UNIVERSITE PARIS-SUD XI THÈSE DE DOCTORATpublilgep.geeps.centralesupelec.fr/papers/001311.pdf · Ce travail de thèse a été effectué au sein du Laboratoire de Génie Electrique

N° D‟ORDRE : 10079

UNIVERSITE PARIS-SUD XI

Faculté des Sciences d’Orsay

SPECIALITE : PHYSIQUE

Ecole Doctorale « Sciences et Technologies de l’Information des

Télécommunications et des Systèmes »

Présentée par

MOSTAFA KAMEL SMAIL

Sujet de la thèse :

Développement d’une méthodologie dédiée à la

réflectométrie en vue du diagnostic filaire

Soutenue le mardi 7 décembre 2010 devant les membres de jury :

M. Pierre Bonnet Rapporteur

M. Marc Lambert Examinateur

M. Florent Loete Invité

M. Marc Olivas Examinateur

M. Lionel Pichon Directeur de thèse

Mme Élodie Richalot Présidente de jury

M. Michel Sorine Rapporteur

THÈSE DE DOCTORAT

3

Remerciements

Ce travail de thèse a été effectué au sein du Laboratoire de Génie Electrique de Paris -

LGEP. Je tiens donc à remercier tout d‟abord M. Frédéric Bouillault, directeur du LGEP pour

m‟avoir accueilli dans son laboratoire, et M. Adel Razek, responsable du département

MOCOSEM pour m‟avoir accueilli au sein de son département.

Je tiens également à exprimer ma gratitude à M. Lionel Pichon, Directeur de Recherche

CNRS, d‟avoir accepté de prendre sous sa direction ma formation de jeune chercheur durant

ces trois années de thèse. Je le remercie pour son soutien et son aide aussi bien sur le plan

professionnel que sur le plan humain.

Mes remerciements vont également à Monsieur Pierre Bonnet, Maître de Conférence –

HDR- à l‟Université Clermont-Ferrand, et à Monsieur Michel Sorine Directeur de Recherche

INRIA pour avoir accepté de rapporter sur mes travaux et d‟avoir accepté de participer au

jury.

Je veux également remercier Madame Élodie Richalot, Professeur à l‟Université Paris-Est

Marne-la-Vallée, pour m‟avoir fait l‟honneur de présider mon jury de thèse.

Je tiens également à exprimer ma gratitude à M. Marc Lambert, Chargé de Recherche

CNRS –HDR- pour avoir accepté de participer à l‟encadrement de la thèse et d‟en être

examinateur, pour ses conseils toujours judicieux et sa disponibilité.

Mes remerciements s‟adressent également à M. Florent Loete, ingénieur au LGEP, pour

sa précieuse aide pour le développement de la partie expérimentale et d‟avoir accepté de

participer au jury de ma thèse.

Je tiens à remercier également M. Marc Olivas, ingénieur de recherche au CEA,

coordinateur du projet SEED, dans lequel était inscrit mon travail de thèse, d‟avoir accepté de

participer à mon jury de thèse.

J'adresse également mes remerciements à tous les membres du LGEP, Professeurs,

Maîtres de Conférences, Post-doctorant et doctorants, pour leur patience et leur bonne

humeur. Ils ont su faire régner dans le laboratoire une atmosphère studieuse et chaleureuse.

Enfin, je tiens à remercier ma famille et mes proches, dont les encouragements et le

soutien ont été indispensables à l'aboutissement de mes études.

4

Table des matières

Introduction générale .............................................................................. 8

Chapitre 1 : Etat de l’art, présentation du problème ................................ 13

1.1. Introduction.............................................................................................................................................. 13

1.2. Les câbles et leurs applications ............................................................................................................... 13

1.3. Problèmes dans le câblage électrique ..................................................................................................... 17

1.3.1. Motivations........................................................................................................................................ 18

1.3.2. Classification ..................................................................................................................................... 19

1.3.3. Exemples de défauts .......................................................................................................................... 20

1.4. Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriques ............................... 21

1.4.1 Les méthodes non basées sur la réflectométrie.................................................................................. 21

1.4.1.1. Inspection visuelle .................................................................................................................... 21

1.4.1.2. Méthode par rayons X ............................................................................................................... 22

1.4.1.3. Spectroscopie d‟impédance ...................................................................................................... 22

1.4.1.4. Méthode capacitive et inductive ............................................................................................... 22

1.4.2. Les méthodes basées sur la réflectométrie ........................................................................................ 24

1.5. Théorie des lignes de transmission ......................................................................................................... 26

1.5.1. Solution des équations de propagation .............................................................................................. 29

1.5.1.1. Analyse fréquentielle ................................................................................................................ 29

1.5.1.2. Analyse temporelle .................................................................................................................... 33

1.6. Conclusion ................................................................................................................................................ 37

Chapitre 2 : Modèle de propagation filaire .............................................. 39

2.1. Introduction.............................................................................................................................................. 39

2.2. Résolutions des problèmes direct ........................................................................................................... 39

2.2.1. Problème direct ................................................................................................................................. 40

2.2.1.1. Méthode des différences finies ................................................................................................. 40

2.2.1.2. Méthode des éléments finis ....................................................................................................... 40

2.3. Problème direct – Modélisation par la méthode des différences finies ............................................... 41

2.3.1. Introduction ....................................................................................................................................... 41

2.3.2. FDTD pour les lignes de transmission .............................................................................................. 41

2.3.2.1. Résolution des équations des télégraphistes utilisant la méthode FDTD. ................................. 42

2.3.2.2. Calcul des paramètres linéiques ................................................................................................ 44

2.3.2.3. Sources ...................................................................................................................................... 45

5

2.3.3. FDTD pour les réseaux filaires .......................................................................................................... 48

2.3.3.1. Analyse du réseau en Y avec désadaptation des tronçons secondaires ..................................... 51

2.3.3.2. Analyse du réseau en Y avec adaptation des tronçons secondaires .......................................... 54

2.4. Modélisation de défauts filaires .............................................................................................................. 54

2.4.1. Rappel des lois électrostatique .......................................................................................................... 55

2.4.2. Méthode des éléments finis (MEF) ................................................................................................... 55

2.4.3. Modélisation éléments finis sous ANSYS® ...................................................................................... 56

2.4.4. Application de la MEF pour des défauts de câblage ......................................................................... 57

2.4.4.1. L‟impédance caractéristique de la ligne bifilaire avec la MEF ................................................. 59

2.4.4.2. Modélisation de différents types de défauts .............................................................................. 59

2.4.5. Analyse d‟une ligne avec un défaut ................................................................................................... 62

2.4.6. Analyse d‟une ligne avec deux défauts ............................................................................................. 64

2.5. Multiconducteurs ..................................................................................................................................... 66

2.5.1. Définitions ......................................................................................................................................... 66

2.5.2. Méthodes classiques de simulation des lignes multifilaires .............................................................. 67

2.5.3. Propagation sur une ligne multifilaire ............................................................................................... 67

2.5.4. Solution numérique ........................................................................................................................... 69

2.5.4.1. Distribution des paramètres linéiques ....................................................................................... 70

2.5.4.2. Modélisation du torsadage des conducteurs .............................................................................. 71

2.5.5. Réflectométrie des lignes multifilaires .............................................................................................. 72

2.5.5.1. Description du dispositif expérimental ..................................................................................... 72

2.5.5.2. Paires torsadées simples ............................................................................................................ 73

2.5.5.3. Paire torsadée au dessus d‟un plan de masse ............................................................................ 74

2.5.5.4. Trois fils torsadés ...................................................................................................................... 77

2.5.5.5. Toron formé de 10 fils .............................................................................................................. 78

2.4.5.6. Réseau en Y .............................................................................................................................. 80

2.6. Conclusion ................................................................................................................................................ 81

Chapitre 3 : Méthodologie développée .................................................... 83

3.1. Introduction.............................................................................................................................................. 83

3.2. Résolution du problème inverse ............................................................................................................. 83

3.2.1. Problème inverse .............................................................................................................................. 83

3.2.2. Inversion itérative .............................................................................................................................. 83

3.2.3. Inversion directe ................................................................................................................................ 84

3.2.4. Présentation des algorithmes d‟optimisation ..................................................................................... 86

3.3. Algorithmes génétiques ............................................................................................................................ 87

3.3.1. Principes généraux ............................................................................................................................ 87

3.3.2. Historique .......................................................................................................................................... 88

6

3.3.3. Fonctionnement de l‟AG ................................................................................................................... 88

3.3.4. Les opérateurs génétiques fondamentaux .......................................................................................... 90

3.3.5. Principaux étapes de l‟AG ................................................................................................................. 92

3.3.6. Choix des paramètres de contrôle et des conditions initiales ............................................................ 93

3.4. Inversion par réseaux de neurones ......................................................................................................... 94

3.4.1. Neurone formel ................................................................................................................................. 94

3.4.2. Réseaux de neurones artificiels MLP ................................................................................................ 96

3.4.3. Apprentissage des RN MLP .............................................................................................................. 97

3.4.4. Préparation de l‟apprentissage ........................................................................................................... 98

3.4.5. Capacité de généralisation ................................................................................................................. 99

3.5. Conclusion .............................................................................................................................................. 101

Chapitre 4 : Application de la méthodologie développée ......................... 104

4.1. Introduction............................................................................................................................................ 104

4.2. Analyse des lignes affectées par des défauts non francs ..................................................................... 104

4.2.1. Diagnostic des lignes simples .......................................................................................................... 104

4.2.1.1. Lignes simples adaptées .......................................................................................................... 104

4.2.1.2. Lignes simples désadaptées .................................................................................................... 106

4.2.1.3. Inversion par AG .................................................................................................................... 107

4.2.1.4. Inversion par RN ..................................................................................................................... 110

4.2.2. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire en Y .................................................................................. 114

4.2.2.1. Inversion par AG .................................................................................................................... 115

4.2.2.2. Inversion par RN ..................................................................................................................... 117

4.2.2.3. Comparaison AG-RN .............................................................................................................. 118

4.2.3. Diagnostic de réseaux filaires complexes ........................................................................................ 119

4.2.3.1. Problème direct : analyse du réseau complexe en présence d‟un défaut non franc ................. 119

4.2.3.2. Inversion par AG .................................................................................................................... 120

4.2.3.4. Comparaison AG et RN .......................................................................................................... 122

4.3. Analyse des lignes affectées par des défauts francs ............................................................................. 123

4.3.1. Diagnostic de lignes simples ........................................................................................................... 123

4.3.1.1. Inversion par AG .................................................................................................................... 124

4.3.1.2. Inversion par RN ..................................................................................................................... 125

4.3.1.3. Comparaison entre AG et RN ................................................................................................. 126

4.3.2. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire en Y ................................................................................... 126

4.3.2.1. Réseau filaire en Y affecté par un défaut franc ....................................................................... 127

4.3.2.2. Réseau filaire en Y affecté par deux défauts francs ................................................................ 128

4.3.2.3. Inversion par AG .................................................................................................................... 129

4.3.2.4. Inversion par RN ..................................................................................................................... 131

7

4.3.2.5. Comparaison entre AG et RG ................................................................................................. 133

4.3.3. Diagnostic de l‟état d‟un réseau en Y constitué des paires torsadées .............................................. 134

4.3.3.1. Inversion par AG .................................................................................................................... 135

4.3.4. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire complexe ........................................................................... 136

4.3.4.1. Réseaux filaires complexes affectés par un défaut franc ........................................................ 137

4.3.4.2. Réseau filaire complexe affecté par deux défauts francs ........................................................ 138

4.3.4.3. Inversion par AG .................................................................................................................... 139

4.3.4.4. Inversion par RN ..................................................................................................................... 140

4.4. Conclusion .............................................................................................................................................. 141

Conclusions et perspectives ................................................................... 143

ANNEXES ........................................................................................... 146

Références bibliographiques .................................................................. 153

Liste des publications ............................................................................ 160

Introduction générale

8



9


Problématique scientifique

La part de l‟électronique embarquée dans l‟automobile ne cesse de croître. Ce mouvement

est tiré par la généralisation des technologies « X-by-Wire », c'est-à-dire par le remplacement

des principaux éléments mécaniques et hydrauliques par des systèmes électroniques

programmés (direction, freinage, suspension, etc.). Cette augmentation de complexité est

accompagnée d'une augmentation du nombre de systèmes électroniques (dédiés à la sécurité

et à la navigation), du couplage entre les fonctions et de l'augmentation de la longueur des

câbles. En trente ans, la longueur des câbles embarqués sur une automobile a décuplé, passant

de près de deux cents à plus de deux mille mètres ; dans le même temps le nombre de

connexions est passé de deux cents à plus de mille huit cents. Les câbles et les connecteurs

électriques subissent souvent des contraintes externes (mécaniques, température, humidité …)

qui sont souvent la cause d‟une détérioration prématurée du réseau. Un système complet peut

être mis en panne à cause d‟anomalie provenant d‟un connecteur ou d‟une liaison électrique

en mauvais état. De nombreuses problématiques apparaissent actuellement faisant référence à

des défaillances liées aux câbles et peuvent parfois être lourdes de conséquences (incendie,

crash aérien, panne d‟un véhicule …). La localisation du défaut est un atout important car elle

permet de cibler la réparation afin d‟en réduire le coût. La fiabilité de ce câblage devient donc

prépondérante et la mise au point de systèmes et de procédures de diagnostic de câblages,

apparaît urgente.

Pour augmenter la fiabilité des réseaux filaires ou pour en faciliter la maintenance, la

réflectométrie est une des méthodes les plus prometteuses. Basée sur l‟injection d‟un signal de

sonde à l‟une des extrémités du réseau et sur l‟analyse des signaux réfléchis, cette méthode

fournit des informations pour la détection, la localisation et la caractérisation de défauts

électriques (ou mécaniques ayant des conséquences électriques) dans la structure filaire. Les

travaux menés notamment au CEA-LIST dans le cadre de l‟ANR SEEDS (2006-2008) ont

montré l‟intérêt de l‟application de la réflectométrie pour le diagnostic de réseaux filaires de

topologie complexe. Les partenaires industriels ont notamment démontré la faisabilité d‟un

système de diagnostic externe pour application en garage. Dans les cas pratiques et pour des

lignes de propagation complexes données l‟analyse des signaux réfléchis demande une grande

expertise. Elle fait l‟objet d‟un problème inverse : à partir de données sur la forme des signaux

et les temps de parcours de remonter à des informations sur les valeurs des paramètres

électriques et qui peuvent être représentatifs de défauts caractéristiques (câble sectionné,

corrosion etc.).

Objectifs de la thèse

L‟objectif du travail de thèse est de proposer une méthodologie dédiée au diagnostic de

faisceaux de câbles. Nous avons cherché à développer une approche pour la résolution des

problèmes inverses liés à la réflectométrie dans le domaine temporel afin de détecter et de

localiser (voire de caractériser) des défauts dans le réseau filaire embarqué.


10

Le travail de thèse à été réalisé dans le cadre d‟un projet associant trois laboratoires : le LGEP

(Laboratoire de Génie Electrique de Paris), le L2S (Laboratoire de Signaux et Système) et le

CEA-LIST (Laboratoire de Fiabilisation des Systèmes Embarqués). Il a été soutenu par

l‟attribution d‟une allocation doctorale DIGITEO et la Région Ile-de-France.

Méthodologie proposée

Mon travail de thèse a consisté en le développement d‟une nouvelle méthodologie dédiée à

la réflectométrie dans le domaine temporel en vue du diagnostic filaire qui permet la

détection, localisation et caractérisation de défauts électriques. Cette méthodologie se base sur

deux ingrédients : un modèle de propagation filaire et un outil de résolution de problèmes

inverses.

Le modèle de propagation décrit le problème (direct) de la propagation d‟une onde

électromagnétique le long d‟une ligne de transmission (simple ou de type multiconducteurs)

dans le domaine temporel. Ce modèle est basé sur les équations de propagation des

“télégraphistes”, où les paramètres électriques par unité de longueur R, L, C et G sont évalués

analytiquement ou calculés par la méthode des éléments finis (FEM). Les équations de

propagation d‟onde sont résolues par la méthode des différences finies dans le domaine

temporel (FDTD) qui convertit les équations différentielles de propagation en équations

différences. La résolution du problème inverse consiste à partir d‟un réflectogramme à

remonter vers des informations sur les valeurs des paramètres électriques R,L,C et G exploités

dans les modèles de propagation filaires et qui peuvent être représentatifs de défauts

caractéristiques (câble sectionné, corrosion, coupure , etc.). Deux outils ont été étudiés dans

cette perspective : les algorithmes génétiques et les réseaux de neurones.

Cette approche a été conduite pour différentes configurations de réseaux (en Y, étoile, arbre).

La validation des résultats de simulations et la faisabilité de cette méthode a notamment

bénéficié d‟un banc de mesure développé en collaboration avec l‟équipe CE (Contacts

Electriques) du LGEP. Ce banc est constitué d‟un analyseur de réseau vectoriel, d‟un PC et de

logiciels adéquats.

Organisation du mémoire

Ce manuscrit de thèse est composé de quatre chapitres :

Le premier chapitre est consacré à la présentation du contexte, de la problématique et des

solutions existantes pour le diagnostic filaire. Dans ce chapitre, nous présentons également les

solutions des équations de propagations pour les lignes de transmission.

Le modèle de propagation filaire fait l‟objet du deuxième chapitre. Après une description des

différentes méthodes de résolution du problème direct relatif au diagnostic filaire, nous

détaillons les étapes de modélisation de la propagation le long d‟une ligne de transmission

quelconque. La méthode des différences finies dans le domaine temporel à été choisie pour

simuler la réflectométrie temporelle. Ensuite, la modélisation des défauts filaire à l‟aide de la


11

méthode des éléments finis est présentée. Dans la dernière partie du chapitre nous appliquons

notre modèle à des lignes de type multiconducteur. Ce chapitre permet également de valider le

modèle direct de la méthodologie.

Nous présentons dans le chapitre trois la méthodologie de diagnostic développée. Après avoir

décrit les différentes approches d‟inversion, nous présentons les deux méthodes utilisées pour

résoudre le problème inverse (algorithmes génétiques et réseaux de neurones).

Dans le chapitre quatre, nous appliquons la méthode de diagnostic sur différentes

configurations de câblage. Nous procédons successivement à l‟étude de différentes

configurations de câblage et de défauts, dont la complexité va en grandissant. Deux types de

défauts sont étudiés, les défauts non francs et les défauts francs. Pour le premier type, les

défauts sont créés par un changement local d'impédance le long de la ligne. Les paramètres à

reconstruire dans ce cas sont les paramètres électriques et la position du défaut. Pour le

deuxième type (court circuit ou circuit ouvert), la structure ainsi que la réponse du réseau

change. Les paramètres à reconstituer sont des longueurs des branches du réseau.

Chapitre 1 Etat de l‟art, présentation du problème

12

Chapitre 1 : Etat de l’art, présentation du problème

1.1. Introduction.............................................................................................................................................. 13

1.2. Les câbles et leurs applications ............................................................................................................... 13

1.3. Problèmes dans le câblage électrique ..................................................................................................... 17

1.4. Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriques ............................... 21

1.4.1 Les méthodes non basées sur la réflectométrie.................................................................................. 21

1.4.2. Les méthodes basées sur la réflectométrie ........................................................................................ 24

1.5. Théorie des lignes de transmission ......................................................................................................... 26

1.5.1. Solution des équations de propagation .............................................................................................. 29

1.6. Conclusion ................................................................................................................................................ 37


13

Chapitre 1 : Etat de l’art, présentation du problème

1.1. Introduction

L‟objectif de ce chapitre est de mettre en avant les problèmes rencontrés dans les câbles

électriques et de présenter les différentes méthodes qui permettent d‟analyser, de détecter et

de localiser des anomalies. Nous présenterons donc un état de l‟art sur les différents outils ou

méthodes qui permettent le diagnostic d‟un câble électrique, les principes de chacune de ces

méthodes en mettant en avant leurs avantages et inconvénients. Ces méthodes sont réparties

en deux catégories, des méthodes qui ne sont pas basées sur la réflectométrie et les méthodes

basées sur la réflectométrie. Nous introduisons ensuite la théorie des lignes de transmission et

les solutions possibles des équations de propagation.

1.2. Les câbles et leurs applications

Depuis l‟apparition des premiers systèmes électroniques, le câble électrique fut le premier

support physique permettant de faire circuler un courant électrique. Jusqu'à aujourd‟hui, le

câble électrique est toujours d‟actualité et a connu des modifications intrinsèques permettant

de s‟adapter aux contraintes électriques et environnementales de plus en plus sévères. Les

câbles électriques sont omniprésents dans beaucoup de domaines où l‟acheminement de

l‟énergie et de l‟information est nécessaire pour garantir le bon fonctionnement d‟un système.

Le type de câble est différent suivant la nature du signal que l‟on désire transmettre et de

l‟environnement dans lequel évolue le système. Les signaux peuvent être analogiques ou

numériques, de faible ou de forte puissance et de basses, moyennes ou hautes fréquences. A

titre d‟exemple, un réseau informatique peut utiliser trois types de câbles : le câble coaxial, la

paire torsadée ou la fibre optique. Le choix de ces câbles dépend du débit souhaité, de la

longueur du réseau et de l‟environnement dans lequel évolue le réseau. Les réseaux

électriques haute tension utilisent des câbles de transport d‟énergie dont la constitution est

différente de ceux utilisés pour les réseaux informatiques car ces câbles sont conçus pour

transporter et distribuer de l‟énergie électrique à fort courant et basses fréquences (50 Hz) sur

de très longues distances à travers le pays [PAYS 87]. L‟aéronautique et le spatial sont de

parfaits exemples d‟applications où plusieurs types de câbles sont utilisés avec des longueurs

cumulées allant jusqu'à 500 km pour un long courrier (Airbus A380), longueur en constante

augmentation depuis les quarante dernières années, Figure 1.1 [LINZ 05]. L‟utilisation de

câbles légers, souples, peu encombrants, d‟une grande fiabilité et résistants à divers

environnements sont les principales contraintes imposées par ces industries.


14

La Figure 1.2 donne une très bonne vision des différents types de câbles utilisés et de leur

complexité. Nous trouvons des câbles pour les zones pressurisées, des câbles résistant au feu

ou à la chaleur, des câbles coaxiaux pour les systèmes de transmission hautes fréquences

(radio, radar, données) et des câbles d‟alimentation pour transporter de la puissance [LINZ

05]. En général, ces câbles sont constitués d‟un ou plusieurs conducteurs en cuivre ou en

aluminium protégés par des matériaux isolants comme le polyimide, la fibre de verre ou le

mica.

L‟industrie automobile est également concernée car elle a montré ces dix dernières années une

évolution croissante des systèmes embarqués qui sont à l‟origine de l‟accroissement du

Figure 1.1: Evolution de la longueur cumulée de câble dans l'industrie aéronautique [LINZ 05] (Airbus, Boeing et McDonald-Douglas)

Figure 1.2: Câblage électrique dans un avion [PORT 03]


15

nombre de connecteurs et de liaisons filaires comme illustré par les Figure 1.3, Figure 1.4 et

Figure 1.5. La plupart des systèmes interagissent entre eux par des échanges de signaux

numériques bas ou haut débit via un support physique de communication. Aujourd‟hui, il

existe une variété de réseaux locaux qui permettent de communiquer entre les différents

calculateurs ou ECU (Electronic Control Unit) embarqués dans une automobile [LINZ 05].

L‟apparition de ces réseaux locaux a augmenté de façon significative le poids et la complexité

du faisceau électrique en automobile [LINZ 05]. En 1950, la Peugeot 203 comportait un

faisceau électrique de 50 fils. En 1997, la Renault Safrane comportait un faisceau électrique

de 800 à 1000 fils [BOUR]. Les faisceaux ou harnais, Figure 1.6, sont en général constitués

de câbles standards à faible coût, peu encombrants et ayant une bonne tenue en température.

Nous y trouvons des simples conducteurs, des paires torsadées, des câbles multiconducteurs

plats à ligne parallèle qui commencent à faire leur apparition afin de simplifier l‟architecture

du harnais [LINZ 05]. Afin de réduire le nombre de liaisons filaires, les constructeurs

automobiles ont adopté le multiplexage. Cette technique, née dans les années 1970, permet de

multiplier les transmissions numériques sur un même support (fils) sans augmenter pour

autant le nombre de liaisons filaires [BOUR].

Figure 1.3 : Evolution de l'électronique embarquée dans l'automobile [BERE 05]

Figure 1.4 : Evolution de la longueur du

câblage dans l’automobile

Figure 1.5 : Evolution du nombre des

interconnexions dans l’automobile


16

La constitution d‟un câble peut varier d‟un fabricant à un autre, mais en général ils sont

réalisés à partir de [BERE 05] :

Fils simples constitués d‟un conducteur isolé

Paires de fils parallèles qui peuvent être blindées, Figure 1.7

Fils blindés constitués d‟un conducteur isolé entouré d‟un écran

Paires simples constituées de deux conducteurs isolés torsadés, Figure 1.8

Paires blindées constituées d‟une paire simple entourée d‟un écran

Câbles coaxiaux constitués d‟un conducteur central, d‟un diélectrique et d‟une tresse

extérieure, Figure 1.9

Nous rencontrons essentiellement des câbles à section circulaire, des câbles plats, des nappes

et toute la gamme de câbles coaxiaux. Le choix d‟un câble par rapport à un autre pour une

application dépend d‟un certain nombre de contraintes (économiques, électriques,

comportementales ou environnementales).

A un moment ou à un autre, un réseau de câbles sera amené à manifester des signes de

faiblesses entraînant l‟apparition d‟anomalies. Ces anomalies peuvent être à l‟origine de

dysfonctionnements ou de conséquences assez graves pour le système ou l‟environnement.

Dans de nombreux secteurs, un grand nombre de systèmes embarqués dédiés à la sécurité et

au confort communiquent avec leur environnement avec des débits de plus en plus importants

afin de répondre au mieux à des contraintes « temps réel » parfois sévères. Ces contraintes

impliquent donc d‟avoir à disposition un support physique fiable et de qualité pour garantir

Figure 1.6 : Faisceau électrique complet d'une voiture (pouvant peser jusqu'à 50 kg pour 2

km de long) composé d'un millier de fils et de deux fois plus de connecteurs [RAVO 07]

Figure 1.8 : Paire torsadée Figure 1.9 : Câble coaxial Figure 1.7 : Paire de fils

parallèles


17

une qualité de service et une sûreté de fonctionnement des systèmes. Malheureusement, les

problèmes de câbles commencent à faire leur apparition et se multiplient alors que la demande

en fiabilité des systèmes est de plus en plus exigeante. Il est donc nécessaire de disposer

d‟outils de diagnostic des réseaux filaires afin de garantir une transmission fidèle des

informations.

1.3. Problèmes dans le câblage électrique

Avec l‟augmentation des systèmes embarqués dans différentes moyens de transport et des

réseaux de communications, le nombre de liaisons filaires et de connecteurs ne cessent

d‟augmenter. Ce mouvement est tiré par la généralisation des technologies « X-by-Wire », où

« X » désigne le nom d‟un organe comme « Braking » pour le freinage ou « Steering » pour la

direction. Avec cette technologie, les liaisons mécaniques ou hydrauliques sont remplacées

par des liaisons électriques, augmentant de ce fait le nombre de liaisons filaires et la

probabilité d‟avoir une panne au niveau du câble. Cette augmentation de complexité est

accompagnée d'une augmentation du nombre de systèmes électroniques (dédiés à la sécurité

et à la navigation), du couplage entre les fonctions et de l'augmentation de la longueur des

câbles. En trente ans, la longueur des câbles embarqués sur une automobile a décuplé, passant

de près de deux cents à plus de deux mille mètres ; dans le même temps le nombre de

connexions est passé de deux cents à plus de mille huit cents [RAVO 07]. Dans l‟automobile,

la longueur moyenne est d‟environ de 4 km et ce nombre ne cesse d‟augmenter. (Figure 1.10).

Le réseau filaire devient alors un système «nerveux» incontournable et ne doit plus être

négligé afin de garantir une sûreté de fonctionnement des systèmes connectés aux différents

nœuds du réseau.

Parfois suivant l‟environnement où le réseau de câbles évolue (aéronautique, automobile,

nucléaire, bâtiment …), l‟inaccessibilité pour contrôler son état pose un véritable problème.

Cette inaccessibilité diminue l‟efficacité de la maintenance du réseau par les techniciens et

augmente donc la probabilité d‟avoir une défaillance des systèmes électroniques.

La possibilité de connaître l‟état d‟un câble est devenue une nécessité pour rendre plus

efficaces les opérations de maintenance lorsqu‟un défaut filaire met en panne tout un système.


18

1.3.1. Motivations

Le problème de défauts de câblage a eu une grande attention à la fin des années 90 en

raison de deux accidents tragiques: le 17 juillet 1996 l‟explosion en plein air du Boeing 747

du vol TWA 800 et le crash d'un MD-11 de Swissair le 2 septembre 1998. La NTSB (National

Transportation Safety Board) a déterminé par la suite la cause de l‟accident de la TWA 800

qui était une explosion du réservoir de kérosène due à un arc électrique [NATI 00]. Pour

Swissair c‟était à cause d‟un incendie provoqué par un court-circuit dans un câble [LADK

00]. Bien que les accidents du Boeing 747 de TWA 800 et le MD-11 de Swissair sont cités

comme les causes de l'impulsion de la recherche et le développement dans le domaine de la

fiabilité de câblage, il y a eu un nombre considérable d'incidents qui n'ont pas abouti à des

accidents, mais ont été attribués à des défaillances de câblage (en janvier 2008 : Boeing 757

de AA, février 2009 : Airbus340 de VA) [PORT 03]. S‟ajoutent à ces problèmes le

vieillissement de la flotte de la marine américaine, « la NAVY », et ses conséquences sur la

maintenance des câbles embarqués.

Avec le temps, les réseaux de câbles des avions ou des bateaux se fragilisent et se détériorent

en augmentant ainsi la probabilité d‟apparition de défauts de toutes sortes. Les problèmes liés

aux câbles coûtent excessivement cher et impliquent un temps d‟immobilisation assez

important. Le gouvernement américain a donc encouragé les industries et les universités à

développer des systèmes intelligents de détection, de diagnostic et de prévention pour déceler

toute apparition d‟anomalie sur les câbles [BLEM 01].

Figure 1.10 : Longueurs de câbles cumulées dans les transports [RAVO 07]


19

La Figure 1.11 illustre les données de « AF Safety Agency » détaillant les défauts de câblage

constatés lors des entretiens de routine qui ont été effectués de 1980 à 1999. La figure montre

que les frottements des fils composent environ un tiers des défauts de câblage. Ce nombre est

en fait sous-représentatif en raison de la façon dont le personnel d'entretien rapporte les

défauts. En deuxième catégorie on trouve défauts non spécifiés et en troisième catégorie des

fils cassés, qui peuvent avoir pour origine soit des coupures de fils soit des mauvaises

pratiques d'entretien.

1.3.2. Classification

Les principales causes de détérioration des câbles toutes applications confondues sont

essentiellement dues aux :

Défauts d‟origine externe

Agressions mécaniques (vibrations,…), Figure 1.12

Défauts de montage (interventions humaines, …)

Corrosion, oxydation (humidité, produits chimiques, …), Figure 1.13

Effets de l‟environnement (température, humidité, air marin, eau de mer, …),

Figure 1.14

Défauts d‟origine interne

Défauts de fabrication

Défauts liés au vieillissement, Tableau 1.1

Echauffement local

Figure 1.11 : les différents types de défauts [CRIT 01]


20

Tous ces facteurs provoquent des modifications sur les paramètres intrinsèques du câble et se

traduisent par l‟apparition de défauts. Une étude américaine a montré qu‟il existe un lien très

étroit entre le nombre de problèmes liés au câble et l‟âge des avions (civils ou militaires),

Tableau 1.1 [REDD 03]. En 2001 il y avait près de 1500 appareils militaires et environ1700

avions commerciaux de plus de 20 ans en activité dans le monde [BLEM 01].

Tableau 1.1 : Probabilité d'apparition de défauts dans un câble en fonction de l’âge dans l’industrie

aéronautique [REDD 03]

Age (Années) Probabilité (%)

5 35

10 52

20 66

1.3.3. Exemples de défauts

Pendant plusieurs années les types de défaut de câblage se sont concentrés sur les circuits

ouverts et les courts-circuits. Ces défauts francs affectent les performances du système

profondément mais d‟autres défauts intermittents ou non francs sont également importants.

Ces défauts parfois sans effet à l‟origine, peuvent s‟aggraver avec le temps et causer de graves

accidents. S‟ils ne sont pas détectés à temps ils peuvent se transformer en défauts francs.

Les Figure 1.15, Figure 1.16 et Figure 1.17 présentent des cas typiques de défauts dans les

câbles aéronautiques.

Figure 1.14 : Défaut

thermique [CRIT 01]


chimique [CRIT 01]


mécanique [CRIT 01]

(b)

(a)

Figure 1.15 : Défauts typiques se produisant sur les câbles aéronautiques

(a) Défaut franc : circuit ouvert

(b) Défaut non franc : dénudation de l’isolant

(a)


21

Les problèmes évoqués peuvent être détectés par diverses méthodes, qui se différencient par

leur principe de mesure, les types de signaux utilisés et la nature du défaut que l‟on désire

diagnostiquer. Toutes les méthodes ne peuvent pas être utilisées pour détecter tous les défauts

dans tous les types de câbles.

1.4. Les méthodes de détection et localisation de défauts dans les câbles électriques

Il existe plusieurs types de défauts ayant chacun leurs propres caractéristiques, c‟est pour

cette raison que de nombreuses méthodes ont été développées pour tester l‟état des câbles. Il

existe différentes méthodes pour détecter et localiser des défauts de câblage des techniques

basses, moyennes ou hautes fréquences. Certaines méthodes nécessitent des outils de mesure

directement couplés électriquement aux extrémités du câble et d‟autres par des outils de

mesure sans contact (sonde de courant) pour diagnostiquer le câble.

