Université de Franche-ComtéUFR des Sciences et Techniques

STARTER2005-2006

Cours d’électrocinétique :

Régimes continu et transitoire

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Electrocinétique en régimes continu et transitoire

1. INTRODUCTION 5

1.1. DÉFINITIONS 51.2. HISTORIQUE 51.3. BIBLIOGRAPHIE 51.4. REMARQUES PRÉLIMINAIRES 5

2. NOTIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES EN RÉGIMECONTINU 6

2.1. COURANT ÉLECTRIQUE 62.2. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL. ACTION D'UNCHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q. 72.2.1. CHAMP ÉLECTRIQUE, POTENTIEL ÉLECTRIQUE, DIFFÉRENCE DE POTENTIEL 72.2.2. ACTION D'UN CHAMP ÉLECTRIQUE SUR UNE CHARGE Q 72.3. DIPÔLES PASSIFS 82.3.1. RÉSISTANCE ET LOI D'OHM 82.3.2. AUTRES DIPÔLES PASSIFS 102.3.3. DIPÔLES PASSIFS NON LINÉAIRES 112.4. LES DIPÔLES ACTIFS 112.4.1.DÉFINITIONS ERREUR! SIGNET NON DÉFINI.2.4.2 GÉNÉRATEUR DE TENSION 122.4.3 GÉNÉRATEUR DE COURANT 132.4.4 EQUIVALENCE ENTRE LES DEUX MODÈLES DE GÉNÉRATEUR 132.4.5 DIPÔLES ACTIFS RÉCEPTEURS 14

3. THÉORÈMES SUR LES CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU 15

3.1. DÉFINITIONS 153.2. LOIS DE KIRCHHOFF 163.2.1. LA LOI DES NOEUDS 163.2.2. LOI DES MAILLES 163.2.3. LOI DES BRANCHES : LOI D'OHM GÉNÉRALISÉE 173.2.4. TRANSFORMATION SÉRIE - PARALLÈLE, PARALLÈLE - SÉRIE D’UN CIRCUIT 173.3. THÉORÈME DE SUPERPOSITION 183.3.1. DÉFINITION 193.3.2 EXTINCTION D’UNE SOURCE LIBRE 193.3.3 APPLICATION DU THÉORÈME DE SUPERPOSITION 193.4.THÉORÈMES DE THÉVENIN ET DE NORTON 213.4.1 THÉORÈME DE THÉVENIN 213.4.2 THÉORÈME DE NORTON 223.4.3 EQUIVALENTE ENTRE LES DEUX THÉORÈMES 223.4.4 APPLICATION 233.5. THÉORÈME DE MILLMAN 24

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4. MÉTHODE DE RÉSOLUTION GRAPHIQUE D'UN SYSTÈME LINÉAIRE. POINT DEFONCTIONNEMENT 26

4.1. PRINCIPE 264.2. EXEMPLE 26

5. PUISSANCE DANS LES DIPÔLES LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU 28

5.1. INTRODUCTION 285.2 EXPRESSION GÉNÉRALE DE LA PUISSANCE 285.3 PUISSANCE DANS UN CONDUCTEUR OHMIQUE 285.4. PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF GÉNÉRATEUR 285.5. PUISSANCE DANS UN DIPÔLE ACTIF RÉCEPTEUR 29

6 LE RÉGIME TRANSITOIRE 30

6.1 RELATION TENSION - COURANT POUR LES DIPÔLES R, L ET C 306.1.1 RELATION TENSION – COURANT AUX BORNES D’UNE RÉSISTANCE 306.1.2 RELATION TENSION – COURANT AUX BORNES D’UN CONDENSATEUR 306.1.3 RELATION TENSION – COURANT AUX BORNES D’UNE BOBINE 316.2 RÉPONSE D’UN CIRCUIT RC ET RL À UN ÉCHELON DE TENSION OU DE COURANT 316.2.1 RÉPONSE D’UN CIRCUIT R 316.2.2 RÉPONSE D’UN CIRCUIT RL 346.3 PUISSANCE CONSOMMÉE PAR UN DIPÔLE 366.3.1 PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIRCUIT RC 376.3.2 PUISSANCE CONSOMMÉE DANS UN CIRCUIT RL 37

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1. Introduction

1.1. DéfinitionsIl faut distinguer différents termes relatifs à l'électricité.- Le génie électrique regroupe l'électricité, l'électronique et l'électrotechnique.- L'électricité regroupe l'électrostatique, l'électrocinétique et l'électromagnétisme.- L'électrocinétique est l'étude des courants électriques, c'est à dire des déplacements decharges dans des milieux matériels appelés conducteurs. C'est aussi l'étude des circuitsélectriques soumis aux différents régimes des courants électriques.

On distingue 3 types de régimes : - le régime stationnaire ou continu (courant continu),- le régime transitoire,- et le régime permanent sinusoïdal (courant alternatif).

1.2. Historique- Les phénomènes d'origine électrique et magnétique sont connus depuis l'antiquité. Thalès DeMilet (VI ème siècle avant J.C.) faisait la description de quelques phénomènes électriques etmagnétiques : l'électrisation par frottement d'un morceau d'ambre qui attire des objets légersou la pierre de magnésie (oxyde de fer) qui attire des anneaux de fer. Le mot électricité vientdu mot grec signifiant ambre (elektron :jaune).- Ces différents phénomènes resteront anecdotiques jusqu'au 17ième siècle. Stephen Gray(1666-1736) découvre la conduction de l'électricité. Benjamin Franklin (1706-1790) établie lathéorie des condensateurs est construit des paratonnerres. Alexandro Volta (1745-1827)construit la première pile.- L'électricité qui était jusqu'à lors statique devient dynamique et l'étude des courantsélectriques permet de mettre en évidence le lien entre l'électricité et le magnétisme. Tous cestravaux seront menés par André-Marie Ampère (1775-1836), François Arago (1786-1853),Michael Faraday (1791-1862), George Simon Ohm (1787-1854) et Gustav robert Kirchhoff(1824-1887).- En 1864, James Clarke Maxwell (1831-1879) propose une théorie reliant les champsmagnétique et électrique et prédit la propagation des ondes électromagnétiques. Cette théoriereste en vigueur pour expliquer de nombreux phénomènes physiques.

1.3. Bibliographie- Collection Travaux Dirigés 1er cycle chez Hachette Supérieur :

- Volume 1 : "Techniques mathématiques pour la physique" de Soum et al.- Volume 3 : "Circuits électriques et électroniques" de Soum et al.

- Collection Flash Universitaire chez A. Colin : "Electronique" de M. Fourier.- Collection Cursus chez A. Colin : "Electrocinétique" de L. Quaranta.- Collection J'intègre chez Dunod : "Electrocinétique.- Collection H prépa chez Hachette Supérieur : "Electronique, électrocinétique I".

1.4. Remarques préliminairesL'électrocinétique est le domaine ou les manifestations des mouvements de porteurs de chargesont étudiées en terme de courant et de tension. Si ces grandeurs sont constantes dans le temps

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on parle de régime continu ou indépendant de temps. Ces grandeurs seront alors notées avecdes majuscules. I pour le courant et U pour la tension.Il ne faut pas confondre le régime continu avec le régime permanent que l'on utilise pourdécrire le fonctionnement de circuits soumis à des tensions/courants alternatifs.Enfin, le régime transitoire décrit la réponse d'un circuit soumis à une brusque variation decourant/tension.

