Université Paris IX – DauphineEcole Doctorale de Gestion

B. Goldfarb goldfarb@dauphine.frC. Pardoux pardoux@dauphine.fr

LES TESTS STATISTIQUES

16 décembre 2004

Objectif

Éprouver des hypothèses de recherche concernant :

la comparaison de certains paramètres à des valeurs données, l’égalité de plusieurs paramètres, l’existence de liaisons entre des variables,...

Tests d’hypothèseUn test d'hypothèse consiste à choisir entre deux hypothèses incompatibles en se fondant sur des résultats d'échantillonnage.

L'une des deux hypothèses à tester est généralement privilégiée par rapport à l'autre : on tient à limiter à priori la probabilitéde la rejeter à tort. Cette hypothèse désigne traditionnellement les situations d’absence de changement par rapport à un statu quo, ou encore l’absence de différence entre des paramètres.

Cette hypothèse, notée H0 , est appelée hypothèse nulle.

L'autre hypothèse, notée H1, est appelée hypothèse alternative.

Deux familles de tests

Tests paramétriques : tests d’hypothèses relatives àun ou plusieurs paramètres d’une ou plusieurs variables aléatoires de lois connues.

Tests non paramétriques : tests ne nécessitant pas d’hypothèses sur la distribution sous-jacente.

Pour de petits échantillons, on est utilise plutôt des testsnon paramétriques, sauf si la variable étudiée suit une loi normale.

ExemplesTests paramétriques

Test bilatéral (un seul échantillon)

H0 : m = m0 contre H1 : m ≠ m0

Test unilatéral (deux échantillons)

H0 : p1 ≤ p2 contre H1 : p1 > p2

Test non paramétriqueH0 : V1 et V2 indépendantes contre

H1 : V1 et V2 non indépendantes

Deux risques d’erreurα = probabilité de choisir H1 alors que H0 est vraie ou

Risque de 1ère espèce

β = probabilité de choisir H0 alors que H1 est vraie ou Risque de 2nde espèce

Décision correcteProbabilité = 1- β

Erreur de première espèce Probabilité = α

H0 rejetée

Erreur de seconde espèce Probabilité = β

Décision correcte Probabilité = 1- α

H0 non rejetée

H0 fausseH0 vraieRéalitéDécision

Puissance d’un testπ= probabilité de rejeter H0 alors que H0 est fausse

= 1 – β

La puissance d’un test est liée au type de test statistique, et à la taille de l’échantillon.

A taille d’échantillon égale, les tests non paramétriques sont moins puissants que les tests paramétriques.

Exemple

Prenons l'exemple d'un caractère distribué selon une loi normale de moyenne m inconnue et d'écart-type connu σ et supposons que m ne puisse prendre que l'une ou l'autre de deux valeurs fixées m0 et m1 avec m0 < m1. La statistique étant un « bon » estimateur de m, on va opter pour l'une des deux valeurs selon la réalisation de donnée par l'échantillon :si est inférieur ou égal à une valeur c, appelée valeur critique, on décide de retenir l'hypothèse m = m0 , et dans l'autre cas, on retient l'hypothèse m = m1.On commettra alors une erreur de choix pour m si on observe :

≤ c alors que m = m1 , ou si on observe > c alors que m = m0.

Xn

xn

Xnxn

xnxn

Deux approches pour établir la conclusion

H0 : m = m0 contre H1 : m = m1 avec m0 < m1

1. Pour un risque de 1ère espèce α, la valeur critique c est telle que :

Conclusion du test : non rejet de H0 si ≤ c

2. Calcul du niveau de signification du test, fonction de la valeurobservée , c’est-à-dire de la probabilité p (appelée aussi p-valeur) telle que :

Conclusion du test : non rejet de H0 si p ≥ α

( )α σα= > = ⇒ = + ⋅−P X c m m c m u

n0 0 1

xn

xn

( )0np P X x m m= > =

Mise en œuvre d’un test

Choix de H0 et H1, et du risque de 1ère espèce αRègle de décision :

soit, en se basant sur la région critiquesoit, au vu du niveau de signification du test

Conclusion du test : rejet ou non-rejet de H0

Pratique d’un test avec le logiciel SPSS

Onglet « Analyse » et choix de module :« Comparer les moyennes »

et ensuite « Test T pour échantillon unique », …« Tests non paramétriques »

et ensuite « Test du Khi-deux », test « binomial », …« Statistiques descriptives »

et ensuite « Tableaux croisés » pour un test d’indépendance de deux variables

...