Certaines méthodes de diagnostic ne permettent pas d‟analyser un câble lorsque celui-ci n‟est

pas déconnecté ou lorsque d‟autres signaux y sont présents (diagnostic hors ligne). D‟autres

méthodes permettent une analyse du câble lorsque d‟autres signaux y sont transmis

(diagnostic en ligne).

Les méthodes de test peuvent être divisées en deux catégories : les méthodes qui ne sont pas

basées sur la réflectométrie et les méthodes basées sur la réflectométrie.

1.4.1 Les méthodes non basées sur la réflectométrie

1.4.1.1. Inspection visuelle

Dans de nombreux secteurs, la méthode par inspection visuelle est la plus souvent utilisée

pour localiser des anomalies sur les réseaux filaires. Cette méthode, couramment utilisée pour

analyser les câbles dans l‟industrie aéronautique, permet de repérer tout échauffement local du

câble, dégradation de son isolant ou de la gaine [CRIT 01]. Cette méthode est totalement

subjective et ne peut être efficace que si le défaut est perceptible par l‟œil humain. Une large

portion d‟un réseau filaire peut ne pas être visible parce qu‟il est situé dans des endroits

inaccessibles cachés par d‟importantes structures comme des panneaux électriques, des

composants ou des torons de câbles [NATI 00]. Afin d‟améliorer le diagnostic et de venir en

Figure 1.17 : Défaut de gaine sur un

câble dans un faisceau

Figure 1.16 : Dégradation de la gaine,

exposition du conducteur à l’air libre

[SCHO 00]


22

aide à l‟opérateur de maintenance qui ne s‟appuie que sur la qualité de son œil, plusieurs

technologies ont été développées. Une de ces technologies est l‟utilisation de caméras

infrarouges ou thermiques pour détecter des défauts résistifs ou des échauffements locaux sur

le câble [SCHO 00]. Si le câble est composé de plusieurs lignes, l‟inspection visuelle est peu

efficace pour déterminer quelle ligne est en cause lors de l‟apparition d‟un défaut.

L‟utilisation de caméras embarquées associée à un système de vidéosurveillance n‟est pas

concevable. Un tel système serait trop coûteux et demanderait une mise en œuvre assez

complexe pour une application embarquée. D‟autres technologies comme l‟utilisation de

multimètres portables (voltmètre, ohmmètre) permettent de vérifier l‟impédance ou la

continuité du câble. L‟utilisation de multimètres nécessite l‟intervention d‟au moins deux

techniciens afin de réaliser les connexions en chaque extrémité du câble. La mesure de la

continuité permet de repérer quel câble est défectueux mais ne localise pas le défaut sur ce

câble.

1.4.1.2. Méthode par rayons X

La méthode par rayons X permet de trouver des défauts à l‟extérieur comme à l‟intérieur

d‟un câble électrique. L‟avantage de cette technique est qu‟elle permet au technicien de

connaître non seulement l‟état de la face extérieure du câble mais également l‟état de l‟isolant

et des conducteurs situés à l‟intérieur du câble. L‟inconvénient de cette méthode est que le

générateur de rayons X et le détecteur doivent être positionnés près du câble et être associés à

une intervention humaine pour l‟analyse des données récoltées. Cette technique n‟est

applicable que pour les câbles dont l‟accès est facile. L‟utilisation d‟une telle méthode n‟est

pas envisageable pour des applications embarquées et plus particulièrement pour l‟analyse du

réseau filaire d‟un avion en vol [SCHO 00].

1.4.1.3. Spectroscopie d’impédance

La spectroscopie d‟impédance est une méthode haute fréquence qui permet de connaître

l‟état d‟un câble électrique en analysant les caractéristiques de son isolant dans une gamme de

fréquence donnée [SCHO 00]. Une onde sinusoïdale est injectée via un analyseur de réseau à

l‟extrémité du câble à tester. Le câble doit être isolé de tout autre système en le déconnectant

afin de ne pas fausser la mesure. Le principe de cette méthode est de mesurer l‟impédance du

câble en faisant varier la fréquence de l‟onde injectée. Les données enregistrées sont

comparées à celles préalablement mesurées sur un câble sain identique à celui sous test. La

procédure de mesure fait que cette méthode ne peut être utilisable pour une application

embarquée (base de données, accès aux extrémités du câble, débranchement du câble). Cette

méthode n‟est encore qu‟au stade expérimental et n‟a pas à ce jour été utilisée pour le

diagnostic de réseau de câbles.

1.4.1.4. Méthode capacitive et inductive

Cette technique permet de déterminer la présence d‟un circuit ouvert ou d‟un court-circuit

et donc la mesure de la longueur d‟un câble. La méthode est basée sur la mesure de la capacité


23

ou de l‟inductance du câble [CHUN 09]. La mesure de la capacité est utilisée pour localiser

un circuit ouvert et la mesure de l‟inductance est utilisée pour localiser un court-circuit sur le

câble.

La valeur de la capacité ou de l‟inductance linéique dans un câble dépend de la distance « D »

entre deux conducteurs, du diamètre « d » des conducteurs, de la permittivité ε, du

diélectrique séparant les deux conducteurs et de la perméabilité magnétique de l‟isolant μ

[ULAB 99]. Si nous considérons une ligne bifilaire symétrique, Figure 1.18, la capacité et

l‟inductance linéiques sont données par les relations suivantes :

1cosh

CD

d

, en Farad/m 1coshD

Ld

, en Henry/m

Référence câble C

(pF/m)

L

(μH/m)

Facteur de

vélocité

Impédance

Caractéristique

en ohm

RG58CU Câble coaxial 100 0,250 0,659 50

AWG22 Paire torsadée blindée

quadruple 106,5 0,517 0,690 54

AWG24 Paire torsadée blindée 47,28 0,587 0,710 120

AWG26 Paire torsadée 49,61 0,659 0,640 105

AWG20 une seule paire dans

un faisceau 31,76 0,976 0,740 150

On définit, le facteur de vélocité X, avec, vp=X.c, où vp est la vitesse de propagation dans la

ligne et c la vitesse de la lumière. Ce facteur dépend de la géométrie et des propriétés

intrinsèques du câble. En général ce facteur de vélocité est donné par les fabricants de câbles.

Le Tableau 1.2 référence quelques valeurs de capacités et d‟inductances linéiques de certains

types de câble. La capacité pour une ligne ouverte ou l‟inductance pour une ligne en court

circuit est directement proportionnelle à la longueur du câble. Donc en mesurant la capacité

ou l‟inductance globale d‟un câble connu, il est possible de déterminer la distance du circuit

ouvert ou court circuit. Il y a plusieurs méthodes permettant de mesurer la capacité ou

l‟inductance globale d‟un câble, nous pouvons utiliser des diviseurs de tensions, des ponts

diviseurs (Wheatstone, Sauty, Wien, Nernst…), des oscillateurs ou tout autre dispositif

permettant la mesure d‟une impédance. Ces dispositifs utilisent le câble pour émuler une

d d

D

Figure 1.18 : Ligne bifilaire

Tableau 1.2 : Valeurs de L et C de quelques types de câble


24

inductance ou une capacité produisant ainsi soit une tension, un courant ou une variation de

fréquence qui dépend de la capacité linéique C ou de l‟inductance linéique L.

Cette technique est performante dans la limite où elle est utilisée pour diagnostiquer l‟état

d‟un câble simple, elle n‟est pas adaptée pour l‟analyse de réseaux filaires complexes, ainsi

que si et si le câble est en fonctionnement.

1.4.2. Les méthodes basées sur la réflectométrie

Les méthodes décrites précédemment présentent chacune des limites pour déterminer

l‟état des câbles : recours à l‟utilisation d‟un autre câble de référence identique à celui testé,

utilisation d‟un appareil de mesure situé à proximité du câble, intervention humaine sur site

et/ou déconnexion du câble pour ne pas détériorer le système connecté à celui-ci.

Toutes ces méthodes ne peuvent donc pas être envisagées pour une application embarquée. Il

existe une méthode haute fréquence qui a l‟avantage d‟utiliser un seul câble (le câble à tester

lui-même) et d‟obtenir une image de l‟état du câble en se positionnant à une extrémité de

celui-ci. Cette méthode s‟appelle la réflectométrie et présente des performances et des

conditions de mesure très intéressantes [SOML 69]. Depuis les années 1950, elle est utilisée

pour détecter et localiser des défauts dans les câbles électriques ou dans les réseaux de

télécommunications [IKUM 01]. Cette méthode qui est basée sur le principe même du radar, a

trouvé sa place dans d‟autres applications comme la géotechnologie [SANT 97], l‟hydrologie

[WOOD 00], la construction [BHAT 97], l‟aviation [WHEE 07]- [FURS 01] ou le test de

matériaux [CONN 00]. La réflectométrie repose sur l‟analyse d‟une onde réfléchie par rapport

à une onde incidente en utilisant les phénomènes de propagation des ondes dans les milieux

physiques. Pour l‟utiliser dans l‟analyse des câbles électriques, il est nécessaire d‟injecter des

signaux dont la longueur d‟onde est petite ou équivalente à la longueur du câble. Ceci

implique donc l‟utilisation de signaux haute fréquence ou large bande. La réflectométrie

occupe essentiellement deux domaines d‟analyse : la réflectométrie dans le domaine temporel

ou TDR (Time Domain Reflectometry), dont le principe sera présenté de façon plus détaillée

dans le chapitre 2, et la réflectométrie dans le domaine fréquentiel ou FDR (Frequency

Domain Reflectometry) [REDD 03].

Pour chacun de ces deux domaines il existe des méthodes dérivées telles que la réflectométrie

dans le domaine temporel par séquence directe ou STDR (Sequence Time Domain

Reflectometry), et par étalement de spectre ou SSTDR (Spread Spectrum Time Domain

Reflectometry) pour le domaine temporel [SMIT 05]- [FURS 05]. Pour le domaine

fréquentiel, il existe la FMCW (Frequency Modulated Continuous Wave), la réflectométrie

par analyse de l‟onde stationnaire ou SWR (Standing Wave Reflectometry), la réflectométrie

par détection de phase ou PDFDR (Phase Detection Frequency Domain Reflectometry)

[FURS 03]- [CHUN 05] et la MSR (Mixed-Signal Reflectometer) [TSAI 05]. Une autre

méthode intéressante, qui ne peut être classée dans l‟une de ces deux catégories, est la NDR

(Noise Domain Reflectometry) [CLO 05]. Une nouvelle méthode de réflectométrie qui


25

fonctionne simultanément dans les deux domaines du temps et de la fréquence ou TFDR

(Time Domain Reflectometry) [PARK 08].

L‟utilisation d‟une méthode par rapport à l‟autre dépend de la forme d‟onde qui est injectée

dans le câble à tester et du domaine d‟analyse [FURS 06]. Quelque soit le domaine d‟analyse

utilisé, le principe de la réflectométrie repose sur la propagation d‟une forme d‟onde

électromagnétique dans le câble et sur l‟exploitation de ou des ondes réfléchies causées par

les discontinuités d‟impédance le long du câble. La forme d‟onde injectée dépend du domaine

d‟analyse mais dans tous les cas cette onde se propagera à la vitesse comprise entre 0.5 et 0.9

fois la vitesse de la lumière. En connaissant la vitesse de propagation dans le câble à tester, il

est très facile de déterminer la distance qui sépare la discontinuité d‟impédance par rapport au

plan d‟injection. Pour cela, il suffit de mesurer l‟écart temporel entre l‟onde incidente (onde

injectée) et l‟onde réfléchie et de réaliser une conversion en unité métrique. Une des

difficultés d‟interprétation du réflectogramme apparaît lorsque la ligne est constituée de

plusieurs discontinuités d‟impédances consécutives. Dans ce cas là, il apparaît sur le

réflectogramme une multitude de réflexions qui rend l‟analyse plus difficile.

Tableau 1.3: Avantages et inconvénients des méthodes existantes pour la détection de défauts

Méthodes Avantages Inconvénient

Inspection

visuelle

Elle peut détecter le défaut sans

mesures

Limitée à la recherche des défauts

visibles de l‟extérieur, elle ne peut pas

être utilisée quand les câbles sont

regroupés, blindés ou dans des zones

difficiles à atteindre

Méthode par

rayons X

Elle permet de connaître l‟état

de la face extérieure du câble

(l‟isolant) et des conducteurs.

Couteuse, applicable que pour les

câbles dont l‟accès est facile.

Impédance

spectroscopie

Elle permet de connaître l‟état

d‟un câble électrique en

analysant les caractéristiques de

son isolant

Le câble doit être isolé de tout autre

système. Ne peut être utilisable pour

une application embarquée

Méthode

capacitive et

inductive

Elle est simple, peu

encombrante et peu chère

Diagnostique des câbles simples. Elle

n‟est pas adaptée pour les réseaux

complexes, et si le câble en

fonctionnement.

Réflectométrie

dans le

domaine

temporel

Elle est précise pour de

nombreux type de défauts

Difficile à appliquer sur les réseaux à

plusieurs défauts

Tableau 1.3 résumé des avantages et des inconvénients des méthodes de diagnostic filaire. Il

est important de connaître le type de défaut et la méthode qui lui correspond afin que la

détection soit la plus efficace possible.


26

Tableau 1.4 : Types de détérioration, indicateurs primaires et méthodes de détection

Type de détérioration Indicateur primaire Méthode de détection

Echauffement du câble Zone d‟usure Inspection visuelle

Mauvais contact Variation d‟impédance

Echauffement local

Réflectométrie, Thermique

Test point à point

Court-circuit non franc

Interférence

électromagnétique

Arc électrique

Inspection visuelle

Réflectométrie

Court-circuit franc Système de disjoncteurs Réflectométrie

Isolant défectueux Fissure, zone abîmée Inspection visuelle

Réflectométrie

Conducteur exposé Perte de fonctionnalité

Incendie

Inspection visuelle

Réflectométrie

Corrosion Perte de signal ou de données Inspection visuelle

Humidité Perte de signal ou de données Réflectométrie

Le Tableau 1.4 résume les problèmes les plus couramment rencontrés dans les faisceaux de

câbles électriques en aéronautique, les indicateurs primaires qui permettent de les

diagnostiquer et les méthodes permettant de les détecter [BLEM 01]. Les problèmes évoqués

peuvent être détectés par diverses méthodes qui se différencient par leur principe de mesure,

les types de signaux utilisés et la nature du défaut que l‟on désire diagnostiquer. Toutes les

méthodes ne peuvent être utilisées pour détecter tous les défauts dans tous les types de câbles.

De plus, diagnostiquer par réflectométrie conduit à un problème inverse difficile : à partir

d‟un réflectogramme, remonter à des informations sur l‟état du câble et plusieurs approches

ont déjà été proposées dans la littérature [ZHAN 11]-[COMA 08]-[BARR 94]-[LUND 95].

Pour bien comprendre le principe de la réflectométrie dans un câble, il est nécessaire de

comprendre comment se propage une onde électromagnétique dans une ligne de transmission.

Dans cette parie, nous rappellerons les bases sur la théorie des lignes de transmission et les

principales solutions des équations de propagation.

1.5. Théorie des lignes de transmission

La différence principale entre la théorie des circuits et la théorie des lignes de transmission

est la taille électrique. L'analyse de type circuit suppose que les dimensions physiques d'un

réseau sont beaucoup plus petites que la longueur d'onde électrique, alors que les lignes de

transmission peuvent être une petite fraction de longueur d'onde, voire plusieurs longueurs

d'onde [POZA 98]. Une ligne de transmission est donc un réseau distribué de paramètres où

les tensions et les courants peuvent varier en amplitude et en phase le long de la ligne.

Une ligne de transmission est une structure comprenant en général deux conducteurs

cylindriques parallèles proches l‟un de l‟autre et dont la géométrie transversale est uniforme

sur toute la longueur. Si les conducteurs sont parfaits (les conducteurs et le plan de masse sont

de conductivité infinie) les ondes circulant sont de type TEM ou quasi-TEM (Transverse

ElectroMagnétique). Les champs électrique E et magnétique H sont transverses et leurs

composantes longitudinales sont nulles. Le rapport E/H est constant.


27

En basse fréquence lorsque la longueur d‟onde est grande devant la longueur de la ligne, la

différence de potentiel entre les deux conducteurs est la même tout au long de la ligne. Par

contre en haute fréquence lorsque la longueur d‟onde est petite ou comparable à la longueur

de la ligne, ce n‟est plus le cas. Ce phénomène a été mis en évidence par le physicien

allemand Heinrich Rudolf Hertz sur la ligne bifilaire.

En haute fréquence une ligne de transmission peut se modéliser à l‟aide de quatre paramètres

qui constituent le modèle à constantes réparties [NEFF 91]. La Figure 1.19 montre une ligne

de transmission qui est souvent représentée schématiquement comme une ligne bifilaire et le

modèle équivalent. Il n‟est valable que pour une longueur infinitésimale de ligne, à condition

que la longueur L de la ligne de transmission soit inférieure ou égale au dixième de la

longueur d‟onde guidée λg; /10gL

Modèle à constantes réparties

L‟onde électromagnétique peut se propager grâce aux échanges d‟énergie électrique et

d‟énergie magnétique. Ces effets se modélisent respectivement par la présence d‟une capacité

linéique C et une inductance linéique L. La capacité linéique C dépend de l‟écart entre les

deux conducteurs, du diamètre des conducteurs et de la permittivité du diélectrique et

s‟exprime en Farad/m. L‟inductance linéique L dépend du diamètre des conducteurs, de

l‟écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux et s‟exprime en

Henry/m. La capacité et l‟inductance modélisent les effets de propagation dans la ligne. Les

pertes par effet de Joule sont modélisées par une résistance linéique R, qui est due aux pertes

ohmiques dans les conducteurs, dépend des diamètres et matériaux des conducteurs et

s‟exprime en ohms/m. La conductance linéique G traduit les pertes dues au diélectrique. Elle

dépend de la capacité linéique et de l‟angle de perte du diélectrique et s‟exprime en

Siemens/m. R et G représentent les pertes.

I(z,t) I(z+dz,t) R.dz L.dz

G.dz C.dz V(z,t) V(z+dz,t)

z z+dz

+

-

+

-

(a) (b)

Figure 1.19 : Définition de la tension et le courant sur une ligne bifilaire et le

circuit équivalent pour une longueur infinitésimale de la ligne.

(a) Définition de la tension et du courant sur une ligne bifilaire.

(b) modèle électrique équivalent.

+

-

V(z,t)

I(z,t)

l

z


28

Les paramètres du modèle à constantes réparties sont appelés paramètres primaires. Ces

quatre paramètres suffisent pour modéliser le comportement d‟une ligne de transmission en

haute fréquence. Cependant certains paramètres sont sensibles aux variations de la fréquence.

D‟une façon générale, l‟inductance et la capacité linéique dépendent de la fréquence jusqu'à

environ 1 GHz. La résistance linéique augmente lorsque la fréquence augmente et la

conductance linéique augmente également avec la fréquence mais reste négligeable en

dessous de 1 MHz.

Les valeurs des paramètres par unité de longueur peuvent être obtenues, soit analytiquement,

si la configuration est connue, soit numériquement (ceci sera détaillé dans le chapitre 2).

À partir du circuit de la Figure 1.19 et appliquant les lois de Kirchhoff sur la tension, on

obtient :

( , )( , ) ( , ) ( , ) 0

I z tV z t RdzI z t Ldz V z dz t

t

(1-1)

De même les lois de Kirchhoff sur le courant :

( , )( , ) ( , ) . ( , ) 0

V z dz tI z t GdzV z dz t Cdz I z dz t

t

(1-2)

À partir des équations (1-1) et (1-2) et prenant la limite, on obtient les équations

différentielles décrivant l‟évolution de la tension et du courant instantanés le long de la ligne

de transmission :

( , ) ( , )( , )

V z t I z tRI z t L

z t

(1-3)

( , ) ( , )( , )

I z t V z tGV z t C

z t

(1-4)

Dérivons chacune des expressions (1-3) et (1-4) par rapport à la variable z

2 2

2

( , ) ( , ) ( , )V z t I z t I z tR L

z t zz

(1-5)

2 2

2

( , ) ( , ) ( , )I z t V z t V z tG C

z t zz

(1-6)

Ces équations sont appelées équations des télégraphistes ou équations de propagation [CHIP

68].


29

1.5.1. Solution des équations de propagation

1.5.1.1. Analyse fréquentielle

Dans cette partie, nous allons nous intéresser à la résolution des équations de propagation

en régime harmonique. Dans ce cas nous supposons que les sources d‟excitation sont

sinusoïdales. La tension et le courant s‟écrivent :

( ) ( ) cos( )

( ) j t j

V z V z t

V z e e

( ) ( ) cos( )

( ) j t j

I z I z t

I z e e

( )j t jV

V j e e j V zt

(1-7.a)

( )j t jI

I j e e j I zt

(1-7.b)

En régime harmonique, ont remplaçant jt

les équations (1) et (2) peuvent s‟écrire :

( )

VRI j LI R j L I

z

(1-8.a)

( )

IGI j CI G j C V

z

(1-8.b)

Une deuxième dérivée permet d‟obtenir :

2

2( )

V IR j L

zz

(1-9)

2

2( )

I VG j C

zz

(1-10)

À partir de (1-9) et (1-10) et les relations (1-8.a) et (1-8.b) on écrit :

2

2( )( )

VR j L G j C V

z

(1-11)

2

2( )( )

IR j L G j C I

z

(1-12)

On définit la constante de propagation complexe

2 ( )( )R j L G j C (1-13)


30

j (1-14)

Cette constante de propagation fait intervenir le coefficient d‟affaiblissement de la ligne α

exprimé en Neper/m et une constance de phase β exprimée en rad/m

À partir de (1-13) et (1-14) on peut définir :

2 2 2 2 2 2 2 1/21[( )( )]

2RG LC R L G C

(1-15)

2 2 2 2 2 2 2 1/21[( )( )]

2RG LC R L G C

(1-16)

La solution de ces équations différentielles (1-11) et (1-12) est :

( ) z zi rV z V e V e (1-17)

( ) z zi rI z I e I e (1-18)

Vi+, Vr

-, Ii

+ et Ir

- : sont des termes complexes représentant respectivement la tension incidente

et réfléchie et le courant incident et réfléchi.

La forme des solutions dans le domaine complexe se réduit à :

( , ) ( ).z z j ti rV z t V e V e e (1-19)

( , ) ( ).z z j ti rI z t I e I e e (1-20)

( , )g g

z zj t j t

v vV z t V e V e

(1-21)

( , )g g

z zj t j t

v vI z t I e I e

(1-22)

L‟équation (1-22) peut s‟écrire:

( ) z zi r

c c

V VI z e e

Z Z

(1-23)

Si nous exprimons le rapport entre la tension et le courant incident ou le rapport entre la

tension et le courant réfléchi, nous faisons apparaître une grandeur caractéristique importante

dans les lignes de transmission, il s‟agit de l‟impédance caractéristique Zc

.

.c

V V R j LZ

G j CI I

(1-24)


31

L‟impédance ramenée à l‟entrée de la ligne peut aussi être définie en fonction de l‟impédance

caractéristique de la ligne ZC, l‟impédance de charge ZL et la constante de propagation γ

tan

tan

L cligne c

c L

Z jZ lZ Z

Z jZ l

(1-25)

Pour une ligne de transmission réelle (avec pertes), l'impédance caractéristique est une

grandeur complexe. Cette impédance caractéristique est différente selon le type de câble. En

vidéo, les câbles utilisés sont des câbles coaxiaux d‟impédance caractéristique 75 ohms. En

hyperfréquence, les lignes de transmission utilisées ont pour la plupart une impédance

caractéristique de 50 ohms. Le réseau CAN utilise une paire torsadée dont l‟impédance

caractéristique est de l‟ordre de 120 ohms. FlexRay est un protocole qui véhicule des données

sur une paire torsadée d‟impédance caractéristique de 90 ohms. L‟impédance caractéristique

dépend de la géométrie et de la constitution du câble. Nous pouvons rencontrer sur le marché

deux types de câble, l‟un est appelé « câble à impédance contrôlée » où l‟impédance

caractéristique le long de câble est constante et l‟autre est appelé « câble à impédance non

contrôlée » où l‟impédance caractéristique varie [RAVO 07].

a. Le cas sans pertes

Il est souvent fait dans la pratique l‟approximation d‟avoir une résistance linéique R et une

conductance linéique G nulles sur les lignes (R ≈ G ≈ 0). Avec cette approximation, la ligne

est considérée sans pertes ou à très faibles pertes. Ceci reste valide jusqu'à une certaine

fréquence de travail. Avec ces approximations, les équations des télégraphistes (1-1) et (1-2)

se simplifient comme suit :

( , ) ( , )V z t I z tL

z t

(1-26)

( , ) ( , )I z t V z tC

z t

(1-27)

Les équations dans le domaine fréquentiel s‟écrivent :

2

2

V Ij L

zz

(1-28)

2

2

I Vj C

zz

(1-29)

La solution des équations différentielles dans le domaine complexe est:

(1-30)

( , ) ( )j z j z j ti rI z t I e I e e (1-31)

La constante de propagation change :

( , ) ( )j z j z j ti rV z t V e V e e


32

j j LC (1-32)

LC 0 (1-33)

On définit aussi la longueur d‟onde :

2 2

LC

(1-34)

En ce qui concerne l‟expression de l‟impédance caractéristique, l‟approximation sur R et G

permet d‟écrire que :

cL

ZC

(1-35)

Dans ces conditions, l‟impédance caractéristique de la ligne est un nombre purement réel.

Nous noterons au passage que la vitesse de propagation, appelée aussi vitesse de phase, dans

une ligne de transmission sans (ou à faibles) pertes s‟exprime par :

1 1pv

LC

(1-36)

L‟impédance caractéristique et la constante de propagation constituent les paramètres

secondaires d‟une ligne de transmission.

b. Coefficient de réflexion

Un autre paramètre important dans le principe de la réflectométrie est le coefficient de

réflexion. Chaque discontinuité dans un câble est associée à un coefficient de réflexion qui

donne une information sur la polarité des champs dans le milieu de propagation et la quantité

d‟énergie renvoyée vers le plan le générateur.

On choisit notre plan de référence, en z = 0 (au niveau de la charge). La tension et le courant

des équations (1-30) et (1-31) deviennent :

Figure 1.20 : Ligne de transmission excitée par un générateur d’impédance ZG et chargée par une

impédance ZL

Vi VL

Ii

IL

ZG

VG

+

-

ZL ZC

Générateur Charge

Ligne de Transmission

z = -l z = 0


33

( ) j z j zi r LV z V e V e V V V (1-37)

( ) j z j zi r L

c

I z I e I e I I I

V V

Z

(1-38)

En calculant le rapport L

L

V

I, nous déterminons l‟impédance de charge ZL, elle s‟exprime de la

façon suivante :

11

11

L LL c c c

L L

V

V V V VZ Z Z ZI V V V

V

(1-39)

ΓL : correspond au coefficient de réflexion qui est le rapport entre l‟amplitude de l‟onde

réfléchie et celle incidente au niveau de la charge ZL. Nous pouvons également exprimer le

coefficient de réflexion en fonction des impédances ZL de charge :

L c L cL

L c L c

Z Z Z ZVV V

Z Z Z ZV

(1-40)

Les deux équations (1-17) et (1-18) deviennent :

( ) j z j zLV z V e V e (1-41)

( ) j z j zL

c c

V VI z e e

Z Z

(1-42)

1.5.1.2. Analyse temporelle

Les solutions du système d‟équations différentielles montrent qu‟il existe deux ondes qui

se propagent dans la ligne de transmission à la vitesse vp. Il existe une onde se propageant

vers les z positifs et une onde se propageant vers les z négatifs. L‟onde qui se propage vers les

z positifs se nomme l‟onde incidente V+(z,t) et l‟onde se propageant vers les z négatifs se

nomme l‟onde réfléchie V-(z,t). La combinaison de ces deux ondes forme une onde

stationnaire.

( , ) ( ) ( )p pV z t V z v t V z v t

(1-43)

( , ) ( ) ( )p pI z t I z v t I z v t (1-44)


34

Si une onde se propage à la vitesse vp dans une ligne de transmission homogène de longueur

L, elle mettra un temps p

L

v pour se propager d‟une extrémité à l‟autre.

Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour la résolution des équations de propagation dans

le domaine temporel. Parmi ces méthodes, nous présentons la solution graphique.

a. Solution graphique

On considère une ligne de transmission sans pertes, Figure 1.21, de longueur L, d‟impédance

caractéristique Zc , excitée par un générateur VG(t) d‟impédance ZG et chargée par une

impédance ZL.

L‟onde incidence et réfléchie sont reliées à la charge (z = L) par la relation du coefficient de

réflexion ΓL. ΓG et le coefficient de réflexion au niveau de la source.

g L cL

L c

g

LV t

v Z Z

Z ZLV t

v

G cG

G c

Z Z

Z Z

(1-45)

Par conséquent, l‟onde réfléchie au niveau de la charge, peut s‟écrire en fonction de l‟onde

incidente et le coefficient de réflexion [HOLT 67].

Lg g

L LV t V t

v v

(1-46)

Ça sera la même chose pour le courant mais avec un signe opposé:

Lg g

L LI t I t

v v

(1-47)

Figure 1.21 : Tension et courant dans le domaine temporel

z = 0 z = L

V(0,t) V(L,t)

I(0,t) I(L,t) ZG

VG(t)

+

-

ZL

ZC

I(z,t)

V(z,t)

+ +

- -


35

Prenons une onde incidente qui se propage sur la ligne ; elle va mettre un temps T pour se

réfléchir au niveau de la charge ZL et le même temps pour retourner et arriver à la source.

Donc pour :

0<t<2L/vg, avec 2L/vg = 2T, l‟onde réfléchie n‟a pas atteint le plan z = 0.

0

0,g

V z t V tv

0 0

0,g G g

VI t I t t

v Z v

0 2t T (1-48)

En même temps les ondes incidentes de tension et courant sont liées à la source de tension

VG(t) par :

0, ( )cG

G c

ZV t V t

Z Z

10, ( )G

G c

I t V tZ Z

(1-49)

À n‟importe quel temps t et position sur la ligne z, l‟onde de tension (ou courant) est la

somme des ondes tensions (ou courants) existant sur la ligne [HOLT 67]. La solution exacte

pour n‟importe quelle forme d‟onde d‟excitation VG(t) peut s‟écrire de la façon suivante :

2

(0, ) ( ) 1 2 1 4

1 6

cG G L G G G L L G

c G

G G L L G

ZV t V t V t T V t T

Z Z

V t T

(1-50)

2 3

( , ) 1 1 3

1 5 1 7

cG G G G L L G

c G

G G L L G G G L L G

ZV L t V t T V t T

Z Z

V t T V t T

(1-51)

Cette forme succincte de la solution donne la tension dans le domaine temporel explicitement

en fonction du signal d‟entrée.

Pour bien comprendre le principe de la méthode, on considère une ligne de transmission

(Figure 1.21) de longueur L = 5 m, d‟impédance caractéristique Zc = 50 ohms, excitée par un

échelon VG(t) d‟amplitude V0 = 1V et de durée t (Figure 1.22).

-2 0 2 4 6 8

x 10-8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps en s

Am

pli

tud

e e

n V

U(t)

( ) . ( )G GV t V U t

1 0( )

0 0

tU t

t

Figure 1.22 : signal d’excitation


36

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

temps en s

Am

pli

tud

e e

n V Echelon Incident

Echelon Réflechi

Charge de 25 ohm

La réponse de la ligne quand elle est chargée par une impédance ZL = 100 ohms ou ZL = 25

ohms, est montrée sur les Figure 1.23.b et Figure 1.23.a respectivement.

Donc les coefficients de réflexion au niveau des charges et le générateur sont :

( 100 )100 50 1

100 50 3LL Z

, ( 25 )25 50 1

25 50 3LL Z

, 50 50

050 50

G

À partir de l‟équation (1-50), on trace la tension totale au niveau de la source.

Les Figures 1.23.a et Figure 1.23.b représentent les amplitudes de la tension au niveau de la

source d‟une ligne chargée par une impédance dont le module est supérieur puis inférieur au

module de l‟impédance caractéristique de la ligne. On remarque l‟effet de variation de

l‟impédance sur l‟amplitude de la tension due à la discontinuité d‟impédance entre la ligne et

la charge. Si L cZ Z alors l‟impulsion réfléchie est du même signe que l‟impulsion

incidente. Si L cZ Z alors l‟impulsion réfléchie est de signe opposé à l‟impulsion incidente.

De même on peut déduire que si L cZ Z , il n‟y a pas d‟impulsion réfléchie, la charge

LZ absorbe la totalité de l‟énergie de l‟onde incidente, Figure 1.24.

(b) (a)

Figure 1.23 : Réponse dans le domaine temporel en injectant un échelon dans une ligne de transmission

(a) Pour ZL = 100 ohms, (b) pour Z L= 25 ohms

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

temps en s

Am

pli

tud

e e

n V

Echelon Incident

Echelon réfléchi

Charge de 100 ohm


37

1.6. Conclusion

Ce chapitre a essentiellement été consacré à l‟état de l‟art sur les multiples méthodes de

détection et localisation de défaut dans les câbles électriques. Les méthodes les plus simples,

les plus économiques et les moins encombrantes sont les méthodes capacitives et inductives.

Leurs performances sont comparables avec celles des méthodes par réflectométrie mais elles

ne peuvent pas être utilisées pour l‟analyse des câbles en fonctionnement ou en réseau.

Pour répondre aux contraintes d‟un système embarqué, les méthodes par réflectométrie

semblent être les plus adaptées. Ces méthodes peuvent être rapides à mettre en place,

automatiques, facilement intégrables, adaptables et reconfigurables suivant le type de réseau

filaire à analyser. L‟analyse d‟un réseau filaire peut aussi bien être réalisée hors ligne ou en

ligne et être totalement transparente vis-à-vis des autres systèmes qui se partagent le même

réseau.

Pour bien comprendre le principe de la réflectométrie, il est nécessaire de comprendre

comment se propage une onde électromagnétique dans une ligne de transmission. Dans le

chapitre 2, nous développerons le modèle adopté pour la propagation filaire.

