RECHERCHE D’EXTREMUMA. Définitions

Soit une partie de  . Soit . Soit1) Extremum global ou absolu

On dit que la fonction admet un maximum absolu (ou global) en si

On dit que la fonction admet un minimum absolu (ou global) en si

On dit que la fonction admet un extremum absolu (ou global) en si la fonction admet un maximum ou un minimum absolu en

2) Extremum relatif (ou local)

On dit que la fonction admet un maximum relatif (ou local) en s’il existe un réel tel

que On dit que la fonction admet un minimum relatif (ou local) en s’il existe un réel tel

que

On dit que la fonction admet un extremum relatif (ou local) en si la fonction admet un maximum ou un minimum relatif en Remarque :Si la fonction admet un extremum global en , alors elle admet un extremum local en

B. Condition nécessaire du premier ordre1) Théorème 1

Soit un ouvert de  SoitSoit

Si une fonction de classe sur admet un extremum local en , alors Démonstration :

Si la fonction admet en un maximum local en , tel que

Comme est un ouvert de , tel que

Alors en prenant , on a

Considérons pour , la fonction partielle en

Pour tout réel , en considérant

, c’est-à-dire

La fonction définie sur l’ouvert de possède un extremum en , donc

1

Finalement Les points de où le gradient s’annule sont appelés points critiques de la fonctionToutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles

Si une fonction n’a pas de point critique sur , alors n’admet pas d’extremum sur

ATTENTION : la réciproque du théorème est fausse

Considérons la fonction qui est de classe sur comme fonction polynomiale

, ce gradient s’annule uniquement en

Dans toute boule de centre , la fonction prend des valeurs plus petites et des

valeurs plus grandes que la fonction n’admet donc pas d’extremum en

ATTENTION : l’hypothèse ouvert de  est essentielle !

Soit

Soit

Cette fonction est de classe sur comme fonction polynomiale Cette fonction possède un maximum local en tout point de norme 1

 : ce gradient n’est pas nul en un point de norme 1

2) Théorème 2 : extrema sur un fermé borné (admis)

Une fonction continue sur un fermé borné de admet un maximum global et un minimum global sur ce fermé borné

Application :Soit une forme quadratique sur associée à une matrice symétrique

, avec où est la base canonique de

Alors L’application est sur comme fonction polynomiale

Considérons la « sphère » unité 

, donc est un borné de

2

La fonction est continue sur ,

est donc fermé comme intersection de deux fermés de

La sphère unité est un fermé borné de , la fonction admet donc un maximum absolu et un minimum absolu sur

(Les réels et sont atteints pour des éléments de )

, si alors est normé donc

, avec où est la base canonique de

Donc

On peut écrire

Cette dernière demeure valable pour  :

Bilan :

Si est une forme quadratique sur alors

L’application est une forme quadratique sur associée à l’endomorphisme symétrique canoniquement associé à la matrice A

Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme associés aux

valeurs propres

Si est un vecteur de de coordonnées dans la base alors

Donc

Sous la contrainte , on a :

On peut préciser que : , étant atteint en un vecteur normé du sous espace propre associé à la plus petite des valeurs propres et

étant atteint en un vecteur normé du sous espace propre associé à la plus grande des valeurs propres

3

Si une forme quadratique sur associée à la matrice symétrique , alors admet un

maximum global (respectivement un minimum global) sous la contrainte =1, en un point correspondant à un vecteur propre de la matrice associé à la plus grande valeur propre (respectivement la plus petite)

C. Fonctions de classe 1) Dérivées partielles d’ordre 2

Soit un ouvert de  Soit

SoitOn suppose que la fonction possède en tout point de une dérivée partielle par rapport à la

variable : est définie sur

Si la fonction admet à son tour une dérivée partielle par rapport à la variable en tout point de , on dit alors que la fonction admet en tout point de une dérivée partielle

d’ordre 2 notée

Comme , la fonction peut admettre éventuellement dérivées partielles d’ordre 2

2) Fonctions de classe

Soit un ouvert de  Soit

Soit

On dit que la fonction est de classe sur l’ouvert si elle admet en tout point de des

dérivées partielles d’ordre 2 et si les fonctions sont continues sur

3) Opérations

Si et sont deux fonctions de classe sur un ouvert de , alors les fonctions etsont de classe sur

