CALCUL INTÉGRAL
Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition
SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT
Chapitre 4 : Séries infinies
Adaptation Vincent Godbout
Hughes Boulanger
Exercices 4.1 page 643
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.1 - Suites et limites de suites
1. 163-
441 ,
92-
331 ,
41-
221 ,0
111
24232221 =−
==−
==−
==−
= aaaa
2. 241
!41 ,
61
!31 ,
21
!21 ,1
!11
4321 ======== aaaa
3. ( ) ( ) ( ) ( )71-
181- ,
51
161- ,
31-
141- ,1
121- 5
4
4
3
3
2
2
1 =−
==−
==−
==−
= aaaa
4. 21
22 ,
21
22 ,
21
22 ,
21
22
5
4
44
3
33
2
221 ======== aaaa
5. ( ) ... ,2,1pour ,1- 1 == + na n
n 6. ( ) ,1- 21na n
n+= pour ... ,2 ,1=n
7. ... ,2,1pour ,12 =−= nnan 8. ,4−= nan pour n = 1, 2, ... 9. ... ,2,1pour ,34 =−= nnan 10. an = 4n − 2, pour ... ,2 ,1=n
11. ( ) ... ,2,1pour ,21-1 1
=+
=+
nan
n
644 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
12. ( )
,2
211-
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
=
n
n
na pour ... ,2 ,1=n
13. ,1631
21 ,
815
21 ,
47
21 ,
23
21 ,1 445334223121 =+==+==+==+== aaaaaaaaa
5121023
21
,256511
21 ,
128255
21 ,
64127
21 ,
3263
21
9910
889778667556
=+=
=+==+==+==+=
aa
aaaaaaaa
14. ,!4
1241
4 ,
61
3 ,
21
2 ,1 3
42
31
21 ========aaaaaaa
5 64
5 6 7
7 8 98 9 10
1 1 1, , , 5 5! 6 6! 7 7!
1 1 1, , 8 8! 9 9! 10 10!
a aaa a a
a a aa a a
= = = = = =
= = = = = =
15. ( ) ( ) ( ) ( ) ,81
21- ,
41-
21- ,
21-
21- ,1
21- ,2 4
5
53
4
42
3
31
2
21 =⋅
==⋅
==⋅
==⋅
==aaaaaaaaa
( ) ( ) ( ) ( )
( )2561
21-
,128
12
1- ,641-
21- ,
321-
21- ,
161
21-
910
10
89
97
8
86
7
75
6
6
=⋅
=
=⋅
==⋅
==⋅
==⋅
=
aa
aaaaaaaa
16. ,21-
43 ,
32-
32 ,1-
21 ,2- 3
42
31
21 =====⋅
==aaaaaaa
.51-
109 ,
92-
98 ,
41-
87
,72-
76 ,
31-
65 ,
52-
54
910
89
78
67
56
45
======
======
aaaaaa
aaaaaa
Exercices 4.1 page 645
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
17. ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 34523412321 =+==+==+=== aaaaaaaaaaa
55 ,34
,21 ,13 ,8
8910789
678567456
=+==+=
=+==+==+=
aaaaaa
aaaaaaaaa
C'est la suite bien connue des nombres de Fibonacci.
18. ,21 ,
21- ,1- ,2
2
34
1
2321 ======
aaa
aaaaa
.21 ,
21- ,-1
,2 ,2- ,1-
8
910
7
89
6
78
5
67
4
56
3
45
======
======
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
19. a) Pour ( ) ( ) ,2 ,2 xxfaxxf =′−= de sorte que
( )( )
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
+=
+−=
−−=
′−=+
nn
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
nnn
xax
xax
xax
xaxx
xaxx
xfxfxx
21
21
2
22
222
222
1
b) ,732142857,15697
473
47
21 ,
47
232
21 ,2
131
21 ,1 3210 ≈=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +== xxxx
7320508,1
776 855 408977 158 708
864 10817 813
864 10817 18
21
,73205081,1864 10817 18
56973
5697
21
5
4
≈=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
≈=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
x
x
Nous constatons que 54 et xx sont identiques. La suite des xn semble donc
converger vers 1,73205081, qui est une approximation de .3
Ce résultat est tout à fait logique puisque nous obtenons un des zéros de ( ) ,32 −= xxf
soit ,3 l'autre zéro étant .3-
646 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. ,5,112+1
21 , 1 10 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡== xx
,416666667,11217
5,125,1
21
2 ≈=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=x
,215686414,1408577
12172+
1217
21
3 ≈=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=x
,135624142,1832 470857 665
4085772
408577
21 4 ≈=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=x
.135624142,1832 470857 665
2832 470857 665
21
5 ≈⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=x
La suite des nx semble converger vers 414213562,1 qui est une approximation de ,2 un
des zéros de ( ) .22 −= xxf 21. a) Il s'agit de la fonction ( ) .22 −= xxf
Nous avons ,408577
12171
21217 ,
1217
231
223 ,
23
11
21 ,1 3210 =+==+==+== xxxx
.414213562,1832 470857 665
4085771
2408577
4 ≈=+=x
La suite de nombres converge vers ,2 qui est un des deux zéros de la fonction
( ) .22 −= xxf
b) Il s'agit de la fonction ( ) .1tan −= xxf
,7881802928,0
sec1tan ,8372778683,0
1sec11tan1
,1 avons Nous
121
1221
0
≈−
−=≈−
−=
=
xxxxx
x
,7853981635,0sec
1tan ,785405918,0sec
1tan
323
342
22
23 ≈−
−=≈−
−=x
xxxx
xxx
.7853981634,0sec
1tan 4
24
45 ≈−
−=x
xxx
La suite de nombres converge vers ,7853981634,04 ≈π qui est le zéro de la fonction
( ) .1tan −= xxf
Exercices 4.1 page 647
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
c) Pour que ( )( )n
nnn xf
xfxx′
−=+1 prenne la forme ,11 −=+ nn xx il faut que ( ) ( )nn xfxf =′ quel
que soit .nx Or la seule fonction dont la dérivée est égale à elle-même est ( ) .xexf =
Il s'agit donc de cette fonction.
Nous avons -2,1-1 -1,10 ,011 ,1 3210 =−==−==−== xxxx etc. La suite de
nombres diverge. De toute façon, la fonction ( ) xexf = n'admet pas de zéro. 22. a) ,302306540,11cos1 , 1 21 ≈+== xx
,791601570,1cos 223 ≈+= xxx
.796327570,1cos 334 ≈+= xxx
Ce résultat correspond à l'approximation de 2π à 9 décimales de précision.
b) Après quelques étapes, la somme de l'arc de cercle 1−nx et du segment 1cos −nx
se rapproche très rapidement du quart de cercle. 23. ( ) ( ) 2021,0lim21,02lim =+=+=+
→∞→∞
n
n
n
n
(Voir la Table 4.1.1, numéro 4). La suite converge vers 2.
24. ( ) ( ) 11-1lim1-lim =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
+→∞→∞ nn
n n
n
n
n
La suite converge vers 1.
25. -122-
21
21
lim2121lim ==
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+−
∞→∞→
n
nnn
nn
La suite converge vers -1.
648 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26. -515-
81
51
lim8
51lim4
34
4
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=+
−∞→∞→
n
nnn
nnn
La suite converge vers -5.
27. ( )( )2 1 12 1lim lim lim 11 1n n n
n nn n nn n→∞ →∞ →∞
− −− += = − = +∞
− −
La suite diverge.
28. ( )( )2
3 3 1lim lim lim 03 2 25 6n n n
n nn n nn n→∞ →∞ →∞
+ += = =
+ + ++ +
La suite converge vers 0. 29. ( ) 2111-1 =+→+= n
na lorsque n est pair et ( ) 0111-1 =−→+= nna lorsque n est impair.
Il s'ensuit que nna
∞→lim n'existe pas et que la suite diverge.
30. ( ) 111111- =⋅→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
na n
n lorsque n est pair et
( ) 1-11-111- =⋅→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
na n
n lorsque n est impair.
Il s'ensuit que nna
∞→lim n'existe pas et que la suite diverge.
31. 1 1 1 1 11 12 2 2n
nan n n n+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1 1 1 1 1lim lim 1 12 2 2 2nn n
an n→∞ →∞
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
La suite converge vers .21
Exercices 4.1 page 649
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
32. ( ) 012
1-lim1
=−
+
∞→ n
n
n
La suite converge vers 0.
33. ,211
2lim1
2lim =+
=+ ∞→∞→
nn
nnn
d'où .21
2→
+nn
En prenant ( ) 2et == Lxxf dans le contexte du théorème 4.1.7, nous obtenons
.21
2→
+nn
La suite converge vers 2 .
34. 2
12
lim ππ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→ nn
En prenant ( ) 2=et sin πLxxf = dans le contexte du théorème 4.1.7, nous obtenons
.12
sin12
sin =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ππn
La suite converge vers 1.
35. Puisque .1sin1- ,1sin1-nn
nn
n ≤≤≤≤
Comme ,01et 01-→→
nn la suite 0sin
→n
n en vertu du théorème du sandwich.
36. Puisque .21
2sin01sin0 1sin1-
22 et , nn
nnn ≤≤≤≤≤≤ Et puisque ,021lim =
∞→ nn la suite 0
2sin 2
→nn en
vertu du théorème du sandwich pour les suites (Voir le théorème 4.1.2).
650 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. La fonction ( ) xxxf
2= est définie pour tout x et coïncide avec la suite n
n2
pour x
entier positif. Il s'ensuit que 02ln2
1lim2
lim2
lim =⋅
==→∞→∞→∞ xnxnnn
xn (application de
la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).
La suite converge vers 0.
38. La fonction ( ) ( )x
xxf 1ln += est définie pour tout 0>x et coïncide avec la suite ( )
nn 1ln + pour n
entier positif.
( ) ( )1
ln 1 ln 1 1Il s'ensuit que lim lim lim 12
22 2 0lim lim lim 0
11 1 1 11
n n n
x x x
n x xn x
x
xx xx
x xxx
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ →∞
+ + += =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = =
+ +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
(application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).
La suite converge vers 0.
39. ∞=∞
==→∞
→∞
→∞ 1lim
lnlimlnlim 11 n
n
nnn n
n
nn
(Voir la Table 4.1.1, numéro 2).
La suite diverge.
Note : Nous pouvons démontrer, en utilisant un raisonnement par l'absurde analogue
à celui qui est utilisé à l'exemple 8, page 257, que le quotient d'une série divergente
par une série convergente est une série divergente.
Exercices 4.1 page 651
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
40. ( )lim ln ln 1 lim ln1n n
nn nn→∞ →∞
⎛ ⎞⎡ ⎤− + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠
Or, , lorsque 11
∞→→+
nn
n de sorte que 01ln1
ln =→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+nn (Voir le théorème 4.1.3).
La suite converge vers 0.
41. 771lim en
n
n=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→ (Voir la Table 4.1.1, numéro 5).
La suite converge vers .7e
42. 1-)1-(1lim11lim enn
n
n
n
n=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→∞→ (Voir la Table 4.1.1 numéro 5).
La suite converge vers .1-e 43. ( ) 111lim10lim10lim10lim 111 =⋅=⋅==
→∞→∞→∞→∞
n
n
n
n
n
nn
nnnn (Voir la Table 4.1.1, numéros 3 et 2).
La suite converge vers 1. 44. ( ) ( )1 22 2 1lim lim lim
nn n
n n nn n n
→∞ →∞ →∞= =
Or, 1lim 1n
nn
→∞= (Voir la Table 4.1.1, numéro 2), de sorte que ( ) ( )221 1 2lim lim 1 1n n
n nn n
→∞ →∞= = =
selon le théorème 4.1.7.
La suite converge vers 1.
45. .111
lim
3lim3lim 1
11
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→∞
→∞
→∞ n
n
n
nn
n nn (Voir la Table 4.1.1 numéros 3 et 2).
La suite converge vers 1.
652 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
46. Posons .4+= nm Alors ( ) ( )1 4 1lim 4 lim 1n m
n mn m+
→∞ →∞+ = = (Voir la Table 4.1.1, numéro 2).
La suite converge vers 1.
47. ( ) ( )1 1 1 1lim 4 lim 4 lim 4 lim 4 lim 4 1 4n nn n n n n n
n n n n nn n n n
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦
(Voir Table 4.1.1, numéro 2). La suite converge vers 4.
48. ( )2 1 /2 1 2 1 2 1 1lim 3 lim 3 lim 3 lim 3 3 9 lim 3 9 1 9n nn n n n n
n n n n n
++ +
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞= = = ⋅ = = ⋅ = (Voir la Table 4.1.1,
numéro 3).
La suite converge vers 9.
49. Pour tout n, ( ) .1...
1...321!0nnnnnn
nnnn
n ≤⋅⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅⋅=≤
Comme 0!lim ,01limet 00lim ===∞→∞→∞→ nnnn n
nn
d'après le théorème du sandwich.
La suite converge vers 0.
50. ( ) 0!
4-lim =∞→ n
n
n (Voir la Table 4.1.1, numéro 3).
La suite converge vers 0.
51. ( )
∞=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
→∞→∞
!10
1lim10
!lim66
n
nnnnn
(Voir la Table 4.1.1, numéro 6).
La suite diverge.
52. ∞=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⋅ →∞→∞
!61lim
32!lim
n
nnnnnn
(puisque 0!
6lim =∞→ n
n
n selon la table 4.1.1, numéro 6).
La suite diverge.
Exercices 4.1 page 653
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
53. Soit ( )
.1 ln1 n
n na ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Alors .limlimlimet -1ln
ln1ln1lnln1ln 1-1-ln eeea
nn
nna
n
a
nnnnn ====
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
∞→∞→∞→
La suite converge vers .-1e
54. en
n
n=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
11lim (Voir la table 4.1.1, numéro 5). Nous avons donc, selon le théorème 4.1.3,
.1ln11limln11lnlim ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→∞→e
nn
n
n
n
n
La suite converge vers 1.
55. Soit .1313 n
n nna ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=
Alors ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⋅=1313lnln
nnnan .
11313ln
lim1313lnlimlnlimet
nnn
nnna
nnnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⋅=→∞→∞→∞
Puisque 133lim
1313lim ==
−+
→∞→∞ nn nn (règle de L'Hospital, forme ∞∞ ),
,01ln1313limln
1313lnlim ==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
→∞→∞ nn
nn
nn de sorte que la règle de L'Hospital s'applique de
nouveau (forme 00 ) à la limite du quotient :
( ) ( )
( ) .32
96
196lim-
193939lim
1-13
313
3
lim1
13ln13lnlim1
1313ln
limlnlim
2
22
2
2
==−
=⋅−
−−−=
−−
+=−−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=
→∞→∞
→∞→∞→∞→∞
nnn
nnn
nnn
nnn
nnn
a
nn
nnnnn
Il s'ensuit que .limlim 32lnlimln eeea nnnaa
nnn=== ∞→
∞→∞→ La suite converge vers .32e
654 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
56. ( )
1-1
111lim
1lim
111lim
1lim e
ennnn
n
n
n
nn
n
n
n==
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+∞→
∞→
∞→∞→ (Voir la table 4.1.1, numéro 5).
La suite converge vers .1-e
57. ( )( ) ( )
n
nn
nnnn
n nx
nx
nx
nxa
1
11
11
121
121212⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅=
+=
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
( )nnx
nnx
nxa
n
n12lnln
121ln1ln
121lnln
1 +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅=
et ( ) ( )nnx
nxxa
nnnnn
12lnlimlnlim12lnlnlimlnlim +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
−=∞→∞→∞→∞→
xxn
xnx
n
nnnn
ln0lnlim12
2limlnlim1
122
limlnlim
=−=+
−=+−=
∞→
∞→∞→∞→∞→
Finalement, .limlim lnlnlimln xeeea xaa
nnn
nnn ==== ∞→
∞→∞→
La suite converge vers x, où .0>x
58. La fonction ( )x
xxf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 2
11 est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2
11 pour n
entier positif.
Or, x
x x⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→ 211lim est de la forme indéterminée .1∞
Si nous posons ,11 2
x
xy ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= alors
2
2
1ln 11ln ln 1
1xy x
xx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
et
22 322
2 2 3
2 2
1 21ln 121 1lim ln lim lim lim -
1 1 1
-2 -2 0lim lim 011 -1
x x x x
x x
xx xxy xx x x x
x xx x
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
⎛ ⎞ ⋅−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = = ⋅ ⋅− −
= = = =−
(règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).
Exercices 4.1 page 655
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
(application de la règle de L'Hospital, cas 00 ).
Il s'ensuit que 1lim 0 ==∞→
eyx
(Voir le théorème 4.1.3).
La suite converge vers 1.
59. 0!
36lim!2
63lim - ==⋅
⋅∞→∞→ nn
n
nn
nn
n (Voir la Table 4.1.1, numéro 6).
La suite converge vers 0.
60. La fonction ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
xxxxf 1sin
12
2
est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− nnn 1sin
12
2
pour n entier positif.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
22
2 2 2 3
cos 1 -1sin 1 sin 1 -cos 11 -1 1 lim sin lim lim lim lim .2 1 2 1 2 22 1 -2 2 -2 2-Or,
x x x x x
x xx x xxxx x xx x x x x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⋅⎛ ⎞ = = = = = =⎜ ⎟ −− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(application de la règle de L'Hospital, cas 0 0 ).
La suite converge vers 21 .
61. .2
tan lim π=
→∞narc
n
La suite converge vers .2π
62. .02
0tan lim1limtan 1lim =⋅=⋅=⋅→∞→∞→∞
πnarcn
narcn nnn
La suite converge vers 0.
63. 0002
131lim
2
131lim =+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→∞→
nn
nn
n
n (Voir la Table 4.1.1 numéro 4).
La suite converge vers 0.
656 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
64. La fonction ( ) x xxxf += 2 est définie pour tout 1≥x et coïncide avec la suite n nn +2 pour n
entier positif.
( ) x
x
x
xxxxx
122 limlim Or, +=+→∞→∞
est de la forme indéterminée .0∞
Si nous posons ( ) ,12 x
xxy += alors ( ) ( )22
ln1ln lnx x
y x xx x
+= + = et
( ) ( ) 012
2lim121limlnlimlnlim 2
2
=+
=+⋅+
=+
=→∞→∞→∞→∞ x
xxxx
xxyxxxx
(applications répétées de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).
Il s'ensuit que 1lim 0 ==∞→
eyx
(Voir le théorème 4.1.3).
La suite converge vers 1. 65. Comme le numérateur et le dénominateur de na tendent tous deux vers l'infini lorsque ,∞→n
la règle de L'Hospital nous permet d'écrire ( ) ( )45
15 lnlnlim lim 1
2n n
nn nn
n→∞ →∞
⋅=
( ) ( )4 45 ln 10 lnlim 2 lim .n n
n nn
n n→∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥⎣ ⎦
Par applications successives de la règle de L'Hospital,
nous obtenons :
( ) ( ) ( ) ,ln80lim
21
1ln410limln10lim
33
4
nn
n
nn
nn
nnn →∞→∞→∞=
⋅⋅=
puis
( ) ,ln480lim2
nn
n ∞→
puis
( )n
nn
ln1920lim→∞
et enfin,
Exercices 4.1 page 657
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
.03840lim =→∞ nn
La suite converge vers 0.
66. ( ) ( ) ( )2 222 2
2 2lim lim limn n n
n n nn n nn n n n n nn n n n n n→∞ →∞ →∞
− −+ −− − = − − ⋅ =
+ − + −
( )2 2
1 1lim lim lim .21 1 11 1n n n
n nnn n n n n n→∞ →∞ →∞
= = = =+ −+ − + −
La suite converge vers .21
67. Nous procédons par essais et erreurs, en tentant de cerner la première valeur n pour laquelle
-310 15,0 <−n . Notre recherche nous a fait essayer les valeurs suivantes de n : 100, 200, 400,
600, 700, 690, 693, 692.
Comme l'inégalité est respectée pour la première fois pour ,693=n nous savons qu'en
choisissant ,692=n l'inégalité sera respectée pour tout .Nn >
La suite .1lim .5,0 ===→∞ nn
nn aLa
68. 9123=N La suite .n
n na = 1lim ==∞→ nn
aL
69. 65=N La suite ( ) .0lim .9,0 ===
→∞ nn
nn aLa
70. 14=N La suite .!
2nn 0lim ==
→∞ nnaL
71. Posons ( ) .113
++
==nnanf n
Alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2
3 1 3 1 13 1 3 3 3 1 2 01 1 1 1
x xd x x xf xdx x x x x
+ − + ⋅+ + − −⎛ ⎞′ = = = = >⎜ ⎟+⎝ ⎠ + + + pour tout .1≥x
658 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par conséquent, f est une fonction croissante, c'est-à-dire que ( ) ( ),1 nfnf ≥+ ou encore nn aa ≥+1
pour tout .1≥n La suite est donc non décroissante.
De plus, ( )3 13 1 3 3 3,1 1 1
nn nn n n
++ +< = =
+ + + de sorte que la suite est bornée supérieurement entre
autres par 3=M .
72. ( )( )2 3 !
1 !nn
an
+=
+
La forme de la suite se prête bien à une définition par récurrence.
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )( )
( )( ) ( )
1
2 1 3 ! 2 5 ! 2 5 2 4 2 3 !En effet,
1 1 ! 2 ! 2 1 !
2 5 2 42 2 5 .
2
n
n n
n n n n na
n n n n
n na n a
n
+
+ + + + + += = =
+ + + + +
+ += ⋅ = +
+
Pour ,1≥n ( ) ,1522 >+n de sorte que .1 nn aa >+ La suite est donc non décroissante.
De plus, ( )( )2 3 !
lim ,1 !n
nn→∞
+= ∞
+ donc la suite n'est pas bornée supérieurement.
73. !
6!32
nna
nnn
n ==
La forme de la suite se prête bien à une définition par récurrence (puissance au numérateur et
factorielle au dénominateur).
En effet, ( ) ( )
1
16 6 6 6 6 6 .
1 ! 1 ! 1 ! 1
n n n
n na an n n n n n
+
+⋅
= = = ⋅ = ⋅+ + ⋅ + +
Pour 165, 1 et ,
1 n nn a an +> < <
+ de sorte que la suite n'est pas non décroissante.
Nous venons de voir que pour n > 5, la suite { }na est décroissante.
Nous constatons sans difficulté que na atteint un maximum pour .5a
En effet, .8,64et 54 ,36 ,18 ,6 54321 ===== aaaaa
La suite est donc bornée supérieurement par 64,8, entre autres.
Exercices 4.1 page 659
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
74. nnnn nnaa
2122
21
122 11 −−≥−+
−⇔≥ ++
( )( )
( ) 1
1
21-
12
121
21
1212
21
21
122
+
+
≥+
⇔
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −≥
+−+
⇔−≥+
−⇔
n
nnn
nn
nnnn
nn
Comme cette dernière inégalité est vraie pour tout n, il en résulte que nn aa ≥+1 pour tout n.
La suite est donc non décroissante.
Par ailleurs, 22122 ≤−− nn
pour tout n. La suite est donc bornée supérieurement par 2, entre
autres.
75. n
an11−= converge, puisque
nn nn
1lim111lim∞→∞→
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − et que 01lim =
→∞ nn
(Voir l'exemple 2. a), page 259).
Nous pourrions aussi utiliser la justification suivante : n11− est une suite non décroissante
bornée supérieurement par 1. Par conséquent, elle converge.
76. ,1lim ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→∞ nn
n donc la suite diverge.
77. .211
212
nn
n
na −=−
= Comme nn1
210 << et que 01
→n
(Voir l'exemple 2. a), page 259),
021
→n en vertu du théorème du sandwich. Par conséquent n
n
212 − converge vers 1.
78. 00031lim
32lim
312lim =−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −∞→∞→∞→
n
n
n
nn
n
n (Voir la Table 4.1.1, numéro 4).
La suite converge.
660 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
79. 0=na pour n impair et 2112 →⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nan pour n pair. Il n'existe pas de nombre L satisfaisant la
définition de convergence vers L, et la suite diverge. 80. ( ){ }nnxn cos ,1cos ..., ,3cos ,2cos ,1cosmax −= et ( ){ },1cos ,cos ..., ,3cos ,2cos ,1cosmax1 +=+ nnxn
d'où nn xx ≥+1 : la suite est non décroissante.
De plus 1≤nx de sorte que la suite est bornée supérieurement par 1.
Il s'ensuit que la suite converge (Voir le théorème 4.1.11).
81. n
an11+= converge, puisque
nn nn
1lim111lim→∞→∞
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + et que 01lim =
→∞ nn
(Voir l'exemple 2. a), page 259)
82. 1 2 1 2 1lim lim lim lim lim 2n n n n n
n nnn n n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
+= + = +
Or 01lim =→∞ nn
(Voir l'exemple 2, page 259), d'où 001lim ==→∞ nn
(Voir le théorème 4.1.3).
De plus, 22lim =∞→n
(Voir l'exemple 2, page 259).
Il s'ensuit que .22021lim =+=+
→∞ nn
n
La suite converge vers .2
83. ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⋅−=
−∞→∞→∞→
-221lim
2221lim
241lim n
nnn
nn
nnn
n
La suite diverge.
84. 40443lim4lim
434lim
434lim
1
=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
+→∞→∞→∞
+
→∞
n
nn
n
nn
nn
n (Voir l'exemple 2, page 259
et la table 4.1.1, numéro 4).
La suite converge vers 4.
Exercices 4.1 page 661
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
85. Soit ( ) ( )nink et deux fonctions dont le domaine est l'ensemble des entiers positifs, les images sont
des sous-ensembles de l'ensemble des entiers positifs et qui préservent l'ordre. Soit les deux
sous-suites ( ){ } ( ){ } et k n i na a telles que ( ) ( )1, 2 1 2et .k n i na L a L L L→ → ≠
Puisque ( ) ,1La nk → pour tout 0>ε il existe un entier positif 1N tel que
( ) ( ) . 11 ε<−⇒> LaNnk nk
De même, puisque ( ) ,2La ni → pour tout ,0>ε il existe un entier positif 2N tel que
( ) ( ) . 22 ε<−⇒> LaNni ni
Soit { }. ,max 21 NNN = Alors pour , et , 21 εε <−<−> LaLaNn nn d'où 1Lan →
et ,2Lan → où .21 LL ≠ Comme la limite d'une suite convergente est toujours unique
(Voir le numéro 100 de la présente section d'exercices), an ne peut converger de sorte qu'elle
diverge.
86. Puisque ,2 La k → pour tout ,0>ε il existe un entier 1N tel que ε<−⇒> 2 21 LaNk k
De même, puisque ,12 La k →+ pour tout ,0>ε il existe un entier 2N tel que
. 12 122 ε<−⇒>+ + LaNk k
Soit { }. ,max 21 NNN = Alors ε<−⇒> LaNn n pour n pair ou impair, d'où .Lan → 87. a) 1223 -1;121 2222 =⋅−=⋅−
Plus généralement, ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 4 2 - 2a b a b a ab b a ab b a b+ − + = + + − − − = +
( )2 2- 2 ,a b= − de sorte que si -1,2 22 =− ba alors ( ) ( ) 122 22 =+−+ baba et que si
1,2 22 =− ba alors ( ) ( )2 22 2 -1.a b a b+ − + =
b) ( )( )
22
2
22 2n
a br
a b
+− = −
+
662 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
2 2
2
2
2 2
- 2
1
n
a b a b
a b
a b
a b
y
+ − +=
+
−=
+
±=
d'où .122
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
nn y
r
Par ailleurs, y1 =1, y2 = 2, d'où nyn ≥ dans ces deux cas. De plus, 212 −− += nnn yyy
pour .3≥n Si nous arrivons à démontrer que ( 2et 1 21 −≥−≥ −− nyny nn ) ,nyn ≥⇒ nous
aurons démontré que nyn ≥ pour tout n positif, du fait que .2et 1 21 ≥≥ yy
Or, si 1 21 et 2,n ny n y n− −≥ − ≥ − alors ( )1 22 2 1 2 2 4 ,n n ny y y n n n n n− −= + ≥ − + − = + − ≥
puisque .0423 >−⇒≥ nn
Finalement ,11et 11 22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤⇒≥
nynyny
nnn d'où ,212limlim
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
∞→∞→ nnnn yr
puisque .01→
n
88. a) Posons .1n
x =∆
Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0lim lim 1 lim lim 0 .nn n x x
f x f x fa nf n f
x x+ +→∞ →∞ ∆ → ∆ →
∆ + ∆ −′= = = =
∆ ∆
b) Posons ( ) ,tan xarcxf = une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .00tan 0 == arcf
Alors ( ) 21 1lim tan 0 1.
1 0nn arc f
n→∞
⎛ ⎞ ′= = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠
c) Posons ( ) ,1−= xexf une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .010 0 =−= ef
Alors ( ) ( ) .101lim 01 ==′=−∞→
efen n
n
d) Posons ( ) ( )ln 1 2 ,f x x= + une fonction dérivable sur [ ]0, 1 et telle que ( ) .01ln0 ==f
Alors ( ) .2221
1021ln lim0
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
+=′=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=→∞ xn x
fn
n
Exercices 4.1 page 663
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
89. a) Si a est un entier positif impair, alors a peut s'écrire sous la forme ,12 +n où n est un
entier 0≥ .
( )22 2
2 2
2 1 4 4 12 2 2
12 2 2 2 et 2
na n nb
n n n n
⎡ ⎤⎡ ⎤ + ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
( )222 22 1 12 2 2 2 1,
2 2 2nac n n n n
⎡ ⎤⎡ ⎤ + ⎡ ⎤⎢ ⎥= = = + + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
de sorte que ( ) ( )222 2 2 2 4 3 22 1 2 2 4 4 1 4 8 4a b n n n n n n n n+ = + + + = + + + + +
( ) .12214884 222234 cnnnnnn =++=++++=
b)
2
2
22
2 2 2lim lim 12 2 1
2
a a
an n
n na→∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥
+⎣ ⎦ = =⎡ ⎤ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
(règle de L'Hospital, cas ∞∞ ),
ou encore
2
2 2
2lim lim sin 1.
2
a θ π
a
θa→∞ →
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
En effet, lorsque 2 , πθ →∞→a puisque 2
2ab
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
augmente plus vite que a.
90. a) ( ) ( )n
nn 212lim π
∞→ entraîne la forme indéterminée .0∞ Si nous posons ( ) ( ),2 21 nny π=
alors ( ) ( )ln 21ln ln 2 2 2
nπy nπ
n n= = et ( )
1 2ln 2 12lim ln lim lim lim 02 2 2n n n n
πnπ nπyn n→∞ →∞ →∞ →∞
⋅= = = =
(application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ ).
Il s'ensuit que ( ) ( )1 2 0lim 2 1n
nnπ e
→∞= = (Voir le théorème 4.1.3).
Selon l'approximation de Stirling, ,2! πnenn
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈ de sorte que
664 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( ).22! 211
21 nnn
n nenn
enn ππ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
b) Comme ( ) ( )ennn nn
n≈=
∞→! ,12lim 21π pour n suffisamment grand.
n n n! en
40 15,76852702 14,71517765
50 19,48325423 18,39397206
60 23,1918961 22,07276647
69 26,52596034 25,38368144
91. a) 1
1
limlnlim −∞→∞→
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= cncn ncn
nn (application de la règle de L'Hospital, cas ∞∞ )
.0011lim1 1lim =⋅=⋅==
∞→∞→ cncnc cncn
b) Si ,04,0et 001,0 == cε on veut ,001,0104,0 <
n soit ( ) ,
001,01lnln ,
001,01 04,004,0 >> nn
( ) ( ) ( )( )-ln 0,001 0,04 75-ln 0,0010,04ln -ln 0,001 et ln , et 1 10 .
