Vendredi 15 juin 2018Espé d’Evreux

Frédéric Le Menez, CP culture scientifiqueJ.J. Dabat-Aracil CP préélémentaire

RESOLUTION DE PROBLEMES

EN MATERNELLE

Qu'allons- nous faire ce matin ?

15-16-22–20 // 2 –13 –13 –15 –20 //

6-21-22-5-10-6-19 // 13-2 //

19-6-20-16-13-22-21-10-16-15// 5-6 //

17-19-16-3-13-6-14-6-20 // 2-22//

4-26-4-13-6 // A

15-16-22–20 // 2 –13 –13 –16-15 –20 //

n o u s a l l o n s

6-21-22-5-10-6-19 // 13-2 //

é t u d i e r l a

19-6-20-16-13-22-21-10-16-15 // 5-6 //

r é s o l u t i o n d e

17-19-16-3-13-6-14-6-20 // 2-22//

p r o b l e m e s a u

4-26-4-13-6 // A

c y c l e 1

Comment avez-vous procédé pour résoudre ce problème ?

…Nous nous sommes d’abord assurés que nous avions compris la question et les données du problème……Nous avons fait des essais… avec des cas particuliers.Observé les résultats.…Émis des hypothèses (des conjectures)… Testé ces hypothèses en faisant d’autres essais….… Validé une des hypothèses……. Rédigé la proposition de solution…

L’activité réalisée est bien une activité de recherche,

qui suit la démarche scientifique (démarche

d’investigation).

Les objectifs

Développer l’aptitude à proposer des situations problèmesliées à la vie courante ou tirées d’autres enseignements (avec ou sans données numériques) permettant aux élèves :

- d’apprendre à chercher en mettant en œuvre une démarche personnelle ( s’interroger, trier, classer, organiser ; lire des données, produire des tableaux, des graphiques et des solutions explicites et lisibles ) ;

- d’évaluer l’ordre de grandeur et la véracité de la solution proposée ;

- de comparer et de critiquer des solutions différentes pour la même situation ;

- d’évaluer et de valider la démarche la plus efficace, donc de s’approprier de nouvelles méthodes de résolution.

A vous de jouer…

Déplace 2 allumettes pour que le rond se

retrouve à l'extérieur de la pelle

Déplace 2 allumettes pour que le rond se

retrouve à l'extérieur de la pelle :

A vous de jouer…

Déplace 2 allumettes pour que le rond se

retrouve à l'extérieur de la pelle

Qu’est ce qu’un problème

dans le cadre de

l’enseignement des

mathématiques?

« Il y a problème, lorsqu’on peut apporter des réponses par desraisonnements. Il faut qu’il y ait quelque chose à chercher et qu’ilne soit pas possible d’utiliser la mémoire seule ». (G. Brousseau)

« Une activité proposée à l’élève est un problème s’il y a quelquechose à chercher et si elle « fait problème » pour lui.Ainsi, une activité peut être un problème pour un élève et ne pasl’être pour un autre ». (R. Charnay)

« Nous appellerons problème scolaire toute activité proposée àl’élève, constituée de données qui renvoient à un contexte, decontraintes, éventuelles, et d’un but à atteindre.Pour atteindre ce but, l’élève doit mettre en place une suited’opérations ou d’actions (qu’on appellera « procédures ») qui nesont pas immédiatement disponibles pour lui. »

Les 6 compétences mathématiques(à partir du C2).

Les six compétences

mathématiques

Chercher

Modéliser

Communiquer

Calculer

Raisonner

Représenter

C'est une

situation initiale

avec un

but à atteindre

demandant à un sujet

d'élaborer

une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but.