-2 0 2 4 6 8 10 12

x 10-8

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

temps en s

Am

pli

tud

e e

n V

Zl<Zc

Zl=Zc

Zl>Zc

Zl>>>

Zl=0

Vg(t)

Figure 1.24 : Réponse dans le domaine temporel en injectant un échelon dans une ligne de

transmission chargée par une impédance telle que , 0, 0,L L L L c L cZ Z Z Z Z et Z Z

Chapitre 2 Modèle de propagation filaire

38

Chapitre 2 : Modèle de propagation filaire

2.1. Introduction.............................................................................................................................................. 39

2.2. Résolutions des problèmes direct et inverse .......................................................................................... 39

2.2.1. Problème direct ................................................................................................................................. 40

2.3. Problème direct – Modélisation par la méthode des différences finies ............................................... 41

2.3.1. Introduction ....................................................................................................................................... 41

2.3.2. FDTD pour les lignes de transmission .............................................................................................. 41

2.3.3. FDTD pour les réseaux filaires .......................................................................................................... 48

2.4. Modélisation de défauts filaires .............................................................................................................. 54

2.4.1. Rappel des lois électrostatique .......................................................................................................... 55

2.4.2. Méthode des éléments finis (MEF) ................................................................................................... 55

2.4.3. Modélisation éléments finis sous ANSYS® ....................................................................................... 56

2.4.4. Application de la MEF pour des défauts de câblage ......................................................................... 57

2.4.5. Analyse d‟une ligne avec un défaut ................................................................................................... 62

2.4.6. Analyse d‟une ligne avec deux défauts ............................................................................................. 64

2.5. Multiconducteurs ..................................................................................................................................... 66

2.5.1. Définitions ......................................................................................................................................... 66

2.5.2. Méthodes classiques de simulation des lignes multifilaires .............................................................. 67

2.5.3. Propagation sur une ligne multifilaire ............................................................................................... 67

2.5.4. Solution numérique ........................................................................................................................... 69

2.5.5. Réflectométrie des lignes multifilaires .............................................................................................. 72

2.6. Conclusion ................................................................................................................................................ 81


39

Chapitre 2 : Modèle de propagation filaire

2.1. Introduction

Après avoir rappelé très brièvement les quelques travaux qui ont été menés pour simuler la

propagation sur un réseau filaire, nous décrirons plus en détail l‟approche que nous avons

suivie pour simuler la propagation le long des lignes de transmission.

Les lignes de transmission ont généralement des structures complexes dont la solution

analytique est difficile voire impossible à déterminer. Une méthode numérique permet

d‟obtenir la solution. Nous proposons un modèle de propagation d‟une onde

électromagnétique le long d‟une ligne de transmission (simple ou réseau, simple conducteur

ou multiconducteur) dans le domaine temporel : le modèle est basé sur les équations de

propagation des “télégraphistes”. Les équations de propagation d‟onde sont résolues par la

méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) qui convertit ces équations

différentielles en équations aux différences.

Comme nous l'avons vu dans le premier chapitre, dans un réseau de câblage d‟automobile,

nous trouvons des conducteurs simples, des paires torsadées, et des câbles multiconducteurs.

Pour cela, dans ce chapitre nous étudions les multiconducteurs dans le cadre de la

réflectométrie dans le domaine temporel. Sachant que les positions relatives des conducteurs

au sein d‟un toron de fils ne sont pas définies avec précision par les constructeurs, il est donc

difficile, voir impossible, de prévoir théoriquement les valeurs des paramètres électriques et la

forme géométrique d‟un faisceau réel c‟est pourquoi nous proposons une approche simplifiée.

Après une description des méthodes de résolution du problème direct, nous détaillons la

méthode adoptée afin de modéliser la réflectométrie dans le domaine temporel. Nous

décrivons ensuite la méthode adoptée afin de modéliser les défauts filaires. Dans la deuxième

partie du chapitre nous décrivons les résultats de simulation du modèle direct sur des lignes

multifilaires. En vue de valider notre modèle, nous étudions plusieurs configurations de

câblage et nous comparons les résultats issus de notre modélisation avec des mesures.

2.2. Résolutions des problèmes direct et inverse

Les méthodes de réflectométrie permettent de tester les réseaux filaires en injectant une

onde électromagnétique. Ce test est fait en examinant les données d‟observation issues soit de

la mesure, soit d‟un modèle analytique ou numérique. L‟obtention des données d‟observation

dépendant de l‟état des câbles et de la configuration des réseaux considérés est communément

appelée le problème direct (forward problem en anglais). Cependant, dans la plupart des

applications, ce qui intéresse un ingénieur ou un scientifique est d‟inspecter l‟état du câble.

Les données d‟observation doivent permettre de remonter aux paramètres physiques de ces

câbles. Le moyen d‟obtention des paramètres électriques des câbles ou la structure des

réseaux à partir des données d‟observation est appelée problème inverse (inverse problem en

anglais), Figure 2.1.


40

2.2.1. Problème direct

Pour des lignes de transmission simples, on peut établir une formulation analytique du

problème étudié. Cette solution analytique donne la relation entre le coefficient de réflexion

ou la tension à l‟entrée et les paramètres physiques et géométriques de la ligne à étudier. Par

ailleurs, pour des structures complexes, une solution analytique est rarement triviale voire

impossible. La solution est le recours à une modélisation numérique. L‟avantage de cette

solution est qu‟elle permet d‟étudier n‟importe quel problème électromagnétique et ceci

quelle que soit sa complexité. Aux erreurs de modélisation près, principalement liées au

maillage de la structure, le modèle numérique représente généralement assez bien la structure

réelle si on prend soin d‟appliquer les bonnes conditions aux limites. Un inconvénient de cette

méthode est qu‟elle peut être très coûteuse en temps de calcul notamment si la géométrie

implique des rapports de dimensions élevés.

Nous présentons dans la suite deux méthodes de modélisation numérique parmi les plus

couramment utilisées :

2.2.1.1. Méthode des différences finies [TAFL 00]

La méthode des différences finies, historiquement la première, est une méthode explicite,

d‟implémentation simple et qui permet aisément la considération de milieux hétérogènes. Elle

consiste à discrétiser le domaine étudié par un réseau de points à mailles rectangulaires et à

remplacer les opérateurs différentiels par des opérateurs de différences entre les valeurs de

l‟inconnue en différents points voisins. Cette méthode s‟adapte difficilement aux géométries

complexes qui présentent des courbures car elle nécessite un découplage régulier du domaine

d‟étude. Elle est cependant utilisée pour résoudre des problèmes dans le domaine temporel. La

FDTD (Finite Difference Time Domain en Anglais) est la meilleure méthode qu‟on peut

utiliser pour étudier la propagation 1D [SULL 00]. Dans le cadre de cette thèse la FDTD est

utilisée pour résoudre les équations des télégraphistes.

2.2.1.2. Méthode des éléments finis [JIN 02]

La méthode des éléments finis (MEF) utilise une formulation variationnelle du problème.

Elle vise à obtenir une solution approchée du problème. Grâce à la formulation variationnelle,

les solutions du problème vérifient des conditions d‟existence plus faibles que celles des

Figure 2.1: Problème direct / Problème inverse

Paramètres

recherchés

Données

d‟observation

Problème direct

Problème inverse


41

solutions du problème de départ. Une discrétisation permet alors de trouver une solution

approchée. Dans la MEF, chaque région du domaine d‟étude est découpée en « petits »

éléments. Cette opération est nommée « maillage ». Plus le maillage est fin, plus la solution

calculée s‟approche de la solution exacte. Avec MEF, on peut modéliser des géométries très

variées et complexes (2D, 3D). On peut aussi étudier des phénomènes non-linéaires. Comme

la méthode FDTD, la MEF nécessite de définir des frontières sur lesquelles sont appliquées

les conditions aux limites.

2.3. Problème direct – Modélisation par la méthode des différences finies

Nous allons tout d‟abord examiner dans cette partie, les principaux points clés de

l‟application de la méthode FDTD pour la propagation dans les et les réseaux filaires. Ensuite

quelques résultats de simulation d‟un réseau en Y seront présentés.

2.3.1. Introduction

La méthode numérique des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) a été

développée par Yee [YEE 66] en 1966, et plus tard améliorée par Taflove et al [TAFL 00].

Grâce à ses avantages et aux performances de l‟outil informatique, la FDTD n‟a cessé de

gagner des utilisateurs pour des applications de plus en plus variées.

La méthode FDTD peut simuler le comportement d‟une onde électromagnétique dans tout

type de milieu (diélectrique, métal, plasma, câbles,....), tout en tenant compte des formes

géométriques des objets pouvant constituer le système [SADI 01]. Elle ne fait intervenir

aucune inversion de matrice. Sa formulation théorique [SULL 00] extrêmement simple fournit

des prédictions d‟une grande précision pour un large éventail de problèmes dans le domaine

électromagnétique. Elle permet des études « large bande » : une excitation impulsionnelle

dans le domaine temporel suffit à donner la réponse d‟un système sur une large bande de

fréquences.

2.3.2. FDTD pour les lignes de transmission

Nous avons vu, dans le chapitre précédent, la théorie des lignes de transmission et les

principales méthodes pour résoudre les équations de propagation. Dans cette partie, nous

allons présenter la résolution des équations des télégraphistes par la méthode des différences

finies dans le domaine temporel.

Le principal avantage de la méthode par rapport aux méthodes analytiques est qu‟elle peut

prendre en compte les variations aléatoires de l‟impédance le long d‟une ligne de

transmission. Ces variations peuvent traduire des défauts.

Nous avons vu dans le premier chapitre qu‟en haute fréquence une ligne de transmission peut

se modéliser par un circuit RLCG. Appliquant les lois de circuit (Lois de Kirchhoff) sur le


42

modèle, nous obtenons un système d‟équations différentielles qui décrit l‟évolution de la

tension et du courant instantanés le long de la ligne de transmission.

( , ) ( , )( , )

V z t I z tRI z t L

z t

(2-1)

( , ) ( , )( , )

I z t V z tGV z t C

z t

(2-2)

2.3.2.1. Résolution des équations des télégraphistes utilisant la méthode FDTD.

La méthode des différences centrées est utilisée pour convertir ces équations différentielles

aux équations différences.

Premièrement, il est nécessaire de discrétiser (2-1) et (2-2) dans l'espace et le temps. Une

discrétisation est fixée pour l'espace (z). La tension (V) et le courant (I) sont définis en points

alternés dans une grille comme le montre la Figure 2.2.

Utilisant ce modèle de discrétisation dans le temps et l'espace, nous pouvons déterminer la

composante de l‟onde à tout moment et en n‟importe quel endroit sur la ligne.

Les équations aux différences sont de deux types. L‟une détermine la tension :

1 1 3/2 1/2 3/2 1/2( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

n n n n n nV z V z I z I z I z I zL R

z t

(2-3)

Figure 2.2 : discrétisation spatiale et temporelle des tensions et courants

2

z

z

tn

t1/2)(n

t1)(n

t)3(n 2/

t

2

t

nVk

n 1k

V n 1k 1

V

n 1/2k-1

I

n 1/2k

I

n 3/2k

I

(k-3/2) z (k-1) z (k-1/2) z k z


43

L‟autre permet d‟exprimer le courant

1/2 1/2 1 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

2

n n n n n nI z I z V z V z V z V zC G

z t

(2-4)

Dans le cas sans pertes où R ≈ G ≈ 0, on obtient les équations récurrentes :

1 1/2 1/2( ) ( ) 1 ( ) ( 1)n n n nV z V z I z I z

t C z

(2-5)

3/2 1/2 1 1( ) ( ) 1 ( 1) ( )n n n nI z I z V z V z

t L z

(2-6)

1 1( 1) ( )3/2 1/2( ) ( )n nt V z V zn nI z I z

L z

(2-7)

1/2 1/2( ) ( )1( ) ( )n nt I z I zn nV z V z

C z

(2-8)

Pour que le schéma numérique soit stable il faut respecter la condition de stabilité [TAFL 00]:

zt

vp

(2-9)

LCv p

1

(2-10)

Dans le cas de notre étude, le pas du temps est donné par l‟équation :

2

zt

vp

où pv est la vitesse de propagation dans la ligne, qui vérifie généralement :

0,5 0,8p

c v c

c est la vitesse de propagation dans le vide. Dans le cadre de cette thèse la taille des cellules

de la grille a une longueur z qui est petite par rapport à la longueur d'onde minimale du

signal de la source λmin. On a généralement :

/ 20minz (2-11)

La discrétisation dans le domaine temporel est également effectuée. De façon similaire à la

discrétisation de l'espace, les tensions et courants sont calculés en des points alternés pour le

temps, Figure 2.2.


44

2.3.2.2. Calcul des paramètres linéiques

La résolution des équations des télégraphistes permet de déterminer les grandeurs tension

et courant en tout point de la ligne à condition que les paramètres linéiques des éléments

constituant les liaisons soient rigoureusement déterminés. Dans cette perspective, diverses

formulations et méthodes de mesures ont été mises au point pour déterminer les paramètres

linéiques des structures précitées dans l'hypothèse quasi- TEM. Les méthodes de modélisation

actuelles des lignes et câbles peuvent se subdiviser en deux catégories (méthodes numériques

et analytiques).

Les modèles utilisant des techniques dites numériques, c'est-à-dire basées sur une

discrétisation du problème avant la résolution. L‟avantage de cette solution est qu‟on peut

étudier n‟importe quelle structure de lignes et ceci quelle que soit sa complexité. Aux erreurs

de modélisation près, principalement liées au maillage de la structure, le modèle numérique

représente généralement assez bien la structure réelle.

Les méthodes analytiques ne sont valables que pour des géométries simples, où on dispose

des formulations analytiques. Elles permettent lorsque certaines conditions de géométrie sont

réunies, par exemple une forme cylindrique des conducteurs, de trouver des expressions

littérales plus simples, donc plus faciles à programmer et avec un temps d'entrée de données et

de calculs très rapide. En outre, les méthodes analytiques sont moins lourdes à mettre en

œuvre et s'intègrent facilement dans d'autres codes de calcul de lignes et câbles.

Afin d‟étudier la propagation le long d‟une ligne de transmission simple, la ligne bifilaire

(SKU 02301.R5.02) est considérée. Le câble est très similaire du point de vue de l‟impédance

à de nombreux types de câbles dans l‟aéronautique [GRIF 06].

Figure 2.3 : Ligne bifilaire


45

Le câble est composé de deux conducteurs entourés par un isolant en PVC avec une

permittivité relative de εr = 4 (Figure 2.3).

Les dimensions du câble sont données dans le Tableau 2.1.

Tableau 2.1 : Les dimensions du câble

Dimensions du câble (mm)

Largueur 5,35

Hauteur 2,60

Diamètre (a) 1,00

Epaisseur de l‟isolant sur le bord horizontal 1,14

épaisseur de l'isolant sur le bord vertical 0,76

La distance entre les bords conducteurs intérieurs 1,06

La distance entre les deux centres des conducteurs (d) 2,06

Les paramètres de ligne de transmission de ce câble peuvent être calculés analytiquement

[ULAB 99] :

2

ln 12 2

d dL

a a

(2-12)

2

ln 12 2

C

d d

a a

(2-13)

Les valeurs de a et d conduisent à :

C = 1.0755.10-10

F/m

L = 0.67µH/m

μ est la perméabilité magnétique (μ = μ 0 μ r , μ 0=4π×10-7

H/m), μ r et la perméabilité relative.

ε est la permittivité électrique, (ε = ε0εr , ε0 = 8,854×10−12

F/m).

L‟impédance caractéristique de la ligne est donc donnée dans le cas sans perte :

10

0cosh

r

dZ

a

(2-14)

où η0 est l‟impédance caractéristique de l‟espace libre (377 Ω),0 0 0 .

La valeur d'impédance calculée par (2-14) est 79,69 ohms.

2.3.2.3. Sources

La différence entre les méthodes de réflectométrie citées dans le chapitre 1 réside dans le

type de signal qu'elles transmettent sur la ligne de transmission. La réflectométrie dans le

domaine temporel (TDR) utilise une impulsion ou un échelon. La réflectométrie dans le

domaine fréquentiel (FDR) utilise une onde sinusoïdale, et la réflectométrie dans le domaine

temporel par étalement de spectre (SSTDR) utilise un train d'impulsions ou des impulsions


46

modulées. En définissant le signal source, la FDTD nous permet de simuler la réponse de

l‟ensemble de ces méthodes.

Différentes types de source de signal

L‟implémentation des charges de la ligne dans le modèle de propagation se fait au niveau

des nœuds de tension et de courant. Le circuit ouvert est émulé par une charge à haute

impédance (le courant dans le dernier nœud est nul) et le court-circuit par une charge à très

basse impédance (la tension dans le dernier nœud est nulle).

Pour illustrer le phénomène de propagation, trois différents types de signaux de source, une

onde sinusoïdale, une impulsion et un échelon, sont exploités dans notre modèle de base d'une

ligne bifilaire.

a. Fonction sinusoïdale

L‟onde sinusoïdale est implémentée dans la FDTD utilisant l‟équation :

( ) sin(2 )V t Fn t (2-15)

où

F : fréquence de l‟onde sinusoïdale = 1 GHz.

n : incrément du pas de temps

La ligne bifilaire est terminée avec un circuit ouvert qui cause une réflexion positive (Γ = 1).

0 200 400 600 800 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

Temps

Am

pli

tud

e

Onde incidente

Onde réflechit

Figure 2.4 : Réponse temporelle à une excitation sinusoïdale

e


47

0 200 400 600 800 1000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps

Am

pli

tud

e

Impulsion incidente

Impulsion réflechie

b. Impulsion cosinus

L‟impulsion est implémentée dans la FDTD en utilisant l‟équation :

10,5(1 cos(2 )) ( ) & 0

( )

0 ailleurs

Fn t n t n tV t F

(2-16)

Un court circuit (Γ = -1) est considéré ici au bout de la ligne. La Figure 2.5 montre la tension

à l‟entrée de la ligne en fonction du temps. L‟impulsion réfléchie de signe opposé montre

l‟effet du court circuit.

c. Fonction d’échelon

La fonction d‟échelon est implémentée dans la FDTD utilisant l‟expression :

0 t 0( )

1 t 0V t

(2-17)

Figure 2.5 : Réponse temporelle à une excitation impulsionnelle

t

V(t)


48

La source ne dépend pas de la fréquence. Cette source a un spectre large et cause des effets de

dispersion dans la FDTD. Ce signal est filtré par un filtre passe-bas à une fréquence maximum

de 1 GHz afin de réduire les effets de dispersion.

Pour une ligne en circuit ouvert (Γ = 1), la tension totale sur la ligne de transmission après la

réflexion est le double de la tension incidente, Figure 2.6.

La source d‟excitation utilisée dans la suite de cette thèse est l‟impulsion cosinus. L‟avantage

de cette source par rapport à l‟échelon est que la réponse obtenue n‟a pas besoin d‟un filtre.

Son avantage par rapport à la fonction sinusoïdale est sa sensibilité aux petites variations

d‟impédance. Elle est donc la mieux adaptée pour la réflectométrie dans le domaine temporel.

2.3.3. FDTD pour les réseaux filaires

Analyser des lignes simples est important mais dans les environnements réels, comme

l‟automobile ou l‟aéronautique, où tous les câbles font partie de réseaux. La FDTD offre la

solution idéale pour une telle analyse.

L‟apparition et le développement croissant des systèmes interactifs ont nécessité de mettre en

place des réseaux de communication de topologies plus ou moins complexes. Nous sommes

bien loin par exemple du simple câble qui relie une pile électrique à une ampoule.

Aujourd‟hui, un réseau filaire interconnecte plusieurs dizaines voire plusieurs centaines de

systèmes entre eux. Les réseaux filaires sont constitués d‟un ensemble de câbles, en général

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Temps

Am

pli

tud

eFin de la ligne

Début de la ligne

Onde incidente et réflechie

Figure 2.6 : Réponse temporelle à une excitation d’échelon


49

de même type, interconnectés entre eux suivant des normes de topologie bien définies, Figure

2.7.

Il est nécessaire d'étudier ces réseaux complexes et leur réponse dans le domaine temporel et

la méthode FDTD peut être utilisée pour cette analyse.

Le réseau le plus simple qu‟on peut rencontrer est le réseau en Y, Figure 2.8. Le réseau en Y

peut parfois être appelé réseau en T. Tous les phénomènes que nous allons observer lors de

cette étude sont généralisables à toutes les autres topologies de réseaux plus complexes.

La FDTD est utilisée de la même façon que dans la partie précédente en ce qui concerne

l‟application des conditions aux limites au niveau des jonctions.

Le réseau filaire en Y, (Figure 2.8), est composé de trois tronçons de ligne L1, L2 et L3 formant

une jonction J. Cette jonction J provoque par construction une discontinuité d‟impédance

« naturelle » du réseau. Considérons un signal incident Vincident se propageant dans le réseau Y.

Quand il arrive à la jonction J il observe une impédance de (Z2 || Z3). Cette combinaison

parallèle est considérée comme une impédance de charge et le coefficient de réflexion à cette

jonction peut être calculé en utilisant l‟équation (2-18), où Z0 représente l‟impédance

caractéristique de la ligne, et Z l‟impédance de la charge (impédance à la jonction).

Figure 2.7 : Topologies de réseaux filaires

Figure 2.8 : Réseau en Y

Etoile Anneau

Arbre Bus

L1

L2

Z3

J

Vincident Z2

Z1 Vz1 Iz1+1/2

Vz2 Iz2+1/2

Vz3 Iz3+1/2

L3


50

0

0

-réfléchitJ

incident

V Z Z

V Z Z

(2-18)

Si les tronçons de câbles sont de même impédance caractéristique (Z0 = 2Z), le coefficient de

réflexion ΓJ au niveau de la jonction sera donné par :

0

0

- 1

3

réfléchitJ

incident

V Z Z

V Z Z

(2-19)

La valeur de Z est égale à 0 pour une charge de type court-circuit et est égale à une valeur

infinie pour une charge de type circuit ouvert. Pour une jonction, la valeur de Z dépend du

nombre de branches à la jonction. Si les lignes sont d'une impédance égale, cette valeur sera

égale à Z0/n (association en parallèle de lignes) où n est le nombre de branches présentes à la

jonction. L'équation (2-20) donne la relation entre le coefficient de réflexion à la jonction et le

nombre de branches présentes à cette jonction.

00

00

--1

1

ZZ

nnZ n

Zn

(2-20)

Lorsque les lignes ont des impédances inégales, l'équation (2-20) n'est plus valable pour

déterminer le coefficient de réflexion. La valeur de Z dans ces cas doit être évaluée en prenant

les impédances individuelles en considération. La complexité de ce problème augmente avec

l'augmentation du nombre d'étages dans le réseau.

Quand les impédances sont égales, la même tension est transmise dans les deux branches,

mais le courant est divisé entre les deux branches. Les deux nouvelles équations à implanter

au niveau de la jonction est :

Vz1= Vz2= Vz3 (2-21)

Iz1+1/2 = Iz2+1/2 + Iz3+1 /2 (2-22)

On peut généraliser de la façon suivante :

La tension dans le dernier nœud de la branche principale est égale à la tension dans le premier

nœud des branches secondaires. Le courant dans le dernier nœud de la branche principale est

égal à la somme des courants dans les premiers nœuds des branches secondaires.

Pour simuler le réseau avec la FDTD, la branche principale et les deux branches secondaire L2

et L3 sont définies comme une ligne simple. Les nouvelles conditions aux limites, équations

(2-21) et (2-22) sont implantées.


51

3.3.3.1. Analyse du réseau en Y avec désadaptation des tronçons secondaires

Considérons un réseau filaire en Y constitué à partir de câbles d‟impédance caractéristique

50 ohms. Nous supposons que chaque tronçon est parfaitement identique du point de vue de

ses paramètres primaires. Nous injectons une impulsion de tension au port d‟entrée du tronçon

L1, les extrémités des tronçons L2 et L3 pourront être chargées soit par un circuit ouvert (CO)

soit par un court-circuit (CC), Figure 2.9. Le générateur d‟impulsions est adapté à

l‟impédance caractéristique du câble coaxial.

Le signal injecté est une impulsion (Figure 2.5) de largeur de bande B = 300 MHz. Ce signal

large bande a été choisi pour avoir une bonne résolution temporelle afin de distinguer chaque

impulsion du réflectogramme. L‟impulsion va se propager le long du tronçon L1 jusqu'à

rencontrer la discontinuité d‟impédance au niveau de la jonction J. Le tiers de l‟énergie

réfléchie vers le plan d‟incidence est alors absorbé par la charge 50 ohms de la source. Au

niveau de la jonction J, l‟impulsion se divise pour se propager dans les tronçons L2 et L3 et se

réfléchit respectivement par les terminaisons (CO ou CC) au bout de ces tronçons. Ces

impulsions réfléchies vont se propager de nouveau vers la jonction J et se diviser

respectivement vers les autres tronçons et ainsi de suite jusqu'à l‟atténuation totale de

l‟impulsion. Les premiers trajets sont représentés en Figure 2.9. Une telle topologie inclut

donc un nombre de chemins multiples et le réflectogramme peut devenir très vite difficile à

interpréter. Les différents chemins possibles à travers le réseau en Y sont les suivants :

L1

L1 + L2 , L1 + 2L2 , L1 + 3L2,...,L1 + nL2 : chemins multiples dans le tronçon L2

L1 + L3 , L1 + 2L3 , L1 + 3L3,...,L1 + mL3 : chemins multiples dans le tronçon L3

L1 + L2 + L3 +,..., L1 + pL2 + qL3 : chemins multiples dans le tronçon L2 et L3

n, m, p et q sont des entiers positifs non nuls

Le réflectogramme associé à un réseau en Y fait apparaître une multitude de pics atténués et

retardés suivant le chemin parcouru. L‟ordre d‟apparition des différents pics dépend des

longueurs de chaque tronçon mais dans le cas général, le premier pic correspondra toujours à

la longueur L1 et le second pic correspondra toujours à la longueur L1 + L2 si L2 est inférieur à

L3 ce que nous supposerons par la suite. Le pic ou les pics qui suivent dépendent des

Figure 2.9. Chemins multiple dans un réseau en Y

J

L2

L3

L1

-1/3

2/3

Source

2/3

Circuit Ouvert (CO)

Court Circuit (CC)

Circuit Ouvert (CO)

Court Circuit (CC)


52

longueurs L2 et L3. Si L2 est très petit devant L3, alors l‟impulsion a le temps de parcourir

plusieurs allers-retours dans le tronçon L2 avant que l‟impulsion n‟ait fait au moins un seul

aller-retour dans le tronçon L3. Cela veut dire que l‟on verra apparaître plusieurs pics qui

correspondront à la combinaison L1 + nL2 avant de voir apparaître le premier pic

correspondant à L1 + L3.

Nous pouvons donc considérer deux cas de figure :

1er

cas : L3 > 2L2

Nous étudions, le réseau filaire en Y dont les dimensions sont les suivantes :

L1 = 20 cm, L2 = 20 cm et L3 =70 cm.

Les tronçons secondaires L2 et L3 sont chargés par un circuit ouvert ( 13,2 )

La Figure 2.10 représente des résultats de simulations par FDTD du réseau en Y. Le premier

pic positif correspond à l‟impulsion injectée dans le réseau. Le pic négatif qui suit correspond

à la réflexion de l‟impulsion sur la jonction J donnant ainsi la longueur du tronçon L1 (L1 = 20

cm). Ensuite, nous observons un pic correspondant au chemin L1 + L2 (L1 + L2 = 40 cm). Ce

pic est positif à cause de la terminaison du tronçon L2 ( 12 ). Nous voyons ensuite deux

impulsions d‟amplitude très réduite correspondant aux chemins multiples L1 + nL2 (L1 + 2L2 =

60 cm) et L1 + 3L2 = 80 cm). Ensuite apparaît un pic positif correspondant au chemin parcouru

dans le tronçon L1 + L3 (L1 + L3 = 90 cm). D‟autres pics se succèdent ensuite correspondant à

d‟autres chemins multiples dans le réseau.

Figure 2.10. Réflectogramme correspondant au réseau en Y de dimensions L1 = 20 cm, L2 = 20 cm et

L3 = 70 cm, dont les tronçons secondaires sont chargés par un circuit ouvert.


53

2ème

cas : L1 =L2 =L3

Supposons un cas particulier où le réseau filaire en Y est symétrique, c'est-à-dire que L1 = L2

= L3 = 20 cm et que l‟extrémité des tronçons L2 et L3 est chargée par un circuit ouvert. Le

réflectogramme associé à ce type de topologie est représenté en Figure 2.12.

Le premier pic négatif indique la longueur du tronçon L1 et le second pic apporte à la fois une

information sur la longueur du tronçon L2 et du tronçon L3. Nous pouvons remarquer la forte

amplitude de ce pic qui n‟est autre que la combinaison additive de l‟impulsion réfléchie par la

terminaison ( 12 ) du tronçon L2 avec l‟impulsion réfléchie par la terminaison ( 13 ) du

tronçon L3.

Une analyse plus approfondie montre que les autres pics peuvent correspondre à plusieurs

chemins multiples rendant l‟analyse très ambiguë. Le réflectogramme de la Figure 2.11

présente le cas où les deux pics provenant des tronçons L2 et L3 provoquent une combinaison

soustractive qui annule le pic donnant une information sur L2 et L3. Nous obtenons ce type de

réflectogramme lorsque l‟extrémité du tronçon L2 est chargée par un circuit ouvert (Γ = 1) et

l‟extrémité du tronçon L3 chargée par un court-circuit (Γ = -1). Le premier pic négatif indique

que le tronçon L1 a une longueur de 20 cm. Le deuxième pic négatif localisé à L1 + L2 + L3 =

60 cm permet de déterminer la longueur des tronçons L2 et L3 connaissant L1 et la symétrie du

réseau.

Figure 2.11. Réflectogramme correspondant au réseau en Y de dimensions L1 = L2

= L3 = 20 cm, dont les tronçons secondaires sont chargés par un circuit ouvert.


54

50 Ω

L1

L2

L3

Légère désadaptation

2.3.3.2. Analyse du réseau en Y avec adaptation des tronçons secondaires

Dans cette partie, nous allons analyser ce réseau lorsque tous les tronçons sont adaptés par

une terminaison égale à leur impédance caractéristique Zc. L‟adaptation des tronçons

secondaires a pour but de ne pas avoir de signaux réfléchis dans les tronçons secondaires.

Le réflectogramme de la Figure 2.12 est celui du réseau filaire en Y dont la topologie

correspond aux dimensions suivantes : L1 = 30 cm, L2 = 20 cm et L3 = 43 cm.

L‟extrémité des tronçons L2 et L3 est adaptée sur une charge 50 ohms. Le seul signal réfléchi

que l‟on observe dans cette configuration est l‟impulsion négative due à la réflexion de

l‟impulsion incidente sur la jonction J. Le réflectogramme nous renseigne donc uniquement

sur la longueur L1 du réseau. Les charges 50 ohms absorbent les impulsions qui se propagent

dans les tronçons L2 et L3. Cependant, nous pouvons apercevoir de faibles échos dus à une

légère désadaptation de la ligne. Dans les cas pratiques, nous pourrions nous servir de ces

petits échos pour déterminer les longueurs des tronçons L2 et L3.

2.4. Modélisation de défauts filaires

Pour une grande partie des lignes de transmission, l‟expression analytique de l‟impédance

(ou les paramètres électriques) est connue. Mais pour des cas généraux ou en présence de

déformations locales ou de changement de structure ou dégradations, les relations analytiques

ne sont plus valables. Dans ce cas, seule une solution numérique permet d‟avoir l‟impédance

du défaut.

Dans cette partie de ce chapitre nous rappelons la loi de l‟électrostatique, et de la

magnétostatique afin de calculer les paramètres électriques, ensuite, nous décrivons la

Figure 2.12 : Réponse du réseau en Y dans le cas où les tronçons secondaires sont

adaptés. L1 = 30 cm, L2 = 20 cm et L3 = 43 cm.


55

méthode des éléments finis (MEF) et les différentes étapes de la modélisation par MEF, et à la

fin, nous présentons les résultats de simulation de défauts filaires caractéristiques et leurs

effets sur la propagation.

2.4.1. Rappel des lois électrostatique

L‟équation de Poisson et l'équation de Laplace décrivent la distribution du potentiel

électrique. L‟équation de Poisson est une équation du second ordre aux dérivées partielles et,

pour notre cas, elle est appliquée en deux dimensions.

q

y

V

x

VV

2

2

2

22 (2-23)

où V est le potentiel électrique, q est la densité de charge libre, ε est la permittivité du milieu.

L'équation de Laplace est un cas particulier de l'équation de Poisson en l'absence de charges

libres dans le milieu.

02

2

2

22

y

V

x

VV (2-24)

Ces deux équations peuvent être résolues pour déterminer le potentiel électrostatique en

utilisant des méthodes numériques telles que les éléments finis.

Les solutions pour les équations de Laplace et de Poisson sont uniques si les conditions aux

limites sont connues. Ces conditions sont appliquées comme des conditions aux limites de

Dirichlet et / ou des conditions aux limites de Neumann. Dans les conditions de Dirichlet, la

valeur de la fonction est connue à la limite. Dans le cas des conditions de Neumann c‟est le

gradient normal de la fonction qui est connu.

2.4.2. Méthode des éléments finis (MEF)

La première étape de la résolution d‟un problème électrostatique par la MEF est

l‟obtention de la formulation variationnelle du problème.

La résolution de l'équation de Laplace revient à minimiser une fonctionnelle, correspondant à

l'énergie électrostatique emmagasinée dans l'espace. La relation entre la capacité C et

l‟énergie W est donnée par l‟équation :

2

2

WC

V

(2-25)

De même on peut écrire l‟énergie totale W, en fonction du champ électrique . La

détermination du champ permet le calcul de l‟énergie W et par conséquent la détermination

de la capacité C.

L‟énergie électrostatique peut être calculée à partir des valeurs des dérivées du potentiel V

dans toute la région d‟étude, à l‟aide de l‟équation :


56

1 12 .2 2

W d V Vd (2-26)

La deuxième étape de la résolution consiste en la discrétisation du domaine d‟étude Ω en sous

domaines. C‟est le maillage. Les éléments géométriques de ce maillage sont appelés mailles.