0,04n n n e> > > ≈ × En prenant
,101 75×=N nous serons donc assurés que pour .001,0 01 , 04,0 <−>n
Nn
Plus généralement, pour tout ,0>ε il existe un ( ) ceN εln-= tel que si ,Nn > alors
,ln-lnc
n ε> d'où ε
εεε <>⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛>> c
cc
nnnnc 1 ,1 ,1lnln ,ln-ln et finalement . 01 ε<−cn
Il s'ensuit que .01lim =∞→ cn n
92. Supposons que les suites { }na et { }nb convergent toutes deux vers L.
Définissons une nouvelle suite { }nc telle que nnnn acbc == −122 et pour ... ,3 ,2 ,1=n
Exercices 4.1 page 665
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour tout ,0>ε il existe un entier 1N tel que ε<−⇒> 1 LaNn n et il existe un entier
2N tel que . 2 ε<−⇒> LbNn n Soit { }1 2max , .N N N=
Alors ,etn nn N a L ε b L ε> ⇒ − < − < de sorte que , 2 ε<− Lc n c'est-à-dire qu'à partir
du ( )e2n terme de la suite { },nc tous les termes sont à une distance de L inférieure à .ε
Il s'ensuit que la suite { }nc converge vers L.
93. a) ( )1 1 1ln lim lnln1lim lim lim limn
nn nnnn n n
n n n nn n e e e →∞
→∞ →∞ →∞ →∞= = = =
Or 1
1 lnlim ln lim lim1n n n
n nnn n→∞ →∞ →∞
⋅ = = (règle de L'Hospital, cas ∞∞ ) .0=
Il s'ensuit que .1lim 0 ==∞→
ennn
b) ,1limlimlim 0lnlimln1limln1
ln1 1====== ∞→∞→
⋅⋅
∞→∞→∞→eeeeex n
xxn
xn
n
x
n
n
nnn
n puisque x demeure
constante lorsque .∞→n 94. Nous devons démontrer que pour tout ,0>ε il existe un entier N tel que . 0 ε<−⇒> nxNn
Comme 1 1 lorsque nε n→ → ∞ (Voir la Table 4.1.1, numéro 3), alors que 1 <x par hypothèse, il
existe un entier N tel que . 1 xN >ε Autrement dit, ( )1 .NNN Nx x ε ε= < =
Ce N est l'entier recherché, puisque si ,1 <x alors n Nx x< pour tout .Nn >
Il s'ensuit que ε< nx pour tout ,Nn > d'où lim 0.n
nx
→∞=
95. ln 1 ln 1 lim ln 1
lim 1 lim lim
n
n
x x xn n nn n n
n n n
x e e en
→∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞+ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Or
2
2
1 -
ln 1 1lim ln 1 lim lim
1 -1n n n
xx x n
x n nnn n n→∞ →∞ →∞
⋅⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⋅ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
(règle de L'Hospital, cas ∞∞ )
666 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
.1
1lim x
nxx
n=
+=
→∞ Il s'ensuit que .1lim x
n
ne
nx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→
96. Nous savons que, pour tout x, , - nnn xxx ≤≤ de sorte que
- .! ! !
n nnx xxn n n
≤ ≤ Il suffit donc
de démontrer que ,0!
→nx n
puis d'appliquer le théorème du sandwich pour les suites (Voir le
théorème 4.1.2, page 263), pour arriver à démontrer que .0!→nxn
Soit M un entier tel que . xM > Nous avons alors .1
<Mx
Selon le résultat de la table 4.1.1,
numéro 4,
0.n
xM
⎛ ⎞→⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ Concentrons-nous sur les valeurs de n telles que .Mn >
( )( )
( ) facteurs
Nous avons alors
! 1 2 ... 1 2 ... !
.
!!
n n n
n M
n M
nn M M
n
x x xn M M M n M M
x M xMM MM M
−
−
= ≤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅
⎛ ⎞⋅= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Ainsi,
0 .! !
nn Mx xMn M M
⎛ ⎞≤ ≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Comme, par ailleurs, !M
M M
demeure constant lorsque ∞→n et que
0,n
xM
⎛ ⎞→⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ le membre
de droite tend vers 0 et, en vertu du théorème du sandwich,
0,!
nxn
→ d'où 0!
nxn
→ par
une nouvelle application du théorème du sandwich.
97. Supposons que lim limn nn n
a c L→∞ →∞
= = et soit .0>ε Alors il existe un entier 1N tel que
, 1 ε<−⇒> LaNn n c'est-à-dire - ou .n nε a L ε L ε a L ε< − < − < < +
Exercices 4.1 page 667
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De même, il existe un entier 2N tel que , 2 ε<−⇒> LcNn n c'est-à-dire - εε <−< Lcn
.ou εε +<<− LcL n
Si { }1 2max , ,n N N> alors ,n n nL ε a b c L ε− < ≤ ≤ < + de sorte que , ε<− Lbn d'où
lim .nnb L
→∞=
98. Si ,Lan → alors pour tout ,0>δ il existe un entier N tel que pour tout n, . δ<−⇒> LaNn n
Mais si f est continue en L, alors pour tout ,0>ε il existe un 0>δ tel que
( ) ( ) . εδ <−⇒<− LfafLa nn
Il s'ensuit que ( ) ( ) , ε<−⇒> LfafNn n de sorte que ( ) ( ).Lfaf n → 99. Supposons que la suite { }na converge vers L. Alors, d'après la définition de convergence, pour
tout 2ε il existe un entier N tel que pour tout m et tout n, 2
ε<−⇒> LaNm m et
.2
ε<−⇒> LaNn n
Il s'ensuit que εεε=+<−+−≤−+−=−
22 nmnmnm aLLaaLLaaa
pour tout .et NnNm >> 100. Si 21 et LaLa nn →→ alors, pour tout ,0>ε il existe un entier N tel que pour tout n,
. 21 et εε <−<−⇒> nn aLaLNn
Puisque εεε 2 1 21212 =+<−+−≤−+−=− LaaLLaaLLL nnnn la différence 12 LL −
entre les limites 21 et LL est plus petite que n'importe quel nombre réel positif .2ε Or, le seul
nombre non négatif à être plus petit que tout nombre positif est le nombre 0, de sorte que
.ou 0 2112 LLLL ==− 101. Supposons d'abord que la suite { }na converge vers 0. Alors, pour tout ,0>ε on peut trouver
un entier N tel que , 0 ε<−⇒> naNn d'où , 0- , , εεε <<< nnn aaa ce qui implique
que { } na converge vers 0.
668 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Supposons maintenant que { } na converge vers 0. Alors pour tout ,0>ε on peut trouver un
entier N tel que , 0 ε<−⇒> naNn d'où , 0- , , εεε <<< nnn aaa ce qui implique
que { }na converge vers 0. 102. a) Nous procédons par essais et erreurs, en tentant de cerner la première valeur n
pour laquelle ( )7,25 0,94 3,5.nnS = <
Par exemple, 1 5 10 11 126,815, 5,32, 3,90, 3,67 3,45.etS S S S S= = = = =
La compagnie Ford aurait mis environ 12 ans à rattraper les entreprises japonaises.
b) Une calculatrice graphique donne 76,11≈x pour .50,3≈y
Nous pouvons obtenir une réponse exacte en résolvant l'équation exponentielle
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) .77,1194,0ln
25,75,3ln25,75,3ln94,0ln
25,75,394,0
5,394,025,7
≈=
=
=
=⋅
n
n
n
n
Exercices réalisés avec Mathématica Rechercher des indications de convergence ou de divergence.
103. a) [ ] na n_ : = n
[ ] { }[ ]
[ ]
[ ]{ }
{ } { } { }
n
j
x
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L = lim a n
j = 2
While Abs j 1 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, x , x, Indice - 5, Indice + 5 , Style rouge, bleu
→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ → ⎤⎣ ⎦
Ici, évaluez n n pour différentes valeurs de n afin de réduire le temps d'attente du test
effectué par Mathematica. Car n est assez grand.
Exercices 4.1 page 669
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]{ }
{ } { } { }
j
x
j = 110000
While Abs j 1 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer 1.0001, x , x, Indice -10, Indice +10 , Style rouge, bleu
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
104. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ]n1a n_ : = 1 +
2n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 2=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
[ ] [ ]{ }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 10, 25 , Style rouge, vert, bleu
While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L +
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]{ } { } { }0.0001, L 0.0001, a n , n, 1800, 3000 , Style rouge, vert, bleu⎡ ⎤− →⎣ ⎦
105. [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ] [ ]a n_ : = Sin n
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 //N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
Donc la suite diverge.
670 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
106. a) [ ]Dessin Valeurs, L, j, a,Nouveau
[ ] 1a n_ : = n Sinn
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 2=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
[ ] [ ]{ }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 3, 5 , Style rouge, vert, bleu
While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]{ } { } { }0001, L 0.0001, a n , n, 20, 50 , Style rouge, vert, bleu⎡ ⎤− →⎣ ⎦
107. a) [ ]Dessin Valeurs, L, j, a,Nouveau
[ ] [ ]Sin na n_ : =
n
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) Il est à remarquer que cette suite n'est pas monotone. 1=j
[ ]{ }
[ ]{ } { } { }
1While Abs L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indicej
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 50, 200 , Style rouge, vert, bleu
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
Exercices 4.1 page 671
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]{ }
[ ]{ } { } { }]
1While Abs L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indicej
Indice
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 9500, 10500 , Style rouge, vert, bleu ,
AspectRatio 0.8
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ − →⎣
→
108. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ] [ ]Log na n_ : =
n
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 1=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
[ ] [ ]{ }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 300, 680 , Style rouge, vert, bleu
j = 100000
While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indic
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦e
Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez!
[ ]{ } { }
{ } ( )
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 115000, 116680 ,
Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8, Image -0.000105, 0.000105
⎡ −⎣
⎤→ → → ⎦
Calculons la valeur de [ ]a n pour la valeur trouvée et la précédente.
[ ][ ]
N a Indice -1 , 25
N a Indice , 25
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
672 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
109. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ] ( )na n_ : = 0.9999
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 1=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
[ ] [ ]{ }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 30000, 47000 , Style rouge, vert, bleu
While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez !
[ ]{ } { }
{ }
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 90000, 93000 ,
Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8
⎡ −⎣
⎤→ → ⎦
110. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ] na n_ : = 123456
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 1=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 1000, 1500 , Style rouge, vert, bleu
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
Évaluez [ ]na pour déterminer une valeur de départ pour le test afin de réduire le
temps d'attente. j = 115000
Exercices 4.1 page 673
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] [ ]{ }While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
Ici, le graphique n'est pas très convaincant. Essayez !
[ ]{ } { }
{ }
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 115000, 118000 ,
Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8
⎡ −⎣
⎤→ → ⎦
[ ]
[ ]
N Abs a Indice L , 25
N Abs a Indice 1 L , 25
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦
111. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ]n8a n_ : =
n!
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= N lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) 1=j
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 20, 30 , Style rouge, vert, bleu
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
[ ] [ ]{ }While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]{ } { }
{ }
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 25, 30 ,
Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8
⎡ −⎣
⎤→ → ⎦
[ ]
[ ]
N Abs a Indice L , 25
N Abs a Indice 1 L , 25
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦
674 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
112. a) [ ]Nouveau a, j, L, Valeurs, Dessin
[ ]( )
41
nna n_ : =19
[ ] { }[ ]
[ ]n
Valeurs = Table a n , n, 1, 25 // N
Dessin = TracerListe Valeurs
L= lim a n→∞
⎡ ⎤⎣ ⎦
b) j =1
[ ] [ ]{ }
[ ]{ } { } { }
While Abs a j L 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
Tracer L + 0.01, L 0.01, a n , n, 55, 70 , Style rouge, vert, bleu
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤− →⎣ ⎦
[ ]
[ ]
N Abs a Indice L , 25
N Abs a Indice 1 L , 25
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] [ ]{ }While Abs a j L 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice
Indice
⎡ ⎤⎡ ⎤− >⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]{ } { }
{ }
Tracer L + 0.0001, L 0.0001, a n , n, 58, 65 ,
Style rouge, vert, bleu , AspectRatio 0.8
⎡ −⎣
⎤→ → ⎦
[ ]
[ ]
N Abs a Indice L , 25
N Abs a Indice 1 L , 25
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎣ ⎦⎣ ⎦
Exercices 4.1 page 675
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Déterminer la convergence de suites définies par récurrence.
113. a) [ ]Nouveau a, L, Dessin, j
[ ]a 1 = 1
La liste des valeurs commencera avec [ ]2a
[ ] [ ] { }
[ ]
{ }
n1Valeurs = Table a n +1 = a n , n, 1, 255
N Valeurs
TracerListe Valeurs, image 1, 2, 1.27
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤→⎣ ⎦
La suite semble converger vers 1.25. Les commandes suivantes permettent de trouver
[ ]a n en fonction de n seulement, ce qui permettra de décider de la convergence de cette
suite. Il faut charger le Package suivant :
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]n
-n
n
DiscreteMath'RSolve'
Nouveau a
1RSolve a n +1 = a n , a 1 = 1 , a n , n5
1 5lim4 4→∞
⟨⟨
⎡ ⎤⎧ ⎫+⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
b) 1j =
[ ]{ }-j1 5 5While Abs 5 0.01, j = j +1, Indice = j, Return Indice
4 4 4
Indice
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞− − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]{ }
-3
-2
-3
1 5 5Abs 54 4 4
1 5 5Abs 54 4 4
1 5 5While Abs 5 0.0001, j = j +1, Indice = j, Return Indice4 4 4
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞− − >⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
676 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] [ ] ( ) [ ]{ } [ ]
-6
-5
n
Indice
1 5 5Abs 54 4 4
1 5 5Abs 54 4 4
RSolve a n +1 = a n -2 , a 1 1 , a n , n
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )[ ] ( )( )[ ][ ]
n
n
n
1lim 1 -23
1f n_ : = 1 -23
f 20
f 50
→∞−
−
114. [ ]Nouveau a, L, Dessin, j
[ ]a 1 = 1
La liste des valeurs commencera avec [ ]2a
[ ] [ ] ( ) { }nValeurs = Table a n +1 = a n -2 , n, 1, 25⎡ ⎤+⎣ ⎦
Le graphique n'est pas adéquat. Les valeurs de la table le sont plus.
{ }TracerListe Valeurs, image -600000, 700000⎡ ⎤→⎣ ⎦
La suite semble converger car elle n'est pas bornée.
[ ]
[ ] [ ] ( ) [ ]{ } [ ]n
Nouveau a
RSolve a n +1 = a n -2 , a 1 = 1 , a n , n⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
Cette suite diverge car les termes d'indice pair et impair tendent vers ∞∞ et -
respectivement.
( )
( )( )
n
n
2n+1
n
1lim 1 431lim 1 23
→∞
→∞
−
+
Exercices 4.1 page 677
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
115. a) [ ]Valeurs L, j, a,Nouveau
[ ]A 0 =1000
[ ] [ ] { }0.02015Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 9912
⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]TracerListe Valeurs
[ ][ ][ ]
A 59
A 200
A 5000
b) [ ]Nouveau A, Valeurs
[ ]A 0 = 5000
[ ] [ ] { }0.0589Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 9912
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]TracerListe Valeurs
[ ][ ]
A 59
A 100
c) [ ]Nouveau A, Valeurs, a
[ ]A 0 = 5000
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] [ ] [ ]
0.045Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n , n, 0, 994
0.045RSolve a n +1 = 1 + a n , a 0 = 5000 , a n , n4
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦
{ }[ ]
nTrouverRacinesIntervalle 5000 1.01125 20000, n, 1, 200
Nouveau A, Valeurs, a
⎡ ⎤∗ =⎣ ⎦
[ ]A 0 5000=
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] [ ] [ ]
0.0625Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n , n, 0, 904
0.0625RSolve a n +1 = 1 + a n , a 0 = 5000 , a n , n4
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦
678 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
{ }nTrouverRacinesIntervalle 5000 1.01563 20000, n, 1, 200⎡ ⎤∗ =⎣ ⎦
d) [ ]Nouveau A, Valeurs, a
[ ]A 0 =1000
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }k
0.02015Valeurs = Table A n +1 = 1 + A n 50, n, 0, 10012
0.02015 12 50 12 50Valeurs = Table A k = 1 + A 0 , k, 0, 10012 0.02015 0.02015
⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤∗ ∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Exercices réalisés avec Maple
103. a) Commandes Maple
restart:
a:=n->n^(1/n):
with(plots):
pointplot({seq([n,a(n)],n=1..25)},symbol=circle,color=black,
symbol=circle);
Limit(n^(1/n),n=infinity)=limit(n^(1/n),n=infinity):
L:=rhs(%);
:= L 1
b) k:=15:
for i from k by 1 while is(abs(a(i)-L)>0.01) do k:=k+1 end
do:` N `=k;
= N 652
Exercices 4.1 page 679
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
k:=115000:
for i from k by 1 while is(abs(a(i)-L)>0.0001) do k:=k+1 end
do:` N `=k;
= N 116678
104. a)
c := L 1.648721271
b) N = 21 et N = 2036
105. a)
106. a)
:= L 1
b) N =15 et N = 41 107. a)
:= L 0
b) N =19 et N = 289
680 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
108. a)
:= L 0
b) N = 648 et N =116672 109. a)
:= L 0.
b) N = 46050 et N = 92099 110. a)
:= L 1
b) N = 46050 et N = 92099
111. a)
:= L 0 b) N =1179 et N = 117243
Exercices 4.1 page 681
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
112. a)
:= L 0
b) N = 59 et N = 61
113. a) Commandes Maple
a[1]:=1:
for i from 1 to 99 do a[i+1]:=evalf(a[i]+1/5^i,6) end do:
seq([`rang `=i,a[i]],i=[1,2,10,25,100]);
with(plots):
pointplot({seq([n,a[n]],n=1..25)},symbol=circle,color=black,
symbol=circle);
[ ], = rang 1 1 [ ], = rang 2 1.20000 [ ], = rang 10 1.24999 [ ], = rang 25 1.24999, , , ,
[ ], = rang 100 1.24999
La suite est bornée inférieurement par 1 et supérieurement par 1.25. Elle est
croissante et elle converge vers 1.25.
b) Commandes Maple
k:=1:
for i from k by 1 while is(abs(a[i]-L)>0.01) do k:=k+1 end
do:` N `=k;
N = 3 et N = 6
682 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
114. a)
La suite n’est pas bornée ni inférieurement ni supérieurement. Elle est divergente.
115. a) Commandes Maple A[0]:=1000:r:=0.02015:m:=12:b:=50:
for i from 0 to 100 do A[i+1]:=evalf((1+r/m)*A[i]+b,6) end
do:seq([`nb de périodes`=k,A[k]],k=1..4);
[`après 60 périodes`=A[60]];
[ ], = nb de périodes 1 1051.68 [ ], = nb de périodes 2 1103.45, ,
[ ], = nb de périodes 3 1155.30 [ ], = nb de périodes 4 1207.24,
[ ] = après 60 périodes( 5 ans) 4259.56
La suite est bornée inférieurement par 1000 mais ne possède pas de borne supérieure.
[ ], = rang 1 1 [ ], = rang 2 -1. [ ], = rang 9 171. [ ], = rang 10 -341., , , ,[ ], = rang 24 -.5592405 107 [ ], = rang 25 .11184811 108,
Exercices 4.1 page 683
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b)
[ ] = après 60 périodes 3229.25
La suite est bornée supérieurement par 1000 et inférieurement par 0.
c) Commandes Maple
A[0]:=5000:r:=0.045:m:=4:b:=0:
for i from 0 to 200 do A[i+1]:=evalf((1+r/m)*A[i]+b,6) end
do:L:=20000: k:=100:
for i from k by 1 while is(A[i]<L) do k:=k+1 end do:` N `=k;
L’investissement atteindra le montant de 20 000$ après 124=N périodes, soit après 31
ans. Si le taux d’intérêt passe à 6.25% il faudra alors 90=N périodes, soit 22.5 ans.
d) Commandes Maple
A[0]:=1000:r:=0.02015:m:=12:b:=50:
for i from 0 to 49 do A[i+1]:=(1+r/m)*A[i]+b end do:
B[0]:=A[0]:
for i from 1 to 50 do B[i]:=(1+r/m)^i*(A[0]+m*b/r)-m*b/r end
do: seq([A[i],B[i]],i=0..10);
Voici la comparaison des 10 premiers termes : [ ],1000 1000 [ ],1051.679167 1051.67918 [ ],1103.445112 1103.44514, , ,
[ ],1155.297981 1155.29802 [ ],1207.237919 1207.23797, ,[ ],1259.265073 1259.26511 [ ],1311.379589 1311.37965, ,[ ],1363.581614 1363.58170 [ ],1415.871295 1415.87139, ,[ ],1468.248779 1468.24886 [ ],1520.714214 1520.71432,
[ ], = nb de périodes 1 4974.55 [ ], = nb de périodes 2 4948.98, ,[ ], = nb de périodes 3 4923.28 [ ], = nb de périodes 4 4897.45,
684 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.2 - Séries infinies 1. Série géométrique de premier terme 2=a et de raison .31=r
( ) ( )( )
( )( )( )( )
2 1 1 313 1 1 3
1 1 1 3
lim lim 3 1 1 3 3,
nnn
n
nnn n
a rs
r
S s→∞ →∞
−−= = = −
− −
= = − =
ou encore ( ) .3311
2lim =−
==→∞ nn
sS
La série converge vers 3. 2. Série géométrique de premier terme 1009=a et de raison .1001=r
( ) ( )( )
( )( )9 100 1 1 1001 1 1 1 100
1 1 1 100 11
nnn
n
a rs
r
−−= = = −
− −
( )( )1 1lim lim 1 1 100 ,11 11
nnn n
S s→∞ →∞
= = − = ou encore .111
99100
1009
100111009
1=×=
−=
−=
raS
La série converge vers .111 3. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .21-=r
( ) ( )( )( )
( )( )
( )
1 1 -1 2 2 1 -1 21
1 1 -1 2 3
1 2lim1 -1 2 3
n nn
n
nn
a rs
r
S s→∞
− −−= = =
− −
= = =−
La série converge vers .32
4. Série géométrique de premier terme a = 1 et de raison .2-=r
( )( )( )
( )1 -2 1 -21 -2 3
n n
ns− −
= =−
1,r > donc la série diverge.
Exercices 4.2 page 685
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
5. ( )( )
1 1 1 ,1 2 1 2n n n n
= −+ + + +
d'où
21
21
21limlim
.2
121
21
11...
41
31
31
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−==
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
→∞→∞ nsS
nnns
nnn
n
La série converge vers .21
6. ( )
5 5 5 ,1 1n n n n
= −+ +
d'où
.1
551
5551
5 ... 45
35
35
25
255
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnnnnsn
.51
55limlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−==
∞→∞→ nsS
nnn La série converge vers 5.
7. ... 641
161
411 +−+− Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .41-=r
( ) 54
41-11lim =
−==
∞→ nnsS
8. ... 2567
647
167
47
++++ Série géométrique de premier terme 47=a et de raison .41=r
37
41147
1=
−=
−=
raS
9. ( ) ... 271
85
91
45
31
2515 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
Somme de deux séries géométriques, la première de premier terme 5=a et de raison ,21=r
la seconde de premier terme 1=a et de raison .31=r
La somme est .223
2310
3111
2115
=+=−
+−
=S
686 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
10. ( ) ... 271
85
91
45
31
2515 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
Différence de deux séries géométriques, la première de premier terme 5=a et de raison ,21=r
la seconde de premier terme 1=a et de raison .31=r
La somme est .2
172310
3111
2115
=−=−
−−
=S
11. ( ) ... 125
181
251
41
51
2111 +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
Somme de deux séries géométriques, la première de premier terme 1=a et de raison ,21=r
la seconde de premier terme 1=a et de raison .51-=r
La somme est ( ) .6
17652
51-11
2111
=+=−
+−
=S
12. ... 12516
258
542 ++++ Série géométrique de premier terme 2=a et de raison .52=r
3
10521
21
=−
=−
=r
aS
13. ( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )( )4 1 4 3 4 4 34
4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1A n B n A B n A BA B
n n n n n n n n+ + − + + −
= + = =− + − + − + − +
En rendant les numérateurs égaux, nous obtenons ,43et -où d' ,044 =−==+ BABABA
.1 que sorte de -1,et 43-où d' ===− ABBB
Donc, ( )( )
4 1 14 3 4 1 4 3 4 1n n n n
= −− + − +
et
.1
1411limlim
.14
1114
134
134
174
1 ... 131
91
91
51
511
=+
−==
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
→∞→∞ nsS
nnnnns
nnn
n
Exercices 4.2 page 687
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
14. ( )( )
6 ,2 1 2 1 2 1 2 1
A Bn n n n
= +− + − +
d'où ( ) ( ) ( )6 2 1 2 1 2 2 .A n B n A B n A B= + + − = + + −
Nous avons donc ,022 =+ BA d'où ,6et - =−= BABA d'où -3.et 3 ,62 === BAA
Ainsi, ( )( )
6 3 32 1 2 1 2 1 2 1n n n n
= −− + − +
et
( ) ( ) ( ) ( )
.12
33
123
123
123
323 ... 9373735353113
+−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−++−+−+−+−=
n
nnnnsn
312
33limlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−==
∞→∞→ nsS
nnn.
15. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
402 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1
n A B C Dn nn n n n
= + + +− +− + − +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
8 4 2 1 4 4 1 8 4 2 1 4 4 1
2 1 2 1
8 8 4 4 4 4 -2 4 2 4
2 1 2 1
A n n B n C n n D n
n n
A n n n B n n C n n n D n n
n n
A C n A B C D n A B C D n A B C D
n n
− + + + + − + + −=
− +
+ − − + + + + − − + + − +=
− +
+ + + − + + + − − + − + + +=
− +
En rendant les numérateurs égaux, nous obtenons le système d'équations linéaires :
040
00
44
248
44
-2-
48
====
+−+
+−−+
+++
DDD
CCCC
BBB
AA
AA
c'est-à-dire
( )( )( )( ) .4321
020
00
22--
====
+−+
+−−+
+++
DD
D
CCCC
BB
B
AA
AA
De (2) et (4), nous déduisons 022 =+ DB et, de (1) et (3), ,2022 =− DB d'où 5 ,204 == BB
-5.et =D Par (1), 0=+CA et par (4), ,055- =−++ CA c'est-à-dire .0- =+CA
688 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Il s'ensuit que ,0=C d'où .0=A
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1
40 5 52 1 2 1 2 1 2 1
k k
n n
nn n n n= =
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠
∑ ∑
⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ...
491
251
251
91
9115
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 12 3 2 1 2 1 2 1k k k k
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
( )2
15 1 .2 1k
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥+⎣ ⎦
( )
.512
115lim 2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
→∞ kS
n
16. ( ) ( )
,1
11112
2222 +−=
++
nnnnn d'où
( ) ( ) ( )22222 1
111
1111
1 ... 161
91
91
41
411
+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnnnnsn .
( )
11
11limlim 2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−==
→∞→∞ nsS
nnn
17. 1
111
1111
1 ... 4
13
13
12
12
11+
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
nnnnnsn
11
11limlim =+
−==→∞→∞ n
sSnnn
18. ... 4ln
15ln
13ln
14ln
12ln
13ln
1+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ns
( ) ( ) ( ) ( ) 2ln1
2ln1
1ln1
2ln1
ln1
1ln1
−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
nnnnn
( ) 2ln1-
2ln1
2ln1limlim =−+
==→∞→∞ n
sSnnn
Exercices 4.2 page 689
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .12
1<=r
La série converge donc vers ( )
1 2 2 2.2 11 1 2
= = +−−
20. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .12 >=r La série diverge.
21. Série géométrique de premier terme 23=a et de raison .1 où ,21- <= rr
La série converge donc vers ( ) .12323
21-123
==−
22. ( ) ,1-cos nn =π de sorte que ( ) .51-
51-
5cos
000∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
n
n
nn
n
nnnπ
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison ,51-=r donc .1 <r
La série converge donc vers ( ) .65
51-11
=−
23. Série géométrique de premier terme 10 == ea et de raison .112
2- <==e
er
La série converge donc vers .111
12
2
2 −=
− ee
e
24. 0-lnlim1lnlimlim0
≠∞==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
→∞→∞→x
na
xnnn
La série diverge, selon le test du en terme pour la divergence.
25. Série géométrique de premier terme 110 ==
xa et de raison .11
<=x
r
La série converge donc vers .111
1−
=− x
xx
690 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26. Différence de deux séries géométriques, la première de premier terme 1=a et de raison ,32=r
la seconde de premier terme 1=a et de raison .31=r
La somme est .23
233
3111
3211
=−=−
−−
=S
27. ( ) 01-1lim11lim 1- ≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞→∞→e
nn
n
n
n
n
La série diverge donc, selon le test du en terme pour la divergence.
28. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .1<= πer
La série converge vers .1
1ee −
=− π
ππ
29. ( )1 1ln ln ln 1
1n n
n n nn
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠∑ ∑
[ ] [ ] [ ]( ) ( )
( ) ( )( )
ln1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln 4 ...
ln 1 ln ln ln 1
ln1 ln 1 -ln 1 .
lim lim ln 1 -
n
nn n
s
n n n n
n n
S s n→∞ →∞
= − + − + − +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= − + = +
= = − + = ∞
La série diverge. 30. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .eππer =
Or .103,1e e >≈ππ La série diverge.
31. ,0
!1000lim
1
!1000
1lim1000
!lim ≠∞===
∞→
∞→∞→
nn
nn
n
nnnn
puisque 0!
1000lim =→∞ n
n
n (voir la table 4.1.1, numéro 6, page 260).
La série diverge donc, selon le test du en terme pour la divergence.
Exercices 4.2 page 691
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
32. 0lim...321...lim
!limlim ≠∞=>
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==∞→∞→∞→∞→
nnnnnn
nna
nn
n
nnn
La série diverge, selon le test du en terme pour la divergence.
33. ( ) ( ) ... 1-1- 32
00+−+−== ∑∑
∞
=
∞
=
xxxxxn
n
n
nn
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .-xr =
La série converge vers ( ) .1 - pour 1
1-1
1<==
+=
−xxr
xx
34. ( ) ( )2 2 2 4 6
0 0-1 - 1 ...
nn n
n nx x x x x
∞ ∞
= =
= = − + − +∑ ∑
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .- 2xr =
La série converge vers ( ) 22
1 111 - xx
=+−
pour 1 - 2 <= xr c'est-à-dire .11-ou 12 <<< xx
35.
2 3
0
1 1 1 13 3 3 3 3 ...2 2 2 2
n
n
x x x x∞
=
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
Série géométrique de premier terme 3=a et de raison .2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=xr
La série converge vers ,12
11-pour 3
6
23
3
211
3<
−<
−=
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
xxxx
c'est-à-dire .31-ou 212- <<<−< xx
36. ( )
( ) ( ) ( )2 30 0
-1 1 1 -1 1 1 1 1 ...2 3 sin 2 3 sin 2 2 3 sin 2 3 sin 2 3 sin
n n n
n nx x x x x
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + +∑ ∑
Série géométrique de premier terme 21=a et de raison .sin31-
xr
+=
La série converge vers x
xxx
xsin28
sin3sin4sin3
21
sin31-1
21++
=++
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
pour tout x (puisque, étant
donné que 21
sin31
41 ,1sin1- ≤
+≤≤≤
xx pour tout x).
692 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. ( )∑ ∑∞
=
∞
=
=0 0
22n n
nnn xx
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .2xr =
La série converge vers .21 ou 1 2 pour
211
<<=−
xxrx
38. ( ) -22
0 0
-1-1n
n n
n nx
x
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .1-2x
r =
La série converge vers 11-1
12
2
2+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− x
x
x
pour ,1 1- 2 <=x
r c'est-à-dire ,1 2 >x ou encore
-1.ou 1 <> xx
39. ( ) ( )n
n n
nn
xx∑ ∑∞
=
∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
0 03
21-3
21-
Série géométrique de premier terme 1=a et de raison ( ) .2
3321- xxr −
=−=
La série converge vers ,1 2
3 pour 1
2=
231
1<
−=
−−−
xrxx c'est-à-dire
.51ou -1-5- ,232- ,12
3<1- <<<<<−<<− xxxx
40. Série géométrique de premier terme 1=a et de raison .ln xr =
La série converge vers xln1
1−
pour ,1 ln <= xr soit ,1ln1- << x ou encore .1- exe <<
Exercices 4.2 page 693
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
41. ( ) ( )
... 100
23100
2310023... 23 23 23,023,0 32 +++==
n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅= ∑
∞
= 1001
10023
0
Série géométrique de premier terme 10023
=a et de raison .1100
1<=r
La série converge vers .9923
1001110023
=−
42. ( ) ( )2 3
0
234 234 234 234 10, 234 0,234 234 234... ... 1000 1000 10001000 1000
n
n
∞
=
⎛ ⎞= = + + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Série géométrique de premier terme 1000234
=a et de raison .11000
1<=r
La série converge vers .999234
1000111000234
=−
43. ... 10
710
710
7107... 7777,07,0 432 ++++==
n
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
∞
= 101
107
0
Série géométrique de premier terme 107=a et de raison .1101 <=r
La série converge vers .97
1011107
=−
44. ( ) ( ) ∑
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=++++==
032 1000
110004141 ...