2. Notions élémentaires sur les composants élémentaires en régimecontinu

2.1. Courant électriqueLe courant électrique est dû audéplacement de charges dans unconducteur. Les effets électriquesconnu avant le 19ième siècle nepermettaient pas de connaître lanature de ces charges aussi le choixdu sens de déplacement a étéarbitrairement celui des chargespositives.Ce n'est qu'en 1879 avec la découverte de l'effet Hall que l'on a identifié la nature des porteursde charges. Il s'agit des électrons qui possède une charge négative q = -e = -1.6 10-19 C(Coulomb).Définition de l'intensité d'un courant électrique à travers un cylindre conducteur de section S :

c'est la quantité de charge électrique ∆q qui traverse S pendant un temps ∆t. qI

t

∆=

∆s’exprime en ampère (A ou C.s-1) avec ∆q en coulomb et ∆t en s (1A≡1C.s-1~6.1018 e-.s-1).

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2.2. Champ électrique, potentiel électrique, différence de potentiel. Actiond'un champ électrique sur une charge q.

2.2.1. Champ électrique, potentiel électrique, différence de potentielSoit une charge q dans le plan. Lechamp électrique produit par cettecharge en un point M de l’espace

est donné par E qr

u=4 0

2πε. .

Le champ s'exprime en V.m-1 ou V/m. r est la distance entre la charge et le point M.OMuOM

= est le vecteur unitaire pris dans la direction du vecteurOM . επ0

9136

10= − F m/

est la permittivité du vide.Le potentiel au point M créé par la charge est égal

à V qr

=4 0πε

. Il s'exprime en Volt (V). Lorsque la

charge est positive (q>0), le potentiel décroît lorsque lepoint M s’éloigne de la charge. Lorsque la charge estnégative (q<0), le potentiel croît lorsque le point Ms’éloigne de la charge. On constate alors que le champélectrique E produit par la charge en un point M del’espace est orienté vers les potentiels décroissants.

Si la charge se déplace d'une quantité dr , cela va induire une variation du potentiel aupoint dV E dr= − . . Entre les points M1 et M2, il existe une différence de potentiel (d.d.p.) qui

est égale à V V qr r1 2

0 1 241 1

− = −πε

( ) qui s'exprime en Volt (V).

2.2.2. Action d'un champ électrique sur une charge qEn électrocinétique il y a des charges fixes quicréent des champs et d'autres charges mobilesqui se déplacent dans ces champs. Ainsi unecharge électrique q placée dans un champélectrique E est soumise à une force F qE= .

Cette force s’exprime en newton (N).Dans le cas ou cette charge mobile est un électron (q=-e), sous l’action de cette force elle se déplacera dans le sens opposé au champ électrique. Defaçon évidente les électrons se déplacent donc vers les potentiels croissants et le courantélectrique et orienté comme le champ électrique vers les potentiels décroissants.

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2.3. Dipôles passifsUn dipôle est un élément de circuit présentant 2 bornes. Un multipôle présente plus de 2bornes. Un dipôle passif est un dipôle récepteur qui transforme toute l’énergie qu’il reçoitsous forme de chaleur.

2.3.1. Dipôles passifs linéaires : la résistance. Loi d'OhmUne résistance est un dipôle linéaire passif dont le symboleest le suivant :Si on lui applique entre ses bornes A et B uned.d.p. UAB = VA-VB, il sera parcouru par uncourant I tel que UAB = RI. R est appelée larésistance du dipôle. Cette loi entre le courantet la tension est empirique et est vérifiée par laplupart des dipôles passifs en régime continu.R s'exprime en Ohm (Ω).

A) REMARQUES

- R est toujours positif. UAB et I sont donc de même signe.- La loi d'Ohm peut également se mettre sous la forme I = GUAB ou G = 1/R est laconductance et s'exprime en Siemens (S).

B) CONVENTION DE SIGNE

La convention « récepteur » indique que la tension est toujours orientée du potentiel le plusbas vers le potentiel le plus élevé. Si VA > VB, UAB sera orienté de B vers A. Les électrons sedéplaçant dans le sens du potentiel croissants (B vers A), le courant lui est orienté de A versB.

C) CARACTERISTIQUE STATIQUE D'UN DIPOLE

On appelle caractéristique statique d'undipôle, la courbe représentant la variationdu courant I traversant un dipôle ou de latension UAB à ces bornes en fonction de latension appliquée à ses bornes ou ducourant qui le traverse. Dans le cas d'unerésistance, il s'agit d'une droite affine dontla pente correspond à R ou G selon lareprésentation choisie.

D) RESISTIVITE, CONDUCTIVITE

Dans le cas d'un conducteur cylindrique de section S et de longueur l présentant des chargeslibres assurant la conduction. Si on soumet les extrémités de ce conducteur à une différence depotentiel, les électrons libres vont avoir un mouvement d’ensemble de vitesse moyenne v.

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Pendant un temps dt la section S duconducteur sera traversée par un courant

dQIdt

= ou dQ représente la quantité de

charge traversant la section S pendant untemps dt. Les dN électrons constituant lacharge dQ sont contenus dans un volumedV=Svdt. D’autre part on adQ=dNe=ndVe où n est la densitévolumique de porteurs de charges, d’où :dQ=neSvdt et I=nSve. Dans cetteexpression seule la vitesse moyenne desélectrons peut varier. Cette vitesse, dueau champ électrique E , qui estuniforme, est proportionnelle à la d.d.p.entre les extrémité du conducteur de

longueur l : lABUv µ= . µ est appelée la

mobilité des électrons.

En conséquence l lAB ABS SI ne U Uµ γ= = . Ou encore ABI GU= avec

l

SG γ= . γ est la

conductivité (S.m-1). En inversant la relation on a : l lABU I I

neS Sρ

µ= = ou encore ABU RI=

avec l lRneS S

ρµ

= = . ρ est la résistivité (Ω.m).

Si R augmente (S et l constants) cela signifie que la résistivité augmente ou que laconductivité diminue.La résistance dépend de la température. Si T augmente R augmente. En effet, l'agitationthermique gêne la circulation des électrons. A T = 0 °K (-273 °C), la résistivité est nulle doncR = 0. C'est ce que l'on appelle la supraconductivité. On a alors conduction de l'électricité sansperte d'énergie.

E) CONSEQUENCE DE LA RESISTANCE : L'EFFET JOULE

La circulation d'un courant dans une résistance produit un échauffement :l'effet Joule. En effetle dipôle passif transforme l'énergie électrique en énergie calorifique. La puissance dissipéepar le dipôle est égale à P = RI². Cette puissance s'exprime en Watt (W).Applications : radiateurs, éclairage à filament, fusible.

F) ASSOCIATION DE RESISTANCES, CALCUL DE RESISTANCE EQUIVALENTE

On distingue deux façons d'associer des résistances. Elles sont associées soit en série soit enparallèle.

Association série :

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Les résistances Ri sont toutes traversées par le même courant I et ont une seule borne encommun avec un autre dipôle. La tension UAD est égale à la somme des tensions aux bornesde chacun des dipôles : 1 2 3 1 2 3 .( )AD AB BC CD éqU U U U R I R I R I R R R I R I= + + = + + = + + = .D’où la résistance équivalent à l’association de ces dipôles : . 1 2 3éqR R R R= + + . Dans le cas

ou N dipôles sont associés en série, la résistance équivalente s’exprime : .1

N

éq ii

R R=

= ∑ .

Association parallèle :

L’association de dipôles enparallèle se caractérise par lefait que tous les dipôles ontleurs bornes en commundeux à deux. En conséquencede quoi la tension aux bornesde chacun des dipôles estidentique.

Le courant I qui alimente ces dipôles branchés en parallèle va alors se repartir dans les dipôlestel que :

1 2 31 2 3 1 2 3 .

1 1 1AB AB AB ABAB

éq

U U U UI I I I UR R R R R R R

⎡ ⎤= + + = + + = + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦. D’ou la résistance

équivalente : . 1 2 3

1 1 1 1éqR R R R

= + + ou on préfèrera alors dans le cas d’association de dipôles

en parallèle utiliser la conductance : . 1 2 3éqG G G G= + + . Pour l’association de N dipôles en

parallèle on note respectivement la résistance et la conductance équivalentes : 1.