Il n'y a problème que dans un rapport

sujet/situation

où :

la solution n'est pas disponible d'emblée,

mais elle est possible à construire.

d'après Jean Brun

Programmes 2015

Les Leviers

• Vivre ensemble, apprendre ensemble

• Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmesPour provoquer la réflexion des enfants, l'enseignant les met face à des problèmes à leurportée. Quels que soient le domaine d'apprentissage et le moment de vie de classe, il cibledes situations, pose des questions ouvertes pour lesquelles les enfants n'ont pas alors deréponse directement disponible. Mentalement, ils recoupent des situations, ils font appelà leurs connaissances, ils font l'inventaire de possibles, ils sélectionnent. Ils tâtonnent etfont des essais de réponse. L'enseignant est attentif aux cheminements qui semanifestent par le langage ou en action ; il valorise les essais et suscite des discussions.Ces activités cognitives de haut niveau sont fondamentales pour donner aux enfantsl'envie d'apprendre et les rendre autonomes intellectuellement.

• Prégnance de la compréhension

Mobiliser le langage dans toutes ses dimensions

Extrait du programme

Peuvent être travaillées les compétences

touchant :

- la compréhension des énoncés (vocabulaire,

syntaxe, lien de causalité)

- l'expression orale (énoncer clairement des

informations, se faire comprendre, argumenter,

justifier…)

- la trace écrite (formuler et écrire une réponse,

une question, un énoncé...)

Les écueils

La passation deconsigneLa compréhension dela situationLe matérielModalités de travailpar les élèvesL’autonomie

Codage des consignes

Présence d’un adulte

Evocation

Découverte et mutualisation de stratégies à réutiliser

Entraînement

Référents et outils

Les pistes

Analyses de situations problèmesAteliers tournants pour enseigner la grille d’analyse

• Mystero

• Les masques

• Les bidules

• Les lettres

• La tour

Les notions mathématiques

travaillées

Type de problème

Mode de résolution

Étapes de résolution Ecueils

NombresFormes

Grandeurs…..

Pour apprendrePour s’entraîner

Pour chercherPour transférer….

Induction ou déduction

CalculSitauationCompréhensionMatérielModalités de travail

Les compétences mathématiques travaillées

Compétences transversales

• Énumérer

• Pointer

• Trier

• Classer

• Catégoriser

• Ranger

• Associer

• ….

Compétences disciplinaires

• Les nombres et leurs utilisations

• Formes

• grandeurs

• Temps

• Espace

• Nommer

• Communiquer

• Présenter

• Justifier

• Argumenter

• …

Compétences langagières

Un problème pour apprendre à chercher (un problème

ouvert)

Exemple: Nécessite une organisation pour obtenir toutes les possibilités.

Représentations des élèves

Enoncé

On dispose de 3 parfums de glace : chocolat, pomme, citron

Trouve tous les cornets de glace à trois boules possibles.

Objectifs

Développer chez les élèves un comportement de recherche

Développer des capacités à chercher, abstraire, raisonner, s’organiser, prouver et modéliser.

Items

•Chercher et produire une solution personnelle dans un problème de recherche

•Formuler et communiquer sa démarche

•Argumenter à propos de la validité d’une solution produite par soi-même ou par un camarade.

•Savoir écouter et respecter la parole d’autrui.

Modalités de mise en œuvre de l’activité

•recherche individuelle (10-15 minutes)

•recherche par deux (20-25 minutes)

•recherche par groupes de 4 ou 5 (30-35 minutes)

•synthèse collective (25-30 minutes)

Procédures rencontrées

1. Une résolution par dessins ou schémas.

2. Une résolution par symboles (lettres, croix…).

3. Ecrire en toutes lettres les solutions.

4. Faire des arbres.

Principaux obstacles à la résolution

Un obstacle porte sur la possibilité de répéter une ou deux fois le même parfum.

Commentaires

Cette situation a été proposée à des CE2 avec seulement 3 parfums.

Ils ont rapidement résolu la situation en trouvant les 10 solutions. On peut directement commencer par 4 parfums.

Avec les CM, la difficulté portait sur le nombre de réponses (35).

L’absence de méthode a engendré un contrôle fastidieux des réponses pour éviter les doublons.

L’utilisation de méthodes plus systématiques (tableau, la famille des 3 mêmes parfums…)

permet de visualiser rapidement l’ensemble des solutions.

