Equilibre E E R R R E E R u R u R u ( , , , , ) ( , , , , ) 1,0 2,0 ,012 i i j eq Eiramis.cea.fr/spcsi/cbarreteau/physique_du_solide/... · 2012. 5. 30. · Cours de Physique de la

1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

4) Les vibrations du réseau

4.4 L’approximation harmonique pour un potentiel interatomique

1,0 2,0 ,01 2( , , , , )i iE E R u R u R u

0iR

0jR

iu

ju

2

0

1

2i i j

i ii i jeqj eq

E EE E u u u

R R R

1,0 2,0 ,00 ( , , , , )iE E R R R

• Equilibre

• Ecart à l’équilibre

• Développement au second ordre

iM

, ,x y z

4.4.1 Développement autour de l’équilibre


2

,

,

à l'équilibreconstantes de force

,0

i j

ji i i jeq eq

i j

E E EF u

u R R R

C


2

2

ii

d RF M

dt

,i i i j j

j

M u C u

Solutions de la forme: ( ) i t

i iu t u e

2

,i i i j j

j

M u C u

Système linéaire

4.4.2 Equations dynamiques

Equations du mouvement:

Force agissant sur un atome


,

,

i j

i j

i j

CD

M M

Matrice dynamique

Changement de variable ,,

, ,

,,

i i xi x

i y i i y

i zi i z

M uv

v M u

v M u

( 3 3 ) ( 3 )

2

N N N

D V V

Equation Dynamique

(aux valeurs propres)




•système périodique 1 atome/maille: .

0ik R

iu u e

2

(3 3) (3)

( ) ( ) ( ) ( )D k V k k V k

•système périodique p atome/maille:

2

(3 3 ) (3 )

( ) ( ) ( ) ( )

p p p

D k V k k V k

.

0 ,( ) jik R

j

j

D k e D .( ) jik R

j

j

V k e V

4.4.3 Cas périodique

2( ) 1,2,3s k s

2( ) 1,2,...3s k s p

(Th. de Bloch):

., 0,

ik Riu u e



•Valeurs propres de D(k)

3 branches acoustiques (en dimension 3)

3p-3 branches optiques (en dimension 3)

0( ) ( , )s skk v k k k

ka

3 branches

acoustiques

3p-3 branches optiques ( )k

0


Valeurs propres négatives de D ?

2 0 i

Fréquence imaginaire = instabilité

( ) t

i iu t u e

R

E Mode stable

Mode instable

2 0

2 0




Instabilité sous pression du quartz



Passage d’un col et loi d’Arhenius

Etat stable

Etat instable

Etat métastable

2 0

2 0 2 0

0B

E

k T

a b e

E

a b

E

Coordonnée de réaction

Cas général (formule de Vineyard)

3

,min

10 3 1

,col

1

N

i

i

N

i

i

a

b


4.5 Traitement quantique


21 1

2

1

0 02 2

N Nn

cl n n

n n

p KH u u

m

1

0

1j

j

Nik na

k n

n

u e uN

2

2 2

clk kcl k k k k

k PZB k PZB k PZB

p p mH u u h

m

2 sin2

k

k aK

m

Décomposition en modes propres

2 0,1, , 1jk j j N

Na

1

0

1j

j

Nik na

k n

n

p e pN

BVK

n N nu u

(Transformée de Fourier discrète)

Hamiltonien classique

*

*k k

k k

p pu u

1

j

j

j

ik na

n k

k PZB

u e uN

1

j

j

j

ik na

n k

k PZB

p e pN

2i

Naw e

1

0

1 Nnj

j n

n

u w uN

1

0

1 Nnj

n j

n

u w uN

Hamiltonien classique « diagonalisé »


