Chap 14 Lois normales

I Loi normale centrée réduite

1)Théorème de Moivre Laplace

Théorème :

Soit p un réel de l’intervalle ]0 ;1[, soit n un entier naturel non nul Xn est une variable aléatoire qui suit une

loi binomiale de paramètres n et p

Z est la variable aléatoire définie par Zn= 𝑿𝒏−𝑬(𝑿𝒏)

𝝈(𝑿𝒏)

Alors pour tous réels a et b tels que a < b lim p ( a ≤ Zn ≤ b ) = ………..

n → +∞

On dit que pour n très grand , Zn suit une loi très proche de la loi normale centrée réduite N ( 0 ;1)

2)Loi normale centrée réduite a)Définition : La loi normale centrée réduite , notée N ( 0 ;1) est la loi continue ayant pour fonction de

densité la fonction f définie sur ℝ par f( x) =…………

soit Z la variable aléatoire suivant la loi normale N ( 0 ;1) avec E( Z )= ….. et 𝝈 ( Z ) = …… Pour tous réels a et b , p(a ≤ Z ≤ b ) = ………..

La loi normale centrée réduite est aussi appelée loi normale standard

b)Propriétés immédiates de la fonction f fonction de densité de la loi normale centrée réduite f est définie sur

f est dérivable sur donc continue sur

f’(x) = ….

f(-x)= …….. pour tout x de la fonction f est ………. La courbe Cf admet un axe de …………………..

Lim f(x) = ……= lim f(x)

x→ −∞ x→ +∞

aire (D)= ……. …………………………………. avec D = { M(x ;y) / x ∈ R , 0 ≤ y ≤ f(x) }

la courbe représentative de f est appelée courbe de De Gauss ou courbe en cloche

x -∞ 0 +∞

f’(x) 0

f(x) …

3) Règles de calculs des probabilités pour Z suivant une loi normale centrée réduite a)Utilisation des propriétés de la courbe de Gauss

p ( Z ≤ 0 ) = ………….

b)Application en utilisant la calculatrice et les propriétés de la courbe de Gauss

P ( a < Z < b ) = ……………………… Sur casio menu run optn , Stat, Dist , Norm NCD : NormCD(a,b)

Ou menu stat DISt Norm NCD

Data : variable lower a upper b 𝜎 1 𝜇 0 savereg none Exemples Z suit une loi normale centrée réduite : calculer à 10-3 près les valeurs suivantes

P( -1 < Z < 1) ~ p( Z >1)= p( Z ≤ -1) =

p ( Z > -2)= ; p( Z ≤ 2)= p( Z ≤ -2)

c)Création de la fonction ɸ définie sur R par ɸ(x) = p ( Z ≤ x) : objectif simplifier les calculs ɸ(-a)= P( Z…….) = p ( Z ≥ …) = 1 - p( …………….) = 1 -

p ( -a ≤ Z ≤ a) = p ( Z ≤ …..) - p (Z ….. ) =

Conclusion Pour tous réels a et b :

ɸ(-a) = …………. p ( -a ≤ Z ≤ a) = ……….

Application : Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale

centrée réduite

Calculer p( -3 ≤ Z ≤ 3) avec la calculatrice puis en déduire p(Z < 3) et p( Z ≤-3)

probabilités P ( Z < a ) a<0 P ( Z < a) a>0

Graphique

Calcul 0,5 - p( …..< Z < ……) 0.5 + p ( …… < Z < ……. )

probabilités P ( Z > a ) a<0 P ( Z > a) a>0

Graphique

Calcul p( …..< Z < ……) + 0.5 - p ( …… < Z < ……. )

d) Utilisation de la calculatrice et des propriétés de la courbe de Gauss pour déterminer un réel k

connaissant la probabilité p = p(Z≤ k) Pour trouver un réel k tel que p ( Z < k)=p menu run optn , Stat, Dist , Norm, InvN invNormCD(p )

En utilisant cet outil et les propriétés de la courbe de Gauss

Déterminer le réel k dans chacun des cas suivants

a)P( Z < k) = 0.85 b) p( Z > k ) = 0.2 c) p( -k < Z < k ) = 0.4 d) p( k<Z<4)

Vérifier ses résultats en utilisant à nouveau la calculatrice avec menu stat

Pour trouver un réel k tel que p ( Z < k)=p dist norm invN var tail left area p 𝜎 1 𝜇 0 savereg none

Pour trouver un réel k tel que p ( Z > k)=p dist norm invN var tail right area p 𝜎 1 𝜇 0 savereg none

