Voletons au gré du son !

xxvèmes Olympiades de Physique

Lycée Bertran de Born

Périgueux

Mathieu Peyrot, Malo Rembaud,

Nicolas Tafzi et Anys Zoghely

Avec l’aide de MM. Ducassou et Torrens

Remerciements

Nous tenons à remercier toutes celles et tous ceux qui ont pu nous aider etnous guider dans notre projet. En particulier, les personnels du lycée, venusnous ouvrir les portes du laboratoire de nombreuses fois pendant nos expéri-mentations, malgré des horaires parfois contraignants.

Nous remercions également les membres du jury académique, et en parti-culier notre référent, Damien Toussaint, pour leur intérêt et leurs conseils surnotre travail, qui nous ont permis d’apporter des améliorations conséquentes àce mémoire. Nous n’oublions pas non plus Cédric Payan (maître de conférencesau Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique de Marseille) qui a relu cet écritet dont les conseils nous ont été très précieux.

De la même manière, nous remercions le gérant du magasin KCE de Péri-gueux, qui a passé beaucoup de temps à nous expliquer les dessous de notremontage électronique.

Nous adressons également nos remerciements à tous ceux qui participent àl’organisation des Olympiades, en particulier nos professeurs, MM. Ducassouet Torrens, dont l’engagement dans ce projet nous a permis d’arriver jusqu’àcette finale.

Résumé

La lévitation acoustique est un phénomène impressionnant et amusant àexpérimenter, mais n’en demeure pas moins très intéressant à étudier dansle détail. La formation de nœuds et de ventres de vibration, causés par lecroisement de deux ondes progressives, autorise à se croire magicien pendantquelques instants.̇. Le phénomène est encore plus surprenant quand on saitqu’il ne tient qu’à des variations de pression de quelques centièmes de pascals,ridicules en regard aux écrasants 105 pascals de la pression atmosphérique.

Nous avons voulu savoir si ce fébrile phénomène était apprivoisable dansles conditions du lycée, dans le but de mieux le comprendre et le cerner.

1

Table des matières

Remerciements 1

Résumé 1

Introduction 3

I Ondes sonores 4I.A Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.B Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.B.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.B.2 Modélisation théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.B.2.a Équation de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . 7I.B.2.b Étude de la réflexion . . . . . . . . . . . . . . . 8I.B.2.c Expression de ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.B.3 Position des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.B.4 Modélisation informatique d’une onde stationnaire . . . . 11

II Expérimentation de la lévitation acoustique 13II.A Matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.A.1 Transducteur ultrasonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.A.2 Alimentation du transducteur . . . . . . . . . . . . . . . 14

II.B Mise en place de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.B.1 Lévitation de polystyrène . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.B.2 Lévitation de liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Conclusion 18

2

Introduction

L’idée de travailler sur la lévitation acoustique est née en regardant unevidéo sur YouTube [1] montrant un professeur de Harvard présentant le phé-nomène en faisant léviter des boules de polystyrène et des gouttes d’eau. Cephénomène intrigant et amusant nous a donné envie d’en savoir plus et demettre en place un dispositif permettant de le réaliser. C’est donc avec ceprojet que nous nous sommes lancés dans les olympiades de physique, avec lesoutien de nos professeurs de physique et de chimie, MM. Torrens et Ducassou.

La lévitation de manière générale correspond à la neutralisation du poidsd’un objet grâce à une force au moins aussi importante que celle exercée par lagravité, tout ceci sans contact physique. Diverses formes de lévitation existent :magnétique (la plus répandue et la plus connue), électrohydrodynamique (aumoyen de hautes tensions électriques pour mettre des fluides en mouvement)ou acoustique (utilisant les ondes sonores).

Ce dernier type de lévitation est le moins connu des trois et pourtant undes plus étonnants. Les premières recherches à son sujet on été réalisées par lephysicien anglais John William Strutt Rayleigh (1842-1919), il y a maintenantplus d’un siècle. En effet, il a rédigé une théorie sur la résonance et un traitésur le son qui firent de lui une référence en acoustique. The theory of sound [2]a longtemps servi de référence. Plus récemment, des chercheurs de l’ETHZ(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, l’école polytechnique fédéralede Zurich) sont parvenus à manipuler de manière précise des objets en lévita-tion comme des gouttelettes de liquide, des petites boules en acier ou encoreun cure-dents. Grâce à leur système, ils ont pu réaliser des mélanges (eau etsodium par exemple). Ces recherches ont été publiées dans la revue Proceeding

of the National Academy of Sciences en juillet 2013 [3]. La prouesse a pu êtrerepétée par une équipe de l’université de São Paulo [4], cette fois en permettantle déplacement du transducteur (et donc celui des objets en lévitation).