1000414
1000414
10004141...144 144 414,1414 ,1
n
n
999
14139994141
10001110004141 =+=
−+= .
694 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
45. 123... 123 123 24,112324,1 =
2
5 5 3 5 3
5 3
5 3 3 5 30
124 123 123 1 123 1 ... 100 10 10 10 10 10
124 123 1 124 123 10 124 123 10100 100 10010 10 1 1 10 10 10 1124 123 123 999 41 333100 99 900 99 900 33 300
n
n
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + = + = + ⋅⎜ ⎟ − −⎝ ⎠
= + = =
∑
46. ... 857 421 857 421 857 142,3857 142 ,3 =
( ) ( )6 2 36 6
6
6 6 60
142 857 142 857 142 8573 ...10 10 10
142 857 1 142 857 103 310 10 1 1 10
n
n
∞
=
= + + + +
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑
722
999 999854 142 3
999 999857 1423 ==+=
47. La distance ... 4342
4342
43424
32
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⋅⋅+=s
m. 28464
431164
... 43
431
43424 2
=⋅+=−
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⋅⋅+=
48. Le temps ... 43
9,442
43
9,442
43
9,442
9,44 32
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=t
( ) ( ) s. 58,12329,4
324329,4
34324
323
9,44
9,42
43143
9,442
9,44
... 43
43
43
9,442
9,44 32
≈−
+=
−+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+=
−⋅+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++=
Exercices 4.2 page 695
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. Désignons par nc la longueur du côté du en carré. Ainsi,
,2
121
21 ,1
22
22c ,211 ,2
22
4
22
322
21 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==+== ccc etc.
( ) ( )
.m 8211
4
... 21124
... 2
1122
2
2222
=−
=
++++=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=S
50. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 21 2 1 4 1 82 4 8 ... 2 ...
2 2 2 2Aire
nnππ π π ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
221141
... 2
1 ... 161
81
41
1
ππ
π
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++++= +n
51. a) 2 1
1 2 34 4 43, 3 , 3 , ... , 33 3 3
n
nL L L L−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
14lim lim 3
3
n
nn nL
−
→∞ →∞
⎛ ⎞= = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
b) ( )43
231
21
1 =⋅⋅=A
2 1
3 2
4 3
1 1 3 3 332 3 6 4 12
1 1 3 3 3 3122 9 18 4 12 27
1 1 3 3 3 3 4 3482 27 54 4 12 27 243
...
A A
A A
A A
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
696 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
n
n
n
nnn
nnn
nn
A
A
AA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+=
⋅+=
⋅⋅⋅⋅⋅+=
−
−−−
−−−
−
94
64273 ...
94
64273
94
64273
94
64273
43
943
43
43
3
323
31
2143
432
331
3321
112
1
532
59
123
43
9418116
64273
43
94
64273
43lim
2
=⋅+=−
⋅⋅+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+= ∑
∞
=→∞
n
nnn
A
52. Chaque terme de la série ∑∞
=12
1n n
est représenté par l'aire d'un des carrés de la figure.
Tous ces carrés sont contenus dans un rectangle de largeur 1 et de longueur égale à
.2211
121
0=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∑
∞
=n
n
Comme les carrés ne remplissent pas le rectangle dans sa totalité,
nous pouvons en déduire que .211
2 <∑∞
=n n
53. a) ( )( )-2
1+4 5n n n
∞
= +∑
b) ( )( )0
1+2 3n n n
∞
= +∑
c) ( )( )5
13 2n n n
∞
= − −∑
54. a) Par exemple : .1211
21 ... 161
81
41
21
=−
=++++
Exercices 4.2 page 697
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Par exemple : .3-211
23- ... 163
83
43
23- =
−=−−−−
c) Par exemple : .0211
211 ... 161
81
41
211 =
−−=−−−−−
Soit k un nombre arbitraire, positif ou négatif.
La série kkkkkk=
−=++++
2112 ...
16842 est un modèle d'une telle série.
55. 91
1 ... 1 32 =−
=++++ bbbb
eeee d'où .
98lnet
98 ,1
91
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==−= bee bb
56. La somme partielle ns de la série est donnée par 65432 2221 rrrrrrsn ++++++=
122 2 ... ++++ nn rr que l'on peut récrire sous la forme ( )nn rrrrs 2642 ... 1 +++++=
( )1253 2 ... 222 ++++++ nrrrr qui est la somme des sommes partielles de deux séries géométriques
de raison .2r
,1 si 1
211
21
1lim 2222 <
−+
=−
+−
=→∞
rr
rrr
rsnn
c'est-à-dire si .1 <r
57. ( ) ( )1
1 11 1 1 1
n nn
n
a ra a a rL s rr r r r
−⎡ ⎤− = − = − − =⎣ ⎦− − − −
58. Soit .21 n
nn ba ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== Alors .1
21121
21
111=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
nnn
nn ba
Par ailleurs, .31
41141
41
21
21
111=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
= n
n
n
nn
nnnba
Or, ,3111 ≠× d'où .
111n
nn
nn
nn baba ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
≠⋅
698 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
59. Prenons, par exemple, la série n
nnna ∑∑
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
11 41 et la série .
21
11
n
nnnb ∑∑
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Alors 31
41141
1=
−== ∑
∞
=nnaA et .1
21121
1=
−== ∑
∞
=nnbB
Toutefois, ( )( )
.1211
2121
2141
111 BA
ba n
nnn
n
n n
n ≠=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
60. Soit .21 n
nn ba ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== Alors ,1
21121
21
111=
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
nnn
nn ba alors que
( )( )
,12121
111∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
==nn
n
n
n n
n
ba qui est une série divergente.
61. Elle diverge. En effet, si ∑ na converge, alors ,0lim =∞→ nn
a de sorte que .1lim ∞=→∞ nn a
Puisque ,01lim ≠∞→ nn a
, la série ∑na
1 diverge, selon le test du en terme pour la divergence.
62. Puisque la somme d'un nombre fini de termes ne peut être que finie, le fait d'ajouter un nombre
fini de termes à une série divergente ou de le retrancher ne modifie pas la divergence de la série.
63. Soit nn aaaA +++= ... 21 et soit .lim AAnn
=∞→
Supposons que ( )∑ + nn ba converge vers S.
Si nous posons ( ) ( ) ( ), ... 2211 nnn bababaS ++++++=
alors ( ) ( ), ... ... 2121 nnn bbbaaaS +++++++= d'où nnn ASbbb −=+++ ... 21
et ( ) ( ) .limlimlim ... lim 21 ASASASbbb nnnnnnnnn−=−=−=+++
→∞→∞→∞→∞
Puisque ( ) ,...lim 21 ASbbb nn−=+++
→∞ il s'ensuit que ∑ nb converge. Mais ∑ nb diverge par
hypothèse. Donc ( )∑ + nn ba ne peut converger ; elle diverge.
Exercices 4.3 page 699
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.3 - Séries à termes positifs
1. ( )1
5+
=x
xf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
( )1
1 1
5 5 lim lim 5ln 1 lim 5ln 1 5ln 21 1
bb
b b bdx dx x b
x x
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦⎣ ⎦+ +∫ ∫
Puisque l'intégrale diverge, la série ∑∞
= +1 15
n n diverge aussi.
2. ( )12
1
−=
xxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
( )11 1
1 1 1 1 1lim lim ln 2 1 lim ln 2 1 ln12 1 2 1 2 2 2
bb
b b bdx dx x b
x x
∞
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − − = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Puisque l'intégrale diverge, la série 1
12 1n n
∞
= −∑ diverge aussi.
3. ∑∑∞
=
∞
=
+=32
ln22lnln
nn nn
nn
Or ( )xxxf ln
= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .3≥x
( ) ( ) ( )∞=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⋅=
→∞→∞
∞
→∞∫∫ 23ln
2lnlim
2lnlim 1lnlim ln 22
3
2
33
bxdxx
xdxxx
b
b
b
b
b
Puisque l'intégrale diverge, la série ∑∞
=3
lnn n
n diverge aussi, de même que .ln2∑∞
=n n
4. ∑∑∑∞
==
∞
=
+=8
7
22
lnlnlnnnn n
nnn
nn
L'étude des signes de la dérivée première de ( )xxxf ln
= démontre que la fonction est croissante
de )39,7( à 2 2 ≈== exx et décroissante pour .2ex > Le test de l'intégrale ne s'applique donc qu'à
la série .ln8∑∞
=n nn
700 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par ailleurs, les autres conditions d'application du test ( ( )xf continue et positive) sont satisfaites.
∫∫∞
→∞=
b
bdx
xxdx
xx
88
lnlimln
Posons .ln xt = Alors ,1 dxx
dt = tex = et .2tex =
2ln 1ln tx dx x x dx t e dtxx
= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
Intégration par parties : posons ,tu = .2dtedv t= Alors dtdu = et ,2 2tev = de sorte que
.4222 22222 ∫∫ −=−= ttttt eetdteetdtet
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
ln 2 ln 2
8
8
lnAinsi, lim lim 2ln 4
lim 2 ln 4
lim 2 ln 4 2 ln8 8 4 8
lim 2 ln 2 2 ln8 8 4 8 .
bx x
b b
b
b
b
b
xdx xe ex
x x x
b b b
b b
→∞ →∞
→∞
→∞
→∞
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − − + = ∞⎣ ⎦
∫
Puisque l'intégrale diverge, la série ∑∞
=8
lnn n
n diverge aussi, de même que .ln2∑∞
=n nn
5. ( ) x
x
eexf 21+
= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
(On peut montrer que la fonction est décroissante en calculant sa dérivée et en montrant
qu'elle est toujours négative.)
( )∫ ∫∫+
=+
=+ ∞→
∞
∞→
b b
x
x
bx
x
bx
x
dxe
edxe
edxe
e
1 122
12
1lim
1lim
1
1
lim tan lim tan tan tan 0,352
bx b
b b
πarc e arc e arc e arc e→∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − ≈⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Puisque l'intégrale converge, la série ∑∞
= +121n
n
n
ee converge aussi.
Exercices 4.3 page 701
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. ( ) ( )1
1f x
x x=
+ est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
( )( ) ( )
1 1 1
1
1 1 1 1 12 2 lim 1 2 1 21
2 lim ln 1 2 lim ln 1 ln 2
b
b
b
b b
dx dx dxx x x xx x
x b
∞ ∞
→∞
→∞ →∞
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅+ ++
⎡ ⎤= + = + − = ∞⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
Puisque l'intégrale diverge, la série ( )1
11n n n
∞
= +∑ diverge aussi.
7. La calculatrice graphique illustre que la fonction ( )( ) ( )2
1
ln ln 1
xf xx x
=−
est continue, positive
et décroissante pour .3≥x
Soit ( ) ( )
. 1lnln
1
32
dxxx
x∫∞
−
Posons .ln xu = Alors 3ln , 1== udx
xdu lorsque ∞→= ux et 3 lorsque .∞→x
L'intégrale devient
( )
( )
ln32ln3
lim lim sec lim sec sec ln 31
1sec ln3 cos 1,1439.2 2 ln3
bb
b b b
du arc u arc b arcu u
π πarc arc
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦⎣ ⎦
−
⎛ ⎞= − = − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Puisque l'intégrale converge, la série ( ) ( )23
1
ln ln 1n
n
n n
∞
= −∑ converge aussi.
8. ( )( )( )2
1
1 lnf x
x x=
+ est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
( )( ) ( )( )2 21 1
1 1lim1 ln 1 ln
b
bdx dx
x x x x
∞
→∞=
+ +∫ ∫
Posons .ln xu = Alors ,1 dxx
du = .1 lorsque 0et lorsque ==∞→∞→ xuxu
702 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( )[ ]
[ ]
2 221 0 0
0
1 1 1 lim1 11 ln
lim tan
lim tan tan 0
0 .2 2
Ainsi,b
b
b
b
b
dx du duu ux x
arc u
arc b arc
π π
∞ ∞
→∞
→∞
→∞
= =+ ++
=
= −
= − =
∫ ∫ ∫
Puisque l'intégrale converge, la série ( )( )2
1
1
1 lnn n n
∞
= +∑ converge aussi.
9. Pour tout , ,1 3 nnn ≤≥ d'où .3
12
1et 3223
3
nnnnnnnn ≥
+=+≤+
Or ∑∞
=1
1n n
est une série-p divergente ( ),121 ≤=p donc ∑∞
=1 31
n n est aussi une série divergente
et ∑∞
= +132
1n nn
diverge, selon le test de comparaison directe.
10. Pour tout ,1≥n nnnnnn
nnnnnnnnnn+
<⇒+
<⇒+>⇒++>++⇒≥311
3130
.13nnn
>+
⇒
Or ∑∞
=1
1n n
est la série harmonique, qui est divergente, donc la série ∑∞
=1
3n nn
diverge, selon le test
de comparaison directe.
11. 1sin2 ≤n pour tout n, de sorte que .21
2sin2
nnn≤
Or ∑∞
=1 21
nn est une série géométrique de raison ,1
21 <=r donc convergente.
Donc ∑∞
=1
2
2sin
nn
n est une série convergente, selon le test de comparaison directe.
Exercices 4.3 page 703
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
12. Pour tout ,1≥n ,2cos1 ≤+ n de sorte que .2cos122 nn
n≤
+ Or ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente
( )12 >=p et ∑∞
=12
2n n
est un multiple d'une série convergente, donc convergente.
Donc ∑∞
=
+
12
cos1n n
n est une série convergente, selon le test de comparaison directe.
13. Pour tout .31
313 ,1
nnn
nn
nnn ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+≥
Or ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 31
n
n
est une série géométrique de raison ,131 <=r donc convergente.
Par conséquent, ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+1 13n
n
nn est une série convergente, selon le test de comparaison directe.
14. ( ) ( )nnnnnn
lnln1
ln1lnlnlnln <⇒>⇒> (puisque ( ) 0lnln >n pour e>n ). De plus,
.ln11lnnn
nn <⇒> Il s'ensuit que ( ) .lnln1
ln11
nnn<< Or ∑
∞
=1
1n n
est la série harmonique, qui est
divergente, donc la série ( )∑∞
=3 lnln1
n n diverge, selon le test de comparaison directe.
15. Comparons la série avec la série harmonique .12∑∞
=n n
( )
( ) ( )( )
2. . . .
2
1ln 1 1 1 1 1lim lim lim lim lim lim11 2 ln 2 1 2ln 2 ln
R H R H
n n n n n n
n n n nn nn n
nn→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎝ ⎠ = = = = = = ∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
Or ∑∞
=2
1n n
est une série divergente, donc ( )2
2
1lnn n
∞
=∑ est une série divergente, selon le 3e cas
du test de comparaison par une limite.
704 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
16. Comparons la série avec la série-p ∑∞
=12
1n n
( )( ) ( )
2
3 2 . . . .
2
ln1 12ln 2ln 2ln 2lim lim lim lim lim lim 0
1 1 1
R H R H
n n n n n n
nnn n nn n
n n nn
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥
⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ = = = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Or ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( ),12 >=p donc ( )∑∞
=13
2lnn n
n est une série convergente,
selon le 2e cas du test de comparaison par une limite.
17. Comparons la série avec la série-p .11
2∑∞
=n n
( )( ) ( )
( ) ( )
3
23 3 . .
2
2 . .
l 13 lllim lim lim
1 1
16 l3 llim lim
1
R H
n n n
R H
n n
nnnnn nn n
nn
nnnn nn
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
→∞ ∞ ∞ →∞
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
l6 lim 6 0 0n
nnn→∞
= = ⋅ = (Voir la table 4.1.1, numéro 1, page 266).
Or ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( ).12 >=p
Par conséquent, ( )33
1
l
n
nnn
∞
=∑ est une série convergente, selon le 2e cas du test de comparaison
par une limite.
18. Comparons la série avec la série harmonique .12∑∞
=n n
. .1 1ln 2lim lim lim lim1 1ln 2
R H
n n n n
n nn n nn
n n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
= = = = ∞
Exercices 4.3 page 705
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or ∑∞
=2
1n n
est une série divergente, donc ∑∞
=2 ln1
n nn est une série divergente, selon le 3e cas du test
de comparaison par une limite.
19. Comparons la série avec la série-p .11
45∑∞
=n n
( )( ) ( )
2
3 2 2 . .
1 4
5 4 3 4
. .
1 4 1 4
3 4
ln12 lnln
lim lim lim1 1
4
1ln 18 lim 8 lim 32 lim 32 0 0
14
R H
n n n
R H
n n n
nnn n n
nn n
n nn n
n
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
→∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = ⋅ =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Or ∑∞
=145
1n n
est une série-p convergente ( ),145 >=p donc ( )∑∞
=123
2lnn n
n est une série convergente,
selon le 2e cas du test de comparaison par une limite.
20. Comparons la série avec la série harmonique .11∑∞
=n n
. .1
11 lnlim lim lim lim1 11 ln
R H
n n n n
nn nn
n n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
+ = = = = ∞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Or ∑∞
=1
1n n
est une série divergente, donc ∑∞
= +1 ln11
n n est une série divergente, selon le 3e cas du test
de comparaison par une limite.
706 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
21.
( )( )
2
1 21
1 22
12 1 2lim lim lim
2
2
nn
nnn n nn
n
n
naρa nn
+
++→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥ +⎣ ⎦= = = ⋅⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
121
211
2111lim
211lim
22
<=⋅=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=∞→∞→ nn
nnn
La série converge selon le test du rapport.
22. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2- 1 . .1
2 - 2 2 répétée
1 1 11 1 1 1lim lim lim lim 1 1n R H
nnn n n nn
n e n naρ
a e e e en e n n
++
→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = = ⋅ = = ⋅ = <⎢ ⎥⎣ ⎦
La série converge selon le test du rapport.
23. ( ) ( )- 11 1 ! 1lim lim lim
!
nn
-nn n nn
n ea nρa en e
++
→∞ →∞ →∞
+ += = = = ∞
La série diverge selon le test du rapport.
24.
( )( ) ( )
11
1
1 !10 1 ! 10 1lim lim lim lim 1
! ! 101010
n nn
nn n n nnn
nnaρ n
na n
++
+→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥ +⎣ ⎦= = = ⋅ = ⋅ + = ∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
La série diverge selon le test du rapport.
25.
( )( )
101
10
10
1
10
1 1010
1lim
10
101
limlimn
nn
n
aa n
nn
n
n
nn
nn
⋅+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
== +∞→
+
∞→
+
∞→ρ
1101
1011
10111lim
1011lim
1010
<=⋅=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=→∞→∞ nn
nnn
La série converge selon le test du rapport.
Exercices 4.3 page 707
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
26.
( ) ( )( ) ( )1
11
1 ln 12 1 ln 1 2lim lim limln ln22
n nn
nn n nnn
n nn naρ
n na n n
++
+→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦= = = ⋅⎢ ⎥
⎛ ⎞ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠
( )ln 11 1 1 1lim 1 1 1,2 ln 2 2n
nnn n→∞
⎡ ⎤++= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = <⎢ ⎥
⎣ ⎦
puisque 111lim1lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+→∞→∞ nn
nnn
et que ( ) .111lim
1lim1
11
limln
1lnlim....
==+
=+=+
∞→∞∞∞→∞→∞∞∞→ n
HR
nn
HR
n nn
n
nn
n
La série converge selon le test du rapport.
27.
( )( )( )
( )( )( )( )
( ) ( )( )1
2 31 ! 2 3 !lim lim lim
1 ! 1 21 2!
nn n nn
n nn n na nρ
a n n nn nn
+
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅
+ + +⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
1022
1lim12
3lim1
113lim
..
2 <=+
=++
+=
+⋅
++
=→∞∞∞→∞→∞ nnn
nnn
nn
HR
nn
La série converge selon le test du rapport.
28. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3- 1 . .
1- 3 3 3 répétée
1 1 11 1 1 1lim lim lim lim 1 1n R H
nnn n n nn
e n n naρa e e e ee n n n
++
→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = = ⋅ = = ⋅ = <⎢ ⎥⎢ ⎥
La série converge selon le test du rapport.
29. ( ) ( )1
1
lnlnlim lim lim
nnnnn
n n nn n n n
nnρ a
n n→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎣ ⎦= = =⎡ ⎤⎣ ⎦
10lnlim <==→∞ n
nn
(Voir la table 4.1.1, numéro 1, page 266).
La série converge selon le test de la racine .en
708 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
30. 1011lim11limlim 22 <=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
∞→∞→∞→ nnnna
nn
n
nn
nnρ
La série converge selon le test de la racine .en
31. ( ) n
nnna
n
nn nn
nnn ln
limln
limlim∞→∞→∞→
===ρ
10lnlim
1<==
→∞n
n
La série converge selon le test de la racine .en
32. ( ) n
nnna
n
nn nn
nnn ln
limln
limlim 2 ∞→∞→∞→===ρ
lnlim
1lnlim
lim
nn
n
nn
nn
∞→∞→
∞→ == (voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266) .10 <=
La série converge selon le test de la racine .en
33. ( )( )
( )1
2 12
!!lim lim lim
nnn
nnn nn n n nn
nnρ a
nn→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎣ ⎦= = =⎡ ⎤⎣ ⎦
( )( )
( )
2
1 2 !!lim lim
1lim 1 lim 2 ! 1
n n
n n
n n nnn nn
nn
→∞ →∞
→∞ →∞
− −= =
⋅
⎛ ⎞= − ⋅ − = ⋅∞ = ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
La série diverge selon le test de la racine .en
34. ( ) ∞====∞→∞→∞→ 4
lim2
limlim 2nna
nn
n
n
nn
nnρ
La série diverge selon le test de la racine .en
Exercices 4.3 page 709
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
35. -
1 1 1
1 1 ,n
nn
n n ne
ee
∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ qui est une série géométrique de raison .11 <=e
r
La série converge.
36. 0111lim
1lim
..≠==
+ ∞→∞∞∞→ n
HR
n nn
La série diverge selon le test du en terme pour la divergence.
37. ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
=111
1et 133nnn nnn
est une série-p divergente ( ).121 ≤=p
La série diverge.
38. ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
=1
231
231
1et 12-2-nnn nnnn
est une série-p convergente ( ).123 >=p
La série converge en tant que multiple d'une série convergente.
39. Comparons la série avec la série harmonique .11∑∞
=n n
( )( ) ( )
( )
2. .
2
. .
11 ln 1lim lim lim 11 1 ln 2 1 ln
1lim lim lim12 1 ln 22
R H
n n n
R H
n n n
n nn n
nnn n
nn
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
→∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦ = =
⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = = ∞+ ⋅
Or ∑∞
=1
1n n
est une série divergente, donc ( )∑
∞
= +12ln1
1n n
est une série divergente, selon le 3e cas
du test de comparaison par une limite.
710 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
40. ( ) ( )11ln
++
=xxxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .2≥x
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]22 2
2 22
ln 1ln 1 ln3ln 1 ln 1 lim lim lim
1 1 2 2 2
bb
b b b
bxx xdx dx
x x
∞
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+++ + ⎣ ⎦⎢ ⎥= = = − = ∞⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
∫ ∫
Puisque l'intégrale diverge, la série ( )∑∞
= ++
2 11ln
n nn diverge aussi selon le test de l'intégrale.
41. Comparons la série avec la série-p .11
23∑∞
=n n
nnnnnn ≥−⇒≥⇒≥ 22 22
Mais ( ) .1
1
11111 232232322222
nnnnnnnnnnnnnn <
−⇒>−⇒>−⇒>−⇒−>−
Or ∑∞
=123
1n n
est une série-p convergente ( ).123 >=p
Par conséquent, ∑∞
= −1 2 1
1n nn
est une série convergente, selon le test de comparaison directe.
42. -22 -2lim lim lim 1 0n n
nn n n
na en n→∞ →∞ →∞
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(voir la table 4.1.1, numéro 5, page 266).
La série diverge selon le test du en terme pour la divergence.
43.
( )( )( )
11
4 !3! 1 !3
lim lim3 !
3! !3
nn
n nnn
nnaρ
a nn
++
→∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( ) ( )
( )
1
. .
4 ! 3! !3lim3 !3! 1 !3
4 1 1lim lim 13 1 3 3
n
nn
R H
n n
n nnn
nn
+→∞
→∞ ∞ ∞ →∞
+= ⋅
++
+= = = <
+
La série converge selon le test du rapport.
Exercices 4.3 page 711
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
44.
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 11
1
1 2 2 !3 1 ! 1 2 2 ! 3 !lim lim lim
3 1 ! 2 1 !2 1 !3 !
n
n n nn
n nnn n nnn
n nn n na nρ
a n n nn nn
+
+ ++
+→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅⎢ ⎥⎡ ⎤ + ++ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,1321
321
12
321lim <=⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++
⋅⋅+
=→∞ n
nn
nn
puisque 1111lim
..==
+∞∞∞→
HR
n nn et .1
11
12lim
..==
++
∞∞∞→
HR
n nn
La série converge selon le test du rapport.
45.
( )( )
( )
( )( )
( )1
1 !2 3 ! 1 ! 2 1 !
lim lim lim2 3 ! !!
2 1 !
nn n nn
nn n naρ
a n nnn
+
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦= = = ⋅
+⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( ). .
2
1lim2 3 2 2
1 1lim lim 0 18 104 10 6
n
R H
n n
nn n
nnn n
→∞
→∞ ∞ ∞ →∞
+=
+ +
+= = = <
++ +
La série converge selon le test du rapport.
46.
( )( ) ( )
( )
11
1
1 !
1 1 !lim lim lim
! !1
n nn
nn n nnn
n
n na nρna nnn
+
++→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎢ ⎥= = = ⋅⎡ ⎤ ⎢ ⎥+⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )
1lim 1 lim1 11
1 1lim1 1lim 1
1 1.
nn
nn n
n nn
n
n nnn nn
nn n
e
→∞ →∞
→∞
→∞
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎢ ⎥+⎣ ⎦
= =+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= <
La série converge selon le test du rapport.
712 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
47. ( ) 2+1tan 8x
xarcxf = est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
(Nous pouvons montrer que la fonction est décroissante en calculant sa dérivée et en montrant
qu'elle est toujours négative.)
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 21 1
2
1
2 2
2 2 2 2 2
2
8 tan 1 8 lim tan1 1
tan8 lim
2
tan tan18 lim
2 2
2 4 38 4 42 2 4 16 16
34
b
b
b
b
b
arc x dx arc x dxx x
arc x
arc b arc
π π π π π
π
∞
→∞
→∞
→∞
= ⋅ ⋅+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎜ ⎟= − = − = ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
=
∫ ∫
Puisque l'intégrale converge, la série ∑∞
= +121
tan 8n n
narc converge aussi.
48. ( )12 +
=x
xxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
(En effet, lorsque nous étudions la fonction pour les x positifs, le calcul de la dérivée première
démontre que la fonction admet un maximum relatif en 1=x puis qu'elle décroît ensuite.)
( )
( )( )
2 2 21 1 1
2
1
2
1 1 1 1 2 lim 2 2 21 1 1
1 lim ln 121 lim ln 1 ln 22
b
b
b
b
b
x dx x dx x dxx x x
x
b
∞ ∞
→∞
→∞
→∞
= =+ + +
⎡ ⎤= +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦= ∞
∫ ∫ ∫
Puisque l'intégrale diverge, la série ∑∞
= +12 1n nn diverge aussi, selon le test de l'intégrale.
Exercices 4.3 page 713
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. ( ) ( ) ( )( ) 3541-2
54
45
1-225,1
1-2⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛≤+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
+ nn
n
n
n
n
n
Or ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
111 54et
5433
54
n
n
n
n
n
n
est une série géométrique de raison ,154 <=r donc
convergente. Il s'ensuit que 543
1∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
n
n
est aussi une série convergente.
Par conséquent ( )∑∞
=
+
1 25,11-2
nn
n
est une série convergente, selon le test de comparaison directe.
50. ( ) 031-1lim311limlim 31- ≠=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
∞→∞→∞→e
nna
n
n
n
nnn
La série diverge selon le test du en terme pour la divergence. 51. Pour tout .ln ,1 nnn <≥ (En effet, ( ) nnnf lnet 11ln −=< est une fonction croissante puisque
( ) 011 >−=′n
nf pour tout 1>n .) Il s'ensuit que 2331lnnn
nn
n=< pour .1≥n
Or ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( )12 >=p .
Par conséquent, ∑∞
=13
lnn n
n est une série convergente selon le test de comparaison directe.
52. 1ln >n pour ,3≥n d'où .1lnnn
n> Or ∑
∞
=3
1n n
est la série harmonique, qui est divergente.
Donc ∑∞
=3
lnn n
n diverge, selon le test de comparaison directe, et aussi la série .ln1∑∞
=n nn
714 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
53. Comparons la série avec la série-p .11
2∑∞
=n n
( )( ) ( )( )( )
2
2
2 . . . .
2
10 11 2 10 1
lim lim1 1 2
10 20 1 20lim lim lim 102 3 23 2
n n
R H R H
n n n
nn n n n n
n n nn
n n nnn n
→∞ →∞
→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦ =
+ +⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
+ += = = =
++ +
Or ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( )12 >=p .
Par conséquent, ( )( )1
10 11 2n
nn n n
∞
=
++ +∑ est une série convergente selon le 1er cas du test de
comparaison par une limite.
54. Comparons la série avec la série-p .13
2∑∞
=n n
( )( )
( )( )
3
2 2 3 3 . .2
3 22 2
2
5 32 5 5 3 5 3lim lim lim 51 2 5 102 5
R H
n n n répétée
n nn n n n n n nn
n n nn n nn
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥= ⋅ = =⎢ ⎥⎡ ⎤ − + −− +⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
Or ∑∞
=32
1n n
est une série-p convergente ( ),12 >=p donc ( )( )
3
2 23
5 32 5n
n nn n n
∞
=
−
− +∑ converge aussi,
selon le 1er cas du test de comparaison par une limite.
55. Pour tout ( ) .2tan et 2
tan ,1 1,11,1 nnnarcnarcn ππ<<≥
Or 1,1 1,1 1,11 1 1
2 1 1 et 2n n n
π πn n n
∞ ∞ ∞
= = =
=∑ ∑ ∑ est une série-p convergente ( ).11 ,1 >=p
Donc ∑∞
=11,1
12 n nπ est aussi une série convergente en tant que multiple d'une série convergente.
Finalement, 1,11
tann
arc nn
∞
=∑ est une série convergente selon le 1er cas du test de comparaison directe.
Exercices 4.3 page 715
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
56. Pour tout .2secoù d' 2
sec ,1 3,13,1 nnnarcnarcn ππ<<≥
Or ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
=1
3,11
3,11
3,11et 1
22
nnn nnnππ est une série-p convergente ( ).13,1 >=p
Donc ∑∞
=13,1
12 n nπ est aussi une série convergente en tant que multiple d'une série convergente.
Finalement, ∑∞
=13,1
secn n
narc est une série convergente selon le test de comparaison directe.
57. 0
1 sin1 sinlim sin lim lim 1 01n n x
n xnn n x→∞ →∞ →
⎛ ⎞ = = = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
La série diverge selon le test du en terme pour la divergence.
58. ( ) 21 xf x
e=
+ est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
1 1
2 2 lim 1 1
b
x xbdx dx
e e
∞
→∞=
+ +∫ ∫
Posons .xu e= Alors et .x dudu e dx dxu
= = De plus, .et 1 ∞→⇒∞→=⇒= uxeux
( )
( )
1
2 1 1 1 2 2 1 11
1 12 lim 2 lim ln ln 11
2 lim ln 2 lim ln 2ln1 1 1
2ln1 2ln -2ln1 1
xe e
bb
eb be
b
b be
dx du duu u u ue
du u uu u
u b eu b e
e ee e
∞ ∞ ∞
→∞ →∞
→∞ →∞
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ ++ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
Puisque l'intégrale converge, la série ∑∞
= +1 12
nne
converge aussi, selon le test de l'intégrale.