Ensuite, il faut choisir une famille de champs locaux, c'est-à-dire à la fois les degrés de liberté

(DL) dans les éléments et les fonctions d‟interpolations qui définissent le champ local. La

maille complétée par ces informations est appelée élément fini.

2.4.3. Modélisation éléments finis sous ANSYS®

Pour la modélisation numérique de nos structures, nous avons utilisé le logiciel de

simulation MEF ANSYS®

. Le logiciel ANSYS®

est un simulateur par éléments finis, multi-

physique (problèmes d‟électromagnétisme, de mécanique, de thermique,…etc.) ; il existe des

modules pour chaque domaine physique incluant des fonctions spécifiques au domaine. Dans

notre cas, nous avons utilisé le module Électrostatique.


57

2.4.4. Application de la MEF pour des défauts de câblage

Afin de modéliser des défauts de câblage, la ligne bifilaire illustrée dans la Figure 2.3 est

considérée comme exemple.

L‟impédance caractéristique du câble bifilaire sans défaut (sain) peut être déterminée de deux

façons:

Figure 2.13: les différentes étapes de modélisation par ANSYS®

Préprocesseur

Solution

Post-processeur

Définition du domaine physique

Définition des types d‟éléments utilisés

Définition des propriétés physiques des

matériaux

Création de la géométrie

Attribution des matériaux aux différentes entités

géométriques

Maillage du domaine d‟étude

Application des sources (Tension V)

Application des conditions aux limites

Résolution du problème

Affichage des résultats

Calcul des grandeurs désirées, C.

Création des fichiers de sortie


58

- Solution analytique

Nous avons vu dans la section (2.3.2.2) dans ce chapitre, que la valeur analytique de

l‟impédance caractéristique de la ligne bifilaire de la Figure (2.3) est 79,69 ohms.

- Solution numérique

Dans un premier temps la méthode EF est utilisée pour calculer l‟impédance

caractéristique du câble sain (sans défauts). Ceci permet de valider la mise en œuvre de la

MEF (logiciel ANSYS®

) sur un cas où l‟on dispose d‟une solution de référence. Ensuite la

MEF est utilisé pour déterminer les caractéristiques de défauts de câblage les plus familiers.

Nous avons maillé la structure avec des éléments triangulaires du premier ordre. Dans la

modélisation par éléments finis, la taille des éléments a une importance capitale. La précision

de la simulation est liée au nombre d‟éléments.

La Figure 2.14 montre une coupe 2D de la ligne bifilaire à étudier :

Figure 2.14 : Vue en coupe d’une ligne bifilaire (a) sans défauts et le maillage du domaine d’étude (b)

(a) (b)

Figure 2.15 : Direction du champ électrique (a) et la distribution du potentiel (b)

(a) (b)


59

2.4.4.1. L’impédance caractéristique de la ligne bifilaire avec la MEF

Le calcul de l‟impédance caractéristique d‟une ligne bifilaire peut se limiter au calcul de la

capacité. L‟expression de l‟impédance devient donc :

0

0

1

CCcZ

(2-27)

où c est la vitesse de propagation dans le vide, c = 3x108 m/s et C0 la capacité par unité de

longueur en absence du diélectrique. Il faut juste calculer la capacité en deux étapes ; avec le

diélectrique et sans le diélectrique en utilisant l‟équation [POZA 98] :

V

QC

(2-28)

où Q est la charge par unité de longueur et V le potentiel du conducteur. La charge Q est

calculée en utilisant la loi de Gauss.

L'impédance caractéristique ainsi calculée est de 78,63 ohms ce qui est proche de la valeur

analytique de 79,69 ohms, La valeur de l‟impédance trouvée avec une autre méthode

numérique (différence finies) est 81,85 ohms [GRIF 06]. La petite différence entre ces deux

valeurs (MEF et Analytique) est probablement due aux maillages.

2.4.4.2. Modélisation de différents types de défauts

Les défauts de câblage de type « changement d‟impédance » (ou non francs ou “Soft fault”

en anglais), sont un petit endommagement de l'isolant ou du conducteur. Ils sont généralement

causés par le vieillissement, le frottement contre d‟autres fils ou structures, ou bien encore par

des dégâts provoqués par entretien. Avec le vieillissement des câbles, l'isolant peut devenir

cassant et se fissurer facilement. Lorsque les câbles frottent contre une surface rugueuse,

l'isolant peut être coupé ou endommagé. L'humidité détériore également l'isolation et dégrade

les performances des câbles.

La gravité d‟un défaut dépend de plusieurs facteurs : la quantité d‟isolant endommagé, les

conducteurs endommagés, la présence d'humidité, et la longueur du défaut. L‟effet de la

longueur d‟un défaut sur la détection sera détaillé dans la prochaine partie. La Figure 2.16,

montre des vues en coupe et sections maillées EF des différents exemples de défauts qui

peuvent affecter une ligne bifilaire.


60

Coupure de 0,45 mm. Maillage du domaine

(b)

Coupure de 0,76 mm le conducteur n‟est pas

endommagé. Maillage du domaine (c)

Coupure de 0,76 mm le conducteur n‟est pas

endommagé. Maillage du domaine d‟étude (e)


d‟étude (g)

Eau autour du deuxième conducteur dénudé. Maillage du domaine

d‟étude (h)

Absence de l‟isolant. Maillage du domaine

d‟étude (f)


(d)

Figure 2.16 : Les différents types de défauts


61

Tableau 2.2 : Capacité linéique, Impédance caractéristique et coefficient de réflexion des défauts

Défauts Capacité

pF/mètre

Impédance

caractéristique (Ω)

Coefficient de

réflexion ( )

(a) Sans défauts 64,21 78,63 0

(b) Coupure de 0,45 mm à coté 64,19 78,64 0,000063

(c) Coupure de 0,76 mm à coté 63,88 78,86 0,0015

(d) Coupure de 0,45 mm en haut 64,08 78,70 0,00044

(e) Coupure de 0,76 mm en haut 63,48 79,07 0,0028

(f) Absence de l‟isolant 45,34 93,58 0,0868

(g) Coupure de 1,26 mm 63,12 79,45 0,0052

(h) Eau autour du conducteur 249,6 27,14 -0,235

Court circuit -1

Circuit ouvert 1

Le Tableau 2.2 montre que, pour tous les défauts d‟isolation (coupures dans le diélectrique),

le changement d‟impédance est inférieur à 1%, ce qui fait un coefficient de réflexion très

faible.

Ceci rend la détection difficile dans des conditions réelles en présence de bruit. Les plus

grands coefficients de réflexion sont dus à l‟isolation du diélectrique du deuxième conducteur

et à la présence de l‟eau sur le deuxième conducteur isolé. Pour le premier défaut le

changement d‟impédance est à peu près de 50 ohms, c'est-à-dire 63%.

Quand il n‟y a pas de diélectrique sur le deuxième conducteur (εr = 1), le champ électrique est

important, ce qui fait une impédance très grande.

Pour bien comprendre ces résultats de calcul par MEF (validation), on considère l‟équation

(2-29), pour le calcul de l‟impédance d‟une ligne bifilaire [ULAB 99].

)ln(120

0a

dZ

r

(2-29)

Cette équation considère que les deux conducteurs sont entourés par un isolant qui est présent

tout autour de la région de simulation, comme montre la Figure 2.17.

Figure 2.17 : L’absence du diélectrique

Conducteurs

Isolant


62

À partir de l‟équation (2-30) et sachant que εr = 4, on obtient :

Z0air = 2.Z0PVC (2-30)

où Z0air est l‟impédance caractéristique de l‟espace libre, et Z0PVC est l‟impédance

caractéristique quand εr=4.

L‟impédance calculée en utilisant la MEF (avec εr = 1 de l‟air) est égale à 142,9 ohms, et

comme εr = 4 pour le diélectrique on obtient une impédance de 71,41 ohms. Donc la valeur

obtenue par l‟équation (2-30) et celle calculé par la MEF sont très proches.

En présence d‟humidité (l‟épaisseur de la couche d‟eau est 0,025 mm), la valeur de

l‟impédance est due à la permittivité de l‟eau εr = 80.

2.4.5. Analyse d’une ligne avec un défaut

Dans un premier temps on analyse une ligne présentant un défaut (non franc) représenté

par un changement d‟impédance. L‟impédance caractéristique de la ligne est 50 ohms, et

l‟impédance du défaut est de 25 ohms. La longueur de la ligne est 1 mètre ce qui correspond

en termes de la méthode FDTD à 200 nœuds, et le défaut = 5 cm équivalent à 10 nœuds, la

Figure 2.18.

Avant de simuler cette configuration, il est nécessaire de comprendre le défaut et sa réponse

au signal incident. La Figure 2.19 montre le défaut et les réflexions multiples.

V incident

Vtransmise Vréfléchie

Défaut ZC ZD

ZC = 50 Ω ZD

l = 1 mètre

0,30 m 0,25 m

Figure 2.18 : Câble avec un défaut et les impédances qui correspondent.

Interface -1- Interface -2-

Figure 2.19 : Réflexions multiples dans le défaut


63

A chaque interface il y a un changement d'impédance. À l'interface -1- le signal incident

"observe" un changement d'impédance (Zc à ZD) et se réfléchie. En utilisant l'équation (2-31)

et (2-32), le coefficient de réflexion et la tension réfléchit sont calculés. Une fraction du signal

se propage à travers le défaut avec un coefficient de transmission (T ) donnée par l‟expression

(2-33).

réfléchit

incident

V

V (2-31)

D C

D C

Z Z

Z Z

(2-32)

1T (2-33)

Le signal transmis à travers le défaut est donné par l‟équation :

transmise incidentV V T (2-34)

Vtransmise se propage à travers le défaut et atteint l‟interface -2-, où il « observe » également un

changement d'impédance (ZDéfaut à Zc), et se réfléchit. De multiples réflexions se produisent

ensuite au sein du défaut. La longueur du défaut est un facteur très important dans la forme de

la réponse. Pour les défauts de petite longueur, un phénomène de recouvrements (overlapping

en anglais) entre la réflexion principale et les réflexions secondaires et les transmissions peut

s‟observer.

Utilisant les équations (2-32), (2-33) et (2-34) et la Figure 2.19 nous pouvons tracer le

diagramme de ce modèle, Figure 2.20.

Vi=1

-0.333

0.296

0.667

0.221

0.073

0.8893

Interface-1- Interface-2-

Figure 2.20: Diagramme des réflexions multiples de la ligne de transmission de la figure 3.7


64

Les Figures 2.21.a et 2.21.b représentent respectivement la réponse de la ligne de la Figure

3.7 avec un défaut de 25 ohms, et un défaut avec des impédances variables. Dans la première

Figure on voit clairement l‟effet des deux interfaces sur la réponse. La première réponse

(interface -1-) à un signe négatif dû au coefficient de réflexion (Zc > ZD). Quant la deuxième

réponse (interface -2-) le coefficient de réflexion est positif (ZD < Zc). La deuxième Figure

(2.21.b) illustre ce phénomène clairement.

2.4.6. Analyse d’une ligne avec deux défauts

Une autre configuration impliquant deux défauts non francs est considérée (Figure 2.22) :

la ligne a une longueur 1,66m, une impédance de 50 ohms et est affectée par deux défauts

d‟impédance 25 ohms. Afin de valider nos résultats de simulation, nous traçons d‟abord le

diagramme des réflexions sur les différentes interfaces des défauts (Figure 2.22 et 2.23) puis

nous le comparons avec la réponse de la ligne utilisant la FDTD.

Figure 2.21.a : Réponse de la ligne avec un

défaut de 25 ohms.

Figure 2.21.b : Réponse de la ligne avec un

défaut de différentes valeurs d’impédance.

Figure 2.22 : Câble avec deux défauts et les impédances correspondantes.

ZC = 25 Ω ZD = 25 Ω

ZC = 50 Ω

l = 1,66 mètre


65

Vi=1

-0,333

0,296

-0,2307

0,2006

0,0974

0,667

0,221

0,073

0,8893

-0,296

-0,173

0,057

0,1505

0,0501

0,01668

0,1959

0,1974

0,01011

0,084

0,593

0,197

0,198

0,065

0,7904

Sortie

Adaptée

Interface -1- Interface -2- Interface -3- Interface -4-

Source

-1/3 1/3 -1/3 1/3 -1/3 1/3 -1/3 1/3

50 Ω 25 Ω 50 Ω 25 Ω 50 Ω

Figure 2.23 : Coefficients de réflexion à chaque interface dus aux défauts.

Figure 2.24 : Diagramme des réflexions multiples sur la ligne de transmission.


66

Premier Défaut Deuxième Défaut

La Figure 2.25 montre l‟effet des défauts sur la réponse de la ligne. Les positions et

amplitudes des pics représentatifs des défauts correspondent bien à ceux du diagramme des

réflexions.

2.5. Multiconducteurs

2.5.1. Définitions

Les lignes multifilaires sont composées de N fils et d‟une référence, séparés par un

diélectrique, Figure 2.26.

Figure 2.25 : Réponse de la ligne avec deux défauts de 25 Ohms.

Figure 2.26. Exemple de ligne multifilaire


67

2.5.2. Méthodes classiques de simulation des lignes multifilaires

Il existe deux grandes méthodes de simulation des lignes et des câbles multifilaires en

régime transitoire. On distingue d'une part, les méthodes temporelles dans lesquelles on

discrétise les équations de propagation pour obtenir des équations algébriques plus simples à

résoudre et d'autre part, les méthodes fréquentielles qui utilisent la transformation de Fourier

ou de Laplace à l'aide des techniques telles que la convolution, l'échantillonnage des fonctions

et, l'utilisation de la transformée en z. Dans les premières, il est aisé de prendre en compte les

éléments non linéaires mais, on y maîtrise mal la prise en compte de la variation fréquentielle

des paramètres. Par contre, dans les transformations de type intégral, on peut tenir compte des

variations fréquentielles des paramètres alors que les non linéarités n'y sont pas admises. Le

passage du domaine fréquentiel au domaine temporel peut se faire à l'aide de la transformée

inverse de Laplace [AHME 94] ou par l'utilisation du théorème de convolution.

Parmi les méthodes temporelles existantes, nous citons les méthodes basées sur le formalisme

des variables d‟état [PAUL 94] (voir annexe). Dans notre étude, la méthode des différences

finies dans le domaine temporel à été choisie. Mais avant de présenter la solution adoptée,

nous rappelons le modèle des lignes multifilaires.

2.5.3. Propagation sur une ligne multifilaire

La condition d‟homogénéité des conducteurs permet de procéder à un découpage de la

ligne suivant l‟axe de propagation z. Il est ainsi possible de discrétiser la structure d‟étude en

mailles élémentaires de longueur Δz. Le schéma équivalent d‟une telle maille doit prendre en

compte les différents paramètres linéiques pour un ensemble de (N+1) conducteurs. On

aboutit alors à la modélisation suivante :

Figure 2.27. Schéma électrique équivalent d’une ligne de transmission multifilaire à (N + 1)

conducteurs

z

+

-

I1(z,t)

L11Δz

L12Δz

C11Δz

z + Δz Δz

V2(z,t)

V1(z,t)

I2(z,t)

LNNΔz IN(z,t) IN(z + Δz,t)

I2(z + Δz,t)

I1(z + Δz,t)

V2(z+ Δz,t)

V1(z+ Δz,t)

+

+

-

+

L22Δz

R1Δz

R2Δz

RNΔz

G11Δz

G12Δz

C12Δz

C22Δz

G22Δz


68

Appliquant les lois de circuit sur le schéma équivalent de la Figure 2.27, on obtient :

1 2

1 1 1 1 11 12 1

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) i N

i N

I z t I z tI z t I z tV z t R zI z t V z z t L z L z L z L z

t t t t

(2-35)

1 1 11 1 12 1 2 11 1

12 1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ( , )

( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

in i n

iN i N

I z z t I z t G zV z t G z V z t V z t G z V z t V z t C z V z tt

C z V z t V z t C z V z t V z tt t

(2-36)

A partir des équations (2-35) et (2-36) et en prenant la limite Δz→0, on obtient les équations

différentielles décrivant l‟évolution de la tension et du courant le long de la ligne de

transmission multiconducteurs :

[ ( , )] -[ ][ ( , )]-[ ] [ ( , )]V z t R I z t L I z tz t

(2-37)

[ ( , )] -[ ][ ( , )]-[ ] [ ( , )]I z t G V z t C V z tz t

(2-38)

Nous définissons les matrices suivantes :

1

2

( , )

( , )

.[ ( , )]

( , )

.

( , )

i

N

V z t

V z t

V z tV z t

V z t

1

2

( , )

( , )

.[ ( , )]

( , )

.

( , )

i

N

I z t

I z t

I z tI z t

I z t

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

[ ]

i N

i N

i i ii iN

N N Ni NN

R R R R

R R R R

RR R R R

R R R R

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

[ ]

i N

i N

i i ii iN

N N Ni NN

L L L L

L L L L

LL L L L

L L L L

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

[ ]

i N

i N

i i ii iN

N N Ni NN

C C C C

C C C C

CC C C C

C C C C

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

[ ]

i N

i N

i i ii iN

N N Ni NN

G G G G

G G G G

GG G G G

G G G G

où [R], [L], [C] et [G] sont les matrices de dimension (NxN) des paramètres par unité de

longueur, représentant la résistance, l‟inductance, la capacité et la conductance

respectivement. Elles contiennent implicitement toutes les informations concernant la section

transverse qui permet de caractériser une structure multiconductrice. Les coefficients de ces


69

différentes matrices sont obtenus, soit par des formules simples, soit par des méthodes de

calcul plus ou moins complexes.

[V(z,t)] et [I(z,t)] représentent respectivement le vecteur colonne des N tensions le long des

différentes lignes par rapport au conducteur de référence, et le vecteur courant des N

conducteurs. Comme le conducteur de référence constitue le conducteur « de retour », il n‟est

pas calculé car il est égal, au signe près, à la somme des courants sur les autres fils (les

conducteurs « d‟aller »).

Les éléments L et C sont déterminés par la résolution de l‟équation de Laplace ou de Poisson.

Dans la littérature [PAUL 94], des formules analytiques sont établies dans le cas d‟un

diélectrique homogène et isotrope.

Dans les matrices des capacités et inductances, les termes Cij, Lij avec i ≠ j représentent les

capacités et inductances mutuelles entre les conducteurs i et j. Les termes de la diagonale Cii

et Lii modélisent les capacités et inductances propres du conducteur i par rapport à un plan de

référence. Avec i = 1,2,..i,..,N et j = 1,2,..,i,..,N.

La matrice [L] traduit le flux magnétique total par unité de longueur traversant le circuit formé

par une ligne et la ligne de référence.

Dans un milieu diélectrique homogène et pour un mode de propagation quasi-TEM, la matrice

des inductances [L] et la matrice des capacités [C] sont liées par la relation [PAUL 94] :

[ ][ ] [ ]L C I (2-39)

où μ est la perméabilité du milieu, ε sa permittivité et [I] est la matrice d‟identité. Cette

relation nous permet de déduire la matrice des inductances de la matrice des capacités ou

l‟inverse.

2.5.4. Solution numérique

Afin de transformer ces équations différentielles (2-37) et (2-38) en équations algébriques,

nous utilisons la méthode des différences finies dans le domaine temporel. La discrétisation

aux différences centrées de ces équations aux dérivées partielles temporelles nous donne :

(2-40)

(2-41)

1 1 3/2 1/2 3/2 1/2

1 [ ] [ ] 02

n n n n n n

k k k k k kV V I I I I

L Rz t

1/2 1/2 1 1

1 [ ] [ ] 02

n n n n n n

k k k k k kI I V V V V

C Gz t


70

Dans le cas sans pertes où R = G ≈ 0, on obtient les équations récurrentes :

(2-42)

(2-43)

(2-44)

(2-45)

2.5.4.1. Distribution des paramètres linéiques

La description d‟une ligne de transmission non uniforme nécessite une connaissance

précise de la variation de la position des conducteurs le long de l‟axe z. En pratique, dans le

cas de torons industriels, la position de chaque conducteur n‟est pas connue précisément

(torons aéronautiques, automobiles) ; elle est liée au procédé de fabrication.

On trouve dans la littérature deux méthodes de génération de torons basées soit sur un

principe fractal de découpage entre deux extrémités [SALI 99], soit sur le déplacement des

fils dans une grille ou sur un principe de détermination de zones de voisinage pour placer les

câbles [RIBI 01]. Ces approches donnent des structures de câbles assez rigides et semblent

avoir des problèmes de convergence pour un grand nombre de fils et des écartements réduits

entre fils.

3/2 1/2 1 11 1[ ]

n n n nI I V Vk k k kL

t z

1 1/2 1/21 1[ ]

n n n nV V I Ik k k kC

t z

3/2 1/2 1 1 1[ ]1

tn n n nI I L V Vnk k kz

1 1 1/2 1/2[ ]1

tn n n nV V C I Ik k k kz

Figure 2.28. Paramètres propres et mutuels de deux conducteurs au-dessus d’un plan de masse


71

2.5.4.2. Modélisation du torsadage des conducteurs

L'utilisation de la théorie des lignes de transmission suppose que les lignes soient

uniformes. Or il apparaît que la grande majorité des câbles utilisés dans l‟automobile [OLIV

06] est composée de paires torsadées. Ainsi, la hauteur des conducteurs par rapport au plan de

référence varie et les paramètres impédance et admittance évoluent en conséquence. Aussi, les

lignes ne peuvent plus être considérées comme uniformes et les équations énoncées en (2-33)

et (2-34) ne sont plus applicables.

Une technique de prise en compte des torsades tout en conservant une approche par la théorie

des lignes de transmission consiste à modéliser une ligne torsadée par une succession de

lignes uniformes. Cette technique de modélisation utilisée dans [PAUL 79] utilise la théorie

des lignes de transmission uniformes. La ligne torsadée est supposée constituée d'une cascade

de cellules élémentaires de longueur P, situées dans un plan vertical. Chaque cellule

correspond à une torsade.

La Figure 2.29 représente le principe de cette approche. Une torsade est décomposée en

sections élémentaires notées Si.

Dans le code de calcul mis en œuvre pour notre étude, chaque section élémentaire Si peut être

considéré comme une ligne multifilaire de longueur correspondant à la longueur une torsade P

divisée par le nombre de discrétisation possible N, Si = P/N, et composée de deux conducteurs

parallèles.

Néanmoins, pour des lignes de longueur importante, le nombre de cellules devient important

et les temps de calcul engendrés prohibitifs. C'est pourquoi nous modélisons une ligne

torsadée suivant un nombre déterminé de cellules (une vingtaine), et en déduisons des

paramètres linéiques moyens. Ceux-ci sont ensuite utilisés comme valeur moyenne pour une

ligne homogène de longueur quelconque.

Figure 2.29 : Discrétisation d’une paire torsadée

P

Si

Source Charge


72

2.5.5. Réflectométrie des lignes multifilaires

2.5.5.1. Description du dispositif expérimental

Nous décrivons dans cette section les moyens expérimentaux mis en œuvre permettant de

valider notre modèle direct. Pour les mesures effectuées au LGEP : nous disposons

essentiellement de câbles blindés (sans perte) d‟impédance caractéristique de 50 ohms et de

longueurs différentes, de connecteurs pour les court-circuits, circuit ouverts et charges

adaptées (50 ohms) et d‟un analyseur de réseau vectoriel (VNA) pour la réalisation des

mesures des réflectogrammes. L‟analyseur utilisé est ANRITSUMS2024. Cet analyseur

fonctionne sur la plage de fréquences [660 kHz – 4 GHz] avec un balayage de 551 points de

fréquence, ce qui est amplement suffisant pour nos mesures. L‟impédance d‟entrée de

l‟analyseur est 50 ohms.

L‟ensemble est commandé par un PC et par le logiciel LabView. L‟analyseur génère une

tension sinusoïdale à la fréquence voulue grâce à son oscillateur interne. L‟onde se propage

sur la ligne et se réfléchit. Au niveau du port 1, un coupleur directionnel permet de mesurer le

signal réfléchi (Paramètre S11) sans que celui-ci ne soit perturbé par le signal émis par

l‟oscillateur. Le schéma de Figure 2.30 montre ces différents dispositifs expérimentaux.

À partir du coefficient de réflexion fréquentiel et en utilisant la transformée de Fourier

inverse, on obtient la réponse temporelle, équation 2-46. Cette réponse temporelle sera filtrée

avec un filtre passe bas et ensuite corrélée avec la même forme d‟onde d‟excitation que celle

utilisée dans les simulations.

1( ) ( )

2

i tX t X e d

(2-46)

X(t) : réponse temporelle, et X(ω) : réponse fréquentielle.

Réseau de câblage

Analyseur de réseau vectoriel

PC

Figure 2.30: Schéma de dispositif de mesure

Entrée

L1

L2

L3

L4

J


73

Afin de tracer la réponse temporelle ou le réflectogramme on a besoin de connaitre la vitesse

de propagation dans les câbles. Cette vitesse peut être soit calculée analytiquement (si on

connaît les paramètres électriques de la ligne, L et C), soit donnée par le constructeur, ou être

mesurée expérimentalement.

2.5.5.2. Paires torsadées simples

Afin de valider notre modèle pour des lignes multifilaires, nous nous sommes d‟abord

intéressés à un cas simple d‟une paire torsadée (Twisted Wire Pair « TWP »). Cette

configuration est en fait une ligne de transmission simple.

Dans nos simulations, nous supposons que la paire torsadée est parfaite, c'est-à-dire que la

distance entre les deux conducteurs le long de la ligne est fixe.

La Figure 2.31 montre un exemple d‟une paire torsadée d‟impédance caractéristique de 120

ohms, de longueur 1 mètre. Cette longueur, relativement courte, a été choisie de manière à

pouvoir ensuite valider les résultats théoriques grâce à des expérimentations. La ligne est

chargée par une impédance de 50 ohms à l‟entrée, et par un circuit ouvert à l‟autre extrémité.

Dans ce cas, le deuxième conducteur de la paire est considéré comme l‟élément de référence,

pour cela, la configuration est considéré comme une ligne simple et modélises par la Figure

2.32.

Résultats expérimentaux

Les paramètres de la ligne sont calculés pour les caractéristiques suivantes : a = 0,51 mm,

d = 1,17 mm

Figure 2.31 : Schéma d’une paire torsadée

Figure 2.32: Modèle équivalent de la paire torsadée

Circuit

ouvert

50Ω

50Ω 1 mètre

~

Paire torsadée

50Ω

50Ω ~

Ω

I(z,t) I(z+Δz,t) L.Δz

C. Δz V(z,t)

z z+Δz

+

-

+

-

V(z+Δz,t)


74

Les valeurs de L et C sont calculées en utilisant les expressions décrites dans (2-12) et (2-13) :

C = 47,23 pF/m et L = 0,58µH/m

La Figure suivante présente les résultats de la mesure et de la simulation pour le

réflectogramme de la paire torsadée de la Figure 2.31.

La Figure 2.33 montre une bonne similitude entre le réflectogramme fourni par le modèle

FDTD et celui mesuré. Les différences entre les mesures et les simulations sont dues d‟une

part au fait que la distance entre les deux conducteurs n‟est pas tout à fait constante le long de

la ligne, et d‟autre part à la variation de la vitesse de progation en fonction de la fréquence.

Les résultats restent cependant satisfaisants.

A la distance 0 mètre nous remarquons une réflexion d‟amplitude d‟environ 0,4. Ce pic n‟est

autre qu‟une réflexion due à la désadaptation entre l‟impédance caractéristique de la ligne

(120 ohms) et l‟impédance d‟entrée de l‟analyseur (50 ohms), comme le montre l‟équation :

120 500,41

120 50

2.5.5.3. Paire torsadée au dessus d’un plan de masse

En deuxième configuration, nous utilisons la même paire torsadée présentée précédemment,

mais cette fois en présence d‟un plan de masse, Figure 2.34. Dans ce cas la paire torsadée est

considérée multifilaire (Multi-Transmission Line « MTL »).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance(m)

Am

pli

tud

e

Mesure -TWP-

Simulation -TWP-

Figure 2.33: Réflectogrammes correspondant à une paire torsadée

chargée par un circuit ouvert.


75

Il s‟agit de la même configuration que celle présentée dans le premier exemple. La différence

ici est que la référence est le plan de masse au lieu du deuxième conducteur.

La hauteur h de la paire au dessus du plan de masse est définie comme étant la distance entre

la tangente au fil le plus proche du plan, et ce plan.

Dans ce cas, la paire est discrétisée en cellule de longueur P = 5 cm. Chaque cellule P est

divisée en sections Si, Figure 2.35.

Afin de calculer les paramètres linéiques de la paire torsadée, il suffit de les calculer pour les

trois positions (S1, S2, et S3), Figure 2.36.

Les expressions analytiques des paramètres linéiques de chaque position sont données :

0 1 221 12

4ln 1 H/m

4

h hL L

D

12 21

1 2

4F/m

4ln 1

C Ch h

D

11 22

1,2

2F/m

2ln

C Ch

d

1,2011 22

2ln H/m

2

hL L

d

Figure 2.34: Schéma d’une paire torsadée au dessus d’un plan de masse

Figure 2.35: Schéma de discrétisation d’une torsade

Figure 2.36: Vue en coupe des trois sections dans une demi-torsade

S3 S2 S1

p

S1 S2 S3

a

d

h2 h1

Circuit

ouvert

Δ

50 Ω p

50 Ω

1 mètre

h = 5cm ~


76

Afin de calculer les paramètres linéiques dans les trois positions de la paire torsadée, nous

faisons l‟approximation des hauteurs h2 =6 cm et h1 = 6 cm dans les positions S2 et S1

respectivement.

Nous pouvons écrire les équations suivantes qui vont nous permettre de simuler la

propagation :

11/2 1/2

1 11 12 1 1 1

1/2 1/221 222 2 2 2

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)

( 1/ 2) ( 1) ( ) ( 1/ 2)

n n n n

n n n n

I z L L V z V z I zt

L LzI z V z V z I z

11 1/2 1/2

1 11 12 1 1 1

1 1/2 1/221 222 2 2 2

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

( ) ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

n n n n

n n n n

V z C C I z I z V zt

C CzV z I z I z V z


Nous réalisons les mêmes mesures que l‟exemple précédent, dans une bande de fréquences

s‟étendant de 2 MHz à 2 GHz. La paire torsadée est de 1 m de longueur. La source (VNA) a

une impédance d‟entrée de 50 ohms.

Sur la Figure 2.37, nous comparons le réflectogramme obtenu par simulation avec celui

mesuré. Nous pouvons noter la bonne concordance entre les deux réponses pour les positions

des pics et les amplitudes. Pour la première réflexion à 0 mètre, nous faisons la même

remarque que précédemment. Nous observons qu‟entre 0 mètre et L = 1 mètre des oscillations

ou des réflexions sont dues aux variations d‟impédance le long de la ligne. Les variations

entre les pics significatifs de la réponse (à 0 mètre, 1 mètre, 2 mètre et 3 mètre) peuvent

Figure 2.37: Réflectogrammes correspondant à une paire torsadée


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

11

Distance(m)

Am

pli

tud

e

Mesure-MTL-

Simulation-MTL-


77

s‟expliquer comme nous l‟avons signalé précédemment, par la difficulté de prendre en compte

des variations d‟écartement entre les fils tout le long de la ligne.

2.5.5.4. Trois fils torsadés

Afin de poursuivre nos validations, nous passons à des configurations plus complexes.

Pour cela nous considérons tout d‟abord la configuration de la Figure 2.38.

En pratique, les fils au sein d‟un toron d‟un véhicule ne sont jamais parallèles entre eux,

surtout si la longueur du toron est importante. Pour formuler et résoudre les équations de

propagation le long des lignes non uniformes, diverses méthodes sont proposées dans la

littérature [KOBA 82] [GRIV 00]. Cependant, ces techniques sont lourdes de mise en œuvre

lorsque le nombre de conducteurs devient important et sont difficilement applicables au cas

d‟un toron très complexe [CAST 02]. Nous avons choisi de simuler une ligne non uniforme

en le considérant comme une mise en cascade de petits tronçons de fils uniformes. Nous

supposons aussi que la position relative des conducteurs au sein d‟une ligne multifilaire varie

régulièrement d‟une section Si à une autre Si+1. Toutes les sections sont interconnectées entre

eux par des jonctions idéales.

À titre d‟exemple, nous allons appliquer notre modèle direct sur une ligne multifilaire (trois

fils torsadés) présenté dans la Figure 2.38 (a), de 1,7 mètre de longueur, d‟impédance

caractéristique de 120 ohms, et au-dessus d‟un plan de masse d‟une hauteur de 5 cm. À

l‟entrée de la ligne, chaque conducteur est connecté au plan de masse par l‟intermédiaire

d‟une résistance de 50 ohms. L‟autre extrémité est chargée par un circuit ouvert.

Afin de modéliser la propagation, nous appliquons la méthode de discrétisation décrite

précédemment, Figure 2.38 (b). La ligne est divisée on cellules de longueur P = 5 cm, chaque

tronçon est discrétisé en sections de longueur Δ = 0,27 cm.

Figure 2.38: (a) Schéma des trois fils torsadés, (b) discrétisation en sections multifilaires

uniforme, (c) géométrie de la ligne trifilaire, et (d) maillage éléments finis de la structure.

(a)

D10

D20 D30 h3

h1

h2

(b) (c) (d)

Circuit

ouvert

Δ

5 cm 50Ω p

50Ω

1,7 mètre

~

Δ

p

S1 S2

S3


78

Les paramètres linéiques de chaque section Si, i = 1, 2, 3, sont calculés analytiquement, Figure

2.38 (c), soit numériquement (avec la méthode des éléments finis), Figure 2.38 (d).

Des mesures ont également été effectuées sur cette configuration en mesurant le coefficient de

réflexion S11 dans le domaine fréquentiel dans une bande de fréquence allant de 200 MHz à 2

GHz.

On remarque que sur la Figure 2.39, les réflectogrammes simulées et mesurés sont en bon

accord en positions et amplitudes pour les pics significatifs : le pic de désadaptation entre

l‟impédance de la ligne et les impédances d‟entrée de 50 ohms et le pic principale dû à la

charge de la ligne (à 1,7 mètre). Nous faisons les mêmes remarques pour les oscillations entre

ces pics que précédemment.

