Univers positifs

Univers positifsAuthor(s): Bruno PoizatSource: The Journal of Symbolic Logic, Vol. 71, No. 3 (Sep., 2006), pp. 969-976Published by: Association for Symbolic LogicStable URL: http://www.jstor.org/stable/27588490 .

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The Journal of Symbolic Logic Volume 71, Number 3, Sept. 2006

UNIVERS POSITIFS

BRUNO POIZAT

Abstract. We define elementary extension and elementary equivalence in Positive Logic.

? 1. L'?trange faiblesse des immersions. En logique du premier ordre, o? on quan tifie les individus, il est naturel de les faire passer du statut de constante ? celui de

variable, et r?ciproquement, et aussi d'?tendre les structures par adjonction d'indi vidus, sans cr?er de relations vraiment nouvelles. La mani?re de faire la plus connue est l'extension ?l?mentaire, introduite par [10] sous le nom d'extension arithm?tique. Elle poss?de les trois propri?t?s remarquables suivantes :

1. Les plongements ?l?mentaires peuvent ?tre amalgam?s.

2. La relation "avoir des extensions ?l?mentaires isomorphes" est une relation

d'?quivalence.

3. Si deux formules ? param?tres dans le petit mod?le d?finissent le m?me en semble dans ce dernier, elles d?finissent aussi le m?me ensemble dans le grand.

Si nous traitons de la Th?orie des mod?les ? la mani?re de Robinson, c'est-? dire si nous ne consid?rons que des formules existentielles, les premiers candidats

qui nous viennent ? l'esprit pour jouer le r?le des extensions ?l?mentaires sont les plongements, que nous proposons d'appeler immersions, pour lesquels l'image du petit mod?le est existentiellement close dans le grand ; malheureusement ces immersions n'ont aucune des propri?t?s ci-dessus.

Pour obtenir la vraie contrepartie de l'extension ?l?mentaire, il faut leur ajouter quelque chose.

Le cadre le plus ad?quat pour le faire est celui de la Logique positive, introduite

par [1], et r?introduite par [5] ; en effet, si nous voulons nous lib?rer du langage, et consid?rer comme ?quivalentes deux structures qui s'interpr?tent existentiellement l'une dans l'autre, il est naturel de supprimer la n?gation puisque les formules existentielles ne sont pas closes par elle. Par ailleurs, comme nous Talions voir, la

logique usuelle, avec n?gation, s'interpr?te comme un cas particulier de la Logique positive. Nous rappelons les principales conventions sur lesquelles repose cette derni?re.

Received August 19, 2005.

(?) 2006, Association for Symbolic Logic 0022-4812/06/7103-0013/$1.80

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Nous consid?rons un langage 5? avec ?galit?, aussi bien relationnel que fonction

nel, ? partir des formules atomiques duquel nous formons les formules (existen tielles) positives ? l'aide des symboles A, V, 3 ; une telle formule se met donc sous la forme (3y)f(x,y), o? f{x,y) est une formule libre positive, c'est-?-dire sans

n?gation. Leur interpr?tation est usuelle, et en particulier le symbole d'?galit? est

interpr?t? par la vraie ?galit?. Comme il n'y a pas de formule positive contradictoire, nous ajoutons au langage un symbole sp?cial _L d?notant l'antilogie, qui n'a pas d'autre fonction que celle de d?finir positivement l'ensemble vide.

Nous ne consid?rerons pas d'autres formules que les formules positives, sauf

quelques ?nonc?s, o? nous ferons un usage mod?r? de la n?gation. Un homomorphisme de la j^7-structure M dans la ̂-structure TV est une applica

tion h de la base de M dans la base de N telle que, pour tout ? de M, si ? satisfait la formule atomique r{x),h(?) aussi ; mais on ne suppose pas la r?ciproque :h(?) peut satisfaire plus de formules atomiques que ?, si bien que h n'est pas n?cessairement

injectif. Pour ne pas confondre homomorphisme et plongement, on pr?f?re dire que N est une continuation de M, plut?t qu'une extension.