716 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
59. 10sin1limsin1lim
sin1
limlim 1 <=+=+
=⋅
+
==∞→∞→∞→
+
∞→ nn
nnn
a
an
n
aa
nnn
n
nn
nn
ρ
La série converge selon le test du rapport.
60. n
narca
an
narc
aa
nn
n
nn
nn
tan 1lim
tan 1
limlim 1 +=
⋅+
==∞→∞→
+
∞→ρ
1000tan lim1lim <=+=+=→∞→∞ n
narcn nn
La série converge selon le test du rapport.
61. 123
23lim
5213lim52
13
limlim..
1 >==+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
==∞→∞∞∞→∞→
+
∞→ n
HR
nn
n
nn
nn n
na
ann
aaρ
La série diverge selon le test du rapport.
62. ( ) ( ) ( )( ) 211 1
211
111 −−+ ⋅
−−
⋅−
⋅+
=−
⋅+
=+
= nnnn ann
nn
nna
nn
nna
nna
13
321
32 ...
121
1
21
32 ...
121
1
32 ...
121
1 ...
1
2
+=
⋅⋅⋅⋅−−
⋅−
⋅+
=
⋅⋅⋅−−
⋅−
⋅+
=
⋅⋅−−
⋅−
⋅+
==
n
nn
nn
nn
ann
nn
nn
ann
nn
nn
Donc ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
==111
133nnn
n nna est une série divergente, en tant que multiple non nul de la série
harmonique ,11∑∞
=n n qui est divergente.
Exercices 4.3 page 717
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
63. 32 43 46 6 4!1 2 1 3 2 4 3 5 4
1 1 1 1 1 1 1, , , , 3 3 3 3 3 3 3
a a a a a a a a a= = = = = = = = = = =
( ) 1lim31!1 =⇒=
→∞−
nnn
n aa puisque ( )!1
31−n est une sous-suite de 1
31
−n et que
0131lim
31lim 1 ≠==
→∞−
→∞n
nn
n (voir la table 4.1.1, numéro 3, page 266).
La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence.
64. nn
naaaaa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
21
21 ,
21
21 ,
21 ,
21 ,
21 !!4
432
4
32
3
2
21
Or ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 21
n
n
est une série géométrique avec ,121 <=r qui converge.
Donc la série donnée converge, selon le test de comparaison directe.
65. a) Si 0lim =∞→ n
nn b
a , alors il existe un entier positif N tel que pour tout , 0 1,n
n
an Nb
> − < d'où
.et 11- nnn
n baba
<<<
Par conséquent, si la série ∑ nb converge, alors ∑ na converge aussi, selon le test de
comparaison directe.
b) Si ,lim ∞=∞→ n
nn b
a alors il existe un entier positif N tel que pour tout ,1 , >>n
n
baNn d'où
.nn ba >
Par conséquent, si la série ∑ nb diverge, alors na∑ diverge aussi, selon le test de
comparaison directe.
718 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
66. a) Comparons la série avec la série harmonique .12∑∞
=n n
( ) 22
2 2
2
2 2
1 ln1 ln ln5lim lim lim
1 5 5
lim lim ln5 5
0 1
n n n
n n
n nn n n n n nn
n nn
n n nn n
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+⎛ ⎞⎜ ⎟ + ++⎝ ⎠ = =
⎛ ⎞ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + ⋅+ +
= + ⋅∞ = ∞
Or ∑∞
=2
1n n
est une série divergente, donc 22
1 ln5n
n nn
∞
=
++∑ est une série divergente, selon
le 3e cas du test de comparaison par une limite.
b) Comparons la série avec la série-p .11
2∑∞
=n n
3 . .
23
2
lnln ln 1 1lim lim lim lim lim 0
1 1
R H
n n n n n
nn n nn n
n nnn
→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⋅ = = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Or ∑∞
=22
1n n
est une série-p convergente ( ).12 >=p Par conséquent, ∑∞
=13
lnn n
n est une série
convergente, selon le 2e cas du test de comparaison par une limite. 67. a) .1<ρ Soit r un nombre compris entre .1et ρ Alors le nombre ρε −= r est positif.
Puisque nn
nn aa ,ρ→ doit se situer à une distance de ρ inférieure à ε lorsque n est
suffisamment grand, c'est-à-dire pour tout n ≥ N . Ainsi, ερ +<nna pour Nn ≥ et,
par suite, ( ) .nna ερ +<
Exercices 4.3 page 719
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Or ( )∑∞
=
+Nn
nερ est une série géométrique de raison ,1 <+ ερ donc convergente. Il en
résulte, selon le test de comparaison directe, que ∑∞
=Nnna converge et que
∑∑∞
=−
∞
=
++++=Nn
nNn
n aaaaa 1211
... converge également.
b) ρ > 1. Si ,1>ρ alors il existe un entier positif M tel que pour tout 1 , >> nnaMn et,
par suite, .1>na Il s'ensuit que ,0lim ≠∞→ nn
a de sorte que la série diverge selon le test
du n e terme pour la divergence.
c) Les séries ∑∑∞
=
∞
= 12
1
1et 1nn nn
illustrent bien que le test n'est pas concluant lorsque .1=ρ
En effet, 1111lim1lim ===
→∞→∞ nnn
n nn (voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266) et
( ) ,1111lim1lim 222 ===
∞→∞→ nnn
n nn de sorte que 1=ρ dans les deux cas.
Pourtant la première série diverge (série harmonique) alors que la seconde converge
(série-p avec 12 >=p ).
68. Comme nn a
na
≤ pour tout 1≥n et que ∑∞
=1nna converge, ∑
∞
=1n
n
na converge aussi, selon le test
de comparaison directe.
69. Puisque ,lim ∞=∞→ n
nn b
a il existe un entier positif N tel que pour tout ,1 , >>n
n
baNn d'où .nn ba >
Si la série ∑ na converge alors, selon le test de comparaison directe, la série ∑ nb converge
aussi.
720 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
70. Puisque ∑ na converge, .0lim =∞→ nn
a Il existe donc un entier positif N tel que pour tout ,Nn >
,10 <≤ na d'où .2nn aa < Par conséquent, ,
11
2 ∑∑∞
+=
∞
+=
<Nn
nNn
n aa d'où ∑∞
+= 1
2
Nnna converge selon le test de
comparaison directe. Comme l'ajout d'un nombre fini de termes ne modifie pas la convergence
d'une série, ∑∞
=1
2
nna converge.
71. Si ( )4
12
,1+
−+
=≥xx
axfa est une fonction de x continue, positive et décroissante pour .1≥x
Appliquons le test de l'intégrale :
1 1
1 1 lim 2 4 2 4
b
b
a adx dxx x x x
∞
→∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
( )
( )
1lim ln 2 ln 4
2 3lim ln ln4 5
2 3ln lim ln .4 5
b
b
a a
b
a a
b
a x x
bb
bb
→∞
→∞
→∞
⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟
+⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Or ( ) ( ) ( ) .2lim12lim
42lim 1
1..−
→∞
−
→∞∞∞→∞+=
+=
++ a
b
a
b
HRa
bbaba
bb
Si ,1=a alors ( ) .53ln-
53ln1ln
41
2et 1
42lim
1
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=
++
∫∞
→∞dx
xxa
bb a
b
L'intégrale converge, donc la série ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+1 41
2n nna converge aussi, selon le test de
l'intégrale.
Si ,1>a alors ( ) ( ) 12lim lim 2
4
aa
b b
ba b
b−
→∞ →∞
+= + = ∞
+
( )1
21 3et ln lim ln .2 4 4 5
a a
b
ba dxx x b
∞
→∞
⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥− = − = ∞⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫
L'intégrale diverge, donc la série correspondante diverge aussi.
Exercices 4.3 page 721
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Si, finalement, a < 1, le test de l'intégrale ne s'applique pas puisque, pour n supérieur à un N
donné, les termes an deviennent négatifs. À partir de ce moment, cependant, la série se comporte
comme un multiple négatif de la série harmonique et diverge.
72. Si ,21
≤a ( )1
21
1+
−−
=x
ax
xf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 3≥x .
Appliquons le test de l'intégrale :
( )
( )
( )
3 3
3
2
3
2 2
2 2
1 2 1 2 lim 1 1 1 1
lim ln 1 2 ln 1
1lim ln1
1 2lim ln ln41
1 2ln lim ln41
b
b
b
b
b
ab
a ab
a ab
a adx dxx x x x
x a x
xx
bb
bb
∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦
⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠+⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠+⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
.
Or ( ) ( )
.12
1lim11lim 12
..
2 −→∞∞∞→∞ +=
+−
ab
HR
ab babb
Si ,21=a alors ( )
( ).21ln-42ln1ln
12
11et 1
111lim
30 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−=
+ ∫∞
∞→dx
xa
xbb
L'intégrale converge, donc la série ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−3 12
11
n na
n converge aussi, selon le test de l'intégrale.
Si ,21<a alors ( )
( )1-22 1
1 1lim lim +1 ,22 1
aab b
baa b −→∞ →∞
= = ∞+
puisque l'exposant 021 >− a et
( )
.42ln
11limln
12
11 22
3
∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
− →∞
∞
∫ aab bbdx
xa
x
L'intégrale diverge, donc la série correspondante diverge aussi.
722 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Si, finalement, ,21>a le test de l'intégrale ne s'applique pas puisque, pour n supérieur à un N
donné, les termes an deviennent négatifs. À partir de ce moment, cependant, la série se
comporte comme un multiple négatif de la série harmonique et diverge.
73. Soit ,2et 1
21
∑∑==
==n
k
kn
n
kkn kaBaA où { }ka est une suite non croissante de termes positifs qui
converge vers 0. { } { }nn BA et sont des suites non décroissantes de termes positifs.
Nous avons :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.22
2 ... 22 ... 22222222
2 ... 22 ... 2222222
2 ... 842
12
2221287654321
termes2
2228888442
2842
11
1
∑∞
=
++
≤=
++++++++++++≤
+++++++++++=
++++=
−−
−
kk
nn
aA
aaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaB
n
nnn
n
nnn
n
Il s'ensuit que si ∑ ka converge, alors { }nB est bornée supérieurement, d'où ∑ kak22 converge.
Réciproquement, nous avons ( ) ( ) nn aaaaaaaaA ++++++++= ... 7654321
.22 ... 42 21
112421 kn aaBaaaaak
kn
n ∑∞
=
+<+<++++<
Il s'ensuit que si ∑∞
=122
k
kka converge, alors { }nA est bornée supérieurement, d'où ∑ ka converge.
74. a) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
nn ln1 pour ,2≥n est une suite non croissante de termes positifs qui converge vers 0.
Les conditions d'application du test de Cauchy sont donc satisfaites.
( )2
1 1 ,2 ln 22 ln 2
n nn na
n= = d'où ,1
2ln1
2ln2122
2 222 ∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
=⋅=n n
nn
n
n
nna n qui diverge en tant
que multiple non nul de la série harmonique ,12∑∞
=n n qui est divergente.
Exercices 4.3 page 723
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Puisque ∑∞
=222
n
nna diverge, il s'ensuit que ∑∑
∞
=
∞
=
=22 ln
1nn
n nna diverge aussi, selon le test de
Cauchy.
b) Si ,0>p ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
pn1 pour ,1≥n est une suite non croissante de termes positifs qui converge
vers 0. Dans ce cas, les conditions d'application du test de Cauchy sont satisfaites.
( )2
1 1 ,22
n p npna = = d'où
( ) 1 121 1 1 1
1 1 12 2 .2 22
n
nn n
np p pnn n n na
∞ ∞ ∞ ∞
− −= = = =
⎛ ⎞= ⋅ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑
Il s'agit d'une série géométrique de raison 121−= pr qui converge si ,1
21
1 <−p c'est-à-dire si
,1>p mais diverge si ,12
11 ≥−p c'est-à-dire si .1≤p
Selon le test de Cauchy, il s'ensuit que ∑∑∞
=
∞
=
=11
1n
pn
n na converge ou diverge pour les mêmes
valeurs de p.
Si, par ailleurs, 0≤p , le test de Cauchy ne s'applique pas, puisque { },1 - pp n
n=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ où
,0- ≥p n'est pas une suite qui converge vers 0.
Justement, puisque 0limlim - ≠=∞→∞→
p
nnnna la série ∑
∞
=1
1n
pn diverge. Nous pouvons donc
conclure que ∑∞
=1
1n
pn converge si 1>p et diverge si .1≤p
75. a) ( ) ( )∫∫ ∞→
∞
=b
pbp xxdx
xxdx
22 lnlim
ln
Posons .ln xu = Alors .et 2ln2 , 1∞→⇒∞→=⇒== uxuxdx
xdu
Ainsi, ( )
- 1- - 1 - 1
2 ln 2 ln 2
1 1 lim lim ln 2- 1 1 1ln
bpp p p
p b b
dx uu du bp p px x
∞ ∞ ++ +
→∞ →∞
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
Si ,1>p alors 01-et -1- <+< pp d'où .01
1lim 1- =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
→∞
p
bb
p
724 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Dans ce cas, ( )
( )- 1
2
1 ln 21ln
pp
dxpx x
∞+=
−∫ et l'intégrale impropre converge.
Si ,1<p alors 01 >− p d'où .1
1lim 1- ∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
∞→
p
bb
p
Dans ce cas, ( )∫
∞
2 ln pxxdx diverge.
Si ,1=p alors ( ) ( ) ( )2
2 2
1 1lim lim ln ln lim ln ln ln ln 2 ,ln ln
bb
b b b
dx dx x bx x x x
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
de sorte que l'intégrale impropre diverge.
Par conséquent, il est donc vrai que ( )∫
∞
2 ln pxxdx converge si et seulement si .1>p
b) Selon le test de l'intégrale, dont les conditions d'application sont remplies puisque
( )xf est continue, positive et décroissante pour ,2≥x la série ( )∑
∞
=2 ln1
npnn
converge si
et seulement si l'intégrale ( )∫
∞
2 ln pxxdx converge, donc si et seulement si .1>p
76. a) ,1=p donc la série diverge.
b) ,101,1 >=p donc la série converge.
c) ( )3
2 2 2
1 1 1 13ln 3 lnlnn n nn n n nn n
∞ ∞ ∞
= = =
= =⋅∑ ∑ ∑
,1=p donc la série diverge.
d) ,13 >=p donc la série converge.
Exercices 4.3 page 725
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
77. Test du rapport :
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
1
. . . .
1
ln 1lim lim 1
ln
ln ln 1 1 1lim lim lim lim lim 1 1,ln 1 1 1 1ln 1
p
nn nn
p
p pp p pR H R Hp
pn n n n n
naρa
n
n n n nn n nn
+
→∞ →∞
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞
⎡ ⎤+⎣ ⎦= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
donc le test n'est pas concluant.
Test de la racine n e : ( ) ( )( )1
1 1lim lim .ln lim ln
n nn p pn n n
n
ρ an n
→∞ →∞
→∞
= = =
Posons ( ) ( ) .ln 1 nnnf =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
. .
lim lnln
1 1ln ln ln ln1 lnAlors, ln ln ln lim ln lim lim
11lim 0 lim lim 1.ln
n
R H
n n n
f nf n 0
n n n
n n n nf n n f n sn n n
f n e e en n
→∞
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
→∞ →∞ →∞
⋅= ⋅ = ⇒ = =
= = ⇒ = = = =
Par conséquent, ( )( )1
1 1lim 1,1lim ln
nn p pn n
n
ρ an
→∞
→∞
= = = = donc le test n'est pas concluant.
78. Pour tout .2
,1 nnnan ≤≥
Or ∑∞
=1 2nn
n est une série convergente, ce que nous pouvons démontrer par le test du rapport :
.1211
211
21lim2
21lim
2
21
limlim 1
11 <=⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==∞→+∞→
+
∞→
+
∞→ nn
nn
n
n
aa
n
n
nn
n
n
nn
nn
ρ
Il s'ensuit que ∑ na converge aussi, selon le test de comparaison directe.
726 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
79. Test du rapport :
( )
( )
1
. .
11
lim lim 1
1lim lim lim lim 1 1,1 1 11
pn
n nnp
p p pp R Hp
pn n n n
naρa
n
n n nn nn
+
→∞ →∞
→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞
+= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+
donc le test n'est pas concluant.
Test de la racine n e :
( ) ,1111lim1limlim =====
→∞→∞→∞ ppnnn
pnn
nn nnaρ donc le test n'est pas concluant.
Exercices 4.4 page 727
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.4 - Séries alternées, convergences absolue et conditionnelle
1. Soit .12n
un = Alors,
(1) les nu sont tous positifs ;
(2) ( )( )
,1
1110et 1 2222
+≥⇒+≤⇒>+≤
nnnnnnn d'où 1+≥ nn uu pour tout 1≥n ;
(3) .01lim 2 =∞→ nn
Il s'ensuit que la série ( )∑∞
=
+
12
1 11-n
n
n est convergente par le test des séries alternées.
2. Soit 231
nun = .
Alors (1) les nu sont tous positifs.
(2) ( )( ) 2323
2323
11110et 1+
≥⇒+≤⇒>+≤nn
nnnnn , d'où 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .
(3) 01lim 23 =∞→ nn
Il s'ensuit que la série ( ) 231
1 11-nn
n∑∞
=
+ est convergente par le test des séries alternées.
3. Soit .10
n
nnu ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= Pour ,1
10 ,10 >>
nn de sorte que .010
lim ≠⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→∞
n
n
n
Comme 0lim ≠∞→ nn
u , la série ( )∑∞
=
+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1
1
101-
n
nn n diverge selon le test du en terme pour la divergence.
4. ( )10. .
10 répétée
10 ln1010lim lim lim 010!
nn R H
nn n na
n→∞ →∞ →∞= = = ∞ ≠
La série diverge donc selon le test du en terme pour la divergence.
728 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
5. ( ) xxf ln= est une fonction croissante de x, de sorte que xln
1 est une fonction décroissante.
Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout .2≥n De plus, 0≥nu pour 2≥n et .0ln1lim =
→∞ nn
La série ( )∑∞
=
+
2
1
ln11-
n
n
n converge donc par le test des séries alternées.
6. Soit ( )xxxf ln
= . Alors ( ) 0ln11ln1
22 <−
=⋅−⋅
=′x
xx
xxxxf lorsque ex > , d'où ( )xf est décroissante
pour ex > . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 3≥n .
De plus, 0≥nu pour 3≥n et . .ln 1lim lim 0
1
R H
n n
n nn→∞ ∞ ∞ →∞
= = .
La série ( )nn
n ln1-3
1∑∞
=
+ converge donc par le test des séries alternées et, de ce fait, la série
( )nn
n ln1-1
1∑∞
=
+ .
7. 2ln ln 1 1lim lim lim lim 0
2ln 2 2lnnn n n n
n nunn→∞ →∞ →∞ →∞
= = = = ≠
Comme 0lim ≠∞→ nn
u , la série ( )∑∞
=
+
22
1
lnln1-
n
n
nn diverge selon le test du en terme pour la divergence.
8. Soit ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
xxf 11ln . Alors ( ) ( ) 0
11-1-
11-
11
122 <
+=⋅
+=⋅
+=′
xxxxx
xx
xf lorsque 1≥x , d'où ( )xf est
décroissante pour 1≥x . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .
De plus, 0≥nu pour 1≥n et 01ln11lnlim ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→∞ nn.
La série ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∑
∞
= nn
n 11ln1-1
converge donc par le test des séries alternées.
Exercices 4.4 page 729
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9. Posons ( ) .11
++
=xxxf
Nous avons alors ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
.12
2112221
1
1112
1
222 +−−
=+−−+
=+
⋅+−+⋅=′
xxxx
xxxxx
x
xxxxf
Pour ,021 ,1 <−−≥ xxx de sorte que ( ) ( )xfxf et 0<′ est décroissante.
Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour .1≥n De plus, 0≥nu pour 1≥n et .011limlim =
++
=∞→∞→ n
nunnn
La série ( )∑∞
=
+
++
1
1
111-
n
n
nn converge donc par le test des séries alternées.
10. 0311
113lim
1
13
lim113limlim ≠=
+
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=++
=→∞→∞→∞→∞
n
n
nn
nn
nna
nnnnn.
La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence.
11. La série correspondante des valeurs absolues est ( ) ( ) ( )1
1 1-1 0,1 0,1 ,n n n
n n
∞ ∞+
= =
=∑ ∑ qui est une série
géométrique de raison ,11,0 <=r donc convergente. La série ( ) ( )∑∞
=
+
1
1 1,01-n
nn est donc
absolument convergente.
12. La série correspondante des valeurs absolues est ( ) ( ) ( )1
1 1 1
0,1 0,1 1 1 -1 10
n n nn
n n nn n n
∞ ∞ ∞+
= = =
⎛ ⎞= = ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ .
Or, pour tout 1≥n , nn
n⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
101
1011 . Par ailleurs, ∑
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 101
n
n
est une série géométrique de
raison 1101 <=r , donc convergente. La série ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
1 1011
n
n
n converge donc également selon
le test de comparaison directe et la série ( ) ( )∑∞
=
+
1
1 1,01-n
nn
n est absolument convergente.
730 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
13. Pour ,21et 21 ,1 +<++<+≥ nnnnn de sorte que .et 2
11
11+>
+>
+nn uu
nn
De plus, 01
1>
+=
nun pour tout .0
11limlimet 1 =+
=≥→∞→∞ n
unnnn
La série converge donc
par le test des séries alternées.
Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∞
= +1 11
n n diverge par le test de
l'intégrale puisque 1
1 1
1 1 lim lim 2 1 lim 2 1 2 2 .1 1
b b
b b bdx dx x b
x x
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +∫ ∫
La série ( )∑∞
= +1 111-
n
n
n est donc conditionnellement convergente.
14. Pour 1≥n , 1+< nn , d'où 111 ++<+ nn et 11
11
1++
>+ nn
, de sorte que 1+> nn uu .
De plus, 01
1>
+=
nun pour tout 1≥n et 0
11limlim =+
=∞→∞→ n
unnn
.
La série converge donc par le test des séries alternées. Par ailleurs, la série correspondante des
valeurs absolues ∑∞
= +1 11
n n diverge par le test de comparaison directe puisque
nnnn 211
11
=+
≥+
et que∑∞
=121
1n n
diverge en tant que série-p avec 121 ≤=p . La série
( )∑∞
= +1 11-
n
n
n est donc conditionnellement convergente.
15. La série correspondante des valeurs absolues est 3 3 2 21 1 1 1
1 1 11 1 1n n n n
nn n n n n
n n
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
= = ≤+ +
+∑ ∑ ∑ ∑
puisque 221
11
nnn≤
+ pour tout 1≥n . Or, la série ∑
∞
=12
1n n
est une série- p avec 1>p , de sorte
qu'elle converge. Par le test de comparaison directe, la série ∑∞
= +13 1n nn converge donc, et la
série ( )1
1- 31
1
+∑∞
=
+
nn
n
n est absolument convergente.
Exercices 4.4 page 731
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
16. 0
!2lim
12
!limlim ≠∞===
∞→
∞→∞→
n
na n
n
nnnn (Voir la table 4.1.1 numéro 6, page 266).
La série diverge donc selon le test du n e terme pour la divergence.
17. La série ( )∑∞
= +1 311-
n
n
n converge par le test des séries alternées. En effet, 0
31
≥+
=n
un pour tout
( ) 313 ; 1 ++<+≥ nnn , de sorte que ( )
1 13 1 3n n>
+ + + et 1+> nn uu pour tout ; 1≥n finalement,
03
1limlim =+
=∞→∞→ n
unnn
.
Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∞
= +1 31
n n diverge, puisque pour
nnn 43 ,1 ≤+≥ , d'où ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
=≥+
≥+ 111
141
41
31et
41
31
nnn nnnnn.
La série ∑∞
=1
1n n
étant divergente, la série ∑∞
=1
141
n n l'est aussi et, par le test de comparaison directe,
la série ∑∞
= +1 31
n n.
Il s'ensuit que ( )3
11-1 +∑
∞
= nn
n est conditionnellement convergente.
18. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
=12 sin
n nn converge par le test de comparaison
directe puisque 221 sin nn
n≤ pour tout 1≥n et que ∑
∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( )12 >=p .
Par conséquent, la série ( )∑∞
=12
sin1-n
n
nn est absolument convergente.
19. 0153limlim ≠=++
=→∞→∞ n
nunnn
Comme 0lim ≠∞→ nn
u , la série ( ) 1
1
3-15
n
n
nn
∞+
=
++∑ diverge selon le test du n e terme pour la divergence.
732 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. ( ) xxf ln= est une fonction croissante et positive pour 2≥x , de sorte que ( )3
1 13lnln xx
= est
une fonction décroissante pour 2≥x . Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout n ≥ 2 et que 0≥nu .
De plus, 0ln31limlim ==
→∞→∞ xu
nnn. La série ( ) ( )3
2
1-1ln
n
n n
∞
=∑ converge donc par le test des séries
alternées. Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ( )3
2 2
1 13lnlnn n nn
∞ ∞
= =
=∑ ∑ diverge
puisque nn 31
ln31
> et que ∑∞
=2 31
n n diverge en tant que multiple non nul de la série divergente
∑∞
=2
1n n
. La série ( ) ( )32
1-1ln
n
n n
∞
=∑ est donc conditionnellement convergente.
21. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∑∑∞
=
∞
=
++∞
=
++∞
=
+ +=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
+
1 1
12
1
1
12
12
1
1 11-11-11-11-11-n n
nn
n
nn
n
n
nnnnnn
Chacune des deux séries est une série-p alternée, donc chacune converge et la somme converge.
Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
+=+
112
12
111nnn nnn
n . La première
série du membre de droite de l'égalité est une série-p avec ,1>p qui converge, alors que la
deuxième série est la série harmonique, qui diverge. La somme d'une série convergente et d'une
série divergente diverge (Voir le théorème 4.2.5, page 284).
La série ( )∑∞
=
+ +
12
1 11-n
n
nn est donc conditionnellement convergente.
22. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
=
+
+1
1
52
nn
n
n converge par le test de comparaison
directe puisque n
n
n
n
n
nn⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅<
+⋅
=+
+
522
522
52 1
pour tout 1≥n et que la série ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
1 522
n
n
converge en
tant que multiple de la série géométrique convergente ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 52
n
n
, avec 152 <=r .
Par conséquent, la série ( )∑∞
=
+
+1
1
52-
nn
n
n est absolument convergente.
Exercices 4.4 page 733
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
23. La série correspondante des valeurs absolues ( )∑∞
1=
2 32n
nn converge selon le test du quotient.
En effet, ( ) ( )( )
( )2 1 21
22
1 2 3 1 2 2lim lim lim 13 32 3
nn
nn n nn
n nuu nn
++
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥= = ⋅ = <⎢ ⎥⎣ ⎦
.
La série ( ) ( )∑∞
1=
2 321-n
nn n est donc absolument convergente.
24. ( ) 0110limlim 1 ≠==
→∞→∞
n
nnna (Voir la table 4.1.1. numéro 3, page 266).
La série diverge donc selon le test du n e terme pour la divergence.
25. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
+1=2 1tan
n nnarc converge selon le test de l'intégrale.
( )
( ) ( ) .32
3422
12
1tan 2tan lim
2tan lim
1tan lim
1tan effet,En
22222
1
2
12
12
πππ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
+=
+
→∞
→∞
∞
→∞
∞
∫∫
arcbarc
xarcdxx
xarcdxx
xarc
b
b
bb
La série ( )1
tan 1- 21 +∑
∞
= nnarc
n
n est donc absolument convergente.
26. ( ) ( )( )
( )( )( )
( )0
ln1ln-
ln
1ln1-
ln1
22 <+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+−
=′⇒=xx
xxx
xxx
xfxx
xf pour tout 2≥x , de sorte que la fonction
( )xf est décroissante. Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout .2≥n
De plus, 0≥nu pour 2≥n et 0ln1lim =
→∞ nnn.
La série ( )nnn
n
ln11-
2
1∑∞
=
+ converge donc selon le test des séries alternées. Par ailleurs, la série
correspondante des valeurs absolues ∑∞
=2 ln1
n nn est divergente selon le test de l'intégrale (dont les
conditions d'application sont satisfaites).
734 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En effet, ( ) ( ) ( )2
2 2 2
1 1lim lim lim ln ln lim ln ln ln ln 2ln ln ln
b bb
b b b b
dx dx dx x bx x x x x x x
∞
→∞ →∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .
Puisque l'intégrale diverge, la série correspondante ∑∞
=2 ln1
n nn diverge aussi. La série
( )nnn
n
ln11-
2
1∑∞
=
+ est donc conditionnellement convergente.
27. 011
limlim ≠=+
=→∞→∞ n
nunnn
Comme 0lim ≠∞→ nn
u , la série ( )1
1-1 +∑
∞
= nn
n
n diverge selon le test du en terme pour la divergence.
28. ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 ln lnln ln 1 1 lnln 1 ln 0ln ln ln ln
x xx x x xx xx x x xf x f xx x x x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠′= ⇒ = = = <− − − −
pour
ex > , de sorte que la fonction ( )xf est décroissante et que 1+≥ nn uu pour n > e. De plus, 0≥nu
pour 1≥n et . .ln 1lim lim 0
ln 1 1
R H
n n
n nn n n→∞ ∞ ∞ →∞
= =− −
. La série ( )3
ln-1ln
n
n
nn n
∞
= −∑ converge donc selon le test
des séries alternées et, par conséquent, ( )∑∞
= −1 lnln1-
n
n
nnn .
Par ailleurs, la série correspondante des valeurs absolues ∑∞
= −1 lnln
n nnn est divergente selon le test
de comparaison directe.
En effet, 0ln ≥n et 0ln ≥− nn pour ,1≥n de sorte que nnn ≤− ln et nnn1
ln1
≥−
.
Pour en > , 1ln >n et, par conséquent, nnnnn
n 1ln
1ln
ln≥
−>
−. Comme la série ∑
∞
=3
1n n
diverge, la
série ∑∞
= −3 lnln
n nnn diverge aussi, et donc ∑
∞
= −1 lnln
n nnn . La série ( )∑
∞
= −1 lnln1-
n
n
nnn est donc
conditionnellement convergente.
Exercices 4.4 page 735
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
=1 !100
n
n
n converge selon le test du quotient.
En effet, ( )
11 100 ! 100lim lim lim 0 1
1 ! 1100
nn
nn n nn
u nu n n
++
→∞ →∞ →∞= ⋅ = = <
+ +.
La série ( )∑∞
=1 !100-
n
n
n est donc absolument convergente.
30. La série correspondante des valeurs absolues ∑∑∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
11
-
515
n
n
n
n converge en tant que série
géométrique avec 151 <=r .
La série ( )∑∞
=1
-5-n
n converge, elle est donc absolument convergente.
31. La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
= ++12 12
1n nn
converge par le test de comparaison
directe avec la série ∑∞
=12
1n n
, qui est une série-p avec 1>p , donc convergente.
En effet, pour 22 12 ,1 nnnn ≥++≥ de sorte que 221
121
nnn≤
++ et, par conséquent,
∑ ∑∞
=
∞
=
≤++1 1
221
121
n n nnn.
La série ( )∑∞
=
−
++12
1
121-
n
n
nn est donc absolument convergente.
32. La série correspondante des valeurs absolues n
n
n
n
n
n nn
nn ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2222 2
1ln2
lnlnln converge en tant
que série géométrique avec 121 <=r .
La série ( )n
n
n
nn∑
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
22ln
ln1- est donc absolument convergente.
736 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
33. ( )3 2
1 1
1cosn
n n
nπnn n
∞ ∞
= =
−=∑ ∑
La série correspondante des valeurs absolues ∑∞
=123
1n n
est une série-p avec 1>p , de sorte qu'elle
converge.
La série ∑∞
=1
cosn nn
nπ est donc absolument convergente.
34. ( ) ,1-cos
1 1∑ ∑∞
=
∞
=
=n n
n
nnnπ soit la série harmonique alternée, qui converge conditionnellement (Voir
l'exemple 1, page 303).
35. La série correspondante des valeurs absolues ( )
( )∑∞
=
+
1 21
nn
n
nn converge selon le test de la racine
n e . En effet, ( )( )
121
21lim
21lim <=
+=
+→∞→∞ n
nn
nn
nn
n
n.
La série ( ) ( )( )∑
∞
=
+
1 211-
nn
nn
nn est donc absolument convergente.
36. La série correspondante des valeurs absolues ( )
( )
2
1
!2 !n
nn
∞
=∑ converge selon le test du rapport.