« Comparer les moyennes » avec SPSS« Test T pour échantillon unique »

Le prix X d’un même article (exprimé en euros) relevé au hasard dans 9 magasins de Paris a donné les résultats suivants :

42,7 42,6 43,0 43,3 42,8 43,1 43,4 42,1 42,6On suppose que X suit une loi de normale de moyenne m inconnue et d’écart-type σ inconnu. Testez au risque de 1° espèce α = 2,5% :

H0 : m ≥ m0 = 43 contre H1 : m < m0

Statistiques sur échantillon unique

9 42,844 ,403 ,134PRIXN Moyenne Ecart-type Erreur standard moyenne

Test sur échantillon unique

-1,157 8 ,281 -,156 -,466 ,155PRIXt ddl

Sig.(bilatérale)

Différencemoyenne Inférieure Supérieure

Intervalle de confiance95% de la différence

Valeur du test = 43

« Comparer les moyennes » avec SPSSInterprétation des résultats

Test sur échantillon unique

-1,157 8 ,281 -,156 -,466 ,155PRIXt ddl

Sig.(bilatérale)

Différencemoyenne Inférieure Supérieure

Intervalle de confiance95% de la différence

Valeur du test = 43

SPSS indique un niveau de signification associé à un test bilatéral symétrique, c’est-à-dire au test :

H0 : m = m0 = 43 contre H1 : m ≠ m0

Un risque α pour un test bilatéral symétrique correspond à un risque α/2 pour un test unilatéral.

La p-valeur donnée pour un test bilatéral égale à 0,281 correspond à une p-valeur égale à 0,1405 pour un test unilatéral, valeur supérieure à 2,5%

⇒ Non rejet de l’hypothèse nulle.

Test non paramétrique avec SPSS« Test binomial »

Test de l’égalité de la proportion des lecteurs dernière période Télérama égale à 0,06.SPSS fait le test : proportion des « non LDP » égale à 0,94, car « non LDP » > « LDP »

Statistiques descriptives

3000 ,051 ,219 0 1LDPTélérama

N Moyenne Ecart-type Minimum Maximum

Test binomial

non LDP 2848 ,949 ,94 ,016a

LDP 152 ,0513000 1,000

Groupe 1Groupe 2Total

LDPModalité N

Proportionobservée.

Test deproportion

Significationasymptotique(unilatérale)

Basée sur l'approximation de Z.a.

Un risque α pour un test bilatéral symétrique correspond à un risque α/2 pour un test unilatéral. La p-value est égale à 3,2% si le test est le suivant :

H0 : p = p0 = 0,06 contre H1 : p ≠ p0

Test de comparaison de deux proportions« Comparer les moyennes », et ensuite « Test T pour échantillons indépendants »

Test de l’égalité des proportions de lecteurs dernière période Télérama Homme et Femme. La statistique de test est la différence entre les moyennes de deux variables de Bernoulli.

Statistiques de groupe

1429 ,0490 ,216 ,00571571 ,0522 ,222 ,0056

SEXEHommeFemme

LDPTélérama

N Moyenne Ecart-type

Erreurstandardmoyenne

αλ1

Test d'échantillons indépendants

,641 ,423 -,400 2998 ,689 -,003 ,008

-,401 2985,5 ,689 -,003 ,008

Hypothèse devariances égalesHypothèse devariances inégales

LDPTélérama

F Sig.

Test de Levene surl'égalité des variances

t ddlSig.

(bilatérale)Différencemoyenne

Différenceécart-type

Test-t pour égalité des moyennes

p-value = 68,9% ⇒ non – rejet de l’égalité des moyennes

BilanLa conclusion d’un test d’hypothèse se fait en terme de rejet ou de non-rejet de l’hypothèse nulle, et cette conclusion est fonction :

de l’échantillon observé,et du risque de 1ère espèce α choisi.

Ne pas oublier que les tests – paramétriques ou non paramétriques – s’effectuent nécessairement sur des échantillons aléatoires.

ConclusionLes logiciels statistiques ont rendu l’utilisation des tests statistiques extrêmement simples. La principale difficulté est de choisir le test adapté à ses données et à son problème.