-Le problème ouvert permet de proposer à l'élève une activité comparable

à celle du mathématicien confronté à des problèmes qu'il n'a pas appris à

résoudre.

-Le problème met l'accent sur des objectifs d'ordre méthodologiques:

essayer, organiser sa démarche, mettre en œuvre une solution originale,

en mesurer l'efficacité, argumenter...

-Le problème ouvert permet de prendre en compte et même de valoriser

les différences entre élèves.

-Le problème ouvert permet à l'enseignant de faire connaître aux élèves

quelles sont ses attentes en matière de résolution de problèmes. Il s'agit

de chercher plutôt que de trouver rapidement. Il faut prendre des

initiatives…

La responsabilité de la solution appartient entièrement à l'élève.

Problème « ouvert »

L'induction est l'opération réalisée pour passer de l'observation au concept et à lagénéralisation. Elle infère la supposition d'une règle générale à partir d'une perceptiond'information limitée. Exemples : “3” est un nombre qui appartient à l'ensemble “A”, donc“A” doit être un ensemble de nombres.Le “donc” ne signifie pas ici implication logique nécessaire comme dans la déduction,c'est une supposition qui demande à être confirmée sur plusieurs exemples. Il s'agitdonc d'une procédure plus coûteuse en temps : il faut avoir observé suffisammentd'exemples pour en tirer une règle ou construire le concept. Mais cette opération estsouvent l'étape première et indispensable pour accéder à l'abstraction.

La déduction, procédant de la logique formelle, est l'opération la plus rigoureuse et laplus économique.On peut la définir comme implication et application d'un acte ou d'une affirmation àpartir d'une règle logique générale. Exemples : “A” étant un ensemble de nombres, si “3”appartient à “A”, alors “3” est un nombre.Si la déduction représente souvent l'opération mentale la plus économique (pas detâtonnement ni d'erreur possible en principe), elle suppose une maturité que tous nepossèdent pas. Elle suppose une décentration de l'élève, l'acquisition des structureslogiques ou hypothético-déductives ; elle procède de concepts déjà acquis(appartenance logique, verbe, transitivité, etc).

Les problèmes selon des critères que vous aurez

établis.

Types de problèmes

Des catégories de problèmes…

Un problème pour apprendre

(situations problèmes)

Les problèmes qui exigent la construction de

nouvelles connaissances pour les résoudre :

ici, celui qui est face au problème ne possède

pas de réponse adaptée. Il va être obligé de

trouver « quelque chose de nouveau » qui

sera efficace face aux situations identiques

Un problème d’application ou de

réinvestissement d’une notion connue

Les problèmes qui demandent un réinvestissement

de connaissances antérieures :

ici, il faudra utiliser une notion déjà construite, la

réinvestir.

La tâche consistera à reconnaître au travers du

problème la notion qui permet sa résolution.On peut

discerner quatre sous types de problèmes de

réinvestissement : un réinvestissement

immédiatement, un réinvestissement plus différé

dans le temps , les problème de transfert., les

problèmes de synthèse, les problèmes

d’évaluation la maîtrise des connaissances.

Un problème pour apprendre à chercher

(un problème ouvert)Les problèmes pour chercher : ici, l’objectif est de provoquer

la recherche de façon à développer les compétences de

chercheur.

On ne s’intéresse pas à la mobilisation de connaissances

antérieures.

On vise à apprendre à chercher

Le problème permet:

A l’élève de se confronter à un

obstacle qui l’amène à faire

des paris sur des choix

Obstacle franchissable par tous…

… avec des cheminements éventuellement différents…

.. avec un décalage optimal (ni trop facile, ni trop difficile) en lien avec la ZPD

Différentes manières de rentrer dans le problème

La

manipulation

La

reconstruction

de la situation

pour les objets

Les essais et

erreurs pour

approcher la

solution

Le calcul

La

représentation

(dessins,

schéma…)

La ou les

procédures

expertes

Quelles sont les difficultés

rencontrées par vos élèves

dans la résolution de

problèmes ?