Si de plus ne s’annule pas sur , alors la fonction est de classe surSoient un ouvert de et un intervalle de

Si est une fonction de classe sur à valeurs dans et si est une fonction de classe sur , alors est de classe sur

Les fonctions polynomiales de variables donc à fortiori les fonctions affines de variables sont de classe sur

4

4) Théorème de Schwarz (admis)

Si est une fonction de classe sur un ouvert de , alors pour tout et pour tout

couple on a

5) Matrice hessienneLudwig Otto Hesse (1811-1874) mathématicien allemand

Si est une fonction de classe sur un ouvert de ,on appelle hessienne de en un

point la matrice notée définie par Conséquence immédiate :

Le théorème de Schwarz permet d’affirmer que la hessienne en tout point est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable

La forme quadratique associée à la hessienne est donc définie par

,avec matrice des coordonnées du vecteur dans la base canonique de

Remarquons que 

6) Développement limite d’ordre 2 a) Définition

Soit une fonction de classe sur un ouvert de , On dit que la fonction admet un développement limité d’ordre 2 en s’il existe

Un réel

Une application continue en et vérifiant

Des réels et

Tels que

b) Théorème

Si est une fonction de classe sur un ouvert de , alors la fonction admet en tout point un développement limité unique à l’ordre 2 Celui est donné par la formule :

Où est la forme quadratique à la hessienne de en

5

7) Dérivée seconde directionnelle

Soit où est un ouvert de

Soit et

On considère la fonction définie sur par : à la condition que

On appelle alors dérivée seconde directionnelle de la fonction au point dans la

direction , la dérivée seconde en 0 de la fonction g :

La dérivée seconde directionnelle de la fonction au point est donc

En effet, on pose et ,

On a avec .

D. Recherche d’extrema1) Condition d’ordre 2

Soit est une fonction de classe sur un ouvert de

Soit un point critique de  

Si , alors admet un minimum local en C’est-à-dire si la hessienne de la fonction en n’admet que des valeurs propres strictement positives alors admet un minimum local en

Si , alors admet un maximum local en C’est-à-dire si la hessienne de la fonction en n’admet que des valeurs propres strictement négatives alors admet un maximum local en

Si contient deux réels non nuls de signe distincts, alors n’admet pas d’extremum en : on dit alors que est un point selle ou un point col

Remarque : Dans les autres cas (les valeurs propres sont de même signe et l’une au moins est nulle), on ne peut rien conclure par cette méthode

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Démonstration partielle  :Soit tel que

La fonction étant de classe sur ,elle admet en un développement limité d’ordre 2

On a avec continue en

et

Soit la matrice hessienne de en , notons la forme quadratique sur associée à la matrice hessienne

Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme symétrique

canoniquement associé à la matrice hessienne associés aux valeurs propres

Si est un vecteur de de coordonnées dans la base alors

Supposons que les valeurs propres de la matrice hessienne sont strictement négatives

En notant la plus grande des valeurs propres, on a

Puisque est un point critique :

On a alors

La fonction est continue en  : c’est-à-dire

En prenant , on a

Finalement, en notant , on a

La fonction admet en un maximum local

Lien avec la forme quadratique associée à la hessienneSoit est une fonction de classe sur un ouvert de

Soit un point critique de  

contient deux réels non nuls de signe instincts n’a pas de signe constant En effet L’implication est vraie : cours formes quadratiques Réciproque

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Supposons que

Comme l’application est une forme quadratique sur associée à la matrice hessienne

de en , et à l’endomorphisme symétrique canoniquement associé cette hessienne

Il existe base orthonormée de vecteurs propres de l’endomorphisme associés aux

valeurs propres et si est un vecteur de de coordonnées dans la base

alors

Pour , chaque vecteur propre est non nul et on a , donc

Remarque : recherche d’extremum global

Méthode générale   : étudier le signe sur de

Dans des situations qui s’y prêtent, on pourra étudier le cas où, pour tout  , est positive ou négative, par exemple en appliquera la formule de Taylor avec reste intégral à

l’ordre 1 à la fonction avec En effet la formule de Taylor à l’ordre 1 appliqué à la fonction donne :

