Voyage vers l’infiniment fractale

Voyage vers l’infiniment fractale

Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon

Plan de la présentationPlan de la présentation

• Introduction• Caractéristiques de fractales• Les mathématiques des fractales• L’ensemble de Mandelbrot• Dimension fractale• Les math-fractales

La découverte des fractalesLa découverte des fractales

Ensemble de Julia Gaston Julia

Ensemble de MandelbrotEnsemble de Mandelbrot

Ensemble de Mandelbrot Benoît Mandelbrot

Les caractéristiques des fractalesLes caractéristiques des fractales

•Principe d’itération

•Principe d’autosimilarité

•Les dimensions fractales

Principe d’itérationsPrincipe d’itérations

Flocon de Von KochFlocon de Von Koch

Principe d’autosimilaritéPrincipe d’autosimilarité

Dimension fractaleDimension fractale

Eponge de Menger- Sierpinski Triangle de Sierpinski

• Corps Humain– Yeux – Battements du cœur– Intestins– Poumons

Les fractales dans la natureLes fractales dans la nature

• Corps Humain• Plantes

– Fougères– Choux-Fleurs

Les fractales dans la natureLes fractales dans la nature

Les mathématiques des fractalesLes mathématiques des fractales

• Aires, périmètres et volumes des fractales

• L’ensemble de Mandelbrot et le chaos

• La dimension fractale

Un carré un peu spécialUn carré un peu spécial

L’aireL’aire

Coté 1er carré = 1A₀=1A₁ = 1 + 4. ¼A₂ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16A₃ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16 + 4.3.3.1/64…An= 1+4. (30. (¼)1+31.( ¼ )2+…+3n-1.( ¼ )n)

An = 1+ 4/3. ((3/4)1+ (3/4)2+…+ (3/4)n )

An= 1+4. (1- (¾)n )

lim An = 1+4. (1-0)= 5n -> ∞

Le périmètreLe périmètre

P0= 4

P1= 4+4. (3/2- ½)

P2= 4+4. (3/2- ½) + 4. 3. (3/4 – ¼)

P3= 4+4. (3/2- ½) + 4. 3. (3/4 – ¼) +4. 3. 3. (3/8 - 1/8)

…Pn= 4+4. ((3/2)0 + (3/2)1 + (3/2)2 +…+ (3/2)n-1)

lim Pn= 4+ 8. ((3/2)∞ -1)= ∞

Un périmètre infini pour une aire finie

n -> ∞

L’éponge de Menger/SierpinskiL’éponge de Menger/Sierpinski

Le volumeLe volume

• Chaque étape enlève 7 cubes sur les 27 de base• Côté du 1er cube= 1

V0= 1

V1= 1. 20/27

V2= 20/27. 20/27= (20/27)2

Vn= (20/27)n

lim Vn=0n -> ∞

L’aireL’aire

An= Cn. (1/9)n ↔ Cn= An. 9n

Cn+1= Cn. 8 +24. 20n An+1=Cn+1. (1/9)n+1 An+1= (Cn. 8 +24.20n). (1/9)n+1

An+1= ((An. 9n). 8 +24.20n). (1/9)n+1

An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n

La formule et sa démonstrationLa formule et sa démonstration

An+1= (2.20n+1+4. 8n+1)/(9n+1) ; avec A0=6

A1= (2. 20+4. 8)/9= 8An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n or An= (2.20n+4. 8n)/(9n)An+1= (2. 8. 20n+4. 8n+1+24. 20n)/(9n+1)An+1= (2. 20. 20n+4. 8n+1)/(9n+1)An+1= (2. 20n+1+4. 8n+1)/(9n+1)

lim An=(2. (20/9)n+4. (8/9)n)= +∞+0= +∞n -> ∞

Application: murs anti-bruitApplication: murs anti-bruit

Réduction de 3 dB par rapport à un mur classique

• Qu’est ce que le Chaos?

• Le figuier, un comportement pas si prévisible

• L’ensemble de Mandelbrot et son intérêt

Ensemble de Mandelbrot le ChaosEnsemble de Mandelbrot le Chaos

Le Figuier, un calcul simple?Le Figuier, un calcul simple?

• Prenons un réel entre -1 et 1• Elevons ce réel au carré• Retirons 1• Et recommençons du début

• Xn+1= (Xn)2 -1

• -1 ≤ Xn+1 ≤ 0

Pas vraiment si simple…Pas vraiment si simple…

• Xn+1= k. (Xn)2 -1

Ordre Chaos

L’ensemble de MandelbrotL’ensemble de Mandelbrot

• Xn+1= k. (Xn)2 -1; avec k=a+ b. i= c et Xn=an

• an+1= c. (an)2 -1

• c. an+1= c2. (an)2 –c

• Zn+1= (Zn)2 – c

La dimension fractaleLa dimension fractale

• Généralisation

• La poussière de Cantor

• Le flocon de Von Koch

• L’éponge de Menger/Sierpinski

GénéralisationGénéralisation

• 1/n= rapport d’homothétie, m= le nombre de figures• d= lognm• d= log m/log n

La poussière de CantorLa poussière de Cantor

• Le nombre segment double à chaque étape ↔ M=2• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3

• d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1

Le flocon de Von KochLe flocon de Von Koch

• Le nombre de segments quadruple à chaque étape ↔ M=4• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3

• d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2

L’éponge de Menger/SierpinskiL’éponge de Menger/Sierpinski• Le nombre de cubes est multiplié par 20 à chaque étape ↔

M=20• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3

d= log20/log3≈ 2,73 ↔ 2< d< 3

La math-fractaleLa math-fractale

• Le nombre d’or• Les propriétés de φ• La spirale et la suite de Fibonacci• Le triangle de Pascal • Les matrices• Pythagore

Le nombre d’orLe nombre d’or

• 1,618 033 989• φ2= φ+1 • φ-1= 1/φ

Première propriétéPremière propriété

• φ2= φ+1 • φ=√(1+φ)

• φ=√1+√(1+φ)• φ=√1+√1+(√(1+φ)

φ= 1+√1+√1+√1+√1+√(1+φ)

Deuxième propriétéDeuxième propriété

• φ-1= 1/φ φ=1+ 1/φ• φ=1+ 1/(1+ 1/φ)• …• φ=1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+

1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/φ)))))))))))

La suite de FibonacciLa suite de Fibonacci

= Restent/Grandissent

= Engendrent

La Spirale de FibonacciLa Spirale de Fibonacci

Le Triangle de PascalLe Triangle de Pascal

Les MatricesLes Matrices

Et encore une fractale…

(0 11 1)

PythagorePythagore

• a2=b2+c2

ConclusionConclusion