Transformée de Fourier Principe et Propriétés

Transformee de FourierPrincipe et Proprietes

par Vincent Choqueuse, IUT GEII

1. Problematique

Problematique

• Contexte : La decomposition en serie de Fourier presuppose que le signalsoit periodique. Toutefois, les signaux ”naturels” sont rarement periodiques.

• Objectif : Etendre la notion de serie de Fourier aux signaux aperiodiques.

Vincent Choqueuse (IUT GEII) Transformee de FourierPrincipe et Proprietes 2 / 33

2. De la decomposition a la transformee de Fourier

De la decomposition a la transformee de Fourier

• Principe : Pour les signaux s(t) aperiodiques, nous allons considerer ques(t) est periodique mais de periode T0 → ∞.

I Signaux periodiques : Comme T0 = 1f0

, on peut ecrire

cn =1T0

∫(T0)

s(t)e−2jπ n

T0tdt et s(t) =

∑n∈Z

cne2jπ n

T0t

(1)

I Signaux aperiodiques : On pose f = nT0

et on fait tendre T0 → ∞. On definit alors lavariable continue X(f) comme suit

X(f) = limT0→∞

T0cn =

∫ ∞

−∞

s(t)e−2jπft dt (2)

et on obtient en utilisant la methode des rectangles :

s(t) = limT0→∞

1T0

∑n∈Z

T0cne2jπ n

T0t

=

∫ ∞

−∞

X(f)e2jπft (3)


3. Transformee de Fourier

Transformee de Fourier

Definition 3.1 (Transformee de Fourier)

Soit s(t) un signal respectant les trois conditions suivantes :

• s(t) est borne (pas de valeurs infinies).

•∫ ∞−∞

s2(t)dt est finie.

• Les discontinuites de x(t) sont en nombre fini.

Sous ces conditions, la transformee de Fourier de s(t), S(f), est definie par :

S(f) = F (s(t)) =

∫ ∞

−∞

s(t)e−2jπftdt (4)

• La fonction S(f) ∈ C est appelee spectre de s(t).




Definition 3.2 (Transformee de Fourier Inverse)

Soit s(t) un signal dont la transformee de Fourier S(f) = F (s(t)) existe. Lesignal s(t) s’obtient en calculant la transformee de Fourier inverse de S(f) :

s(t) = F −1[S(f)] =

∫ ∞

−∞

S(f)e2jπftdf (5)




• La transformee de Fourier peut etre vue comme la projection d’un signalaperiodique dans un espace compose d’exponentielles complexes.

Domaine temporel Domaine fréquentiel

• Par rapport a la decomposition en serie de Fourier ou les frequences sontdonnees par fn = nf0 (n ∈ Z), la transformee de Fourier determine lescomposantes aux frequences f , ou f est une variable continue.




• Exemple :

Soit s(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l defini par :

s(t) = Πl(t) =

{1 si − l

2 ≤ t < l2

0 ailleurs(6)

En utilisant (4), s(t) a pour transformee de Fourier :

S(f) = F [Πl(t)] =sin (πfl)

πf(7)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)

Figure: Espace temporel

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

|S(f

)|

Figure: Espace frequentiel (|S(f)|)

−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

φ(S

(f))

Figure: Espace frequentiel(φ(S(f)))


4. Proprietes Linearite

Propriete de la transformee de Fourier

Propriete 4.1 (Linearite)

Soit x(t) et y(t) deux signaux de transformee de Fourier respectives X(f) et Y(f)et α et β deux constantes. La transformee de Fourier de αx(t) + βy(t) est donneepar l’equation :

F (αx(t) + βy(t)) = αF (x(t)) + βF (y(t)) (8)

• Multiplier un signal par un gain α dans le domaine temporel revient amultiplier sa transformee de Fourier par un gain α dans le domainefrequentiel.

• Additionner deux signaux dans le domaine temporel revient a additionnerleurs transformee de Fourier dans le domaine frequentiel.


4. Proprietes Linearite


• Exemple :

Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signals(t) = αx(t) dans le domaine temporel et frequentiel (α = 0.75).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)

Signal x(t)Signal α x(t)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

|S(f

)|


Figure: Espace frequentiel (module)

−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

φ(S

(f))


Figure: Espace frequentiel (phase)


4. Proprietes Dualite


Propriete 4.2 (Dualite)

Soit x(t) un signal dans le domaine temporel de transformee de FourierX(f) = F (x(t)). Le signal temporel d’equation X(t) a pour transformee deFourier x(−f).


