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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES

1 DEFINITION


1 DEFINITION

Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V0

G0 G1

P=1

L-

00 0/ LPLVM B

LV

10

G0 G1

1

Ligne d’influence de V0

Pente -1/L

V0


1 DEFINITION

Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V1

G0 G1

P=1

L-

00 1/ PLVM A

LV

1

G0 G1

1

Ligne d’influence de V1

Pente 1/L

V1


1 DEFINITION

Ligne de d’incluence de l’effort tranchant dans une section d’abscisse x

G0 G1

P=1

L-

LVT

1)(

G0 G1

Ligne d’influence de T

Pentes -1/L

V1

x

V0

Cas < x (charge à gauche de )

Coupure par les efforts de droite :

LVT

1)( 0

Cas < x (charge à droite de )

Coupure par les efforts de gauche :

LxT /min,

LxT /1max,

-+


1 DEFINITION

Ligne de d’incluence du moment fléchissant dans une section d’abscisse x

G0 G1

P=1

L

xxLVM 1)( 1

G0 G1

Ligne d’influence de M

Pente 1-x/L

V1

x

V0

Cas < x (charge à gauche de )

Coupure par les efforts de droite :

xL

xVM

1)( 0

Cas < x (charge à droite de )

Coupure par les efforts de gauche :

L

xxM 1max,

+

x- L-x

Pente -x/L


2 APPLICATIONS

Utilisation pour calculer l’effet de plusieurs charges ponctuelles


G0 G1

L

xxM 1max,

+

G0 G1

LxT /min,

LxT /1max,

-+

G0G1

1 P1

Pi

in

Pn

)( 1T )( iT )( nT

)( 1M)( iM )( nM


Effet dans une section de charges P1, Pi, Pn placées en 1, i, n

i

ii TPT )(.

i

ii MPM )(.


2 APPLICATIONS

Utilisation pour calculer l’effet d’une charge répartie quelconque

G0 G1

L

xxM 1max,

+

G0 G1

LxT /min,

LxT /1max,

-+

G0G1

0

1

)( 0T )(T )( 1T

)( 0M)(M )( 1M

Effet dans une section d’une charge répartie quelconque p() entre les abscisses 0 et 1

1

0

)().(

dTpT

)(p

1

0

)().(

dMpM

Si p est constant, T correspond à p x l’aire délimitée par la courbe T () entre 0 et 1

Si p est constant, M correspond à p x l’aire délimitée par la courbe M () 0 et 1


3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE

Définition

Un convoi est un ensemble de charges Pi dont les distances entre elles restent fixes (exemples : camions, trains).

Le convoi peut être caractérisé par sa résultante

La position de chaque charge Pi peut être caractérisée par sa distance di à la résultante

Pn

1dP1

Pi

id nd iP

Objectif

L’objectif est de déterminer la position du convoi qui donne le moment fléchissant maximal dans la poutre sur 2 appuis simples que parcourt le convoi et la valeur de ce moment maximal.



Démonstration

20

L

LV

On note δ la distance de la résultante à l’axe la poutre.

On calcule la réaction d’appui à gauche en écrivant l’équilibre en G1 :

Pn

1dP1

Pi

id nd

2/LidL 2/

G0

G1

20

L

LV

On calcule le moment dans la section au droit de la charge Pi

)(2/2/)(2/0 igP

giigP

gi ddPdLLL

ddPdLVMgg

Moment des provoqué par les charges à gauche de Pi = Constante

M pour une position du convoi telle que : 0

ddM



Démonstration

20

L

LV

Pn

P1

Pi

2id nd

2/LidL 2/

G0

G1

M pour une position du convoi telle que :

020 idd

dM

)(2/2/ igP

gi ddPdLLL

Mg

20 id

d

dM

Le moment est maximum en lorsque la charge Pi et la résultante sont placées de manière symétrique par rapport à l’axe de la poutre.

