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Université de PoitiersÉcole Doctorale Sciences et Ingénierie pour l’Information, Mathématiques

Méthodes mathématiques et numériques pour la modélisation desdéformations et l’analyse de texture. Applications en imagerie

médicale

THÈSE DE DOCTORAT

Soutenue le 23/11/2017 par Clément Chesseboeuf

Sous la direction de :- Hermine Biermé, LMA de l’Université de Poitiers.- Julien Dambrine, LMA de l’Université de Poitiers.- Rémy Guillevin, CHU de l’Université de Poitiers.

Clément Chesseboeuf (Université de Poitiers) 23/11/2017 0 / 33

Présentation du sujet

Cette thèse s’articule autour d’un sujet principal et d’un sujet secondaire dont l’étude adébuté plus tardivement :

Déformation et recalage d’IRMcérébrales

- Le problème et son contexte

- Outils : Anatomie computationnelleAlgorithme sous-optimal

- Contributions

- Perspectives

Détection de rupture dans la varianced’un processus gaussien stationnaire.

- Le problème et son contexte

- Outils : Change-point analysisChaos de Wiener

- Contributions

- Perspectives


Le recalage d’images

Étant données deux images f et g, le recalage consiste à rechercher une déformation T ,envoyant f sur g, en un sens réaliste...

Avec une représentation fonctionnelle, en supposant que T soit inversible, on cherche àobtenir une relation du type :

f T−1 ≈ g.


Le recalage en imagerie médicale

- La spectrocopie multinoyaux donneune information sur la compositionbiochimique de la zone étudiée.

- La comparaison de plusieursspectroscopies nécessite une étapede recalage.


Le modèle de déformation de l’anatomie computationnelle

A.TrouvéAn Infinite Dimensional Group Approach for Physics based Models in PatternRecognition, 1995.

Le groupe des déformations admissibles GV est construit en intégrant des champs devitesses appartenant à un espace de Hilbert

(V , 〈· | ·〉V

)approprié :

GV = φv1 , tel que v ∈ L1

V

- L1V est l’ensemble des v : [0, 1]→ V tels que

∫ 10 ‖vs‖V ds < +∞.

- Pour un champ v ∈ L1V , la déformation φv

1 est définie par les équations :

φvt (x) = x +

∫ t

0v(s, φv

s (x)) ds, ∀(t , x) ∈ [0, 1]× Ω. (1)

L’ensemble GV a de nombreuses propriétés :

- C’est un groupe de C1 difféomorphismes de Ω

- Il peut être muni d’une métrique dV telle que (GV , dV ) est complet.

- Il peut être muni d’une structure de variété Riemannienne.


Le recalage comme problème d’optimisation sur GV

L.YounesShapes and Diffeomorphisms, 2010.

Le problème d’optimisation :

Considérons la fonctionnelle J (φ) = σ dV (id, φ)2 + ‖f φ−1 − g‖2L2 .

Il existe φ? tel queφ? = argmin

φ∈GV

J (φ)

La distance dV : GV ×GV −→ R+ est définie par :

dV (id, φ) = inf

(∫ 1

0‖vt‖2

V dt)1/2

, v ∈ L2V , φ

v1 = φ

.


Algorithme LDDMM : Large deformation diffeomorphic metric mapping

M.F Beg, M. Miller, A. Trouvé, L. YounesComputing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows ofDiffeomorphisms, 2005.

- Il est équivalent de minimiser sur L2V = L2 ([0, 1],V ) la fonctionnelle

J (v) = σ

∫ 1

0‖vt‖2

V dt + ‖f (φv

1)−1 − g‖2

L2 .

- J est définie sur le Hilbert L2V et est dérivable. Le LDDMM est l’algorithme de

descente de gradient associé à J .

- Cette procédure peut être coûteuse pour traiter des données 3d.


Algorithme sous-optimal

G. E. Christensen, R. D. Rabbitt, and M. I. Miller.Deformable templates using large deformation kinematics, 1996.

- L’algorithme sous-optimal est une alternative intéressante pour ses performances.

- Contrairement au LDDMM, il ne tient pas compte de l’énergie globale∫ 1

0 ‖vt‖2V dt .

- Considérons la fonctionnelle :

J (v , t) = σ

∫ t

0‖vs‖2

V ds + ‖f (φv

t)−1 − g‖2

L2 .

alors :

ddtJ (v , t) = σ ‖vt‖2

V + 2⟨

vt | ∇(f φ−1t ) (f φ−1

t − g)⟩

V. (2)

Principe de l’algorithme sous-optimal :

Pour chaque temps t ≥ 0 la vitesse v?t est choisie telle que :

v?t = argminvt∈V

σ ‖vt‖2V + 2

⟨vt | ∇(f φ−1

t ) (f φ−1t − g)

⟩V.