Avant l’utilisation d’une procédure, il ne faut pas oublier d’utiliser les représentations graphiques pour une 1ère

approche :Box-plot en parallèle pour des comparaisons dedistributions, de tendances centrales,Diagramme quantile-quantile pour des ajustements,…

Vue générale pratique

1 échantillon

2 échantillons

k échantillons

A - MOYENNES

1 échantillon

2 échantillons

k échantillons

Abis - PROPORTIONS

1 échantillon

2 échantillons

k échantillons

B - VARIANCES

TESTS PARAMETRIQUES

2 échantillons

k échantillons

corrélation

C - TESTS DE RANG

Khi-deux

Kolmogorovet Kolmogorov-Smirnov

Normalité

D - TESTS D'ADEQUATION

TESTS NON PARAMETRIQUES

TESTS D'HYPOTHESE

Tests paramétriquesTester une ou plusieurs moyennes

Moyenne d'échantillonLoi de Gauss

Observations indépendantesNormalité

de variance connue

Moyenne d'échantillonLoi de Student

Observations indépendantesNormalité

de variance inconnue

1 échantillon

Différence des MoyennesLoi de Gauss

Observations indépendantesNormalité

de variances connues

Différence des moyennesCalcul de variance poolée

Loi de Student

Observations indépendantesNormalité

Homoscédasticité

de variances inconnuesmais égales

Problème de Behrens-Fishervoir plutot solution non paramétrique

de variances inconnueset inégales

2 échantillons

Bonferroni

Least Significant DifferenceLSD de Fisher

Procédure de Scheffé

Procédures de Tukey

Student-Newman-KeulsSNK

Waller-Duncan

Hochberg

Méthode des contrastes

etc ....

Tests post-hoc

Analyse de la variance à 1 facteur(ANOVA)

Rapport de variancesLoi de Fisher

Observations indépendantesNormalité

Homoscédasticité

k échantillons

Tests paramétriquesTester une ou plusieurs proportions

Moyenne d'échantillonLoi de Gauss

Observations indépendantesN > 50

Np(1-p) >18

Une proportion est une moyenne

Utlise la loi de Fisher

Autre Solution

1 échantillon

Différence des MoyennesLoi de Gauss

Observations indépendantesN > 50

Np(1-p) > 18dans chaque échantillon

Proportions = moyennes

Petits échantillonstest du Khi-deux

Test exact de Fisher :peu accessible

2 échantillons

test peu robuste

Observations indépendanteseffectif concerné > 5

dans chaque échantillon

Petits échantillonstest du Khi-deux

k échantillons

Tests paramétriquesTester une ou plusieurs variances

Variance d'échantillonLoi du Khi deux à N ddl

Observations indépendantesNormalité

moyenne connue

Variance corrigée d'échantillonLoi du Khi deux à N-1 ddl

Observations indépendantesNormalité

moyenne inconnue

1 échantillon

Rapport des variances d'échantillonLoi de Fisher

Observations indépendantesNormalité

moyennes connues

Rapport des variances corrigéesLoi de Fisher

Observations indépendantesNormalité

moyennes inconnues

2 échantillons

test peu robustepeu accessible

Observations indépendantesNormalité

solution 1 :test de Bartlett

test peu robustepeu accessible

Observations indépendantesNormalité

Echantillons de même taille

Solution 2 :test de Cochran

k échantillons

Tests non paramétriquesTests des rangs (Fishériens)

Petits échantillons (< 8) :calculs exacts

Grands échantillons :calculs approchés par Gauss

Observations indépendantesvariable étudiée quelconque

Test de Mann & Whitney :identité des 2 distributions

Petits échantillons (< 8) :calculs exacts

Grands échantillons :calculs approchés par Gauss

Observations indépendantesobservations appariées :

étudie les différencesvariable étudiée continue

Test de Wilcoxon :Identité des 2 distributions

2 échantillons

Tables exactes pour quelques casLoi approchée du Khi-deux (k-1 ddl)

Observations indépendantesvariable étudiée continue ou ordinale

échantillons d'au moins 5 observations

Test de Kruskall & WallisIdentité des k distributions

k échantillons

n < 15 : Tables exactessinon, approximation par Gauss

Observations indépendantesobservations appariées

variable étudiée continue ou ordinale

Test de corrélation des rangsde Kendall

indépendance

corrélation