Université dOttawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2014-06-05 09:09 1 Comparaison de deux échantillons Principes

Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées© Antoine Morin et Scott Findlay23-04-11 04:39

1

Comparaison de deux échantillonsComparaison de deux échantillons

Principes de base

Comparaison des paramètres de deux populations: moyennes, variances et médianes

Tests appariés

Analyse de puissance


2

Comparaison entre deux échantillonsComparaison entre deux échantillons

• Le nombre de groupes comparés = 2

• on peut comparer plusieurs statistiques de ces groupes: moyennes, variances, médianes, etc…

Fré

qu

en

ce

Témoin

Traitement

X C X T

s2C

s2T


3

Un exempleUn exemple

• Deux groupes (1, 2) ayant des moyennes qui diffèrent par .

• Quelle est la probabilité p d’observer une telle différence si les deux moyennes sont égales (H0)?

Fré

qu

en

ce

X1 X2

| |X X1 2

Groupe 2Groupe 1


4

Un exemple (suite)Un exemple (suite)

• Si H0 est vraie, la statistique t sera distribuée comme le t de Student:

s XX

XXt21

21

-3 -2 -1 0 1 2 3

Pro

bab

ilité

(p

)

t

Fré

qu

en

ce

X1 X2

| |X X1 2

Groupe 2Groupe 1


5

Un exemple (suite)Un exemple (suite)

• Pour les deux groupes, supposons que t = 2.01

• Quelle est la probabilité d’obtenir un t d’au moins 2.01 si les deux moyennes sont égales (H0 )?

• Comme p est faible, il est improbable que H0 soit vrai.

• On rejette donc H0.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Pro

bab

ilité t = 2.01

Fré

qu

en

ce

X1 X2

| |X X1 2

Groupe 2Groupe 1


6

Comparaisons de 2 échantillonsComparaisons de 2 échantillons: : échantillons indépendantséchantillons indépendants

• Lorsqu’il n’y a pas de corrélation ou d’appariement entre les observations (sujets) des deux groupes.

• Ex: Poids à 6 mois de porcelets engraissés en suivant deux régimes différents.

1 2

Régime


7

1 2

Comparaisons de deux échantillonsComparaisons de deux échantillons: : échantillons appariéséchantillons appariés

• Dans les échantillons appariés, les observations (sujets) dans un groupes forment des paires avec les observations (sujets) de l’autre groupe.

• Ex: Le poids à six mois de porcelets ayant la même mais soumis à deux régimes différents.

Régime

Truies


8

Comparaison de deux échantillons: le Comparaison de deux échantillons: le groupe contrôle vs groupe traitégroupe contrôle vs groupe traité

• Deux champs de maïs, un témoin et un fertilisé avec de l’azote.

• Prédiction biologique: la fertilisation avec l’azote augmente le rendement

• H0: T C (unilatéral)

RendementF

req

ue

nce

Témoin

Traitement

X C X T


9

Comparaison de moyennes: le test de Comparaison de moyennes: le test de tt

• Calculer la différence entre les deux moyennes

• H0 (unilatéral)

• Calculer t et le p correspondant:

RendementF

réq

ue

nce

Témoin

Traitement

X C X T

XX TC

XX CT

1 2, 2.C T

X XC T

X Xt df n ns


10

Que sont les degrés de libertéQue sont les degrés de liberté??

Le nombre de degrés de liberté est l’effectif moins le nombre de paramètres.

Le nombre de degrés de liberté est l’effectif moins le nombre de paramètres.


11

Pourquoi se soucier du nombre de Pourquoi se soucier du nombre de degrés de libertédegrés de liberté??

• La distribution des statistiques dépend du nombre de degrés de liberté.

• Donc, selon le nombre de degrés de liberté, la même valeur de la statistique peut sera convertie en probabilités différentes.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

t

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Pro

babi

lité

8 dl

1 dl


12

Comparaison de deux moyennes: le Comparaison de deux moyennes: le test test UU de Mann-Whitney de Mann-Whitney

• On veut comparer le rendement du groupe témoin et du groupe traitement. Chacun des groupe contient 4 champs (ch.) (réplicats)

• Calculer la somme des rangs (RC, RT) pour chacun des groupes.

• H0: RC = RT

• Calculer U et le p correspondant

Témoin Traitement

Ch. Rendement

Rang Rendement

Rang

1 20 2 19 1

2 36 6 41 7

3 26 3 33 5

4 31 4 45 8

Somme desrangs

15 21


13

Comparaison de moyennes: tests Comparaison de moyennes: tests paramétriques (P) vs tests non-paramétriques (P) vs tests non-paramétriques (NP)paramétriques (NP)

Conditions d’application

Test Type Puissance Normalité Homoscedasticité

t(variance

commune)

P Élevée* Oui Oui

t(variances

séparés)

P Élevée* Oui Non

UMann-

Whitney

NP Basse Non Non

*si les conditions d’application sont respectées


14

IndIndéépendpendaancence

• Observations sont souvent dépendantes lorsque corrélées dans le temps ou l’espace.

