Zero Puissance Zero Zero to the Zeroth Power

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    15-Dec-2015

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<ul><li><p>http://forums.futura-sciences.com/mathematiques/ </p><p>http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur </p><p>http://www.mymathforum.com/viewtopic.php?f=40&amp;t=26038 </p><p>http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=502604 </p><p>Pour en finir avec . </p><p>Remarque prliminaire : les objets mathmatiques et les relations qui les joignent ne se trouvent </p><p>pas dans la nature, ce sont des dfinitions prcises donnes par les mathmaticiens, il nest donc pas </p><p>raisonnable de vouloir dmontrer une dfinition ou une convention (qui nest quune dfinition </p><p>particulire), on peut, au mieux, les justifier. </p><p>Chapitre 1 </p><p>Prrequis admis : la multiplication des rels entre eux, la rcurrence sur . </p><p>Ide intuitive : crer une notation pour indiquer pour x un rel quelconque, et n un entier naturel non </p><p>nul, qu'on a multipli x, n fois par lui-mme (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par </p><p>lui-mme na pas de sens (1 fois pourrait tre discutable, mais en disant le produit de n facteurs </p><p>gaux x , la rserve nas plus de raison dtre)). </p><p>Dfinition mathmatique (1) : on note le nombre dfini par la relation de rcurrence suivante : </p><p>On voit rapidement quavec cette dfinition ( ), mais que nest pas pris en compte </p><p>par cette dfinition (donc n'existe pas), pas plus que dailleurs. </p><p>Extensions possibles : on peut dmontrer facilement (et cest conforme la dfinition intuitive) que </p><p>, c'est--dire que lapplication de dans dfinie par est un </p><p>morphisme, et comme est un magma (associatif et commutatif), il sagit donc dun morphisme </p><p>de magma (c'est--dire que si f est injective ( a les mmes proprits que est </p><p>alors un isomorphisme). Une ide naturelle de prolongement est de passer de , c'est--dire du </p><p>magma au monode en ajoutant le 0. </p><p>Au niveau intuitif, cela na pas beaucoup de sens (cf.supra). </p><p>Au niveau de la dfinition mathmatique(1), une trs lgre modification convient : </p><p>On peut remarquer que poser est la solution la plus conomique (elle ne ncessite aucune </p><p>modification de la condition de rcurrence). </p><p>Au niveau du morphisme, cest un peu plus compliqu : par dfinition du morphisme, il est obligatoire </p><p>que limage de llment neutre soit llment neutre. </p><p>Pour x un rel diffrent de 0 et de 1, lapplication est injective et limage de ne contient pas 1 </p><p>(normal pour un isomorphisme dont la source ne contient pas llment neutre), il ny a donc pas le </p><p>choix . </p><p>Pour , limage de est {1}, il ny a donc aucun problme pour poser . </p><p>Pour , limage de est {0} (dont on peut remarquer que cest un groupe multiplicatif dont </p><p>llment neutre est 0 ), il me parat donc possible de choisir ou , dans les deux cas la </p><p>structure de monode (et mme au-del) est conserve (cependant, ils ne sont pas isomorphes) ; </p><p>nanmoins il y a plusieurs arguments pour choisir : </p><p>a) Cohrent avec les autres valeurs de x (argument faible). </p><p>b) Linjection canonique du monode dans nenvoie pas llment neutre sur llment </p><p>neutre (argument fort) </p></li><li><p>Dans cette optique, il semble donc plus naturel de poser </p><p>On peut se demander sil est raisonnable denvisager dautres prolongements, les ides immdiates </p><p>sont vers ou vers , malheureusement, dans ces deux cas, on perd compltement la dfinition </p><p>intuitive et la dfinition par rcurrence et comme on va retrouver la notion de morphisme dans le </p><p>chapitre suivant, commenons celui-ci. </p><p>Chapitre 2 </p><p>Pr-requis admis: , il existe un unique isomorphisme continu de groupe entre </p><p> et , vrifiant , on notera lisomorphisme rciproque. </p><p>On admettra aussi un certain nombre de rsultats analytiques concernant ces fonctions (continuit, </p><p>drivabilit, limites etc.). </p><p>Digression: pour a = 0, il faudrait avoir , et donc </p><p>et donc ne serait pas injectif. Mme chose et mme dmonstration pour a = 1, ce qui explique </p><p>que ces deux cas soient exclus. </p><p>On peut remarquer que pour un nombre entier n, </p><p>(suivant la dfinition du </p><p>chapitre 1) on peut aussi remarquer que par dfinition dun morphisme de groupe. </p><p>On peut donc gnraliser cette notation et poser (dautant plus que lon peut dmontrer </p><p>que et autres rsultats bien connus ; je cite cet exemple car il sera utile plus bas) </p><p>Il va de soi quavec cette dfinition, une fois de plus, nexiste pas, cependant on a le </p><p>droit de se poser des questions (cest mme souhaitable) </p><p>1) Lapplication peut-elle tre prolonge par continuit quand a tend vers 0 ? </p><p>Pour , la seule faon de prolonger cette fonction constante par continuit est de </p><p>poser </p><p>Mais on peut compliquer un peu. </p><p>2) Lapplication peut-elle tre prolonge par continuit quand a tend vers 0 ? </p><p>La dmonstration dpasse le cadre de ce petit texte, car il faudrait tudier plus en dtail les fonctions </p><p>exponentielles, mais comme et , pour assurer la continuit il faut, nouveau, </p><p>poser </p><p>Soyons fou (j'abandonne la notation , tout le monde compris j'espre, et cela devient un peu </p><p>lourd) : </p><p>3) Lapplication peut-elle tre prolonge par continuit quand a tend vers 0 ? </p><p>(f et g sont des fonctions continues qui tendent vers 0 quand a tend vers 0). </p><p>Exemple : </p><p>Il est facile de voir que cette dernire fonction est en fait une constante ( ), que la seule faon de </p><p>prolonger par continuit est de poser (et en fait on peut choisir nimporte quel rel (et </p><p>dans on peut mme aller plus loin)). </p><p>Si on a le choix, ce cher Ockham nous conseille de nous raser de prs et de choisir pour f et g les </p><p>fonctions les plus simples possibles : </p><p>f(x) = 0 ; g(x) = x impossible nexiste pas </p><p>f(x) = x ; g(x) = 0 (cest le cas 1) donne </p><p>f(x) = x ; g(x) = x (cest le cas 2) donne </p><p>On voit donc que le plus raisonnable est de poser </p></li><li><p>Chapitre 3 </p><p>Pr-requis : connaissance dun peu de thorie des ensembles. </p><p>Dune faon gnrale, pour deux ensembles donns et , il existe un ensemble de toutes les </p><p>applications de dans (ce point ncessiterait une connaissance de ZF plus prcise), ce nouvel </p><p>ensemble, je vais le noter en attendant mieux. </p><p>Pour des ensembles finis non vides et le cardinal de est justement </p><p>, au sens du chapitre 1, ce qui explique la notation . </p><p>Que se passe-t-il en particulier quand lun voire, les deux ensembles sont vides ? </p><p>(dmonstration laisse au lecteur, elle est sans </p><p>problme par rcurrence) </p><p>(dans une application, il faut associer un lment de </p><p>lensemble darrive chaque lment (et il en existe) de lensemble de dpart, comme lensemble </p><p>darrive est vide, cest impossible, il nexiste donc pas telles applications) </p><p>(un peu plus subtile : comme lensemble de dpart </p><p>est vide, il ny a rien associer, et comme il ny a quune faon de ne rien faire, le nombre </p><p>dapplication est 1) </p><p> (exactement le mme raisonnement que ci-dessus, voir un </p><p>peu plus dexplications ci-dessous) </p><p>La dfinition formelle dune application entre deux ensembles est : </p><p>Soit et deux ensembles finis, une application de vers est un sous-ensemble de </p><p>vrifiant : . </p><p>Si est vide est vide, et lensemble vide (dans le rle de ) vrifie bien laxiome ci-dessus, </p><p>lensemble vide est donc bien une application de dans , et cest videmment la seule. </p><p>Ici, il ny a donc aucune ambigut (ni aucune convention ajouter la dfinition gnrale) : . </p><p>Pour conclure, on peut remarquer que les trois dfinitions ci-dessus sont compatibles pour les </p><p>domaines communs, que seule la troisime contient intrinsquement la dfinition de , que les deux </p><p>autres dfinitions trouvent un prolongement naturel (plus naturel en tout cas) en posant, par </p><p>convention, . </p><p>------------------------------------------------------------------------------------------------------ </p><p>- je