Si h est un homomorphisme, on remarque que chaque formule existentielle posi tive (3y) f(x, y) satisfaite par ? l'est aussi par h(?). On dit qu'un homomorphisme est une immersion si on a aussi la propri?t? r?ciproque, c'est-?-dire si ? et h(?) sa tisfont les m?mes formules existentielles positives ; on dit alors que M est immerg?, ou (positivement) existentiellement clos, dans N. On remarque qu'une immersion est un plongement, puisque ? et h (?) satisfont les m?mes formules atomiques.

Un ?nonc? h -universel est par d?finition la n?gation d'un ?nonc? existentiel posi tif; il est de la forme ?<(3jp) f(y), soit encore (Vj>) ~^f{y), o?f(y) est libre positive.

Un tel ?nonc? exprime la vacuit? d'un ensemble positivement d?fini. Un ?nonc? /z-inductif simple est par d?finition de la forme (Vx) f(x) ?> g(x)

o? / et g sont existentielles positives, soit encore, plus explicitement, de la forme

(Vx) [(3y) f(5c, y) ?? (3z) g(x, z)], o? / et g sont libres positives ; il s'?crit aussi sous la forme (V?)(3v) -^(p(?) V y/(?, v), o? <p et y/ sont libres positives. Un ?nonc? /z-inductif est une conjonction d'un nombre fini d'?nonc?s /z-inductifs simples ; il est

montr? dans [5] que ce sont pr?cis?ment les ?nonc?s qui franchissent les limites inductives d'homomorphismes.

En prenant pour (p la tautologie u = u, on voit qu'est /z-inductif un ?nonc? de la forme (W?)(3v) y/(?, v), o? y/ est libre positive ; en prenant pour y/ l'antilogie _L, on voit qu'un ?nonc? h -universel est /z-inductif.

Soit C une classe de ̂-structures ; un membre M de C est dit existentiellement clos dans C si tout homomorphisme de M dans une structure de C est une im mersion ; si la classe C est inductive, chacun de ses membres se continue en un

existentiellement clos.

?2. Extension ?l?mentaire en Logique positive. Quand est-ce que M est exis tentiellement clos dans N ? C'est pr?cis?ment quand N est mod?le de la th?orie h -universelle de M dans le langage Jz?(M), obtenu en ajoutant ? Jz? un nom pour chaque individu de M. En effet, s'il n'existe pas de y dans M satisfaisant f(?,y), c'est que l'?nonc? universel -*(3y) f(?, y) est vrai dans M.

Nous dirons qu'une continuation TV de M est une extension (positivement) ?l?mentaire de M si c'est un mod?le existentiellement clos de la th?orie h -universelle



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Tu(M) de M dans le langage S?(M). On voit que, si M est immerg? dans N, ce dernier se continue en une extension ?l?mentaire de M.

Lemme 1. Une continuation N de M en est une extension ?l?mentaire si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. M est immerg? (existentiellement clos) dans TV ;

2. pour tout b de N et toute S?-formule existentielle positive f(x) non satisfaite par b dans TV, il existe une formule existentielle positive g(x,?), ? param?tres ? dans M, qui est satisfaite par b, et qui est contradictoire avec f(x), V?nonc?

?i(3jc) f(x) A g (x, a) faisant partie de la th?orie h-universelle de M.

D?monstration. Il est clair que, si TV satisfait ? ces deux conditions, il est existen tiellement clos dans chaque mod?le de Tu(M) qui le continue. R?ciproquement, si TV est un mod?le existentiellement clos de Tu(M), et si b ne satisfait pas (3y) f(b, y), cette formule n'est satisfaisable dans aucune continuation de TV qui soit mod?le de

Tu(M) ; cela signifie encore que la th?orie form?e de Tu(M), f(b,y) et du dia

gramme libre positif de TV (qui est l'ensemble des ?nonc?s atomiques du langage Sf(N) que TV satisfait) est inconsistante; par compacit? de la Logique du pre mier ordre, un fragment fini g(b, z, ?) de ce diagramme suffit ? cette inconsistance, si bien que Tu(M) implique -*(3x,y, z) f(5c,y) A g(5c, z, ?) ; or ce dernier ?nonc? est h -universel, vrai dans TV comme dans M. H

Corollaire 2. Chaque structure est extension ?l?mentaire d'elle-m?me.

