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Utiliser le spectre et la transformée de Fourier Auteur : Jean-Paul Stromboni, Auteur : Jean-Paul Stromboni, Version : jeudi 27 février 2003Version : jeudi 27 février 2003Élèves ESSI 1 du module SSI Élèves ESSI 1 du module SSI Durée 1h, Amphi Est avec vidéo projecteurDurée 1h, Amphi Est avec vidéo projecteur

Où en est-on ?• d’où vient l’idée de la représentation

fréquentielle des signaux

• la définition de la transformée de Fourier (ou TF) d’un signal

• une liste de propriétés de base de TF plus quelques transformées

• ce que sont spectre, spectrogramme, et signal à bande limitée

• pourquoi la transformée de Fourier rapide ou FFT

Dans cette séance, on voit:Signal numériqueGoldwave, Matlab

spectre

Sous-échantillonner

filtrer

compresser

Découper en fréquence

Nous sommes ici !

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D’où vient la représentation fréquentielle ?L’idée importante :Pour tout signal de représentation temporelle s(t), on sait trouver une représentation en fréquence équivalente, ou spectre S(f).

L’origine de la représentation fréquentielle :Pour résoudre l’équation de propagation de la chaleur sur un intervalle de temps T, Joseph Jean-Baptiste Fourier (19ème siècle) a imaginé de remplacer le second membre s(t) de cette équation par une série de Fourier, somme de sinusoïdes ci-dessous, sachant que la solution pour s(t) sinusoïdale était connue :

0

)2

cos()(n

nn ntT

cts

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Prenons l’exemple du signal carré

Le signal carré s(t) dessiné ci-dessous peut être décomposé sur la durée d’une période (ici T=1/440s) en série de Fourier (voir à droite) :

0 12

))12(4402cos()(

n n

tnts

D’où la représentation fréquentielle de s(t) à compléter :

T

s(t)

t

)12(440 nfn

1/31/5

1/9

)( nn fc

f440

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dtetssts tiTF )()(~)(

destss tiTF )(~2

1)()(~ 1

Définition de la transformée de Fourier (TF)

dtetsfSts ftiTF 2)()()(

dfefStsfS ftiTF 2)()()(1

)(~)( sfS Avec la pulsation :

Quand T tend vers l’infini, la définition de la série de Fourier tend vers la transformée de Fourier ci-dessous (i2= - 1) :

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Quelques propriétés de TF1. TF est linéaire:

2. TF[produit de convolution] = produit et inversement :)()()())(*()( fEfHfStehts TF

dtehdethtehts )()()()())(*()(

3. Dualité de TF et TF-1 (on permute t et f, et on fait apparaître –f )

dtetXfxdfefXtx tfifti 22 )()()()(

)]([)()( 2 tXTFdtetXfx fti

)]([)]([)]()([ tfbTFtsaTFtbftasTF

TFtxtenvts )()()( )(*)()( fXfENVfS

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Quelques transformées de Fourier• La transformée de l’impulsion de Dirac est la fonction unité :

1)()( 02 dttedtet fti

• La transformée d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac

TFT nTttPeigne )()(

nT T

nf

TfPeigne

T)(

1)(

11

)(t

t0

0lim

0)0(

1)(

t

t

dtt

t0 T T2 T3T

)(tPeigneT

Impulsion de Dirac Peigne de Dirac

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Quelques transformées de Fourier• la transformée du cosinus est constituée de deux raies :

TFtfitfi ee

tfts2

)2cos()(00 22

0

2

))()(()( 00 ffff

fS

• La transformée d’un rectangle est un sinus cardinal

221)()(

Tet

Tentre

T

tts

fT

fTTfTcTfS

)sin(

)(sin)(

TF

t0 2/T2/T

)/( TtLa fonction rectangle

Compléter :f

1

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Comment prouver les égalités suivantes ?

)(]1[ fTF

)(][ 02 0 ffeTF tif

)(0f

f)](sin[ 00 tfcfTF

)]([)]([ 2 tfTFeTtfTF fTi

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donne le spectre de s(t) • TF[s(t)] est une quantité complexe a priori, avec un module, une phase, etc … On nomme : Spectre d’amplitude, ou spectre de s(t) le module de S soit ou en dB Spectre de phase l’argument de S noté Spectre de puissance

)]([)( tsTFfS

)( fS)( fS

*2)()()( fSfSfS

))(log(20)( fSfSdB

• S(f) est défini pour des fréquences f positives et des fré-quences négatives représentées dans le spectre bilatéral. Du fait des symétries d’amplitude et de phase, on peut représenter seulement les fréquences >0 (monolatéral).

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Le spectrogramme (ou sonogramme) donne l’évolution temporelle du spectre calculé sur une fenêtre tem-porelle glissante de durée donnée (exemple : 20 à 30ms pour la voix)

Spectrogramme de piano_c3.wav (tracé par WaveLab)

Cette représentation que l’on peut trouver jolie est peu exploitable, on lui préfère la vue de dessus ci-après.