Pour trouver un réel k tel que p ( -k < Z < k)=p dist norm invN var tail central area p 𝜎 1 𝜇 0 savereg none

e) Exercice concret Ex1 : Une machine est réglée pour fabriquer des rondelles de diamètre 15mm

Soit T la variable aléatoire qui donne l’écart en mm 15 – d où d est le diamètre de la pièce fabriquée

On admet que T suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1) .Donner l’arrondi au dix-millième près. 1)P (-1 ≤ T ≤ 1) 2) p ( T ≤ 1 ) 3) p ( T ≥0,5 ) 4) p T≥0,5 ( T < 1)

5) a)Déterminer le réel a tel que p ( T ≤ a ) ≈0.7489

b) déterminer le réel b tel que p (T > b) ≈0,3348

EX2 Lors d’un concours , la moyenne des notes est 8 .T est la variable aléatoire qui donne l’écart t-8 où t est

la note obtenue par le candidat . T suit la loi normale centrée réduite N (0 ;1) 1)A combien faut-il fixer la note de réussite à ce concours pour que 60% des candidats soient reçus ?

Donner l’arrondi de cette note au centième

2)Dans quel intervalle de notes , centré en 8 , se trouvent 80% des notes des candidats ?

3) Valeurs remarquables liée à la loi normale centrée réduite a)Théorème : Soit Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1)

Pour tout réel ∝ ∈ ]0 ; 1 [ , il existe réel strictement positif 𝒖∝ tel que p ( - 𝒖∝ ≤ Z ≤ 𝒖∝ ) = 1 - ∝

Démonstration : f est la fonction de densité f(x)= ……. D’après la symétrie de la courbe cf , on a pour tout réel t positif :

p ( - 𝑡 ≤ Z ≤ t ) = 2 p ( ≤ Z ≤ ) = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 H ( t) où H est la …………………… de f sur ℝ qui

s’annule en

la fonction H est donc continue et strictement ……………………. sur ]0 ;+∞[ car ………..

lim H ( t) = ……. Puisque cela correspond à l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses et la courbe Cf

t→ +∞ et les droites x=0 et x=t soit cela correspond à p ( ……….. )

on a donc la fonction 2H continue , strictement ………………….sur ] 0 ; +∞ [ à valeurs dans ] ; [

D’après ………………..

Pour tout réel ∝ compris entre 0 et 1 , le réel 1-∝ est lui aussi

compris entre 0 et 1 donc l’équation 2H ( t) =1-∝ admet ………………..

t 0 +∞

2H

il existe donc un unique réel strictement positif 𝑢∝ tel que 2H (𝑢∝ ) =1- ∝ soit p (- 𝑢∝ ≤ Z ≤ 𝑢∝ ) = 1 - ∝

b) valeurs à connaitre u 0,05 et u 0,01 p (- 𝒖∝ ≤ Z ≤ 𝒖∝ ) = 1 - ∝ équivaut à …………………………

p (- 𝒖𝟎,𝟎𝟓 ≤ Z ≤ 𝒖𝟎,𝟎𝟓 ) = 1 - 𝟎, 𝟎𝟓 équivaut à

à l’aide de la calculatrice on trouve que 𝒖𝟎,𝟎𝟓 ≈

p (- 𝒖𝟎,𝟎𝟏 ≤ Z ≤ 𝒖𝟎,𝟎𝟏 ) = 1 - 𝟎, 𝟎𝟏 équivaut à

à l’aide de la calculatrice on trouve que 𝒖𝟎,𝟎𝟏 ≈

c) Applications : Déterminer le réel u 0,1 tel que p ( - u0,1 ≤ Z ≤ u 0,1) = 0,9 Z suivant la loi N (0 ;1) .

Interpréter

d) L’espérance et écart-type d’une variable aléatoire suivant la loi N (0 ;1) Propriété : L’espérance d’une variable aléatoire suivant le loi normale centrée réduite N (0 ;1) est égale à

…… et l’écart-type à ……. Démonstration pour l’espérance

L’espérance d’une variable aléatoire suivant le loi normale centrée réduite N (0 ;1) est définie par

E(Z) = lim ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝑎 + lim ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

0 avec f(x) =

a→ −∞ b→ +∞

soit g(x) = xf(x)= …….

g est dérivable sur ℝ donc continue sur ℝ elle admet une primitive G définie par G ( x) =

donc ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝑎 = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

0=

Donc lim ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

𝑎 = lim

a→ −∞ a→ −∞

lim ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

0 = lim

b→ +∞ b→ +∞ donc E ( Z ) =

II loi normale N (𝝁, 𝝈² ) 1)Définition Soit 𝜇 un réel et 𝜎 un réel strictement positif .