21

2 2

ququ k k k k k k

k k

mH P P Q Q h

m

† 12

( )qu k k k

k

H a a

Du classique au quantique


2

2 2

clk kcl k k k k

k k k

p p mH u u h

m

Hamiltonien classique

Hamiltonien quantique

1 1

2 22

kk k k

k

ma Q i P

mOpérateur « création » †

k k kn a aOpérateur nombre de particules


,

12,

( ) ( )k s

sk snn k


dimension 3

,0,1,

k sn

•Quantum d’énergie de vibration du réseau ( )s k Quasi-particule=phonon

•Energie totale d’un ensemble de phonons

12, ,

1,2,3

( ) ( )tot sk s k sk PZBs

E n n k

,k sn

1

2( ) ( )

kkn

n k•Spectre énergétique dimension 1

Interaction possible avec

Électrons (couplage électrons-phonons)

photons

1,2,3

k PZB

s



4.6 Propriétés thermiques

4.6.1 Rappels expérimentaux: chaleur spécifique

C

T

3 B

dUC Nk

dT

Loi de

Dulong Petit

Dépend des éléments

4.6.2 traitement classique

3T

•Equipartition de l’énergie

2 2( , )clh q p ap bq

2 2

2 2

2 ( )

2

( )

( ) 1

2

ap bq

Bap bqcl

ap e dpdqap k T

e dpdq

3 oscillateursN

2 2

2 2

2 ( )

2

( )

( ) 1

2

ap bq

Bap bqcl

bq e dpdqbq k T

e dpdq

3 3B BU Nk T C Nk


4.6.3 Modèle d’Einstein


On suppose que le cristal est formé d’oscillateurs harmoniques indépendants

caractérisés par une fréquence unique: la fréquence d’Einstein

1 1 12 2 2, ,

( ) ( ) ( )x y z

i i i i

x y z En n nn n n

NZ z

( )i i

i

B

i

n

k T

n

Z e

33 1

( ) ( )2 2

, , 0 0

1

12sinh

2

x y z E E

x y z

E

n n n n

n n n n

z e e

3

1

2sinh( / 2)

N

E

Z

Fonction de partition

( )tot i i

i

E n


Energie libre


ln lnB BF k T Z Nk T z

FS

T

Entropie

Energie moyenne

F U TS

lnU Z

12

13 3 coth

2 21E

E E

B

EU N Nk Te

2

2

13

2sinh

2

EV B

EB

B

UC Nk

T k T

k T

3 BNk

2

3E

E

T

BT

TNk

Te

Capacité calorifique ET T

ET T

B E Ek T Température d’Einstein

Modèle d’Einstein


ET

Te

C3 B

dUC Nk

dT Dulong Petit


•Succès et échec du modèle d’Einstein

Le comportement en T3 ne peut-être reproduit que si le spectre

est pratiquement continu au voisinage du niveau fondamental


4.6.4 Calcul « exact »


,

12,

( ) ( )k s

sk snn k

,

,

( )

,,

tot k s

B

k s

E n

k T

k sk sn

Z e z

12, ,

,

( ) ( )tot sk s k sk s

E n n k

12,

,

( ) ( )

,0

1

2sinh ( ) / 2

sk s

k s

n k

k sn s

z ek

,,

ln lnB B k sk s

F k T Z k T z

12,

,( )

,

1ln n ( )

1l

ssk s

k sk

k s

U Z z ke



12,

,

( )sk sk s

U n k

Les phonons sont des bosons!

, ( )

1

1sk s k

ne

Statistique de Bose-Einstein E

( )

1

1En

e

0

Phonons= photons (dans la matière)

0( ) ( , )s skk v k k k

Bosons de potentiel chimique nul: le nombre de phonons n’est pas fixe

Relation linéaire comme les photons

dans la direction ( , )k k



3

,

( ( )) ( ( ))2

s sdsNk PZB s PZB

f k f k d kDu discret au continu : volume

: dimensionalités : polarisationd

Densité d’état:

max

0,

( ( )) ( () )s

k s

f k dDf

Nombre de modes par unité de volume

max

0,

1

3 1( ( )) ( )s

k s

Nf k D d

( )D d Nombre d’états par unité de volume entre et d

4.6.5 Un détour vers la densité d’état


Densité d’état aux basses fréquences

0( ) ( , )s skk v k k k

0( )s kk v k

Valeur moyenne


( )D d

Nombre d’états entre et d

( )k v k

: sphèrecte k k cte

2

3

2

32

2

2

( ) (3)4(2 )