Ce phénomène n’est pas seulement amusant, il offre de nouvelles possibi-lités dans les années à venir quand à la manipulation d’échantillons dans leslaboratoires de recherche, avec la possibilité de réaliser des réactions spéci-fiques isolées de tout contact, et donc d’éviter des contaminations à cause dela verrerie utilisée, ou encore de manipuler des produits dangereux ou sensiblesdans les domaines de l’industrie pharmaceutique ou de l’ingénierie chimique.

Notre objectif est de parvenir à faire léviter des faibles masses, telles quede polystyrène, des gouttes de liquides voire même des petits objets.

3

Chapitre I

Ondes sonores

I.A Présentation générale

Une onde acoustique est produite par la vibration d’un objet matériel. Dansl’air, il peut s’agir par exemple de la peau d’un tambour, des cordes vocalesd’un chanteur ou bien encore de la membrane d’un haut-parleur. La vibrationde cette source produit une légère surpression qui, pour le milieu dans lequelelle se trouve, est une perturbation locale. Cette perturbation va ensuite sepropager dans le milieu de proche en proche. Cette perturbation se déplaçantdans le milieu forme ainsi une onde mécanique si le milieu est matériel.

Il existe deux principaux types d’ondes : les ondes transversales et les ondeslongitudinales. Une onde est dite transversale si les particules composant lemilieu de propagation oscillent dans une direction perpendiculaire à la directionde propagation de l’onde (fig. I.1). C’est par exemple le cas lors de la vibrationd’une corde, ou pour les vagues à la surface de l’eau. Sinon, les particulesvibrent dans la même direction que la propagation de l’onde, l’onde est alorsqualifée de longitudinale (fig. I.2). Dans le cas d’une onde sonore, onde qui estsystématiquement longitudinale, nous mesurons l’amplitude de la variation del’onde par la pression acoustique, exprimée en pascals (Pa). Pour donner unordre de grandeur, la variation de pression causée par une personne parlantnormalement à un mètre de distance de son interlocuteur est d’environ 10-2

Pa, soit environ 107 fois moins que la pression atmosphérique au niveau de lamer.

Toutes les ondes peuvent être caractérisées par certains paramètres, enparticulier leurs périodes spatiale et temporelle, qui illustrent donc la doublepériodicité du phénomène ondulatoire.

— La période spatiale, appelée longueur d’onde, équivaut à la distance λparcourue par l’onde pendant une durée égale à la période temporelleT . La longueur d’onde s’exprime en mètres (m).

— La période temporelle équivaut, en un point x fixé de l’espace, à laplus petite durée séparant deux reproductions identiques du phénomèneondulatoire. Elle s’exprime en secondes (s).

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Figure I.1 – Perturbation causéepar une onde transversale.

Figure I.2 – Perturbation causéepar une onde longitudinale.

Les périodes spatiale et temporelle sont reliées par la vitesse de propagation(ou célérité) v de l’onde, avec λ = v × T .

Les ondes sonores d’une fréquence comprise entre 20 Hz et 20 kHz sontles ondes audibles par l’être humain. Elle possèdent donc une longueur d’ondecomprise entre 1.7 × 101 m et 1.7 × 10−2 m. Au-delà de cette limite de 20 kHz,les ondes sonores sont appelées ultrasons. Cette dénomination vaut jusqu’à lafréquence de 1 GHz, à partir de laquelle les sons sont appelés hypersons. Endessous de 20 Hz, ces ondes sonores également inaudibles pour l’Homme sontqualifées d’infrasons.

Parmi les ondes acoustiques se distingue la famille très particulière desondes sinusoïdales : il s’agit du modèle ondulatoire le plus simple qui puisseêtre imaginé, une oscillation régulière et sans atténuation autour d’une valeurmoyenne. Le son produit par cette onde est aussi appelé « son pur ». Pourétudier ces ondes, il est nécessaire de considérer d’autres grandeurs :

— L’amplitude de déplacement A, pouvant être mesurée dans diférentesunités dépendant des caractéristiques de l’onde étudiée, est dans le casd’ondes mécaniques l’écart maximal que parcourt une tranche d’air parrapport à sa position d’équilibre. Par exemple, si cette particule se dé-place entre les valeurs x0 et −x0, alors l’amplitude est égale à 2x0. Dansles paragraphes suivants, cette amplitude sera notée A0. Dans le casd’ondes acoustiques, l’amplitude de l’onde de pression est la diférencede pression acoustique entre la surpression et la dépression, expriméeen pascals (Pa).