D?monstration. Si ? ne satisfait pas f(x), c'est que cette formule est incompa tible avec x ? ?. H

Dans les ?nonc?s qui suivent, M < N signifie que TV est une extension ?l?mentaire de M, et M ? TV que TV est une continuation de M.

Corollaire 3. Si M < N < P, alors M <P.

D?monstration. Comme P est mod?le de Tu(TV), il l'est aussi de Tu(M). Soit c

dans P ne satisfaisant pas / (5c ) ; il satisfait une formule g (5c, b ), o? b est dans TV, qui est incompatible avec f(5c) ; b ne satisfait donc pas la formule (35c) f(5c) Ag(5c, y), ce qui lui impose de satisfaire une formule h(y,?), avec ? dans M, incompatible avec cette derni?re. La formule g'(5c, ?)

= (3y) h (y, ?) A g (5c, y) est incompatible

avec / (5c), et satisfaite par c. H

Corollaire 4. Si M < P, M ? TV ? P et TV est existentiellement clos dans P, alors M <NetN<P.

D?monstration. Comme P est mod?le de Tu(M), TV l'est aussi, et P est mod?le de Tu(TV) par hypoth?se. Si c dans P ne satisfait pas f (5c), il satisfait une formule

g(5c,?) incompatible avec f(5c) : l'?nonc? /^-universel -^(3y)f(5c) Ag(5c,?) est satisfait dans M, mais aussi dans TV. Cela est vrai en particulier si c est dans TV : si c ne satisfait pas f(5c) dans TV, il ne le fait pas davantage dans P. H

Corollaire 5. Si TV est extension ?l?mentaire de M, M et N satisfont les m?mes ?nonc?s h-inductifs du langage ̂ f(M).

D?monstration. Consid?rons un tel ?nonc?, de la forme (Vx ) f(x,?) ?> g(x,?), avec ? dans M. Du seul fait que M est immerg? dans TV, si cet ?nonc? est vrai dans TV, il l'est aussi dans M. Supposons r?ciproquement qu'il soit faux dans TV ; on y trouve donc c satisfaisant /(x, ?), mais pas g(5c, ?) ; cA? doit donc satisfaire une formule



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h{x,y,?f), o\x?f est dans M, incompatible avecg(x, y). Comme M est existentiel lement clos dans N, on y trouve un x satisfaisant f{x, ?) et h{x, ?, ?'), si bien que l'?nonc? /z-inductif ci-dessus n'est pas vrai non plus dans M. 3

On voit donc que si deux formules d?finissent le m?me ensemble dans M, elles

gardent cette propri?t? dans les extensions ?l?mentaires de M. Il est alors clair qu'un changement de langage, permettant de d?finir positivement les m?mes ensembles du petit mod?le, n'affecte pas la notion d'extension ?l?mentaire.

Par ailleurs, si les formules (existentielles positives) f{x,?)zif'(x,?) d?finissent dans M des ensembles compl?mentaires l'un de l'autre, il en est de m?me dans toute extension ?l?mentaire de M ; en effet, cette propri?t? se traduit par les ?nonc?s /z-inductifs -\(3x) f{x, ?) /\f'(x, ?) et (\/x) f(x, ?) V f'(x, ?). Si la struc ture M est mod?le-compl?te, c'est-?-dire si toute formule existentielle positive a son

compl?ment d?fini par une formule de m?me nature, l'extension ?l?mentaire respecte la n?gation, et c'est une extension ?l?mentaire au sens de Tarski et Vaught.

Lemme 6. Les immersions ?l?mentaires sont amalgamables.