La variable aléatoire X suit une loi normale N ( 𝝁 , 𝝈²) si et seulement si la variable aléatoire

Z = 𝑿−𝝁

𝝈 suit

la courbe représentative de la fonction de

densité g de la loi N ( 𝜇 , 𝜎²) est une courbe

en cloche d’axe de symétrie la droite

d’équation x=𝜇

E(X)=𝝁 est un paramètre de position : il

localise la zone où la réalisation de X a plus de

chances d’apparaître

𝝈 est un paramètre de dispersion :

Plus 𝜎 est grand plus les valeurs de X sont

dispersées autour de l’espérance 𝜇

∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = ⋯ . . = 𝒑(𝑿 ∈ℝ

ℝ) où g est la fonction de densité de X la loi normale N ( 𝝁 , 𝝈²)

2)Règles de calcul a)Utilisation des propriétés de la courbe P( X ≤ 𝝁 ) =

probabilités P ( X < a ) a < 𝝁 P ( X < a) a > 𝝁

Graphique

Calcul P ( X < a ) = P ( X < a) =

probabilités P ( X > a ) a < 𝝁 P ( X > a) a > 𝝁

Graphique

Calcul P ( X > a ) =

p(X>a)=

b)Calcul de probabilités à l’aide de la calculatrice

Sur casio menu run optn , Stat, Dist , Norm NCD : NormCD(a,b,𝝈, 𝝁)

menu stat DISt Norm NCD data variable lower a upper b 𝜎 …. 𝜇 … savereg none

Exemples X suit une loi normale de paramètres 𝜇 = 90 et 𝜎 =20 calculer à 10-3 près les valeurs suivantes

P( 120< X<80) ~ p( X > 90)= p( X >80) =

p( X ≤ 70)= p ( X > 120)= p( X ≤ 100) =

c) Utilisation de la calculatrice pour déterminer un réel k connaissant la probabilité p= p(X ≤k) Sur casio menu run optn , Stat, Dist , Norm, InvN invNormCD(p , 𝝈 , 𝝁) En utilisant cet outil et les propriétés de la courbe de Gauss

Déterminer le réel k dans chacun des cas suivants

a)P( X <k ) = 0.6 b) p( X > k ) = 0.3 c) p( -k < X-90 < k ) = 0.4 d) p ( k < X< 120 ) = 0.25

Vérifier ses résultats en utilisant à nouveau la calculatrice sur menu stat déterminer un réel k tel que

p ( X < k)=p Dist norm invN data variable tail left area c 𝜎 …. 𝜇 … savereg none

p ( X > k)=p Dist norm invN data variable tail right area c 𝜎 .. 𝜇 .. savereg none

p ( -k < X-𝝁 < k)=p Dist norm invN data variable tail central area c 𝜎 … 𝜇 .. savereg none

3)Applications

Application1

La masse en grammes d’un objet produit sur une chaîne de fabrication suit la loi normale N ( 750 , 225)

Soit M la variable aléatoire associant à tout objet issu de la chaîne sa masse en grammes

1)Calculer la probabilité qu’un objet pris au hasard dans cette production ait une masse

a) comprise entre 730g et 775g b) supérieure à 765g c) inférieure à 720g

arrondir les résultats à 10-2 près

2)Calculer la valeur approchée au gramme près de la masse m pour que

a) la probabilité d’avoir un objet de masse inférieure à m soit de 45%

b) la probabilité d’avoir un objet de masse supérieure à m soit de 30%

c) la probabilité d’avoir un objet de masse comprise entre 750-m et 750 +m soit de 60%

3)En conservant la valeur de 𝜎 , quelle masse moyenne 𝜇′ faudrait-il obtenir sur cette chaîne pour que la

probabilité d’obtenir un objet de masse supérieure à 765g n’exède pas 0,02 ?

On notera Y la nouvelle variable aléatoire associant à tout objet issu de la chaîne sa masse en grammes

où Y suit la loi normale N ( 𝜇′ , 225) , et on notera Z = 𝑌−𝜇′

15

Application2 :

1)Le temps nécessaire pour installer un nouveau pot d’échappement sur une voiture chez Rapid est distribué

suivant une loi normale d’espérance 20min et d’écart-type 3min

a)Quelle est la probabilité que le changement de pot d’échappement prenne moins de 15 min ?

b)Déterminer le temps d’installation t qui n’est dépassé que dans 10% des cas.

2)Chez Superfast Le temps nécessaire pour installer un nouveau pot d’échappement sur une voiture chez

Rapid est distribué suivant une loi normale telle que le temps moyen d’installation d’un pot d’échappement

est d’environ 16min . Déterminer la valeur de l’écart-type sachant que la probabilité que l’installation d’un pot

d’échappement prenne plus de 10min soit de 0.933.