2.5.5.5. Toron formé de 10 fils

Le toron est complexifié en augmentant le nombre de fils à 10 afin de se rapprocher d‟une

configuration automobile plus réaliste. Un exemple d‟un toron de 10 est présenté, Figure 2.40.

11 22 33

1,2,3

2F/m

2ln

C C Ch

d

1

1

1

4F/m

4ln 1

i

i

i

Ch h

D d

2

1,2,30

11 22 33 2, , ln H/m

2

hL L L

d

0 1

11

ln H/m2

i

ii

hL

h d

Figure 2.39: Réflectogrammes correspondant aux trois fils torsadés

chargés par un circuit ouvert.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1

Distance(m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Simulation -simple-

Simulation -MTL-


79

La longueur totale du toron est 2,5 mètres. Il est chargé à l‟entrée par des impédances de 50

ohms et par un circuit ouvert à l‟autre extrémité, et a une hauteur de h = 5cm au dessus d‟un

plan de masse. La Figure suivante présente les dimensions et les caractéristiques d‟un

conducteur du toron.

Comme précédemment, la ligne non uniforme est divisée en une succession de sections

« lignes uniformes » de longueur Δ = 0,125 mètre. Mais cette fois-ci, le faisceau de câbles

est généré par une succession de sections 2D de câbles. Ces sections sont créées par une

rotation de l‟ensemble des conducteurs par un angle θ = 18° d‟une section à une autre. Le

choix du degré de rotation est déterminé en fonction du nombre de sections formant le toron

en supposant qu‟un fil effectue une rotation complète le long de la ligne, Figure 2.42.

A chaque section, les paramètres linéiques [L] et [C] sont calculés à l‟aide de la MEF. Elles

pourront ensuite être introduites dans le modèle FDTD afin de simuler la propagation le long

de la ligne.


Les mesures ont été effectuées par le CEA-LIST avec un analyseur de réseau vectoriel sur

une bande de fréquences allant de 300 kHz à 500 MHz.

Rc

Rd

Rayon du conducteur : Rc = 0,5 mm

Rayon de la gaine diélectrique : Rd = 0,85 mm

Permittivité diélectrique relative de la gaine : εr = 3,5

θ=180 θ=00 θ=1800 θ=1620

…………

Figure 2.40: Toron de 10 fils

Figure 2.41: Géométrie d’un conducteur du toron

Figure 2.42: Vue en coupe des différentes sections du toron

Δ 5 cm Circuit

ouvert

50Ω

20 x 0,125 mètre = 2,5 mètre

~


80

Sur la Figure 2.43 les réflectogrammes simulé et mesuré sont représentés. On peut constater

que l‟amplitude et la position des pics significatifs sont bien restituées par la simulation. Le

premier pic à 0 mètre illustre la désadaptation entre l‟impédance d‟entrée de 50 ohms, et

l‟impédance caractéristique de la ligne. À 2,5 mètres un pic positif traduit la nature de la

charge, et la longueur de la ligne. Entre ces deux pics, nous remarquons des pics de faible

amplitude qui ne sont autres que des réflexions multiples dues aux variations d‟impédance le

long de la ligne.

2.5.5.6. Réseau en Y

Considérons maintenant la configuration montrée dans la Figure 2.44. Un réseau en Y

constitué par des paires torsadées. Les longueurs, les impédances et les charges des tronçons

secondaires sont illustrées sur la Figure ci-dessous.

Dans la Figure 2.45, nous comparons les réflectogrammes obtenus par simulation et

expérimentation de la configuration illustrée, Figure 2.44. Les mesures ont été effectuées

Figure 2.43: Réflectogrammes correspondant à un toron de 10 fils


Figure 2.44: Réseau en Y constitué par des paires torsadées.

L2 = 1,47 mètre

L1 = 1,2 mètre

L3 = 1,7 mètre

C.O

C.O

VNA


81

avec un analyseur de réseau vectoriel (VNA) dans une bande de fréquence entre 1 MHz et 2

GHz.

La Figure 2.45 montre le bon accord entre mesures et simulation de point de vue positions et

amplitudes des pics significatifs de la réponse. Les petits écarts entre les deux courbes sont

dus aux variations d‟impédance le long des paires torsadées à cause du mauvais torsadage de

la ligne.

2.6. Conclusion

Ce chapitre a été consacré à la présentation de la méthode adoptée pour modéliser la

propagation filaire. Le modèle proposé (pour la résolution du problème direct) utilise la

modélisation numérique basée sur la FDTD. Cette dernière permet d‟obtenir le

réflectogramme dans le domaine temporel dans des situations assez générales (ligne simple ou

réseaux, éventuellement avec multiconducteurs). Après une description de la méthode utilisée

afin de calculer les paramètres par unité de longueur constituent le modèle équivalent de la

ligne ainsi que les paramètres électriques des défauts de câblage. Nous avons présenté des

résultats expérimentaux qu‟ils ont permis de valider l‟approche directe.

Le chapitre a aussi permis de mettre en évidence la difficulté de l‟analyse d‟un

réflectogramme correspondant à un réseau filaire plus ou moins complexe. Cette difficulté est

due à la complexité de la structure du réseau et à l‟effet des réflexions multiples entre

jonctions et terminaux. Dans le chapitre suivant nous allons voir la deuxième étape de la

méthodologie proposée, qui consiste à résoudre le problème inverse.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Magn

itud

e

Distance (meter)

Measure

Simulation

Figure 2.45: comparaison des réflectogrammes obtenus par mesure

et simulation pour un réseau en Y constitué de paires torsadées

Chapitre 3 Méthodologie développée

82

Chapitre 3 : Méthodologie développée

3.1. Introduction ............................................................................................................................................ 83

3.2. Résolution du problème inverse ........................................................................................................... 83

3.2.1. Problème inverse ......................................................................................................................... 83

3.2.2. Inversion itérative ........................................................................................................................ 83

3.2.3. Inversion directe ........................................................................................................................... 84

3.2.4. Présentation des algorithmes d‟optimisation ................................................................................ 86

3.3. Algorithmes génétiques ......................................................................................................................... 87

3.3.1. Principes généraux ....................................................................................................................... 87

3.3.2. Historique ..................................................................................................................................... 88

3.3.3. Fonctionnement de l‟AG .............................................................................................................. 88

3.3.4. Les opérateurs génétiques fondamentaux .................................................................................... 90

3.3.5. Principaux étapes de l‟AG ........................................................................................................... 92

3.3.6. Choix des paramètres de contrôle et des conditions initiales ....................................................... 93

3.4. Inversion par réseaux de neurones ...................................................................................................... 94

3.4.1. Neurone formel ............................................................................................................................ 94

3.4.2. Réseaux de neurones artificiels MLP ........................................................................................... 96

3.4.3. Apprentissage des RN MLP ......................................................................................................... 97

3.4.4. Préparation de l‟apprentissage ..................................................................................................... 98

3.4.5. Capacité de généralisation ............................................................................................................ 99

3.5. Conclusion ............................................................................................................................................ 101


83

Chapitre 3 : Méthodologie développée

3.1. Introduction

Dans le chapitre 2, nous avons présenté la première étape de la méthodologie de diagnostic

développée. Elle consiste à résoudre le problème direct qui permet de modéliser la

propagation filaire.

Dans ce chapitre nous allons proposer la deuxième étape de la méthode de diagnostic

développée. Elle est basée sur l‟inversion de la réponse temporelle obtenue (réflectogramme)

par le modèle direct ou mesuré, pour remonter à des informations sur l‟état du réseau de

câblage.

Afin de résoudre le problème inverse, deux méthodes sont utilisées : une inversion itérative et

une inversion directe. Le premier type d‟inversion utilise les algorithmes génétiques. La

deuxième méthode que nous proposons est basée sur l‟inversion directe de la réponse à partir

d‟un modèle inverse paramétrique. Pour réaliser ce modèle inverse, les réseaux de neurones

(RN) correspondent bien à nos attentes.

3.2. Résolution du problème inverse

3.2.1. Problème inverse

Dans ce travail de thèse, on entend par « inversion », le fait de remonter au(x)

paramètre(s) utile(s) de la cible (défauts). Ces paramètres sont, soit les longueurs des branches

et les charges des tronçons secondaire si la configuration filaires est affectée par un défaut

franc, soit l‟impédance ou le rapport (L/C), et la position du défaut s‟il est non franc, à partir

des mesures ou simulations fournies par le réseau sous test.

Les phénomènes électromagnétiques sont généralement non linéaires vis-à-vis des paramètres

physiques et géométriques de l„objet à étudier. Par conséquent, les modèles adoptés sont

généralement également non linéaires. La complexité des modèles directs fait qu‟ils sont

rarement inversibles : il n‟est pas possible d‟exprimer les paramètres en fonction du

coefficient de réflexion (réflectogramme). L‟estimation des paramètres de la ligne est alors

réalisée en insérant le modèle direct dans le processus itératif d‟inversion ou par l‟utilisation

d‟un modèle inverse.

Il existe deux grandes catégories d‟inversion : l‟inversion itérative et l‟inversion directe.

3.2.2. Inversion itérative

Cette technique nécessite l‟utilisation du modèle direct. Si la solution du modèle direct ne

peut pas être inversée de façon mathématique, ce qui est souvent le cas, elle est insérée dans

une boucle itérative. La sortie de la mesure est comparée à celle donnée par le modèle direct


84

(Figure 3.1). Un algorithme de minimisation d‟erreur permet alors de minimiser l‟écart

(exemple : erreur quadratique moyenne (EQM)) entre le modèle direct et la mesure. Le

processus est itératif et se poursuit jusqu‟à ce qu‟un critère d‟arrêt soit satisfait. Le critère

d‟arrêt généralement utilisé est lié soit au nombre d‟itérations maximal soit au critère d‟erreur

qui doit alors être inférieur à un seuil prédéfini. Le schéma du processus d‟inversion est donné

Figure 3.1.

Une inversion itérative peut être rapide et efficace si on dispose d‟un modèle analytique.

Cependant, si le modèle analytique n‟est pas disponible, la même procédure peut être

exécutée en utilisant un modèle numérique comme modèle direct. L‟inconvénient de ce type

d‟inversion est son temps d‟exécution. En effet, un modèle numérique peut être coûteux en

calcul, et le temps mis pour un calcul dépend fortement de la complexité de la structure et de

sa taille par rapport à la longueur d‟onde du système d‟étude. Par conséquent, le temps de

résolution du problème direct peut-être très élevé. Sachant que la résolution du problème

inverse requiert la minimisation de la fonction d‟erreur entre les données mesurées et celles

calculées par le modèle, le modèle direct est sollicité plusieurs fois avant d‟atteindre la

précision demandée. De plus certaines études nécessitent de répéter plusieurs fois la

résolution du problème direct pour chaque itération pour différentes configurations (exemple :

calcul l‟impédance d‟un défaut de câblage pour plusieurs positions). Par conséquent, la

minimisation de la fonction d‟erreur doit être répétée pour chaque configuration. Ceci a pour

conséquence d‟avoir un temps d‟inversion qui devient prohibitif.

Dans notre cas nous allons utiliser, comme algorithme de minimisation, les algorithmes

génétiques à plusieurs variables pour minimiser l‟erreur entre le réflectogramme et la réponse

donnée par le modèle direct.

3.2.3. Inversion directe

Dans de rares cas, pour des problèmes dont la solution analytique est très simple, on peut

explicitement inverser le modèle direct afin d‟évaluer les paramètres recherchés. L‟absence

Système de

mesure

Algorithme de

minimisation d‟écart

Modèle direct

+ -

Paramètres

recherchés

Données

d‟observation

mesurées Écart

Estimation des

paramètres

recherchés

Données

d‟observation

calculées

Figure 3.1: Schéma du processus itératif d’inversion


85

d‟itération dans ce cas permet d‟avoir une inversion plus rapide que celle précédemment citée.

L‟inversion se présente sous la forme symbolique suivante, Figure 3.2.

Cependant, pour la plupart des problèmes électromagnétiques, la solution analytique peut être

très difficile à obtenir, par conséquent il n‟est pas possible de faire de l‟inversion directe.

Dans ce cas, on peut cependant utiliser un modèle inverse paramétrique dont on règle les

paramètres internes à l‟aide d‟une base contenant des exemples connus de couples paramètres

recherchés-données d‟observation. La procédure est similaire à la précédente mais l‟inversion

du modèle direct est remplacée par le modèle inverse paramétrique (Figure 3.3).

Une fois ce modèle inverse établi, l‟inversion pour des données issues de la mesure peut être

très rapide car ce type d‟inversion ne fait pas appel à des itérations successives.

Comme le montre la Figure 3.4 il est difficile d‟analyser des réflectogrammes d‟un réseau

filaire sans et avec défauts. Cette difficulté est due aux réflexions multiples entre les

jonctions, les extrémités et les défauts ce qui rend l‟interprétation (identification,

caractérisation ou localisation d‟éventuels défauts) de la réponse d‟un réseau difficile ou

même impossible. La réflectométrie exploitée seule n‟est pas suffisante pour connaitre l‟état

d‟un réseau de câblage. Il nous faut une méthode afin de résoudre le problème en inverse.

Figure 3.3 : Schéma du processus d’inversion directe basé sur un modèle inverse

Système de

mesure

Modèle inverse

Paramètres

recherchés

Données

d‟observation

mesurées

Estimation des

paramètres

recherchés

Figure 3.2: Schéma du processus d’inversion directe utilisant l’inversion du modèle direct

Système de

mesure Inverse du modèle

direct

Paramètres

recherchés

Données

d‟observation

mesurées

Estimation des

paramètres

recherchés


86

L‟algorithme d‟inversion itérative, présenté a été mis en œuvre en utilisant un modèle direct

pour prévoir les paramètres du défaut. Cet algorithme commence avec une première

estimation des défauts à partir duquel il va déterminer une nouvelle réponse. Cette réponse

(réflectogramme) est comparée à celle mesurée (ou simulée). Le principe fondamental qui

gère cet algorithme est que, si la réponse prédite est similaire à la réponse mesurée, les

paramètres du défaut correspondant est proche des paramètres désiré. Par contre, si les

réflectogrammes ne sont pas similaires, l‟erreur entre ces réflectogrammes est minimisée

itérativement par ajustement des paramètres du défaut.

3.2.4. Présentation des algorithmes d’optimisation

Avant de discuter des détails spécifiques de l'algorithme génétique (AG) et de ses

applications, nous allons tout d'abord présenter la relation entre AG et les méthodes

d'optimisation courantes et traditionnelles.

Selon la littérature [JOHN 99], nous pouvons partager les méthodes d'optimisation en deux

catégories. Celles qui permettent de déterminer un minimum local et celles qui s'efforcent de

déterminer un optimum global.

L'algorithme génétique est un algorithme d'optimisation globale au même titre que le recuit

simulé et la marche aléatoire, alors que le gradient conjugué, les méthodes de quasi-Newton

ou les méthodes de simplex sont des techniques d'optimisation locale.

Le principe d'une méthode d'optimisation locale est le suivant : à partir d'une solution de

départ x0, considérée temporairement comme étant la valeur minimale xmin, on engendre, par

transformations élémentaires, une suite finie voisine. Parmi les méthodes locales, on peut

distinguer celles qui utilisent l'évaluation d'une fonction spécifique comme les algorithmes de

Figure 3.4 : Réseau filaire complexe et sa réponse sans et avec les défauts

(a) Réseau filaire, (b) Réflectogrammes sans et avec défauts

(a) (b)

C.O

1m

0,6m

4,25m

JA

JB 1,75m

1m

2,25m C.O

C.O

C.O

Source

Défaut


87

Nelder et Mead [NELD 65] et celles où il faut calculer la dérivée de cette fonction comme la

méthode de gradient conjugué. Leur principe est basé sur la connaissance (ou l'estimation) de

la dérivée de la fonction spécifique en chacun des points de l'espace d'état. Ces méthodes ont

pour point commun des déplacements déterministes dans l'espace d'état.

Il existe plusieurs différences entre les méthodes locales et globales :

- Le résultat d'une méthode locale dépend du point de départ ou des conditions initiales, ce

qui n'est pas le cas en théorie pour une étude globale.

- Les méthodes globales sont plus robustes face à des problèmes mal-conditionnés, en

particulier lorsque l'espace des solutions comporte des discontinuités ou des contraintes

sur les paramètres et surtout un grand nombre de minima locaux.

- Les méthodes locales sont généralement efficaces pour résoudre de façon quasi-exacte

des problèmes de petites tailles dans lesquels une solution optimale existe.

Les méthodes globales sont avantageuses pour les cas complexes (temps de calcul important,

nombreux optima locaux, fonctions non dérivables...). Elles permettent d'explorer l'espace de

recherche plus facilement.

Pour la plupart des problèmes, l'objectif est de trouver la meilleure solution. Les méthodes

globales sont particulièrement utiles lors de traitement des nouveaux problèmes dont la nature

de l'espace de solution est relativement inconnue.

Parmi les techniques d'optimisation globales, les algorithmes génétiques sont spécialement

bien adaptés à la diversité des problèmes rencontrés en électromagnétisme [HAUP 07]. Les

algorithmes génétiques sont considérablement plus efficaces et convergent de façon rapide

contrairement aux algorithmes d'optimisation bases sur la marche aléatoire ou le recuit simulé

[JOHN 99]. Ils sont facilement programmables et d'utilisation aisée.

Une comparaison qualitative des caractéristiques générales [JOHN 99] entre les méthodes des

gradients conjugues (GC), de la marche aléatoire (MA) et de l'algorithme génétique (AG) est

représentée dans le Tableau 3.1.

Tableau 3.1 : Comparaison qualitative entre les méthodes d'optimisation

GC MA AG

Optimisation globale

Vitesse de convergence

3.3. Algorithmes génétiques

3.3.1. Principes généraux

L'évolution biologique a engendré des systèmes vivants autonomes extrêmement

complexes qui peuvent résoudre des problèmes relativement difficiles, tels que l'adaptation

continuelle à un environnement complexe, incertain et en constante transformation. Pour cela,


88

les êtres vivants supérieurs, comme les mammifères, sont pourvus de capacités inégalées de

reconnaissance de formes, d'apprentissage et d'intelligence. La grande variété des situations

auxquelles la vie s'est adaptée laisse penser que le processus de l'évolution est capable de

résoudre de nombreuses classes de problèmes. Autrement dit, il se caractérise par sa

robustesse. Les caractéristiques héréditaires d'un être vivant dépendent exclusivement de son

patrimoine génétique, ou chromosome, constitué d'un ensemble de gènes. Ceux-ci codent des

éléments du phénotype (patrimoine génétique) tels que : la couleur des yeux, la taille de ses

ailes... Ces gènes sont eux-mêmes formés de longues séquences spécifiques de quatre

nucléotides, dont le rôle est similaire à celui d'un alphabet de quatre symboles. Ainsi, il existe

une étape de décodage du chromosome pour constituer le phénotype. Ce dernier subit au

cours de la vie d'éventuelles modifications dues à l'environnement. L'évolution des êtres

vivants ne dépend principalement donc que de l'évolution de leurs chromosomes.

3.3.2. Historique

Les premiers travaux sur les algorithmes génétiques (GA) ont commencé dans les années

50 lorsque plusieurs biologistes américains ont simulé des structures biologiques sur

ordinateur. Puis, entre 1960 et 1970, Holland [HOLL 75] développa sur la base de ces travaux

les principes fondamentaux des algorithmes génétiques dans le cadre de l'optimisation

mathématique. L‟AG est la méthode la plus connue dans les méthodes évolutionnaires grâce à

sa popularisation par Holland et Goldberg [GOLD 89], mais aussi en raison de son analogie

étroite avec l'évolution des populations biologiques. En effet, les opérateurs de variation de

ces algorithmes imitent les mécanismes de recombinaison génétique que l'on trouve dans la

nature. Nous considérons essentiellement deux opérateurs principaux, à savoir le croisement

et la mutation. Les solutions sont alors caractérisées par un chromosome dont la forme varie

en fonction du type de problème considéré.

3.3.3. Fonctionnement de l’AG

L‟algorithme génétique travaille simultanément avec un ensemble de vecteurs de

paramètres. Cet ensemble forme ce qui est appelé « population d‟individus ». Au départ de

l‟algorithme, la population est aléatoire et générée dans l‟espace des solutions admissibles de

la fonction « objectif ». Ensuite, au fil des itérations de l‟algorithme, la population évolue en

gardant les meilleurs vecteurs et en renouvelant ses membres par des opérations d‟échange et

d‟introduction de matériel génétique [REEV 03]. Ces itérations sont aussi appelées des

générations.

La première étape dans le processus d'un AG consiste à définir puis à représenter (coder)

d'une façon convenable le problème. À chaque paramètre (ou variable) à optimiser xi du

problème (position ou impédance d‟un défaut), nous faisons correspondre un gène. Un

chromosome est une suite de gènes (on peut par exemple regrouper les paramètres similaires

dans un même chromosome). Chaque individu est représenté par un ensemble de

chromosomes. Nous appelons population un ensemble de N individus que nous allons faire

évoluer, Figure 3.19.


89

a. Codage des variables

Les individus d‟un problème d'optimisation pourront être représentés par un vecteur de

paramètres réels [HAUP 04]. Toutefois, il est aussi possible d'adopter une représentation

binaire, qui consiste à intégrer les variables continues dans une chaîne binaire. Ce type de

codage permet d‟imiter avec succès les évolutions naturelles que subissent les chromosomes

des cellules biologiques (reproduction, croisement, et mutation des gènes principalement).

Chaque paramètre réel xi borné par ses contraintes de domaine [ximin, ximax], est codé dans une

chaîne binaire b0, b1,…blxi-1 définie sur lxi. On utilise habituellement un codage linéaire, de

sorte que l'on associe à la chaîne constituée uniquement de 0 (bi = 0 quelque soit i) la valeur

ximin, et à la chaîne constituée uniquement de 1 (bi = 1 quelque soit i) la valeur ximax, Pour une

configuration binaire quelconque, il existe alors une valeur entière N(xi) correspondante

définie par :

1

11

0

( ) 2xi

x

ll i

i i

i

N x b

(3-1)

L‟équation (3-1) représente le paramètre réel.

2 1xi

imax imini imin, il

x xx x N( x )

(3-2)

Ce type de codage conduit donc à discrétiser l‟espace de recherche et nécessite de fixer la

taille des chromosomes en fonction de la précision souhaitée pour chaque paramètre. Le

chromosome des individus est obtenu par concaténation de l‟ensemble des chaînes binaires

associées aux paramètres réels.

Un des avantages du codage binaire est que l'on peut ainsi facilement coder toutes sortes de

variables à optimiser : des réels, des entiers, des chaines de caractères,... Il permet également

de créer les opérateurs de croisement et de mutation simple.

Dés que les longueurs des codages binaires sont choisies, une population d‟individus

génétiques peut être créée. La taille de la population est à définir par l‟utilisateur.


90

b. Fonction de coût

Les grandeurs à optimiser dans le cas de notre étude peuvent être, par exemple, la position

d‟un défaut, ses caractéristiques (impédance, longueur), les longueurs des branches dans un

réseau de câblage, la nature des défauts, etc. Un algorithme d'optimisation nécessite

généralement la définition d'une fonction rendant compte de la pertinence des solutions

potentielles, à partir des grandeurs à optimiser. Il s'agit de la fonction coût (fitness function en

Anglais). La fonction coût est un outil permettant d'exprimer le but de l'optimisation, et de

représenter le moyen pour développer la population.

3.3.4. Les opérateurs génétiques fondamentaux

a. La reproduction

Chaque individu suivant sa valeur obtenue par la fonction f (fonction de coût) à l‟itération

k, verra son importance en taille varier proportionnellement à l‟itération (k+1). En clair,

meilleur est un individu, plus sa présence aura des chances d‟augmenter au détriment des

individus ayant donné de plus mauvais résultats.

Le taux de reproduction d‟un individu se fait souvent suivant le principe de la roue biaisée

[GOLD 91]. Plus un individu donne un résultat élevé par la fonction f, plus il a de chances de

se reproduire. Ce principe s‟applique alors sans peine pour un problème de maximisation de

fonction. Admettons qu‟un individu i ait donné un résultat noté fi à la génération k. A la

génération (k+1), cet individu existera en nombre égal à : fi/fm. La valeur fm correspond à la

moyenne des évaluations faites pour estimer l‟ensemble des individus d‟une population à la

génération k.

Bits

Gènes

Chromosomes

Individus

Population

Figure 3.5 : Les cinq niveaux d'organisation d'un algorithme génétique


91

L‟algorithme génétique travaille donc naturellement suivant un principe de maximisation :

c‟est toujours l‟importance de la valeur d‟un individu par la fonction f qui compte. Si le

problème d‟optimisation est un problème de minimisation, la fonction objective peut être

inversée de manière à correspondre avec la philosophie de la reproduction de l‟algorithme

génétique.

b. Le croisement

Cette opération est un échange de matériel génétique entre deux individus dits parents. Les

enfants obtenus partagent le matériel génétique de chacun des parents. Ce croisement

s‟effectue à un point précis des deux chaînes parentes. Toutes les informations à droite de ce

point s‟échangent.

1001011 1001101

1101101 1101011

L‟emplacement où le croisement doit avoir lieu est un point choisi aléatoirement suivant une

probabilité de loi uniforme. L‟accouplement de deux parents de la population pour une

reproduction n‟est pas systématique. Il obéit à une probabilité de croisement Pc fixé par

l‟utilisateur. D‟une manière générale, cette probabilité est importante puisque supérieure à

soixante pour cent. Cependant sa valeur influe sur la convergence de l‟algorithme mais

aucune règle ne permet de la déterminer de manière optimale. Cette probabilité est un

paramètre stochastique qui dépend fortement du problème traité.

Le croisement est un opérateur fondamental pour l‟apparition de nouveaux individus.

c. La mutation

La mutation est un phénomène permettant, au fil des itérations génétiques l‟introduction

de caractères nouveaux. Naturellement, c‟est un phénomène souvent non expliqué ou une

réponse au milieu extérieur. Quoiqu‟il en soit, la mutation d‟un individu reste toujours rare.

Pour l‟algorithme génétique, la mutation des individus se produit aussi de manière

exceptionnelle. En pratique, tous les bits des individus de la population sont passés en revue.

Ils obéissent au phénomène de mutation suivant une probabilité Pm très faible, quelque pour

cents à peine. Cette probabilité est d‟autant plus faible que la population est grande.

1110100110

1100100110

Point de croisement

Seul le troisième bit de cet

individu a subi une mutation


92

3.3.5. Principaux étapes de l’AG

Un algorithme génétique recherche le ou les extrema d‟une fonction coût, par exemple

dans notre cas ce sont les caractéristiques d‟un défaut de câblage, définies sur un espace de

données. Pour l‟utiliser, nous devons disposer des cinq éléments suivants :

1. Un principe de représentation (codage) des variables à optimiser. Cette étape associe à

chacun des points de l‟espace des solutions une structure de données. Elle se place

généralement après une phase de modélisation mathématique du problème traité. La

qualité du codage des données conditionne le succès des algorithmes génétiques. Le

codage binaire est le plus utilisé [GOLD 89].

2. Un mécanisme de génération de la population initiale. Ce mécanisme doit être capable

de produire une population d‟individus non homogène, c'est-a-dire, des individus bien

répartis dans leurs espaces de variation, qui servira de base pour les générations

futures. Le choix de la population initiale est important car il peut rendre plus ou

moins rapide la convergence vers l‟optimum global. Dans le cas où rien n'est connu du

problème à résoudre, il est essentiel que la population initiale soit repartie sur tout le

domaine de recherche.

3. Une fonction coût. Celle-ci permet d'évaluer la qualité ou la performance d'un

individu.

4. Des opérateurs génétiques. Ils permettent de diversifier la population au cours des

générations et d‟explorer le domaine de recherche. L‟opérateur de croisement

recompose les gènes d‟individus existant dans la population. L‟opérateur de mutation

a pour but de garantir l‟exploration de l‟espace des états.

5. Des paramètres dimensionnels : taille de la population, nombre total de générations ou

critère d'arrêt, probabilités d‟application des opérateurs de croisement et de mutation.


93

3.3.6. Choix des paramètres de contrôle et des conditions initiales

Comme pour toute heuristique d'optimisation, l'efficacité d'un algorithme évolutionnaire

dépend du choix de ses paramètres de contrôle (intensité de sélection, probabilités liées aux

opérateurs d'évolution, choix de la stratégie de remplacement, taille des populations, …) qui

gouvernent l'exploration des solutions, et des conditions initiales. À moins d'avoir une

connaissance a priori sur la localisation des solutions optimales, il est conseillé d'initialiser la

population de manière uniformément aléatoire dans l'espace de recherche. Dans le cas de

problèmes contraints difficiles, on peut envisager de rechercher en priorité des solutions

Figure 3.6: L’organigramme de l’AG

Génération d’une population initiale Sélection des chromosomes. Chaque

chromosome représente une solution possible du problème.

Évaluation Evaluation des individus selon leurs

performances

Sélection Procédure de détermination des chromosomes

qui vont être parents pour une nouvelle génération

Critère D’arrêt

Convergence Solution final

Croisement Échange des gènes entre les chromosomes

parents pour produire des nouveaux individus

Mutation Échange entre un ou plusieurs gènes

aléatoirement. Parcourir chaque point de l’espace de recherche.

Oui

Non


94

réalisables et de les injecter dans la population initiale, tout en sachant que cela peut

augmenter le risque de convergence prématurée dans l'espace réalisable. Quant au choix des

opérateurs et des paramètres stochastiques de contrôle qui leur sont associés, il n'y a

évidemment pas de règle générale qui garantit une convergence optimale (en termes de

précision et rapidité) pour tous les problèmes. Il existe toutefois certaines valeurs

standardisées des paramètres de contrôle, qui assurent une certaine robustesse.

Pour les algorithmes génétiques par exemple, il est recommandé d'imposer un taux de

croisement relativement élevé (Pc 0.7) et une faible probabilité de mutation (généralement

l'inverse du nombre de paramètres). Il n'y a malheureusement pas de standardisation fiable

quant au choix de la taille des populations. Cela reste sans doute aujourd'hui un des points

sensibles des algorithmes évolutionnaires. Des tailles de population faibles augmenteront la

vitesse de convergence de l'algorithme, mais aussi le risque de convergence prématurée vers

des solutions non-optimales. Des tailles de population trop grandes risquent au contraire de

ralentir fortement la progression de l‟algorithme. Pour certains problèmes bien particuliers,

des tailles de population optimales ont pu être déterminées en fonction du nombre de

paramètres.

Dans le cadre de cette thèse la taille de la population est choisie en fonction du nombre des

paramètres. Quant aux probabilités de croisement et de mutation elles sont de l‟ordre de 0,7 à

0,8 et 0,1 à 0,2 respectivement.

3.4. Inversion par réseaux de neurones

Cette partie concerne la présentation des réseaux de neurones (RN) que nous avons mis en

œuvre pour résoudre le problème inverse pour le diagnostic filaire. On commence par

introduire le neurone formel qui constitue l‟élément de base des RN. Ensuite, les réseaux de

neurones qui sont l‟association de plusieurs neurones formels sont présentés. Plus

particulièrement, les RN MLP (Multi_Layer Perceptron) que nous avons utilisés dans ce

travail de thèse ainsi que leurs propriétés seront détaillés. Nous verrons ensuite ce qu‟est

l‟apprentissage, comment un RN peut faire de l‟apprentissage, et les différents problèmes

rencontrés lors du processus d‟apprentissage. Enfin, nous mettrons l‟accent sur le problème de

généralisation qui apparait lorsque le nombre de neurones du RN devient trop important par

rapport à la complexité du problème inverse. La méthode qui sera utilisée pour résoudre ce

problème est split-sample.

3.4.1. Neurone formel

Le neurone formel représente la brique de base des réseaux de neurones artificiels dont le

modèle s‟inspire de celui d‟un neurone biologique. Un RN est constituée d‟un ensemble de

processeurs élémentaires simples (neurones) reliés entre eux par des connexions. Les RN

tirent leur intérêt de la puissance potentielle que présente leur architecture multiprocesseurs et

de l‟existence d‟algorithme de réglage de leurs paramètres internes. Les premières travaux

datent de 1943 et sont l‟œuvre de Mac Culloch et Pitts [MCCU 43].


95

Un neurone d‟indice i peut être décrit par les éléments suivants (pour un neurone):

- son état ai, qui peut être une valeur réelle ou booléenne.

- ses connexions auxquelles sont associés des poids wij (j est l‟indice du neurone

partageant la connexion).

- sa fonction d‟entrée réalisant un prétraitement (généralement une somme pondérée)

des entrées.

- sa fonction d‟activation (ou de transfert), qui calcule à partir du résultat de la fonction

d‟entrée l‟activation du neurone.

La Figure 3.7 présente un neurone biologique et son neurone formel correspondant [TOUZ

92]

Le neurone formel est la succession des deux opérations (Figure 3.8).

1. Une sommation des n entrées scalaires (X1,…,Xn), pondérées par des poids (w1,…,wn), à

laquelle on ajoute un seuil biais (b). Le signal résultant est un signal d‟activation.

2. Le signal d‟activation est l‟argument de la fonction d‟activation (f) qui définit le signal de

sortie du neurone (Y).

D‟après la description ci-dessus, la sortie Y du neurone s‟exprime simplement :

( . )Y f w X b (3-3)

Σ f

X1

X2

Xn

w1

w2

wn

p

Y

Figure 3.8 : Structure du neurone formel

Figure 3.7 : Mise en correspondance neurone biologique / neurone formel


96

Un réseau de neurones comporte un certain nombre de neurones connectés entre eux et en

connectant également tout ou partie de ceux-ci avec l‟entrée (dans notre cas, les

réflectogrammes) et la sortie du modèle (les paramètres du défaut).

Pour un nombre donné de neurones, il existe une multitude d‟interconnexions possibles. Seuls

sont utilisés dans la pratique les RN à couches, dits MLP (Multi Layer Perceptron en anglais),

qui sont présentés dans ce qui suit.