4. Proprietes Dualite


• Exemple :

Soit x(t) =sin(πtl)πt , en utilisant le theoreme de la dualite on montre que la transformee de

Fourier de x(t) est une porte Πl(f). Les figures suivantes presentent le signal x(t) dans ledomaine temporel et frequentiel (l = 2).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

Signal x(t)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

|X(f

)|

Signal x(t)


−10 −5 0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

f

φ(X

(f))

Signal x(t)



4. Proprietes Translation temporelle


Propriete 4.3 (Translation temporelle)

Soit x(t) un signal ayant pour transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). Le signals(t) = x(t + τ), obtenu en translatant le signal x(t) de τ, a pour transformee deFourier :

S(f) = F (x(t + τ)) = X(f)e2jπfτ (9)

• Avancer un signal dans le domaine temporel revient a multiplier satransformee de Fourier par une exponentielle complexe e2jπfτ dans ledomaine frequentiel.

• L’information liee a la position temporelle du signal est contenue dans laphase.


4. Proprietes Translation temporelle

Propriete de la decomposition

• Exemple :

Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signals(t) = x(t + τ) dans le domaine temporel et frequentiel (τ = 0.5).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

Signal x(t)Signal x(t+τ)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

|S(f

)|



−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

φ(S

(f))




4. Proprietes Dilatation/contraction temporel


Propriete 4.4 (Dilatation/contraction temporelle)

Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). En dilatant (ou encontractant) l’echelle des temps d’un facteur γ, la transformee de Fourier des(t) = x(αt) (α ∈ R) est donnee par :

S(f) = F (x(αt)) =1|α|

X(

fα

)(10)

• Lorsque l’on contracte un signal dans le domaine temporel, on le dilate dansle domaine frequentiel et inversement.

• Un signal infiniment bref contient un spectre infiniment large.


4. Proprietes Dilatation/contraction temporel


• Exemple :

Soit x(t) = Πl(t) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes presentent le signalcompresse s(t) = x(αt) dans le domaine temporel et frequentiel (α = 1.5).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

Signal x(t)Signal x(α t)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

|S(f

)|



−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

φ(S

(f))




4. Proprietes Derivation


Propriete 4.5 (Derivation)

Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). La transformee deFourier de sa derivee, s(t) =

dx(t)dt , est donnee par la relation :

S(f) = F (s(t)) = 2jπfX (f) (11)

• Cette propriete permet de convertir des equations differentielles dans ledomaine temporel en equations polynomiales dans le domaine frequentiel.


4. Proprietes Conservation d’energie


Propriete 4.6 (Theoreme de Parseval-Plancherel)

Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)). L’energie du signal,E, est egale a :

E =

∫|x(t)|2dt =

∫|X(f)|2df (12)

• L’energie d’un signal peut se determiner en integrant dans le domainetemporel et/ou dans le domaine frequentiel.


4. Proprietes Parite


Propriete 4.7 (Parite)

Soit x(t) un signal de transformee de Fourier X(f) = F (x(t)), il est possible dedemontrer les proprietes suivantes :

Signal x(t) Spectre X(f)Reel paire Reel paire

Reel impaire Imaginaire impaireReel Complexe (partie reelle paire, partie imaginaire impaire)

Imaginaire paire Imaginaire paireImaginaire impaire reel impaire

Imaginaire complexe (partie reelle impaire, partie imaginaire paire)


5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac

Signaux Particuliers

Definition 5.1 (Impulsion de Dirac)

L’impulsion de Dirac, δ(t), est une distribution ayant pour proprietes :

• δ(t) = 0 pour tout t , 0.

•∫ ∞−∞

x(t)δ(t)dt = x(0)

Propriete 5.1 (TF d’un Dirac)

La transformee de Fourier de δ(t) est egale a :

F (δ(t)) = 1 (13)

• La preuve decoule immediatement de la deuxieme propriete de l’impulsionde Dirac.


5. Signaux Particuliers Impulsion de Dirac


• Representation :

Les figures suivantes presentent l’impulsion de dirac, δ(t), dans les domaines temporel etfrequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

δ(t)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

Signal δ(t)


−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

Spe

ctre

Signal δ(t)


L’impulsion de dirac est un signal tres rapide qui excite toutes les frequences. A titred’illustration, l’eclatement d’un ballon ou le tir d’une arme a feu generent un son proche d’uneimpulsion de dirac.


5. Signaux Particuliers Constante


Definition 5.2 (Constante)

Le signal constante, x(t), est defini par l’equation :

x(t) = 1 (14)

Propriete 5.2 (TF d’une constante)

La transformee de Fourier de x(t) est egale a :

X(f) = F (1) = δ(f) (15)

• La preuve decoule directement des theoremes 5.1et 4.2 (dualite).

• Attention : La transformee d’une constante n’est pas une constante c-a-dF (1) = δ(f) , 1.


5. Signaux Particuliers Constante



Les figures suivantes presentent le signal constant x(t) = 1, dans les domaines temporel etfrequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

x(t)=1


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

Signal x(t)=1


−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

Spe

ctre

Signal x(t)=1


La composante continue du signal est contenue dans la composante |X(f = 0)| du spectre.