4)Les intervalles « un,deux,trois sigma »

X suit une loi normale N ( 𝝁 , 𝝈² )

P ( 𝝁 − 𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝝈 ) = …….

P ( 𝝁 − 𝟐𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟐𝝈 ) = …….

P ( 𝝁 − 𝟑𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟑𝝈 ) = …….

Démonstration :

p ( 𝝁 − 𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝝈 ) = p ( ≤ 𝑿 − 𝝁 ≤ ) = p ( ≤𝑿−𝝁

𝝈 ≤ ) = p ( ≤ 𝒁 ≤ )

Avec Z suit la loi ……………………….

Donc p ( 𝝁 − 𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝝈 ) =

Même raisonnement pour P ( 𝝁 − 𝟐𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟐𝝈 ) =

P ( 𝝁 − 𝟑𝝈 ≤ 𝑿 ≤ 𝝁 + 𝟑𝝈 ) =

Applications

Application1

On considère le cheptel français des vaches de la race FFPN « Française Frisonne Pis Noir »

On suppose que la variable aléatoire X associant à toute vache de cheptel sa production laitière de l’année

suit une loi normale N ( 𝜇 , 𝜎² ) avec 𝜇 = 6000 et 𝜎 = 400

Déterminer un intervalle I centré sur 𝜇 qui contienne la production annuelle d’une vache FFPN prélevée dans

un cheptel avec la probabilité 0,95

Application2

Sur le compte rendu d’analyse de sang d’un laboratoire d’analyse, on peut lire

« Taux de cholestérol total (g/L) N : 1,30-2,30 »

Il est de plus précisé , que le taux de cholestérol total se distribue dans la population adulte selon une loi

normale N ( 𝜇 , 𝜎² ) , l’intervalle [ 1,30 ; 2,30] est retenu comme « plage de normalité » correspondant à

l’intervalle [μ − 2σ ; μ + 2σ] de cette loi.

On désigne par T la variable aléatoire qui associe à un adulte pris au hasard dans la population son taux de

cholestérol total.

1)a)Donner la probabilité que T prenne une valeur dans l’intervalle [μ − 2σ ; μ + 2σ] et affiner ce résultat , à

10-3 près en utilisant la loi normale centrée réduite

b) Déterminer les paramètres de la loi normale suivie par T

2)Déterminer la probabilité qu’un individu pris au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol

supérieur à 2,5g/L

3)Déterminer le plus petit taux de cholestérol c tel qu’un individu pris au hasard dans la population ait une

probabilité au moins égale à 0,85 de se trouver en dessous .

III Approximation normale d’une loi binomiale

Rappel du théorème de Moivre –Laplace

Théorème : Soit p un réel de l’intervalle ]0 ;1[, soit n un entier naturel

non nul

X n est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n

et p

Zn est la variable aléatoire définie par Zn = 𝑿𝒏−𝑬(𝑿𝒏)

𝝈(𝑿𝒏) =

𝑿𝒏−⋯….

………….

Alors pour tous réels a et b tels que a < b lim p ( a ≤ Z n ≤ b ) ~ ………..

n → +∞

Pour des valeurs très grandes de n la loi binomiale B ( n,p) est très proche de la loi normale d’espérance 𝜇=np

et de variance 𝜎² =np(1-p)

Quand on a n≥30 , np ≥ 5 et n p ( 1-p) ≥5 , l’erreur sur les probabilités est très faible . on ne fera

l’approximation que lorsque ces trois conditions seront vérifiées .

Exemple n= 64 p=0,5 E(X) =np= 32 V(X) =np(1-p)=16

les 3conditions sont vérifiées

Donc on peut calculer

par exemple p ( 24≤X≤40) par l’approximation

normale

p ( 24≤X≤40) ≈ p ( …..≤ Z ≤……. ) = ……..

p(24≤X≤40) =

Plus n est grand, plus l’approximation est bonne

Application

Dans un certain vignoble on admet que la probabilité qu’un pied de vigne soit atteint d’une maladie donnée

est de 0,4. On observe 600 pieds de vigne choisis au hasard dans ce vignoble et l’on désigne par X la variable

aléatoire X qui donne le nombre de pieds de vigne atteints par la maladie.

1)a)Quelle est la loi de probabilité de X ?

b) Calculer p( 240 < X < 252 ) ; p(X ≥ 232)

2)On admet que le nombre de pieds de vigne malades peut-être aussi approché par une variable aléatoire Y

suivant la loi normale N ( 𝜇 , 𝜎² )

En utilisant cette approximation , caculer p( 240 < X < 252 ) ; p(X ≥ 232)