D?monstration. Soient A < B et A < C ; on nomme les ?l?ments de A, B et C. Le diagramme libre positif de B U C est consistant avec la th?orie Tu(A), puisque chaque fragment fini du diagramme de C s'interpr?te dans A, soit encore dans B. On peut donc amalgamer B et C par des homomorphismes dans un mod?le D' de

Tu(^4), qui se continue en une extension ?l?mentaire D de A. Si b dans B n'y satisfait

pas une formule existentielle f(x), c'est qu'il satisfait une formule (3y) g(x,y, ?) incompatible avec f(x), o? g est libre ; on trouve donc b' dans B tel que g(b, b', ?) soit vraie, si bien que D ne satisfait pas non plus f{b). On voit donc que B est

immerg? dans D, et il en est de m?me de C ; d'apr?s le Corollaire 4, ce sont des restrictions ?l?mentaires de D. H

Nous dirons que deux ̂ -structures sont (positivement) ?l?mentairement ?qui valentes si elles ont des extensions ?l?mentaires isomorphes.

Corollaire 7. L'?quivalence ?l?mentaire est bien une ?quivalence. D?monstration. Il faut v?rifier la transitivit?. Supposons que A' soit une exten

sion ?l?mentaire commune ? A et ? B, et A" une extension ?l?mentaire commune ? A et ? C ; ces deux extensions A' et A" peuvent ?tre amalgam?es en une extension ?l?mentaire D de A ; par transitivit? de l'extension ?l?mentaire, D est extension ?l?mentaire de B, et aussi de C. H

D'apr?s le Corollaire 5, deux structures ?l?mentairement ?quivalentes satisfont les m?mes ?nonc?s /z-inductifs ; mais, en g?n?ral, l'?quivalence ?l?mentaire ne peut ?tre caract?ris?e en termes de satisfaction d'?nonc?s.

Les mod?les existentiellement clos d'une th?orie h -universelle avec jeppe (ou plut?t avec jocpe ; voir [5]) forment une classe ?l?mentaire, les formules incompa tibles du Lemme 1 pouvant alors ?tre prises sans param?tres. Si on n'est int?ress?

que par les gros mod?les, on se ram?ne ? ce cas en fixant un certain nombre de

param?tres, dont le choix n'a rien de canonique. C'est une des raisons qui fait que ce sont les seules classes ?l?mentaires consid?r?es dans [1] ; l'autre raison, c'est que dans ce cas on peut parler de types, et que Ben Yaacov, ? la suite de [7], fait des

espaces de types la clef de vo?te de son monument. En g?n?ral, le langage J? ne contient pas suffisamment de formules positives contradictoires pour d?terminer



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la place d'un uple d'individus, et on ne peut gu?re parler de types que pour les ensembles de param?tres contenant un mod?le ; ce ph?nom?ne sera mieux compris dans le cadre des univers, d?finis dans la section suivante.

Nous concluons la pr?sente section par quelques exemples tr?s simples, le plus simple, et le plus troublant, ?tant celui d'un ensemble E de cardinal n, fini ou infini, dans le langage de la seule ?galit? ; il n'a qu'une seule extension ?l?mentaire, et qu'un seul ?l?mentaire ?quivalent : lui-m?me ! En effet, si on lui ajoute de nouveaux

points, comme l'in?galit? n'est pas dans le langage rien n'emp?che que dans une continuation ils deviennent ?gaux ? des points de E. Pour se ramener aux mod?les existentiellement clos d'une th?orie h -universelle, il faut nommer les points de E, ce qui leur fait perdre leur indiscernabilit?.