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Hz10000

)(Hzf

Hz5500

Bbc.wav

Signal à spectre ou à bande limitéeSe dit d’un signal s(t) dont le spectre S(f) est nul au delà d’une fréquence limite FLIM. Sur le spectrogramme de droite tracé par Goldwave, on voit que le signal est à bande limitée FLIM=1000Hz.

Signal à bande limitée

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Transformée de Fourier Discrète• on définit la transformée de Fourier discrète TFD par :

n

fnTiee

eenTxfXnTxTFD 2)()()]([

• c’est une fonction périodique de la fréquence f , la période est la fréquence d’échantillonnage : ee Tf /1

• TFD n’est pas calculable en pratique, car la fréquence varie continûment, et il faudrait considérer une infinité de termes.

• La solution adoptée dans l’algorithme de FFT est de :

1. conserver seulement N termes x(nTe) d’une fenêtre temporelle

2. calculer M points seulement sur la période de TFD pour les fréquences :

1,1, 000 Nnnnn

122

, MM

kM

fkf e

k

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Dans le cas où M=N, si on note :

1)2/(

2/

1)2/(

2/

2

1 12

)()1

()()1

()(

)()()(0

0

0

0

N

Nk

N

Nk

nkNk

N

nki

ke

Nn

nn

Nn

nn

nkNe

N

nki

ek

WfXN

efXN

nTx

WnTxenTxfX

FFT est-elle périodique ? et FFT-1 ?

nk

NN

nki

We 2

(pour FFT)

(pour FFT-1)

Transformée de Fourier Rapide FFT

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Pourquoi la FFT est-elle rapide ?• Le cas où N est une puissance de 2 allège

le calcul de FFT, du fait des propriétés de périodicité et de symétrie de

N

inknk

N eW2

• un DSP (Digital Signal Processor), est un micro-processeur spécialisé dans le traitement du signal numérique, conçu entre autres pour calculer l’algorithme de FFT.

KN 2• donc, l’algorithme de FFT impose• Matlab calcule la fft : faire help fft, et voir l’exemple plot(abs(fft(s,1024)))

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Matlab calcule la FFT comme ci-dessous

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 80000

50

100

150

200

250

fe=8000;

t=[0:1023]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t);

f=[0:1023]/1024*fe;

plot(f,abs(fft(s,1024)))

grid

-4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 40000

50

100

150

200

250

fe=8000;

t=[0:1023]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t);

f=[-512:511]/1024*fe;

spec= fftshift(fft(s,1024))

plot(f,abs(spec))

grid

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Qu’appelle t’on spectre d’amplitude d’un signal ?

Que calcule la transformée de Fourier ?

Quel est le spectre de Pourquoi la FFT ? Quelles en sont les contraintes ?

Le signal suivant est il à bande limitée ?

TFD de

)10002cos(5.0 t

)2000(cos)( 2 ttx

sTnnTx ee 1,15..0,1)(

?]5.0[ TF

?)]10/([ tTF

Pour savoir si vous savez

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Annexe :« Pourquoi utiliser le spectre ? »… et ne pas se contenter de la représentation temporelle.

1. Parce que tout le monde le fait …

Dans de nombreux domaines, Hi-fi, multimédia, musique, on utilise des références au spectre et à la fréquence pour définir fonctions et performances, qui veut comprendre doit parler ce langage !

« M’enfin, pourquoi ? Quels sont les atouts de cette représentation fréquentielle ? »

(conformisme … ou réalisme ?)

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2. Décrire en fréquence est parfois plus pratique que de décrire en temps

Soient 512 échantillons d’un signal x(nTe), n= 0 .. 511.

Décomposé en série de Fourier, il s’avère que 3 harmoniques suffisent pour le représenter, comme le signal triangle du TD.

Transmettre les échantillons c’est transmettre 512 valeurs, alors que transmettre les harmoniques implique moins de 10 valeurs amplitudes, fréquences, et phases.

(compression de l’information)

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3. Décomposer en séries de Fourier permet de résoudre les problèmes par superposition

C’était l’objectif de Fourier comme on l’a dit, cela provient de ce que les fonctions de type :

(simplification de certains problèmes)

sont fonctions propres des filtres linéaires invariants dans le temps

)2sin()2cos(2 ftifte jft

D’où la spécification très utilisée des filtres par leur réponse fréquentielle H(f)

tjfAe 02 tjfefAH 020 )(

Filtre linéaire H(f)

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Q: «Y a-t’il un risque de perte d’information à passer du temps aux fréquences ? »

R: « Non ! Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes, le spectre est unique (comme le signal !) »

Parler en temps d’un signal parler en fréquenceSignal rapide, lent bande large, étroite, …

Les capteurs incitent à utiliser le temps, car ils relèvent les signaux au cours du temps, mais ils peuvent être plus ou moins sensibles selon la fréquence.Il faut donc bien considérer une dualité « temps fréquence » du signal, deux façons de le décrire.