Des translations à répétition : les frises

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Dans ce dossier, nous avons relié les translations aux frises, bien que ces deux termes ne soient pas liés mathématiquement.

Notions liées aux frises

Une translation est une répétition à l’identique d’un motif transféré dans un autre endroit, c’est-à-dire :

- à une certaine distance- vers une certaine orientation

La combinaison de cette distance et de cette orientation forme un vecteur de translation, en noir sur le schéma.Ce vecteur est le même pour tous les points de la forme translatée. D’où le fait que tous les vecteurs noirs du schéma soient égaux.

Une frise est composée de : - sa trame ou maille ou domaine, c'est-à-dire du format de la grille dans laquelle va se répéter le motif du pavage.- son canevas appelé groupe cristallographique ou groupe ponctuel qui forme le dessin à répéter. C’est lui qui fait l’objet de translations successives. On l’indique sur la maille minimum de la frise avant sa répétition. En ce sens, une frise est une translation du groupe d’isométries d’un motif.- du motif ou dessin de base : c’est lui qui va être répété dans tous les sens et c’est le générateur du groupe des isométries.

Le groupe cristallographique ou canevas (les transformations subies par le motif de départ avant sa répétition), ici en rouge, peut comporter : - Des translations- Des symétries avec axes verticaux ou horizontaux, - Des symétries (glissées ou non) d'axes horizontaux (de même axe que la bande)- des symétries centrales ou rotations de différents ordres (portions des arcs de cercle par

rapport à un cercle complet : 60 °, 90 °, 120° …)Voix et vues de classe – Géométrie – Les frises ou translations - 2014 Page 1

- et les transformations composées, forcément dans le groupe également. Par exemple, si on a une translation et une symétrie horizontale, on aura forcément une symétrie glissée.

En mathématiques, on distingue 7 types de frises selon les groupes d’isométries représentées.

Sur ces schémas : - otifs de départ sont en vert.- Les canevas à répéter sont à l’intérieur des rectangles rouges.- Les mailles sont rectangulaires ou carrées, en violet.

1 - Une translation simple ou répétition simple du motif de base

2- Translation avec rotation d’un demi-tour

Motif : une flèche. Le canevas est identique au motif.Maille rectangulaire de 2,3 sur 3,1 cm.

Motif : un triangle. Le canevas comporte deux triangles dont l’un est la rotation de 180° de l’autre. Maille rectangulaire de 2,3 sur 3,1 cm.

Deux translations avec réflexion ou symétrie centrales3 - Translation avec symétrie verticale 4 - Translation avec symétrie horizontale

Motif : un demi-cylindre.Le canevas est composé du demi cylindre et de son symétriquepar rapport à un axe vertical, ce qui fait un cylindre complet.Maille rectangulaire de 2,4 sur 3,1 cm

Motif : une « corne ».Le canevas est composé de la corne et de son symétrique par rapport à un axe horizontal, ce qui forme une lune. Maille rectangulaire de 2,4 sur 3,1 cm.

5- Les translations avec symétrie glisséed’axe horizontal D’axe vertical Ou d’axe central

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Motif : une double flèche.La canevas à répéter comporte deux figures.Maille rectangulaire de 2,4 sur 3,1 cm.

Des translations composées6 - Les translations 2, 3 et 4

combinées Translations, symétries verticales, symétrie horizontale,

symétries centrales

7 - Les translations avec glissement d'axe horizontal, demi-tour et réflexion d'axe vertical :

O O OMotif : un quart de cercleLe canevas comporte 4 figures.Maille carrée.

Motif : un arc allongé Le canevas comporte 4 figures.Maille rectangulaire de 2,7 sur 3,4 cm.

Enfin, il est possible de varier les frises en alternant selon le rythme de son choix de canevas différents tracés à partir du même motif.Exemple sur une variation de symétries, réflexions de la lettre p comme motif de base :

Trois canevas alternés,

p qp

db p qp db p qp db p qp db

4 canevas alternés selon un rythme particulier

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p qp

db b db qp p qp db b db qp

8 canevas alternés selon un rythme particulier

p qp

db b db qp q pq bd d bd pq

Eléments de variation d’une frise Processus

(isométries) utilisés dans le canevas

Formes ou motifs à reproduire

Maille induisant l’emplacement des axes de symétrie, les cases de

translation et « la taille de la frise » - translation- symétrie

verticale ou horizontale

- symétrie glissée

- Carrés, hexagones, polygones, cercles

- Vue en perspective : prismes

- Propriétés des figures : diagonales, médiatrices …

- Maille rectangulaire horizontale - Maille horizontale - Maille carrée

Les objectifs de l’école primaire n’incluent pas la définition mathématique de la notion de frise, mais seulement un abord des transformations isométriques (translation, symétrie, rotation) ou homothétiques (par le biais des échelles).Comme d’habitude, les propositions de séances qui suivent sont donc à adapter aux besoins particuliers de la progression ou programmation de classe.

Sommaire Les frises Repérer leurs caractéristiques

Les reproduire En créer

Les frises autour Leur utilisation :

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de nous - En architecture- Pour la décoration- En sciences (renfort de pont pour la traversée des rivières, création

d’ouvertures dans un bâtiment …)Les frises en mathématiques

Calcul de divisionsIntervalles et extrémités

CM Les frises : repérer leurs caractéristiques Objectifs du maître Connaître les éléments de construction d’une frise. Repérer : - le format de la bande- le canevas ou groupe d’isométries à répéter- le motif de base qui a été reproduit dans le groupe d’isométries Jouer avec les isométries et les rythmes.Phase / groupement / tempsTravail d’observation de groupes. Application individuelle.