Dans le m?me ordre d'id?e, les structures form?es d'un pr?dicat unaire infini P, et de k ?l?ments hors de P, consid?r?es dans le langage (=, ^, P), forment une classe ?l?mentaire ; cela ne contredit pas le Th?or?me de compacit?, puisque le compl?ment de P n'est pas d?finissable. Il en est de m?me des relations d'?quivalence e(x,y), avec k, classes toutes infinies, pour le langage (=, ^, e) ; on notera que les axiomes

qui expriment que e est une relation d'?quivalence sont /z-inductifs dans ce langage. La classe ?l?mentaire de la structure (Q\ ~, <) est la chose habituelle, puisque

l'in?galit? ^ est exprimable positivement dans ce langage, ainsi que la n?gation de

chaque formule positive. Mais ce n'est pas le cas de (Q; =, <) ; en effet, dans un

mod?le de la th?orie h -universelle de ce dernier, rien n'emp?che des points dans une m?me coupure de se continuer en des points ?gaux, si bien qu'il y a une exten sion ?l?mentaire maximale, obtenue en compl?tant Q et en lui ajoutant des points ? l'infini. Autrement dit, ce mod?le maximal est isomorphe au segment r?el [0 1], et ses restrictions ?l?mentaires sont ses sous-cha?nes (axiomes /z-inductifs) denses. La classe ?l?mentaire de (Q; =, <) est donc form?e des cha?nes denses separables, avec ou sans extr?mit?s ; elle a, ? isomorphie pr?s, quatre mod?les d?nombrables. De m?me, la classe ?l?mentaire de (TV; =, <) ne contient que deux mod?les, TV et TV + 1.

?3. Univers positifs. Pour donner plus d'ampleur ? ses constructions, [ 1 ] pr?sente la Logique positive dans un "fragment positif" de la Logique du premier ordre ; il

montre ensuite qu'on peut se ramener, par morl?isation, au cas o? ce fragment est

form? seulement des formules positives. Mais pourquoi ces contorsions mentales ? propos du langage, alors qu'il est si simple de l'?liminer totalement ? Il suffit pour cela de traiter ces questions au niveau de la famille des ensembles positivement d?finissables dans une structure donn?e, hors de toute consid?ration linguistique. C'est le but de la th?orie des univers, expos?e dans [9], un article dont la parution a ?t? retard?e par deux refus cons?cutifs des ?diteurs de ce journal ; sa motiva tion primitive, dans [8], ?tait d'expliquer sans douleur la th?orie des mod?les aux

alg?bristes. Comme un univers est maintenant form? de la famille des ensembles positive

ment d?finissables (avec param?tres) dans une structure donn?e, nous ?largissons la d?finition de [9] en n'exigeant plus qu'un univers soit clos par n?gation.

Un univers U est donc la donn?e d'un ensemble de base M et, pour chaque n > 1, d'une famille de parties de Mn, qu'on appelle les ensembles d?finissables dans l'univers, satisfaisant aux conditions suivantes :



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1. l'ensemble vide est d?finissable ; si A et B sont des parties d?finissables de Mn, il en est de m?me de A n B et de A U B ;

2. si A est une partie d?finissable de Mm et B une partie d?finissable de Mn, leur

produit cart?sien A x B est une partie d?finissable de Mm+n ; les diagonales sont d?finissables ;

3. la projection sur Mn d'une partie d?finissable de Mn+l est elle aussi d?finiss able ;

4. les singletons {a} des ?l?ments de M sont d?finissables.

Une transformation de l'univers U en l'univers V est une bijection entre la base M de U et la base TV de K qui, pour chaque n > 1, ?change les parties U d?finissables de Mn et les parties F-d?finissables de TV". Une transformation est un "isomorphisme d'univers", mais nous ?vitons d'employer ce terme, r?servant

l'isomorphie aux structures.

D'apr?s le Corollaire 5, une extension ?l?mentaire induit une application de l'univers de la petite structure dans celui de la grande. Cela motive la d?finition suivante.

Nous appelions extension d'univers une application * qui ? un ?l?ment de la base

M de U associe un ?l?ment ?z* de la base TV de F, qui ? une partie d?finissable A de Mn associe une partie d?finissable v4* de TVn, et qui satisfait aux conditions suivantes :

1. (a\,... ,an) G A si et seulement si (a\*,... ,an*) e A* ;

2. 0* = 0, U U BY = A* U B\ (A n BY - ^* H B*, (A x BY = A* x B*,

(x = y)* = (x = y), (prU))*

= prU*), {a}*

= {a*} ;

3. si b g A*, il existe B dans U tel que b G B* et A H B = 0.

