5 La Gravitation5.1. La loi de gravitation universelle de Newton

221

r

mmGFg

G est la constante gravitationnelle: )./(/.10.67,6 232211 skgmoukgmNG

1m

2mr

gF

gF

SoleilTerre

rTS

TS ur

mMGF

2/

ru

5.2. principe de superposition

Pour un nombre n de particules en interaction, on peut écrire:

est la force résultante exercée sur la particule 1.résF ,1

Quand un objet est très volumineux, il exerce une force gravitationnelle sur une particule qu’on calcul en divisant cette masse en petits éléments dm qui exercent sur la particule la force gravitationnelle , et on somme sur tous ces éléments.

gFd

5.3. La force gravitationnelle d’une distribution sphérique de masse

R

R.sinq

q

dq

R.dq

R.sin .q dj

dq

dj

t

l

l

rc

ff m

AF

BF

B

A

tRddRdVdM ...sin.

dtRdtRdR .sin...2...sin. 22

0

02

2

cos..sin...2..

l

dtRmGdFF

Dans cette expression, il y a trois variables dépendantes les unes des autres: l, j et q . Il faut donc en exprimer deux en fonction de la troisième.

Pour le triangle CmA, on peut écrire que:

En utilisant les deux expressions on obtient:

rR

dlld

rR

lRr

2

.2.sin

2cos

222

dll

Rr

r

RtGmdF .1....

2

22

2

Si on remplace tous:

En intégrant entre l = r-R et l = r+R:

5.3. Les planètes et les satellites: les lois de Kepler

q

RaRp

ea ea

a

M

m

F’F

2. La loi des Aires: Une droite joignant une planète au soleil balaie des aires égales dans le plan de l’orbite durant des intervalles de temps égaux: c’est-à-dire que le taux dA/dt auquel elle balaie l’aire A est constant

r

dq

r.dq

dA

qSoleil

p p

DA est approximativement l’aire d’un triangle de base rDq et de hauteur r

Cette expression de DA devient plus précise quand Dt tend vers dt

m

L

dt

dA

2Et donc:

Pour obtenir mathématiquement cette loi, considérons une trajectoire circulaire de rayon r ( demi-grand axe).

Or avec T la période du mvt donc:T

rv

2

L’équation s’applique également aux orbites elliptiques en remplaçant r par le demi-grand axe a.

5.4. Les satellites: orbites et énergie

Quand un satellite décrit une orbite elliptique autour de la Terre, le module de sa vitesse donc son énergie cinétique et sa distance à la Terre donc son énergie potentielle fluctuent. Cependant, son énergie mécanique reste constante.

5.4.1. Energie potentielle

r

mGMrE sT

p

5.4.3. Energie mécanique

5.4.2. Energie cinétique

CstEr

mGMrrmrE sT

sm 0222.

2

1

5.4.3. Nature de trajectoire

20

rm

L

d

dr

d

drr

r

dtddt

dr

d

dr

s

Car

0

2

22

20

0222

11

2

.2

1

Er

mGM

d

dr

rrm

L

Er

mGMrrmrE

sT

s

sTsm

On remarque que:

Donc pour simplifier on pose :

0.22 2

220

d

dumGM

d

duu

dt

ud

d

du

m

LsT

s

En dérivant /q

Equation linéaire du 2e ordre à coefficients cst avec 2e membre=> sol. générale:

20

2

0cosL

mGMAu sT

2

20

2

20

sT

sT

mGM

ALe

mGM

Lp

avec

Ou bien:

2

0

02

22

airesdesconstante

totaleénergie

.2

1;

rC

E

EmGM

Cme

mGM

Cmp

sT

s

sT

s

p

F1 O

Pb

a c

a(1+e)

a(1-e)

qApogée Périgée

Le demi-grand axe a dépend de l’énergie totale E0

Avec E0 <0

Le demi-petit axe b dépend du moment cinétique L0 et de E0

Périhélie Aphélie

Excentricité

Energie mécanique totale