L’objectif est de repérer la transformation ou isométrie utilisée pour constituer le canevas, à partir d’un motif ou dessin reproduit dans tous les sens. Ceci devient utile par exemple dans le calcul d’un périmètre ou d’une aire.

Découverte

Découper les morceaux de frises de la première fiche et les distribuer à chaque groupe. Les trier par catégories.

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Formulation lors de la remise en commun :

L’objectif est de déterminer quels critères permet de faire varier un bande, c’est-à-dire d’en déterminer les composantes.Voir le tableau « éléments de variation d’une frise » en début de dossier.Des frises avec leur présentation

http://www4.ac-nancy-metz.fr/clg-jacques-monod-hayange/lesite/pedagogie.php3?page=10 http://baimammouth.org/Maths/frises/frises.html http://trianglacolorier.free.fr/atelierfrises.html

Applications : jouer avec les éléments de la frise

La fiche ci-contre présente une zone grisée dans laquelle va se trouver le canevas à reproduire dans la suite de la bande.Ce canevas peut comporter un motif avec son symétrique, des rotations …

Les entraînements peuvent s’effectuer sur une maille fixe linéaire, mais ils peuvent aussi donner naissance à la création d’objets décoratifs, ici des boîtes avec le même fond.

Les schémas ayant été créés sous Word, il vous est possible de modifier le motif de départ tout ne conservant les proportions.

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Frises avec objectifs de reproductionhttp://mathsenboite.free.fr/spip.php?article332&id_document=844

Des frises à reproduire : http://zoutils.ek.la/frises-a2454020http://cycle2.orpheecole.com/2012/05/mathematiques-cpce1-rituels-et-autonomie/http://ipotame.blogspot.fr/2011/12/cycle-2-geometrie-frise.htmlhttp://www.lannaronca.it/cornicette%20e%20disegni%20a%20quadretti.htmhttp://www.ressourcespourcm2.fr/frises-a48464026

CM Les frises : Sciences et arts Objectifs du maître Diviser un espace en plusieurs espaces égaux pour pouvoir y répéter un motif.Observer le monde qui nous entoureConnaître quelques usages des frises dans la vie artistique et / ou courante.Phase / groupement / tempsTravail de groupe avec remise en commun

Découverte

Observer les images de monuments ou d’éléments architecturaux :- de la ville ou de la région- célèbres de FranceCes images peuvent provenir des photos personnelles des élèves, des cartes postales de la région, d’internet …

Déterminer leurs différences et leurs points communs : - Différence de dates de construction,

d’usage, de style …

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- Construction architecturale utilisant toujours la répétition d’éléments : arches de points, fenêtres, poutres …

Sites consultés pour la recherche de « frises » :

Découverte des frises en architectureSchéma sur les frises en architecture : http://www.math.uqam.ca/~boileau/Explorations2010/Frises/frise.htmlhttp://art-roman-esla.over-blog.com/article-glossaire-10-les-frises-dans-l-art-roman-5-56292053.htmlhttp://www.histoiredelantiquite.net/archeologie-romaine/influences-etrusques-et-grecques-dans-larchitecture-romaine/

Voir aussi les frises pour les … liners de piscineLister les éléments observés : - Noms des bâtiments ou éléments architecturaux- Nature du jeu d’isométrie : symétrie, répétition, rotation …- Formes reproduites : figuratives, géométriques, grilles …

En littérature / poésie

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Découverte : liaison à l’histoire (Moyen-âge) A partir des Riches Heures du Duc de Berry, de la bible de Borso, Observer en quoi chaque frise graphique peut être une reproduction à l’identique d’un rythme et le support d’une variante, par exemple : - Sur les signes du Zodiaque : l’homme anatomique – Les Riches

heures du Duc de Berry- Les saisons : les Riches heures du Duc de Berry

Application Faire des frises avec des lettres : la calligraphie

Site ressource : alphabets calligraphiques avec les sens des lettres sur : http://www.atelier-calligraphie.com/frames/ressourcfrfont.htm

CM Intervalles et extrémitésObjectifs du maître Distinguer les longueurs de leurs bornes, ou les segments de leurs extrémités.Phase / groupement / tempsTravail de groupe et remise en commun

Application : diviser en intervalles pour répéter un motif Tracer les arches d’un pont de telle façon que le tablier et les pieds des arches touchent les lignes déjà tracées.Le problème va être de discerner entre le nombre d’espaces à tracer et de « bornes » à « planter ».Ainsi, dans la corde à nœuds, il y a 13 nœuds pou 12 longueurs.

Une barrière a toujours un poteau de plus que le nombre de longueurs ajoutées.

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Application : distinguer les intervalles des extrémités Répondre aux questions en se servant éventuellement d’un schéma.

Formulation lors de la remise en commun : Les élèves formulent leurs hypothèses et valident les réponses en s’aidant de schémas. Distinguer les éléments des schémas qui permettent de compter le nombre de poteaux par rapport au nombre d’intervalles : deux poteaux pour une barrière, un poteau supplémentaire en fin de ligne …

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