Nous disons que l'extension est ?l?mentaire si le grand univers est engendr? par ses individus et par les relations du petit, c'est-?-dire si toute relation d?finissable dans le grand univers est de la forme A*(x,b). Les extensions ?l?mentaires des structures correspondent exactement aux extensions ?l?mentaires de leurs univers.

Si l'univers U est clos par compl?mentation, la condition 3 ne signifie rien d'autre

que (-1.4)* =

->(^4*), ce qui redonne, comme cas particulier, les notions d'extension

(pr?servant les "formules du premier ordre") et d'extension ?l?mentaire d'univers avec n?gation de [9].

Consid?rons un ensemble R de relations d?finissables dans U, et notons ?R l'en semble des relations d?finissables ? partir de R par une formule positive sans pa ram?tres. Nous dirons que R engendre l'univers U si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. le compl?ment d'un membre de ?H est r?union d'?l?ments de 9\ ;

2. toute relation d?finissable dans U est de la forme A(5c,?), o? A(5c,y) est dans D\.

La largeur de U est par d?finition le cardinal minimal d'un de ses syst?mes g?n?rateurs. Cette d?finition n'est en conflit avec celle de [9] qu'en cas de largeur finie.

Pour pouvoir parler de types, il faut fixer un syst?me g?n?rateur de l'univers, choix qui n'a rien de canonique de par la nature m?me des univers.



UNIVERS POSITIFS 975

Une fois fix? un syst?me g?n?rateur du petit univers, l'extension ?l?mentaire d'uni vers se transforme en extension ?l?mentaire de structures, si bien que les extensions

?l?mentaires d'univers sont amalgamables, et aussi transitives. Nous dirons que deux univers sont semblables s'ils ont des extensions ?l?mentaires

transformables l'une en l'autre.

Lemme 8. La similitude est une relation d'?quivalence.

D?monstration. Soit U\ une extension ?l?mentaire commune ? U et ? V, et soit

U2 une extension ?l?mentaire commune ? U et ? W. Une fois choisi un syst?me g?n?rateur de U, U\ et Ui deviennent des extensions ?l?mentaires d'une structure

dont l'univers est U, si bien qu'on peut les amalgamer en une extension ?l?mentaire U' de U ; par transitivit? de l'extension ?l?mentaire, U' est extension ?l?mentaire de V, et aussi de W. H

Des structures ?l?mentairement ?quivalentes engendrent des univers semblables, mais des univers semblables ne sont pas n?cessairement engendr?s par des structures

?l?mentairement ?quivalentes. Ils ont toutefois m?me largeur. Une derni?re remarque avant la conclusion : la Logique positive ne distingue pas

vraiment les ensembles infiniment d?finissables des ensembles d?finissables, et en

cons?quence traite de la m?me fa?on les imaginaires et les hyperimaginaires : c'est la motivation principale de son introduction par [1].

En effet, consid?rons un univers U K-compact, et V une extension ?l?mentaire de U ; K-compact signifie qu'une famille de moins de k ensembles d?finissables, ayant la propri?t? de l'intersection finie, a son intersection totale non-vide ; par compacit?, tout univers a des extensions ?l?mentaires ^-compactes. Les ensembles qui sont

intersections de moins de k ensembles d?finissables dans U forment un univers U'

de m?me base ; si nous notons V l'univers engendr? par les relations de U' et les individus de V, nous obtenons une extension ?l?mentaire de U'. En cons?quence, U et U' ont leurs extensions ?l?mentaires monstrueuses pratiquement identiques.