Algorithme sous-optimal en description eulérienne

Description eulérienne : La dérivation de la fonction f (t , x) = f0(φ−1

t (x))

nous mène àune équation de transport :

∂t f (t , x) + vt (x) · ∇x f (t , x) = 0 ∀ (t , x) ∈ (0,∞)× Ω,

vt = KV (mt ) , (modèle de déformation)

mt = ∇f (t , ·) (f (t , ·)− g) , (critère d’appariement)

f (0, x) = f0(x), ∀ x ∈ Ω.

(3)

L’opérateur linéaire KV : L2 −→ V est défini par :

〈w | v〉L2 = 〈KV (w) | v〉V .

Il modélise les propriétés mécaniques du milieu étudié.


Mise en place d’un algorithme de recalage rapide

On utilise l’algorithme sous-optimal avec les spécificités suivantes :

A) Description eulérienne On utilise le schéma WENO5 pour résoudre l’équation detransport :

∂t f (t , x) + vt (x) · ∇x f (t , x) = 0,

vt = KV [∇f (t , ·) (f (t , ·)− g) ] .

Les calculs sont effectués sur un grille régulière périodique. On évite le recourssystématique aux méthodes d’interpolations.

B) L’espace est supposé homogène et isotrope. Les hypothèses d’homogénéité etd’isotropie ne sont pas réalistes mais simplifient le calcul de l’opérateur KV :

- KV [∇f (t , ·) (f (t , ·)− g) ] devient ,kV ? [∇f (t , ·) (f (t , ·)− g) ],

- Le noyau kV est défini par : kV =∑k∈Zd

1(1 + |k |2)sv

ek .

C) La distance L2 est remplacée par un critère basé sur les lignes de niveaudes deux images.


Critère d’appariement : mesure de courant

M.Vaillant and J.Glaunès.Surface matching via currents, 2005.

Soit W un espace de Hilbert de champs de vecteurs. Une courbe S est représentéedans W

′par une mesure de flux :

γS : W −→ Rw 7−→

∮S w ·

−→dS.

Cette forme linéaire est normée par :

‖γS‖W ′ = sup‖w‖W 61

|γS(w)|.

Représentation d’une fonction f par Γf ∈ W′

:

Γf (w) =

∫R+

∮f=t

w ·−→dS dt .


Interprétation et calcul du critère

- Avec le théorème de flux-divergence on montre que :

Γf (w) = −∫R2

w(x) · ∇x f dx .

- On peut mettre un poids η sur les niveaux en considérant :

Γηf (w) =

∫R+

∮f=t

w ·−→dS η(t) dt .

- Le critère d’appariement est défini par :

dW (f , g)2 =12‖Γf − Γg‖2

W ′ .

- Si W est un RKHS de noyau kW , on a aussi :

dW (f , g)2 = −12〈∆kW ? (f − g) | (f − g)〉L2 .


Avantages de ce critère

• Rapide à calculer avec la FFT.

• Invariance par déviation globale de ni-veau (mesure de gradient).

• Le critère est non local et régularisant :x

y


Un premier test en 2d

FIGURE – Évolution de l’algorithme.sv = 2 et sw = 2.Clément Chesseboeuf (Université de Poitiers) 23/11/2017 13 / 33

Prise en compte d’une contrainte d’annulation

FIGURE – Algorithme sous-optimal avec contrainte d’annulation. Première ligne : l’image déforméef n. Deuxième ligne : représentation du champ de déformations φn(x)− x . Les deux paramètressont sw = 2 et sv = 2.


Traitement des IRM 3d pré-op/post-op du CHU de Poitiers

La procédure est initialisée par :- Une étape d’ajustement des histogrammes de couleurs.- Une étape de recalage rigide.

Données radiologiques du laboratoire DACTIM-MIS. IRM 3 Tesla.


Évolution de l’algorithme


Le champ de déformations en coupe sagittale


Analyse asymptotique de l’algorithme

Objectif : Expliquer le comportement asymptotique de l’algorithme sous-optimal (avecle critère L2).

- Simplification de l’équation de transport :- ∂t f + ∇x f · kV ? (∇x f (f − g)) = 0 devient ∂t f + ‖∇x f‖2(f − g) = 0.- De manière équivalente : (V , kV , sv ) devient (L2, δ0, 0).

