Vestiges d'une terminale S - Le module, les arguments, l'exponentielle imaginaire et leurs proprits opratoires Page 1 sur 2

Un doc ralis par Jrme ONILLON et distribu exclusivement par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)

Le module et les arguments d'un nombre complexe

Les module et arguments d'un nombre complexe peuvent tre dfinis de plusieurs faons.

Pour ce qui nous concerne, nous le ferons de la manire suivante :

Dfinition du module d'un nombre complexe

Le module du nombre complexe z est le rel positif ou nul not z et dfini par :

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2re z .im z re z .im z re zz zz mz i == + = + i i

Ce n'est pas parce que deux nombres complexes ont des modules gaux qu'ils sont pour

autant gaux. En effet, 1 et i ont le mme module et pourtant ils ne sont pas gaux.

Gomtriquement, tous les points M ayant des affixes de mme module se trouvent un

mme cercle de centre O. 1 et i se trouvent tous deux sur le cercle trigonomtrique.

Le nombre complexe 0 est le seul dont le module soit nul. Nous avons l'quivalence :

z 0 z 0= =

Dfinitions de l'argument d'un nombre complexe et de l'exponentielle imaginaire

Dire que le rel est un argument du nombre complexe non nul z signifie qu'il vrifie l'galit :

( ) ( ).z e cos .sinz

= = + i i

Comme les fonctions cosinus et sinus sont 2-priodiques, alors il en va de mme pour la

fonction exponentielle imaginaire .e i et surtout cela nous permet d'affirmer :

Deux arguments et ' d'un mme nombre complexe z diffrent d'un certain nombre de fois 2. On dit qu'ils sont congrus l'un l'autre modulo 2.

C'est pour cela que l'argument d'un nombre complexe est dfini 2 ou modulo 2. Tous ces arguments d'un nombre complexe z sont nots ( )arg z .

Avec notre dfinition, il est impossible de dfinir l'argument du nombre complexe 0. Pour

contourner le problme, on dcrte que tout rel est un argument de 0

Les formes exponentielles de certains nombres complexes sont connatre :

( ) ( ) .01 1 .0 cos 0 .sin 0 e= + = + = ii i .20 .1 cos .sin e

2 2

= + = + =

i

i i i

( ) ( ) .1 1 .0 cos .sin e = + = + = ii i ( ).

20 . 1 cos .sin e2 2

= + = + =

i

i i i

Module et arguments d'un produit de deux nombres complexes

Thorme donnant module et arguments d'un produit de nombres complexes

z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les rels et '. 1. Le module d'un produit est gal au produit des modules.

z z ' z z ' =

2a. Un argument d'un produit est gal la somme des arguments.

( ) ( ) ( )arg z z ' arg z arg z ' modulo 2 = + 2b. Le produit des exponentielles imaginaires est gal l'exponentielle imaginaire de la

somme.

( ). '. . 'e e e + = ii i

La preuve de ce thorme

1. D'aprs notre dfinition, le module du nombre complexe z z ' est le rel vrifiant :

( ) ( ) 2 22La conjugaison est compatilble avec le produit

z z ' z z ' z z ' z z ' z z ' z z z ' z ' z z ' = = = =

En passant cette galit de rels positifs ou nuls la racine, il vient alors :

2 2 2 2 2z z ' z z ' z z ' z z ' z z ' = = = =

2. Comme les rels et ' sont deux arguments des nombres complexes z et z', alors :

( ) ( ).z e cos .sinz

= = + i i et ( ) ( ). 'z ' e cos ' .sin 'z '

= = + i i

Pour connatre un argument du produit z z ' , intressons-nous au quotient :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

. . '

Voil qui rappelle... ..

z z ' z z 'e e cos .sin cos ' .sin '

z z ' z z '

cos cos ' cos .sin ' .sin cos ' .sin .sin '

cos cos ' sin sin ' . cos sin ' sin cos '

= = = + +

= + + +

= + +

i ii i

i i i i

i

( ) ( ) ( ).des rsultats de premire !

. 'cos ' .sin ' e

+= + + + = ii

Donc un argument du produit z z ' est la somme ' + .