— La fréquence est définie comme le nombre d’oscillations de l’onde dansun intervalle de temps donné. Elle se note f et se mesure donc enoscillations par seconde, exprimées en hertz (Hz), équivalents des s-1.Celle-ci est l’inverse de la période temporelle T , soit f = 1

T. Il est

également possible d’utiliser une autre grandeur nommée pulsation, quicorrespond à la vitesse angulaire qu’aurait un objet en rotation à lamême fréquence. La pulsation ω est donnée par la relation ω = 2πf ets’exprime en radians par seconde (rad.s-1).

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— Nous utiliserons également dans cet écrit le nombre d’onde noté k, définipar la relation k = 2π

λ. Il s’exprime en radians par mètre (rad.m-1).

Une onde est généralement représentée dans un graphique en deux dimensions,avec en abscisse le temps t ou la position x dans l’espace, et en ordonnée y ledéplacement d’une tranche d’air par rapport à sa position au repos, c’est-à-direen l’absence de propagation d’onde acoustique. Un graphique de ce type estprésenté dans le paragraphe suivant, avec (x, y(x)) pour repère (fig. I.3).

I.B Ondes stationnaires

I.B.1 Présentation

Une onde stationnaire peut être formée lorsque plusieurs ondes de mêmenature possédant la même amplitude et la même fréquence, mais se propageantdans des sens opposés, se rencontrent. Cette situation peut notamment êtreobtenue lors de la réflexion d’une onde sur une paroi (fig. I.3). L’amplitude del’onde stationnaire pour tous x et t de l’espace et du temps est alors obtenuepar la somme des deux ondes incidente et réfléchie.

Figure I.3 – Série de graphiques montrant l’évolution de l’intensité d’uneonde stationnaire en fonction de l’espace et du temps (les ondes verte et bleuese déplacent respectivement vers la droite et la gauche).

Selon la position de ce point dans l’espace, les ondes peuvent être en phase(fig. I.3, pour t = 2) ou en opposition de phase (fig. I.3, pour t = 0). Dansce premier cas, l’amplitude est maximale : nous pouvons mettre en évidencedes ventres et des nœuds de vibration. Dans le second cas, les deux ondess’annulent, l’amplitude est nulle quel que soit le point observé.

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I.B.2 Modélisation théorique

I.B.2.a Équation de D’Alembert

On appelle équation de D’Alembert unidimensionnelle, ou « équation d’ondeà une dimension », toute équation aux dérivées partielles de la forme suivante :

∂2ψ

∂x2− 1v2

∂2ψ

∂t2= 0. (E.1)

Elle décrit la variation dans le temps d’un phénomène ondulatoire par un termespatial ∂2ψ

∂x2 et un terme temporel ∂2ψ

∂t2. Dans cette équation, v est la vitesse

de propagation des ondes progressives constituant l’onde stationnaire. Nousallons dans ce paragraphe montrer qu’une onde stationnaire vérifie l’équationde d’Alembert et qu’elle peut s’écrire de la manière suivante :

ψ(x, t) = 2A0 sin(kx) sin(ωt). (E.2)

Calculons alors les dérivées partielles de ψ selon x et t :

ψ(x, t) = 2A0 sin(ωt) sin(kx) ψ(x, t) = 2A0 sin(kx) sin(ωt)∂ψ

∂x= 2A0 sin(ωt) · k cos(kx)

∂ψ

∂t= 2A0 sin(kx) · ω cos(ωt)

∂2ψ

∂x2= 2A0 sin(ωt)k · (−k sin(kx))

∂2ψ

∂t2= 2A0 sin(kx)ω · (−ω sin(ωt))

= −k2 · 2A0 sin(ωt) sin(kx) = −ω2 · 2A0 sin(kx) sin(ωt).

En les injectant dans l’équation de d’Alembert (E.1), nous trouvons :

0 =∂2ψ

∂x2− 1v2

∂2ψ

∂t2

= −k2 · 2A0 sin(ωt) sin(kx) − 1v2

(−ω2) · 2A0 sin(kx) sin(ωt)

= 2A0 sin(kx) sin(ωt)(

−k2 − 1v2

(−ω2))

= ψ(x, t)(

−k2 − 1v2

(−ω2))

0 = ψ(x, t)

(

ω2

v2− k2

)

.

Et cette dernière relation est réductible à une simple équation produit-nul,dont le premier facteur ψ(x, t) ne peut être nul pour tous x et t (sinon, au-cune perturbation n’aurait lieu, nous ne pourrions donc pas parler d’onde). Lesecond facteur est factorisé par identité remarquable :

ω2

v2− k2 = 0

(

ω

v

)2

− k2 = 0(

ω

v+ k

)(

ω

v− k

)

= 0.