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
2
2
122
22
2
2 . .
2
1 !2 2 ! 1 ! 2 !
lim lim lim2 2 ! !!
2 !
1 ! 2 ! 1lim lim 12 2 ! 2 2 2 1!
2 1 1lim 1.44 6 2
En effet, nn n nn
n n
R H
n répétée
nn n naρ
a n nnn
n nn
n n nn
n nn n
+
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
→∞
⎡ ⎤+⎢ ⎥
+⎢ ⎥ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎢ ⎥= = = ⋅⎢ ⎥+⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
+ ⎡ ⎤= ⋅ = +⎢ ⎥
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ += = <⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
La série ( ) ( )( )
1 2
1
-1 !2 !
n
n
nn
+∞
=∑ est donc absolument convergente.
Exercices 4.4 page 737
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
37. ( ) ( )( ) ( )2 ! 1 2 ... 2lim lim lim
2 ! 2n n nn n n
n n n nu
n n n→∞ →∞ →∞
+ + ⋅ ⋅= =
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
1
1
1
1 2 ... 1 2lim
2 21 2 ... 1
lim2
11 2 1lim ... lim2 2 2 2
nn
nn
n
n n
n n n n nn
n n n n
n nn n n
−→∞
−→∞
−
→∞ →∞
+ + ⋅ ⋅ + − ⋅=
⋅ ⋅
+ + ⋅ ⋅ + −=
+ −+ + +⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ > ⎜ ⎟⎝ ⎠
Or ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + −
∞→
1
21lim
n
n
n , de sorte que 0lim ≠∞=∞→ nn
u . La série ( ) ( )1
2 !-1
2 !n
nn
nn n
∞
=∑ diverge donc selon
le test du n e terme pour la divergence.
38. La série correspondante des valeurs absolues ( )( )
2
1
! 32 1 !
n
n
nn
∞
= +∑ converge selon le test du rapport.
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
11
2 . .
2
1 ! 1 !3 2 1 ! lim lim
2 3 ! ! !3
1 ! 1 ! 2 1 !lim 3
! ! 2 3 !
1lim 1 1 32 3 2 2
3 6 3 3lim 1.44 10 6
En effet,n
nnn nn
n
n
R H
nrépétée
n n naρa n n n
n n nn n n
n nn n
n nn n
++
→∞ →∞
→∞
→∞
∞ ∞→∞
⎡ ⎤+ + += = ⋅⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + += ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + ⋅ ⋅⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ += = <⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
La série ( ) ( ))!12(
3!1-2
1 +∑∞
= nn n
n
n est donc absolument convergente.
39. ( )nnnn
nnnnnn++
=++++
⋅−+=−+11
1111
Or 121 +++<++ nnnn , de sorte que 12
111
+++>
++ nnnn et 1+> nn uu .
De plus, 01 >−+= nnun pour tout ( ) 011lim1limet 1 =++
=−+≥∞→∞→ nn
nnnnn
.
La série converge donc par le test des séries alternées. Par ailleurs, la série correspondante des
738 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
valeurs absolues ( ) ∑∑∞
=
∞
= ++=−+
11 111
nn nnnn diverge. En effet, pour 13 ,1 >≥ nn , d'où
nnnnnnn ++>+>+> 13 ,12 ,14 et finalement, nnn ++
<11
31 .
Mais ∑∑∞
=
∞
=
=1
211
131
31
nn nn diverge, en tant que multiple non nul de la série-p divergente ∑
∞
=121
1n n
( )1<p . Par le test de comparaison directe, il s'ensuit que ∑∞
= ++1 11
n nn diverge.
La série ( ) ( )nnn
n −+∑∞
=
11-1
est donc conditionnellement convergente.
40. nnn
nnn
nnn
nnnnnnnnnannnnn ++
−+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++⋅⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=−+=
→∞→∞→∞→∞ 2
22
2
222 limlimlimlim
.021
1111lim
limlim
2
22
≠=++
=
++
=++
=
→∞
→∞→∞
n
nn
nnn
nn
nnn
n
n
nn
La série diverge donc selon le test du n e terme pour la divergence.
41. ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
∞→∞→ nnn
nnnnnnnnnnnlimlim
.0
21
111
1lim1lim
limlim
≠=++
=
++
=
++=
++
−+=
∞→∞→
∞→∞→
nnn
nnn
nnn
n
nnn
nnn
nn
nn
Comme 0lim ≠∞→ nn
u , la série ( )∑∞
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
11-
n
n nnn diverge selon le test du n e terme pour la
divergence.
Exercices 4.4 page 739
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
42. La série converge selon le test des séries alternées puisque ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++ 11
nn est une suite
décroissante à termes positifs qui converge vers 0. Par ailleurs, la série correspondante des
valeurs absolues ∑∞
= ++1 11
n nn diverge selon le test de comparaison par une limite.
En effet, ∑∞
=∞→∞→∞→∞→=
++=
++
=++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
1
11111
1lim1
lim1
lim1
11
lim et nnnnn n
nnn
nn
nnnn
n
n
nn
est une série-p divergente ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤= 1
21p . La série ( )∑
∞
= ++1 11-
n
n
nn est donc conditionnellement
convergente.
43. 20,051erreur 5 ==< u
44. 00001,010
1erreur 55 ==< u
45. ( ) 11-5
5 102501,0erreur ×==< u
46. .10 1erreur puisque4
5 <<<=< ttu
47. Il s'agit de trouver n tel que ( ) ( )
6
61 5 10ou 2 ! 200 000
2 ! 510nu nn
= < > = .
On trouve 5≥n et ( ) ( )0
1 1 1 1 1-1 1 -0,540302 ! 2! 4! 6! 8!
n
n n
∞
=
≈ − + − + ≈∑ .
48. Il s'agit de trouver n tel que 000 2005
10>n! 10
5!
1 6
6 ou =<=n
un .
On trouve ( ) 36788,0!8
1!7
1!6
1!5
1!4
1!3
1!2
111!
11-et 90
≈+−+−+−+−≈≥ ∑∞
= nn
n
n .
740 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
49. a) La condition 1+≥ nn uu n'est pas satisfaite puisque, par exemple, 21
31< .
b) ... 21
31 ...
81
271
41
91
21
31
+−++−+−+− nn
.
21-1
21
21121
31131
... 21 ...
81
41
21...
31 ...
271
91
31
=−=−
−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++++= nn
(Séries géométriques de raisons 21et 31 == rr respectivement.)
50. 692580927,0211
21et 6687714032,0
201
191 ...
41
31
211 2020 ≈⋅+≈−++−+−= ss
51. Si la somme L est approximée par la somme partielle ( ) j
n
j
jn us ∑
=
+=1
11- , alors le reste est
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 4 51 2 3 4
1
2 2 2 2 2 31 2 3 4
21 2 3 4
-1 -1 -1 -1 -1 ...
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ...
-1 ...
j n n n nj n n n n
j n
n n n nn n n n
nn n n n
u u u u u
u u u u
u u u u
∞+ + + + +
+ + + += +
+ + + ++ + + +
++ + + +
= + + + +
= + + + +
⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦
∑
Comme 1+≥ nn uu pour tout n ≥ 1, le résultat de chaque regroupement de termes est positif ou nul,
de sorte que l'expression entre crochets est positive ou nulle et que le reste a le même signe que
-1( )n +2 , qui est le signe de un+1 , le premier terme non utilisé.
52. ( ) ( ) ∑∑==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
+=
+++
⋅+
⋅+
⋅=
n
k
n
k kkkknns
1120 1
111
11
1 ... 43
132
121
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
111 ...
51
41
41
31
31
21
211
nn, soit les 2n premiers termes de la
première série. Les deux séries sont donc identiques.
Nous voyons que 1
111
111 +
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−= ∑
= nkks
n
kn et que 1
111limlim =+
−==→∞→∞ n
sSnnn
.
Les deux séries convergent donc vers 1.
Exercices 4.4 page 741
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La somme des ( )12 +n premiers termes de la première série est 11
11
11 =+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
nn et la somme
des deux séries est 1.
53. Selon le test de comparaison directe, puisque nn aa ≥ pour tout n et ∑∞
=1nna diverge, il s'ensuit
que ∑∞
=1
nna diverge.
54. Nous savons que ... ... 2121 nn aaaaaa +++≤+++ pour tout n.
De plus, si ∑∞
=1
nna converge, alors ∑
∞
=1nna converge (Voir le théorème 4.4.3, page 306), de sorte
que ∑∑∞
=
∞
=
≤11
n
nn
n aa .
55. a) Par hypothèse, ∑∞
=1
nna et ∑
∞
=1
nnb sont deux séries convergentes, de sorte que
( ) 1 1 1
n n n nn n n
a b a b∞ ∞ ∞
= = =
+ = +∑ ∑ ∑ converge aussi.
Comme, pour tout n, n n n na b a b+ ≤ + , il s'ensuit, par le test de comparaison directe,
que ∑∞
=
+1
n
nn ba converge aussi, d'où ( )∑∞
=
+1n
nn ba est absolument convergente.
b) Par hypothèse, ∑∞
=1
nnb converge, de sorte que ∑
∞
=1-
nnb est absolument convergente. De
plus, par hypothèse, ∑∞
=1nna est aussi absolument convergente. D'après a),
( )( ) ( )1 1
-n n n nn n
a b a b∞ ∞
= =
+ = −∑ ∑ est absolument convergente.
c) Par hypothèse, ∑∞
=1
nna est une série convergente. Il s'ensuit que ∑∑
∞
=
∞
=
=1
1
n
nn
n akak
est aussi une série convergente, d'où ∑∞
=1
nnak converge absolument.
742 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
56. Soit n
ba nnn
1)1-( 1+== . Alors ∑∑∑∞
=
+∞
=
∞
=
==1
1
11
1)1-(n
n
nn
nn n
ba convergent
(Voir l'exemple 3 a), page 306), mais ∑∑∞
=
∞
=
=11
1n
nn
n nba diverge.
57. 211
21- ,
21- 21 =+== ss
5099,0-221
201
181
161
121
101
81
61
411
21-3
≈
−−−−−−−−−+=s
(Note : Pour obtenir s3 , nous additionnons à s2 suffisamment de termes négatifs pour que s3 soit
inférieure à -0,50. Bien entendu, la calculatrice est ici d'une grande utilité!)
-0,512441
421
401
381
361
341
321
301
281
261
241
-0,176631
45
34
≈
−−−−−−−−−−−=
≈+=
ss
ss
-0,51107661
641
621
601
581
561
541
521
501
481
461s
-0,31251
67
56
≈
−−−−−−−−−−−=
≈+=
s
ss
58. Les termes de cette série conditionnellement convergente ne sont pas additionnés dans l'ordre
donné.
2 4 6 8
0,4
0,2
-0,2
-0,4
21 =y
Exercices 4.4 page 743
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
59. a) Si ∑∞
=1
nna converge, alors ∑
∞
=1
nna converge (Voir le théorème 4.4.5, page 299) et la série
∑∑∞
=
∞
=
+11
21
21
nn
nn aa converge aussi.
Or ∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+
=+1111 2
21
21
nn
n
nn
nn
nn b
aaaa , où
00
0 <≥
⎩⎨⎧
=n
nnn a
asisia
b
de sorte que ∑∞
=1
nnb converge.
b) Si ∑∞
=1
nna converge, alors ∑
∞
=1
nna converge et la série ∑∑
∞
=
∞
=
−11
21
21
nn
nn aa converge aussi.
Or ∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=−
=−1111 2
21
21
nn
n
nn
nn
nn c
aaaa où
000
<≥
⎩⎨⎧
=n
n
nn a
asisi
ac
de sorte que ∑∞
=1
nnc converge.
60. Voici un exemple où 5=N . On remarquera
que 123 uuu >> et que 453 uuu >> , mais
que 1+≥ nn uu pour 5≥n .
x02s 4s 6s 8s 5s1s
1u +
2u −
3u +
5u +
4u −
6u −
7u +
3s8u −
7sL
744 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.5 - Séries entières
1. Soit .nn xu = Alors
11
nn
nn
u x x xu x
++ = = → lorsque .∞→n Suivant le test du rapport,
la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire pour .1<1- <x Elle diverge pour
,1 >x car le n e terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la borne -1,=x
la série devient ( ) ,1-0∑∞
=n
n qui diverge. Pour la borne ,1=x la série devient ,10∑∞
=n qui diverge
également.
a) )inférieure borne - supérieure (borne 21est econvergenc derayon Le =R
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est .11- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
2. Soit ( )nn xu 5+= . Alors ( )( )
11 5
5 5 5
nn
nn
xu x xu x
++ +
= = + → ++
lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 5 <+x , c'est-à-dire pour
4-6-ou 151- <<<+< xx .
Elle diverge pour 1 5 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 6-=x , la série devient ( )∑∞
=01-
n
n , qui diverge.
Pour la borne 4-=x , la série devient ∑∞
=01
n, qui diverge également.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 -4 -6 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est 4-6- << x .
Exercices 4.5 page 745
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) L'intervalle de convergence absolue est 4-6- << x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
3. Soit ( ) ( ) .141- nnn xu += Alors ( ) ( )
( ) ( )
1 11 -1 4 1
4 1 4 1 -1 4 1
n nn
n nn
xu x xu x
+ ++ +
= = + → ++
lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 14 <+x c'est-à-dire pour
,04<2- ,114<1- <<+ xx ou encore .021- << x
Elle diverge pour ,1 14 >+x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour
la borne ,21-=x la série devient ( ) ( ) ( )2
0 0 0-1 -1 -1 1,n n n
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
= =∑ ∑ ∑ qui diverge. Pour la borne ,0=x
la série devient ( ) ( ) ( )0 0
-1 1 -1 ,n n n
n n
∞ ∞
= =
=∑ ∑ qui diverge également.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure - borne inférieure) 2
R =
1 1 10 - .2 2 4⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
L'intervalle de convergence est .021- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .021- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
4. Soit ( )n
n nxu 23 −
= . Alors ( )( )
( )1
1 3 2 3 2 3 2
1 13 2
nn
nn
xu n nx xu n nx
++ −
= ⋅ = − ⋅ → −+ +−
lorsque
∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 23 <−x , c'est-à-dire pour
131 encoreou ,1231- <<<−< xx .
746 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Elle diverge pour 1 2-3 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 31
=x , la série devient ( )∑∞
=1
1-n
n
n, soit la série harmonique alternée, qui est
conditionnellement convergente.
Pour la borne 1=x , la série devient ∑∞
=1
1n n
, soit la série harmonique, qui diverge.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
.31
311
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
L'intervalle de convergence est 131
<≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 131
<< x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 31
=x .
5. Soit ( ) .10
2n
n
nxu −
= Alors ( )( )
( ) ( )10
2 10
2
210
102 1
11 −
→−
=−
⋅−
= +
++ xx
xx
uu
n
n
n
n
n
n lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) 2
1,10
x −< c'est-à-dire pour
,102<10- ,110
2<1- <−<− xx ou encore .128- << x
Elle diverge pour ( ) 2
1,10
x −> car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -8,=x la série devient ( ) ( )n0 0
-10-1 ,
10
nn
n n
∞ ∞
= =
=∑ ∑ qui diverge. Pour la borne ,12=x la
série devient 0 0
10 1,10
n
nn n
∞ ∞
= =
=∑ ∑ qui diverge également.
Exercices 4.5 page 747
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure)2
R = −
( )( )1 12 -8 10.2
= − =
L'intervalle de convergence est .128- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .128- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
6. Soit ( )nn xu 2= . Alors ( )( )
11 2
2 2 2
nn
nn
xu x xu x
++ = = → lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 2 <x , c'est-à-dire pour
21
21-ou 121- <<<< xx .
Elle diverge pour 1 2 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 21-=x , la série devient ( )∑
∞
=01-
n
n , qui diverge.
Pour la borne 21
=x , la série devient ∑∞
=01
n, qui diverge également.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
1 1 1 1- .2 2 2 2⎛ ⎞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
L'intervalle de convergence est 21
21- << x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 21
21- << x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
7. Soit .2
+
=n
xnun
n Alors ( ) ( )( )( )
11 +1 +1 2+2
3 3
nn
nn
n x n nu n x xu n n nnx
++ +
= ⋅ = ⋅ →+ +
lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire pour .1<1- <x
748 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Elle diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la
borne -1,=x la série devient ( ) ,1-20
∑∞
=
⋅+n
n
nn qui diverge selon le test du en terme pour la
divergence puisque .012
lim ≠=+→∞ nn
n Pour la borne ,1=x la série devient ,
20∑∞
= +n nn qui diverge
également selon le test du en terme.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est .11- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
8. Soit ( )n
n nxu 2+
= . Alors ( )( )
( ) 2+ 1
2 21
2 1
1 xn
nxx
nn
xu
un
n
n
n →+
⋅+=+
⋅+
+=
++ lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 2+ <x , c'est-à-dire pour
-13-ou 121- <<<+< xx .
Elle diverge pour 1 2+ >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 3-=x , la série devient ∑∞
=1
1n n
, soit la série harmonique, qui diverge.
Pour la borne 1-=x , la série devient ( )∑∞
=1
1-n
n
n, soit la série harmonique alternée, qui est
conditionnellement convergente.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 -1 -3 12
= − =
L'intervalle de convergence est -13- ≤< x .
Exercices 4.5 page 749
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) L'intervalle de convergence absolue est -13- << x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 1-=x .
9. Soit .3n
n
n nnxu = Alors
( ) ( )1
11
3 .3 1 13 1 1
n nn
nnn
u x n n n n xu xn n n n
++
+= ⋅ = ⋅
+ + + +
Or ( )
lim lim lim 1 1 ,
3 1 1 3 3 31 1n n n
x x xn n x n nn nn n→∞ →∞ →∞
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ ++ +
de sorte que 3
1 xu
u
n
n →+
lorsque n → ∞. Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour
1,3x
< c'est-
à-dire pour .33-ou 13
<1- <<< xx
Elle diverge pour ,13 >
x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -3,=x la série devient ( ) ( )3 2
1 1
-1 -1,
n n
n n nn n
∞ ∞
= =
=∑ ∑ une série-p alternée qui converge
absolument, puisque 1>p (Voir l'exemple 6, page 307).
Pour la borne ,3=x la série devient ,111
231
∑∑∞
=
∞
=
=nn nnn
une série-p convergente, puisque .1>p
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 3 -3 3.2
= − =
L'intervalle de convergence est .33- ≤≤ x
b) L'intervalle de convergence absolue est .33- ≤≤ x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
750 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
10. Soit ( )n
n nxu 1−
= . Alors ( )( )
( )1
1 1 1 1
11 1
nn
nn
xu n nx xu nn x
++ −
= ⋅ = − ⋅ → −++ −
lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 1 <−x , c'est-à-dire pour
20ou 111- <<<−< xx .
Elle diverge pour 1 1 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 0=x , la série devient ( )∑∞
=1
1-n
n
n, une série-p alternée avec 1
21≤=p , qui est
conditionnellement convergente.
Pour la borne 2=x , la série devient 1
1n n
∞
=∑ , une série-p avec 1
21≤=p , qui diverge.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( ) .10221
=−=
L'intervalle de convergence est 20 <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 20 << x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 0=x .
11. Soit ( ) .! 1-
nxu
nn
n = Alors ( )( ) ( )
1 11 -1 ! 1 0,
1 ! +1-1
n nn
n nn
xu n xu n nx
+ ++ = ⋅ = ⋅ →
+ pour tout x lorsque
.∞→n Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
Exercices 4.5 page 751
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
12. Soit !
3nxu
nn
n = . Alors ( )
1 11 3 ! 1 3 0
1 ! 13
n nn
n nn
u x n xu n nx
+ ++ = ⋅ = ⋅ →
+ + pour tout x lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
13. Soit 2 1 .!
n
nxu
n
+
= Alors ( )
2 321
2 1! 1 0,
1 ! +1
nn
nn
u x n xu n nx
++
+= ⋅ = ⋅ →+
pour tout x lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
14. Soit ( )!32 12
nxu
n
n
++= . Alors ( )
( ) ( )( )
2 321
2 1
2 3 ! 1 2 +3 01 ! 12 3
nn
nn
xu n xu n nx
++
+
+= ⋅ = ⋅ →
+ ++ pour
tout x lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
15. Soit .32 +
=n
xun
n Alors ( )
, 4+2+
3 3
31 2
22
2
11 xx
nnn
xn
n
xu
un
n
n
n →⋅+
=+
⋅++
=+
+ lorsque
,∞→n puisque 2 2
2 23 3lim lim 1 1.
2 4 2 4n n
n nn n n n→∞ →∞
+ += = =
+ + + +
752 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire .11- << x Elle
diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -1,=x la série devient ( ) .3
1-0 2∑
∞
= +n
n
n
Cette série est conditionnellement convergente puisqu'elle converge selon le test des séries
alternées ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≥≥≥>
+=
→∞+ 0limet 1pour tout ;1pour tout 03
112 nnnnn unuun
nu mais que, par
ailleurs, la série des valeurs absolues ∑∞
= +0 2 3
1n n
diverge comme le démontre le test de
comparaison par une limite avec la série harmonique ,11∑∞
=n n qui diverge.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
+→∞
.11
31limeffet En 2
nn
n
Pour la borne ,1=x la série devient ∑∞
= +0 2 3
1n n
qui, comme nous venons de le voir, diverge.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est .11- <≤ x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- << x
c) La série entière converge conditionnellement pour -1.=x
16. Soit 32 +
=n
xun
n . Alors ( )
42
3 3
31 2
22
2
11 x
nnnx
xn
n
xu
un
n
n
n →++
+⋅=
+⋅
++=
++ lorsque
∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire pour 11- << x .
Elle diverge pour 1 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Exercices 4.5 page 753
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour la borne 1-=x , la série devient ∑∞
= +1 2 3
1n n
, qui diverge (comparaison par une limite avec
∑∞
=1
1n n
).
Pour la borne 1=x , la série devient ( )∑∞
= +1 2 3
1-n
n
n, qui converge conditionnellement en tant que
série alternée dont les termes sont décroissants et convergent vers 0.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est 11- ≤< x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 11- << x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 1=x .
17. Soit ( )3.
5
n
n n
n xu
+= Alors ( )( )
( )
11
1
3 1 3 5 +1 3 5 55 3
n nn
n nn
xn xu n xu nn x
++
+
++ + += ⋅ = ⋅ →
+
lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,15
3 <
+x c'est-à-dire
,53<5- ,15
31- <+<+
< xx ou encore .28- << x Elle diverge pour ,15
3 >
+x car le en terme ne
converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -8,=x la série devient ( )0
-1 ,n
nn
∞
=
⋅∑ qui diverge selon le test du en terme pour la
divergence puisque .0lim ≠∞=→∞
nn
Pour la borne 2,=x la série devient ,0∑∞
=nn qui diverge pour les mêmes raisons.
754 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 2 -8 5.2
= − =
L'intervalle de convergence est .28- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .28- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
18. Soit ( )24 1
n
n n
nxun
=+
.
Alors ( )( )
( )( )
21 21
221
4 1 1 1 1 4 41 14 1 1
nn
nnn
n n xn xu x n nu nnx nn
++
+
++ + += ⋅ = ⋅ ⋅ →
⎡ ⎤ + ++ +⎣ ⎦
lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 14 <
x, soit 44-ou 4 <<< xx .
Elle diverge pour 4 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 4-=x , la série devient ( )2
0
-11
n
n
nn
∞
= +∑ , qui est une série conditionnellement
convergente.
Pour la borne 4=x , la série devient ∑∞
= +02 1n nn , qui est une série divergente.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 4 -4 4.2
= − =
L'intervalle de convergence est 44- <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 44- << x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 4-=x .
Exercices 4.5 page 755
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. Soit .3n
n
nxnu = Alors
11
1
1 3 1 3 33
n nn
n nn
xu n x n xu nnx
++
+
+ += ⋅ = ⋅ → lorsque ,∞→n puisque
1 1lim lim 1 .3 3 3 3n n
x x xn x nn n→∞ →∞
+ +⋅ = ⋅ = ⋅ =
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,13 <
x c'est-à-dire
.3<3-ou 13
1- <<< xx Elle diverge pour ,13 >
x car le en terme ne converge pas vers 0 pour les
valeurs de x.
Pour la borne -3,=x la série devient ( ) ,1-0∑∞
=n
n n qui diverge selon le test du en terme pour la
divergence puisque .0lim ≠∞=→∞
nn
Pour la borne 3,=x la série devient ,0∑∞
=nn qui diverge pour les mêmes raisons.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 3 -3 3.2
= − =
L'intervalle de convergence est .33- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .33- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
20. Soit ( )nnn xnu 52 += . Alors ( )
( )( )
11 11 1 2 5 1 2 +5 2 5
2 5
nn nn
n nnn
n xu nx xu nn x
++ ++ + ⋅ + +
= = ⋅ → +⋅ +
lorsque ∞→n ( )11
puisque lim lim 1 1n nn n
n n+
→∞ + →∞= + = .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 52 <+x , c'est-à-dire
2-3- encoreou ,1521- <<<+< xx .
Elle diverge pour 1 52 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
756 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour la borne 3-=x , la série devient ( ) n
n
n n∑∞
=11- , qui diverge par le test du en terme pour la
divergence, puisque 01lim ≠=∞→
nn
n .
Pour la borne 2-=x , la série devient ∑∞
=1n
n n , qui diverge pour les mêmes raisons.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 1-2 -3 .2 2
= − =
L'intervalle de convergence est -23- << x .
b) L'intervalle de convergence absolue est -23- << x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
21. Soit .11 nn
n xn
u ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += Alors 1 1 1+ 1 ,
nnn nnu x x x
n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
lorsque .∞→n Suivant
le test de la racine en la série converge absolument pour ,1 <x c'est-à-dire .11- << x Elle
diverge pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -1,=x la série devient ( )1
1-1 1 ,n
n
n n
∞
=
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ qui diverge selon le test du en terme pour
la divergence puisque 1lim 1 0.n
ne
n→∞
⎛ ⎞+ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
Pour la borne 1,=x la série devient 1
11 ,n
n n
∞
=
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ qui diverge pour les mêmes raisons.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est .11- << x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- << x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
Exercices 4.5 page 757
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
22. Soit ( )ln nnu n x= . Alors
( )( )( )
( )11
ln 1 ln 1
lnln
nn
nn
n x nu x xu nn x
++
+ += = ⋅ → lorsque ∞→n puisque
( ) . .ln 1lim 1
ln
R H
n
nn→∞ ∞ ∞
+= .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire 11- << x .
Elle diverge pour 1 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 1-=x , la série devient ( ) nn
n ln1-1∑∞
=
, qui diverge par le test du en terme puisque
0lnlim ≠∞=∞→
nn
.
Pour la borne 1=x , la série devient ∑∞
=1ln
nn , qui diverge pour les mêmes raisons.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est 11- << x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 11- << x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x. 23. Soit .nn
n xnu = Alors , ∞→== xnxnu n nnnn lorsque ,∞→n sauf en .0=x
Suivant le test de la racine ,en la série diverge pour tout x, sauf .0=x Elle converge absolument
en .0=x
a) Le rayon de convergence est .0=R
L'intervalle de convergence est .0=x
b) L'intervalle de convergence absolue est .0=x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
758 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
24. Soit ( )nn xnu 4! −= . Alors ( ) ( )( )
( ) ( )1
1 1 ! 4 4 1
! 4
nn
nn
n xu x nu n x
++ + −
= = − ⋅ + →∞−
lorsque
∞→n , sauf en 4=x , où 10 lim 1 <=+
→∞ n
nn u
u .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument en 4=x seulement.
a) Le rayon de convergence est 0=R .
L'intervalle de convergence est 4=x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 4=x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
25. Soit ( ) ( )1-1 2.
2
n n
n n
xu
n
+ +=
Alors ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 11
1 1
2 -1 2 2 2 ,+1 2 21 2 -1 2
n n nn
n n nn
xxu n n xu nn x
+ ++
+ +
++ += ⋅ = ⋅ →
+ + lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,12
2 <
+x c'est-à-dire
.04- encoreou ,222- ,12
21- <<<+<<+
< xxx Elle diverge pour ,12
2 >
+x car le en terme ne
converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -4,=x la série devient ( ) ( ) ( )1 2 1
1 1 1
-1 -1 -1 1- ,n n n
n n nn n n
+ +∞ ∞ ∞
= = =
⋅= =∑ ∑ ∑ qui est l'opposé de la
série harmonique et donc une série divergente.
Pour la borne 0,=x la série devient ( ) ,1-1
1
∑∞
=
+
n
n
n soit la série harmonique alternée, qui converge
conditionnellement (Voir les pages 303 à 305).
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 0 -4 2.2
= − =
L'intervalle de convergence est .04- ≤< x
Exercices 4.5 page 759
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) L'intervalle de convergence absolue est .04- ≤< x
c) La série entière converge conditionnellement en .0=x 26. Soit ( ) ( )( )-2 1 1n n
nu n x= + − .
Alors ( ) ( )( )( ) ( )( )
( )1 1
1 -2 2 1 2 -2 1 2 1 1-2 1 1
n nn
n nn
n xu nx xu nn x
+ ++ + − +
= = − ⋅ → −++ −
lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 1 2 <−x , c'est-à-dire
23
21 encoreou ,
211
21- <<<−< xx .
Elle diverge pour 21 1 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 21
=x , la série devient ( )∑∞
=
+1
1n
n , une série divergente par le test du en terme.
Pour la borne 23
=x , la série devient ( ) ( )1
-1 1n
nn
∞
=
+∑ , une série divergente par le test du en terme.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
.21
21
23
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
L'intervalle de convergence est 23
21
<< x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 23
21
<< x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
27. Soit ( )
.ln 2nnxu
n
n = Alors ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
2 211
2 2
ln ln .
11 ln 1 ln 1
nn
nn
n n nu x n xu nxn n n
++ = ⋅ = ⋅ ⋅
++ + +
Or ( )( )( )
( )( )( ) ( )
22 2
2 2
ln ln lnlim lim lim lim lim 1 1 1 ln 1ln 1 ln 1n n n n n
n nn n n nx x xn n n nn n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + ++ + ⎝ ⎠
( ) , 1 1lim 11
1lim1 222
xxxn
nxn
nnn
=⋅=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅=→∞→∞
de sorte que 1 xu
u
n
n →+ lorsque .∞→n
760 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <x soit .11- << x Elle diverge
pour ,1 >x car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -1,=x la série devient ( )( )2
2
-1.
ln
n
n n n
∞
=∑ Cette série est absolument convergente
puisque la série correspondante des valeurs absolues, ( )2
2
1 ,lnn n n
∞
=∑ converge (série-p
logarithmique avec 1>p ). (Voir la section 4.3, exercice 75, page 301)
Pour la borne 1,=x la série devient ( )2
2
1 ,lnn n n
∞
=∑ qui converge pour les mêmes raisons.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 1 -1 12
= − = .
L'intervalle de convergence est .11- ≤≤ x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- ≤≤ x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
28. Soit nn
xun
n ln= . Alors
( ) ( ) ( )1
1 ln ln 1 ln 1 1 ln 1
nn
nn
u x n n n nx xu n n n nx
++ = ⋅ = ⋅ ⋅ →
+ + + + lorsque
∞→n , puisque ( )
. . . .lnlim 1 et lim 11 ln 1
R H R H
n n
n nn n→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞
= =+ +
.
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire 11- << x .
Elle diverge pour 1 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 1-=x , la série devient ( )∑∞
=2 ln1-
n
n
nn, une série alternée qui est conditionnellement
convergente (Voir l'exercice 4.4, numéro 26, page 311).
Pour la borne 1=x , la série devient ∑∞
=2 ln1
n nn, une série-p logarithmique qui diverge puisque
1=p .
Exercices 4.5 page 761
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
= − =
L'intervalle de convergence est 11- <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 11- <≤ x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 1-=x .