?4. Conclusion : que faire de tout ?a? Ce court article n'a d'autre but que de d?finir quelques notions permettant d'aborder la th?orie des mod?les de la Logique positive du premier ordre, dont la th?orie des mod?les de la Logique du premier ordre avec n?gation est un cas particulier. Il reste ? ?tendre positivement les trois activit?s principales de la th?orie des mod?les classique :

1. ?tudier les propri?t?s des ensembles d?finissables dans l'univers du mod?le monstre d'une classe ?l?mentaire (cette t?che a ?t? d?j? bien entam?e par Ben

Yaacov) : diagramme en groupe (voir [2]), groupes de rang de Morley fini, o-minimalit?, etc. ;

2. r?soudre le probl?me g?n?ral de la classification, ? isomorphie pr?s, des struc tures ?l?mentairement ?quivalentes ? une structure donn?e ; conjecture de

Vaught ;

2bis. classer ? transformation pr?s les univers semblables ? un univers donn? (com me il est montr? dans [6], cette variante du probl?me pr?c?dent ne lui est

pas ?quivalente, m?me dans le cas des univers aleph-un-cat?goriques avec

n?gation) ; conjecture de Vaught pour les univers positifs ;



976 bruno poizat

3. d?terminer la classe ?l?mentaire de structures alg?briques particuli?res (par exemple les groupes libres) dans un langage positif donn? ; un aspect de cette

question, concernant la d?cidabilit? de certaines th?ories, agitait beaucoup les th?oriciens des mod?les au temps lointain o? l'auteur de ces lignes s'est initi? ? leur discipline ; par bonheur, il ne semble pas avoir d'?quivalent en Logique positive.

Avant d'aborder ces probl?mes, il faudrait songer ? ajouter des imaginaires, ou des

hyperimaginaires, aux univers, et aussi se pr?occuper des propri?t?s topologiques des espaces de types de leurs structures g?n?ratrices.

Remerciements. Cet article a ?t? ?crit lors d'un s?jour ? l'Universit? Nationale Eurasienne du Qazaqstan ? Astana, au cours duquel l'auteur a ?t? fait profes seur honoraire de cette universit?, quatorze ans apr?s l'avoir ?t? ? l'Universit? de

Qaragandy, et treize ans apr?s avoir ?t? nomm? professeur ? l'Universit? Claude Bernard. Il remercie vivement le Professeur Ualbai Umirbai et le Recteur Sarsengali Abdumanap pour leur invitation et leur hospitalit?.

r?f?rences

[1] Itay Ben-Yaacov, Positive model theory and compact abstract theories, Journal of Mathematical

Logic, vol. 3 (2003), pp. 85-118.

[2]-, Simplicity in compact abstract theories, Journal of Mathematical Logic, vol. 3 (2003),

pp. 163-191.

[3]-, Thickness, anda categoric point of view of type-space functors, Fundamentae Mathemati

cae, vol. 179 (2003), pp. 199-224.

[4]-, Lovely pairs of models : the non first order case, this Journal, vol. 69 (2004), pp. 641-662.

[5] Ita? Ben-Yaacov and Bruno Poizat, Fondements de la logique positive, 20??.

[6] Martin Hils, Semifree actions of the free groups, ? para?tre dans Mathematical Logic Quatevly.

[7] Anand Pillay, Forking in the category of existentially closed structures, Quaderni di Matem?tica, vol. 6 (2000), pp. 23-42.

[8] Bruno Poizat, Groupes stables, Nur al-mantiq wal-ma'rifah, 1987.

[9]-, A la recherche de la structure intrins?que de l'univers, Teoviia modelei v Kazaxstane, Sbornik

naucnyx vabotposvia?ennyx pamiati A. D. Taimanova, Eco Study, Almaty, 2006, pp. 339-388.

[10] Alfred Tarski and Robert Vaught, Arithmetical extensions of relational systems, Compositio Mathematica, vol. 13 (1957), pp. 81-102.

INSTITUT CAMILLE JORDAN

UNIVERSIT? CLAUDE BERNARD

43, BOULEVARD DU 11 NOVEMBRE 1918

69622 VILLEURBANNE-CEDEX, FRANCE

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