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Or, cette équation étant également un produit nul, nous conservons unique-ment le facteur ω

v−k, l’autre menant à une solution physiquement inacceptable

(une des grandeurs négative, ce qui n’est pas possible) :(

ω

v+ k

)(

ω

v− k

)

= 0

ω

v− k = 0

ω = kv

Nous retrouvons la relation de dispersion, liant la pulsation ω d’une ondeà son nombre d’onde k et à sa vitesse v.

Ainsi, la fonction ψ est solution de l’équation de D’Alembert seulement sila dernière égalité est vraie, ce qui est le cas dans tous les milieux non dispersifs(comme l’air pour les ondes acoustiques). Cette condition étant vérifiée, nouspourrons utiliser l’expression E.2 dans nos calculs par la suite.

I.B.2.b Étude de la réflexion

Une autre condition à la formation d’un système d’ondes stationnaires est laréflexion totale (ou quasiment totale) de l’onde incidente. En effet, les nœuds devibration (endroits où la vibration résultante est nulle) ne peuvent apparaîtreque lorsque les deux ondes sont en permanence en opposition de phase etd’amplitude égale, à défaut de ne provoquer toutes les deux une perturbationnulle . Nous devons donc démontrer que les amplitudes des ondes incidente etréfléchie sont, sinon égales, extrêmement proches.

Pour cela, nous devons étudier la valeur du cœfficient de réflexion r s’appli-quant à l’onde réfléchie ψr. Il dépend des impédances Zair et Zverre respectivesdu milieu de propagation et de la surface de réflexion, exprimées en pascals-secondes par mètres 1 (Pa.s.m-1). Ces valeurs sont données par la relation liantla masse volumique ρ du milieu et la vitesse de propagation v du son danscelui-ci :

Z = ρ · v.Les valeurs trouvées dans le Handbook of Compressed Gases [5] et dans l’ou-vrage Matériaux [6] nous donnent :

ρair = 1, 2 kg.m-3

vair = 343, 4 m.s-1

ρverre = 2500 kg.m-3

vverre = 5300 m.s-1

Soient les impédances respectives Zair et Zverre suivantes :

Zair = 1, 2 × 3, 43 × 102 Zverre = 2, 5 × 103 × 5, 3 × 103

= 4, 1 × 102 Pa.s.m-1 = 1, 325 × 107 Pa.s.m-1

1. Cette unité est parfois appelée le rayl, en l’honneur de John William Strutt Rayleigh,déjà cité en introduction.

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Comme Zverre ≫ Zair, on peut donc considérer cette approximation :

r =Zair − Zverre

Zair + Zverre

≈ −Zverre

Zverre

≈ −1 (±10−4).

Ce cas fait partie des « cas limites » particuliers. Si r = −1, l’onde seréfléchit totalement sans aucune perte (l’amplitude de l’onde réfléchie équivautà celle de l’onde incidente), en changeant de signe pour les déplacements età l’identique pour les pressions. Mathématiquement, cela se traduit par uneinversion du signe devant ω et un déphasage de π dans l’expression de l’onderéfléchie.

I.B.2.c Expression de ψ

Dans ce paragraphe, nous allons montrer qu’un système d’ondes station-naires ne peut apparaître que dans certaines conditions. En particulier, nousmontrerons que deux ondes progressives se propageant dans des sens opposésavec un certain déphasage sont nécessaires.

Figure I.4 – Schéma explicatif pour la mise en équation des ondes

Soit une onde progressive incidente longitudinale, se propageant dans uneseule dimension vers le point P (représentée sur le schéma fig. I.4). Elle pro-duit au point M une perturbation dans le sens de l’axe XX ′ dont l’intensité(dépendant du temps et de la position du point M) est donnée par la relation :

ψi,M(x, t) = A0 cos(ωt− kx)

Après avoir atteint la surface de réflexion en x = xp, l’onde est réfléchie 2 puisfait subir au point M une seconde perturbation d’intensité

ψr,M(x, t) = A0 cos(ωt+ kx+ φ)

2. La réflexion est considérée comme totale, grâce aux résultats obtenus en I.B.2.b.

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qui se propage cette fois dans le sens négatif de XX ′. Ici, φ correspond audéphasage de l’onde réfléchie.