29. Soit ( ) .5423
12
nxu
n
n
+−=
Alors ( )( ) ( )
( ) ( )2 3 3 23 2
2 213 2 2 1
4 5 4 5 4 5 ,
11 4 5
nn
nn
xu n n x xu nn x
++
+
− ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ − → −⎜ ⎟+⎝ ⎠+ − lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) ,154 2 <−x soit ,1 54 <−x c'est-
à-dire ,644 ,1541- <<<−< xx ou encore .231 << x Elle diverge pour ( ) ,154 2 >−x car le en
terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 1,=x la série devient ( )2 1
3 2 3 2 3 21 1 1
-1 1 1- ,n
n n nn n n
+∞ ∞ ∞
= = =
−= =∑ ∑ ∑ qui converge absolument en
tant que l'opposé d'une série-p alternée avec .1>p
Pour la borne ,23=x la série devient ,11
23∑∞
=n n qui converge en tant que série-p avec .1>p
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
.411
23
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
L'intervalle de convergence est .231 ≤≤ x
b) L'intervalle de convergence absolue est .231 ≤≤ x
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
762 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
30. Soit ( )22
13 1
++
=+
nxu
n
n . Alors ( )( )
( )2
11
3 1 2 2 2 2 3 +1 3 1 2 4 2 43 1
nn
nn
xu n nx xu n nx
++
+
+ + += ⋅ = ⋅ → +
+ ++ lorsque
∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 13 <+x , c'est-à-dire
032-ou 1131- <<<+< xx .
Elle diverge pour 1 13 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 32-=x , la série devient ( )∑
∞
=
+
+1
1
221-
n
n
n, une série conditionnellement convergente.
Pour la borne 0=x , la série devient 1
12 2n n
∞
= +∑ , une série divergente.
a) Le rayon de convergence est ( )1 borne supérieure borne inférieure2
R = −
.31
32-0
21
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
L'intervalle de convergence est 032- <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 032- <≤ x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 32-=x .
31. Soit ( ) .n
xun
nπ+
= Alors ( )( )
( )1
1 ,+11
nn
nn
x πu n n x π x πu nn x π
++ +
= ⋅ = ⋅ + → ++ +
lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ,1 <+ πx c'est-à-dire
,11- <+< πx ou encore .11- ππ −<<− x Elle diverge pour ,1 >+ πx car le en terme ne
converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Exercices 4.5 page 763
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour la borne ,-1 π−=x la série devient ( ) ,1-1∑∞
=n
n
n qui converge conditionnellement en tant que
série-p alternée avec .10 ≤< p
Pour la borne ,1 π−=x la série devient 1
1 ,n n
∞
=∑ qui diverge en tant que série-p avec .10 ≤< p
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( )( )1 1 -1 1.2
π π= − − − =
L'intervalle de convergence est .11- ππ −<≤− x
b) L'intervalle de convergence absolue est .11- ππ −<≤− x
c) La série entière converge conditionnellement pour .-1 π−=x
32. Soit ( )2 1
2
2
n
n n
xu
+−
= .
Alors ( )
( )( ) ( )2 3 2 2
11 2 1
2 2 22 2 22 2
n
nn n
n
x x xu nu x
+
++ +
− − −= ⋅ = →
− lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( ) ( )
222
1 ou 2 22
xx
−< − < ,
c'est-à-dire 220ou 222- <<<−< xx .
Elle diverge pour ( ) 122>−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 0=x , la série devient ( ) ( ) ( )
( )22 1
0 0 0
- 2 - 2- 2- 2
2 2
nn
n nn n n
+∞ ∞ ∞
= = =
⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦= =∑ ∑ ∑ qui diverge
selon le test du en terme puisque 02-2-lim ≠=∞→n
.
Pour la borne 22 , la série devient ( ) ( )22 1
0 0 0
2 222
2 2
nn
n nn n n
+∞ ∞ ∞
= = =
⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦= =∑ ∑ ∑ qui diverge pour les
mêmes raisons.
764 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
a) 1Le rayon de convergence est (borne supérieure borne inférieure) 2
R = −
( ) .202221
=−=
b) L'intervalle de convergence absolue est .220 << x
c) La série entière ne converge pour aucune valeur de x.
33. ( ) ( )2 2 2
20 0 0
1 1 1 ,24 2
nn n
n nn n n
x x x∞ ∞ ∞
= = =
⎡ ⎤− − −⎛ ⎞= = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ qui est une série géométrique de premier terme 1 et de
raison .2
1 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=xr
Cette série converge donc pour ,1 2
1 2
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −x c'est-à-dire ( ) ,2 1 ,41 2 <−<− xx
2,<1-<2- x ou encore .31- << x
Donc, la série entière converge pour 31- << x et la somme est :
( )
.23
4124
4
414
1
211
11
12222 xxxxxxr −+
=−+−
=−−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
=−
34. ( ) ( )∑∑∞
=
∞
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +=
+
0
2
0
2
91
91
n
n
nn
n xx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ( )219
xr
+= .
Cette série converge donc pour ( )21 1
9x +
< , c'est-à-dire ( )21 9,x + < ou encore 313- <+< x
ou 24- << x .
Donc, la série entière converge pour 24- << x et la somme est
( ) ( )2 2 2 2
1 1 9 9 91 9 2 1 8 21 9 1
19
r x x x xx x= = = =
− − − − − −+ − +−
.
Exercices 4.5 page 765
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
35. ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
01
2n
nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison .1
2−=
xr
Cette série converge donc pour ,1 12
<−x
c'est-à-dire ,4<0 ,22
<0 ,112
1- <<<−< xxx ou encore .160 << x
Donc, la série entière converge pour 160 << x et la somme est :
.4
2
12
1
11
1xxr −
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=−
36. ( )∑∞
=0ln
n
nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison xr ln= .
Cette série converge donc pour 1 ln <x , c'est-à-dire 1ln1- << x ou exe
<<1
Donc, la série entière converge pour exe
<<1 et la somme est
xr ln11
11
−=
−.
37. ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
0
2
31
n
nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison .
312
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xr
Cette série converge donc pour ,1 3
1 2
<+x c'est-à-dire .22- ,2 ,31 22 <<<<+ xxx
Donc, la série entière converge pour 22- << x et la somme est
( ) 22 2
1 1 3 3 .1 21 3 11
3r xx x= = =
− ⎛ ⎞ −+ − +− ⎜ ⎟⎝ ⎠
766 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
0
2
21
n
nx est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
212xr .
Cette série converge donc pour 1 2
1 2
<−x , c'est-à-dire ,212- ,2 1 22 <−<<− xx
33- ,30 ,31- 22 <<<<<< xxx .
Donc, la série entière converge pour 33- << x et la somme est
( ) 22 2
1 1 2 21 31 2 11
2r xx x= = =
− ⎛ ⎞ −− − −− ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
39. Il faut trouver une série géométrique telle que .41
434
3raison1
rmepremier texx −
=−
=−
La série aura donc 43 pour premier terme et la raison sera .4x
La série recherchée est , ... 44
3 ... 44
344
343 2
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
nxxx ou encore
... 4
3 ... 43
43
43
12
32 +++++ +n
n xxx
40. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )6-12
6163
63
raison1rmepremier te
xx
xx
xx
−=
+=
+=
−.
La série aura donc 2x pour premier terme et sa raison sera ( )6- x .
La série recherchée est ... 6
-2
... 6
-26
-22
2
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+
nxxxxxxx , ou encore
( ) ( )∑∞
= ⋅=+
⋅+−
⋅+
⋅−
0
32
2
621- ...
621- ...
621
621
2 n
nn
nn
n
n
xxxxx .
Exercices 4.5 page 767
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
41. Il faut trouver une série géométrique telle que ( ) ( ) .32135
32335
235
raison1rmepremier te 222
xx
xx
xx
−=
−=
−=
−
La série aura donc 35 2x pour premier terme et la raison sera .32x
La série recherchée est , ... 3
23
5 ... 3
23
53
23
53
5 22222
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⋅+
nxxxxxxx ou encore
2 23 4 2
2 3 15 5 2 5 2 5 2 ... ...
3 3 3 3
nn
nx x x x +
+
⋅ ⋅ ⋅+ + + + +
42. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )( )
33 4 3premier terme 41 raison 3 5 1 -5 3
xxx x
= =− + −
.
La série aura donc ( )34 3x pour premier terme et sa raison sera 35- x .
La série recherchée est 23 3 3 34 4 -5 4 -5 4 -5... ...
3 3 3 3 3 3 3
nx x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, ou encore
( ) ( )3 24 5 3 3
2 3 1 10
-1 4 5 -1 4 54 4 5 4 5 ... ... 3 3 3 3 3
n nn nn n
n nn
x x x x x∞
+ ++ +
=
⋅ ⋅⋅ ⋅− + − + + = ∑ .
43. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )22premier terme ,1 raison 5 3
xx
−=
− − la raison étant exprimée
en termes de ( )2−x puisque la série recherchée sera centrée en .2=a
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 22 2 2 2 - 2 - 2.
5 3 5 3 2 2 5 3 2 6 -1 3 2 1 3 2 1 -3 2x x x x x x
x x x x x x− − − − − −
= = = = =− − − + − − − − − + − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦
La série aura donc ( )22- −x pour premier terme et la raison sera ( ).23- −x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 2322322-est recherchée série La −⋅−−−⋅−+− xxxxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 2321- ... 232 21332 +−⋅⋅−++−⋅−+ + nnn xxxx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 5 1 22 3ou encore - 2 3 2 3 2 3 2 ... -1 3 2 ... .n nnx x x x x+ +− + − − − + − − + ⋅ ⋅ − +
Note : Dans les problèmes qui suivent, nous utiliserons fréquemment le développement en série
de ,xe énoncé à l'exercice 66, auquel nous appliquerons le changement de variable approprié.
768 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
44. Il faut trouver une série géométrique telle que ( )32 3premier terme1 raison 3 1
xx+
=− −
, la raison étant exprimée
en termes de 3+x , puisque la série recherchée sera centrée en 3-=a .
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
33 3 3 32 3 -102 3 2 3 2 3 - 3 533 1 3 3 3 1 3 3 10 3 +3 10 10 1 3
10
xx x x xx x x x x
⎡ ⎤++ + + +⎣ ⎦= = = =− + − − + − ⎡ ⎤−⎣ ⎦ − +
.
La série aura donc ( )5
3- 3+x pour premier terme et sa raison sera ( )3103
+x .
La série recherchée est
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 3103
53 ... 3
103
533
103
53
53- 32333
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
+−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
+−+⋅
+−
+ n
xxxxxxx
ou encore ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 324 5 3
20
- 3 3 33 3 33 3 ... 3 ... -5 5 10 5 10 5 10 5 10
nnnn
n nn
x xx x x
+∞+
=
+ +− + − + − − + − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ .
45. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
+n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xanxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0,n
n ny y a a a a x a a x n a a x −+′ + = + + + + + + + + + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ... , 0, etc.n na a a a a a n a a −+ = + = + = + =
Vu que ,0en 1 == xy il s'ensuit que a0 = 1.
De ,1et 0 001 ==+ aaa nous déduisons -1.- 01 == aa
De ,1-et 02 112 ==+ aaa nous déduisons .21
2- 1
2 ==aa
De ,21et 03 223 ==+ aaa nous déduisons .32
1-3
- 23 ⋅
==aa
En général, de ,0 1 =+ −nn aan il découle que ( ) ( ) .!
1-...32
1-- 1
nnnaa
nnn
n =⋅⋅⋅
== −
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
Exercices 4.5 page 769
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )2 3 -11 11 ... ...2 3! !
nny x x x x
n= − + − + + +
( )0
-1.
!
n n-x
n
xe
n
∞
=
= =∑
46. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 2 2 2 3 2 ... 2 ... 0,n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ − = − + − + − + + − + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 12 0, 2 2 0, 3 2 0, ..., 2 0n na a a a a a na a −− = − = − = − = , etc.
Vu que 0en 1 == xy , il s'ensuit que 10 =a .
De 1et 02 001 ==− aaa , nous déduisons 22 01 == aa .
De 2et 022 112 ==− aaa , nous déduisons 22
222
22 2
12 =
⋅==
aa .
De 22et 023
2
223 ==− aaa , nous déduisons 23
222
32
32 32
23 ⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== aa .
En général, de 02 1 =− −nn ana , il découle que ( )
112 2 2 2
1 ...3 2 !
n nn
naan n n n
−−= = ⋅ =
− ⋅.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 32 3
2 3
0
2 2 21 2 ... ...2 3 2 !
2 2 21 2 ... ...
2! 3! !
2.
!
nn
n
n
n
y x x x xn
x x xx
n
xn
∞
=
= + + + + + +⋅
= + + + + + +
=∑
Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers xe2 pour tout x.
47. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
+n
nn
n xaxaxaxaay
770 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
alors
... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xanxaxaay
( ) ( ) ( ) ( ) ,1 ... ... 32 11
2231201 =+−++−+−+−=−′ −
+n
nn xaanxaaxaaaayy
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,0 , ... ,03 ,02 ,1 1231201 =−=−=−=− −nn aanaaaaaa
Vu que ,0en 0 == xy il s'ensuit que .00 =a
De ,0et 1 001 ==− aaa nous déduisons 1 0 1 1.a a= + =
De ,1et 02 112 ==− aaa nous déduisons .21
21
2 ==aa
De ,21et 03 223 ==− aaa nous déduisons .
321
32
3 ⋅==
aa
En général, de ,0 1 =− −nn aan il découle que !
1 ... 32
11
nnnaa n
n =⋅⋅⋅
== − pour .1≥n
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
... !
1 ... !3
121 32 +++++= nx
nxxxy
1
0
!
1 1.!
n
n
nx
n
xn
x en
∞
=
∞
=
=
= − = −
∑
∑
48. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 10 1 2 1... ...n n
n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +
alors 2 11 2 32 3 ... ...n
ny a a x a x na x −′ = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 1n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + = ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 11, 2 0, 3 0, ..., 0n na a a a a a na a −+ = + = + = + = , etc.
Vu que 0en 2 == xy , il s'ensuit que 20 =a .
De 2et 1 001 ==+ aaa , nous déduisons 1-1 01 =−= aa .
De 1-et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21
2- 1
2 ==aa .
De 21et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons
321-
3- 2
3 ⋅==
aa .
Exercices 4.5 page 771
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )!
1-...32
1-- 1
nnaaa
nn
n
nn =
⋅⋅⋅== − .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
( )
( ) .1!
1-1
...!
1- ... !3!2
11
... !
1- ... 32
1212
0
-
32
32
∑∞
=
+=+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−+−+=
+++⋅
−+−=
n
xnn
nn
nn
en
x
nxxxx
xn
xxxy
Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ( )∑∞
=0 !1-
n
nn
nx converge vers xe- pour tout x,
de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme xey -1+= .
49. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xanxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... ,n
n ny y a a a a x a a x n a a x x−−′ − = − + − + − + + − + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,0 ..., ,03 ,12 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn aanaaaaaa
Vu que ,0en 0 == xy il s'ensuit que .00 =a
De ,0et 0 001 ==− aaa nous déduisons a1 = a0 = 0.
De 2a2 − a1 = 1 et a1 = 0, nous déduisons .21
21 1
2 =+
=aa
De ,21et 03 223 ==− aaa nous déduisons .
321
32
3 ⋅==
aa
En général, de ,0 1 =− −nn aan il découle que !
1...32
11
nnnaa n
n =⋅⋅⋅
== − pour .2≥n
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
2 3
2 0
1 1 10 0 ... ... 1 1 .2 3! ! ! !
n nn x
n n
x xy x x x x x e xn n n
∞ ∞
= =
= + ⋅ + + + + + = = − − = − −∑ ∑
772 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
50. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 10 1 2 1... ...n n
n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 2n
n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ + = + + + + + + + + + = ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 2, 3 0, ..., 0n na a a a a a na a −+ = + = + = + = , etc.
Vu que 0en 1- == xy , il s'ensuit que 1-0 =a .
De 1-et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 1- 01 == aa .
De 1et 22 112 ==+ aaa , nous déduisons 21
22 1
2 =−
=aa .
De 21et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons
321-
3- 2
3 ⋅==
aa .
En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )1 -1 -1-2 3 ... !
n nn
nn
aaa n n
−= = =⋅ ⋅ ⋅
.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
( )
( )
( ) .22!
1-
22... !
1- ... !3!2
1
... !
1- ... !3
1211-
0
32
32
∑∞
=
+−=
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−+−=
+++−++=
n
nn
nn
nn
xn
x
xn
xxxx
xn
xxxy
Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ( )∑∞
=0 !1-
n
nn
nx converge vers xe- pour tout x,
de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme 22- −+= xey x . 51. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xanxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 3 11 2 0 3 1 4 2 22 3 4 ... 0,n
n ny xy a a a x a a x a a x n a a x −−′ − = + − + − + − + − + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 3 1 4 2 20, 2 0, 3 0, 4 =0, ..., 0, etc.n na a a a a a a n a a −= − = − = − − =
Vu que ,0en 1 == xy il s'ensuit que .10 =a
Exercices 4.5 page 773
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De ,1et 02 002 ==− aaa nous déduisons .21
20
2 ==aa
De ,0et 03 113 ==− aaa nous déduisons .031
3 ==aa
De ,21et 04 224 ==− aaa nous déduisons .
421
42
4 ⋅==
aa
En général, de ,0 2 =− −nn aan il découle que 02 == −
naa n
n si n est impair
et nn
aa nn ⋅⋅⋅
== −
... 4212 si n est pair, ou encore 012 =+na
et ( ) . ... 2121
2 ... 421
2 nna nn ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
.!
2!2
... 2...42
1 ... 42
1211 2
0
2
0
2242 2x
n
n
nn
nn e
n
x
nxx
nxxy =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⋅
=+⋅⋅⋅
++⋅
++= ∑∑∞
=
∞
=
52. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( )2 2 3 11 2 3 0 4 1 32 3 4 ... ... 0,n
n ny x y a a x a a x a a x na a x −−′ − = + + − + − + + − + =
d'où ( ) ( ) ( )1 2 3 0 4 1 30, 0, 3 0, 4 0, ..., 0n na a a a a a na a −= = − = − = + = , etc.
Vu que 0pour 1 == xy , il s'ensuit que 10 =a .
De 1et 03 003 ==− aaa , nous déduisons 31
30
3 ==aa .
De 0et 04 114 ==− aaa , nous déduisons 041
4 ==aa .
Du terme général ( ) 03 =− −nn ana , nous tirons
,05 25 =− aa d'où 052
5 ==aa
,06 36 =− aa d'où 63
163
6 ⋅==
aa .
En général, 0et 0 ,3...963
123133 ==
⋅⋅⋅⋅= ++ nnn aa
na .
774 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
∑∑∞
=
∞
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
==
+⋅⋅⋅⋅
++⋅⋅
+⋅
++=
0
3
0
3
3963
.!
3!3
... 3...963
1 ... 963
163
1311
n
n
nn
n
n
n
x
nx
xn
xxxy
Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers 3 3xe pour tout x.
53. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors 2 3 11 2 3 42 3 4 ... ...n
ny a a x a x a x n a x −′ = + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 31 0 2 1 1 3 2 2 4 3 3
11 1
1 2 3 2 4 3
... 1 ... 0, nn n n
x y y a a a a a x a a a x a a a x
n a n a a x −− −
′− − = − + − − + − − + − −
+ + − − − + =
d'où ( )1 0 2 1 3 2 4 3 10, 2 2 0, 3 3 0, 4 4 0, ... , 0, etc.n na a a a a a a a n a n a −− = − = − = − = − =
Vu que ,0en 2 == xy il s'ensuit que .20 =a
De ,2et 0 001 ==− aaa nous déduisons 2.01 == aa
De ,2et 022 112 ==− aaa nous déduisons 2.12 == aa
De ,2et 033 223 ==− aaa nous déduisons .223 == aa
En général, de ,01 =− −nn nana il découle que .21 == −nn aa
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est :
.
122
... 2 ... 2222
0
32
∑∞
= −==
++++++=
n
n
n
xx
xxxxy
54. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 1
0 1 2 1... ...n nn ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,0 ...
... 2242322211
2
3224
2113021
2
=+++
+++++++++=+′+−
−n
nn xnana
xaaaxaaaxaaaxyyx
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 3 1 4 2 20, 2 2 0, 3 3 0, 4 4 0, ..., 0n na a a a a a a na na −= + = + = + = + = , etc.
Exercices 4.5 page 775
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Vu que 0pour 3 == xy , il s'ensuit que 30 =a .
De 3et 022 002 ==+ aaa , nous déduisons -3- 02 == aa .
De 0et 033 113 ==+ aaa , nous déduisons 0- 13 == aa .
De 3-et 044 224 ==+ aaa , nous déduisons 3- 24 == aa .
En général, ( ) 31-et 0 212 ⋅==+
nnn aa .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( ) ( ) .-31-3 ... 3330
2
0
242 ∑∑∞
=
∞
=
==−+−=n
n
n
nn xxxxy
Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers 213x+
pour 1 <x .
55. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 432 134
2321 ++++++=′ −n
n xanxaxaxaay et
( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n
nxannxaxaay
( ) ( ) ( ) 22 0 3 1 4 22 3 2 4 3 ...y y a a a a x a a x′′ − = − + ⋅ − + ⋅ − +
( )[ ] ,0 ... 1 22 =+−−+ −
−n
nn xaann
d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 0, 3 2 0, 4 3 =0, ... , 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − − − =⎣ ⎦
Vu que .1 ,0en 1 1 ===′ axy De même, vu que .0 ,0en 0 0 === axy
De ,0et 02 002 ==− aaa nous déduisons .020
2 ==aa
De ,1et 023 113 ==−⋅ aaa nous déduisons .23
123
13 ⋅
=⋅
=aa
De ,0et 034 224 ==−⋅ aaa nous déduisons .034
24 =
⋅=
aa
De même, ,23
1et 045 335 ⋅==−⋅ aaa d'où .
!51
23451
453
5 =⋅⋅⋅
=⋅
=aa
Ainsi ( )2 2 1
10 et 2 1 !n na a
n+= =+
et la solution de l'équation différentielle est :
776 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )
( )
3 5 2 1
2 1
0
1 1 1 ... ...3! 5! 2 1 !
.2 1 !
n
n
n
y x x x xn
xn
+
+∞
=
= + + + + ++
=+∑
56. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay et
( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n
nxannxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 3 1 4 2 22 3 2 4 3 ... 1 ... 0n
n ny y a a a a x a a x n n a a x −−′′ ⎡ ⎤+ = + + ⋅ + + ⋅ + + + − + + =⎣ ⎦ ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 2 2 0, 3 2 0, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤+ = ⋅ + = ⋅ + = − + =⎣ ⎦ , etc.
Vu que 0pour 0et 1 ==′= xyy , il s'ensuit que 0et 1 10 == aa .
De 1et 02 002 ==+ aaa , nous déduisons 21-
2- 0
2 ==aa .
De 0et 023 113 ==+⋅ aaa , nous déduisons 023
- 13 =
⋅=
aa .
De 21-et 034 224 ==+⋅ aaa , nous déduisons
2341
34- 2
4 ⋅⋅=
⋅=
aa .
De 0et 045 335 ==+⋅ aaa , nous déduisons 045
- 35 =
⋅=
aa .
En général, ( )( )2 1 2-1
0 et 2 !
n
n na an+ = = .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )( )
22 4
0
-11 11 ... 2 4! 2 !
n n
n
xy x x
n
∞
=
= − + − =∑ .
Comme nous le verrons à la section 4.6, cette série converge vers xcos pour tout x.
(Voir aussi l'exercice 65. a) de la présente section)
Exercices 4.5 page 777
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
57. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 432 134
2321 ++++++=′ −n
n xanxaxaxaay
et
( ) ... 1 ... 34232 22432 +−++⋅+⋅+=′′ −n
nxannxaxaay
( ) ( ) ( ) ... 34232 2241302 ++⋅++⋅++=+′′ xaaxaaaayy
( )[ ] , ... 1 22 xxaann n
nn =++−+ −−
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) etc. ,01..., 0,=34 ,123 ,02 2241302 =+−+⋅=+⋅=+ −nn aannaaaaaa
Vu que .1 ,0en 1 1 ===′ axy De même, vu que .2 ,0en 2 0 === axy
De ,2et 02 002 ==+ aaa nous déduisons -1.2
- 02 ==
aa
De ,1et 123 113 ==+⋅ aaa nous déduisons .023
1 13 =
⋅−
=aa
De 4 ⋅ 3a4 + a2 = 0 et a2 = -1, nous déduisons 24
- 1 .4 3 4 3aa = =⋅ ⋅
De même, ,0et 045 335 ==+⋅ aaa d'où 045
- 35 =
⋅=
aa et ,34
1et 056 446 ⋅==+⋅ aaa
d'où .3456
1-56
- 46 ⋅⋅⋅
=⋅
=aa
Ainsi, .012 =+na
Dans le cas des indices pairs, la régularité est moins évidente, mais voyons tout de même :
!62
2345621-
34561- ,
!42
2342
341 ,
!22-
22-=-1 ,
!022 6420 =
⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
==⋅⋅
=⋅
===== aaaa
d'où ( )( )2-1 2
.2 !
n
nan⋅
=
778 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La solution de l'équation différentielle est :
( )( )
( )( )
( )( )
22 4 6
1 22 4 6
1 2
1
2 -12 22 ... ...4! 6! 2 !
-12 2 ... ...
2! 4! 6! 2 !
-12 2 .
2 !
n n
n n
n n
n
xy x x x x
n
xx x xxn
xx
n
+
+∞
=
= + − + − + + +
⎛ ⎞⎜ ⎟= + − − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + − ∑
58. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay et
( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n
ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +
( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 3 1 4 2 22 3 2 4 3 ... 1 ... n
n ny y a a a a x a a x n n a a x x−−′′ ⎡ ⎤− = − + ⋅ − + ⋅ − + + − − + =⎣ ⎦ ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 0, 3 2 1, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − = − − =⎣ ⎦ , etc.
Vu que 0pour 2et 1- ==′= xyy , il s'ensuit que 2et 1- 10 == aa .
De ( ) 1-et 02 002 ==− aaa , nous déduisons 21-
20
2 ==aa .
De ( ) 2et 123 113 ==−⋅ aaa , nous déduisons 21
23+1 1
3 =⋅
=aa .
De ( )21-et 034 224 ==−⋅ aaa , nous déduisons
2341-
342
4 ⋅⋅=
⋅=
aa .
De ( )21et 045 335 ==−⋅ aaa , nous déduisons
!53
2451
453
5 =⋅⋅
=⋅
=aa .
En général, ( ) ( )!123et
!21-
122 +== + n
an
a nn .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( ) ( )
2 3
2 2 1
1 1
1 3-1 2 ...2 3!
3-1 2 .2 ! 2 1 !
n n
n n
y x x x
x xxn n
+∞ ∞
= =
= + − + −
= + − ++∑ ∑
Exercices 4.5 page 779
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
59. Les conditions initiales sont fournies pour 2=x ; il faut donc centrer la série recherchée en
.2=a Nous supposerons donc qu'il existe une solution de la forme
( ) ( ) ( ) . ... 2 ... 22 2210 +−++−+−+= n
n xaxaxaay
Alors
( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 ... 242322 134
2321 +−++−+−+−+=′ −n
n xanxaxaxaay
et
( ) ( ) ( ) ( ) ... 21 ... 2342232 22432 +−−++−⋅+−⋅+=′′ −n
n xannxaxaay
( ) ( )( ) ( )( )22 0 3 1 4 22 3 2 2 4 3 2 ...y y a a a a x a a x′′ − = − + ⋅ − − + ⋅ − − +
( ) ( ) ( )221 2 ... - -2 2 ,n
n nn n a a x x x−−⎡ ⎤+ − − − + = = − −⎣ ⎦
d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 0 3 1 4 2 22 -2, 3 2 -1, 4 3 =0, ..., 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤− = ⋅ − = ⋅ − − − =⎣ ⎦
Vu que -2. ,2 lorsque -2 1 ===′ axy De même, vu que .0 ,2 lorsque 0 0 === axy
De ( ) ,0et -22 002 ==− aaa nous déduisons -1.2
202 =
−=
aa
De ( ) -2,et 1-23 113 ==−⋅ aaa nous déduisons .233-
2311
3 ⋅=
⋅−
=aa
De ( ) -1,et 034 224 ==−⋅ aaa nous déduisons .!42-
341-
342
4 =⋅
=⋅
=aa
De même ( ) ,233-et 045 335 ⋅
==−⋅ aaa d'où ( ) 056et 2345
3-45 46
35 =−⋅
⋅⋅⋅=
⋅= aaaa et
.!62-
34561-
56où d' ,
341- 4
64 =⋅⋅⋅
=⋅
=⋅
=aaa
Ainsi, ( ) ( )2 2 1
-2 -3 pour 1 et pour 1.2n ! 2n+1 !n na n a n+= ≥ = ≥
La solution de l'équation différentielle est :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
2 3 4 5
2 2 1
1
2 3 2 3-2 2 2 2 2 2 ...2! 3! 4! 5!
2 2 3 2-2 2 .
2 ! 2 1 !
n n
n
y x x x x x
x xx
n n
+∞
=
= − − − − − − − − − −
⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − − +
+⎢ ⎥⎣ ⎦∑
780 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
60. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay et
( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n
ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +
( ) ( )2 2 22 3 4 0 42 6 4 3 ... 1 ... 0n
n ny x y a a x a a x n n a a x −−′′ ⎡ ⎤− = + + ⋅ − + + − − + =⎣ ⎦ ,
d'où ( ) ( )2 3 4 0 42 0, 6 0, 4 3 0, ..., 1 0n na a a a n n a a −⎡ ⎤= = ⋅ − = − − =⎣ ⎦ , etc.
Vu que 0en et ==′= xbyay , il s'ensuit que baaa == 10 et . De plus, .032 == aa
De ( ) aaaa ==−⋅ 004 et 034 , nous déduisons 3434
04 ⋅
=⋅
=aaa .
De ( ) baaa ==−⋅ 115 et 045 , nous déduisons 4545
15 ⋅
=⋅
=baa .
De ( ) 0et 056 226 ==−⋅ aaa , nous déduisons 06 =a .
De ( ) 0et 067 337 ==−⋅ aaa , nous déduisons 07 =a .
De ( )34
et 078 448 ⋅==−⋅
aaaa , nous déduisons 347878
48 ⋅⋅⋅
=⋅
=aaa .
De ( )45
et 089 559 ⋅==−⋅
baaa , nous déduisons 458989
59 ⋅⋅⋅
=⋅
=baa .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
... 458934784534
9854 +⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
+⋅
+⋅
++= xbxaxbxabxay .
61. Supposons qu'il existe une solution de la forme
... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors
... ... 432 134
2321 ++++++=′ −n
n xanxaxaxaay
et
( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n
ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +
( ) ( ) ( )2 2 3 22 3 4 0 5 1 42 3 2 4 3 5 4 ... 1 ... ,n
n ny x y a a x a a x a a x n n a a x x−−′′ ⎡ ⎤+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + − + + =⎣ ⎦ d'où
( ) ( ) ( )2 3 4 0 5 1 42 0, 3 2 1, 4 3 0, 5 4 0, ... , 1 0, etc.n na a a a a a n n a a −⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ + = ⋅ + = − + =⎣ ⎦
Vu que . ,0en 1 baxby ===′ De même, vu que . ,0en 0 aaxay ===
Exercices 4.5 page 781
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De ,02 2 =a nous déduisons .02 =a
De ,123 3 =⋅ a nous déduisons .23
13 ⋅=a
De ( ) ,et 034 004 aaaa ==+⋅ nous déduisons .34
-4 ⋅=
aa
De ( ) ,et 045 115 baaa ==+⋅ nous déduisons .45
-5 ⋅=
ba
De ( ) ,0et 056 226 ==+⋅ aaa nous déduisons .06 =a
De ( ) ,23
1et 067 337 ⋅==+⋅ aaa nous déduisons .
23671-
7 ⋅⋅⋅=a
Pour les termes suivants, de ( ) ,01 4 =+− −nn aann nous déduisons ( ) .1- 4
−= −
nnaa n
n
La solution de l'équation différentielle est :
. ... 458934782367
1453423
1 987543 +⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
−⋅
−⋅
−⋅
++= xbxaxxbxaxbxay
62. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay et
( )2 22 3 42 3 2 4 3 ... 1 ...n
ny a a x a x n n a x −′′ = + ⋅ + ⋅ + + − +
( ) ( ) ( ) 22 1 0 3 2 1 4 3 22 2 2 3 2 4 4 3 3 2y y y a a a a a a x a a a x′′ ′− + = − + + ⋅ − + + ⋅ − ⋅ +
( ) ( ) 21 2 ... 1 2 1 0n
n n nn n a n a a x −− −⎡ ⎤+ + − − − + =⎣ ⎦ ,
d'où ( ) ( ) ( )2 1 0 3 2 1 4 3 22 2 0, 3 2 4 0, 4 3 3 2 0,a a a a a a a a a− + = ⋅ − + = ⋅ − ⋅ + =
( ) ( ) 1 2... , 1 2 1 0n n nn n a n a a− −⎡ ⎤− − − + =⎣ ⎦ .