On s’intéresse donc à l’équation de Hamilton-Jacobi :∂t f + ‖∇x f‖2(f − g) = 0, ∀ (t , x) ∈ ]0,+∞[×Ω,

f (t , x) = f0(x), ∀ (t , x) ∈ ∂pΩ.(4)

- Cette équation est analysée avec la théorie des solutions de viscosité.

M.G. Crandall, H. Ishii, P.L. LionsViscosity solutions of hamilton-jacobi equations, 1983.

G. BarlesSolutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi, 1994.


Solution de viscosité

Équation sous forme générale : ∂t f + H(x , f ,∇x f ) = 0, ∀ (t , x) ∈ (0,T )× Ω.

Définition

Une fonction f dans C ((0,T )× Ω) est solution de viscosité si elle vérifie :

i) Pour tout (t0, x0) ∈ (0,T )× Ω et pour toute fonction test ϕ de classe C1, si (t0, x0)est un maximum local de f − ϕ, alors :

∂tϕ(t0, x0) + H (x0, f (t0, x0),∇xϕ(t0, x0)) ≤ 0. (Sous-solution)

ii) Pour tout (t0, x0) ∈ (0,T )× Ω et pour toute fonction test ϕ de classe C1, si (t0, x0)est un minimum local de f − ϕ, alors :

∂tϕ(t0, x0) + H (x0, f (t0, x0),∇xϕ(t0, x0)) ≥ 0. (Sur-solution)

Si le hamiltonien H vérifie les bonnes hypothèses, il y a un principe de comparaisonentre les sous-solutions et les sur-solutions :

Si u, v ∈ C([0,T ]× Ω

)sont respectivement sous et sur-solution et si u ≤ v sur ∂pΩ

alors u ≤ v sur [0,T ]× Ω.


Résultat de convergence et forme asymptotique

Proposition

Soient f0 et g dans C(Ω)

avec f0 = g sur ∂Ω. Si f0 est lipschitzienne et si g est C1 avecx → ∇x g lipschitzienne, alors il existe une unique solution de viscosité f de l’équation :

∂t f + ‖∇x f‖2(f − g) = 0, ∀ (t , x) ∈ ]0,+∞[×Ω,

f (t , x) = f0(x), ∀ (t , x) ∈ ∂pΩ.

La solution converge uniformément vers une fonction f∞ telle que :

i) min f0, g ≤ f∞ ≤ max f0, g .ii) f∞ est constante sur chacune des composantes connexes de f∞(x) 6= g(x).

Corollaire

Considérons l’ensemble Cr (g) = x ∈ Ω, ∇x g = 0 . Supposons que :

- Pour toute composante connexe C de Cr (g), il existe x ∈ C tel que f0(x) = g(x).

Alors on a forcément f∞ = g.


Deux situations (1d) de convergence.


Perspectives pour le problème de recalage

• Sur la procédure générale :

- Prise en compte d’une contrainte d’annulation.

- Modulation sur les différentes lignes de niveau.

- Comparaison avec d’autres schémas numériques.

• Sur le traitement des IRM 3D :

- Prise en compte de la partie opérée (segmentation).

- Définition d’un couple (V ,KV ) réaliste.

• Sur l’analyse de l’équation :

- Extension des résultats au contexte "utile" où V ⊂ C1.


Détection de rupture dans la variance d’unprocessus gaussien stationnaire


Introduction avec le mouvement brownien fractionnaire

Soient (H1,H2) ∈ (0, 1)2 deux paramètres de Hurst et WH1 , WH2 deux mBf. Considéronsl’instant t? ∈ (0, 1) et le processus Xn tel que :

Xn(k) =

WH1 ( kn ) k 6 [nt?],

WH1 ( [nt?]n ) + WH2 ( k−[nt?]

n ) k > [nt?].

Le processus des accroissementsYn(k) = Xn(k)− Xn(k − 1) est :

- Gaussien, de moyenne nulle etstationnaire par morceaux.

- Il présente un changement devariance au niveau de l’indicek? = [nt?].

Objectif :

Estimer l’instant de rupture t? à partir d’une observation de Xn.


Forme générale du problème de rupture

Considérons un processus aléatoire Y = (Yi )1≤i≤n, deux processus différents

Y(1) =(

Y (1)i

)1≤i≤n

et Y(2) =(

Y (2)i

)1≤i≤n

, et un temps t? ∈ [0, 1] tels que :

Yi =

Y (1)

i , i ≤ [t?n],

Y (2)i , i > [t?n].

i = 1, . . . , n.