Sous l’action de ces deux ondes, le point M subit alors une perturbationψM résultante des deux perturbations précédentes, soit :

ψM(x, t) = ψi,M(x, t) + ψr,M(x, t)

= A0 cos(ωt− kx) + A0 cos(ωt+ kx+ φ)

= A0 [cos(ωt− kx) + cos(ωt+ kx+ φ)]

= A0

[

cos

(

ωt+φ

2− kx− φ

2

)

+ cos

(

ωt+ kx+φ

2+φ

2

)]

= A0

[

cos

(

ωt+φ

2

)

cos

(

kx+φ

2

)

+ sin

(

ωt+φ

2

)

sin

(

kx+φ

2

)

+ cos

(

ωt+φ

2

)

cos

(

kx+φ

2

)

− sin

(

ωt+φ

2

)

sin

(

kx+φ

2

)]

= A0

[

2 cos

(

ωt+φ

2

)

cos

(

kx+φ

2

)]

ψM(x, t) = 2A0 cos

(

ωt+φ

2

)

cos

(

kx+φ

2

)

.

Or, le résultat trouvé en I.B.2.b nous donne φ = π, ce qui nous permet d’écrire :

ψM(x, t) = 2A0 sin (ωt) sin (kx) ⇔ (E.2)

Nous retrouvons ici une expression mathématique équivalente à (E.2). Le pointM est donc pris dans un système d’onde stationnaire, les variables d’espaceet de temps sont découplées. Ceci nous montre bien que le point M a unétat vibratoire indépendant du temps. Nous remarquons enfin que l’amplitudemaximale de la vibration selon la position de M est 2A0, soit le double dusignal incident.

Lors de la réflexion de l’onde à l’extrémité du milieu de propagation, undéphasage se produit entre onde incidente et onde réfléchie. Dans notre cas,la réflexion est supposée totale (cf. I.B.2.b). La surface réflechissante ne subitalors aucune perturbation, et on peut donc écrire pour le point P situé àl’interface entre le milieu de propagation et la surface réflechissante :

ψP (t) = 0

ψi,P (t) + ψr,P (t) = 0

A0 cos(ωt− kxP ) + A0 cos(ωt+ kxP + φ) = 0

A0 cos(ωt) = −A0 cos(ωt+ φ)

cos(ωt) = − cos(ωt+ φ).

Cette dernière égalité n’est valable que pour φ = π [2π]. Nous observonsun phénomène de période 2π, donc nous ne conservons que π comme valeur de

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φ. Ce résultat rejoint celui établi en I.B.2.b sur le déphasage entre les ondesincidente et réfléchie, et confirme à nouveau l’expression (E.2).

Nous concluons ce paragraphe en ajoutant que nous obtiendrons donc unsystème d’onde stationnaire uniquement si nous adaptons convenablement ladistance entre la source et la plaque où se fait la réflexion. En effet, nous avonsdes « conditions aux limites » : la vibration est nulle aux extrémités du milieude propagation (transducteur et surfaace réfléchissante). On observe donc unnœud à ces deux points. Le système d’ondes stationnaires se retrouvant doncnécessairement entre deux nœuds, il comporte un nombre entiers de ventres,et sa longueur est donc multiple de la moitié de la longueur d’onde (cf. E.3),comme nous allons le démontrer dans le paragraphe suivant.

I.B.3 Position des nœuds

Les nœuds sont définis comme les points de l’espace de propagation oùl’amplitude de vibration est toujours nulle. Ils peuvent donc être définis commel’ensemble des points vérifiant :

∀t, ψ(x, t) = 0

sin(kx) = 0

kx = nπ, n ∈ N

x = nπ

k.

Or, comme par définition, k = 2πλ

, il vient :

x = nπk

= nπ × λ2π

= nλ2

(E.3)

Ce résultat montre que tous les nœuds sont distants de λ2

m, autrement dit,qu’il existe un nœud toutes les demi-longueurs d’onde. Ces points présententun intérêt tout particulier, puisque c’est à l’intérieur de ceux-ci que les objetsen lévitation trouveront un équilibre leur permettant de compenser leur poids.

I.B.4 Modélisation informatique d’une onde stationnaire

Les résultats précédemment détaillés peuvent être utilisés dans un logicielde géométrie dynamique (ici, GeoGebra) pour modéliser une onde stationnaire.En entrant les fonctions ψi, ψr et ψ, puis en créant des curseurs pour lesdifférentes variables t, ω, k, et φ, nous obtenons une représentation graphiquede l’intensité de la perturbation causée par l’onde en fonction de l’abscisse xdu point observé (fig.

Bien que ce modèle soit très simplifié, voire simpliste, il est cependantadapté à notre expérience, qui utilisera des signaux sinusoïdaux très semblables

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à ceux simulés. D’autre part, l’étude des séries de Fourier nous apprend quetout signal périodique peut être interprété comme une superposition de plu-sieurs signaux sinusoïdaux simples. Ce type de modèle pourrait alors être utilisépour des situations plus complexes.