1 1N

iéq iR R=

= ∑ et

.1

N

éq ii

G G=

= ∑ .

2.3.2. Autres dipôles passifs

A) LES CONDENSATEURS PARFAITS

Ils sont constitués de deux armatures conductrices séparées par un isolant.

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En régime continu lecondensateur est chargé par lad.d.p. appliquée à ses bornes et ilse comporte comme uninterrupteur ouvert (I=0). Paranalogie avec les résistances, ilsprésentent une résistance infinie.C : capacité en farad (F).

B) LES SELF-INDUCTANCES PARFAITES

Elles sont constituées de bobines quilorsqu'elles sont parcourues par uncourant continu se comporte commeun court-circuit.Par analogie avec les résistances, elles présentent une résistance nulle. L : inductance en henry(H).L'intérêt de ces deux dipôles résident dans les propriétés en régime transitoire ou permanentsinusoïdal. Ils sont capable alors d'emmagasiner de l'énergie puis de la restituerultérieurement. Cependant la puissance moyenne dissipée est toujours nulle.

2.3.3. Dipôles passifs non linéairesCe sont des dipôles qui présentent une caractéristique courant/tension qui n'est pas linéairetels que les varistances ou les diodes.

Caractéristiques de dipôles non linéaires

2.4. Les dipôles actifs

- Pour un dipôle actif toute l’énergie électrique mise en jeu n’est pas dissipée sousforme de chaleur. Il y a transformation. Il peut transformer :

o de l‘énergie électrique en énergie non calorifique (mécanique, chimique,optique, électrique). Il s’agit d’un dipôle actif récepteur et à ces bornes onmesure une force contre électromotrice (f.c.é.m.). Il s'agit d'une tension.

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o de l’énergie non calorifique (mécanique, chimique, optique, électrique) enénergie électrique. Il s’agit d’un dipôle actif générateur et à ces bornes onmesure une force électromotrice (f.é.m.). Il s'agit aussi d'une tension.

- Un dipôle actif peut-être générateur : il fournit alors de l’énergie électrique (pile,turbine, batterie, génératrice,…)

- Un dipôle actif peut-être récepteur : il transforme alors l’énergie électrique en uneautre forme d’énergie (moteur, transformateur,…).

- Certain dipôle actifs sont réversibles et fonctionner soit comme générateur soit commerécepteur (cas d’une batterie de voiture).

2.4.2 Générateur de tension2.4.2.1 Générateur de tension idéalC’est un dipôle aux bornes duquella tension reste constante quelleque soit l’intensité du courantdélivré. Cette tension est appeléeforce électromotrice (f.é.m.). Lacaractéristique UMN=f(I) est unedroite horizontale.Par convention le signe « + » indique la borne positive et la tension au borne du générateur detension est orientée vers le « + ». Dans le cas ou le générateur de tension se comporte commeun générateur le courant quitte la borne « + » et est compté comme positif. Le courant +Ilimindique la valeur maximal que peut délivré ce générateur avant sa destruction. Lorsque lecourant est négatif, alors le générateur se comporte comme un récepteur (le sens du courantest alors imposé au générateur par un autre dipôle actif du circuit).

2.4.2.1 Générateur de tension réelC’est un dipôle tel que, lorsque l’intensitédu courant qu’il délivre croît la tension àces bornes décroît. La chute de tension ∆Uest proportionnelle à I ce qui estcaractéristique d’une résistance. On écrit∆U=-rI avec r la résistance dite « interne »du générateur. La tension à ses borneslorsqu’il est branché aux bornes d’unrécepteur s’écrit : UMN=E-rI. Le modèleéquivalent dit de Thevenin est l’associationen série d’un générateur parfait de f.é.m. Eet d’une résistance r. La caractéristique d’ungénérateur de tension réel est une droite nepassant pas par l’origine de pente négative.L’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées correspond à la tension relevée auxbornes de générateur lorsque qu’il n’y a aucune charge branchée aux bornes du générateur(I=0, ou générateur en circuit ouvert) soit UMN=E la f.é.m. du générateur. La caractéristiquecoupe l’axe des abscisses lorsque UMN=0 c'est-à-dire lorsque la charge présente une résistancenulle c'est-à-dire lorsque les bornes du générateur sont court-circuitées alors le générateurdébite un courant dit de court-circuit Icc=E/r.

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2.4.3 Générateur de courant2.4.3.1 Générateur de courant idéalC’est un dipôle débitant un courantconstant I0 (courant électromoteurc.é.m.) indépendant de la tension à sesbornes. La caractéristique I = f(UAB)est une droite horizontale. Lorsque legénérateur fonctionne commegénérateur dans un circuit la tensionest comptée positive et orientéecomme le courant.

2.4.3.2 Générateur de courant réelC’est un dipôle à la sortie duquel il y a unechute de courant ∆I lorsque la tension à cesbornes croît. Cette chute de courant estproportionnelle à UMN et elle est associée àune résistance de conductance g telle que∆I=-gUMN, l’intensité délivrée sera alorségale à : I=I0-gUMN avec g=1/r conductancedu générateur. Le modèle équivalent, dit deNorton, est l’association en parallèle d’ungénérateur de courant idéal et d’unerésistance r.La caractéristique I=f(UMN) est une droitene passant pas par l’origine, de pentenégative. Lorsque la tension UMN =0, c’est àdire lorsque les bornes M et N sont court-circuitées le courant débité par le générateurest égal au c.é.m.. D’autre part lorsque lacharge présente une résistance infinie(autrement dit lorsque le générateur est encircuit ouvert I=0) alors on relève auxbornes du générateur une tension rI0.

2.4.4 Equivalence entre les deux modèles de générateurNous venons d’établir les modèles équivalents des générateurs de tension et de courant réels.Nous avons établi que :

• générateur de tension : , MNMN

E UU E rI Ir r

= − = − ,

• générateur de courant : 00 ,MN MN

I II I gU Ug g

= − = − .

L’identification entre ces deux systèmes d’équations donne : 01,EI g

r r= = .

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Ces égalités peuvent également s’obtenir à partir des deux modèles en circuitouvert :

Ces générateur sont considérés comme équivalent si 0EIr

= ou 0E rI= . Cette équivalence

entre les deux types de générateurs est importante pour la simplification de circuit comportantuniquement des dipôles linéaires.

2.4.5 Dipôles actifs récepteursCe sont des dipôles consommant de l’énergie électrique et qui en transforme une partie sousune autre forme d’énergie. Pour ces dipôles actifs récepteurs, l’intensité entre toujours par lepôle « + » et ressort par le pôle « - » à l’inverse d’un dipôle actif genérateur. Ils sont de deuxtypes :

• polarisés si leurs bornes sont indépendantes du sens du courant,• polarisables si leurs bornes sont dépendantes du sens du courant.

Dans les deux cas le modèle équivalent sera :

La caractéristique d’un dipôle actif récepteur est une droite ne passant pas par l’origine depente positive. L’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées correspond la tensionrelevée aux bornes du dipôle lorsque celui-ci est en circuit ouvert (I=0).Remarque :Le symbole que nous utilisons pour le récepteur est différent de celui du générateur pour bienmontrer qu’il s’agit d’un récepteur. La f.é.m. du dipôle actif récepteur est notée « e »également pour la distinguer de celle d’un dipôle actif générateur.

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3. Théorèmes sur les circuits linéaires en régime continuL'objectif est d'analyser des circuits et de calculer les tensions/courants de ces circuits. Nousallons étudier un ensemble de techniques de bases et nous discuterons du choix de la méthodeen fonction du type de circuit et de sa complexité.