3 3( )

2 2

D d k dk

kD

d vdk

Densité d’état parabolique

(modèle de Debye justifié à basse T cf 4.6.7 )



La limite haute température

max

00

1

3

( ) 31

B B

N

U U k T D d Nk Te

0T

max0 0 B

B

k Tk T

La structure quantique disparait à température « élevée »..

max Bk qq centaines de K

4.6.6 retour au calcul de l’énergie

max

00

( )1

U U D de

1

0 2

,

( )s

k s

U k (énergie de point zéro)

Energie moyenne à température finie


La limite basse température

0T


max

00

( )1

U U D de

changement de variable

x

max

0

1

1x

x x dxD

e

2

0

( ) 1

1

0

B

x

k T xxD dx

e

Les hautes fréquences

ne contribuent pas

4

34

0 2 3 3 0

15

3( )

2 1B x

xU U k T dx

v e

2

2 3

3

2x

xD

v

Densité d’état aux basses fréquences


3232

5

V BV B

C k Tc k T

v


•Le bon comportement de la chaleur spécifique à basse température

Conséquence du comportement linéaire des relations de dispersion et de la dimensionnalité

2

Vc T Vc T

Dimension 2 Dimension 1

(électrons)Vc T



4.6.7 Modèle de Debye

Rappels sur le modèle d’Einstein

( )D

E

3( ) ( )E

at

D d

ET

TC e

à basse température

FAUX car on néglige le caractère continu à basse fréquence

E N oscillateurs indépendants de même pulsation

max

00

( ) 31 1E

EU U D d Ne e


Le modèle de Debye

23 3 2 3

0

3 3 63 ( ) 6

D

D

at at

Nn D d v nv

2 3

23( )

2D

v


D Relié à la vitesse du son

Kv a

M

vk

On remplace toutes les branches du spectre

(y compris les branches optique si il y’en a)

par des branches ayant la même dispersion

D Dvk


•Température de Debye D B Dk

C

T

3T

D

Température caractéristique au delà de laquelle les phonons de plus

haute énergie commencent à être excités

(~ Température de Fermi pour les électrons)

Sépare le régime quantique du régime classique

centaine de degrés KD qqs


34

312

5

VV B

D

C Tc nk T



Température de Debye de quelques éléments


4.6.8 Déplacement quadratique moyen


•Energie et déplacement quadratique moyen d’un oscillateur harmonique

2 2 2

2

EE M u u

M

12

1

1E

e

2 12

1

1u

e M

max2 120

( ) 1

1at

Du d

M e

Oscillateur unique

Cristal d’oscillateurs



2 3

23( )

2D

v2

3 36D

at

v

2

3

9( )

at D

D

D B Dk

22

2 2 20

9( ) 9DB Bat

D B D

k T k TD Tu d

M M Mk

•Limite haute température

max2

20

( )Bat

k T Du d

M

Modèle de Debye



•Critère de Lindemann pour la fusion

Il y’a fusion si 2 , distance interatomique

10

du d

22

2

9

10 900

B D

D B

k T MdT d

M k

2/3 2/322 3 2

26

900 900

Dmelting

B at B

M d MvT d

k k

23 36D

at

v

Remarque sur les dimensions 1 et 2

On montre (sans difficulté) qu’en dimension 1 et 2 2 !!!!u

Il s’agit d’un exemple particulier du théorème de Mermin-Wigner qui

stipule l’instabilité d’un cristal mono ou bi-dimensionnel



4.6.9 Effets anharmoniques

•Croissance de la chaleur spécifique à haute température

C

T

Cu

K Sn

•Dilatation thermique

V(x)

x

0 0x x Approximation harmonique

x0x

Documents

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