Par ailleurs, le fait que la fonction ψ soit une fonction à deux antécédentspermet de la représenter comme une application qui associe à tout point duplan un point de l’espace. On peut donc la représenter pour tous x et t. Cettereprésentation (fig. I.5) permet une meilleure appréciation de la double pério-dicité de l’onde, temporelle et spatiale.

Figure I.5 – Modélisation en 3 dimensions des ondes sur GeoGebra

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Chapitre II

Expérimentation de lalévitation acoustique

II.A Matériel

II.A.1 Transducteur ultrasonique

Pour générer les ondes sonores progressives nécessaires à la mise en place del’onde stationnaire, nous utilisons un transducteur ultrasonore. Un transduc-teur est un dispositif permettant de convertir un signal physique en un autre :par exemple, la rétine est un transducteur transformant un signal optique enun signal nerveux.

Le transducteur sonore utilise le principe de la piézoélectricité pour conver-tir un signal électrique (une variation de tension) en ondes sonores (variationde pression). La piézoélectricité est un phénomène permettant à certains ma-tériaux 1 de produire un signal électrique lorsqu’ils sont déformés, et récipro-quement, de se déformer lorsqu’un courant électrique leur est appliqué. Il s’ex-plique par la structure des matériaux en question : ce sont des solides ioniques,dont les barycentres de charges positives et négatives se superposent à l’échellemicroscopique, donnant un solide globalement neutre. Pourtant, lorsque le ma-tériau est déformé, l’organisation régulière des ions est déformée également etles barycentres de charge se déplacent. Ils ne sont alors plus superposés et unepolarisation du matériau a lieu : il devient alors un dipôle élémentaire.

Au niveau macroscopique, cela se traduit par des faces du solide chargéespositivement ou négativement. Ainsi, le matériau piézoélectrique fournit uneénergie électrique en réponse à la contrainte : celle si s’exprime en coulombspar newton (C.N-1). Le phénomène opposé (dit effet piézoélectrique inverse)peut également se produire : lorsque nous appliquons une tension aux extré-mités d’un solide piézoélectrique, l’organisation ionique de celui-ci est modifiéeet celui-ci se déforme. C’est l’effet utilisé par le transducteur sonore, qui, en

1. Dits « piézomatériaux ».

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se déformant de manière périodique (grâce à l’application d’une tension alter-native sur le piézomatériau), émettra des ondes sonores de fréquence égale àcelle du signal alternatif avec lequel il est déformé.

Le choix de la fréquence utilisée repose en particulier sur un critère matériel,et un autre plus souple, mais néanmoins important :

— Empiriquement, nous avons constaté des vibrations du transducteurlorsqu’une tension alternative de 28,028 kHz était appliquée à ses bornes.La lévitation semblait dans ces moments plus efficaces. Nous en avonsdéduit que cette fréquence devait être la fréquence à laquelle le trans-ducteur entre en résonance, démultipliant ainsi l’amplitude de l’onde(dans la mesure où l’amplificateur fournit une puissance suffisante).

— Des considérations plus triviales de confort et de sécurité nous ontamené vers les ultrasons, pour éviter un son continu tout au long desmanipulations, pouvant se révéler dangereux pour l’audition et forte-ment désagréable.

II.A.2 Alimentation du transducteur

L’alimentation de notre dispositif se fait par courant alternatif, d’une fré-quence correspondant à la fréquence de l’onde sonore désirée. Ici, nous utilisonsun générateurs de fonctions périodiques. Le signal de sortie correspond à unetension sinusoïdale d’amplitude 4,24 V (soit une tension efficace de 1,46 V).Cela ne permettait d’obtenir qu’une faible puissance, insuffisante pour créerune onde stationnaire capable de maintenir des objets en lévitation. Il nous adonc fallu rechercher un moyen d’amplifier le signal en sortie du générateur.

Après plusieurs essais utilisant différents composants de chaîne hi-fi, dechargeur d’ordinateur, la solution nous est venue de l’utilisation d’un ampli deguitare. En branchant le générateur directement sur l’entrée jack 6,35 mm (aumoyen d’une soudure sur la prise mâle) et en récupérant ainsi le signal amplifiéà la sortie du composant dédié à cet effet dans l’ampli, nous obtenions notresignal amplifié.

Ce modèle d’amplificateur (Fender Frontman 15R) fonctionnant avec destransistors, son fonctionnement est assez difficile à appréhender. L’étude duschéma électronique (fig.