Questions :

- Tester l’existence d’une telle rupture.

- Estimer l’instant de rupture t?.

M. Csörgo and L. HorváthLimit theorems in change-point analysis, 1997.


Hypothèses.

1) (Cadre Gaussien)(

Y (1)i

)et(

Y (2)i

)sont deux processus gaussiens stationnaires

de moyenne nulle.

2) (Cadre infill) La loi des Yi dépend de la taille de l’échantillon n.

Notations : r in(l) = E

[Y i

n(k + l) Y in(k)

], et σi (n) =

√r in(0), i = 1, 2.

3) (Changement dans la variance) Il existe un réel a < 1 tel que

an :=σ2(n)

σ1(n)−→n→∞

a. (5)


Estimation de la rupture t? : Change-point-analysis

- Pour p > 0, on calcule une fonction de contraste :

J(p)n (t) = q

([nt]n

) 1[nt ]

[nt]∑k=1

|Yn(k)|p − 1n − [nt ]

n∑l=[nt]+1

|Yn(l)|p ,

- L’estimateur de t? est donné par :

tn = argmaxt∈[0,1]

|J(p)n (t)|.

- La fonction q est définie par :

q(t) = t(1− t), et q(t , t?) =

t(1− t?) 0 ≤ t ≤ t? ≤ 1,t?(1− t) 0 ≤ t? < t ≤ 1.

- La moyenne de la fonction de contraste est :

E[J(p)

n (t)]

= µp σ1(n)p (1− apn) q

([nt ]n,

[nt?]

n

). (6)


Un résultat de convergence fonctionnelle.

W1 et W2 sont deux browniens indépendants. On définit le processus Wt? tel que :

Wt?(t) =

νp,1 W1(t) t 6 t?,

νp,1 W1(t?) + ap νp,2 W2 (t − t?) t? < t 6 1.(7)

Théorème

Étant donné le processus Bt?(t) = Wt?(t)− t Wt?(1), on a :√

nσ1(n)p

(J(p)

n (·) − E[J(p)

n (·)] )

D−−−−→n→∞

Bt?(·), (càdlàg).

Proposition

L’estimateur est consistant et : |tn − t?| = OP (1/n) .

Lemme

Pour tout p ∈ (0, 2) on a : νp,j < ν2,j , j = 1, 2.


Méthodes et outils de démonstration

Décomposition en chaos de Wiener

|Y (1)n (k)/σ1(n)|p = µp +

∑m≥2

c(p)m Hm

(Y (1)

n (k)/σ1(n)).

O.E. Barndorff-Nielsen, J.M. Corcuera, and M.PodolskijPower variation for Gaussian processes with stationary increments, 2009.

Théorème (Pecatti-Tudor)

Soit Zn =(Z 1

n , . . . ,Z dn)

un vecteur aléatoire tel que pour tout n, j on ait Z jn ∈ Hm. Soit

Z = (Z1, . . . ,Zd ) ∼ N (0,C). Alors :

ZnL−→ Z ⇐⇒

Z jnL−→ Zj , 1 ≤ j ≤ d ,

E[Z k

n Z ln]−→ Ck,l .

S.Ben Hariz, J.J. Wylie, and Q.Zhang.Optimal rate of convergence for nonparametric change-point estimators fornonstationary sequences, 2007.


Résultats supplémentaires et perspectives

Distribution asymptotique de l’estimateur ?

Supposons que δn := µp(apn − 1)→ 0 et que δn

√n→ 0. Alors :

n δ2n (tn − t?)

d−→ argmaxt∈R

W (t)− h(t?, t) ,

avec h(t?, t) = (1− t?)1t<0 + t?1t≥0 et W (t) =

νp,1W1(−t), t < 0,

νp,2W2(t), t ≥ 0.

Caractérisation du paramètre p optimal par le calcul de la variance V [ηp] avec :

ηp = argmaxt∈R

W (t)− h(t?, t) .


Une application pour la segmentation des tumeurs


Recherche d’une extension en 2d


Merci de votre attention.

C.Chesseboeuf, H.Biermé, J.Dambrine, C.Guillevin, R.GuillevinNon-rigid registration of magnetic resonance imaging of brain. IPTA, 2015.

C.ChesseboeufA greedy algorithm for brain mri’s registration. Acta Biotheoretica, 2016.

C.Chesseboeuf, H.Biermé, F.EnikeevaChange in Variance Detection for Stationary Gaussian processes. Preprint.


Documents

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