• Ex: mesures des éléments nutritifs en amont et en aval d’une source ponctuelle de pollution sur un cours d’eau.

Site amontSite aval


15

Pourquoi insister sur l’indépendancePourquoi insister sur l’indépendance??

• Si les observations ne sont pas indépendantes, on surestime le nombre de degrés de …

• … la conversion de la statistique en valeur de p sera biaisée …

• … et on sousestimera p.


16

Procédure générale si Procédure générale si NN >20 pour >20 pour chaque échantillonchaque échantillon

• tester la normalité• tester l’homoscedasticité• si les deux échantillons sont distribués normalement

et que les variances sont égales, utiliser le test de t (“variance commune”)

• si les deux échantillons sont distribués normalement mais que les variances sont inégales, utiliser le test approximatif de Welch (“variance séparées”)

• si un ou les deux échantillons ne sont pas distribués normalement, essayer de transformer les données ou utiliser le test de U de Mann-Whitney.


17

Procédures généralesProcédures générales

N<10 pour chaque groupe

• Utiliser le test de U de Mann-Whitney

10<N<20 pour chaque groupe

• utiliser 2 tests: test de t (variance commune ou variances séparées) et test de U Mann-Whitney

• … et espérer que l’inférence est la même!


18

Comparaison de la taille moyenne des Comparaison de la taille moyenne des esturgeons de la rivière Saskatchewanesturgeons de la rivière Saskatchewan

• Sortie d’un test de t fait avec SYSTAT:


19

Comparaison de la taille moyenne des Comparaison de la taille moyenne des esturgeons de la rivière Saskatchewanesturgeons de la rivière Saskatchewan

• Sortie d’un test de Mann-Whitney (SYSTAT)

KRUSKAL-WALLIS ONE-WAY ANALYSIS OF VARIANCE FOR 185 CASES DEPENDENT VARIABLE IS FKLNGTH GROUPING VARIABLE IS LOCATION$

GROUP COUNT RANK SUM

The_Pas 101 8748.000 Cumberland 84 8457.000

MANN-WHITNEY U TEST STATISTIC = 3597.000 PROBABILITY IS 0.075 CHI-SQUARE APPROXIMATION = 3.165 WITH 1 DF


20

Vérification de la normalitéVérification de la normalité

• Faire un graphique des probabilités normales• si, à l’oeil, c’est linéaire, ça va• si on est pas certain, faire le test de Lilliefors


21

La distribution cumulative normaleLa distribution cumulative normale

• L’aire sous les courbes des fonctions de densité des probabilités normales et distribution cumulative normale

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

2.28%

50.00%

68.27%

F

Distribution normale

Didtribution cumulativenormale


22

Valeurs ZValeurs Z

• Transformation des pourcentages cumulés en valeurs Z

-1.64 -0.52 0.52 1.64 -1.28 0 1.28

0.050.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.951.00

Normal equivalent deviates

Cum

ulat

ive

perc

ent


23

Courbes des probabilités normalesCourbes des probabilités normales

• Exemples de distributions de fréquences et leurs distributions cumulées A: Normale; B: mélange égal des deux distributions normales; C: Étirée vers la gauche; D: Étirée vers la droitet; E: Platykurtique; F:

Leptokurtique.

NED NED

NED NED

NED NED

3.72

-3.72

0

3.72

-3.72

0

3.72

-3.72

0

A B

C D

E F


24

Exemple: Taille des esturgeons des sites Exemple: Taille des esturgeons des sites The Pas et CumberlandThe Pas et Cumberland

• Diagrammes de probabilités normales pour les longueurs à la fourche à The Pas et Cumberland sont:


25

Exemple: Taille des esturgeons (suite)Exemple: Taille des esturgeons (suite)

• Sortie SYSTAT d’un test Lilliefors: normalité des longueurs à The Pas

KOLMOGOROV-SMIRNOV ONE SAMPLE TEST USING STANDARD NORMAL VARIABLE N-OF-CASES MAXDIF LILLIEFORS PROBABILITY (2-TAIL)

FKLNGTH 101.00000 0.07814 0.12662


26

Égalité des variances (homoscédasticité): le Égalité des variances (homoscédasticité): le test de Ftest de F

• Si les variances sont égales, alors s2

C = s2T

• H0 (ratio F):

• Ce test est très sensible à une déviation de la normalité

12

2

2

2

ss

ss

C

T

T

C ,maxF

RendementF

réq

ue

nce

Témoin

Traitement

s2C

s2T

X C X T


27

Égalité des variances (homoscédasticité), Égalité des variances (homoscédasticité), utilisation du test de Leveneutilisation du test de Levene

• Si les variances sont égales, alors: s2

C = s2T

• H0 (Levene):

• Ce test est plus robuste à une déviation de la normalité

|D||D|TC

|XXN

ij

iji

N i

i||D|

1

1

RendementF

réq

ue

nce

Témoin

Traitement

s2C

s2T

X C X T


28

Comparaison de médianes: le test des Comparaison de médianes: le test des médianesmédianes