Module et argument de l'oppos d'un nombre complexe Un nombre complexe z a mme module que son oppos z . Quid de ses arguments ? Si le rel est un argument du nombre complexe z, alors nous pouvons crire :

( ) ( ) ( ).. . .z z1 1 e e e ez z

+ = = = = ii i i

Donc un argument de l'oppos z est + .

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Module et arguments d'un inverse et d'un quotient

Thorme donnant module et arguments d'un inverse et d'un quotient de nombres

complexes

z et z' sont deux nombres complexes non nuls dont deux arguments sont les rels et '. 1. Le module de l'inverse est gal l'inverse du module.

Le module d'un quotient est gal au quotient des modules.

1 1

z z=

zz

z ' z '=

2a. Un argument de l'inverse est l'oppos de l'argument.

Un argument du quotient est la diffrence des arguments

( )1arg arg z modulo 2 z

=

( ) ( )zarg arg z arg z ' modulo 2

z '

=

2b. L'inverse de l'exponentielle imaginaire est l'exponentielle imaginaire de l'oppos.

Le quotient des exponentielles imaginaires est l'exponentielle imaginaire de la diffrence.

( )..

1e

e

= i

i

( ). . '. '

ee

e

=

ii

i

La preuve de ce thorme

L'inverse du complexe z est le nombre complexe 1

Zz

= vrifiant l'galit z Z 1 = .

Le nombre complexe 1 a pour module 1 et pour argument 0.

Appliquons cette galit les proprits du produit tablies au paragraphe prcdent :

1. Comme z Z 1 = alors 1

z Z 1 z Z 1 Zz

= = =

2. Comme z Z 1 = alors ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )Modulo 2 Modulo 2

Modulo 2

arg z Z arg 1 arg z arg Z 0

arg Z arg z

= + =

=

Pour tablir les proprits sur le quotient, il suffit juste de se rappeler que diviser ce

n'est rien d'autres que multiplier par l'inverse. Autant d'oprations sur lesquelles des

proprits ont dj t tablies :

1. zz 1 1 1

z z zz ' z ' z ' z ' z '

= = = =

2. ( ) ( ) ( )

Modulo 2

z 1 1arg arg z arg z arg arg z arg z '

z ' z ' z '

= = + =

Module et arguments d'une puissance entire

Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est . En appliquant les proprits prcdentes, nous pouvons crire pour tout entier naturel non nul n :

( ) ( )n termes

n n n.n . . . .n

n facteursn facteurs

z z e z z e e z e z e+ + = = = = ii i i iupsquarebracketleftupsquarebracketright

Par consquent :

nn z z= ( ) ( )narg z n arg z modulo 2= ( )n. .ne e =i i

Ces proprits valent aussi si l'exposant n est ngatif.

Module et arguments d'un conjugu

Soit z un nombre complexe non nul dont l'un des arguments est . Nous pouvons crire :

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

.

...propre conjugu.Le rel z est...

.

z z e z cos .sin z cos .sin

z cos .sin z e

= = + =

= + =

i

i

i i

i

Par consquent :

z z= ( ) ( )arg z arg z modulo 2= ( )..e e = ii

La lgitimit de l'appellation exponentielle imaginaire

Pourquoi la fonction ( ) ( ) ( )cos .sin = + i qui est dfinie de dans est-elle qualifie d'exponentielle imaginaire ? Pour le comprendre, calculons sa drive.

D'abord, remarquons que comme cosinus et sinus sont drivables sur , alors il en va de

mme pour . Pour tout rel , nous pouvons crire :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )cos . sin sin .cos .sin cos = + = + = + = i i i i i Maintenant, si nous avions driver la fonction

( )u.e e =i avec la formule tablie pour l'exponentielle relle, nous cririons que sa drive est donne par :

( ) ( ) ( ) ( )u. . .e u e . e e = = = i i ii i Du point de vue de la drivation, ces deux fonctions se comportent de manire similaire.

De plus, ainsi que nous l'avons vu, cette fonction prsente les mmes proprits opratoires que son ane relle.

C'est pour toutes ces raisons que cette fonction est qualifie d'exponentielle imaginaire. A partir de ces deux exponentielles, on peut en construire une troisime : la complexe.

Le module et les arguments d'un nombre complexeModule et arguments d'un produit de deux nombres complexesModule et arguments d'un inverse et d'un quotientModule et arguments d'une puissance entireModule et arguments d'un conjugu