3.1. DéfinitionsSoit le circuit suivant :

On définit ainsi les termes suivants :• un circuit/réseau est un ensemble de composants ou dipôles reliés par des fils de

connexion qui peut être analysé en terme de noeuds, de branches et de mailles.• un noeud est un point de jonction entre trois fils de connexion minimum.• une branche est constituée par un ensemble de dipôles montés en série entre deux

noeuds. 2 dipôles sont montés en série lorsqu'ils sont traversés par le même courant.• une maille est un ensemble de branches formant un contour fermé que l'on peut

parcourir en ne passant qu'une fois par chaque noeud intermédiaire. Une maille pourraêtre orientée de façon arbitraire.

Dans notre exemple on compte 2 noeuds et 3 mailles et 3 branches.Remarques:

• Dans un circuit qui possède n noeuds indépendants il y a n-1 potentiels inconnus et lenième est appelé la masse.

• La masse est un noeud de référence de potentiel. La valeur du potentiel des autresnoeuds du circuit sera donnée par rapport à cette référence. Le symbole est le suivant :

Il ne faut pas le confondre avec le symbole de la terre qui correspond au vrai potentiel0V. Toutefois, la masse d'un circuit est en général reliée à la terre (mais pas toujours).

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3.2. Lois de KirchhoffLe physicien allemand Gustav Robert Kirchhoff a établi en 1845 deux lois qui fondent tousles calculs de réseaux électriques :

- la loi des nœuds,- la loi des mailles.

3.2.1. la loi des noeudsCette loi exprime la loi de conservation dela charge électrique. Pour un noeud donnéla somme des courants qui arrivent à cenoeud est égale à la somme des courantsqui en partent. Pour un noeud donné, onpeut symboliser cette relation parl'expression générale suivante :

0k kk

Iε =∑ , avec εk = +/-1 selon que le courant Ik arrive ou part d'un noeud. A priori

l’orientation des courants est initialement inconnue, aussi on oriente arbitrairement cescourants dans les différentes branches du circuit. L’application numérique indique selon lesigne si le courant a été orienté correctement. Dans l’exemple présenté ci-dessus contenant 2noeuds :

- au nœud A → I1=I2+I3,- au nœud B → I2+I3= I1.

Ces deux relations sont identiques et donne : I2+I3-I1=0. On constate avec cette équation quesur les trois inconnues deux sont indépendantes. Ce qui réduit le nombre d’inconnues à 2.

3.2.2. Loi des maillesCette loi est une conséquence de l'additivité destensions. Les tensions explicitées en termes dedifférences de potentiels nous permettent d'écrire pourla maille considérée et orientée de façon arbitraire :(VA-VB) + (VB-VC) + (VC-VD) + (VD-VA) = 0.Soit encore :UAB + UBC + UCD + UDA = 0.Cette dernière relation ne préjuge en rien de la naturedes dipôles de la maille. D'où la relation généraliséepour une maille orientée :

0k kk

Uε =∑ , avec εk = +/-1 selon que la tension aux

bornes du dipôle est orientée ou non selonl’orientation choisie de la maille.Dans notre exemple pour les 3 mailles identifiées :

- maille n°1 → E1-rI1-R1I3=0,- maille n°2 → R1I3-R2I2-R3I2=0,- maille n°3 → E1-rI1-R2I2-R3I2=0.

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3.2.3. Loi des branches : loi d'Ohm généraliséeDans une branche d’un circuitcontenant un ou plusieurs dipôlesassociés en série entre les deuxnœuds délimitant cette branche,la tension est égale à la sommedes tensions aux bornes dechacun des dipôles telle que :

1i

n

AB i Di

U Uε=

= ∑ avec εi = +/-1 selon que la tension aux bornes du dipôle Di est orientée ou non

comme la tension UAB. Dans notre exemple où nous avons identifié 3 branches :- branche n°1 : UAB= E1-r1I1,- branche n°2 : UAB= R1I3,- branche n°3 : UAB= R2I2+R3I2.

Grâce à ces différentes lois nous avons établi suffisamment d’équations pour résoudre toutesles inconnues de ce circuit. Dans un circuit présentant n noeuds et b branches il existe c=b-n+1 courants indépendants dans le circuit. Le problème revient donc à résoudre un système à cinconnus. Il faut donc écrire c équations indépendantes. Dans notre exemple c=3-2+1=2.Parmi toutes ces équations deux suffisent pour résoudre le problème. Par exemple ou peutrechercher la tension UAB ou la tension aux bornes de R3.

3.2.4. Transformation série - parallèle, parallèle - série d’un circuitLa résolution du système d’équations est simple lorsque le nombre d’inconnus est faibletoutefois lorsque celui-ci devient important il est souhaitable de simplifier au maximum lemontage dans la perspective de la question posée. Il est utile parfois d’utiliser la résistanceéquivalente de résistances associées soit en série soit en parallèle et l’équivalence entre lesgénérateurs de courant et de tension vue précédemment dans cet objectif de simplification.Ainsi dans l’exemple de circuit présenté au § 3.1 si on cherche la valeur du courant I1 ou de latension UAB, il est pratique de réaliser la transformation suivante du circuit :

Dans la mesure ou l’on s’intéresse au courant débité par le générateur, la nature des autresdipôles constituant le circuit importe peu. Nous pouvons donc simplement substituer auxrésistances R1, R2 et R3 la résistance équivalente à l’association de ces trois résistances. Ils’agit de l’association en série des résistances R2 et R3 associée en parallèle avec R1. Ce qui

18

donne : ( )( )

1 2 3. 1 2 3

1 2 3

//( )éq

R R RR R R R

R R R+

= + =+ +

. Le schéma se simplifie alors en remplaçant

ces résistances par la résistance équivalente. Le montage ne contient alors plus qu’une seulemaille parcourue par le courant I1 que l’on cherche. Pour cette maille on peut écrire

1 . 1AB éqU E rI R I= − = soit 1.éq

EIR r

=+

. On en déduit .

.

éqAB

éq

R EU

R r=

+.

Maintenant si on cherche le courant I3 circulant dans la résistance R1, il est commode ici deréaliser une transformation parallèle du générateur de tension, c.a.d. transformer le générateurde tension en son générateur de courant équivalent, soit :Nous avons également remplacé l’association en série des résistances R2 et R3 par larésistance équivalente R2+R3. Les nœuds A’ et B’ sont respectivement identique aux nœuds A

et B. La loi des nœuds permet d’écrire que : 1 23AB AB ABgE gU GU G U= + + ou 1gr

= ,

11

1GR

= et 232 3

1GR R

=+

les conductances des résistances dans chaque branche. Alors

1 23AB

gEUg G G

=+ +

, soit 13 1

1 23AB

G gEI GUg G G

= =+ +

.

La tension UAB calculée dans ces deux exemples donne le même résultat.En conclusion, en fonction de la grandeur recherchée il convient d’opérer les simplificationset transformation pertinentes.

3.3. Théorème de superpositionLorsqu’un circuit comporte plusieurs dipôles actifsgénérateurs, la résolution du circuit devientrapidement compliquée. Aussi nous allons voir uneméthode permettant de résoudre simplement cetype de circuit. Le théorème de superposition nes’applique qu’aux circuits constitués de dipôleslinéaires.De façon général un circuit peut-être représenté sousla forme de l’association en parallèle du dipôlepassif étudié avec un dipôle actif contenant toutes lessources du circuit et les autres dipôles passifs.

19

3.3.1. DéfinitionEn régime continu l’intensité I qui parcourt le dipôle étudié et la tension UAB à ses bornes sontégaux respectivement à la somme des courants et des tensions relevés lorsque l’on éteintsuccessivement l’ensemble des sources sauf une.

