Géométrie fractale

et

théorie du chaos

Electrolyse d’une solution de ZnCl2

Zn2+ + 2 e Zn0

Caractéristiques des fractals

a) itération d’un algorithmealgorithme

courbe de Koch

1re itération 2me itération 3me itération

b) Invariance à l’agrandissement (Selbstähnlichkeit)partie

ensemble

c) dimension fractionnaire

explication du nom « fractal »

Détermination de la dimension d

* réduire l’objet d’un facteur d’échelle f

* compter le nombre n d’objets réduits compris dans l’objet initial

f = nd

segment réduit d'unfacteur d'échelle f = 4

A B

A B

le segment initial renferme n = 4segments réduits

segment de droite AB

d =log 4

log 4= 1 valeur entière !

A B

CD

carré réduit d'unfacteur d'échelle

f = 5

le carré initial renferme n = 25 carrés réduits

carré ABCD

d =log 25

log 5= 2 valeur entière !

f = n1/d log f = 1/d log n d =log n

log f

cube réduit d'unfacteur d'échelle f = 3

le cube initial renfermen = 27 cubes réduits

cube

d =log 27

log 3= 3 valeur entière !

Courbe de Koch:

chaque segment initial est subdivisé en 3: f = 3

algorithme

chaque segment initial est remplacé par 4 segments réduits: n = 4

d =log 4

log 3= 1,261 valeur non entière !

algorithme itérations

Triangle de Sierpinski:

Nombres complexes

z = a bi

-i

i

2i

3i

-1 0 1 2 3 4

a

b

M

zreprésentables dans le plan complexe

valeur (module):

z = a2 + b2

z = 32 + 22 = 3,61

à chaque nombre complexe z correspond une paire ordonnée de nombres réels (a,b)

Exemple:

L’ensemble de Mandelbrot

L’écran du moniteur est placé dans le plan complexe.

axeimaginaire

axeréel

A

B

Chaque point (pixel) de l’écran correspond à une paire de coordonnées a et b. Chaque pixel est l’image d’un nombre complexe déterminé.

g = z2 + c départ: z = 0, c = affixe du pixel choisi g = c

itération: g introduit à la place de z g = c2 +c

2e itération: g = (c2 +c)2 + c = c4 + 2c3 + c2 + c

3e itération: g = (c4 + 2c3 + c2 + c) + c

etc, etc, etc

L’ensemble de Mandelbrot

Selon le pixel choisi, l’itération tend plus ou moins rapidement vers l’infini calcul complexe.exe

Effectuer pour les valeurs: c = 1 + i

c = -1 + 0,2 i

Le pixel est coloré selon la vitesse avec laquelle l’itération tend vers l’infini

Ensemble de Mandelbrot = ensemble des points où l’itération ne passe jamais à l’infini

L’ensemble de Mandelbrot a les propriétés d’un objet fractal

L’évolution vers le chaos

A) Différence entre:* prévisibilité (ex: éclipse solaire)

* stochasticité (ex: tirage au loto)

B) Chaos déterministe

* lois scientifiques restent valables

* non-linéarité entre cause et effet

des causes insignifiantes peuvent avoir des conséquences importantes

amplification des incertitudes initiales

impossibllité des prévisions à long terme

B) La récurrence de Poincaré

dynamique chaotique

réapparition éphémère de l’ordre initial dans la dynamique chaotique

Récurrence de Poincaré

- image déformée selon un algorithme défini

chaos déterministe

- image initiale réapparaît à la 241e transformation

Notion d’attracteur

Espace de phase: ensemble des variables indispensables pour décrire un phénomène

systèmes mécaniques: diagramme vitesse / position

Attracteur: lieu géométrique ( = ensemble des points) de tous les états possibles d’un système dans l’espace de phase qui décrit le système

Attracteur classique: la connaissance des conditions initiales permet le calcul pour n’importe

quel moment

Attracteur chaotique: le calcul se laisse faire de proche en proche, une prévision à long terme

est impossible

Chaos en mathématiques

1971: découverte de Robert May sur l’équation:

y = a x ( 1 – x )y = ax(1-x) influence de R

a = 0a = 0.5a = 1a = 2a = 3a = 4

X0

0.5 1

1f(x)

a = facteur de non-linéarité

L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution

Expérience préliminaire:

réchaudsuspension de poudre d’aluminium dans

l’huile de paraffine en couche mince

chaleur

formation de cellules de convection visualisées par la poudre d’aluminium

Frottement entre cellules:

La circulation dans chaque cellule influence et est influencée par les cellules voisines

L’auto-structuration des systèmes chaotiques en évolution

Considérations thermodynamiques

* systèmes classiques (cristallisation d’un sel)

la structuration est propulsée par la recherche d’un état d’équilibre à énergie minimale

* systèmes dissipatifs

frottements entre cellules dépense (dissipe) de l’énergie

la formation des structures ordonnées exige un apport continu d’énergie (structures dissipatives)

Thermodynamique des systèmes dissipatifs élaborée par Ilya Prigogine (Prix Nobel 1977)

Réaction de Belousov-Zhabotinsky

- NaBrO3

- HOOC-CH2-COOH

- KBr

- H2SO4

- feroïne (Fe2+/Fe3+)

3 équations: (interprétation simplifiée)

a) BrO3- + 2 Br

- + 3 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2O

b) BrO3- + 4 Fe2+•cpx + 5 H+ + 3 HOOC-CH2-COOH

4 Fe3+•cpx + 3 HOOC-CHBr-COOH + 3 H2Oréaction a) évolue jusqu’à l’épuisement de Br

-

réaction b) évolue jusqu’à l’épuisement de Fe2+•cpx

c) 4 Fe3+•cpx + HOOC-CHBr-COOH + 2 H2O

4 Fe2+•cpx + HCOOH + 2 CO2 + 5 H+ + Br -

réaction c) régénère Br – qui permet à la réaction a) de reprendre

Réaction de Belousov-Zhabotinsky

système bistable, change entre 2 états stables (attracteurs)

Suppression de l’agitation:

le système se fractionne en « cellules » à évolution stochastique

les « cellules » voisines s’influencent par diffusion des réactifs (frottement)

structures dissipatives