C’est à dire

Comme est un point critique,

Pour ,

Soit

Si la forme quadratique garde un signe constant pour tout tel que , alors

l’intégrale a toujours le signe de et la fonction admet en un

extremum global en (minimum si et maximum si )

2) Recherche d’extrema sous une contrainte quelconque

Soit une fonction de classe sur un ouvert de

On note l’ensemble des points de vérifiant la contrainte

Soit une fonction définie sur l’ouvert deOn dit que la fonction admet un maximum relatif (ou local) en sous la contrainte s’il

existe un réel tel que

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C’est-à-dire si la restriction de la fonction à admet un maximum local en

On dit que la fonction admet un minimum relatif (ou local) en sous la contrainte s’il

existe un réel tel que C’est-à-dire si la restriction de la fonction à admet un minimum local en

a) Condition nécessaire du premier ordre pour un extremum sous la contrainte non critique (résultat admis)

On se place dans le cas où  : on dit alors que la contrainte est non critique (la fonction n’admet pas de point critique sur )

Si est une fonction de clase sur un ouvert de , pour que atteigne un extremum local en sous la contrainte non critique il faut qu’il existe un réel tel que

b) Application à une forme quadratique :

La sphère unité est un fermé borné de , la fonction continue sur (Fonction polynômiale) admet donc un maximum absolu et un minimum absolu sur

On pose, pour tout , où est la base canonique de

Il existe une matrice symétrique telle que

De plusLa fonction est de classe sur (fonction polynômiale)

Pour tout , puisque la matrice est symétrique

On a donc Le théorème ci-dessus précise que, pour que atteigne un extremum en sous la contrainte

, il faut que et qu’il existe un réel tel que

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, la fonction est de classe sur , on a

On résout donc , soit et Les points critiques de correspondent aux vecteurs propres normés de

On vient de redémontrer : (voir page 3)

Si une forme quadratique sur associée à la matrice symétrique , alors admet un

maximum global (respectivement un minimum global) sous la contrainte =1, en un point correspondant à un vecteur propre normé de la matrice associé à la plus grande valeur propre (respectivement la plus petite)

3) Recherche d’extrema sous contrainte d’égalités linéaires

L’entier est un entier naturel non nul

On note l’ensemble des solutions d’un système linéaire  : où l’inconnue est

, avec fonctions linéaires (voir ci-dessous) de dans et réels

On note l’ensemble des solutions du système homogène associé  :

Si le système admet au moins une solution , alors c’est-à-dire est

obtenu en ajoutant à une solution du système linéaire toutes les solutions du système homogène associé

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En effet soit et un système linéaire

Notons

Donc

a) Condition nécessaire du premier ordre (admis)

Si est une fonction de classe sur un ouvert de , et si la restriction de à

admet un extremum local en , alors

Donc si une fonction de classe sur un ouvert de admet un extremum local sous la

contrainte en un point , alors la dérivée de en dans la directionest nulle

Conséquence :

Définition

Soient une fonction de classe sur un ouvert de et

Si appartient à , on dit que est un point critique de dans l’optimisation sous contrainte

Rappelons que l’ensemble des solutions d’un système linéaire  :

Théorème :

Notons la matrice du système linéaire

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, , on a

est indépendant de et

Et donc

Si est une fonction de classe sur un ouvert de et un point de , alors est un

point critique de dans l’optimisation sous contrainte si et seulement si

tel que

b) Remarques :

Si la famille est libre, les scalaires sont uniques. Ils sont appelés multiplicateurs de Lagrange

ATTENTION :Cette condition n’est que nécessaire mais pas suffisante pour déterminer un extremum sous contrainte, pour établir qu’au point critique de dans l’optimisation sous contrainte la

fonction présente effectivement un extremum, il faut étudier le signe de pour tout …..

Remarque :On pourra aussi, dans les situations qui s’y prêtent, étudier le cas où pour tout et pour

tout  , est positif ou négatif.

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