Vu que 0en 1et 0 ==′= xyy , il s'ensuit que a0 = 0 et a1 = 1.
De ( ) 1et 0= ,022 10012 ==+− aaaaa , nous déduisons 12
2 012 =
−=
aaa .
De ( ) 1et 1 ,0423 21123 ===+−⋅ aaaaa , nous déduisons 21
234 12
3 =⋅−
=aaa .
De ( )21et 1= ,02334 32234 ==+⋅−⋅ aaaaa , nous déduisons
61
3423 23
4 =⋅−⋅
=aaa .
De ( )61et
21= ,04245 43345 ==+⋅−⋅ aaaaa , nous déduisons
241
4542 34
5 =⋅−⋅
=aaa .
782 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En général, ( )
11 !na
n=
−.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
12 3 4 5
1 0 0
1 1 1 ... 2 3! 4! 1 ! ! !
n n n
n n n
x x xy x x x x x xn n n
+∞ ∞ ∞
= = =
= + + + + + = = =−∑ ∑ ∑ .
Comme nous le verrons à la section 4.6, la série ∑∞
=0 !n
n
nx converge vers xe pour tout x,
de sorte que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme xexy = .
(Voir aussi l'exercice 66 de la présente section) 63. La série est une série géométrique de premier terme 1 et de raison ( ).3
21- −= xr
Cette série converge donc pour ( ) ,1 321- <−x c'est-à-dire ,232- ,2 3 <−<<− xx ou encore
.51 << x La somme est ( )
.1
232
2
3211
11
1−
=−+
=−+
=− xxxr
Si ( ) ( ) ( ) ( ) , ... 321- ... 3
413
211 2 +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++−+−−= n
n
xxxxf
alors ( ) ( ) ( ) , ... 321- ... 3
21
21- 1 +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++−+=′ −n
n
xnxxf qui est à son tour une série convergente sur
.51 << x
La somme de cette nouvelle série est ( )
.1
2-1
22−
=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− xx
64. Soit ( ) ( ) ( ) ( )1
2 ... 321- ... 3
413
211 2
−=+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++−+−−=
xxxxxf n
n
(voir l'exercice 63).
Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1
321- ...
123
43
132
++
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++
−+
−−=
+
∫ nxxxxdxxf
nn
.
En 1=x , la série devient ∑∞
= +1 12-
n n, qui diverge.
Exercices 4.5 page 783
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En 5=x , la série devient ( )∑∞
= +1 121-
n
n
n, qui converge conditionnellement.
Par conséquent, l'intervalle de convergence de la nouvelle série est 51 ≤< x et la somme est
( )4ln3 1 ln2 −+−x , puisque Cxdxx
+−=−∫ 1 ln2
12 et que la constante d'intégration C
s'obtient en posant 3=x dans l'équation
( ) ( ) ( )2 3 13 3 31 ... - ... 2ln 1 4 12 2 1
nnx x xx x C
n
+− − −⎛ ⎞− + + + + = − +⎜ ⎟ +⎝ ⎠, d'où C+= 2ln23
et 4ln32ln23 −=−=C .
65. a) Puisque la fonction xcos est la dérivée de la fonction xsin , il suffit de dériver le
développement en série de xsin pour obtenir celui de xcos .
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
3 5 7 9 11Ainsi, cos 1 ...3! 5! 7! 9! 11!
1 ... .2! 4! 6! 8! 10!
x x x x xx
x x x x x
= − + − + − +
= − + − + − +
La série converge pour tout x (Voir le théorème 4.5.2, page 321).
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 9 112 2 2 2 2sin 2 2 ...
3! 5! 7! 9! 11!x x x x x
x x= − + − + − +
3 5 7 9 118 32 128 512 20482 ...
3! 5! 7! 9! 11!x x x x xx= − + − + − +
c) Pour le développement de xsin , nous avons :
!111- ,0
,!9
1 ,0 ,!7
1- ,0 ,!5
1
,0 ,!3
1- ,0 ,1 ,0
1110
98765
43210
==
=====
=====
aa
aaaaa
aaaaa
Pour le développement de xcos , nous avons
.0 ,10!1-
,0 ,8!1 ,0 ,
6!1- ,0
,4!1 ,0 ,
2!1- ,0 ,1
1110
98765
43210
==
=====
=====
bb
bbbbb
bbbbb
784 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
∑∑=
−
∞
=
==n
kknkn
n
nn bacxcxx
00où 2cossin2 (Voir le théorème 4.5.4 page 324), d'où
( ) ( )
7
6
5
4
3
2
17!1-00
2!1-
!5100
!41
3!1-00
6!1-100
100!5
12!1-00
3!1-
!41001
6!1-0
1!5
1002!1-
3!1-00
!41100
1003!1-
2!1-001
!410
13!1-00
!21-100
1001!2
1-01100102cossin2
x
x
x
x
x
xxxx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+
⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
] ...
111!1-00
2!1-
!9100
4!1
7!1-00
!61-
!5100
8!1
3!1-00
!101-100
100!9
12!1-0
07!1-
4!100
!51
!61-00
3!1-
8!1001
!101-0
1!9
100
2!1-
7!1-00
!41
!5100
6!1-
3!1-00
!81100
1007!1-
2!1-00
!51
!4100
3!1-
6!1-001
!810
11
10
9
8
+
⎟⎠⎞⋅+⋅+⋅+⋅+
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞⋅+⋅+⋅+
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞⋅+⋅+
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
x
x
x
x
...!11
2048!9
512!7
128!5
32!3
82
... !11
1024!9
256504064
12016
642
119753
119753
+−+−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−+−=
xxxxxx
xxxxxx
Les deux réponses sont bien entendu identiques puisque .cossin22sin xxx =
Exercices 4.5 page 785
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
66. a) ( )2 3 4 2 3 42 3 4 51 ... 1 ...
2! 3! 4! 5! 2! 3! 4!x xd x x x x x x xe x e
dx= + + + + + = + + + + + = .
La dérivée du développement en série de xe est donc encore le développement en série de
xe .
b) ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++= dxxxxxxdxex ...
!5!4!3!21
5432
. ... !6!5!4!32
65432
Cexxxxxx x +=++++++=
Nous trouvons la valeur de C en posant 0=x dans la dernière équation : Ce += 00 , d'où
1-=C .
Nous pouvons donc écrire : 1 ... !6!5!4!3!2
65432
−=++++++ xexxxxxx
et nous retrouvons le développement en série de xe :
... !6!5!4!3!2
165432
+++++++=xxxxxxex .
c) ... !5!4!3!2
15432
- +−+−+−=xxxxxe x
( )
...000001
... 1!5
11!4
1!2
1!3
1!3
1!2
1!4
11!5
11
1!4
11!3
1!2
1!2
1!3
11!4
11!3
11!2
1!2
11!3
11
1!2
111!2
11111111
5
43
2-
+++++=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⋅−⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=⋅
x
xx
xxee xx
67. a) dxxxxxxdxxx ... 283562
31517
152
3 tan sec ln
9753
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++==
Cxxxxx++++++= ...
1417531
252017
45122
108642
La valeur de C s'obtient en posant 0=x dans l'équation :
C++⋅
+⋅
+++= ... 14175
0312520
017450
120
20 0sec ln
108642
, de sorte que ,0 0sec ln ==C
que ... 1417531
252017
45122 sec ln
108642
+++++=xxxxxx et que la série converge pour
786 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
.22- ππ << x (Voir le théorème 4.5.3)
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++== ...
283562
31517
152
3tansec
97532 xxxxx
dxdx
dxdx
...
31562
4517
321
... 2835
558315
11915
103
31
8642
8642
+++++=
+++++=
xxxx
xxxx
et la série converge pour .22- ππ << x (Voir le théorème 4.5.2)
c) ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++== ...
8064277
72061
245
21secsecsec 864
22 xxxxxxx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++⋅ ...
8064277
72061
245
21 864
2
xxxx
En posant 8064277et 0 ,
72061 ,0 ,
245 ,0 ,
21 ,0 ,1 876543210 ========= aaaaaaaaa
(les coefficients du développement en série de xsec ), et de même
,8064277et 0 ,
72061 ,0 ,
245 ,0 ,
21 ,0 ,1 876543210 ========= bbbbbbbbb
nous avons ∑∑=
−
∞
=
==n
kknk
nn
nn bacxcx
00
2 où sec (Voir le théorème 4.5.4, page 324) d'où
( ) ( )2 2
3 4
5
6
1 1sec 1 1 1 0 0 1 1 0 0 12 2
1 1 5 1 1 51 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 12 2 24 2 2 24
5 1 1 51 0 0 0 0 0 0 124 2 2 24
61 1 5 5 1 611 0 0 0 0 0 0 1720 2 24 24 2 720
611 0 0720
x x x
x x
x
x
⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ⋅ + ⋅ 7
8
2 4 6 8
1 5 5 1 610 0 0 0 0 0 12 24 24 2 720
277 1 61 5 5 61 1 2771 0 0 0 0 0 0 0 0 18064 2 720 24 24 720 2 8064
...2 17 621 ... ,3 45 315
x
x
x x x x
⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
+
= + + + + +
ce qui correspond (bien heureusement!) au résultat obtenu en b).
Exercices 4.5 page 787
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
68. a) ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++==++ ...
8064277
72061
245
21 sec tansec ln 8
642
xxxxdxxCxx
... 72576277
504061
246
9753
+++++=xxxxx .
Nous avons 00 =⇒= Cx , de sorte que
... 72576
277504061
246 tansec ln 9
453
+++++=+ xxxxxxx ,
qui converge pour 22
- ππ<< x .
b) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++== ...
8064277
72061
245
21sectansec 864
2
xxxxdxd
dxxdxx
... 1008277
12061
65 753
++++=xxxx , qui converge pour
22- ππ
<< x .
c) 2 4 6 3 5 7 9
85 61 277 2 17 62sec tan 1 ... ... 2 24 720 8064 3 15 315 2835x x x x x x xx x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
, ...
1008277
12061
65
... 72061
725
151
31517
245
61
152
21
31
753
753
++++=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
xxxx
xxxx
qui converge pour 22
- ππ<< x .
69. a) Si ( ) , ... ... 33
22
11
2210
0++++++++== +
++
++
+
∞
=∑ n
nn
nn
nn
nn
nn xaxaxaxaxaxaaxaxf
alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 ... 1 1 1 ...2nn nf x n n n a n n n a x+= − − + + − ⋅ ⋅
( )( ) ( )( )2 32 32 1 ...3 3 2 ... 4 ...n nn n n a x n n a x+ ++ + + + + + ⋅ ⋅ +
de sorte que ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )00 1 2 ... 1 ! et .
!
nn
n n nf
f n n n a n a an
= − − = =
De même, si ( ) , ... ... 33
22
11
2210
0++++++++== +
++
++
+
∞
=∑ n
nn
nn
nn
nn
nn xbxbxbxbxbxbbxbxf
alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 2 ...1 1 1 ... 2nn nf x n n n b n n n b x+= − − + + − ⋅ ⋅
788 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( ) ( )( )2 32 32 1 ... 3 3 2 ... 4 ...n nn n n b x n n b x+ ++ + + ⋅ + + + ⋅ +
de sorte que ( )( ) ( )( )( )( ) .
!0et !1...210
nfbbnbnnnf
n
nnnn ==⋅−−=
Il s'ensuit que nn ba = pour tout .0≥n
b) Si ( ) 00
== ∑∞
=
n
nn xaxf pour tout x, alors ( )( ) 0=xf n pour tout x et il découle de a) que
( )( ) 0
!0
==n
fan
n pour tout .0≥n
70. ...11
1 432 +++++=−
xxxxx
En dérivant par rapport à x : ( )
2 32
1 1 2 3 4 ...1
x x xx
= + + + +−
.
En multipliant par x : ( )
2 3 42 2 3 4 ...
1x x x x xx
= + + + +−
.
En dérivant par rapport à x : ( ) ( ) ( )( ) ( )
22 3
4 3
1 1 2 1 -1 1 1 4 9 16 ...1 1
x x x x x x xx x
⋅ − − ⋅ − ⋅ += = + + + +
− −.
En multipliant de nouveau par x : ( )
22 3 4
3 4 9 16 ...1x x x x x x
x+
= + + + +−
.
En posant 21=x dans la dernière équation : ∑∞
=
=++++=+
1
2
2 ...
1616
89
44
21
81
41
21
nn
n .
Il s'ensuit que 6
81
41
21
21
2
=+
=∑∞
=nn
n .
71. Considérons, par exemple, la série .1∑∞
=n
n
nx On peut montrer sans difficulté que l'intervalle de
convergence de cette série est 1.<1- x≤ En particulier, pour -1,=x la série devient ( )∑∞
=1
1-n
n
n
qui est la série harmonique alternée, qui converge conditionnellement (Voir bas de la page 298).
Par ailleurs, la série ∑∞
=12
n
n
nx a pour intervalle de convergence 11- ≤≤ x et devient ( )∑
∞
=12
1-n
n
n
Exercices 4.5 page 789
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
lorsque -1=x , qui est une série-p alternée qui converge absolument puisque 1>p
(Voir l'exemple 6, page 307).
D'autres exemples se trouvent aux exercices 9, 15, 25, 27, 29 et 31 de la présente section.
72. Plusieurs réponses sont possibles ; en voici quelques exemples :
a) n
n
x∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 3 b) ( )∑
∞
=
+1
1n
nx c) n
n
x∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
1 23
790 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices 4.6 - Séries de Taylor et de Maclaurin, et série du binôme
1. ( ) ( ) ( ) ( ) 322et 1- ,1 ,lnx
xfx
xfx
xfxxf =′′′=′′=′=
( ) ( ) ( ) ( )1 0, 1 1, 1 -1 et 1 2f f f f′ ′′ ′′′= = = =
Nous avons donc ( ) ( ) ,010 == fxP
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 22
1 1 1 0 1 1 1,
1 11 1 1 1 1 12! 2
P x f f x x x
fP x f f x x x x
′= + − = + − = −
′′′= + − + − = − − −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 33
2 3
1 1et 1 1 1 1 1
2! 3!1 11 1 1 .2 3
f fP x f f x x x
x x x
′′ ′′′′= + − + − + −
= − − − + −
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -31ln 1 , 1 , -1 1+ et 2 1
1f x x f x x f x x f x x
x′ ′′ ′′′= + = = + = = +
+
( ) ( ) ( ) ( )0 ln1 0, 0 1, 0 -1 et 0 2f f f f′ ′′ ′′′= = = = =
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 10 0, 0 0 0P x f P x f f x x x′= = = + = + = ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.32
!30
!2000et
2!2000
32
323
22
2
xxx
xfxfxffxPxxxfxffxP
+−=
′′′+
′′+′+=−=
′′+′+=
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4-3-2-1- 26-et 22 ,2- ,2
21
+=′′′+=′′+=′+=+
= xxfxxfxxfxx
xf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )83-26-0et
41=220 ,
41-2-0 ,
210 4-3-2- ==′′′=′′==′= ffff
Nous avons donc ( ) ( ) ,2100 == fxP
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 222
1
81
41
21
!2000
,41
2100
xxxfxffxP
xxffxP
+−=′′
+′+=
−=′+=
Exercices 4.6 page 791
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.161
81
41
21
!30
!2000et
32
323
xxx
xfxfxffxP
−+−=
′′′+
′′+′+=
4. ( ) ( ) ( ) ( ) xxfxxfxxfxxf cos-et sin- ,cos ,sin =′′′=′′=′=
( ) ( ) ( ) ( )2
2-4et 2
2-4 ,224 ,
224 =′′′=′′=′= ππππ ffff
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 12 2 24 , 4 4 4 4
2 2 2P x f π P x f π f π x π x π′= = = + − = + − ,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22
4 2 2 24 4 4 4 4 42! 2 2 4
f πP x f π f π x π x π x π x π
′′′= + − + − = + − − − et
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 33
2 3
4 44 4 4 4 4
2! 3!2 2 2 24 4 4 .
2 2 4 12
f π f πP x f π f π x π x π x π
x π x π x π
′′ ′′′′= + − + − + −
= + − − − − −
5. ( ) ( ) ( ) ( ) cos , -sin , -cos et sinf x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = =
( ) ( ) ( ) ( )2
14et 21-4 ,
21-4 ,
214 =′′′=′′=′= ππππ ffff
Nous avons donc ( ) ( ) ,2
140 == πfxP
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
22
2
1 14 4 4 42 2
44 4 4 4
2!1 1 14 42 2 2 2
P x f π f π x π x π
f πP x f π f π x π x π
x π x π
′= + − = − −
′′′= + − + −
= − − − −
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 33
2 3
4 4et 4 4 4 4 4
2! 3!1 1 1 14 4 4 .2 2 2 2 6 2
f π f πP x f π f π x π x π x π
x π x π x π
′′ ′′′′= + − + − + −
= − − − − + −
792 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
6. ( ) ( ) ( ) ( ) 25-23-21-21
83et
41- ,
21 , xxfxxfxxfxxxf =′′′=′′=′== .
( ) ( ) ( ) ( )256
34et 321-4 ,
414 ,24 =′′′=′′=′= ffff .
Nous avons donc ( ) ( ) ( )4412 ,2 10 −+== xxPxP ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 32 3
1 1 1 1 12 4 4 et 2 4 - 4 4 .4 64 4 64 512
P x x x P x x x x= + − − − = + − − + −
7. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- - - - -, - , , - ,..., -1 .nnx x x x xf x e f x e f x e f x e f x e′ ′′ ′′′= = = = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0 -1, 0 1, 0 -1, ..., 0 -1 .nnf f f f f′ ′′ ′′′= = = = =
La série de Maclaurin engendrée par ( ) xexf -= est
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 3
2 3
0
0 0 -10 0 ... ...
2! 3! !
1 ... -1 ...2! 3! !
-1 .!
nn
nn
nn
n
f ff f x x x x
nx x xx
nxn
∞
=
′′ ′′′′+ + + + + +
= − + − + + +
= ∑
8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -3 -41 , - 1 , 2 1 , -3! 1 , ..., nf x x f x x f x x f x x f x′ ′′ ′′′= + = + = + = +
( ) ( )- 1-1 ! 1n nn x −= +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1, 0 -1, 0 2, 0 -3!, ..., 0 -1 !nnf f f f f n′ ′′ ′′′= = = = =
La série de Maclaurin engendrée par ( )x
xf+
=1
1 est
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3
0
0 0 00 0 ... ... 1 ... -1
2! 3! !
nnn n
n
f f ff f x x x x x x x x
n
∞
=
′′ ′′′′+ + + + + + = − + − + = ∑ .
Exercices 4.6 page 793
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) xxfxxfxxfxxfxxf 3sin3 ,3cos3- ,3sin3- ,3cos3 ,3sin 4432 ==′′′=′′=′= , etc.,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 2 1de sorte que -1 3 sin3 et -1 3 cos3 .n nn nn nf x x f x x+ += =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,00 ,3-0 ,00 ,30 ,00 43 ==′′′=′′=′= fffff
( )( ) ( )( ) ( ) .31-0et 00 12122 ++ == nnnn ff
La série de Maclaurin engendrée par ( ) xxf 3sin= est
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( ) .
!1231-
... !12
31- ... !4
0!3
3!2
030
... !0 ...
4!0
3!0
2!0 0 0
0
12
12124332
44
32
∑∞
=
+
++
+=
++
++⋅
+−⋅
++=
++++′′′
+′′
+′+
n
nn
nnn
nn
nx
nxxxxx
xn
fxfxfxfxff
10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7cos - , 7sin - , -7cos - , -7sin - ,f x x f x x f x x f x x′ ′′ ′′′= = = = de sorte que
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxfxxf nnnn -sin71-et -cos71- 122 == + .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 00et 71-0 ..., ,00 ,7-0 ,00 ,70 122 ===′′′=′′=′= +nnn ffffff
La série de Maclaurin engendrée par ( ) ( )7cos -f x x= est
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2 3 2 4 6
2
0
0 0 0 7 7 70 0 ... ... 7 ... 2! 3! ! 2! 4! 6!
-17 .
2 !
nn
n n
n
f f ff f x x x x x x x
n
xn
∞
=
′′ ′′′′+ + + + + + = − + − +
= ∑
11. ( ) ( ) ( ) ( ), , , 2 2 2 2
x -x x -x x -x x -xe e e e e e e ef x f x f x f x+ − + −′ ′′ ′′′= = = = ,
de sorte que ( ) ( ) ( )-12
nx -xn e e
f x+
= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
1-10 ..., ,00 ,10 ,00 ,10n
nfffff +==′′′=′′=′= .
794 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La série de Maclaurin engendrée par ( )2
x -xe ef x += est
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
42 3 4
2 3 4
2
0
0 0 0 00 0 .. ...
2! 3! 4! !1 0 11 0 ...2! 3! 4!
.2 !
nn
n
n
f f f ff f x x x x x
n
x x x x
xn
∞
=
′′ ′′′′+ + + + + + +
= + ⋅ + ⋅ − + +
= ∑
12. ( ) ( ) ( ) ( )-
, , , ,2 2 2 2
x x x -x x -x x -xe e e e e e e ef x f x f x f x− + − +′ ′′ ′′′= = = = de sorte que
( ) ( ) ( ) 1-12
nx -xn e e
f x++
= .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21-10 ..., ,10 ,00 ,10 ,00
1++==′′′=′′=′=
nnfffff
La série de Maclaurin engendrée par ( )2
x -xe ef x −= est
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 5 72 3
2 1
0
0 0 00 0 ... ... ...
2! 3! ! 3! 5! 7!
.2 1 !
nn
n
n
f f f x x xf f x x x x xn
xn
+∞
=
′′ ′′′′+ + + + + + = + + + +
=+∑
13. ( ) ( ) ,564 ,4+52 2334 −−=′−−= xxxfxxxxf
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .5pour 0et 24 ,1224 ,1212 42 ≥==−=′′′−=′′ nxfxfxxfxxxf n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .5pour 00et 24=0 ,12-0 ,00 ,5-0 ,40 4 ≥==′′′=′′=′= nffffff n
La série de Maclaurin engendrée par ( ) 452 34 +−−= xxxxf est
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
,254!4
24!3
12!2
054
... !0 ...
4!0
3!0
2!0 0 0
43
432
44
32
xxx
xxxx
xn
fxfxfxfxff nn
+−−=
+−+−=
++++′′′
+′′
+′+
soit la fonction elle-même.
Exercices 4.6 page 795
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
14. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 , 2 1 , 2,f x x f x x f x′ ′′= + = + = ( ) ( ) 0 pour 3nf x n= ≥ .
( ) ( ) ( ) ( )( ) 3pour 00 ,20 ,20 ,10 ≥==′′=′= nffff n .
La série de Maclaurin engendrée par ( ) ( )21+= xxf est
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2232 21!2
221 ... !0 ...
!30
!2000 xxxxx
nfxfxfxff n
n
++=++=+++′′′
+′′
+′+ .
15. ( ) ( ) ,23 ,4+2 23 −=′−= xxfxxxf ( ) ( ) ( )( ) .4pour 0et 6 ,6 ≥==′′′=′′ nxfxfxxf n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .4pour 02et 62 ,122 ,102 ,82 ≥==′′′=′′=′= nfffff n
La série de Taylor engendrée par ( ) 2en 423 =+−= xxxxf est
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
2 3
2 22 2 2 2 2
2! 3!
8 10 2 6 2 2 .
f ff f x x x
x x x
′′ ′′′′+ − + − + −
= + − + − + −
16. ( ) ( ) ,26415 ,223 2342345 xxxxxfxxxxxf ++−=′−++−=
( ) ( ) ,1224180 ,2121260 223 +−=′′′++−=′′ xxxfxxxxf
( )( ) ( )( ) ( )( ) 6pour 0 ,360 ,24360 54 ≥==−= nxfxfxxf n
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) .6pour 01-et 3601- -384,1-
,2161- -82,1- ,321- -7,1-54 ≥===
=′′′=′′=′=
nfff
ffffn
La série de Taylor engendrée par ( ) est -1en 223 2345 =−++−= xxxxxxf
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 52 3 4 5
2 3 4 5
-1 -1 -1 -1-1 -1 1 1 1 1 1
2! 3! 4! 5!
-7 23 1 41 1 36 1 16 1 3 1 .
f f f ff f x x x x x
x x x x x
′′ ′′′′+ + + + + + + + + +
= + + − + + + − + + +
17. ( ) ( ) ,2- ,1 3--22 xxfxxxf =′== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-4 -5 - 2 3! , -4! et -1 1 ! .nn nf x x f x x f x n x −′′ ′′′= = = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1, 1 -2, 1 3!, 1 -4! et 1 -1 1 !nnf f f f f n′ ′′ ′′′= = = = = +
796 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La série de Taylor engendrée par ( ) 1en 1 2 == xxxf est
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 3
2 3
0
1 1 11 1 1 1 1 ... 1 ...
2! 3! !
1 2 1 3 1 4 1 ... -1 1 1 ...
-1 1 1 .
nn
n n
n n
n
f f ff f x x x x
n
x x x n x
n x∞
=
′′ ′′′′+ − + − + − + + − +
= − − + − − − + + + − +
= + −∑
18. ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 322 12,1
11,
1 −− −=′′−=
−=′
−= xxfx
xxf
xxxf .
( ) ( ) ( )( ) ( ) 1--4 1! ,...,1!3 −−=−=′′′ nn xnxfxxf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) !0 ,...,!30 ,20 ,10 ,00 nfffff n ==′′′=′′=′=
La série de Taylor (ou de Maclaurin, puisque 0=a ) engendrée par ( ) 0en 1
=−
= xx
xxf est
∑∞
=
+=+++++=0
132 ......n
nn xxxxx .
19. ( ) ( ) , , xx exfexf =′= ( ) ( )( ) . ..., , xnx exfexf ==′′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 ..., ,2 ,2 ,2 2222 efefefef n ==′′=′=
La série de Taylor engendrée par ( ) 2en == xexf x est
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3
2 2 22 32 2
2
0
2 2 22 2 2 2 2 ... 2 ...
2! 3! !
2 2 2 ... 2 ...2! 3! !
2 .!
nn
n
n
n
f f ff f x x x x
ne e ee e x x x x
ne xn
∞
=
′′ ′′′′+ − + − + − + + − +
= + − + − + − + + − +
= −∑
20. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..., ,2ln2 ,2ln2 ,2ln2 ,2 32 xxxx xfxfxfxf =′′′=′′=′=
( )( ) ( )nxn xf 2ln2=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 31 2, 1 2ln 2, 1 2 ln 2 , 1 2 ln 2 , ..., 1 2 ln 2 nnf f f f f′ ′′ ′′′= = = = =
Exercices 4.6 page 797
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La série de Taylor engendrée par ( ) 1en 2 == xxf x est
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 32 3
0
2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 12 2ln 2 1 1 1 ...
2! 3! !
n n
n
xx x x
n
∞
=
−+ − + − + − + = ∑ .
21. ( ) 3221
321
221
121
11 xxxx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+
( ) ( )( )2 3
2 3
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2112 2! 3!1 1 112 8 16
x x x
x x x
− − −= + + +
= + − +
22. ( ) 3231
331
231
131
11 xxxx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+
( ) ( )( )2 3
2 3
1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 2113 2! 3!1 1 513 9 81
x x x
x x x
− − −= + + +
= + − +
23. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )-1 2-1 2 2 3-1 2 -1 2 -1 21 1 - 1 - - -
1 2 3x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( ) ( )( )( )2 3
2 3
-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 2112 2! 3!1 3 512 8 16
x x x
x x x
= + + −
= + + +
24. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 31 2 1 2 1 21 2 1 -2 1 -2 -2 -2
1 2 3x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 3
2 3
1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 211 -2 -2 -22 2! 3!
1 112 2
x x x
x x x
− − −= + + +
= − − −
798 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. 322-
232-
222-
212-
12
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xxxx
( )( ) ( )( )( )2 3
2 3
-2 -3 -2 -3 -41 2
2 2! 4 3! 83 114 2
x x x
x x x
= − ⋅ + ⋅ + ⋅
= − + −
26. -2-2 2 3-2 -2 -2- - -1 1 - 1
1 2 32 2 2 2 2x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( ) ( )( )( )2 3
2 3
-2 -3 -2 -3 -4- - -1 22 2! 2 3! 23 114 2
x x x
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + + +
27. ( ) ( ) ( )-1 2-1 2 -1 23 3 -1 2 34 4 1 4 4 1 4x x x⎡ ⎤+ = + = ⋅ +⎣ ⎦
-1 2 2 33 3 3 3-1 2 -1 2 -1 21 11 1
1 2 32 4 2 4 4 4x x x x⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + = + ⋅ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )( ) ( )( )( )3 6 9
3 6 9
3 6 9
-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 21 112 2 4 2! 16 3! 64
1 1 3 512 8 128 10241 1 3 52 16 256 2048
x x x
x x x
x x x
⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + −
28. ( ) ( ) ( )-1 32-1 3-1 3 -1 32 2 -1 3 2 18 8 1 8 8 1 8 1
2 8xx x x
⎛ ⎞⎡ ⎤+ = + = + = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
( )( ) ( )( )( )
2 32 2 2
2 4 6
24 6
24 6
-1 3 -1 3 -1 31 11 2 32 8 8 8
-1 3 -4 3 -1 3 -4 3 -7 31 112 3 8 2! 64 3! 512
1 1 712 24 288 20 736
1 1 72 48 576 41 472
x x x
x x x
x x x
x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤= − ⋅ + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − + −
Exercices 4.6 page 799
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. 3221 1
3211
2211
121
111 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
xxxx
( )( ) ( )( )( )2 3
2 3
1 2 -1 2 1 2 -1 2 -3 21 1 1 112 2! 3!1 1 11
2 8 16
x x x
x x x
= + ⋅ + ⋅ + ⋅
= + − +
30. 1 31 3 2 31 3 1 3 1 32 -2 -2 -2 -21 1 1
1 2 3x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( ) ( )( )( )2 3
2 3
1 3 -2 3 1 3 -2 3 -5 31 -2 -2 -213 2! 3!2 7 401
3 9 81
x x x
x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − −
31. ( ) 4324
!41234
!3234
!234411 xxxxx ⋅⋅⋅
+⋅⋅
+⋅
++=+
432 4641 xxxx ++++=
32. ( ) ( ) ( )2 32 232 2 2 4 6
3 2 3 2 11 1 3 1 3 3
2! 3!
x xx x x x x
⋅ ⋅ ⋅+ = + + + = + + +
33. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )33 2 33 2 3 2 11 2 1 -2 1 3 -2 -2 -22! 3!
x x x x x⋅ ⋅ ⋅− = + = + + +
32 81261 xxx −+−=
34.
2 3 4
4 4 3 - 4 3 2 - 4 3 2 1 -2 2 21 1 4 -
2 2 2! 3! 4!
x x xx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠− = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
432
161
21
2321 xxxx +−+−=
800 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
35. En remplaçant x par x5- dans la série de Maclaurin de xe , nous obtenons
( ) ( ) ( ) ... !51- ...
!22551
!5- 2
0
5- ++++−== ∑∞
= nxxx
nxe
nn
n
nx
36. En remplaçant x par 2- x dans la série de Maclaurin de xe , nous obtenons
( ) ( ) . ... !32!222
1!2
1-!2-
3
3
2
2
00
2- +⋅
−⋅
+−=⋅
== ∑∑∞
=
∞
=
xxxnx
nxe
nn
nn
n
nx
37. En remplaçant x par 2xπ dans la série de Maclaurin de xsin , nous obtenons
( ) ( ) ( )( )
2 1
3 3 5 5 2 1 2 1
3 5 2 10
2sin -1 ... -1 ...2 2 1 ! 2 2 3! 2 5! 2 2 1 !
n
n nn n
nn
π xπx πx π x π x π x
n n
+
+ +∞
+=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= = − + + + +⎜ ⎟ + ⋅ ⋅ +⎝ ⎠
∑
38. En remplaçant x par x dans la série de Maclaurin de xcos , nous obtenons
( )( )( )
( )( )
22 3
0 0
-1cos -1 1 ... .