Alors, le moment maxi vaut :

)(14

)(2/2/2

2max ig

Pg

iig

Pgi ddP

L

dLddPdL

LM

gg

LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE

Exemples de convois (EC1-3)

Convois routiers

Convoi ferroviaire UIC 71

Depends on judgement of designer. ~400mm

Maximum moment occurrs here

1.8m

1.0m

1.0m

1.0m

1.8m 1.5m

1.5m

3.0m

cL of HB

cL of bridge

1.0m 1.0m 1.0m

cL of bridge

A

A

Section A-A

Position of HB Load to produce Maximum Moment

LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE

Exemples de convois (BS)


4 COURBES ENVELOPPES

Définition

La courbe enveloppe de l’effet F est la courbe des effets maximaux dans l’ensemble des sections de la poutre lorsque la charge P=1 mobile évolue sur la poutre (ie c’est la courbe des maximums des lignes d’influence).

Courbe enveloppe du moment fléchissant dû a une charge ponctuelle

G0 G1


Pente 1-x/L

L

xxM 1max,

+

Pente -x/L

Dans une section d’abscisse x, le moment maximum en vaut :

L

xxM 1max,

La courbe enveloppe du moment fléchissant provoqué par P=1 est donc une parabole d’équation : . Le maximum de la courbe enveloppe donne le moment maximum absolu dans la poutre.

L

xxM env 1

G0 G1

4max,

LM env

+

Enveloppe des moments fléchissants



Courbe enveloppe de l’effort tranchant dû à une charge ponctuelle


Enveloppe des efforts tranchants positifs

G0 G1

Pentes -1/L

LxT /min,

LxT /1max,

-+

G0 G1

LxTenv /1

+

G0 G1

LxTenv /

-

Enveloppe des efforts tranchants négatifs

2 courbes enveloppes :

-Courbe enveloppe des efforts tranchants positifs :

- Courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs 1max T

1max TLxTenv /1

LxTenv /

1

-1



Courbes enveloppes provoquées par un convoi (allures)

G0 G1envM

+

G0-

envT

G1

+

envT

LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES4 COURBES ENVELOPPES

Courbe enveloppe du moment fléchissant dû à une charge répartie d’étendue quelconque

Problématique : on considère une charge répartie d’intensité p appliquée entre les abscisses variables 1 et 2.

Question : quelle étendue donner à la charge (ie valeurs 1 et 2) pour qu’on obtienne les efforts tranchants et moments fléchissants maxi dans une section puis dans la poutre ?

G0 G1

12

p

G0 G1

L

xxM 1max,

+

)( 1M)( nM

Constat : la ligne d’influence M est toujours positive. Cela signifie qu’on aura le moment maxi en lorsqu’on charge toute la poutre et

xLxp

LL

xx

pdMpM

L

21

2)(

0

max,

La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation

provoquée par un chargement sur toute la poutree.

)(2

xLxp

y


Courbe enveloppe de l’effort tranchant T+ dû à une charge répartie d’étendue quelconque

G0 G1

12

p Constat : la ligne d’influence T est positive si on applique une charge à droite de . Cela signifie qu’on aura l’effort T+ maxi en lorsqu’on charge toute la poutre à droite de et

2max, 21

2)( xL

L

pxL

L

xpdTpT

L

x

La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation : 2)(

2xL

L

pTenv

G0 G1

LxT /min,

LxT /1max,

-+

)( 1T )( 2T

G0

22

xLL

pTenv

+

2max,

pLTenv

G1


Courbe enveloppe de l’effort tranchant T- dû à une charge répartie d’étendue quelconque

G0 G1

12

p Constat : la ligne d’influence T est négative si on applique une charge à gauche de . Cela signifie qu’on aura l’effort T- maxi en lorsqu’on charge toute la poutre à gauche de et

2

0

max, 22)( x

L

px

L

xpdTpT

x

La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation : 2

2x

L

pTenv

G0 G1

LxT /min,

LxT /1max,

-+

)( 1T )( 2T

G0

2

2x

L

pTenv

-

2max,

pLTenv

G1


Courbes enveloppes de l’effort tranchant dû à une charge répartie d’étendue quelconque

On remarquera que, contrairement au moment fléhissant, on n’obtient pas les effets maximaux de T en chargeant la poutre sur toute la longueur, mais en la chargeant en partie (à droite ou à gauche).

En particulier, au milieu de la poutre :

82

pLLTenv

82

pLLTenv

G0

2

2x

L

pTenv

-

2max,

pLTenv

G1

+

22

xLL

pTenv

2max,

pLTenv

obtenu par le chargement de la moitié gauche

obtenu par le chargement de la moitié droite

Alors que si l’on charge toute la poutre, 02

LT