Cet amplificateur nous permet d’obtenir en sortie un signal sinusoïdal d’uneamplitude de 39,0 V (soit une tens. eff. de 18,7 V), cette fois suffisante pourfaire léviter de petits objets comme nous le verrons dans la section suivante.Pourtant, le signal à 28,028 kHz que nous lui appliquons en entrée est bien endehors de sa bande passante (en théorie plus proche du spectre de l’audible),son efficacité s’en retrouve donc probablement réduite.

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II.B Mise en place de l’expérience

II.B.1 Lévitation de polystyrène

Pour mettre en place la lévitation, deux ondes progreesives sont néces-saires. Puisqu’à cette époque nous n’avions qu’un seul transducteur à dispo-sition, nous avons d’abord placé une plaque rigide en verre face au transduc-teur (lui-même dirigé vers le haut) pour exploiter la réflexion de l’onde émise(cf. I.B.2.b). Le schéma de ce premier montage est donné en annexe (fig.

Pour qu’une onde stationnaire se forme, il est nécessaire que la distanceentre le transducteur et la plaque réfléchissante soit un multiple entier deλ2. Étant donné la difficulté d’obtenir une distance précise (au regard de la

précision obtenue sur la fréquence grâce au générateur de fonctions), nousprocédons en fixant arbitrairement la distance, puis par tâtonnements pourobtenir la bonne fréquence (dont dépend λ).

Par exemple, pour obtenir un nœud tous les 6 mm, nous fixons la distanceproche d’un multiple de 1,2 cm (le double de la distance entre les nœuds). Lecalcul nous donne f = v

λ= 343,4

1,2×10−2 ≈ 2, 8 × 105 Hz, soit une fréquence de 28,6kHz environ.

Ainsi, nous réglons le générateur aux alentours de cette fréquence, puisl’adaptons jusqu’à pouvoir faire léviter de petits objets. Nous avons choisipour commencer des boules de polystyrène, pour leur légèreté. La lévitationfonctionnait alors très facilement, les boules se plaçant parfois d’elles mêmedans les nœuds une fois assez proches. Lors de certains essais, nous avonsmême réussi à placer plusieurs boules par nœud (fig. II.1).

Figure II.1 – Lévitation acoustique, avec parfois plusieurs boules de polysty-rène par nœud

La lévitation fonctionne alors très bien, nous avons donc pu mesurer ladistance séparant les nœuds. La fréquence était alors de 28,028 kHz, et la

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formule (E.3) nous donnait :

λ

2=v ÷ f

2=

343, 4 ÷ 2, 828 × 104

2= 6, 071 × 10−3 m

entre chaque nœud. La mesure confirme ces résultats, avec des nœuds effecti-vement séparés de 6 mm environ (cette mesure ayant été réalisée à l’aide d’unerègle, l’incertitude liée à celle-ci ne permet pas une plus grande précision).

Nous avons voulu peser les billes de polystyrène mises en lévitation, maisleur masse était tellement faible que même la balance de précision du lycéeindiquait toujours une masse nulle. Il nous a fallu les peser par « paquets »de 10 pour obtenir une masse exploitable. Toutes ces mesures sont regroupéesdans le tableau

Ces données nous permettent d’obtenir la masse moyenne mboule = 2, 34 ×10−4 g d’une boule de polystyrène et de déduire l’écart-type σ =

√V associé

à cette série (calculé à partir de la variance V ). Nous obtenons donc σ =√5, 04 × 10−10 = 2, 24 × 10−5, donnant une idée de la fiabilité des mesures

(écart-type à 9,7 % de la moyenne).Des recherches plus approfondies indiquent que le polystyrène de type PSE

(signifant PolyStyrène Expansé, le matériau dont sont formées les billes) pos-sède une masse volumique de 12 kg.m-3 : c’est donc un matériau de masse vo-lumique extrêmement faible. L’objectif initial de faire léviter des liquides pourefectuer des réactions semble donc plus compliqué à atteindre : il faudrait desvariations de pression acoustique nettement plus fortes, et donc fournir unepuissance électrique encore plus importante pour parvenir à mettre en lévita-tion des gouttes dont la masse volumique serait plus de l’ordre de 103 kg.m-3.D’ailleurs, cet objectif que nous nous étions fixés n’était pas atteint lors desoraux académiques qui se sont déroulés début décembre.

II.B.2 Lévitation de liquides

Finalement, c’est en ayant commandé un deuxième transducteur puis enayant adapté le montage en conséquence (fig. II.2 et

C’est empiriquement que nous sommes parvenus à cet objectif, en bran-chant les deux transducteurs en parallèle et en les plaçant face à face (lenouveau transducteur à la place du réflecteur dans le montage précédent).Cette réussite peut s’expliquer en supposant que l’amplificateur ne fournissaitpas sa puissance maximale avec un seul transducteur, du fait de l’impédanceinsuffisante du circuit.

