Université Mohammed V, Rabat 2016-2017Faculté des Sciences SMA 5 - M28Département de Mathématiques Mesures et Intégration

Série 5cEspaces Lp- Inégalités - Intégrables dependant d’un paramétre réel

Exercice 1. Soit (X,X, µ) un espace mesuré.(1) Soient f et g deux fonctions mesurables positives de X dans R̄+ telles que f g ≥ 1. Montrer

que ∫X

f dµ∫

Xgdµ ≥ µ(X)2.

(2) On suppose qu’il existe une fonction intégrable f : X → R telle que 1/ f soit intégrable. Quepeut-on dire de la mesure µ?

Exercice 2. Pour toute fonction f ∈ L2R([0, 1], λ), montrer que

∑n≥1

1n

∫[0,1]

tn f (t)dt =∫[0,1]

ln1

1− tf (t)dt.

Exercice 3. Soit (X,X, µ) un espace mesuré tel que µ(X) = 1 et soit f une fonction mesurable àvaleurs réelles. Montrer en appliquant l’inégalité de Jensen que(∫

X

1| f |dµ

)−1

≤ exp(∫

Xln | f |dµ

)≤∫

X| f |dµ.

Exercice 4. Soit (X,X, µ) un espace mesuré, f ∈ L1(X,X, µ) et ( fn)n≥1 une suite de L1(X,X, µ) telleque limn→∞

∫X fndµ =

∫X f dµ.

(1) Montrer que si les fonctions fn sont positives et si la suite ( fn) converge presque partout versf , alors ( fn) converge vers f dans L1.

(2) Soit fn ∈ L1(R, B, λ) définie par fn = nχ]0,1/n[ − nχ]−1/n,0[. Montrer que ( fn)n≥1 convergevers 0 et que limn

∫fndλ = 0. La suite ( fn)n≥1 converge-t-elle vers 0 dans Lp (p ≥ 1)?

Exercice 5. Soit (X,X, µ) un espace mesuré. Soient p et q deux réels ≥ 1 avec p < q. Soit f unefonction telle que f ∈ Lp

R(X, µ) et f ∈ LqR(X, µ).

(1) Montrer que pour tout r tel que p ≤ r ≤ q on a f ∈ LrR(X, µ). En déduire que

{p ≥ 1 | f ∈ LpR(X, µ)}

est un intervalle.(2) En appliquant l’inégalité de Hölder, montrer que pour p ≤ r ≤ q

|| f ||r ≤ sup(|| f ||p, || f ||q).Exercice 6. (1) Montrer que pour tout r > 1 et pour tous x, y réels positifs, |xr − yr| ≤ r|x −

y|(x + y)r−1.(2) Soit (X,X, µ) un espace mesuré, p > 1 et ( fn)n≥0 une suite de fonctions positives qui converge

vers f dans LpR+

(µ). Montrer que ∀r ∈ [1, p], la suite ( f rn)n≥1 converge vers f r dans Lp/r

R+(µ).

Exercice 7. Soit (X,X, µ) un espace mesuré, f ∈ L1(X,X, µ) et ( fn)n≥1 une suite de L1(X,X, µ) telleque

limn→∞

∫X

fndµ =∫

Xf dµ.

(1) Montrer que si les fonctions fn sont positives et si la suite ( fn) converge presque partout versf , alors ( fn) converge vers f dans L1.

(2) Soit fn ∈ L1(R, B, λ) définie par fn = nχ]0,1/n[ − nχ]−1/n,0[. Montrer que ( fn)n≥1 convergevers 0 et que limn

∫fndλ = 0. La suite ( fn)n≥1 converge-t-elle vers 0 dans Lp (p ≥ 1)?