3.3.2 Extinction d’une source libre3.3.2.1 Extinction d'une source de tensionUne source libre de tension est éteintelorsqu'elle est remplacée par un court-circuit. Cela revient à donner une valeurnulle à sa f.é.m..

3.3.2.2 Extinction d'une source de courantUne source libre de courant est éteintelorsqu'elle est remplacée par un circuitouvert. Cela revient à donner une valeurnulle à sont c.é.m..

Remarque : Il est utile de se rappeler que l'extinction d'une source libre revient à enlever lecercle de son schéma.

3.3.3 Application du théorème de superpositionSoit le circuit suivant, constitué d’un générateur de tension et d’un générateur de courantrespectivement de résistance interne r1 et r2 et d’une résistance R associés en parallèle.

Extinction du générateur de tension :

20

Après extinction du générateur de tension on peut simplifier le schéma en considérant d’unepart l’association en parallèle des résistances r1 et r2 puis en réalisant la transformationparallèle-série du générateur de courant (remplacement du générateur de courant par legénérateur de tension équivalent). Le circuit est alors constitué d’une seule maille et onobtient :

. 01

.

éq

éq

r II

R r=

+ et

1

. 01

.

éqAB

éq

Rr IU RI

R r= =

+.

Extinction du générateur de courant :

Après extinction du générateur de courant on peut simplifier le schéma en réalisant latransformation série-parallèle du générateur de tension (remplacement du générateur detension par le générateur de courant équivalent) puis en considérant d’autre part l’associationen parallèle des résistances r1 et r2. La résolution du circuit conduit à :

.2

1 .( )éq

éq

r EI

r R r=

+ et

2

.2

1 .( )éq

ABéq

Rr EU RI

r R r= =

+.

Lorsque les deux générateurs sont allumés alors :

21

( ). 0 . . 1 01 2

. 1 . 1 .( ) ( )éq éq éq

éq éq éq

r I r E r r I EI I I

R r r R r r R r+

= + = + =+ + +

, et

( )1 2

. 0 . . 1 0

. 1 . 1 .( ) ( )éq éq éq

AB AB ABéq éq éq

Rr I Rr E Rr r I EU U U

R r r R r r R r+

= + = + =+ + +

.

3.4.Théorèmes de Thévenin et de NortonToute portion d’un circuit ne comportant que des dipôles actifs et passifs linéaires peuventêtre remplacés par un dipôle actif linéaire équivalent. Le modèle équivalent choisi peut êtrecelui de Thévenin ou celui de Norton.

3.4.1 Théorème de ThéveninLorsque l’on s’intéresse à la tension aux bornes d’un dipôle ou au courant qui le traverse, nousavons vu précédemment qu’il était possible de considérer le circuit comme l’association dedeux dipôles : un dipôle passif D2 (le dipôle étudié) et d’un dipôle actif linéaire D1 regroupantles autres composant du circuit. Si on remplace le dipôle D1 par son modèle équivalent deThévenin (générateur de tension idéal de f.é.m. Eth en série avec une résistance Rth) la tensionUAB est égale à : AB th thU E R I= − . En déterminant les expressions de Eth et Rth) en fonctiondes caractéristiques de dipôles constituant le dipôle D1, la résolution du circuit est alors

simplifiée. En effet il vient 2

2 2

,D th thAB

th D th D

R E EU IR R R R

= =+ +

, où RD2 est la résistance

équivalente du dipôle D2.

La détermination des caractéristiques dugénérateur de Thévenin équivalents’opère de la façon suivante.Lorsque l’on coupe la liaison entre lesdipôles D1 et D2, on a aux bornes dudipôle une intensité nulle du courant eton relève ce que l’on appelle la tensionen circuit ouvert UAB0 telle que :

0AB thU E= .

22

D’autre part si on éteint toutes les sources du dipôle D1 la résistance « vue » entre les bornesAB est égale à la résistance Rth.En conséquence thE représente la tension à vide et Rth est la résistance équivalente entre lesbornes AB lorsque toutes les sources de ce dipôle sont éteintes.

3.4.2 Théorème de Norton

Il s’agit d’une variante du théorème de Thévenin ou le dipôle D1 est remplacé par son modèleéquivalent de Norton (générateur de courant idéal de c.é.m. IN en parallèle avec une résistance

RN. Alors il est facile d’établir que 2

2 2

,N D N NAB N

N D N D

R R R IU I IR R R R

= =+ +

. Encore une fois il

s’agit de déterminer les expressions de IN et RN en fonction des caractéristiques des dipôlesconstituant le dipôle D1.Pour déterminer IN il faut simplementconstater que lorsque l’on court-circuite lesbornes A et B du dipôle D1, la tension UABest nulle et le courant de court-circuit Icc estégal à : .cc NI I=D’autre part si on éteint toutes les sourcesdu dipôle D1 la résistance « vue » entre lesbornes AB est égale à la résistance RN.En conséquence IN représente le courant decourt-circuit et RN est la résistanceéquivalente entre les bornes AB lorsquetoutes les sources de ce dipôle sont éteintes.

3.4.3 Equivalente entre les deux théorèmesComme nous l’avons vu précédemment, il est possible d’établir une équivalence entre lesmodèles équivalents deThévenin et de Norton. Aussi les générateurs de Thévenin et de Norton

équivalents déterminés par les deux théorèmes sont identiques si th N N

th N

E R IR R

=⎧⎨ =⎩

ou th

Nth

N th

EIR

R R

⎧ =⎪⎨⎪ =⎩

.

23

3.4.4 ApplicationConsidérons le circuit étudié dans le cadre du théorème de superposition.

Résolution par le théorème de ThéveninCherchons le générateur de Thévenin équivalent au dipôle D1. Pour déterminer Rth, éteignonsles différentes sources et calculons la résistance équivalente du dipôle. On constate que les

résistances r1 et r2 sont associées en parallèle : ( ) 1 21 2

1 2

//thr rR r r

r r= =

+. Pour déterminer Eth

considérons le dipôle D1 en circuit ouvert est exprimons la tension à vide 0ABU .

On constate que ( )0 1 2 0' 'ABU E r I r I I= − = + soit 2 0

1 2

' E r IIr r

−=

+.

D’où ( )0

2 1 02 1 0 1

1 2 1 2AB

Er r Ir E r I rU

r r r r

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= =+ +

. En conséquence :2 1 0

1

1 2th

Er r IrE

r r

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=

+.

Maintenant si considère le générateur de Thévenin équivalent du dipôle D1 associé au dipôle

D2, on trouve

2

2

2

01

01

D th thAB

th D th

th th

th D th

R E RR EU IR R R R r

E R EI IR R R R r

⎧ ⎛ ⎞= = +⎪ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎪

⎨⎛ ⎞⎪ = = +⎜ ⎟⎪ + + ⎝ ⎠⎩

.

Résolution par le théorème de Norton

24

Cherchons le générateur de Norton équivalent au dipôle D1. Pour déterminer RN, éteignons lesdifférentes sources et calculons la résistance équivalente du dipôle. On constate que les

résistances r1 et r2 sont associées en parallèle : ( ) 1 21 2

1 2

//Nr rR r r

r r= =

+. Pour déterminer IN

considérons le dipôle D1 en court-circuit et exprimons le courant de court-circuit Icc.

Il vient 1 0 01

0 ", ''AB ccEU E r I I I I Ir

= = − = + = + . En conséquence 01

NEI Ir

= + .

Maintenant si considère le générateur de Norton équivalent du dipôle D1 associé au dipôle D2,

on trouve

2

2

2

01

01

N D NAB N

N D N

N N N

N D N

R R R R EU I IR R R R r

R I R EI IR R R R r

⎧ ⎛ ⎞= = +⎪ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎪

⎨⎛ ⎞⎪ = = +⎜ ⎟⎪ + + ⎝ ⎠⎩

. En considérant l’équivalence entre les

deux modèles, on retrouve bien le même résultat qu’avec le théorème de Thévenin. D’autrepart en considérant les résultats obtenus par l’application du théorème de superposition nousretrouvons également le même résultat.

