiliser diverses représentations des nombres.

Objectifs

Calcul mental Soustraire sur la droite numérique

La droite numérique permet de visua-liser la soustraction de différentes façons. On peut retrancher de pe-tites quantités en faisant des petits sauts à rebours. Par exemple, pour 431 – 22, on fait un premier saut de – 20 (on obtient 411) puis un deuxième de – 2 (on obtient 409). C'est plus ra-pide que de poser la soustraction. On peut également calculer la différence de deux nombres, comme 431 – 227, en plaçant les deux nombres sur la droite numérique et en calculant leur écart avec des sauts additifs succes-sifs : un premier saut de 3 (on obtient 230), un deuxième saut de 100 (on obtient 330), un troisième saut de 100 (on obtient 430) et un dernier saut de 1 (on obtient 431). L'écart, ou la dif-férence, est donc de 3 + 100 + 100 + 1 = 204. Remarque : Le nombre de sauts, et leur choix, n'est pas unique. On au-rait pu faire 3 sauts (4 + 100 + 100) ou même 2 sauts (200 + 4).

Explorons des suites de nombres (2)Séance 10


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Fichier 1 p. 22expliquer à tour de rôle leur raisonnement et leur travail à la classe. Guidez la réflexion des élèves en les interrogeant : « On compte en avançant ou à rebours ? », « Quel est le chiffre qui change ? », « Comptez- vous de milliers en milliers ? De centaines en centaines ? De dizaines en dizaines ? »

3 Pratique autonomeDemandez aux élèves de réaliser individuellement les exercices 1, 2 et 3 pages 23 et 24 du fichier photocopiable. Autorisez les élèves en difficulté à représenter les nombres à l’aide de leurs disques-nombres. L’exercice 1 ne pose pas de difficultés particulières. L’exercice 2 a) passe de 5 940 à 6 040 ; le 2 b) passe de 6 171 à 6 071 puis à 5 971 ; le 2 c) passe de 4 201 à 4 101 puis à 4 001 et à 3901. Le passage à la dizaine, à la centaine ou au millier suivant ou précédent pose souvent problème chez les élèves. Aidez les élèves en difficulté à raisonner de cette façon : si, dans le nombre 5 940, on voit 59 centaines, alors il est clair que le prochain nombre (qui augmente de 100) aura 60 centaines ; on obtiendra donc le nombre 6 040. Laissez-les ensuite réaliser l’exercice 3 seuls.

Différenciation Soutien : Proposez des suites simples de quatre nombres aux élèves en difficulté. L’enfant qui trouve le 5e nombre de la suite marque 1 point. S’il verbalise la règle de la suite, il marque 1 point supplémentaire. Approfondissement : Proposez aux élèves avancés de compléter les suites de nombres de l’exercice page 25 du fichier photocopiable.


• Je sais analyser une suite de nombres et en déduire l’action (ou l’opération) à répéter pour trouver les nombres manquants.

• Je sais compléter une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant.


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Ce que j’ai appris Demandez aux élèves d’ouvrir leur fichier 1 page 23 puis d’observer le tableau de numération. Demandez : « Quelle est la valeur du chiffre 1 dans 1 375 ? » Poursuivez avec les autres chiffres. Faites compléter sur l’ardoise l’égalité : 1 375 = 1 000 + 300 + 70 + 5. Faites ensuite identifier la valeur du chiffre 6 dans 2 361, 6 523, 2 496 et 1 624. Faites écrire sur l’ardoise les réponses (sous la forme « 60 » ou « 6 dizaines » pour le chiffre 6 de 2 361, ou encore avec des disques-nombres.) Faites observer et lire en silence les trois paragraphes abordant la com-paraison. Écrivez les deux premières paires de nombres (3 256 / 4 189 et 8 136 / 8 419) au tableau et demandez à deux élèves de venir les com-parer en expliquant à voix haute (en mettant un « haut-parleur sur leur pensée ») leur raisonnement. Si nécessaire, explicitez encore en cachant les deux nombres d’une même paire et en découvrant les chiffres au fur et à mesure, en allant de la droite vers la gauche. Écrivez la 3e comparaison au tableau (2 583 / 2 567) et demandez à un nouvel élève de verbaliser son raisonnement. Faites observer enfin les deux suites de nombres et faites expliquer leurs règles respectives. Assurez-vous de la compréhension des élèves en leur demandant les trois nombres suivants pour chaque suite.

Faire le point sur ce que les élèves ont appris et compris à la fin de l’unité 1. Proposer trois activités au choix : « Jouons avec les maths », « Explorons » et « Mon journal ».

Fichier 1 p. 23

Jouons avec les maths Le 6 gagnant !

Lisez les règles du jeu avec la classe. Lancez un premier tour en jouant avec un élève et montrez comment écrire les scores au tableau. Jouez ensuite un tour avec deux élèves et montrez qu’il y a maintenant trois nombres à comparer. Faites jouer les élèves par ateliers de 2 à 4 et laissez-leur, idéa-lement, le temps de jouer dix tours. Faites un bilan de l’activité puis de-mandez aux élèves de réfléchir à d’autres règles possibles.

Explorons Formez des groupes de 4 élèves. Lisez collectivement l’exercice 1 et deman-dez : « Combien de chiffres y a-t-il dans ce nombre mystérieux ? Est-ce qu’il peut être plus grand que 400 ? Que 500 ? » Aiguillez les élèves en dé-coupant le problème en étapes simples : « Quel chiffre dois-je écrire en premier ? Pourquoi ? », « Dois-je ensuite m’occuper du chiffre des di-zaines ou des unités ? Pourquoi ? », « Quel chiffre vais-je choisir pour les dizaines ? Pourquoi ? »Faites le bilan des réponses. En cas de désaccord, faites vérifier avec du ma-tériel de base 10. Poursuivez avec les exercices 2, 3 et 4.

Mon journal Demandez aux élèves d’écrire tout ce qu’ils savent au sujet du nombre 1945 – y compris, pour ceux qui y pensent, la date de la fin de la 2de Guerre mondiale.Les élèves pourront indiquer :1) la valeur de chaque chiffre ; 2) la décomposition : 1 945 = 1 000 + 900 + 40 + 5 ;3) si ce nombre est pair ou impair ;4) son écriture en lettres ;5) sa divisibilité par 5.Laissez les élèves faire des schémas ou des dessins pour représenter le nombre 1 945 puis faites le bilan des différents « journaux » des élèves.

Bilan de l'unité 1Séance 11


Documents

Unité 1 : Les nombres jusqu’à 10 000€¦ · Unité 1 • Les nombres jusqu’à 10 000 Calcul mental Compter de 1 en 1 Dites un nombre à 2 chiffres puis de-mandez aux élèves