3.4.2. Réseaux de neurones artificiels MLP

Les RN MLP sont des réseaux dont les neurones sont organisés en plusieurs couches

successives. Les connexions sont totales : chaque neurone d‟une couche est connecté à tous

les neurones de la couche précédente et à tous ceux de la couche suivante. Pour une même

couche (entrée, sortie ou cachée), les neurones ont la même fonction d‟activation, mais elle

peut différer d‟une couche à l‟autre.

Le choix de la fonction d‟activation est d‟une grande importance. Il dépend de l‟application à

étudier. La fonction d‟activation d‟un neurone de RN MLP peut prendre, l‟une des formes

suivantes :

Entrée

Couches cachées Couche de sortie

Sortie

Couche d‟entrée

Figure 3.9 : Exemple d’un RN MLP à 3 couches, dont 2 cachées

Figure 3.10 : Fonctions d’activations

Fonction linéaire Fonction seuil Fonction logistique

sigmoïde


97

Un RN MLP est constitué d‟une couche cachée de fonctions continues et non linéaires

(comme les fonctions logistique sigmoïde et tangente hyperbolique) et d‟une couche de sortie

de fonctions linéaires qui est capable d‟approximer avec une précision donnée (définie par un

critère d‟erreur) n‟importe quelle fonction réelle ayant un nombre fini de discontinuités. Si la

couche cachée contient un nombre suffisant de neurones : l‟approximation est « universelle»

[HOMI 89]. Par ailleurs, l‟approximation, avec une précision donnée, d‟une fonction

complexe par un RN requiert un nombre réduit de paramètres, en comparaison notamment du

nombre de paramètres que nécessiterait un modèle polynomial équivalent [COST 96]. C‟est

une caractéristique fondamentale face au problème de sur-paramétrisation. Les RN MLP sont

ainsi bien adaptés à l‟approximation des fonctions non linéaires.

3.4.3. Apprentissage des RN MLP

L‟apprentissage d‟un RN MLP (réglage des poids) et des biais, se fait de manière

supervisée. Ce type d‟apprentissage consiste à présenter au RN un ensemble d‟entrées et de

sorties (des exemples) qui est obtenu soit à partir d‟un modèle direct soit à partir de mesures.

Dans cette thèse la base d‟apprentissage est créée par le modèle direct (modélisation FDTD).

Le réglage des poids et des biais s‟effectue de manière itérative en minimisant un critère

d‟erreur entre les sorties souhaitées (celles contenues dans la base) et celles du RN. Le

principe opératoire est illustré, Figure 3.11.

L‟erreur quadratique moyenne (EQM) est le critère d‟erreur à minimiser qui est généralement

choisi. Considérons N exemples de la base d‟apprentissage, Yi les sorties vectorielles

correspondant à l‟exemple i de la base et YRNi les sorties du RN. L‟EQM est définie par :

21

0RNi i

NEQM Y Y

N i

(3-4)

Base d‟apprentissage

Réseau de neurones

Algorithme itératif de réglage

des poids et des biais

+ -

Entrée

Sortie de

la base

Critère

d‟erreur

Figure 3.11 : Schéma du principe d’apprentissage d’un RN


98

L‟EQM d‟un RN MLP doté uniquement de fonctions d‟activations dérivables est une fonction

différentiable des poids et des biais du réseau. L‟apprentissage peut être alors réalisé au

moyen d‟un des divers algorithmes de rétropropagation du gradient de l‟EQM. Ces

algorithmes réutilisent les différentes étapes du calcul du gradient de la couche de sortie vers

les couches internes minimisant ainsi la quantité de calcul à effectuer [DAVA 93].

L‟algorithme de minimisation le plus souvent utilisé pour des RN de taille modeste est celui

de Levenberg-Marquart [DREY 93]. Cet algorithme repose, comme tous les algorithmes

newtoniens, sur l‟inversion sous sa forme approximée de la matrice Hessienne donnée par

l‟équation :

2

( )T

i j

EQMH w J J

w w

(3-5)

J est la matrice Jacobienne de la fonction d‟erreur, qui correspond aux drivées premières de

l‟EQM par rapport aux poids et aux biais. L‟ajustement des poids est fait selon la forme

itérative suivante :

1

1( ) ( )

T

k k k k kw w H w I J w EQM

(3-6)

où wk est le vecteur des poids et des biais à l‟itération k, I la matrice d‟identité et μk est un

facteur d‟amortissement qui est ajusté automatiquement à chaque itération.

3.4.4. Préparation de l’apprentissage

Pour faire un bon apprentissage avec une erreur la plus faible possible, certains

arrangements doivent être pris du RN et des données de la base.

a. Conditionnement des entrées : centrage et normalisation

Avant tout apprentissage, il est préférable de conditionner toutes les variables d‟entrées et

de sorties. Le conditionnement consiste à normaliser et centrer les différentes sources

alimentant le réseau de neurones.

Les sorties du modèle neuronal peuvent être constituées de variables représentant des

phénomènes différents et donc mesurées avec des unités différentes (par exemple, la position

en cm, l‟impédance en ohms,...). Si les variables ne sont pas normalisées, certaines d‟entre

elles auront un poids plus important dans l‟erreur finale, tandis que d‟autres seront sans

influence. D‟autre part, afin d‟éviter un problème de saturation [COST 96], il est nécessaire

que l‟ordre de grandeur des poids du réseau soit semblable. Pour palier ces deux problèmes,

les paramètres d‟entrées et de sorties désirés devront être normalisés. La normalisation

consiste à prendre les données originales, et les transformer en des valeurs νi’ comprises entre

0 et 1, en utilisant la formule de normalisation min-max:


99

min'

max min

vi ivii i

(3-7)

où mini et maxi représentent respectivement les valeurs minimales et maximales des données

originales.

Afin d‟accélérer la convergence, les sources sont centrées. Ceci évite une perte de temps dans

l‟adaptation des biais au commencement de l‟apprentissage. Les fonctions d‟activation des

neurones non linéaires (logistique sigmoïde ou tangente hyperbolique) doivent en effet

fonctionner dans une zone centrale quasi-linéaire, là où leur dérivée est maximale. Sinon leur

influence sur les variables de l‟EQM est faible.

b. Initialisation des poids et des biais

Les poids et les biais obtenus par le réseau à la fin de l‟apprentissage dépendent en partie

de ceux choisis au départ de l‟apprentissage. Une mauvaise initialisation peut faire converger

la fonction d‟erreur vers un minimum local et laisser de côté la solution optimale. Une

solution consiste alors à faire plusieurs apprentissages avec des initialisations aléatoires et à

choisir le réseau qui donne après apprentissage l‟erreur quadratique moyenne la plus faible sur

la base de validation.

3.4.5. Capacité de généralisation

L‟apprentissage tend à minimiser l‟erreur présentée par le RN vis-à-vis des exemples de la

base d‟apprentissage. Cependant, l‟objectif ultime de l‟opération est plutôt de rendre le RN

capable d‟estimer la sortie du système réel modélisé lorsque celui-ci est soumis à de nouvelles

entrées, non comprise dans la base d‟apprentissage. Cette aptitude à prédire le comportement

du système est nommée capacité de généralisation. Deux phénomènes principaux marquent la

différence entre apprentissage et généralisation : la sur-paramétrisation et le sur-apprentissage.

a. La sur-paramétrisation

Dans ce cas le RN comportant un nombre trop important de neurones apprend très bien les

exemples de la base d‟apprentissage (EQM faible), mais il est incapable d‟estimer

correctement des nouveaux exemples : il est sur-paramétré. La relation entrée-sortie construite

par l‟apprentissage présente alors souvent en dehors des exemples appris de fortes ondulations

n‟ayant aucun fondement physique. C‟est le même phénomène que celui qui apparaît lorsque

l‟on approxime une fonction par un polynôme d‟ordre excessif.

Malgré l‟importance de ce problème, il n‟existe pas à l‟heure actuelle de méthodes fiables

permettant de prédéterminer l‟architecture d‟un RN. Seules existant des règles empiriques.

Dans ce contexte, une méthode permettant de tenir compte de la sur-paramétrisation, est la

méthode de validation croisée [SMIT 93]. Elle consiste à répartir les exemples d‟entrée-sortie

disponibles en deux bases, l‟une d‟apprentissage et l‟autre de test. Seule la base


100

d‟apprentissage sert à régler les paramètres du RN. Une fois l‟apprentissage réalisé, la

capacité de généralisation du RN est évaluée grâce à la base de test. En règle générale, l‟EQM

calculée sur la base d‟apprentissage (erreur d‟apprentissage) diminue avec l‟augmentation de

la taille du RN, en revanche après une phase initiale de décroissance, l‟EQM calculée sur la

base de test (erreur de généralisation) tend à diverger quand la taille du RN devient excessive

(apparition de sur-paramétrage). La Figure 3.12 illustre ce phénomène.

b. Le sur-apprentissage

On parle de sur-apprentissage quand le réseau a trop parfaitement appris les exemples

proposés. Il sera donc incapable de généraliser. Un indicateur utilisé pour étudier ce

phénomène est la mesure de complexité k du système d'apprentissage (indicateur lié à la taille

du réseau de neurones). En pratique, on calcule alors la moyenne des erreurs quadratiques -

appelée „erreur base apprentissage‟ - sur l‟ensemble A de données d‟apprentissage, et -

„erreur base test‟ - sur l‟ensemble T de données de test (différent de celui d‟apprentissage).

Plus on agrandit l‟ensemble A, plus l‟erreur base apprentissage diminue, plus l‟erreur base

test augmente, ce qui implique la perte des capacités de généralisation.

EQM

Taille du RN

Erreur de généralisation

Erreur d‟apprentissage

Taille optimal

Figure 3.12 : Illustration du problème de la sur paramétrisation


101

Pour contrer cet effet (sur-paramétrisation et sur-apprentissage), il existe plusieurs méthodes

[LAWR 97]. L‟une de ces méthodes est le split sample [DREY 93]. C‟est la méthode la plus

fréquemment utilisée en raison de sa facilité d‟utilisation puisqu‟elle ne demande pas

d‟algorithme particulier. Les données issues de la modélisation sont réparties en trois bases :

Une base d‟apprentissage permettant d‟ajuster les poids et biais internes du réseau de façon

que l‟erreur d‟apprentissage soit minimale.

Une base de validation qui permet de déterminer le nombre optimal de neurones cachées. Les

exemples de cette base d‟apprentissage qui ne sont pas ceux de la base d‟apprentissage.

Une base de test pour tester la capacité d‟inversion sur des données non comprises dans les

deux bases précédentes.

Tout d‟abord, les trois bases sont créées par simulation. Ensuite, en se servant de la base

d‟apprentissage, on fait l‟apprentissage de différents RN avec différents nombres de neurones

cachés. Après l‟apprentissage, on calcule pour ces différents RN, l‟erreur sur l‟ensemble de la

base de validation. L‟objectif est par la suite de choisir le RN et donc le nombre de neurones

donnant l‟erreur la plus faible sur cette base. En dernier lieu, on teste la qualité de l‟inversion

en se servant de la base de test.

3.5. Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre la méthodologie de diagnostic adopté. Nous avons

décrit les deux méthodes utilisées pour résoudre le problème inverse, AG et RN. Dans le cas

de l‟AG est utilisé pour minimiser l‟erreur entre le réflectogramme et la réponse donnée par le

modèle direct. Avec les RNs, en se servant des bases de données créées par le modèle direct

numérique, nous procédons à l‟inversion.

Figure 3.13 : Illustration du problème de sur apprentissage

Arrêt de l‟apprentissage Nombre d‟itérations

Erreur de généralisation

Erreur d‟apprentissage

EQM


102

Dans les deux cas d‟inversion, les paramètres à optimiser dépendent du type de défaut

affectant le réseau filaire. Si le réseau est affecté par un défaut non franc (changement

d‟impédance locale), il s‟agit de la position et l‟impédance du défaut. Dans le cas d‟un défaut

franc, il s‟agit des longueurs des branches du réseau, donc une reconstruction d‟une topologie

prédéfinie. Dans le chapitre 4, nous appliquons la méthodologie développée sur des

différentes configurations de câblage et de défauts.

Chapitre 4 Application de la méthodologie développée

103

Chapitre 4 : Application de la méthodologie développée

4.1. Introduction............................................................................................................................................ 104

4.2. Analyse des lignes affectées par des défauts non francs ..................................................................... 104

4.2.1. Diagnostic des lignes simples .......................................................................................................... 104

4.2.2. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire en Y .................................................................................. 114

4.2.3. Diagnostic de réseaux filaires complexes ........................................................................................ 119

4.3. Analyse des lignes affectées par des défauts francs ............................................................................. 123

4.3.1. Diagnostic de lignes simples ........................................................................................................... 123

4.3.2. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire en Y ................................................................................... 126

4.3.3. Diagnostic de l‟état d‟un réseau en Y constitué des paires torsadées .............................................. 134

4.3.4. Diagnostic de l‟état d‟un réseau filaire complexe ........................................................................... 136

4.4. Conclusion .............................................................................................................................................. 141


104

Chapitre 4 : Application de la méthodologie développée

4.1. Introduction

Dans ce chapitre, nous mettons en œuvre la méthodologie de diagnostic présentée dans le

chapitre précédent, utilisant la réflectométrie dans le domaine temporel ou (TDR en Anglais)

et la résolution du problème inverse sur des cas concrets de câblage. Deux types de défauts

vont être traités, les défauts non francs et les défauts francs. Nous présentons pour cela des

résultats de simulations et des résultats expérimentaux. Nous appliquons également les deux

méthodes d‟inversion illustrées dans le chapitre 3, les Algorithmes Génétiques (AG) et les

Réseaux de Neurones (RN). Ces deux méthodes seront comparées sur le plan de leur

performance, précision, coût et leur complexité.

Pour chaque type de défaut, nous commençons tout d‟abord par des lignes simples, afin de

mettre en évidence la méthodologie de diagnostic développée. Ensuite, les structures

deviennent de plus en plus complexes. Une confrontation simulation/expérience permettra de

valider la modélisation numérique.

Ce chapitre a donc pour but de valider et de montrer la faisabilité de cette nouvelle méthode

de diagnostic de câblage. Nous mettrons en avant les principaux avantages qui sont

l‟identification des défauts de câblage à partir de la réponse temporelle, la reconstruction des

topologies filaires et la détection, localisation et caractérisation de défauts dans des réseaux de

topologie complexe.

4.2. Analyse des lignes affectées par des défauts non francs

4.2.1. Diagnostic des lignes simples

4.2.1.1. Lignes simples adaptées

Dans ce paragraphe, nous allons mettre en application l‟utilisation de la méthodologie de

diagnostic filaire sur des lignes simples. Cette méthode, comme elle est détaillée dans le

chapitre précédent est divisée en deux étapes : dans un premier temps la réponse (mesurée ou

simulée) de la ligne de transmission affectée par un défaut est obtenue. Ensuite une procédure

d‟inversion (itérative ou directe) est effectuée, pour remonter à des informations sur les

défauts (l‟impédance ou (L/C) et la position du défaut).

Dans tout ce qui va suivre, les résultats de simulation sont réalisés avec un code de différences

finies dans le domaine temporel développé sous Matlab.

Considérons la ligne de transmission simple, Figure 4.1, formée par deux conducteurs

parallèles, d‟impédance caractéristique 78,63 ohms et d‟une longueur de 1,5 mètre. Cette

longueur, relativement courte, a été choisie de manière à pouvoir ensuite valider les résultats


105

théoriques grâce à des expérimentations. Considérons que la source est adaptée à

l‟impédance caractéristique de la ligne. La ligne est affectée par un défaut non franc situé à

0,75 mètre de la source.

L‟impédance caractéristique des défauts non francs considérés est calculée par la MEF

(Chapitre 3). La longueur des défauts est 3 cm. Nous avons adapté la ligne pour ne pas avoir

de réflexions multiples entre l‟extrémité de la ligne et le défaut, afin de réduire la complexité

du réflectogramme.

La Figure 4.2 montre le réflectogramme de la ligne de la Figure 4.1 sans et avec défaut non

franc.

Chaque courbe dans la Figure 4.2 correspond à un défaut non franc. Pour bien observer l‟effet

des défauts sur la réponse, un zoom au niveau de la position du défaut est réalisé. On constate

des variations d‟amplitude en fonction de la nature des défauts. Si l‟impédance de défaut est

inférieure à l‟impédance caractéristique de la ligne (défaut (h)), on obtient une réflexion

négative (-0,235), et si l‟impédance de défaut est supérieure à celle du câble (défauts (a), (b),

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts

Coupure de 0.45mm à coté (b)

Coupure de 0.76mm à coté (c)

Coupure de 0.45mm en haut (d)

Coupure de 0.76mmen haut (e)

Absence de l’isolant (f)

Coupure de 1.26mm (g)

Eau autour du conducteur dénudé (h)

Ligne Adapter Position de défauts

0.5981 0.6481 0.6981 0.7481 0.7981 0.8481 0.8981 0.9481

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figure 4.2 : réflectogramme de la ligne affectée par des défauts non francs

Figure 4.1 : Ligne bifilaire adaptée à l’entrée et à la sortie, affectée par un défaut non franc

Source

adaptée

Charge

adaptée

Défaut non franc ZD

L= 1,5 m

LD = 0,75m

Zoom


106

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts

5% de changement d'impédance




(c), (d), et (f)) les réflexions sont positives. Nous remarquons aussi, que certains défauts

provoquent des petites réflexions qu‟il est difficile, voire impossible, de détecter. Dans une

configuration réelle et en présence de bruit il sera presque impossible de percevoir ces

défauts.

Afin de généraliser les variations d‟impédance dues aux défauts non francs, une simulation

d‟une ligne affectée par des variations d‟impédance de l‟ordre de 5%, 10%, 40% et 60% de

l‟impédance caractéristique de la ligne est réalisée.

Le réflectogramme de la Figure 4.3, montre que des défauts ayant des variations d‟impédance

de 10% et moins seront difficiles voire impossibles à détecter, surtout dans des conditions

réelles (présence du bruit, variation de l‟impédance de la ligne,…). Compte-tenu des

configurations qui correspondent à ces défauts (chapitre 2), ils ne sont pas d‟une grande

gravité pour la sécurité d‟un réseau de câblage. Mais ils peuvent cependant causer des

problèmes qui s‟aggravent avec le temps, ce qui fait qu‟une détection à temps à partir d‟une

certaine valeur d‟impédance, peut éviter des graves conséquences. La Figure 4.3 montre aussi

qu‟à partir des variations de 20% la signature des défauts sur le réflectogramme deviennent

plus visible.

4.2.1.2. Lignes simples désadaptées

Une deuxième configuration pouvant être rencontrée est celle d‟une ligne désadaptée. La

difficulté dans cette configuration est que l‟on aura en plus de la réponse significative du

défaut, des réflexions dues aux multiples réflexions entre l‟extrémité (circuit ouvert) et le

défaut. Nous considérons la même ligne que dans le paragraphe précédent, Figure 4.4.

0.6009 0.6509 0.7009 0.7509 0.8009 0.8509-0.1236

-0.0736

-0.0236

0.0264

0.0764

Figure 4.3: le réflectogramme de la ligne affectée par des défauts non francs

(5%, 10%, 40% et 60%)

Zoom

Position de défaut

Ligne

adaptée


107

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts





Les premières réflexions de la Figure 4.5 sont dues aux défauts non francs. Les amplitudes et

la position de ces réflexions correspondent bien aux valeurs des impédances et à la

localisation des défauts. Ensuite, nous remarquons le pic qui correspond à la charge de la

ligne (circuit ouvert). Les réflexions qui apparaissent après sont dues aux réflexions multiples

entre défauts et charge (circuit ouvert). Cette multitude de réflexions va créer des ambiguïtés

sur le nombre, la localisation et l‟impédance des défauts non francs, si nous ne connaissons

pas par avance la longueur et la charge de la ligne.

4.2.1.3. Inversion par AG

Nous remarquons qu‟il est facile de diagnostiquer l‟état d‟une ligne de transmission simple

adaptée, affectée par un défaut non franc, juste à partir de son réflectogramme. La localisation

de la réflexion, nous donne l‟information sur la position du défaut, et l‟amplitude de cette

réflexion, nous permet de caractériser (l‟impédance) le défaut.

Cet exemple permet de valider la méthodologie de diagnostic proposée sur un cas où l‟on

dispose de la solution.

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.120.12

Figure 4.4 : Ligne simple affectée par un défaut non franc et chargée par un circuit ouvert

Figure 4.5 : Réflectogramme de la ligne affectée par un défaut non franc (5%,

10%, 40% et 60%), est chargé circuit ouvert

Source

adaptée

Circuit

ouvert

Défaut non franc

ZD

L= 1,5 mètre

LD = 0,75 mètre

Zoom

Position de défaut

Circuit ouvert

Réflexions multiples


108

Avant de mettre en œuvre le processus d‟inversion, il est nécessaire de déterminer le nombre

de variables à optimiser et l'espace de variation pour chaque variable. L‟impédance de la

source et la charge de la ligne seront connues par avance. Le but ici est donc de minimiser la

différence entre le réflectogramme simulé par FDTD et celui obtenu par le modèle direct.

Dans ce cas la fonction coût est définie par :

1/22

( ) ( , , )1

( , )2

0 ( )

TDR Modv t v t x ZTF x Z dt

T TDRv t

(1-4)

où vTDR

(t) est l‟amplitude du réflectogramme d‟entrée de l‟algorithme (simulé par FDTD),

vMod

(t,x,Z) est le réflectogramme obtenu par le modèle direct, avec x, Z correspondant

respectivement à la position et l‟impédance de défaut.

La Figure 4.6 représente la zone d'optimisation composée de 2 variables (gènes)

correspondant à l‟impédance et la position du défaut.

Chaque paramètre (Impédance et position) est discrétisé entre (Zmin = 0 ohm, Zmax = 150 ohms

et xmin = 0, xmax = 1.5 m) respectivement. Le codage (nombre de bits) de ces paramètres est

déterminé en fonction de la précision souhaitée (ΔZ, Δx) et les bornes de variation de chaque

paramètre.

Les paramètres de l‟AG, discutés dans le chapitre 2, sont choisis et résumés sur le Tableau

4.1.

Tableau 4.1 : les paramètres de l’AG

Impédance (Z) Position (x)

Nombre de bits 5 7

Taille de la population 150

Probabilité de croisement 70%

Probabilité de mutation 1,5%

Source

adaptée

Charge

adaptée

Δx

ΔZ

xmin xmax

Zmin

Zmax

Zone d‟optimisation Maille

FDTD

Figure 4.6 : Zone d’optimisation de la ligne. Variations de l’impédance et de la position


109

a. Déroulement de l’algorithme

Dans un premier temps, nous avons décomposé la ligne en portions de tailles égales, de

longueur Δx =1,1 cm. L‟algorithme génétique va donc générer une population de façon

aléatoire, de 150 candidats. Chaque individu représente une combinaison des paramètres pour

l‟optimisation.

L‟opération de croisement s‟effectue avec une probabilité de Pc = 0,7. On modifie certains

gènes des deux enfants en appliquant l‟opérateur de mutation avec une probabilité de Pm =

0,15. À l‟aide du modèle directe (modèle FDTD), on calcule l‟adaptation de chaque individu.

On obtient une nouvelle génération qui est censée être composée d‟individus plus performants

pour trouver l‟optimum. L‟algorithme reboucle ensuite environ 100 fois, pour satisfaire le

critère d‟arrêt.

b. Résultats obtenus

Dans cette partie, nous allons présenter les résultats d‟inversion par AG pour le cas d‟une

ligne simple adaptée et affectée par un défaut non franc (d‟impédance de 5%, 10%, 40% et

60% de l‟impédance caractéristique de la ligne). Nous utilisons le réflectogramme simulé de

la Figure 4.2 comme entrée de l‟algorithme d‟optimisation.

Les meilleurs individus (impédance et position) sont illustrés dans le Tableau 4.2.

Tableau 4.2 : les paramètres de l’AG, et les résultats de l’inversion

Paramètres de

l’AG Résultats

Bits Pm Pc Impédance

(ohms)

Localisation

(mètre)

5% de changement d‟impédance

82,56 ohms

7/x

5/Z 1,5% 70%

80,95 0,78


86,49 ohms 85,50 0,77


110,08 ohms 109,89 0,74


125,81 ohms 125,06 0,75

Le Tableau ci-dessus montre la difficulté d‟identifier des défauts qui ont des changements

d‟impédance inférieure ou égale à 10%. Pour les autres défauts de changement d‟impédance

(40% et 60%), l‟algorithme optimise parfaitement l‟impédance et la position des défauts.

Concernant les nombres de bits dans le tableau 4.2, (7/x et 5/Z) signifient que pour la

localisation de défaut on code le paramètre en 7 bits et l‟impédance en 5 bits.

Pour avoir une idée de la convergence de l‟AG, nous représentons l‟évolution de la fonction

de coût en fonction des itérations, Figure 4.7.a. Nous constatons que l‟algorithme a convergé

en 100 itérations.


110

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Modèle direct (FDTD)

Inversion par AG

Afin d‟illustrer les résultats d‟inversion par AG, nous prenons à titre d‟exemple, la ligne

affectée par un défaut de 40% de l‟impédance caractéristique de la ligne. À partir du

réflectogramme de la Figure 4.7.b, nous constatons qu'il y a une bonne concordance entre le

réflectogramme du modèle direct (simulation FDTD), et celui issu de l‟inversion par AG.

4.2.1.4. Inversion par RN

a. Création des bases de données

La première étape dans la résolution du problème inverse par les RN consiste en la création

d‟une base d‟apprentissage. Cette base contient des données (ou des exemples) reliant les

réflectogrammes simulés à la position et l‟impédance du défaut. Le domaine de la base

d‟apprentissage est défini en fonction du domaine de variation possible de la position et

l‟impédance du défaut. Ceci suppose que nous devons avoir des connaissances a priori sur ces

variations pour fixer les limites supérieure et inférieure. Les limites supérieure et inférieure de

la position du défaut étant connues, xmax = 1,5 m, et xmin= 0 m avec un Δx= 1 cm. Pour

l‟impédance de défaut, Zmax = 150 ohms et Zmin = 0 ohm avec un ΔZ= 1 ohm. Nous prenons

les mêmes limites de variation que celles utilisées dans l‟inversion par AG, afin de comparer

les résultats obtenus.

Reprenons la ligne de transmission de la Figure 4.1. Les données d‟entrée de la base

d‟apprentissage sont les réponses temporelles de la ligne de transmission affectée par des

défauts ont des combinaisons de paramètres (x, Z), Figure 4.8.

Ces données issues de la simulation ainsi que les données (x, Z) sont stockées dans un fichier

qui forme la base d‟apprentissage. Les paramètres recherchés étant l‟impédance et la position

de défaut, ceux-ci constituent la sortie des RN.

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 20 40 60 80 100 1200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Convergence de l'algorithme génétique

Va

leu

r d

e l

a f

on

cti

on

ob

jecti

f

Itérations

Figure 4.7.a : convergence de l’AG

Zoom

Figure 4.7.b : comparaison des réflectogrammes

obtenus par FDTD et inversion utilisant AG


111

b. Mise en œuvre des réseaux de neurones

Comme il est illustré sur l‟organigramme du processus d‟inversion de la Figure 4.9, on a

utilisé un RN différent pour chaque paramètre à estimer. En effet, et d‟une façon générale, il

vaut mieux utiliser autant de réseaux que de paramètres à estimer. Ceci rend les réseaux

moins complexes avec moins de paramètres internes à ajuster.

Le RN est constitué d‟une couche cachée de fonctions tangentes hyperboliques et d‟un

neurone de sortie linéaire.

Avant d‟amorcer le processus d‟apprentissage, les paramètres à optimiser sont normalisés.

Le nombre d‟exemples d‟apprentissage est déterminé par la réalisation de plusieurs

campagnes d‟inversion avec des nombres d‟exemples différents. Nous avons ensuite tracé

l‟erreur d‟estimation sur la même base de test pour des RN construits à partir de ces

différentes bases d‟apprentissage. Le nombre de neurones choisi est 50. Le nombre

d‟exemples qui a été choisi est d‟environ 20000. Nous constatons qu‟un nombre d‟exemples

0 100 200 300 400 500-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Distance (points)

Am

pli

tud

e

Figure 4.8 : Quelques exemples de la base d’apprentissage

Mesures ou

simulations

RN1

RN2

Modèle

numérique

x : La position

Z : L‟impédance

Réflectogramme

de la ligne sous

test

Figure 4.9 : Processus d’inversion par RN


112

trop élevé conduit à un temps de création de la base d‟apprentissage et de réglage du RN

élevés.

La taille du RN est déterminée comme décrit précédemment (chapitre 3) en se servant de la

procédure de la validation croisée : nous sélectionnerons la configuration donnant après

apprentissage l‟erreur sur la base de test la plus faible.

Cependant, pour s‟assurer du bon apprentissage des RN, on doit tester leur capacité à

généraliser sur des exemples contenus dans la base de test. Les exemples de la base de test

sont généralement choisis de façon aléatoire avec un nombre d‟exemples assez élevé

(d‟environ 4000) pour que l‟ensemble du domaine d‟apprentissage soit représenté. La Figure

4.10 montre que dans les deux cas, un bon accord entre les résultats de simulation et les

résultats prédits a été obtenu. Si le modèle numérique est assez représentatif de la réalité

expérimentale, on devrait également obtenir de bons résultats d‟inversion sur les données

expérimentales.

c. Résultats obtenus

Les résultats de l‟inversion par RN sont en bon accord avec des valeurs de référence (valeur

de l‟impédance et la position du défaut) comme illustré dans le Tableau 4.2. Pour les défauts

d‟impédance inférieure ou égale 10%, nous faisons les mêmes remarques que précédemment.

Tableau 4.2 : Résultats de l’inversion par RN

Résultats

Impédance (ohms) Localisation (mètre)


82,56 ohms 81,09 0,77


86,49 ohms 85,91 0,76


110,08 ohms 110,11 0,76


125,81 ohms 125,57 0,75

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

Zd de la base de test

Zd

est

imé p

ar R

N

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

Ld de la base de test

Ld

est

imé p

ar R

N

Figure 4.10: Comparaison des données estimées avec celles contenues dans la base de test

L’impédance La position


113

4.2.1.5. Comparaison AG-RN :

La Figure 4.11 présente une comparaison des deux méthodes d‟inversion (AG et RN) avec

le réflectogramme de référence d‟une ligne simple adaptée et affectée par un défaut non franc

d‟impédance de 40% de l‟impédance caractéristique de la ligne. On constate que l‟impédance

et la position du défaut obtenu par RN et AG sont très proches des valeurs de référence.

Le Tableau 4.3 compare les résultats obtenus par les RN et AG avec les valeurs de référence.

Tableau 4.3 : Impédance et position des différents types de défauts

Impédance (en ohm) Position (en mètre)

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

5% de changement

d‟impédance 82,56 80,95 81,09 0,75 0,78 0,77

10% de changement

d‟impédance 86,49 85,50 85,91 0,75 0,77 0,76

40% de changement

d‟impédance 110,08 109,89 110,11 0,75 0,74 0,76

60% de changement

d‟impédance 125,81 125,06 125,57 0,75 0,75 0,75

On constate que les deux méthodes d‟inversion ont des difficultés pour identifier des défauts

ayant des changements d‟impédance inférieurs ou égaux à 10% de l‟impédance

caractéristique de la ligne.

La procédure d‟optimisation itérative utilisant l‟AG associées à la méthode FDTD est

coûteuse en temps de calcul. Cependant, elle présente l‟avantage d‟être robuste si le choix des

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e


Inversion par AG

Inversion par RN

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Figure 4.11: Comparaison des réflectogrammes obtenus par modèle

direct (FDTD) et inversion par AG et RN.

Zoom


114

paramètres de réglages (probabilités, taille de la population et nombre de bits) s‟est avéré

suffisamment bon.

La mise en place de l‟inversion par RN s‟effectue en deux temps. L‟apprentissage des

données à partir d‟un ensemble d‟une base de données peut s‟effectuer en amont (« offline »).

Cette étape peut demander un temps relativement important, en fonction du type de la ligne

(simple, Y ou complexe,) de la nature de défaut (franc ou non franc), et du nombre paramètres

utilisés pour réaliser l‟apprentissage (nombre d‟exemple, nombre de neurones) mais elle n‟a

besoin d‟être effectuée qu‟une seule fois. Cependant, si l‟on dispose de nouvelles données

(par exemple, une nouvelle structure de réseau) cette opération doit être réalisée à nouveau

pour mettre à jour la base d‟apprentissage. L‟utilisation de ce modèle neuronal établi

«offline» pour détecter, localiser et caractériser les défauts de câblage pourrait alors

probablement se faire en temps réel.

Par exemple, dans le cas où la ligne est affectée par un défaut de 40%, le temps d‟inversion

utilisant l‟AG est 5 min. Pour les RN, il prend beaucoup de temps pour l‟apprentissage,

(« offline »), par contre pour avoir l‟état de la ligne, ça prend moins d‟une seconde

(« online »). Cela fait la grande différence, entre les deux approches d‟inversion. Les calculs

sont réalisés avec une machine Dell équipée d‟un processeur Pentium 4 Core Due et 4 Gb de

mémoire (RAM).

4.2.2. Diagnostic de l’état d’un réseau filaire en Y

Dans cette partie, nous allons appliquer la méthode de diagnostic développée sur un réseau

filaire en Y à base de câbles bifilaires d‟impédance caractéristique de 78,63 ohms. Les

longueurs et les charges des tronçons secondaires (L2 et L3) sont illustrées sur la Figure 4.12

(a). Dans un premier temps, nous n‟introduisons aucun défaut dans le réseau. Ensuite nous

étudierons le cas avec un défaut non franc, utilisant les deux méthodes d‟inversion.

La Figure 4.12 (b) illustre le réflectogramme construit à partir des résultats de simulations. Le

premier pic négatif (amplitude égale à -0,3 et positionné à 1,5 mètre) correspond à la position

0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Figure 4.12: (a) réseau filaire en Y, (b) le réflectogramme du réseau en Y sain

(a)

(b)

L1 = 1,5m

L2 = 1,5m

L3 = 1,5m

Source

adaptée

Circuit

ouvert

Circuit

ouvert

J


115

de la jonction J. Ensuite, une multitude de pics atténués et retardés présente les différents

trajets dans le réseau.