3.5. Théorème de MillmanC'est une conséquence directe de la loides noeuds. Il permet d'exprimer demanière simple la conservation descourants à un nœud et de trouverl’expression du potentiel en ce nœud ducircuit. Soit le noeud N ou se rejoignentles branches M1N, M2N, M3N, ...,MnNd'un circuit. Soit R1, R2, R3, ... et Rn lesrésistances des dipôles correspondants àces branches. La loi des nœuds donne :

10

n

ii

I=

=∑ .

En considérant la relation liant le courant dans une branche avec la différence de potentielentre les deux nœuds constituant cette branche : ( )i ii i M N i M NI GU G V V= = − .Le potentiel au noeud N obéit à la relation suivante :

25

G V G V G V G V GM M M n M kk

n

Nn1 2 31

1 2 3+ + + + =

=∑... ( )V .

D’ou la relation générale au noeud N :

G V Gk Mk

n

kk

n

Nk

= =∑ ∑=

1 1

( )V

Application :Considérons toujours le même circuit. Nous considérerons que le nœud B constitue la massedu circuit et que VB=0. D’autre part nous réalisons la transformation parallèle-série dugénérateur de courant pour simplifier le circuit.

En appliquant le théorème de Millman il vient :( )1 2 1 2A B C DG g g V GV gV g V+ + = + + .Comme VB=0 et 2 0,C B C D B DE V V V r I V V V= − = = − = , il vient simplement :

1 2 2 0

1 2A

g E g r IVG g g

+=

+ + soit 1 2 2 0

1 2AB A B A

g E g r IU V V VG g g

+= − = =

+ +. Ce résultat est identique à celui

trouvé avec les précédents théorèmes.

26

4. Méthode de résolution graphique d'un système linéaire. Pointde fonctionnementLes lois de Kirchhoff proposent une solution analytique à la résolution des circuits. Maisquand ceux-ci deviennent trop complexe il devient plus commode de chercherexpérimentalement une solution graphique au problème.

4.1. PrincipeSoit les 2 dipôles quelconques associés :

L'intérêt de la méthode graphique est qu'elle s'applique quelque soit la nature des dipôles(passifs ou actifs, linéaires ou non). La seule condition qu'ils doivent vérifier est qu'ils soientindépendants l'un de l'autre.

• Pour un observateur qui regarde le dipôle D1 on trace la caractéristique de celui-ci avecla convention générateur U=f1(I) (C1).

• le même observateur regarde cette fois le dipôle D2 et on trace la caractéristique decelui-ci avec la convention récepteur U=f2(I) (C2).

Les caractéristiques sont tracées pour U et I > ou < 0.U et I peuvent prendre n'importe quelle valeur lorsque les dipôles fonctionnent séparémentmais lorsqu'ils sont associés il existe alors une solution unique (UF, IF) pour point defonctionnement du système.Cette solution correspond à l'intersection graphique des 2 caractéristiques ce qui équivaut à lasolution d'un système de 2 équations à deux inconnues.

4.2. Exemple

27

Considérons le montage vu dans les § précédents. On utilisera le modèle de Théveninéquivalent du dipôle D1.La caractéristique du dipôle D1 a pour équation AB th thU E R I= − et celle du dipôle D2 est égaleà : ABU RI= . Lorsque les deux dipôles sont branchés ensemble le courant IF et la tension UF

correspondant au point de fonctionnement du circuit lorsque ces deux dipôles sont associés

vérifient : F th th F

F F

U E R IU RI

= −⎧⎨ =⎩

. D’où :

thF

th

thF

th

REUR REI

R R

⎧ =⎪ +⎪⎨⎪ =⎪ +⎩

. Ce qui correspond aux coordonnées du

point d’intersection des deux caractéristiques. Ce résultat est encore une fois conforme aveccelui établit par les théorèmes de superposition et de Thévenin.

28

5. Puissance dans les dipôles linéaires en régime continu

5.1. IntroductionLorsqu’un dipôle est parcouru par un courant, c’est qu’il existe au sein de ce dipôle un champélectrique exerçant une force sur les porteurs de charge pour les déplacer. Or toutes force dontle point d’application se déplace produit un travail. L’énergie électrique apportée au dipôlefournit donc un travail. La dérivée de ce travail par rapport au temps constitue ce qu’onappelle la puissance électrique.

5.2 Expression générale de la puissanceSoit un dipôle défini par ses bornes A et B. Considérons la charge élémentaire libre q quitraverse ce dipôle sous l’action d’un champ électrique issu de la différence de potentielappliquée entre les bornes A et B. Nous l’avons vu précédemment, cette charge est soumise àune force F qE= . Le travail fourni pour déplace la charge de la borne B à la borne A

s’exprime de la façon suivante : lA

B AB

W Fd→ = ∫ ou ld représente un élément infinitésimal du

trajet parcouru par la charge. En remplaçant la force par sont expression ou obtient :

lA

B AB

W qEd→ = ∫ . Compte tenu de la définition de la différence de potentiel vu initialement on

a : ( )l lA A

B A A BB B

W qEd q Ed q V V→ = = = −∫ ∫ . La puissance électrique est alors égale à :

( )B AA B AB

dW dqP V V U Idt dt

→= = − = . La puissance électrique consommée ou fournie par un

dipôle est donc égale au produit entre la tension à ses bornes multipliée par le courant qui letraverse. Cette puissance s’exprime en watt (W). L’énergie électrique (ou le travailcorrespondant) s’exprime en joule de façon générale ou en kW.h dans le cas particulier del’énergie électrique. C'est-à-dire la puissance électrique consommée fois le tempsd’utilisation.

5.3 Puissance dans un conducteur ohmiqueAux bornes d’un conducteur ohmique latension et l’intensité sont reliées par la loid’Ohm tel que :

ABU RI= ou ABI GU= . D’où la puissancedissipée par le conducteur ohmique :

22 2AB

AB ABUP U I RI GUR

= = = = .

Remarque : Lorsqu’un courant traverse un conducteur ohmique, le travail résistant des forcesde frottement s’oppose au déplacement des charges. Cela se traduit par un échauffement duconducteur : c’est l’effet Joule.

5.4. Puissance dans un dipôle actif générateurSoit le dipôle actif générateur suivant :

29

Aux bornes d’un générateur la tension et l’intensité sont liées par : MNU E rI= − , d’oùl’expression de la puissance 2

MNP U I EI rI= = − .• EI représente la puissance totale fournie par le générateur qui correspond au travail

du champ électromoteur dans le générateur. Ce travail se traduit par une augmentationde l’énergie des porteurs de charge pendant la traversée du générateur.

• 2rI représente la puissance dissipée par effet Joule dans le générateur. Ce travailtraduit la perte d’énergie des porteurs de charges lors de la traversée du générateur. Oncherchera toujours à minimiser ces pertes.

• 2EI rI− représente la puissance fournie (ou puissance disponible) par le générateur àl’extérieur, c.a.d. au réseau dans lequel il fait circuler le courant.

5.5. Puissance dans un dipôle actif récepteurSoit le dipôle actif récepteur suivant :

Aux bornes d’un générateur la tension et l’intensité sont liées par : ABU e rI= + , d’oùl’expression de la puissance 2

ABP U I eI rI= = + .• eI représente la puissance utile fournie au récepteur pour la transformation de

l’énergie électrique en une autre forme d’énergie.• 2rI représente la puissance dissipée par effet Joule dans le récepteur. Ce travail

traduit la perte d’énergie des porteurs de charges lors de la traversée du récepteur. Oncherchera toujours à minimiser ces pertes.