• Calculer la médiane M pour les deux échantillons

• Classer chaque observation (plus grande ou plus petite que M) afin de créer un tableau 2X2

• Faire un 2 ou un test de G, pour tester l’indépendance

Rendement

Fré

qu

en

ce TémoinTraitement

M

Au-dessus

Endessous

Témoin

Traitement


29

Tests sur des échantillons appariésTests sur des échantillons appariés

• Utilisés quand il y a corrélation entre les observations des deux échantillons. Par exemple, le poids de rats avant et après un traitement

• H0 (unilatéral):• utiliser un test de t pour

échantillons appariés

Individus Avant Après W

1 12 18 +6

2 9 12 +3

3 11 13 +2

4 16 22 +6

Moyenne 12 16.25 4.250W


30

Test de Test de tt pour échantillons appariés vs test de pour échantillons appariés vs test de tt pour échantillons indépendantspour échantillons indépendants• En présence de corrélation, un

test de t pour échantillons appariés est beaucoup plus puissant. L’erreur-type des différences moyennes entre les paires est habituellement plus petite que l’erreur-type de la différence entre les deux moyennes

• S’il n’y a pas de corrélation, un test de t pour échantillons appariés est moins puissant (N représente le nombre de paires et non le nombre d’observations).

Individus Avant Après W

1 12 18 +6

2 9 12 +3

3 11 13 +2

4 16 22 +6

Moyenne 12 16.25 4.25

S2b = 8.67, S2

a= 21.58, S2W = 2.81


31

Test de Test de tt pour échantillons appariés vs test pour échantillons appariés vs test de de tt pour échantillons indépendants: effet de pour échantillons indépendants: effet de l’âge sur la largeur du visagel’âge sur la largeur du visage


32

Puissance: calcul de Puissance: calcul de l’effectif requisl’effectif requis

• À partir de , d ’un estimé de la variance commune sp

2 et de la différence qu’on veut détecter, on peut calculer nmin, l’effectif minimal requis

nst t

sSS SS

p

p

min , ( ),( )

2 2

2 12

2 1 2

1 2

Fré

qu

en

ce

Éch. 1

Éch. 2

X 1 X 2


33

Puissance: calcul de Puissance: calcul de la différence la différence minimale détectableminimale détectable

• À partir de , d’un estimé de la variance commune sp

2 et de l’effectif n, on peut calculer min, la différence minimale détectable

Fré

qu

en

ce

Éch. 1

Éch. 2

X 1 X 2

min , ( ),( ) 2 2

1

s

nt tp


34

Puissance: calcul de Puissance: calcul de la puissance d’un la puissance d’un test (test (a prioria priori))

• À partir de n, et d’un estimé de la variance commune sp

2

on peut calculer t (1) et utiliser la distribution de t pour trouver (1-la puissance du test.

Fré

qu

en

ce

Éch. 1

Éch. 2

X 1 X 2

ts

n

tp

( ), ,1 2


35

Puissance: calcul de Puissance: calcul de la puissance d’un la puissance d’un test (test (a posterioria posteriori))

• Si on accepte H0, on peut estimer la puissance du test.

• À partir de dn, et d’un estimé de la variance commune sp

2

on peut calculer le de la distribution de F non centrale.

Fré

qu

en

ce

Éch. 1

Éch. 2

X 1 X 2

nd s

sp

p

2 2

2

2

4


36

Calcul de la puissance à partir de Calcul de la puissance à partir de

• Pour un test de t, 1=1 ,2= 2(n-1). À partir de et , on peut trouver 1- dans tableaux ou graphiques (voir Zar (1996), Appendix Figure B.1)

1-

2 décroissant

1 = 1

= .05

2 3 4 5

= .01

1 1.5 2 2.5

= .01)

= .05)


37

Exemple: Puissance d’une comparaison de 2 moyennesExemple: Puissance d’une comparaison de 2 moyennes

Quelle est la probabilité de détecter une différence de 1.01 si (2)=.05?

… et ...

Quelle est la probabilité de détecter une différence de 1.01 si (2)=.05?

… et ...

ComposéA

ComposéB

8.8 8.7 9.9 8.7

8.4 9.1 9.0 10.4

7.9 9.6 11.1 9.5

9.6

n nA B 6 7,

A B 8 75 9 74 101. , . ; .

nn nn n

A B

A B

2

6 46.

2 1 11( )n

sSS SS

pA B

A B

2 5 71211

0 519

..

11 1 01 2 5194 519

2 21

2( . ) (. )(. )

.


38

Calcul de la puissance à partir de Calcul de la puissance à partir de

• Si =.01 et =2.21, 1- = 0.78 dans la figure

• Donc, la probabilité d’une erreur de type II est environ 0.22

1-

2 décroissant

1 = 1

= .05

2 3 4 5

= .01

1 1.5 2 2.5

= .01)

= .05)


39

QuizzQuizz

• Dans quelles conditions utiliseriez vous un test de t pour échantillons appariés au lieu d’un test de t pour échantillons indépendants?

• Dans quelles conditions utiliseriez vous un test de t à variances séparées vs à variance commune?

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