trouve l'argument dvelopp dans le chapitre 2 'un peu malhonnte', tous ce qu'on y montre c'est </p><p>que 00 est une forme indtermin, a laquel on peut donner la valeur qu'on veut. n'est ce pas un peu </p><p>dplac de s'appuier la dessu pour dire que "puisque avec certaines fonctions (bien choisit) pas trop </p><p>moche on trouve 1, alors autant le prendre comme convention" ? enfin la c'est un point de vue </p><p>personelle, peut-etre que d'autres trouveront cette argument convainquant </p><p>-je tiens tous de meme insister que ce fameux 00=1 n'est qu'une bete convention, adopt par </p><p>certains auteurs histoire de ne pas avoir crire une formule partciliere pour le cas particulier n=0 </p><p>exactement de la meme facon que certains auteurs ont parfois utilis la convention 0*l'infinit = 0 </p><p>pour simplifier l'criture de certaines formule (qui au fond est tous autant une forme indtermin que </p><p>00... mais je dfie quiconque de trouv une justification objective de cette convention ! ) </p><p>------------------------------------------------------------------------------------------------------ </p><p>en ce qui me concerne c'est toujours l'argument 3, qui ma le plus convaincu (... en allant jusqu le </p><p>prendre comme dfinition de mn ...) </p><p>Nanmoins cette dfinition ne permet pas de donner un sens (les applications d'un ensemble 1/2 </p><p>lment dans un ensemble deux lments ? ) </p></li><li><p>tous ce qu'on y montre c'est que 00 est une forme indtermin, a lequel on peut donner la valeur qu'on </p><p>veut. </p><p>C'est bien ce que je voulais montrer, que le choix te paraisse malhonnte, pourquoi pas, mais pas </p><p>moins que n'importe quel choix arbitraire, et ne serait-ce que par compatibilit avec le chapitre 3 que </p><p>tu trouves convaincant, ce choix me parat le meilleur. </p><p>je tiens tous de meme insister que ce fameux 00=1 n'est qu'une bete convention </p><p>Justement non, pas pour le chapitre 3, et comme ce rsultat est compatible avec les "conventions les </p><p>plus naturelles" des deux autres chapitres, cela me parat une justification objective. </p><p>Aprs relecture des objections de Ksilver, je maperois quelles sont parfaitement lgitimes et que </p><p>quelques points mritent dtre clarifis. Jen profite pour prciser que dans le post prcdent, lorsque </p><p>je rpond non justement la remarque n'est qu'une bte convention , ce nest pas le mot </p><p>convention qui me gne, mais ladjectif bte . </p><p>Dabord, les trois chapitre ne sont pas trois points de vue sur un mme objet mathmatique, mais bien </p><p>trois objets mathmatiques diffrents, il ne serait donc pas rvoltant dutiliser trois notations </p><p>diffrentes, on peut cependant noter que sur leur domaine commun ces trois objets prennent les </p><p>mmes valeurs. Pour tre prcis a du sens pour les trois chapitres si , et </p><p>(il me semble que pour y on peut choisir , la deuxime dfinition par rcurrence du chapitre 1 </p><p>donnant du sens y = 0 et y = 0 ayant du sens pour les deux autres dfinitions), et non seulement </p><p>les trois dfinitions ont du sens mais les rsultats numriques sont identiques (cest bien pour cela que </p><p>la mme notation est utilise). </p><p>Pour convaincre que nous avons bien trois objet diffrents, on peut remarquer que </p><p>1) na de sens que pour la dfinition 1 ; </p><p>2) na de sens que pour la dfinition 2 ; </p><p>3) na de sens que pour la dfinition 3. </p><p>Curiosit ne pas oublier : ne veut rien dire au sens du chapitre 2 ( nest pas un isomorphisme). </p><p>Pour me recentrer sur </p><p>Au sens du chapitre 1 : avec la premire dfinition par rcurrence nexiste pas, la deuxime </p><p>rcurrence justifie pleinement que , on peut choisir de voir cela soit comme une convention </p><p>naturelle partir de la premire dfinition, ou comme une partie intgrante de la deuxime dfinition. </p><p>Au sens du chapitre 2 : nexiste pas, il est possible de justifier toutes les valeurs (relles et mme </p><p>au del), le choix est donc une pure (mais pas une bte ) convention, justifie </p><p>imparfaitement (et non malhonntement re- ) par des considrations de simplicit et beaucoup plus </p><p>objectivement par la compatibilit avec les autres dfinitions. </p><p>Au sens du chapitre 3 : sans aucune discussion possible, cela na rien de conventionnel. </p><p>Pour insister un peu : quand on crit , rien nindique que lon utilise une dfinition plutt quune </p><p>autre (et cela na pas dimportance), mais quand on crit , seule la premire dfinition peut </p><p>donner du sens cette criture. </p><p>Jai cit 3 objets mathmatiques, je ne doute pas que lon pourrait en trouver dautres (un exemple </p><p>simple serait de considrer la fonction (en choisissant bien le domaine) , avec des </p><p>dfinitions idoines pour les fonctions exp et ln (par les sries entires par exemple) qui donne du </p><p>sens , contrairement la dfinition du chapitre 2, alors qu'elle en est trs proche). </p><p>en fait, je me base beaucoup sur le parallle avec la convention 0*infini = 0 (on la trouve dans certain </p><p>ouvrage, notamment pour construire une thorie de l'intgral, par exemple dans le clbre Rudin - real </p><p>and complexe analysis). bien qu'elle paraissent un peu plus 'choquante', elle peut aussi avoir une </p><p>justification ensembliste : </p><p>si on dfinit m*n par la formule : cardE * card F = card (E*F), vu que le produit de vide par un </p><p>ensemble infinit est vide, 0*infinit = 0. et c'est en ce sens que je la trouve tous fait identique au 00=1 </p><p>cependant tout le monde sera d'accord pour dire que cette convention est tous a fait contestable, </p></li><li><p>et qu'elle na t prise que parce que a arrang les auteurs de certains livres, en simplifiant les </p><p>formules (ca vitais de traiter part le cas d'une fonction nul sur un ensemble de mesure infinit...). </p><p>bref tous a pour dire que c'est pas parce quon peut donner quelque chose qui ressemble une </p><p>justification thorique que 00=1 que a donne cette formule une statue plus vrai que la </p><p>"bete convention" prise pour simplifier l'criture d'une formule </p><p>d'ailleur, j'aurais aim trouv un exemple d'ouvrage ou de formule ou une autre convention est prise </p><p>(ou on aurait pos 00=0 par exemple...) pour illustrer ceci... mais je ne suis pas parvenu en trouver </p><p>(ce qui est effectivement un peu troublant) </p><p>----------------------------------------------------------------------------------------------------- </p><p>La puissance est dfinit par la multiplication, hors puissance 0 c'est l'absence de multiplication.. </p><p>llment neutre de la multiplication c'est 1. </p><p>Ecrire 00, c'est dire j'ai appliqu 0 fois la multiplication par 0 : c'est donc qu'on n'a pas appliqu la </p><p>multiplication par 0 et donc que a fait l'lment neutre 1. </p><p>On pourrait dire aussi que x0 est dfinit par x1 * x-1 = x/x = 1 </p><p>On tombe alors sur le problme 0 / 0 </p><p>Et l, on se rend compte que le problme f/g se pose surtout quand f est diffrent de g.. en effet : </p><p>lim (f / f) f-&gt;0 = 1 </p><p>Il devient raisonnable d'extrapoler les infinis partir de la limite (et ici 0 devient un infini).. </p><p>Ce qui tonne c'est la forme de la fonction (0x) pour laquelle on aurait </p><p>x dans {R*}=&gt;0 et 0 =&gt;1 </p><p>----------------------------------------------------------------------------------------------------- </p><p>Ca choque personne que 0 soit le seul rl la fois positif et ngatif, alors que 0.00000001 est positif.. </p><p>n'est ce pas tonnant que 0 soit le seul est unique rl la fois positif et ngatif, en rupture total avec </p><p>ces voisins (si j'ose dire) ? </p><p>------------------------------------------------------------------------------------------------------ </p><p>Je voudrais revenir sur quelques points en faveur de la convention </p><p>Si on suppose que notre prolongement respecte toujours la formule suivante : </p><p>Pour tous x, y, z on a </p><p>En particulier pour tout a et pour tout x on a </p><p>En particulier donc ou </p><p>Donc pour dfinir tout en respectant la premire formule...</p></li></ul>