• + 2eI rI représente la puissance totale reçue par le récepteur.

30

6 Le régime transitoireJusqu’à maintenant nous avons étudié les circuits en régime continu. Le régime transitoire,comme nous l’avons vu en introduction de ce cours, correspond au passage entre deuxrégimes continus ou permanent d’un circuit. Nous nous limiterons ici à l'étude du régimetransitoire entre deux régimes continus de circuit simple contenant des dipôles passifs ouactifs linéaires tels que des résistances, des condensateurs, des bobines et des générateurs.L’analyse de circuit en régime transitoire consiste essentiellement à décrire les variations enfonction du temps des grandeurs électriques courant et tension entre les deux états d’équilibrecorrespondant aux régimes continus. En régime transitoire comme en régime permanent latension et le courant sont notés respectivement : u(t) et i(t).

6.1 Relation tension - courant pour les dipôles R, L et C

6.1.1 Relation tension – courant aux bornes d’une résistanceComme en régime continu, la tension aux bornes d’une résistance est proportionnelle aucourant qui la traverse. On retrouve alors la loi d’ohm :

( ) ( )u t Ri t=

6.1.2 Relation tension – courant aux bornes d’un condensateurComme nous l’avons vu précédemment le courantélectrique est défini par la quantité de charge ∆q quitraverse la section S d’un conducteur pendant un temps ∆t.

Lorsque l’on fait tendre ∆t vers 0 le rapport qt

∆∆

peut

s’interpréter comme la variation ou la dérivée par rapportau temps de la charge q(t). On obtient alors la grandeur

instantanée du courant tel que : [ ]( )( ) ( )dq t di t q tdt dt

= = .

Dans le cas ou nous considérons un condensateur dans une branche d’un circuit parcourue parun courant i(t), l’accumulation des charges électriques q(t) au cours du temps va induire une

tension u(t) aux bornes du condensateur tel que : ( )( ) q tu tC

= , ou C est la capacité (en farad F).

En remplaçant q(t) on obtient alors la relation courant – tension aux bornes d’uncondensateur :

[ ] [ ] [ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )dq t d d d du ti t q t Cu t C u t Cdt dt dt dt dt

= = = = =

Dans l’exemple présenté par le schéma, si i(t) est positif, cela correspond à un accroissementde la quantité de charge accumulée par le condensateur (dq(t) > 0). A l’inverse si i(t) estnégatif, cela correspond à une réduction de la quantité de charge (dq(t) < 0).

Remarques :• Lorsque la quantité de charge d’un condensateur croît (dq(t) > 0) cela signifie que le

condensateur se charge. Un condensateur ne peut se charger infiniment. Aussi lorsqu’ilatteint sa charge maximale, notée Q, la quantité de charge dq(t) arrivant sur l’armaturedu condensateur devient nulle. Par conséquent le courant circulant dans la branchecontenant le condensateur s’annule également (i(t)=0). Dans ce cas le condensateur est

31

équivalent à un circuit ouvert comme nous l’avons vu précédemment en régimecontinu.

• Lorsque la quantité de charge d’un condensateur décroît (dq(t) < 0) cela signifie que lecondensateur se décharge. Un condensateur ne peut se décharger infiniment. Aussilorsqu’il est complètement déchargé, la quantité de charge dq(t) quittant l’armature ducondensateur devient nulle. Par conséquent le courant circulant dans la branchecontenant le condensateur s’annule également (i(t)=0). Dans ce cas le condensateur estégalement équivalent à un circuit ouvert.

6.1.3 Relation tension – courant aux bornes d’une bobineEn régime transitoire et en régime permanent la relationcourant – tension est régie par le phénomène d’auto-induction. Ce phénomène se traduit par l’apparition auxbornes de la bobine d’une tension qui s’oppose à la variationdu courant qui la traverse. Cette tension est proportionnelle àla variation du courant i(t) par rapport au temps est elle estnotée :

[ ]( )( ) ( )di t du t L L i tdt dt

= = .

La relation dépend également d’une constante L appelée inductance de la bobine (en henry H).Lorsque le courant traversant la bobine croît (di(t) > 0), la tension est positive et lorsque lecourant décroît (di(t) < 0), la tension est négative.Remarque :

En régime continu, lorsque le courant qui traverse la bobine est constant au cours dutemps (di(t) = 0) la tension aux bornes de la bobine est nulle. Dans ce cas la bobine estéquivalente à un court-circuit.

6.2 Réponse d’un circuit RC et RL à un échelon de tension ou de courant6.2.1 Réponse d’un circuit RC

La charge du condensateurSoit le circuit suivant constitué d’un générateur de tension idéal de f.é.m. E en série avec uninterrupteur K, d’une résistance R et d’un condensateur de capacité C. L’interrupteur estinitialement ouvert et le condensateur est déchargé. La tension aux bornes du condensateur estdonc nulle ainsi que la tension aux bornes de la résistance puisqu’il n’y a pas de courant quicircule dans le circuit. A l’instant t = 0 l’interrupteur est fermé. En écrivant la loi des maillespour ce circuit nous obtenons :

( ) ( ) 0C RE u t u t− − = .

32

En exprimant la tension uC(t) aux bornes du condensateur en fonction de la charge q(t) et latensions uR(t) aux bornes de R en fonction du courant i(t) circulant dans le circuit et enexprimant i(t) en fonction de la charge du condensateur q(t) on obtient :

( ) ( )( ) ( ) 0Cq t dq tE u t Ri t E RC dt

− − = − − = .

Cette équation peut-être mis sous la forme suivante :( ) 1 ( )dq t Eq t

dt RC R+ = .

Il s’agit d’une équation différentielle du premier ordre avec second membre non nul qui dontla résolution donne l’évolution de la charge du condensateur en fonction du temps.Pour résoudre cette équation on suppose dans premier temps que le second membre del’équation est nul. L’équation devient :

( ) 1 ( )dq t q tdt RC

= − puis ( ) 1( )

dq t dtq t RC

= − .

Le terme de gauche correspond à la dérivée de la fonction logarithme népérien tel

que [ ]( ) dxd Ln xx

= . L’intégration par rapport au temps de la fonction précédente nous donne

alors :

[ ]( ) tetLn q t CRC

= − + soit ( )tet tC

RC RCq t e Ae− + −

= = ou A est une constante homogène à une

charge électrique que l’on doit déterminer.L’équation initiale présentée un second membre non nul dont nous devons prendre comptedans la recherche de la solution. Dans le cas d’un second membre constant par rapport autemps la solution est donnée par l’équation suivante :

( )t

RCq t Ae B−

= + ou B est une autre constante qu’il faut également définir.Pour trouver ces 2 inconnues il est nécessaire de considérer les conditions initiales duproblème. Nous avons dit dans l’énoncé que le condensateur était initialement déchargé. Soità t = 0, q(t = 0) = 0. En remplaçant t = 0 dans l’équation précédente on obtient la relationsuivante entre les constantes A et B : A+B=0. Soit A=-B. D’autre part en remplaçantl’expression de q(t) dans l’équation différentielle on obtient :

( ) 1 1( )t t

RC RCdq t A Eq t e Ae Adt RC RC RC R

− −⎛ ⎞+ = − + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ soit A CE Q= − = − qui est bien

homogène à une charge. La solution de l’équation régissant la charge du condensateur estalors donnée par :

( ) 1 1t t

RC RCq t CE e Q e− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. On en déduit alors la tension aux bornes du

condensateur ( )( ) 1t

RCC

q tu t E eC

−⎡ ⎤= = −⎢ ⎥

⎣ ⎦, l’intensité du courant circulant dans le circuit :

( )( )t

RCdq t Ei t edt R

−= = ou la tension aux bornes de la résistance : ( ) ( )

tRC

Ru t Ri t Ee−

= = .

