1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
4.1 Rappels sur l’oscillateur harmonique
4.1.1 Le potentiel Harmonique en Mécanique classique
Potentiel harmonique 21( )
2V x kx
22 2 2 21 1
2 2 2M
pE T V M x M x
M
VF M kx
x
2
20
d xM kx
dt
Equation du mouvement
cosMx x t k
M
( )V x
Mx Mx0 x
E
Energie totale
2 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
Potentiel quelconque
4) Les vibrations du réseau
2
0 0 0
1( ) ( ) "( )( )
2V x V x V x x x
0"( )k V x 0"( )V x
M
( )V x
x
0x
0V
Ordres de grandeur
0 Åx
0V eV
0 2"( )
Å
eVV x
13 10"( )10
V xs
M 2710M kg (THz)
12 110 s
20 110
10J eV 3410 Js
interaction avec onde électromagnétique dans l’infrarouge
Développement au 2nd ordre
3 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.1.1 Le potentiel Harmonique en Mécanique quantique
22 21
2 2
pH T V M x
M
( )V x
0 x
12
( )nE n
02
E
Energie de « point zéro »
Niveaux équidistants
Remarque: retrouver l’énergie de point zéro avec la mécanique classique et le principe d’incertitude
22 2( ) 1( )
2 2
pE M x
M
( )( )2
p x
22
2
1( )
8 ( ) 2E M x
M x
minimisation 0
2E
( )2
xM
Rq: L’hélium ne cristallise jamais même à 0K
(énergie de point zéro). Sauf sous pression>25atm
4) Les vibrations du réseau
4 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.2 La chaine linéaire
a
2nu
1nu nu
2nu1nu
n nx na u
2
0 1
1( )
2n n
n
V V K u u
2
2
0u
VK
u
4) Les vibrations du réseau
4.2.1 Un atome par maille
5 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
Equations du mouvement
2
2
n
n
d u VF M
dt u
22
2
2
1 12(2 )n
n n n
uKa
x
d uM K u u u
dt
( ) i t
n nu t u e
2
1 1(2 )n n n nM u K u u u
Chaine linéaire en mouvement
Système d’équations linéaires couplées
Equation dynamique
6 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
1 1
2 2
2
2 1 0 0
1 2 0
0 0
0 2 1
0 0 1 2 N N
u u
u uK
M
u u
D
4) Les vibrations du réseau
Matrice dynamique
Même matrice que les liaisons fortes
Chaine finie Chaine cyclique: BVK
0 1 0Nu u
n N nu u
Conditions aux limites
(voir TD)
7 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
0
ikna
nu u e
2 22 4(1 cos ) sin ( / 2)
k
K Kka ka
M M
4sin( / 2)k
Kka
M
4) Les vibrations du réseau
BVK
1ikNae 2 j
kNa
/ 2, ,0, , / 2j N N
( )k
a
a
2
a
2
a
0
2
1 1(2 )n n n nM u K u u u
( Th. De Bloch)
max
4K
M
k
8 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
124(10 )Max
KTHz Hz
M
infrarouge
micronphotons vibrations
ka
Bord de zone
0 0( 1)in n
nu u e u
Longueur d’onde la plus courte
Difficile à détecter avec la lumière
110Max eV
22a
a
0photons vibrationsk k
9 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
k
Kak vk
M
Kv a
M
2 2
2 2
u uC
t x
Equation des ondes (passage au continu)
Cv
M
a
2
2
VC a
u
La vitesse du son
Vitesse de groupe
gvk
Vitesse de phase
vk
cos2
g
kav v
densité
constante élastique
vk
a
a
2
a
2
a
0
gv
v
a
k
0k
10 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.2.2 Deux atomes par maille
4) Les vibrations du réseau
0 2a a
1nu 1nv
nu1nunv
2
2 1
2(2 1)
n n
n n
x na ux n a v
1M
2M
11 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
2
1 122n
n n n
d uF M K u v v
dt
( ) i t
n nv t v e
2
1 12
2 1
(2 )(2 )
n n n n
n n n n
M u K u v vM v K v u u
4) Les vibrations du réseau
Equations du mouvement
2
2 122n
n n n
d vF M K v u u
dt
( ) i t
n nu t u e
0 2inka
n nu u e
0 2inka
n nv v e
2( ) kD k V V
2
1 1 2
2
21 2
2 1
( )1 2
ika
ika
e
M M MD k K
e
MM M
1
2
M uV
M v
(Th. de Bloch)
12 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
2
2 2 20 1 1 sin2
k ka
2 1 20
1 2
2 ( )K M M
M M
2 1 2
2
1 2
4M M
M M
k
1
2K
M
2
2K
M
1 2
1 12K
M M
1 2M M
0 2a a
branche
acoustique
branche optique
Gap
(=0 si M1=M2)
13 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
•mode acoustique
•mode optique
0k
Vibration en phase
Vibration en opposition de phase
•Remarque
nn
n
uP
v
1nP
2
1
n
MP
M
mode acoustique
(translation globale du système)
mode optique
(conserve le centre de masse)
Dipôle alternatif
dans cristal ionique
14 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4.3.1 3D 1atome/maille
4) Les vibrations du réseau
( , , )x y z
n n n nu u u u
2
3 3
( ) ( ) ( )kD k X k X k
0k
3 modes 2T
1L
3N équations
.( ) ( )
ni k R t
nu t u k e
4.3 Cas général
3 équations
( ) ( )X k Mu k
15 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
longitudinal
transversal
4) Les vibrations du réseau
Plus facile de cisailler que de compresser
//k u
k u
16 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012
4) Les vibrations du réseau
2
3 3
( ) ( ) ( )k
p p
D k X k X k
ka
3 branches
acoustiques
3p-3 branches optiques
4.3.1 3D p atomes/maille