En ajoutant un deuxième transducteur, nous augmentons l’impédance to-tale (R) du circuit, et donc la puissance totale fournie par l’amplificateur auxdeux transducteurs proportionnellement, puisque P = RI2. Ce gain de puis-sance se traduit par une pression acoustique plus importante au niveau desventres de vibration.

Nous avons tenté de mesurer les possibilités offertes par ce nouveau mon-tage. Il nous a permis de faire léviter à plusieurs reprises du cyclohexane

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Figure II.2 – Photo du second montage expérimental, avec deux transducteursface à face.

(C6H12) de masse volumique ρC6H12= 7, 786 × 102 kg.m-3 (selon le Lange’s

handbook of chemistry [7]) et occasionnellement de l’eau (ρeau = 1, 000 × 103

kg.m-3). Une mesure de la masse volumique du polystyrène (1, 21×101 kg.m-3)et un tableau comparatif sont donnés en annexe (tableaux B.2 et B.3). Cesmesures confirment bien la nette différence de masses volumiques entre cesmatériaux, et permettent d’expliquer la facilité avec laquelle nous parvenionsà faire léviter le polystyrène par rapport à l’eau.

Peu de temps avant de terminer la rédaction de ce mémoire, nous sommesparvenus à faire léviter de l’eau distillée de manière très stable (plusieurs mi-nutes). Ce résultat (fig. II.3) confirme donc bien la fiabilité de notre montage,et le potentiel qu’il pourrait avoir pour tenter des réactions chimiques en lévi-tation.

Figure II.3 – Lévitation stable d’une goutte d’eau distillée

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Conclusion

Nos recherches et nos expérimentations nous ont permis de mettre en œuvredans le cadre du lycée un phénomène habituellement dévolu aux grands labora-toires : nous avons pu observer des objets de faible masse et des liquides léviter,ce que nous prenons comme une réussite, malgré le manque d’informations surles caractéristiques précises de notre montage expérimental.

Bien conscients des limites de celui-ci, nous aimerions l’améliorer encorepour procéder à des mesures plus précises permettant de caractériser ses pos-sibilités de manière plus fine. Nous aimerions également, comme dans la vidéoqui nous a inspiré ce projet, réussir à exploiter l’effet Schlieren (strioscopie)pour observer les nœuds et ventres de pression qui sont restés invisibles toutau long de notre étude, malgré le fait qu’ils soient les clés de nos expériences.Enfin, nous aurions aimé également augmenter la puissance apportée au trans-ducteur pour faire léviter des objets encore plus massifs. Pour cela, il nousaurait fallu étudier plus précisément les puissances d’entrée et de sortie denotre transducteur afin de maximiser l’onde de pression qu’il génère. Un am-plificateur plus adapté au domaine ultrasonique aurait peut-être égalementpermis cette augmentation en puissance.

L’étude de la lévitation acoustique permet des avancées dans des domainesvariés : elle favorise la synthèse de certaines molécules (sous leur forme amorpheplutôt que cristalline), permet la manipulation de pièces électroniques trèssensibles, et simule même la microgravité pour tester le comportement de petitsobjets en apesanteur. Plusieurs études s’appuient également sur la lévitationacoustique pour mieux comprendre la physique des mousses, pour laquelle lephénomène de lévitation permet de réaliser des observations où l’influence dela gravité dans les transformations physiques et/ou chimiques est fortementréduite.

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Bibliographie

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[4] Marco A. B. Andrade, Nicolás Pérez et Julio C. Adamowski : Particlemanipulation by a non-resonant acoustic levitator. Applied Physics Letters,106(1):014101, janvier 2015. DOI : 10.1063/1.4905130.

[5] Compressed Gas Association, éditeur. Handbook of compressed gases. Klu-wer Academic Publishers, Boston, 4ème édition, 1999. ISBN : 978-0-412-78230-5.

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[8] Marie-Noëlle Sanz, Bernard Salamito, Dominique Chardon et FrançoisVandenbrouck : Physique tout-en-un, PC-PC*. Dunod, Malakoff, 4ème édi-tion, 2016. ISBN : 978-2-10-074987-4.

[9] Jared Sagoff : No magic show : real world levitation to inspire better phar-maceuticals, septembre 2012.

[10] Antonio Fischetti et Editions Belin : Initiation à l’acoustique, cours et

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[11] Christian Cloarec : Cours d’acoustique, 2004. École d’audioprothèse deFougères.

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[14] Physique des ondes. [Fichier en ligne] http://sertella.free.fr/cours_psi_

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