Remarque :Pour des raisons d’homogénéité de l’équation donnant q(t) le produit τ=RC est donchomogène à un temps et défini ce qu’on appelle la constante de temps du circuit RC.

33

La représentation graphique de q(t) donnel’allure de la charge du condensateur.Grâce à cette courbe on constate que lacharge du condensateur tend au cours dutemps vers la charge Q qui représente lacharge maximale du condensateur. Lavitesse de charge du condensateur dépendde la constante de temps τ. La figurereprésente différentes courbes de chargedu condensateur C pour différentesvaleurs de résistance. Pour déterminergraphiquement la valeur de la constante detemps d’un circuit RC on utilise latangente à l’origine (T) de la courbe q(t)

d’équation : Qy tRC

= . La tangente coupe

alors l’asymptote horizontale d’ordonnéeQ en t = τ.

La décharge du condensateur

Considérons toujours le même circuit unefois le condensateur complètement chargé. Aun instant t1 que l’on considèrera commenouvelle origine des temps, on éteint legénérateur de tension idéal qui, nous lerappelons, est alors équivalent à un court-circuit. Le circuit équivalent est alors donnépar la figure ci-contre.La loi des mailles donne :

( ) ( ) 0R Cu t u t+ = .

34

Par la même méthode que pour la charge du condensateur en remplaçant les tensions par leursexpressions en fonction du courant et de la charge du condensateur on obtient :

( ) 1 ( ) 0dq t q tdt RC

+ = .

La résolution de cette équation différentielleavec second membre nul s’établi de la mêmefaçon que pour la charge et on trouve :

( )t t

RC RCq t CEe Qe− −

= = . La charge ducondensateur va alors décroître au cours dutemps et tendre vers 0. La représentationgraphique de la décharge du condensateurpermet comme pour la charge de déduire laconstante de temps en utilisant la tangente àl’origine.

Comme dans le cas de la charge, à partirde l’expression de la charge q(t) il estpossible d’en déduire l’expression de i(t)uR(t) ou uC(t).

( )t t

RC RCq t CEe Qe− −

= =

0( )t t

RC RCEi t e I eR

− −= − = −

( )t

RCRu t Ee

−= −

( )t

RCCu t Ee

−=

6.2.2 Réponse d’un circuit RLNous considérons cette fois un circuit comprenant un générateur de tension idéal de f.é.m. Een série avec une résistance R et une bobine d’inductance L et d’un interrupteur K.

Fermeture du circuitA l’instant t = 0 l’interrupteur est fermé. La loi des mailles donne alors : ( ) ( ) 0L RE u t u t− − = .

35

On exprime cette fois les tensions en fonction du courant i(t), soit l’équation différentielle dupremier ordre avec second membre constant et non nul :

( ) ( )di t R Ei tdt L L

+ = .

La résolution de cette équation donne :

0( ) 1 1R Rt tL LEi t e I e

R− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

L’interprétation de cette équation montre quela présence de la bobine s’oppose àl’établissement instantané du courant dans lecircuit et que celui-ci s’établit avec une

constante de temps définie par LR

τ = . La

tension aux bornes de la bobine s’exprime

alors : ( )( )RtL

Ldi tu t L Eedt

−= = et aux bornes

de la résistance on a :

( ) ( ) 1RtL

Ru t Ri t E e−⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

A l’instant où l’interrupteur est fermé le courant dans le circuit est nul et la tension aux bornesde la bobine est égale à la f.é.m. du générateur. Au fur et à mesure que le courant croît dans lecircuit la tension aux bornes de la bobine décroît alors que la tension aux bornes de larésistance croît. Lorsque que le nouveau régime continu est atteint la tension aux bornes de labobine est nulle et elle est alors équivalente à un court-circuit.

Remarque :La présence d’une bobine dans un circuit induit en général un retard au démarrage d’undipôle actif.

36

Extinction de la source

Une fois que le nouveau régime continu c’estétabli on éteint à l’instant t1 (que nousconsidérons comme nouvelle origine destemps) le générateur de tension. La loi desmailles nous donne cette fois :

( ) ( ) 0L Ru t u t+ = , soit ( ) ( ) 0di t R i tdt L

+ = .

D’où la solution 0( )RtLi t I e

−= . Nous rappelons

qu’initialement il circulait un courant 0EIR

=

dans le circuit.

6.3 Puissance consommée par un dipôle

Nous avons dans le chapitre sur le régime continuque la puissance fournie ou consommée par undipôle D est égale au produit entre la tension à sesbornes et le courant qui le traverse. En régimetransitoire la définition de la puissance est identique,toutefois en régime transitoire cette puissance vadépendre du temps telle que : ( ) ( ) ( )P t u t i t= ⋅ .En tenant compte des relations courant – tension pour les différents dipôles on obtient lesrelations suivantes pour les puissances consommées par une résistance R un condensateur Cou une bobine L.

Dipôle Relation courant - tension Puissance consomméeRésistance R ( ) ( )Ru t Ri t= 2( ) ( )RP t Ri t=

Condensateur C ( )( )( ) Cdu tdq ti t Cdt dt

= = 2( ) 1( ) ( ) ( )2

CC C C

du t dP t Cu t Cu tdt dt

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦Bobine L ( )( )L

di tu t Ldt

= 2( ) 1( ) ( ) ( )2L

di t dP t Li t Li tdt dt

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

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6.3.1 Puissance consommée dans un circuit RCConsidérons le circuit RC étudié au §6.2.1. Représentons la puissance consommée ou fourniepar les différents dipôles après la fermeture de l’interrupteur.

Puissance fournie par le générateur :2

( ) ( )t

GEP t E i t eR

τ−

= ⋅ =

Puissance consommée par la résistance :2 22( ) ( ) ( ) ( )

t

R REP t u t i t Ri t eR

τ−

= ⋅ = =

Puissance consommée par le condensateur :2

( ) ( ) ( ) 1t t

C CEP t u t i t e eR

τ τ− −⎡ ⎤

= ⋅ == −⎢ ⎥⎣ ⎦

On constate qu’à tout instant la puissance dissipée par les dipôles R et C est égale à lapuissance fournie par le générateur : ( ) ( ) ( )G R CP t P t P t= + .

Le condensateur a stocké sous forme d’une charge Q une partie de l’énergie fournie par legénérateur. Après extinction du générateur, le condensateur va alors se comporter comme ungénérateur qui va rendre l’énergie emmagasinée qui sera alors dissipée par la résistance. D’où

2²( ) ( )t

R CEP t P t eR

τ−

= = .

6.3.2 Puissance consommée dans un circuit RLConsidérons le circuit RL étudié au §6.2.2. Représentons la puissance consommée ou fourniepar les différents dipôles après la fermeture de l’interrupteur.Puissance fournie par le générateur :

2

( ) ( ) 1t

GEP t E i t eR

τ−⎡ ⎤

= ⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Puissance consommée par la résistance :22

2( ) ( ) ( ) ( ) 1t

R REP t u t i t Ri t eR

τ−⎡ ⎤

= ⋅ = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Puissance consommée par la bobine :2

( ) ( ) ( ) 1t t

L LEP t u t i t e eR

τ τ− −⎡ ⎤

= ⋅ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

On constate qu’à tout instant la puissance dissipée par les dipôles R et L est égale à lapuissance fournie par le générateur : ( ) ( ) ( )G R LP t P t P t= + .Après l’extinction du générateur, la bobine va s’opposer à l’extinction du courant dans lecircuit en voyant apparaître une tension à ses bornes. La bobine va alors se comporter commeun générateur qui va fournir une puissance qui sera dissipée par la résistance. D’où

τ−

= =2²( ) ( )

t

R LEP t P t eR

.