4.2.2.1. Diagnostic du réseau filaire en Y en présence d’un défaut non franc

Considérons le même réseau filaire en Y, mais cette fois-ci affecté par un défaut non franc

d‟impédance de (20%, 40% et 60%) de l‟impédance caractéristique du réseau, de longueur 3

cm, situé sur le tronçon L2, à LD = 2,25 mètre par rapport à la source, Figure 4.13 (a).

La Figure 4.13 (b), présente une comparaison des réflectogrammes du réseau filaire en Y,

avant et après l‟affectation par le défaut non franc. Nous remarquons que la position du défaut

par rapport à la source se perçoit facilement. Par contre, l‟identification de la branche sur

laquelle est le défaut est impossible et la configuration étudiée est donc source d‟ambiguïté.

Nous allons cependant mettre en application nos algorithmes pour observer la convergence

vers l‟une des solutions.


La procédure de la résolution du problème inverse est presque identique à celle d‟une ligne

simple affectée par un défaut non franc. La différence est dans le nombre de paramètres à

optimiser, ainsi que dans la plage de variation de chaque paramètre. Le réseau de la Figure

4.13 (a) possède trois tronçons. Et comme nous considérons que le réseau est affecté par un

seul défaut non franc, mais que l‟on ne connaît ni sa position ni son impédance, cela donne 2

paramètres à optimiser.

Les limites de variation de chaque paramètre à optimiser sont données dans le Tableau 4.4

Tableau 4.4 : Bornes de variation des paramètres du défaut

Min Max

ZD (ohm) 0 150

xD (mètre) 0 4,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts



60% de changement d'impédance2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

J

L1 = 1,5 m

L2 = 1,5m

L3 = 1,5 m

Source

adaptée

Circuit

ouvert

Circuit

ouvert

LD = 2,25 m

Zoom

Position de défaut

Figure 4.13: (a) réseau filaire en Y affecté par un défaut non franc, (b) les réflectogrammes du

réseau en Y sans et avec les défauts

(a)

(b)


116

La Figure 4.14 représente la zone d'optimisation composée des variables correspondant à

l‟impédance et la position du défaut dans chaque branche.

La technique de codage est identique à l‟exemple précédent. Les paramètres de l‟AG sont

présentés dans le Tableau 4.5.

Tableau 4.5 : Paramètres de l’AG

Impédance Position

Nombre de bits 5 7




a. Résultats obtenus

Les résultats obtenus ainsi que les principaux paramètres de l‟AG sont illustrés sur le

Tableau 4.6.

Tableau 4.6 : Paramètres de l’AG, résultats de l’inversion

Paramètres de l’AG Résultats

Bits Pm Pc Impédance (ohm) Localisation

Sur L2 (mètre)

20% de changement

d‟impédance 94,35 ohms

7/x

5/Z 1,5% 70%

93,77 0,77

40% de changement

d‟impédance 110,08 ohms 109,94 0,76

60% de changement


La Figure 4.15, montre la convergence vers la solution optimale (l‟évolution de la fonction de

coût) au fur et à mesure des itérations.

Figure 4.14 : Zone d’optimisation du réseau en Y, variation de l’impédance et la position du défaut

Source

adaptée

L1 x1min

Zmin

Zmax

Zone

d‟optimisation

x1max = x2min x3min x2max = x3min

Jonction

J

Terminal de

L2

Terminal de

L3

L2 L3


117

La Figure 4.16 illustre le réflectogramme du réseau en Y affecté par un défaut non franc

obtenu par la simulation (FDTD) et inversion par AG. On constate une bonne concordance

des réponses et pour la position et l‟impédance de défaut.

Nous avons remarqué que l‟on peut diminuer l‟espace de recherche, juste à partir d‟une

comparaison des réflectogrammes du réseau avant et après qu‟il soit affecté par un défaut. S‟il

n‟y a pas de variation ou réflexion due à un défaut non franc avant le premier pic négatif

significatif de la jonction et de la longueur de la première branche (ou branche principale).

Nous pouvons exclure la première branche du domaine de recherche.


Comme dans la configuration d‟une ligne simple, la base de données est créée à partir de la

modélisation FDTD. Les données sont obtenues en variant la position du défaut entre (0 et 4,5

mètre), et l‟impédance entre (0 et 150 ohms).

L‟apprentissage du réseau de neurones est effectué avec 65 neurones. Une fois les RN créés,

les données de simulations (ou de la base de test) sont injectées à l‟entrée du RN. Ce qui

concerne les entrées, nous avons utilisé le réflectogramme du réseau en Y affecté par un

défaut non franc, d‟impédance de (20%, 40% et 60%) de l‟impédance caractéristique du

réseau, Figure 4.13 (b).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e


Inversion par AG

2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5 2.55 2.6-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

10-4

10-2

100

Va

leu

r d

e l

a f

on

cti

on

de c

oû

t

Itérations

Figure 4.16: Réflectogramme du réseau en Y

affecté par un défaut non franc (40%)

Zoom

Figure 4.15: convergence de l’AG


118

La Figure 4.17 présente les résultats de l‟inversion sur cette base de test avec les RN

sélectionnés précédemment. Les résultats obtenus sont très satisfaisants.

a. Les résultats obtenus

Les résultats d‟inversion par RN sont présentés sur le Tableau 4.7.

Tableau 4.7 : Résultats de l’inversion par RN

Impédance

(ohm)

Localisation sur L2

(mètre)


94,35 ohms 94,20 0,76


110,08 ohms 110,01 0,75


125,81 ohms 125,51 0,74

Le Tableau compare les résultats obtenus par les RN avec les valeurs de référence. Les

résultats de l‟inversion par RN sont en bon accord avec des valeurs de référence. À partir de

ces résultats, on peut conclure que le RN arrive à généraliser et donne des résultats avec une

bonne précision.

4.2.2.4. Comparaison AG-RN

Le Tableau 4.8 montre les résultats obtenus de la localisation et caractérisation des défauts

non francs avec les deux méthodes d‟inversion (RN et AG). Nous remarquons que les deux

approches optimisent bien les paramètres du défaut (impédance et position), avec un léger

avantage pour le RN. Sur la Figure 4.18, nous comparons le réflectogramme simulé du réseau

affecté et celui obtenu par inversion AG et RN.

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

Zd de la base de test

Zd

esti

mé p

ar R

N

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

Ld de la base de test

Ld

esti

mé p

ar R

N

Figure 4.17: Comparaison des données estimées avec celles contenues dans la base de test

L’impédance La position


119


Impédance (en ohm) Position (en mètre)

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

20% de changement

d‟impédance 94,35 93,77 94,20 0,75 0,77 0,76

40% de changement

d‟impédance 110,08 109,94 110,01 0,75 0,76 0,75

60% de changement

d‟impédance 125,81 125,14 125,51 0,75 0,74 0,74

4.2.3. Diagnostic de réseaux filaires complexes

4.2.3.1. Problème direct : analyse du réseau complexe en présence d’un défaut

non franc

Une topologie de réseau en Y peut être considérée comme un réseau complexe des plus

simples que l‟on puisse rencontrer, mais dans une automobile ou un avion les réseaux de

câblage sont de plus en plus complexes. Pour cela nous allons étudier dans cette partie le

diagnostic de ces réseaux filaires affectés par des défauts non francs. Considérons pour cela le

réseau filaire de la Figure 4.19 (a). Il est constitué d‟un câble bifilaire d‟impédance

caractéristique de 78,63 ohms. Les longueurs des branches et les extrémités du réseau sont

indiqués sur la Figure 4.19 (a). Le réflectogramme de la structure saine est illustré dans la

Figure 4.19 (b).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e


Inversion par AG

Inversion par RN

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Zoom

Figure 4.18: Comparaison des réflectogrammes obtenus par

modèle direct (FDTD) et inversion par AG et RN.


120

Nous introduisons un défaut non franc situé à LD=6,25 mètre de la source et sur la branche L5,

Figure 3.20 (a). Les impédances des défauts non francs sont de (20%, 40% et 60%) de

l‟impédance caractéristique de la ligne.

La Figure 4.20 (b) représente une comparaison des réflectogrammes simulés (sans et avec

défaut) du réseau filaire complexe. Ces réflectogrammes nous permettent de détecter et

localiser un défaut non franc à une distance de 6,25 mètre du plan d‟injection. Par contre,

nous ne sommes pas capables d‟identifier la branche où est le défaut ainsi que son

l‟impédance seulement à partir du réflectogramme.


Dans cette partie, nous allons appliquer la méthode de diagnostic utilisant l‟inversion par

les AG. Les paramètres de l'algorithme génétique sont les mêmes que ceux utilisés dans la

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Am

pit

ud

e

Distance (m)

L1+L4+2L6L1+2L3 L1+L2+L4

L1+2L2+L3

L1+2L2

L1+3L2

L1+L2 L1+L3L1+L2+L3

L1+L4+L6

L1+L4+L5

L1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Am

pli

tud

e

Distance (meter)

Sans défauts




5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

L1=1m

C.O L2=0,6m

L3=2,25m C.O

L4=4,25m L5=1,75m

L6=1m

C.O

C.O

Figure 4.19: (a) réseau filaire complexe, (b) réflectogramme du réseau complexe sain

(a)

(b)

Figure 4.20: (a) réseau filaire complexe affecté par un défaut non franc, (b) les réflectogrammes

du réseau complexe sans et avec les défauts

(a)

(b)

C.O

L1=1m

C.O L2=0,6m

L3=2,25m C.O

L4=4,25m L5=1,75m

L6=1m C.O

Défaut

LD=6,25m

Zoom

Position de défaut


121

configuration précédente. Les bornes de variation de chaque paramètres sont : [0 – 150 ohms]

pour l‟impédance est [0 – L], avec L, la longueur de chaque branche, pour la position.

a. Résultats obtenus

Le Tableau ci-dessous montre les résultats de l‟inversion par AG comparé aux valeurs de

référence, ainsi que les principaux paramètres de l‟AG (taille de bits et les probabilités).

Tableau 4.9 : Paramètres de l’AG, résultats de l’inversion

Paramètres de l’AG Résultats

Bits Pm Pc Impédance

(ohms)

Localisation

(mètre)

20% de changement

d‟impédance 94,35 ohms

6/x

5/Z 1,5% 70%

93,93 6,23

40% de changement


60% de changement


Nous remarquons qu‟il y a une très bonne concordance entre les valeurs de référence de

défauts et ceux obtenus par l‟AG.

Sur la Figure 4.22, nous comparons les réflectogrammes obtenus par le modèle direct (FDTD)

et par inversion utilisant l‟AG, d‟un réseau complexe affectée par un défaut non franc

d‟impédance de 40% de l‟impédance caractéristique du réseau, situé sur la branche L5. Cette

comparaison confirme de nouveau les performances de l‟AG pour l‟optimisation des

paramètres des défauts. Sur la Figure 4.21 nous avons tracé l‟évolution de la fonction de coût

en fonction des itérations.


Nous avons appliqué les RN sur la configuration précédente. Les conditions d‟inversion

sont les suivantes : nombre de neurones cachés 75, et le nombre d‟exemples est environ

0 50 100 150 200

10-2

10-1

Va

leu

r d

e l

a f

on

cti

on

de c

oû

t

Itérations

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Am

pli

tud

e

Distance (m)


Inversion par AG

5.9 5.95 6 6.05 6.1 6.15 6.2 6.25 6.3 6.35 6.4 6.45 6.5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Zoom

Figure 4.22: Réfléctogramme du réseau en Y

affecté par défaut non franc (40%)

Figure 4.21: convergence de l’AG


122

22000, dont 8800 de validation, 4400 de test et 8800 d‟apprentissage. Notons que, comme

l‟exemple précédent (réseau en Y), on utilise pour chaque paramètre à estimer (l‟impédance et

la position du défaut) un RN différent.

Le Tableau 4.10 montre les résultats d‟inversion obtenus :

Tableau 4.10 Résultats de l’inversion par RN

Impédance

(ohms)

Localisation

(mètre)

20% de changement


40% de changement


60% de changement


Suite aux résultats obtenus, montrés dans le Tableau 4.10, on peut constater que le modèle

inverse neuronal donne des résultats avec une bonne précision.

4.2.3.4. Comparaison AG et RN

Afin de comparer les résultats d‟inversion par les deux méthodes (AG et RN), nous

prenons les mêmes bornes de variation des paramètres à optimiser ainsi que les pas de

discrétisation. Le Tableau 4.11 résume les différents résultats obtenus par AG et RN

comparés aux valeurs de référence.


Impédance (ohm) Position (mètre)

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

20% de changement

d‟impédance 94,35 93,93 94,86 6,25 6,23 6,23

40% de changement

d‟impédance 110,08 109,97 110,03 6,25 6,24 6,24

60% de changement

d‟impédance 125,81 125,56 125,82 6,25 6,24 6,25

Suite aux résultats obtenus dans le Tableau 4.11, on constate que le modèle inverse neuronal,

développé à base de réseaux neurone MLP, est en mesure de généraliser et il donne des

résultats avec une bonne exactitude par rapport à celui de l‟algorithme génétique.


123

La Figure 4.23 compare des réflectogrammes du réseau complexe de la Figure 4.20(a),

obtenus par le modèle direct (FDTD) à celui obtenu en résolvant le problème inverse par AG

et RN. Dans les deux cas (direct et inverse), nous constatons que les réflectogrammes sont très

proches l‟un de l‟autre.

4.3. Analyse des lignes affectées par des défauts francs

L‟aggravation des défauts décrits précédemment (non francs) peut causer et créer des

défauts plus graves (francs) conduisant à des conséquences catastrophiques [FURS 06]. Pour

cela, l‟étude et l‟analyse de ces défauts francs à une importance crucial dans le diagnostic

filaire. Comme nous avons vu dans le cas des défauts non francs, la complexité des

configurations à étudier sera croissante. Nous commençons par une ligne simple, ensuite un

réseau en Y, et à la fin des réseaux complexes. Tous les résultats présentés ici ont été obtenus

à partir de données expérimentales acquises au laboratoire.

4.3.1. Diagnostic de lignes simples

Considérons une ligne simple de longueur 1,5 mètre, d‟impédance caractéristique 50 ohms

affectée par des défauts francs (circuit ouvert ou court circuit) à 0,75 mètre par rapport à la

source. L‟extrémité gauche de la ligne est chargée par une source d‟impédance ZG = 50 ohms.

L‟extrémité droite de la ligne est adaptée, Figure 4.24 (a).

0 2 4 6 8 10-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Am

pli

tud

e

Distance (meter)


Inversion par AG

Inversion par RN

5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Figure 4.23: Comparaison des réflectogrammes obtenus par

modèle direct (FDTD) et inversion par AG et RN.

Zoom


124

Le réflectogramme de la Figure 4.24 (b) présente une comparaison entre la réponse de la ligne

sans et avec les défauts franc (circuit ouvert et court circuit). Nous remarquons qu‟à la

position de défaut, un pic positif (circuit ouvert) ou négatif (court circuit) signifie la présence

d‟un défaut franc. Nous pouvons donc en déduire des informations (position et nature) du

défaut juste à partir du réflectogramme. Celui-ci donc va nous permettre de valider le modèle

inverse sur ce cas simple.


Dans le cas des défauts francs, les paramètres à estimer se limitent à deux : la nature du

défaut (circuit ouvert ou court circuit) et la longueur de la ligne. Déterminer la longueur de la

ligne signifie connaitre la position du défaut.

La Figure 4.25 montre la zone d‟optimisation, constitué de deux paramètres. Le premier est la

nature de défaut (CO ou CC). Le second est la longueur de la ligne (position du défaut) et

varie entre 0 et 1,5 mètre.

Les paramètres de l‟AG ainsi que les résultats obtenus sont illustrés sur le Tableau 4.12 et

les Figures 4.26 et 4.27.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défaut

Avec défaut franc (court circuit)

Avec défaut franc (circuit ouvert)

Source

adaptée

Charge

adaptée

Δx

xmin xmax

C.O

C.C

Zone d‟optimisation Maille

FDTD

Figure 4.24: (a) une ligne simple adaptée, affectée par un défaut franc, (b) Comparaison des

réflectogrammes obtenus par expérience d’une ligne sans et avec défauts francs.

(a) (b)

Charge

adaptée

L= 1,5 m

LD= 0,75 m

Défaut franc Source

adaptée

Figure 4.25 : Zone d’optimisation de la ligne


125

Figure 4.27: comparaison des réflectogrammes

obtenus par mesure et inversion utilisant AG

Tableau 4.12: Paramètres de l’AG

Nombre de bits 6




Les résultats obtenus sont très satisfaisants. Une reconstruction de la ligne nous a permis de

déterminer la position et la nature du défaut.


Vu la simplicité de la réponse de la ligne simple affectée par un défaut franc, pour

l‟identification du défaut, nous sommes conscients que l‟utilisation des RN n‟est pas très

avantageuse dans ce cas. En effet, il suffirait d‟analyser la réponse de la ligne pour identifier

la nature et la position du défaut franc. Mais l‟utilisation des RN va nous permettre de valider

le modèle inverse sur ce cas simple.

Nous avons créé la base de données à partir des variations des paramètres du défaut (longueur

de la ligne et la nature de défaut (court circuit ou circuit ouvert)) et les réflectogrammes qui

correspondent. La nature de défaut comporte deux exemples, et la longueur de la ligne

comporte environ 400 exemples.

Les deux RN ont chacun 50 neurones dans leur couche cachée. Les résultats de l‟inversion sur

une base de test de 80 exemples pris aléatoirement dans le domaine d‟apprentissage sont

montrés à la Figure 4.28.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Mesures

Inversion par AG

0 20 40 60 80 100 120 140 16010

-4

10-3

10-2

10-1

100

Va

leu

r d

e l

a f

on

cti

on

de c

oû

t

Itérations

Figure 4.26: Evolution de la fonction de coût

en fonction des itérations


126

Ces résultats montrent clairement que l‟inversion par RN est très bien réalisée pour

l‟estimation des paramètres d‟un défaut franc, (Figure 4.29).

À partir du réflectogramme expérimental de la ligne affectée par des défauts francs et le

modèle neuronal constitué à partir de la simulation, nous avons déterminé les paramètres de

défaut franc. Les résultats de l‟inversion sont très satisfaisants et il est très rapide d‟identifier

le défaut.

4.3.1.3. Comparaison entre AG et RN

Le Tableau 4.13 résume les différents résultats obtenus par AG et RN comparés aux valeurs

de référence. Les résultats sont très satisfaisants pour les deux défauts francs.

Tableau 4.13 reconstruction d’une ligne simple

Court circuit Circuit ouvert

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

L (en mètre) 0,75 0,74 0,75 0,75 0,75 0,75

4.3.2. Diagnostic de l’état d’un réseau filaire en Y

Dans cette partie, nous allons diagnostiquer l‟état d‟un réseau filaire en Y, affecté par un

ou plusieurs défauts francs. Nous allons tout d‟abord considérer un réseau en Y de la Figure

4.30 (a).

Le réseau est constitué de câbles coaxiaux d‟impédance caractéristique de 50 ohms. Les

longueurs des branches et les charges des extrémités sont indiquées sur la Figure 4.30 (a).

Nous considérons que la source a une impédance adaptée à l‟impédance caractéristique du

câble coaxial.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Distance(m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Inversion par RN

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

L de la base de test

L e

stim

é p

ar

RN

Figure 4.28: Comparaison des données estimées

avec celles contenues dans la base de test

Figure 4.29: comparaison des réfléctogrammes

obtenus par mesure et inversion utilisant RN


127

La Figure 4.33 (b) compare le réflectogramme simulé avec celui mesuré sur un réseau en Y

sain. Les deux réponses sont très proches l‟une de l‟autre, les quelques petites différences sont

dues aux pertes des connecteurs.

4.3.2.1. Réseau filaire en Y affecté par un défaut franc

Dans un premier temps nous considérons que le réseau filaire en Y est affecté par un seul

défaut franc sur l‟une de ces branches, Figure 4.31.

Les réflectogrammes présentés, Figures 4.32, 4.33 et 4.34 comparent la réponse mesurée du

réseau en Y sans et avec le défaut franc.

Suivant la position du défaut, il est possible de le localiser sans ambiguïté à condition de

connaître à l‟avance la topologie du réseau : par exemple dans la Figure 4.32 nous apercevons

un pic significatif de défaut franc avant le pic de la jonction ce qui signifie que forcément le

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Simulation

Figure 4.30: (a) réseau filaire en Y chargé circuit ouvert (CO), (b) réflectogrammes correspondant

au réseau en Y.

(a) (b)

L1 = 1,5 m, L2 = 1,5 m, L3 = 1,5 m, LD1 = 0,75 m, LD2 = 2,25 m et LD3 = 1,88 m

Figure 4.31: Réseau en Y affecté par un défaut franc sur (a) la branche principale L1, (b) sur la

branche secondaire L2, et (c) sur l’autre branche secondaire L3.

(a) (b)

(c)

L1

L2

L3

C.O

C.O LD1

L1

L2

L3

C.O

C.O

LD2

L1

L2

L3

C.O

C.O LD3

L1=1,5m

L2=1,5m

L3=1,5m

Circuit

ouvert

Circuit

ouvert

Source

adaptée


128

défaut est sur L1. Par contre si le défaut est à une distance comprise dans l‟intervalle [L1,

L1+L2], alors il y a ambiguïté sur sa localisation. Les réflectogrammes de la Figure 4.33

donnent un exemple lorsqu‟un circuit ouvert ou court-circuit est situé à une distance de 2,25

mètre compris dans l‟intervalle [L1, L1+L2] puis situé à une distance de 1,88 mètre dans le cas

de la Figure 4.34. Dans ces deux dernières configurations et à partir de la comparaison nous

sommes capables de dire à quelle distance se trouve le défaut mais impossible d‟affirmer

quelle branche est défectueuse.

4.3.2.2. Réseau filaire en Y affecté par deux défauts francs

Maintenant nous allons introduire un deuxième défaut franc sur le même réseau en Y. Les

défauts sont sur deux branches différentes. Comme l‟exemple précédent, plusieurs

configurations sont possibles, mais nous allons en choisir une, illustrée dans la Figure 4.35

(a).

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Distance (m)

Am

plit

ude

Sans défauts



0 1 2 3 4 5 6 7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distance (m)

Am

plit

ud

e

Sans défauts



0 1 2 3 4 5 6 7-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts



Figure 4.32: Comparaison des réflectogrammes

obtenus par expérience du réseau en Y (a) sans et

avec défaut franc.


obtenus par expérience du réseau en Y (b) sans et

avec défaut franc.


obtenus par expérience du réseau en Y (c) sans et

avec défaut franc.


129

Les réflectogrammes présentés sur la Figure 4.35 (b) sont obtenus par mesure. Ils

correspondent à une comparaison de la réponse du réseau en Y sans et avec deux défauts

francs sur deux branches différentes à des distances différentes par rapport à la source. La

comparaison montre la présence d‟un défaut franc à 1,88 mètre, mais nous ne sommes pas

capables de dire sur quelle branche il est (sur L2 ou L3). De même on ne peut pas savoir s‟il y

d‟autres défauts plus loin sur le réseau (à une distance supérieure à 1,88 mètre), juste à partir

d‟une comparaison des réponses.


Dans cette partie, nous allons présenter quelques résultats d‟inversion par les algorithmes

génétiques dans le cas où le réseau en Y est affecté par un et deux défauts francs.

Les paramètres à optimiser par l‟AG sont donc, les longueurs des branches du réseau et la

nature du défaut franc (court circuit ou circuit ouvert). Les bornes de variation de chaque

paramètre ainsi que les paramètres de l‟AG sont données dans les Tableaux 4.14 et 4.15.

Tableau 4.14 Bornes de variation des longueurs

Min Max

1ére

Tronçon L1 0 1,5 m

2éme

Tronçon L2 0 1,5 m

3éme

Tronçon L3 0 1,5 m


Nombre de bits 6




L1=1,5m

L2=1,5m

L3=1,5m

C.O

C.O

LD2=2,25m

LD1=1,88m

Figure 4.35: (a) réseau filaire en Y affecté par deux défauts francs (CO ou CC), (b) Comparaison des

réflectogrammes obtenus par expérience du réseau (a) sans et avec défauts francs.

(a) (b)

0 1 2 3 4 5 6 7

-0.5

0

0.5

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts

Avec deux défauts francs(CC sur L3 et CO sur L2)

avec deux défauts francs (circuit ouvert)


130

Sur la Figure 4.36, pendant les 50 premières itérations, nous constatons souvent une

augmentation de la fonction de coût. Ce résultat est dû au caractère aléatoire de la création de

certains individus de la population. Il permet à l'algorithme, outre l'accélération de la

convergence au début du processus, d'avoir une meilleure robustesse vis à vis des maxima

locaux.

La Figure 4.37 représente les réseaux filaires en Y reconstruits utilisant l‟AG et les

réflectogrammes obtenus expérimentalement de la configuration affectée par un ou deux

défauts francs. Les nouvelles longueurs des branches des réseaux permettent de localiser les

défauts sur les branches. Les charges de ces branches permettent de caractériser ces défauts

francs.

0 20 40 60 80 100 120 140 16010

-4

10-3

10-2

10-1

100

Va

leu

r d

e la

fo

nct

ion

de

coû

t

Itérations

Figure 4.36: Evolution de la fonction de coût en

fonction des itérations

Figure 4.37: Réseaux en Y reconstruits à partir des AG

Défaut franc sur L2


Deux défauts francs sur L2 et L3

L1=1,49 m L2=0,74 m

L3=1,48 m

C.O

C.O

L1=1,49 m L2=0,75 m

L3=1,47 m

C.C

C.O

L1=1,50 m

L2=1,47m

L3=0,37 m

C.O

C.O

L1=1,48 m

L2=0,76 m

L3=0,39 m

C.O

C.O

L1=1,49 m

L2=1,50 m

L3=0,38m

C.O

C.C

L1=1,49 m

L2=0,75 m

L3=0,37 m

C.O

C.C


131

Analyse paramétrique

Afin d‟analyser l‟effet des variations des paramètres de l‟AG sur les résultats de

reconstruction, nous avons effectué une étude sur la variation de la taille des bits et la

précision voulue. Pour cela nous allons considérer le cas du réseau affecté par deux défauts

francs.

Tableau 4.16 : Influence des paramètres de l’AG

Bits Taille de

population Itérations CPU (s)

L1

(mètre)

L2

(mètre)

L3

(mètre)

Cas 1 4 100 300 15,12 1,467 0,737 0,357

Cas 2 6 63 100 9,14 1,487 0,748 0,375

Cas 3 7 150 150 16,92 1,496 0,751 0,382

Cas 4 8 200 400 31,73 1,500 0,752 0,377

Cas 5 10 200 300 26,11 1,498 0,751 0,381

D‟après le Tableau 4.16, nous remarquons à chaque fois que l‟on augmente le nombre de bits

de codage des paramètres à optimiser, on augmente bien sûr la précision et aussi le temps de

calcul. Compte-tenu de la précision et du coût de calcul, ces résultats nous ont conduits à

choisir les paramètres d‟inversion correspondant au cas n°2.

Comme pour le cas défauts non francs, le nombre de paramètres à optimiser peut diminuer en

fonction de la comparaison des réflectogrammes sans et avec défauts. Par exemple, si sur la

réponse on ne remarque aucun changement avant L1, on peut exclure L1 du domaine de

recherche. Et si la réponse du réseau sous test ne manifeste aucun changement (par rapport à

la réponse du réseau sain), avant L1+L2, on peut exclure L2 aussi de l‟espace de recherche, et

ainsi de suite jusqu'à l‟apparition de la réflexion de défaut.


Les RNs sont utilisés dans cette partie afin de reconstruire la topologie du réseau en Y

affecté par un (ou plusieurs) défaut (s) franc (s). La base de données a été créée à partir du

modèle direct (FDTD). La Figure 4.38 montre l‟organigramme du processus d‟inversion

adopté. La structure de chaque RN, ainsi que les fonctions d‟activations des couches sont les

mêmes utilisées dans l‟application précédent. L‟entrée du RN MLP est constituée du

réflectogramme issu des mesures d‟un réseau filaire en Y affecté par un ou plusieurs défauts

francs et la sortie contient un neurone correspondant à la longueur d‟une branche Li, et à la

caractérisation de défaut (circuit ouvert, C.O ou court circuit, C.C). Dans cette application, la

base d‟apprentissage est constituée d‟environ 21000 exemples, et les bases de validation et de

test sont constituées de 8500 exemples chacune. Ci-après est représentée la procédure

d‟inversion.


132

Le choix du nombre de neurones dans la couche cachée est déterminé de la même manière

que l‟application précédente en faisant varier le nombre de neurones de 5 à 200 et faisant

plusieurs initialisations des poids et des biais pour chaque configuration. La Figure 4.39

montre l‟évolution de l‟EQM sur les bases d‟apprentissage et de validation en fonction du

nombre de neurones dans la couche cachée. Il est constaté que le nombre de neurones dans la

couche cachée correspondant à une EQM la plus faible sur la base de validation est de 45

neurones.

La performance de l‟estimation des longueurs des branches du réseau et la caractérisation des

défauts par le RN est caractérisée par le calcul de l‟erreur relative sur la base de test. On

conclut que le RN MLP arrive à généraliser et donne des résultats avec une bonne précision.

La Figure 4.40 montre l‟erreur relative des paramètres estimés en fonction des paramètres

réels.

20 40 60 80 100 120 14010

-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Nombre de neurones cachés

EQ

M

Apprentissage

Test

Figure 4.38: Schéma d’inversion par RN des données du réseau en Y

Figure 4.39: Evolution de l’erreur sur la base de test en fonction du

nombre de neurones de la couche cachée

Couche

caché

Entrée Sortie

L1 N+1

1

2

N

Réflectogramme du

réseau Y affecté par

défaut franc

(V,L)

(V,L)

(V,L)

L2, CO ou CC N+1

1

2

N

L3, CO ou CC N+1

1

2

N


133

Dès qu‟on a fini de construire le modèle neuronal «off-line», et à partir du réflectogramme

mesuré du réseau filaire en Y affecté par des défauts francs, nous reconstruisons le réseau. La

Figure 4.41 présente les réseaux reconstruits par les RN et les réflectogrammes de la

configuration affectée par un ou deux défauts francs.

4.3.2.5. Comparaison entre AG et RG

Le Tableau suivant résume les différents résultats obtenus par AG et RN comparant la

valeur de référence, pour le cas où le réseau en Y est affecté par deux défauts francs. Les

résultats sont très satisfaisants pour les deux types de défaut franc.

Tableau 4.17 : Longueurs des différentes branches

Court circuit sur L3 Circuit ouvert sur L3

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

Valeur de

référence

Inversion

par AG

Inversion

par RN

L1 (en mètre) 1,50 1,49 1,50 1,50 1,48 1,50

L2 (en mètre) 0,75 0,75 0,74 0,75 0,76 0,75

L3 (en mètre) 0,38 0,37 0,38 0,38 0,39 0,37

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

L2 de la base de test

L2

est

imé

pa

r R

N

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

L3 de la base de test

L3

est

imé

pa

r R

N

Figure 4.40 : Estimation des longueurs des branches affectées

Figure 4.41: les réseaux en Y reconstruits à partir de RN



Deux défauts francs sur L2 et L3

L1 =1,50 m L2 =0,74 m

L3=1,49 m

C.O

C.O

C.O

L1 =1,50 m

L2 =1,48 m

L3=0,38 m C.O

L1 =1,50 m

L2 =0,75 m

L3=0,37 m

C.O

C.O


134

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distance (m)

Am

pli

tud

e

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts



4.3.3. Diagnostic de l’état d’un réseau en Y constitué des paires torsadées

Dans cette partie nous considérons la même configuration filaire précédente (réseau en Y),

mais cette fois constituée par des paires torsadées d‟impédance caractéristique de 120 ohms.

Les longueurs et les charges des tronçons secondaires (L2 et L3) sont illustrées sur la Figure

4.42(a). Le réflectogramme mesuré de la structure saine est illustré dans la Figure 4.42(b).

Les petites oscillations ou réflexions entre les pics significatifs de la réponse, sont dues aux

variations d‟impédance le long de la configuration.

Nous introduisons un défaut franc (circuit ouvert ou court circuit) sur la branche L3. Le

réflectogramme de la figure 4.43(b) illustre une comparaison des réponses de la structure

filaire sans et avec le défaut franc. Nous remarquons que les deux réponses sont très proches

l‟une de l‟autre avant 2,1 mètres (la position de défaut par rapport à la source).

Figure 4.42 : (a) Réseau en Y constitué par des paires torsadées chargées en circuit ouvert

(CO), (b) réflectogramme correspondant au réseau Y

L2 = 1,47 m

L1 = 1,2 m

L3 = 1,7 m

C.O

C.O

VNA

(a) (b)

Figure 4.43 : (a) Réseau en Y constitué par des paires torsadées affecté par un défaut franc, (b)

Comparaison des réflectogrammes obtenus par expérience du réseau en Y, sans et avec défaut

franc

L2 = 1,47 m

L1 = 1,2 m

L3 = 1,7 m

C.O

C.O

VNA

Ld = 2,1 m

(a)

(b)


135

0 1 2 3 4 5 6 7-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Inversion par AG

Afin d‟identifier et localiser ces défauts francs sur la structure filaire nous appliquons la

méthode de diagnostic proposée utilisant l‟approche d‟inversion itérative.


On a vu précédemment que le nombre et la nature des paramètres à optimiser par l‟AG

dépend de la nature du défaut. Dans le cas de défauts francs, l‟objectif de la résolution du

problème inverse est la reconstruction de la topologie filaire afin de localiser le défaut et

l‟identification des charges des branches secondaires afin de caractériser le défaut. Dans le cas

du réseau filaire de la figure 4.43(a) nous avons cinq paramètres (les longueurs des trois

branches L1, L2, et L3 et les deux charges des branches secondaires L2, et L3).

Les limites de variations de chaque paramètre sont entre 0 et Li pour les longueurs des

branches, avec i = 1, 2, 3, et soit court circuit ou circuit ouvert pour la nature des défauts.