Les difficultés observées ?

Les éléments de compréhension des situations

• Les connaissances pragmatiques

• La connaissance du monde

• Les connaissances linguistiques

• Les capacités perceptives

• Le prélèvement des significations

• L’interprétation

• Représentation du problème

• Compétences logiques

Phases de la démarche de résolution de problèmes

Phase 1 : le projet

Phase 2: l’évocation (se représenter le problème)

Phase 3 : Pause active

Phase 4: élaborer et expliquer la /sa solution

Phase 5: Le retour

Phase 1 :

Le projetAudition, observation ou lecture

Appropriation du problème par dévolution par le maître

Phase 2 :

Évocation

Se représenter le problème

• S’en faire une image mentale 1 : comprendre la situation (De quoi s’agit-il ?

D’un problème ! A quoi le reconnaît-on ?)

• S’en faire une image mentale 2 : comprendre l’énoncé, en restituer une

représentation orale. Justifier sa

représentation et la confronter à celle des

autres.

Schématiser :

Pour schématiser, pouvoir se représenter la

situation (images mentales),

Schématiser s’apprend

Etymologie du mot : schéma nom masculin

(latin schema, -atis, du grec skhêma, atos, figure)

Dessin, tracé figurant les éléments essentiels d'un

objet, d'un ensemble complexe, d'un phénomène,

d'un processus et destinés à faire comprendre sa

conformation et/ou son fonctionnement ;

Définitions

schématiser (v.)

représenter d'une manière schématique, en réduisant à

l'essentiel.

synonymes

schématiser (v.)

condenser, matérialiser, résumer, simplifier, styliser

- Donner des énoncés et des schémas

les explicitant, trouver parmi plusieurs le

schéma qui illustre une situation.

- Produire un seul schéma, en discuter

avec les autres,

- Inventer un schéma, expliquer de quoi

il est solution.

Phase 3 :

Pause active

Période des pronostics par mobilisation des connaissances, remise en mémoire, choix d’une

stratégie…

Phase 4 :

Expliquer la/sa solution

Confronter sa compréhension de la situation à ses

connaissances.

- Reconnaître la solution : procéder par analogie (l’énoncé me

demande de faire un calcul, un tracé géométrique… c’est

comme la fois où…)

- Définir une organisation, une logique,

- Essayer, recommencer

-Pour travailler cette phase, proposer des énoncés :

. Qui donnent la représentation de la situation (tableau,

schéma…)

. Qui ne demandent pas de rédaction de « phrase réponse »

Expliquer pour quoi faire puisque j’ai trouvé

la solution ?

Expliquer pour quoi faire puisque j’ai trouvé la

solution ?

- Parce que c’est l’habitude : un code inhérent aux

problèmes.

- Pour communiquer aux autres, au maître.

-Parce que quand j’écris, je structure ma pensée : la

rédaction de la réponse me renvoie à la résolution (je

vérifie ma réponse : est-elle conforme à la question ?

Puis-je savoir si j’ai « juste » ?) : ma communication

EST explication.

Parfois c’est l’occasion de se rendre compte d’une

erreur…

Pour que l’élève se pose cette question, « ma réponse

est-elle possible ? » (esprit critique de l’élève à

travailler)

Phase 5 :

le retourBilan de la réalisation

(relecture, compléments, conformité de la démarche, recherche d’autres

solutions, évaluation des grandeurs, vérification des calculs)

LES RESSOURCES:

• Le nombre au cycle 2, Scéren, 2010

• Pierrard, A. Faire de mathématiques à l’école maternelle, Sceren

• Berdonneau C., Mathématiques actives pour les tout-petits, Hachette éducation

• Valentin Dominique, Découvrir les mathématiques PS, MS,GS, Hatier

• Vers les maths PS, MS, GS, Accès

• Ney L. Des situations pour apprendre le nombre, Scéren

• Charnay R., Comment enseigner les nombres et la numération décimale ?, Hatier