5 La Gravitation5.1. La loi de gravitation universelle de Newton
221
r
mmGFg
G est la constante gravitationnelle: )./(/.10.67,6 232211 skgmoukgmNG
1m
2mr
gF
gF
SoleilTerre
rTS
TS ur
mMGF
2/
ru
5.2. principe de superposition
Pour un nombre n de particules en interaction, on peut écrire:
est la force résultante exercée sur la particule 1.résF ,1
Quand un objet est très volumineux, il exerce une force gravitationnelle sur une particule qu’on calcul en divisant cette masse en petits éléments dm qui exercent sur la particule la force gravitationnelle , et on somme sur tous ces éléments.
gFd
5.3. La force gravitationnelle d’une distribution sphérique de masse
R
R.sinq
q
dq
R.dq
R.sin .q dj
dq
dj
t
l
l
rc
ff m
AF
BF
B
A
tRddRdVdM ...sin.
dtRdtRdR .sin...2...sin. 22
0
02
2
cos..sin...2..
l
dtRmGdFF
Dans cette expression, il y a trois variables dépendantes les unes des autres: l, j et q . Il faut donc en exprimer deux en fonction de la troisième.
Pour le triangle CmA, on peut écrire que:
En utilisant les deux expressions on obtient:
rR
dlld
rR
lRr
2
.2.sin
2cos
222
dll
Rr
r
RtGmdF .1....
2
22
2
Si on remplace tous:
En intégrant entre l = r-R et l = r+R:
5.3. Les planètes et les satellites: les lois de Kepler
q
RaRp
ea ea
a
M
m
F’F
2. La loi des Aires: Une droite joignant une planète au soleil balaie des aires égales dans le plan de l’orbite durant des intervalles de temps égaux: c’est-à-dire que le taux dA/dt auquel elle balaie l’aire A est constant
r
dq
r.dq
dA
qSoleil
p p
DA est approximativement l’aire d’un triangle de base rDq et de hauteur r
Cette expression de DA devient plus précise quand Dt tend vers dt
m
L
dt
dA
2Et donc:
Pour obtenir mathématiquement cette loi, considérons une trajectoire circulaire de rayon r ( demi-grand axe).
Or avec T la période du mvt donc:T
rv
2
L’équation s’applique également aux orbites elliptiques en remplaçant r par le demi-grand axe a.
5.4. Les satellites: orbites et énergie
Quand un satellite décrit une orbite elliptique autour de la Terre, le module de sa vitesse donc son énergie cinétique et sa distance à la Terre donc son énergie potentielle fluctuent. Cependant, son énergie mécanique reste constante.
5.4.1. Energie potentielle
r
mGMrE sT
p
5.4.3. Energie mécanique
5.4.2. Energie cinétique
CstEr
mGMrrmrE sT
sm 0222.
2
1
5.4.3. Nature de trajectoire
20
rm
L
d
dr
d
drr
r
dtddt
dr
d
dr
s
Car
0
2
22
20
0222
11
2
.2
1
Er
mGM
d
dr
rrm
L
Er
mGMrrmrE
sT
s
sTsm
On remarque que:
Donc pour simplifier on pose :
0.22 2
220
d
dumGM
d
duu
dt
ud
d
du
m
LsT
s
En dérivant /q
Equation linéaire du 2e ordre à coefficients cst avec 2e membre=> sol. générale:
20
2
0cosL
mGMAu sT
2
20
2
20
sT
sT
mGM
ALe
mGM
Lp
avec
Ou bien:
2
0
02
22
airesdesconstante
totaleénergie
.2
1;
rC
E
EmGM
Cme
mGM
Cmp
sT
s
sT
s
p
F1 O
Pb
a c
a(1+e)
a(1-e)
qApogée Périgée
Le demi-grand axe a dépend de l’énergie totale E0
Avec E0 <0
Le demi-petit axe b dépend du moment cinétique L0 et de E0
Périhélie Aphélie
Excentricité
Energie mécanique totale