À partir du réflectogramme mesuré de la structure filaire affectée, le modèle direct et

l‟algorithme génétique avec ces différents paramètres donnés dans le tableau 4.18, nous

reconstruisons la topologie du réseau filaire, figure 4.44. Les nouvelles longueurs du réseau

ainsi que les charges des branches secondaire vont nous permettre d‟identifier et localiser le

défaut franc sur le réseau filaire multiconducteur.


Nombre de bits 6




L2 = 1,42 m

L1 = 1,18 m

L3 = 0,9 m

C.O

C.O

Figure 4.44 : Réseau en Y constitué par des

paires torsadées reconstruit à partir des AG

Figure 4.45 : Comparaison des réflectogrammes

mesuré et celui obtenu par inversion AG


136

La figure 4.45 présente une comparaison du réflectogramme mesuré du réseau en Y affecté

avec celui obtenu par inversion AG. Une relative bonne concordance est obtenue sur les pics

principaux.

4.3.4. Diagnostic de l’état d’un réseau filaire complexe

Afin de montrer la robustesse de la méthodologie de diagnostic proposé, nous allons tester

sur des configurations de réseaux filaires complexes, affectés par un et deux défauts. Pour

cela nous avons choisi les deux configurations de réseau complexe, Figure 4.46.

Les réseaux sont constitués des câbles d‟impédance caractéristique de 50 ohms, les longueurs

et les charges des branches secondaires sont indiquées sur la Figure 4.46. La source est

adaptée à l‟impédance caractéristique du câble.

Nous étudierons d‟abord les réseaux sains (sans défauts).

Les réflectogrammes des Figures 4.47 et 4.48 montrent le bon accord entre les simulations

(modèle FDTD) et les mesures, pour les principaux pics de la réponse, dont les amplitudes et

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Simulation

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Mesure

Simulation

Figures 4.46: Deux réseaux de topologie complexe

C.O

C.O L4 =0,75m

L5 =1,5m

C.O

L1 =1,5m

L2 =1,5m

L3 =1,5m

L1 =1,5m

L2 =1,5m

L4 =1,5m

C.O

C.O L3 =1,5m

C.O

Figure 4.47: Réflectogrammes correspondant au

réseau (a).

(a) (b)

Figure 4.48: Réflectogrammes correspondant

au réseau (b).


137

les positions. Les petites différences sont dues aux mêmes causes que celles décrites

précédemment (section 4.3.2).

Nous allons introduire ensuite un (ou plusieurs) défaut(s) sur l‟un (ou plusieurs) branche(s) du

réseau (a) et (b) de la Figure 4.46. Le défaut pourra être soit un circuit ouvert ou un court

circuit. Ensuite nous appliquerons la méthode de diagnostic proposée avec les deux approches

d‟inversion.

4.3.4.1. Réseaux filaires complexes affectés par un défaut franc

Les Figures 4.49 (b) et 4.50 (b) montrent que les deux réflectogrammes (sans et avec

défauts francs) sont très proches l‟un à l‟autre avant 2,25 mètre et 1,88 mètre respectivement.

Ces distances LD indiquent les positions des défauts par rapport à la source. L‟analyse de ces

réflectogrammes nous ne permet pas de localiser et caractériser sans ambigüité les défauts sur

les branches des réseaux. Par exemple pour le premier réseau complexe, Figure 4.49 (a), si le

défaut se trouve sur la branche L2 ou L3 ou L4, nous obtenons le même réflectogramme.

0 2 4 6 8 10-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts



0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts



C.O

C.O L4 =0,75m

L5 =1,5m

C.O

L1 =1,5m

L2 =1,5m

L3 =1,5m

LD = 1,88m

Figure 4.49 : (a) réseau filaire en étoile affecté par un défaut franc (CO), (b) comparaison des

réflectogrammes obtenus par expérience du réseau (a) sans et avec défaut franc.

(a) (b)

Figure 4.50: (a) réseau filaire complexe affecté par un défaut franc (CO), (b) comparaison des

réflectogrammes obtenus par expérience du réseau (a) sans et avec défaut franc.

(a) (b)

LD =2,25m

L1 = 1,5m

L2 = 1,5m

L4 = 1,5m

C.O

C.O L3 = 1,5m

C.O


138

4.3.4.2. Réseau filaire complexe affecté par deux défauts francs

Dans la deuxième configuration, les réseaux filaires complexes, Figure 4.51 (a) et 4.52 (a),

sont affectés par deux défauts francs, sur deux différentes branches (L2 et L4), à des distances

différentes par rapport à la source (à 1,88 mètre, et à 2,25 mètre) pour le réseau de la Figure

4.51 (a), et (à 2,25 mètre, et à 3,38 mètre), pour le réseau de Figure 4.52 (a).

Pour les réflectogrammes représentés sur les Figure 4.51 (b) et Figure 4.52 (b), nous faisons

les mêmes remarques que dans le cas d‟un seul défaut. Ajoutons que nous ne pouvons pas

déterminer si les réseaux ont d‟autres défauts plus loin (à une distance supérieure à 2,25

mètre, pour le réseau de la Figure 4.51 (a), et supérieure à 3,38 mètre, pour le réseau de la

Figure 4.52 (a)), juste à partir du réflectogramme.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts

Avec deux défauts francs (court circuit)

Avec deux défauts francs (circuit ouvert)

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Distance (m)

Am

pli

tud

e

Sans défauts

Avec deux défauts francs (court circuit)

Avec deux défauts francs (circuit ouvert)

Figure 4.51 : (a) réseau filaire en étoile affecté par deux défauts francs (CO), (b) Comparaison des


(a) (b)

Figure 4.52: (a) réseau filaire en étoile affecté par deux défauts francs (CO), (b) comparaison des


(a) (b)

C.O

C.O

C.O

LD1 = 2,25m

L1 = 1,5m

L2 = 1,5m

L4 = 1,5m

L3 = 1,5m

LD2 = 1,88m

C.O

C.O L4 = 0,75m

L5 = 1,5m

C.O

L1 = 1,5m

L2 = 1,5m

L3 = 1,5m

LD1 = 2,25m

LD2 =3,38m


139


Dans cette partie, nous allons présenter quelques résultats de l‟application de la

méthodologie de diagnostic proposée utilisant les AG sur des réseaux complexe affectées par

des défauts francs. L‟objectif de cette résolution de problème inverse est de reconstruire la

topologie des réseaux filaires et définir les charges des branches secondaires afin de localiser

et caractériser les défauts francs. Pour cela, les deux topologies de réseaux filaires complexes

présentés précédemment sont considérées. Les entrées de l‟AG, sont les réflectogrammes

issus des mesures de réseaux filaires affectées par un ou plusieurs défauts francs.

Le nombre de paramètres à optimiser dépend de la topologie de réseau. Par exemple, dans le

cas du réseau filaire complexe de la Figure 4.46 (a), nous avons sept paramètres (les

longueurs des quatre branches, et les trois charges des branches secondaires ; L2, L3, et L4).

Pour la deuxième configuration de réseau (Figure 4.46 (b)), nous avons huit paramètres (les

cinq branches plus les trois terminaux).

Les bornes de variation de chaque paramètre sont entre 0 et Li pour les longueurs des

branches, avec i = 1,2,…,5, et soit court circuit ou circuit ouvert pour la nature des défauts.

Nous avons tout d‟abord appliqué la méthode d‟inversion par AG, aux deux premiers cas, où

les réseaux filaire complexes affectées par un seul défaut franc.

Les Figures 4.53 et 4.54 présentent les résultats de l‟inversion. La reconstruction de la

topologie des réseaux filaires complexes nous permet d‟identifier la branche affectée et même

de caractériser le défaut.

Figure 4.53 : réseaux en étoile reconstruits à partir des AG

Défaut franc (circuit ouvert) sur L2

Défaut franc (court circuit) sur L2

Figure 4.54 : réseaux complexes reconstruits à partir des AG


Défaut franc (court circuit) sur L2

C.O

L1 = 1,49 m

L2 = 0,76 m

L4 = 1,50 m

C.O

C.O L3 = 1,48 m

C.O

L1 = 1,49 m

L2 = 0,74 m

L4 = 1,49 m

C.C

C.O L3 = 1,49 m

C.O

C.O L4 = 0,74 m

L5 = 1,48 m

C.O

L1 = 1,50 m

L2 = 0,37 m

L3 = 1,50 m

C.O

C.O L4 = 0,74 m

L5 = 1,49 m

C.C L1 = 1,50 m

L2 = 0,36 m

L3 = 1,50 m


140

Dans le deuxième cas, les réseaux filaires complexes sont affectés par deux défauts francs.

Les Figures 4.55 et 4.56 présentent les réseaux complexes reconstruits avec AG et à partir des

réflectogrammes mesures. Les nouvelles topologies et les charges des terminaux vont nous

permettre de localiser et caractériser les défauts francs sur la structure du réseau.

Nous remarquons que la localisation du défaut franc sur le réseau complexe de la Figure 4.53

ne peut se faire sans ambiguïté. Contrairement à la deuxième configuration (Figure 4.54), où

la localisation de défaut franc se fait sans ambiguïté.


Le RN est cette fois-ci est alimenté avec les réflectogrammes des réseaux filaires complexe

affectés par un (des) défaut (s) franc (s). Et les sorties sont les longueurs des branches du

réseau filaire et les caractérisations de défauts. Le nombre de neurones dans la couche cachée

est déterminé comme dans l‟exemple précédent. Les réseaux reconstruits à partir du modèle

neuronal et les réflectogrammes mesurés, sont illustrés dans la Figure 4.57.

Figure 4.55 : réseaux en étoile reconstruits à partir des AG

Figure 4.56 : réseaux complexes reconstruits à partir des AG

Deux défauts francs (circuit

ouvert) sur L2 et L4

Deux défauts francs (circuit ouvert)

sur L2 et (court circuit) sur L4

L1 = 1,50 m

L2 = 0,74 m

L4 = 0,37 m

L3 = 1,48 m

C.O

C.O

C.O L1 = 1,50 m

L2 = 0,76m

L4 = 0,38 m

L3 = 1,49 m

C.O

C.C

C.O



Deux défauts francs (court circuit)

sur L2 et (circuit ouvert) sur L4

C.O L4 = 0,36 m

L5 = 1,48 m

C.C

L1 = 1,50 m

L2 = 0,75 m

L3 = 1,50 m

C.O C.O

C.O L4 = 0,37 m

L5 = 1,47 m

C.O

L1 = 1,50 m

L2 = 0,76 m

L3 = 1,49 m


141

4.4. Conclusion

Au cours de ce chapitre nous avons appliqué la méthodologie de diagnostic sur différentes

configurations de câblages. Pour cela deux types de défauts ont été étudiés. Dans un premier

temps la méthode est appliquée sur des lignes de transmission affectées par des défauts non

francs. La résolution du problème inverse est effectuée par deux méthodes AG et RN. Dans le

premier cas de défaut (non franc), nous avons remarqué que le réflectogramme du réseau de

câblage présente des variations à la position de défaut dont l‟amplitude dépend de

l‟impédance de défaut.

Pour cela, les longueurs des branches de réseaux ainsi que les charges des branches

secondaires sont les paramètres à optimiser par le problème inverse.

Pour chaque type de défauts ou configuration de câblages, les deux méthodes d‟inversion sont

comparées. Nous avons remarqué que les deux approches donnent des résultats satisfaisants.

La différence est que les AG sont coûteuses en termes de temps de diagnostic. Par contre avec

les RN on met beaucoup de temps pour la création de la base de données, le réglage des

paramètres du réseau et l‟apprentissage, mais tout ce temps compte comme «offline», dans

l‟opération de diagnostic. Pour cela nous considérons que l‟utilisation des RN peut être très

avantageuse pour les applications embarquées.

Figure 4.57: réseaux complexes reconstruits à partir de RN





Deux défauts francs (court circuit)

sur L2 et (circuit ouvert) sur L4

L1 = 1,50 m

L2 = 0,74 m

L4 = 1,49 m

C.O

C.O L3 = 1,50 m

C.O C.O

C.O L4 = 0,75 m

L5 = 1,49 m

C.O L1 = 1,50 m

L2 = 0,38 m

L3 = 1,49 m

L1 = 1,50 m

L2 = 0,76 m

L4 = 0,38 m

L3 = 1,49 m

C.O

C.O

C.O C.O L4 = 0,37 m

L5 = 1,49 m

C.O

L1 = 1,50 m

L2 = 0,76 m

L3 = 1,50 m

C.O

Conclusions et perspectives

142

Conclusions & Perspectives


143


Le travail mené durant cette thèse a permis de développer une méthodologie dédiée à la

réflectométrie en vue du diagnostic de câblage dans le but de détecter, localiser et caractériser

les défauts dans les réseaux filaires.

Nous avons tout d‟abord positionné les travaux de cette thèse dans leur contexte actuel en

présentant les différentes méthodes de diagnostic existantes. Nous nous sommes intéressés à

la réflectométrie dans le domaine temporel. La réflectométrie montre une réelle efficacité

pour l‟analyse d‟une ligne de transmission simple. En revanche lorsque cette méthode est

appliquée à un réseau complexe, la réponse présente certaines difficultés pour l‟analyse en

raison des chemins multiples dans le réseau et des réflexions dues à d‟éventuels défauts. Cette

problématique est d‟autant plus gênante que les réseaux filaires de topologies différentes sont

de plus en plus utilisés. Nous avons donc cherché à développer une approche qui réponde à

cette problématique.

La solution proposée a consisté à combiner un modèle de propagation filaire avec deux

méthodes de résolution de problème inverses. Le modèle de propagation direct exploite la

méthode FDTD et permet une représentation fidèle des signaux au sein du réseau. La

résolution du problème inverse est assurée par deux méthodes, les algorithmes génétiques

(AG) et les réseaux de neurones (RN).

Nous avons appliqué, dans un premier temps, notre méthode pour diagnostiquer des lignes de

transmissions affectées par des défauts non francs. Les paramètres à optimiser dans ce cas

sont les paramètres électriques (ou l‟impédance) et la position du défaut. Dans des conditions

réelles et avec le bruit, les défauts ont des variations d‟impédance inférieure ou égales à 10%

de l‟impédance caractéristique de la ligne sont difficiles, voir impossible, à détecter. Dans un

second temps, notre méthode a été appliquée à des réseaux de câblage affectés par des défauts

francs. Dans ce cas, la réponse ainsi que la topologie du réseau changent, et les paramètres à

reconstruire deviennent les longueurs des différentes branches du réseau. Pour chaque type de

défaut, nous avons commencé tout d‟abord par des lignes simples, afin de mettre en évidence

l‟efficacité de la méthodologie proposée. Ensuite des structures de plus en plus complexes ont

été considérées. Cette méthode a donné de très bons résultats dans l‟analyse d‟un réseau en Y,

qui est le réseau filaire le plus simple que l‟on puisse rencontrer.

Afin de s‟approcher du contexte réel de câblage au sein d‟un véhicule automobile, les lignes

multifilaires sont également étudiées. Dans les premières configurations nous avons considéré

une paire torsadée simple qui nous a permis de valider notre modèle, ensuite le nombre de

conducteurs a été progressivement augmenté et diverses discrétisations ont été proposées pour

reproduire la complexité du torsadage.

La procédure d‟inversion utilisant l‟AG associée à la méthode FDTD est coûteuse en temps

de calcul surtout pour des configurations de câblage complexes. Pour les réseaux de neurones,

l‟opération d‟inversion s‟effectue en deux temps. Une étape d‟apprentissage des données à


144

partir d‟un ensemble d‟une base de données s‟effectue au préalable (« offline »). Cette étape

peut demander un temps relativement important, en fonction du type de ligne (simple, Y ou

complexe), de la nature du défaut (franc ou non franc) et du nombre de paramètres utilisés

pour réaliser l‟apprentissage (nombre d’exemple, nombre de neurones) mais elle n‟a besoin

d‟être effectuée qu‟une seule fois. La deuxième étape d‟inversion ne fait pas appel à des

itérations successives, elle est rapide. Le modèle neuronal peut par conséquent être utilisé en

temps qu‟estimateur « temps réel ».

Les perspectives portent notamment sur l‟application de la procédure développée à des

situations plus complexes et réalistes, par exemple sur un réseau d‟automobile. Comme par

exemple son extension à des lignes multifilaires de configuration plus complexe.

Pour la partie problème inverse, nous devrons améliorer la procédure d‟inversion utilisant les

RN. Au lieu d‟exploiter le réflectogramme du réseau affecté comme entrée de l‟algorithme

d‟inversion, il est possible d‟utiliser directement les paramètres des défauts à estimer. Une

autre solution possible, est de prendre en compte les points significatifs de la réponse

temporelle du réseau sous test. Des méthodes ont déjà été développées pour la compression

des données afin d‟extraire l‟information utile à partir d‟une base de données. Nous citons à

titre d‟exemple l‟analyse en composantes principales.

Pour que la méthode proposée puisse fonctionner de façon autonome, il est nécessaire de

développer un algorithme qui permettra d‟analyser et interpréter les réflectogrammes pour

connaître l‟état du réseau filaire. L‟étude menée durant ces trois années de thèse a abouti à

une méthodologie de diagnostic filaire. Par la suite, il sera nécessaire de mener des travaux de

recherche sur l‟intégration de la méthode dans des cartes type FPGA afin de répondre à la

problématique du diagnostic embarqué. Un autre axe de recherche à approfondir est de

réfléchir à des solutions pour résoudre le problème d‟ambiguïtés dans l‟identification des

défauts.

ANNEXES

145

ANNEXES

ANNEXES

146

ANNEXES

Solutions analytiques des équations de propagation

Les équations de propagation ou dites des « Télégraphistes » sont des équations

différentielles décrivant l‟évolution de la tension et du courant instantanés le long de la ligne

de transmission multiconducteurs.

[ ( , )] -[ ][ ( , )]-[ ] [ ( , )]V z t R I z t L I z tz t

(1)

[ ( , )] -[ ][ ( , )]-[ ] [ ( , )]I z t G V z t C V z tz t

(2)

1. Solution fréquentielle

La théorie des lignes, pour un régime harmonique de pulsation ω, permet d‟écrire les relations

entre [V(z)] et [I(z)] :

[ ( )][ ][ ( )]

V zZ I z

z

(3)

[ ( )][ ][ ( )]

I zY V z

z

(4)

La matrice [Z] est la matrice d‟impédance linéique

(5)

La matrice d‟impédance linéique fait intervenir les résistances des conducteurs, les

inductances internes, liées à l‟énergie magnétique stockée dans chaque conducteur et les

inductances externes liées aux champs magnétiques extérieurs aux conducteurs.

La matrice [Y] est la matrice d‟admittance linéique

(6)

11 1 1 11 11 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

... ... ... ...

. . . . .

... ...[ ]

. . . . .

... ... ... ...

i n i i n n

i ii in i i ii ii in in

n ni nn n n ni ni nn nn

Z Z Z R jL R jL R jL

Z Z Z R jL R jL R jLZ

Z Z Z R jL R jL R jL

11 1 1 11 11 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

... ... ... ...

. . . . .

... ...[ ]

. . . . .

... ... ... ...

i n i i n n

i ii in i i ii ii in in

n ni nn n n ni ni nn nn

Y Y Y G jC G jC G jC

Y Y Y G jC G jC G jCY

Y Y Y G jC G jC G jC

ANNEXES

147

La matrice d‟admittance linéique fait intervenir les conductances liées à la circulation de

courant dans le diélectrique, et les capacités, liées aux champs électriques à l‟extérieur des

conducteurs.

L‟équation vérifiée par le vecteur des tensions peut s‟écrire :

(7)

En posant [ ] [ ][ ]Z Y , la solution de l‟équation précédente s‟écrit

(8)

En dérivant cette équation par rapport à z, nous pouvons exprimer [I(z)]

(9)

Les vecteurs [V+] et [V

-] peuvent alors être calculés en fonction des conditions imposées en z

= 0 et en z = L, avec L est la longueur totale de la ligne.

2. Solution temporelle

Les équations (1) et (2) sont un ensemble d‟équations aux dérivées partielles, qu‟on peut

écrire :

(10)

Cette forme du premier ordre peut être particulièrement utile en vue de la résolution. Si les

conducteurs sont parfaits R = 0, et le diélectrique est sans pertes, G = 0, l‟équation devient

alors :

(11)

En différentiant les deux équations (1) et (2) et en les combinant, on obtient l‟équation des

télégraphistes en tension ou en courant.

2

2

[ ( )][ ][ ][ ( )] 0

V zZ Y V z

z

[ ( )] exp( [ ] )[ ] exp([ ] )[ ]V z z V z V

1 1[ ( )] [ ] [ ]exp( [ ] )[ ] [ ] [ ]exp([ ] )[ ]I z Z z V Z z V

( , ) 0 ( , ) 0 ( , )

( , ) 0 ( , ) 0 ( , )

V z t R V z t L V z t

I z t G I z t C I z tz t

( , ) 0 ( , )

( , ) 0 ( , )

V z t L V z t

I z t C I z tz t

ANNEXES

148

2 2

2[ ( , )] [ ] [ ( , )] [ ] [ ( , )]V z t R I z t L I z t

z z tz

(12)

2 2

2[ ( , )] [ ] [ ( , )] [ ] [ ( , )]I z t G V z t C V z t

z t t t

(13)

En remplaçant (12) et (2) dans (13)

(14)

(15)

La combinaison des équations matricielles définies précédemment nous fournit les équations

écrites ci-dessus, représentant l'équation différentielle du second ordre en tension ou en

courant.

2.1. Formalisme des variables d'état

Les équations des télégraphistes présentées en (1) et (2) sont un ensemble d'équations

différentielles couplées du 1er ordre, et faisant apparaître un terme source supplémentaire par

rapport aux équations des lignes homogènes habituelles.

La généralisation du système (Télégraphiste) au cas d'une ligne composée de N conducteurs

conduit à la formulation des équations des lignes :

[ ( )] [ ][ ( )] [ ( )]

[ ( )] [ ][ ( )] [ ( )]

s

s

V z Z I z V zz

I z Y V z I zz

(16)

Où :

1

n

ij ijj

Z R Lt

et

1

n

ij ijj

Y G Ct

La représentation matricielle du système (19) est :

( )( ) 0 ( )

( ) 0 ( ) ( )

s

s

V zV z Z V z

I z Y I z I zz

(17)

X(z) A X(z)

2 2

2 2[ ( , )] ([ ][ ]) ( , ) ([ ][ ] [ ][ ]) [ ( , )] [ ][ ] [ ( , )]V z t R G V z t R C L G V z t L C V z t

tz t

2 2

2 2[ ( , )] ([ ][ ])[ ( , )] ([ ][ ] [ ][ ]) [ ( , )] [ ][ ] [( ( , )]I z t G R I z t G L C R I z t C L I z t

tz t

ANNEXES

149

L'intérêt d'écrire les équations des lignes définies en (1) et (2) sous cette forme matricielle

réside dans le fait que la solution du système (17) peut être obtenue directement par analogie

avec le formalisme des variables d'état, dont la démonstration est effectuée dans [PAUL 96].

En effet, il y est montré que la solution de l'équation (18) est donnée par la relation (19).

(18)

(19)

où la matrice de transition d'état est

2 1

( )

2 1( )

A t tt t e

(20)

Ainsi, la solution du système matriciel (17) devient :

(21)

Avec ( )

( )( )

V zX z

I z

, matrice des tensions et courants en tout point z de la ligne.

La matrice des paramètres chaînes est :

(22)

L'équation (21) traduit l'expression des courants et tensions en tout point z de la ligne en

fonction de leur valeur à l'origine z0, c'est le formalisme des variables d'état [ROBL 07].

Dans le cas étudié ici, nous nous intéressons aux valeurs des tensions et courants aux

extrémités de la ligne. Ainsi, l'équation (21) correspondant à une ligne commençant en z0 = 0

et appliquée à l'extrémité z = L de celle-ci devient :

(23)

Les N x N sous matrices de la matrice chaîne (22) appliquée en x = L sont données par :

( ) ( ) ( )X t AX t BW tz

0

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t

t

X t t t X t t BW t d

0

0 0

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

zs

sz

VX z z z X z z d

I

11 12

21 22

( ) ( )( )

( ) ( )

Azz z

z ez z

0

( )( ) ( ) (0) ( )

( )

Ls

s

VX L L X L d

I

ANNEXES

150

1 1

11

1( ) ( )

2

L LL Y T e e T Y

1 1

12

1( ) ( )

2

L LL Y T e e T (24)

1 1

21

1( ) ( )

2

L LL T e e T Y

1

22

1( ) ( )

2

L LL T e e T

où T est une matrice de taille N x N définie telle que diagonalisant la matrice [Y. Z], c'est-à

dire vérifiant la relation 1 2[ ] [ . ][ ] [ ]T Y Z T , où [γ] représente la matrice diagonale des constantes

de propagation au carré.

Le développement de l'équation (23) permet de faire apparaître les termes V(0), I(0), V(L) et

I(L) :

(25)

Après réarrangement des termes, nous obtenons une formulation plus connue de ce système :

(26)

Nous obtenons donc avec (26) un système de 2 N équations à 4 N inconnues : V(0), I(0), V(L)

et I(L).

2.2. Prise en compte des conditions aux limites

L'obtention des 2 N équations manquantes, et nécessaires à la résolution du système,

s'effectue en incorporant les conditions aux limites sous forme de schémas électriques

équivalents de Thévenin tels que :

(0) (0)s s

V V Z I (27)

( ) ( )L L

V L V Z I L

Vs et VL sont les vecteurs colonnes de taille N des générateurs de tensions équivalents de

Thévenin aux extrémités de la ligne, en z = 0 et z = L.

11 12

21 22 0

( )( ) ( )( ) (0)( )

( ) ( ) ( ) (0) ( )

Ls

s

VL LV L VL d

I L L L I I

22 21 11 12

21 11 21 220

( )( ) 1 ( ) 0 ( ) ( )(0) (0)

( ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )

Ls

s

VL L L LI Vd

L I L L V L L L I

ANNEXES

151

Zs et ZL sont les matrices (de taille N x N) impédances de charges caractérisant les

terminaisons des lignes.

Le système (27) nous fournit ainsi 2 N équations supplémentaires.

2.3. Solution générale

En combinant les 2 N équations du système (26) et les 2 N équations (27) relatives aux

conditions aux limites (N côté proche, N côté distant), la solution générale de l'ensemble des

courants et tensions aux extrémités de la ligne multifilaire est donnée par un système matriciel

sous la forme :

(28)

où les inconnues V(0), I(0), V(L) et I(L) sont rassemblées sous la variable globale X.

A contient les éléments relatifs à la transmission sur la ligne multifilaire d'une part et aux

conditions aux limites d'autre part.

B contient toutes les informations relatives aux charges relié à la ligne d'une part et aux

générateurs localisés sur la ligne multifilaire d'autre part.

[ ][ ] [ ]A X B

[A] [X] [B]

Caractéristiques

de la ligne

Conditions aux

limites

V(0), I(0)

V(L), I(L)

0

0 Générateurs

Charges 0

0

=

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Liste des publications

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[2] M.K. Smail, L. Pichon, F. Auzaneau, M. Olivas and M. Lambert, “Detection of Defects in

Wiring Networks using Time Domain Reflectometry”, IEEE Transaction on Magnetics,

Vol. 46, No. 8, pp. 2998-3001, August 2010.

[3] M.K. Smail, L. Pichon, F. Auzaneau, M. Olivas and M. Lambert, “Recent progress in

EMC and reliability for automotive application”, COMPEL: The International Journal for

Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, Vol. 30, No. 4,

2011.

[4] M.K. Smail, L. Pichon, F. Auzaneau, M. Olivas and M. Lambert, “Reconstruction of

faulty wiring networks using reflectometry response and genetic algorithm”, IJAEM:

International Journal of Applied Electromagnetic and Mechanics, Vol. 35, No. 1, pp. 39-

55, January 2011.

[5] M.K. Smail, T. Hacib, L. Pichon and F. Loete, “Detection and Location of Defects in

wiring Networks using Time Domain Reflectometry and Neural Networks” IEEE

Transaction on Magnetics, Vol. 47, No. 5, May 2011.

Conférences internationales avec comité de lecture et actes

[6] M.K. Smail, L. Pichon, “Modélisation dédiée aux problèmes de réflectométrie pour la

localisation et la caractérisation de défauts du câblage”, in Proceedings of 6th

European

Conference on Numerical Methods in Electromagnetic, (NUMELEC), Liege, Belgium, 8-

10 December 2008.

[7] M.K. Smail, L. Pichon, F. Auzaneau, M. Olivas and M. Lambert, “Localization and

characterization of defects in wiring networks”, in Proceedings of 15th

International

Symposium on Theoretical Electrical Engineering, (ISTET) Lübeck, Germany, 22-24 June

2009. (Invited).

[8] M.K. Smail, L. Pichon, F. Auzaneau, M. Olivas and M. Lambert, “Detection of Defects in

Wiring Networks using Time Domain Reflectometry”, in Proceedings of 17th

IEEE

International Conference on the Computation of Electromagnetic Fields (COMPUMAG),

Florianopolis, Brazil, 22-26 November 2009.

[9] M.K. Smail, T. Hacib, L. Pichon and F. Loete, “Detection and Location of Defects in

wiring Networks using Time Domain Reflectometry and Neural Networks”, in Proceedings


161

of 14th

Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation (CEFC),

Chicago, IL. USA, 9-12 May 2010.

Présentation et séminaires

[10] M.K. Smail, L. Pichon, “Modélisation dédiée à la réflectométrie pour le diagnostic de

câblage”, in Proceedings of “Groupe De Recherche Ondes”, GT1-GT3, “Réflectométrie

(s)”, IHP Paris, May 2009.

[11] M.K. Smail, L. Pichon, “Détection de défauts dans des réseaux filaires par

réflectométrie”, in Proceedings of “Groupe De Recherche Ondes”, “Interférence

d‟ondes,” CNAM Paris, 2-4 November 2009.

[12] M.K. Smail, L. Pichon, “Modélisation dédiée aux problèmes de réflectométrie pour la

localisation et la caractérisation de défaut de câblage”, 1ére

Forum Digitéo, Supélec,

November 2008.

[13] M.K. Smail, L. Pichon, “Détection, localisation et la caractérisation de défaut de

câblage en utilisant la réflectométrie ”, 2ére

Forum Digitéo, Polytechnique, November

2009.

[14] M.K. Smail, L. Pichon, F, Loete, “Détection et localisation de defaults dans les réseaux

filaires en utilisant la réflectométrie dans le domaine temporel” Séminaire de diagnostic

filaire, CEA, March 2010.

Développement d’une méthodologie dédiée à la réflectométrie en vue du

diagnostic filaire

Résumé :

La part de l‟électronique embarquée dans l‟automobile, avions, trains et d‟autres moyens de transport

ne cesse de croître. Cette augmentation est accompagnée d'une augmentation du nombre de systèmes

électroniques (dédiés à la sécurité et à la navigation), du couplage entre les fonctions et de

l'augmentation de la longueur des câbles. Ces câbles électriques subissent souvent des contraintes

externes (mécaniques, température, humidité …) qui sont souvent la cause d‟une détérioration

prématurée du réseau, et peuvent parfois être lourdes de conséquences (incendie, crash aérien, panne

d‟un véhicule …). La localisation du défaut est un atout important, car elle permet de cibler la

réparation afin d‟en réduire le coût. La fiabilité de ce câblage devient donc prépondérante et la mise au

point de systèmes et de procédures de diagnostic de câblages, apparaît urgente. Nous avons développé

une nouvelle approche pour le diagnostic de l‟état de câblage afin de détecter et de localiser (voire de

caractériser) des défauts. Cette méthodologie de modélisation se base sur deux ingrédients : un modèle

de propagation filaire et un outil de résolution de problèmes inverses. Le modèle de propagation décrit

le problème (direct) de la propagation d‟une onde électromagnétique le long d‟une ligne de

transmission (simple ou de type multiconducteurs) dans le domaine temporel. Il est basé sur une

représentation en cellule RLCG et sur la méthode FDTD. La résolution du problème inverse consiste à

partir d‟un réflectogramme à remonter vers des informations sur les valeurs des paramètres électriques

R,L,C et G exploités dans les modèles de propagation filaire et qui peuvent être représentatifs de

défauts caractéristiques (câble sectionné, corrosion, coupure , etc.). Deux outils ont été étudiés dans

cette perspective : les algorithmes génétiques et les réseaux de neurones. La méthode proposée a

donné de très bons résultats dans l‟analyse des différentes configurations de câblages (simple ou

réseau) et type de défauts (franc et non franc).

Development of a methodology dedicated to reflectometry response for wire

diagnosis

Abstract:

The embedded electronics in cars, aircraft, trains, and other transportation mean continues to grow. This

increase is accompanied by an increase in the number of electronic systems (dedicated to safety and

navigation), the coupling between the functions and the increase of the length of cables. These cables

are often exposed to external stress (mechanical, temperature, humidity ...) which is often the cause of

deterioration of the wiring network. Many problems currently appear referring to failures related to the

cables and can sometimes have heavy consequences (fire, aircraft crash, breakdown of a vehicle…).

Fault location is an important asset, because it allows to focus the reparation in order to reduce the

cost. The reliability of wire becomes dominant and the development of systems and procedures of

wiring diagnosis appears urgent. We have developed a new approach allows diagnosing the health of

a wiring network in order to detect, localize and characterize the defects. This methodology is based

on two steps: a wire propagation model and a tool to solve the inverse problem. The propagation

model describes the forward problem for wave propagation which along the transmission lines (simple

or multiconductors) in time domain. The resolution of the inverse problem consists to deduce some

knowledge about the defects from the reflectometry response. Two tools have been studied in this

perspective: the genetic algorithms and the neural networks. The proposed method has given very

good results in the analysis of different wiring configurations (simple lines and complex network) and

faults type (soft and hard).

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UNIVERSITE PARIS-SUD XI THÈSE DE DOCTORATpublilgep.geeps.centralesupelec.fr/papers/001311.pdf · Ce travail de thèse a été effectué au sein du Laboratoire de Génie Electrique