5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe


Definition 5.3 (Exponentielle complexe)

Le signal exponentiel complexe, x(t), de frequence f0 est defini par l’equation :

x(t) = e2jπf0t (16)

Propriete 5.3 (TF d’une exponentielle complexe)


X(f) = F(e2jπf0t

)= δ(f − f0) (17)

• La preuve decoule directement du theoreme 5.1 et 4.3.


5. Signaux Particuliers Exponentielle complexe



Les figures suivantes presentent l’exponentielle complexe x(t) de frequence f0 = 2Hz, dans lesdomaines temporel et frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

2

temps (sec)

ConstanteExponentiel complexe

Figure: Espace temporel(module)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−100

−50

0

50

100

temps (sec)


Figure: Espace temporel(phase)

−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre


Figure: Espacefrequentiel (module)

−10 −5 0 5 10−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

f

Spe

ctre


Figure: Espacefrequentiel (phase)


5. Signaux Particuliers Sinusoıde


Definition 5.4 (Sinusoıde)

Le signal sinusoidal, x(t), de frequence f0 est defini par :

x(t) = sin(2πf0t) (18)

Propriete 5.4 (TF d’une Sinusoıde)


TF [sin(2πf0t)] =j2

(δ(f + f0) − δ(f − f0)) (19)

• La preuve decoule des formules d’Euler et du theoreme 5.3.


5. Signaux Particuliers Sinusoıde



Les figures suivantes presentent un signal sinusoidal de frequencef0 = 2Hz, dans les domaines temporel et frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)

Sinusoide


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

Spe

ctre

Sinusoide


−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

f

Spe

ctre

Sinusoide



5. Signaux Particuliers Fonction Signe


Definition 5.5 (Signe)

Le signal signe, sgn(t), est defini par l’equation :

sgn(t) =

−1 si t < 00 si t = 01 si t > 0

(20)

Propriete 5.5 (TF de la fonction signe)

La transformee de Fourier de sgn(t) est egale a :

TF [sgn(t)] =1

jπf(21)

• La preuve s’obtient en demontrant que la transformee de Fourier de lafonction f(t) = 1

πt est egale a F ( 1πt ) = −jsgn(f) et en utilisant le theoreme

4.2.


5. Signaux Particuliers Fonction Signe



Les figures suivantes presentent la fonction signe x(t) = sgn(t), dans les domaines temporelet frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)

Fonction Signe


−10 −5 0 5 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

f

Spe

ctre

Fonction Signe


−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

f

Spe

ctre

Fonction Signe



5. Signaux Particuliers Fonction Echelon


Definition 5.6 (Echelon)

Le signal echelon, u(t), aussi appele fonction de Heaviside, est defini par :

u(t) =

0.5 si t = 00 si t < 01 si t > 0

(22)

Propriete 5.6 (TF d’un echelon)

La transformee de Fourier de u(t) est egale a :

F (u(t)) =1

2jπf+δ(f)

2(23)

• La preuve s’obtient en remarquant que u(t) = 12 (sgn(t) + 1)


5. Signaux Particuliers Porte


Definition 5.7 (Porte)

Le signal porte, Πl(t), de largeur l et d’amplitude unitaire est defini par :

Πl(t) =

{1 si − l

2 ≤ t < l2

0 ailleurs(24)

Propriete 5.7 (TF d’une porte)

La transformee de Fourier de Πl(t) est egale a :

F (Πl(t)) = lsinc (πfl) (25)

ou sinc(x) = sin(x)/x est la fonction sinus cardinal.


5. Signaux Particuliers Porte



Les figures suivantes presentent la fonction porte x(t) = Πl(t) pour l = 1, dans les domainestemporel et frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

|S(f

)|


−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

f

φ(S

(f))



5. Signaux Particuliers Signal Periodique


Definition 5.8 (Signal Periodique)

Sous reserve que la decomposition en serie de Fourier d’un signal periodiquex(t) de periode T0 = 1

f0existe, x(t) peut s’exprimer sous la forme :

x(t) =∞∑

n=−∞

cne−2jπnf0t (26)

Propriete 5.8 (TF d’un signal periodique)


F (x(t)) =∞∑

n=−∞

cnδ(f − nf0) (27)

• La preuve decoule directement des theoremes 4.1 et 5.3.


5. Signaux Particuliers Signal Periodique



Les figures suivantes presentent un signal carre de periode T0 = 2 et la fonction portex(t) = Πl(t) avec l = 1, dans les domaines temporel et frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)

CarréPorte


−10 −5 0 5 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

f

|S(f

)|

CarréPorte


−10 −5 0 5 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

f

φ(S

(f))

CarréPorte



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