2 ! 2 ! 2! 4! 6!
nn n
n
n n
x x x x xxn n
∞ ∞
= =
= = = − + − +∑ ∑
39. ∑∞
=
=0 !n
nx
nxe , d'où ...
!4!3!2!!
5432
0
1
0+++++==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
∞
=
+∞
=
xxxxxn
xnxxex
n
n
n
nx
40. ( ) ( )2 1
0sin -1
2 1 !
nn
n
xxn
+∞
=
=+∑ , d'où ( )
( )
2 3 5 7 92 3
0
-1sin ... .
2 1 ! 3! 5! 7!
n n
n
x x x xx x xn
+∞
=
= = − + − ++∑
41. ( )( )
2
0
-1cos
2 !
n n
n
xx
n
∞
=
= ∑ , d'où ( )( )
22 2
0
-11 cos 1
2 2 2 !
n n
n
xx xxn
∞
=
− + = − + ∑
( )( )
2 2 4 6 8 10
24 6 8 10
2
1 1 ...2 2! 4! 6! 8! 10!
-1 ...
4! 6! 8! 10! 2 !
n n
n
x x x x x x
xx x x xn
∞
=
= − + − + − + − +
= − + − + = ∑
Exercices 4.6 page 801
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
42. ( ) ( )( )( )
2 12 1 3
0 2
-1sin -1
2 1 ! 3! 2 1 !
n nnn
n n
xx xx xn n
++∞ ∞
= =
= = − ++ +∑ ∑ , d'où ( )
( )2 13 5 7 9
2
-1sin ... .
3! 2 1 ! 5! 7! 9!
n n
n
xx x x xx xn
+∞
=
− + = = − + −+∑
43. ( )( )
2
0
-1cos
2 !
n n
n
xx
n
∞
=
= ∑ , d'où ( ) ( )( )
2
0
-1cos
2 !
n n
n
πxx πx x
n
∞
=
= ∑
( )( )
2 2 1 2 3 4 5 6 7
0
-1...
2 ! 2! 4! 6!
n n n
n
π x π x π x π xxn
+∞
=
= = − + − +∑
44. ( ) ( )( )
22
0
-1 21 cos2 1 1cos2 2 2 2 2 !
n n
n
xxxn
∞
=
= + = + ∑
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 4 6
2 4 6 2
1
2 2 21 1 1 ... 2 2 2! 4! 6!
2 2 2 -1 21 ... 1
2 2! 2 4! 2 6! 2 2 !
n n
n
x x x
x x x xn
∞
=
⎡ ⎤⎢ ⎥= + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + − + = +⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑
45. 2 1 cos2 1 1sin cos22 2 2
xx x−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 4 6 2 4 6
1 2
1
2 2 2 2 2 21 1 1 ... ...2 2 2! 4! 6! 2 2! 2 4! 2 6!
-1 22 2 !
n n
n
x x x x x x
xn
+∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟= − − + − + = − + −⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
=⋅∑
46. ( )2
2 2
0
1 21 2 1 2
n
n
x x x xx x
∞
=
⎛ ⎞= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ (progression géométrique de premier terme 1 et de raison
xr 2= ).
2
2 2 2 3 2 4 3 5
0 02 2 2 2 2 ...
1 2n n n n
n n
x x x x x x x xx
∞ ∞+
= =
= = = + + + +− ∑ ∑
802 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
47. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 42 2 2ln 1 2 2 ...
2 3 4x x x
x x x x⎛ ⎞⎜ ⎟+ = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )∑
∞
=
+−
=
+−+−=
1
11
5443322
21-
... 4
23
22
22
n
nnn
nx
xxxx
48. , ... 11
1 32
0++++==
− ∑∞
=
xxxxx n
n d'où
( )
( )2 12
1 0
1 1 1 2 3 ... 1 .11
n n
n n
d x x nx n xdx xx
∞ ∞−
= =
⎛ ⎞= = + + + = = +⎜ ⎟−⎝ ⎠−∑ ∑
49. ( )2 4 6 8
2 3 40
1 1 ... 2 2 2! 2 3! 2 4!2
x t t t tF x dtπ
⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟
⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠∫
3 5 7 9
2 3 40
3 5 7
1 ... 6 5 2 2! 7 2 3! 9 2 4!2
16 20 2! 56 3!2
1 1 erreur 0,0001 ( é è 4.4.2 303).144 4!2
xt t t tt
π
x x xxπ
Voir le th or me pageπ
⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤≈ − + −⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦
< ⋅ ≈⋅
50. ( ) 24 6 8 10
2 - 2 2
0 0
1 ... 2! 3! 4! 5!
x xt t t t tF x t e dt t t dt
⎛ ⎞= = − + − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
6 8 10 122 4
0
3 5 7 9 11 13
0
3 5 7 9 11
... 2! 3! 4! 5!
...3 5 7 2! 9 3! 11 4! 13 5!
3 5 7 2! 9 3! 11 4!1 erreur 0,00064.
13 5!
x
x
t t t tt t dt
t t t t t t
x x x x x
⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤= − + − + − +⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦
≈ − + − +⋅ ⋅ ⋅
< ≈⋅
∫
Exercices 4.6 page 803
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
51. a) ( ) dtttttxFx
... 7530
753
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−=
( ) 03).3 2.4.4 èé ( 0005,0305,0erreur
122
... 7856342
6
42
0
8642
pagemeorthleVoir
xx
ttttx
≈<
−≈
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⋅−
⋅+
⋅−=
b) Dans le cas de l'intervalle [ ]0, 1 , il faudra trouver n impair tel que
( )
1 erreur 0,0011n n
< <+
. Par tâtonnement, nous trouvons que le plus petit
entier positif n qui vérifie cette propriété est 33=n .
Le polynôme recherché sera donc ( )3231
... 9107856342
32108642
⋅−−
⋅+
⋅−
⋅+
⋅−≈
xxxxxxxF .
52. a) ( ) ( ) dtttttt
dtt
txFxx
... 432
1 1ln
0
432
0∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−=
+=
( ) .00043,065,0erreur
5432
... 443322
... 432
1
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
0
432
0
32
≈<
+−+−≈
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⋅−
⋅+
⋅−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−= ∫
xxxxx
tttt
dtttt
x
x
b) Dans le cas de l'intervalle [ ]0, 1 , il faudra trouver le plus petit entier n tel que
1000ou 001,01122 ><= n
nn
n
. Il s'agit de 32=n .
Le polynôme recherché sera donc ( ) 2
31
2
5
2
4
2
3
2
2
31 ...
5432xxxxxxxF −−+−+−≈ .
804 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
53. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21ln cos , -sin - tan et -sec .cos
f x x f x x x f x xx
′ ′′= = ⋅ = =
( ) ( ) ( ) -1.0et 00 ,00 =′′=′= fff
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 000 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( ) 2 20 10 0 - .2! 2
fQ x f f x x x
′′′= + + =
54. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxexexxexfxexfexf xxxxx sincossin-coscoset cos , 2sinsinsinsinsin −=⋅+⋅⋅=′′⋅=′=
( ) ( ) ( ) 10et 10 ,10 =′′=′= fff
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) xxffxL +=′+= 100 et ( ) ( ) ( ) ( ) 220
0 0 12! 2
f xQ x f f x x x′′
′= + + = + + .
55. ( ) ( ) ( ) ( )( )
-1 2 -3 22 23 22 2
1 11 , - 1 -2 et21 1
xf x x f x x xx x
′= = − = − ⋅ =− −
( )( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
3 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
3 3 5 22 2 2
1 1 3 2 1 -2 1 1 3 1 2
1 1 1
x x x x x x x xf xx x x
⎡ ⎤⋅ − − ⋅ − ⋅ − − + +⎣ ⎦′′ = = =− − −
( ) ( ) ( ) .10et 00 ,10 =′′=′= fff
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 10 0 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( ) .211
!2000 22 xxfxffxQ +=
′′+′+=
56. ( ) ( ) ( )2
et 2
,2
cosh--- xxxxxx eexfeexfeexxf +
=′′−=′+
==
( ) ( ) ( ) 10et 00 ,10 =′′=′= fff
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) 100 =′+= xffxL et ( ) ( ) ( ) ( )2
1!2000
22 xxfxffxQ +=
′′+′+= .
57. Selon le théorème 4.4.2, page 296, .!5
erreur 5x
<
De 4-5
105!5
×<x
, nous tirons ( ) -45 105!5 ××<x , soit ( )5 1 5 0,06 ou 0,06 0,56968.x x< < ≈
Exercices 4.6 page 805
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
58. Si 5,0 et 2
1cos2
<−= xxx , alors ( ) ( ) 0026,0 245,0
!4cos erreur
44
3 =<== xcxR ,
où c est un nombre situé entre 0 et x. Étant donné que le terme suivant du
développement en série est positif, l'approximation obtenue est une approximation
par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303.
59. 3 5 7
sin ...3! 5! 7!x x xx x= − + − +
Pour l'approximation linéaire ( )( )3-3
32
10-cossin , erreur 3! 3!
cx x R x x≈ = = < pour xc <<0 ,
puisque -310 et 1cos1- <≤≤ xc . Donc, -101067,1erreur ×< .
xx sin< lorsque 0sin >− xx ; mais ( ) ( )xRxRxx 22 et sin =− est de même signe que !3
- 3x
(Voir le théorème 4.4.2, page 303), de sorte que 010-et 0 -3 <<< xx .
60. ... 1682
1132
−+−+=+xxxx (Voir l'exercice 21 de la présente section). Selon le théorème
4.4.2, page 296, ( )22-50,01- erreur 1,25 10
8 8x
< < = × .
61. a) ( ) ( )30,13-4
23 0,1
1,87 10 ,3! 3!
ce xR x = < < × où xc <<0 .
b) ( ) ( )33-4
20,1
1,67 10 ,3! 3!
ce xR x = < < × où xc <<0 .
L'erreur est plus petite pour x négatif.
62. ( ) ( )5- 5 0,5 -0,5
40,5
0,0002936532 5! 2 5!
c ce e x e eR x + +< ⋅ < ⋅ ≈
806 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
63. Si nous approximons he par h+1 et si 01,00 ≤≤ h , alors
( ) ( )0,012 0,01 0,01
erreur 0,00505 0,006 0,6 %2 2 2
c ee h e h h h h h h⎛ ⎞⋅⋅
< ≤ = = < =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, où hc <<0 .
64. ( )( )
2 2
1 21 0,01
2! 2 21x x xR x x x
c= ⋅ < = <
+, d'où 01,0
2 <x , c'est-à-dire 02,0 0 << x ou
02,00 << x , puisque x est positif.
65. ... 753
tan 753
+−+−=xxxxxarc , d'où ...
71
51
3111tan
4+−+−== arcπ
Nous voulons 01,012
1erreur <+
<n
, d'où 49ou 10012 >>+ nn .
66. a) ... !7!5!3
sin753
+−+−=xxxxx , d'où ...
!7!5!31sin 642
+−+−=xxx
xx
6
1et 12
21xss −== .
Si L désigne la somme du développement en série de x
xsin alors, selon le théorème 4.4.2,
06
1sinet 01sin 2
21 >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−<−=−
xx
xsLx
xsL .
Par conséquent, 1sin6
12
<<−x
xx .
b) Comme nous l'avons démontré en a),
le graphique de x
xy sin= , pour 0≠x ,
est borné inférieurement par le
graphique de 6
12xy −= et
supérieurement par le graphique de 1=y .
-2
-4
2
4
1 =y
6
2 1 xy −=
xxy sin =
y
-4 -2 42x
Exercices 4.6 page 807
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
67. ( ) ( )( ) ( )2 3 4 2
2 2 2
1 1 1 11 1 ... 1 ...2! 3! 4! 2 3! 4!
xxe x x x x x xe x x x
x x x− + ⎛ ⎞
= − + = + + + + + − + = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
, d'où
( ) 2
20 0
1 1 1lim lim ... .2 3! 4! 2
x
x x
e x x xx→ →
− + ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
68. ( ) ... !8!6!4
1- ... !6!42
12
112
cos112cos1 426422
4
2
44
2
+−+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
−− ttttttt
tttt
tt ,
d'où ( )241- ...
!8!6!41-lim2cos1lim
42
4
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+=
−−→∞→∞
ttt
tttt
.
69. ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=− 1 ... 1-
!311-
!211-11
3
2
2
2221-2 2
xxxxex x
... 61
21+-1 ...
61
211- 42642
2 +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
xxxxxx ,
d'où ( )22 -12 4
1 1lim 1 lim -1 ... -1.2 6
x
x xx e
x x→∞ →∞
⎛ ⎞− = + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
70. yy
yy
yy
yyyyyy
yyyyarc
cos
... 12023
6-
cos
... !5!3
... 53
cossintan
3
53
3
5353
3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
=− ,
y
y
cos
... 12023
61- 2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=
d'où 61-
cos
... 12023
61-
limcos
sintan lim
2
030=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=−
→→ y
y
yyyyarc
yy.
808 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
71. ( )
( ) ( )2 3 2 42 2222
2 4 22
1 ... ...ln 1 2 32 31 cos 11 1 ... ...
2! 4! 2! 4!
x xx x xxx
x x x xx
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟− + −+ ⎝ ⎠= =
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
d'où ( )
2 4
2
20 0
1 ... ln 1 2 3lim lim 2! 2.
1 cos 1 ... 2! 4!
x x
x xx
x x→ →
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = =
− ⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
72. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3 5 2 41 1 1 1 1 11 sin 1 ... 1 ... ,
1 1 3! 1 5! 1 3! 1 5! 1x x
x x x x x x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ = + − + − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + + + +⎝ ⎠
d'où ( )( ) ( )2 4
1 1 1lim 1 sin lim 1 ... 11 3! 1 5! 1x x
xx x x→∞ →∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟+ = − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +⎝ ⎠.
73. Un cas particulier du théorème de Taylor est obtenu en posant 0=n . Nous avons alors
( ) ( ) ( )( )f x f a f c x a′= + − pour xca << .
En posant bx = , nous obtenons ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′= + − , ou encore ( ) ( ) ( )( )f b f a f c b a′− = − ,
le résultat énoncé par le théorème de la moyenne de Lagrange.
74. Si ( ) ( )afaf ′′′ et existent et que la fonction admet un point d'inflexion en ax = , alors ( ) 0=′′ af .
Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )( )L x Q x f a f a x a′= = + − .
75. a) Si ( ) 0≤′′ xf pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a et si ( ) 0f a′ = , alors
( ) ( )( )( )22
02
f c x af x f a
′′ −− = ≤ partout dans l'intervalle, de sorte que nous avons
( ) ( )f x f a≤ partout dans l'intervalle et que f présente un maximum relatif en ax = .
b) De même, si ( ) 0≥′′ xf pour tout x dans un intervalle ouvert contenant a et si ( ) 0=′ af ,
alors ( ) ( )( )( )22
02
f c x af x f a
′′ −− = ≥ partout dans l'intervalle, de sorte que nous avons
( ) ( )afxf ≥ partout dans l'intervalle et que f présente un minimum relatif en ax = .
Exercices 4.6 page 809
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
76. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1!3 ,12 ,1 ,11
1 4--32-1- xxfxxfxxfxx
xf −=′′′−=′′−=′−=−
=
( )( ) ( ) .1!4et -54 xxf −= Ainsi, 3211
1 xxxx
+++≈−
.
Si 1,0 <x , alors 1,119,0 ,1,0-1,0- ,1,01,0- <−<<<<< xxx et 9,0
11
11,1
1<
−<
x, d'où
9
101
11110
<−
<x
. Il s'ensuit que ( )
5
5 910
11 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<
− x, d'où
( )( ) 54
910
!4 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛<
xf et l'erreur
( )( ) ( ) 00017,000016935,01,0
910
!4max e 4
54
4
3 <=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛<⋅≤ xxf .
77. a) Posons π+= xP . Alors nPx -105,0 ×<−= π , puisque l'approximation π de P est
précise à n décimales près.
( ) ( ) ( )( ) ( )xxxx
xxxxxPPsinsin
sincoscossinsinsin plus, De−+=−+=
+++=+++=+
ππ
πππππ
( ) ( )
nn
nxxxxxPP
3-3-
3-3
105,0106125,0
105,0!3
1!3
sin sin sin où d'
×<×=
×<≤−=−−+=−+ πππ.
Il s'ensuit que l'approximation π de sin PP + est correcte à n3 décimales.
b) 141592654,3≈π
Prenons l'approximation 3,1, correcte à 1 décimale. Alors 141580662,31,3sin1,3 ≈+ est
correcte à au moins 3 décimales.
L'approximation 3,14 est précise à 2 décimales.
D'autre part, 141592653,314,3sin14,3 ≈+ est correcte à au moins 6 décimales.
78. Si ( )0
nn
nf x a x
∞
=
= ∑ , alors ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... 1 et 0 !k kn kn k
n kf x n n n n k a x f k a
∞−
=
= − − − + =∑ , d'où
( ) ( )0!
k
kf
ak
= , où k est un entier non négatif. Il s'ensuit que les coefficients de ( )xf sont les
mêmes que les coefficients correspondants de la série de Maclaurin, ce qui démontre l'assertion.
810 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
79. Comme nous le verrons ci-après, la fonction ( )xf admet des dérivées de tout ordre en 0=x
et ( ) ( ) 00 =nf pour tout n.
La série de Maclaurin de ( )xf est donc
( ) ( ) ( ) ( )( )
... 0 ... 000... 0 ... 000
... !0 ...
!2000
2
2
+++++=
+⋅++⋅+⋅+=
+++′′
+⋅′+
n
nn
xxx
xn
fxfxff
La série converge pour tout x (la somme est 0), mais elle ne converge vers ( )xf qu'en .0=x
Montrons maintenant que ( ) 00 =′f :
( ) ( ) ( ) 2
2 2
2
-1
0 0
2. .
1 1 30 0
10
0 00 lim lim
1 -1lim lim-2
lim 0.2
h
h h
R H
h hh h
hh
f h f efh h
h he e h
he
→ →
→ ∞ ∞ →
→
+ −′ = =
= =⋅
= =⋅
Par ailleurs, pour ( ) ( )2 2-1 -13
20, x xx f x e ex
′′≠ = = , ce qui nous servira ci-après.
Calculons ( )0f ′′ :
( ) ( ) ( )2
2 2
2 2 2
-13
0 0
4 5. .
1 1 30 0
2 3. .
1 1 3 10 0 0
20 0
0 lim lim
2 1 2 -4lim lim-2
4 -8 4lim lim lim 0,-2
h
h h
R H
h hh h
R H
h h hh h h
ef h f hfh h
h he e h
h he e h e
→ →
→ ∞ ∞ →
→ ∞ ∞ → →
⋅′ ′+ −′′ = =
⋅ ⋅= =
⋅
= = = =⋅
et ainsi de suite.
Exercices 4.6 page 811
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
80. Le graphique de ( )xf est tellement
plat dans le voisinage de 0=x que
toutes les dérivées de la fonction
sont nulles en 0=x .
81. Remarques : Si f est paire, alors ( ) ( ) ( )( ) ( )( )- et -f x f x f x f x
′ ′= = , de sorte que
( ) ( )xfxf ′=⋅′ -1- et ( ) ( )xfxf ′=′ -- , d'où f ′ est impaire.
Si, d'autre part, f est impaire, alors ( ) ( ) ( )( ) ( )( )- - et - -f x f x f x f x′ ′
= = , de sorte que
( ) ( )xfxf ′=⋅′ --1- et ( ) ( )xfxf ′=′ - , d'où f ′ est paire.
De plus, si f est impaire, alors ( ) ( )0-0- ff = ; mais ( ) ( ),00- ff = de sorte que ( ) ( ) 00et 002 == ff .
a) Si f est paire, alors toutes les dérivées d'ordre impair sont des fonctions impaires et
s'annulent en 0=x . Par conséquent, 0 ... 531 ==== aaa et la série de Maclaurin de la
fonction ne contient que des puissances paires de x.
b) Si f est impaire, alors toutes les dérivées d'ordre pair sont des fonctions impaires et
s'annulent en 0=x . Par conséquent, 0 ... 420 ==== aaa et la série de Maclaurin de la
fonction ne contient que des puissances impaires de x.
82. a) Soit ( )xf une fonction périodique continue de période p. Soit 0x un nombre réel
quelconque. Alors f admet un minimum 1m et un maximum 2m dans l'intervalle
[ ]0 0, x x p+ , c'est-à-dire que ( )1 2m f x m≤ ≤ pour tout x dans [ ]0 0, x x p+ .
Puisque la fonction f est périodique, elle prend exactement les mêmes valeurs sur les
autres intervalles tels que
[ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 0, 2 , 2 , 3 , ..., , , 2 , ,x p x p x p x p x p x x p x p+ + + + − − − etc.
Il s'ensuit que pour tout x réel, ( )1 2m f x m≤ ≤ .
Soit { }1 2 max , M m m= . Alors ( )1 1 2 2 - - M m m f x m m M≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ , d'où
( ) Mxf ≤ pour tout x.
2-1
0, 00e , x
xy
x⎧ =⎪= ⎨ ≠⎪⎩
1
1 2 3 4-1-2-4 -3 0
y
x
812 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Le terme dominant du polynôme d'ordre n engendré par xcos en ax = est
( ) ( ) ,!
sin naxn
a− ou encore ( ) ( )nax
na
−!
cos , selon le cas. Dans les deux cas, lorsque
x augmente, le terme dominant tend, en valeur absolue, vers ,∞ ce qui explique
pourquoi le graphe du polynôme s'éloigne du graphe de xcos . 83. a)
b) ..., 53
tan 53
−+−=xxxxarc de sorte que
... 53
1 ... 53
1tan 253
33 +−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−=
− xxxxxxx
xarcx
Selon le théorème de l'estimation des séries alternées (Voir le théorème 4.4.2, page 303),
53
1tan 31 2
3x
xxarcx
−<−
< , ce qui est illustré par le graphique.
De plus, .31 ...
531limtan lim
2
030=+−=
−→→
xx
xarcxxx
84. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
0 1 2 3 ... nnE x f x g x f x b b x a b x a b x a b x a= − = − − − − − − − − −
La condition ( ) ( ) ( )0 00 0 .E a f a b b f a= ⇒ − = ⇒ =
La condition
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 31 2 3 ...
lim 0 lim 0n
nn nx a x a
E x f x f a b x a b x a b x a b x a
x a x a→ →
− − − − − − − − − −= ⇒ =
− −.
0,2
0,1
0,3
0,4
0,5
-2 -1 0 21
31 =y
5
2
31 xy −=
3 tan arc
xxxy −=
x
y
Exercices 4.6 page 813
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
2 1. .1 2 3
10 0
2. .2 3
1 20 0
3. .3
2 30 0
3
2 3 ... lim 0
2 3! ... 1lim 0
1
3! ... 1 21 lim 02 1 2
nR Hn
nx a
nR Hn
nx a
nR Hn
nx a
f x b b x a b x a nb x a
n x a
f x b b x a n n b x ab f a
n n x a
f x b n n n b x ab f a
n n n x a
b
−
−→
−
−→
−
−→
′ − − − − − − − −= =
−
′′ − − − − − − −′⇒ = ⇒ =
− −
′′′ − − − − − −′′⇒ = ⇒ =
− − −
⇒ = ( )( ) ( )
( ) ( )
. . !1 lim 03! !1 .!
nR Hn
x arépétée
nn
f x n bf a
n
b f an
→
−′′′ ⇒ =
⇒ =
Ainsi, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 ...
2! !
nn
nf a f a
g x f a f a x a x a x a P xn
′′′= + − + − + + − = .
85. ( ) ( )1ln ln 1 ln 11
x x xx
+⎛ ⎞ = + − −⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−=
... 53
2
... 5432
- ... 5432
... 5
-4
-3
-2
-- ... 5432
53
54325432
54325432
xxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
86. ( ) ( ) ... 1- ... 432
1ln1432
+++−+−=+−
nxxxxxx
nn
( )n
nn
nnx
101 1- erreur
1
==−
lorsque 101
=x .
88 1010
101
101
>⇒< nn n
n l'inéquation étant vérifiée pour 8≥n . L'addition des sept premiers
termes suffit donc.
814 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
87. ( ) , ... 12
1- ... 9753
tan 1219753
+−
+−+−+−=−−
nxxxxxxxarc
nn
d'où ( )12
1 12
1- erreur 121
−=
−=
−−
nnx nn
pour 1000121012
1 .1 -3 >−⇒<−
= nn
x ,
d'où 5,500>n . Le premier terme non utilisé sera le 501e terme de la
série. Il faut donc additionner les 500 premiers termes.
88. ( ) ... 12
1- ... 973
tan 12197
53
+−
+−+−+−=−−
nxxxxxxxarc
nn
Si 1>x , alors ( ) 2 22 1 . . 2 1lim lim 0
2 1 2
nn R H
n n
n xxn
−−
→∞ ∞ ∞ →∞
−= = ∞ ≠
−.
La série diverge selon le test du en terme pour la divergence.
Si 1-<x , alors ( ) 2 22 1 . . 2 1lim lim - 0
2 1 2
nn R H
n n
n xxn
−−
→∞ ∞ ∞ →∞
−= = ∞ ≠
−. La série diverge également.
Donc, la série de Maclaurin de xarc tan diverge pour 1 >x . 89. a) ( ) ( )( )-1 2-1 22 21 1 -x x− = +
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( )
2 32 2 2
2 4 6
2 64
2 3
2
1
-1 2 -1 2 -1 21 - - - ...
1 2 3
-1 2 -3 2 -1 2 -3 2 -5 211 - - -2 2! 3!
1 1 3 1 3 51 ...2 2 2! 2 3!1 3 5... 2 1
1 ,2 !
n
nn
x x x
x x x
x xx
n xn
∞
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + + +
⋅ ⋅
⋅ ⋅ −= +
⋅∑
( ) ( )
( )( )
( )
2-1 22
10 0
2 1
1
2 1
1
1 3 5 ... 2 1 sin 1 1
2 !
1 3 5 ... 2 12 ! 2 1
1 3 5 ... 2 1.
2 4 6 ... 2 2 1
de sorte que nx x
nn
n
nn
n
n
n tarc x t dt dt
n
n xx
n n
n xxn n
∞
=
+∞
=
+∞
=
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ −= − = +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
⋅ ⋅ ⋅ −= +
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ −= + ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
∑∫ ∫
∑
∑
Exercices 4.6 page 815
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Soit ( )122...642
12...531 12
+⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅
=+
nx
nnu
n
n .
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
2 31
2 1
2
22 2
2
1 3 5 ... 2 1 2 4 6 ... 2 2 1
2 4 6 ... 2 2 2 3 1 3 5 ... 2 1
2 1 2 1
2 2 2 3
4 4 1 lorsque .4 10 6
Alors,n
nn
n
n n nu xu n n n x
n nx
n n
n n x x nn n
++
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ += ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
+ += ⋅
+ +
+ += ⋅ → → ∞
+ +
Suivant le test du rapport, la série converge absolument lorsque 12 <x , soit 11- << x .
90. 3 5 73 5 sin cos cos sin
2 2 2 6 40 112π π π x x xarc x arc x arc x arc x x
⎛ ⎞+ = ⇒ = − ≈ − + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1125
403
62
753 xxxx −−−−=π
91. ( )2 2 2 2 2 4 62 2
1 1 1 1 1 1 1 11 ... 1 1 11 1t t t t t t tt t
⎛ ⎞= = ⋅ = − + − +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠+
(Voir la table 4.6.1, numéro 2, où x est substitué par 21 t ), d'où ... 11111
186422 +−+−=
+ ttttt
[ ] [ ] ( )
2
2 4 6 8
3 5 7
3 5 7
tan lim tan lim tan tan
1 tan lim 2 1
1 1 1 1lim ...
1 1 1 1lim - ... 3 5 7
1 1 1 1 1lim - ... -3 5 7
bx xb b
b
bx
b
bx
b
b x
b
arc t arc t arc b arc x
π arc x dtt
dtt t t t
t t t t
b b b b
∞
→∞ →∞
→∞
→∞
→∞
→∞
= = −
= − =+
⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
3 5 7
3 5 7
1 1 1 ... 3 5 7
1 1 1 1 ...3 5 7
x x x x
x x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= − + − +
Il en découle que ... 7
151
311
2tan 753 −+−+−=
xxxxxarc π pour 1>x .
816 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par ailleurs,
[ ] [ ] ( )
... 7
151
311-
... 71
51
311- ...
71
51
311-lim
... 71
51
311-lim
... 1111lim
1
1lim2
tan 2
-tan
tan tan limtan limtan
753
753753
753
8642
2
-
−+−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+−=
+==+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−==
−∞→
−∞→
−∞→
−∞→
−∞→−∞→∞
∫
∫
xxxx
bbbbxxxx
tttt
dttttt
dtt
xarcxarc
barcxarctarctarc
b
x
bb
x
bb
x
bb
b
xbb
x
ππ
Il en découle que ... 7
151
311
2-tan 753 −+−+−=
xxxxxarc π pour 1-<x .
92. a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
tan tan 1 tan tan 1tan tan 1 tan 1
1+tan tan 1 tan tan 1arc n arc n
arc n arc narc n arc n
+ − −+ − − =
+ −,
( )( )( ) 2
1 1 21 1 1
n nn n n
+ − −= =
+ + −
d'où ( ) ( )22 tan tan 1 tan 1arc arc n arc nn
= + − − .
b) ( ) ( )21 1
2 tan tan 1 tan 1N N
n narc arc n arc n
n= =
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∑ ∑
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )
tan 2 tan 0 tan3 tan1
tan 4 tan 2 ... tan 1 tan 3
tan tan 2 tan 1 tan 1
tan 1 tan tan 0 tan1
tan 1 tan4
arc arc arc arc
arc arc arc N arc N
arc N arc N arc N arc N
arc N arc N arc arc
πarc N arc N
= − + −
+ − + + − − −
+ − − + + − −
= + + − −
= + + −
c) ( )21
2 3 tan lim tan 1 tan4 2 2 4 4Nn
π π π π πarc arc N arc Nn
∞
→∞=
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + − = + − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑
Exercices 4.6 page 817
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Exercices réalisés avec Mathematica
Approximations linéaire, quadratique et cubique.
93. [ ] 1f x_ : = 1+x
-3 3BorneInf ; BorneSup ;4 4
= =
Étape 1
[ ] { } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup , Image -0.1. 2.2 ,
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style vert
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
[ ] [ ] { }
P1 x_ =Série f x , x, 0, 1 // Normal
P2 x_ =Série f x , x, 0, 1 // Normal
P3 x_ =Série f x , x, 0, 1 // Normal
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f'' c
[ ] { } { }
{ } { }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -1, 25
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , 5, 10, 15, 20, 25 , Style rouge
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
Le graphique permet facilement de constater que la fonction u1 est positive et décroissante sur
l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 , donc sa valeur absolue maximale sera atteinte en .43-=c Notons cette
valeur .1M
[ ] ( ) [ ][ ] { } { }
{ }{ } { }
3
-3M1 = u14
u2 c_ = f c
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -250, 10
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style rouge
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
818 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Le graphique permet facilement de constater que la fonction u2 est négative et croissante sur
l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 , donc sa valeur absolue maximale sera atteinte en .43-=c Notons cette
valeur M2. Ici, il faudra prendre la valeur absolue de [ ]u2 -3 4 pour que la constante 2M soit
positive. Le symbole de valeur absolue { }( ) se trouve sur la palette dans la section Opérations
et symboles. Si vous n'utilisez pas la palette, il vous faudra taper au clavier [ ]Abs .
[ ] ( ) [ ]4
-3M2 = u2 4
u3 c_ = f c
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Traçons le graphique de la fonction u3 afin de déterminer sa valeur absolue maximale.
[ ] { } { }
{ }{ } { }
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -10, 3370
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique , Style rouge
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
Le graphique permet facilement de constater que la fonction u3 est positive et décroissante sur
l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 , donc sa valeur absolue maximale sera atteinte en .43-=c Notons cette
valeur .3M
-3M3 = u34
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Étape 4
Calculons le reste ( )xnR pour chaque polynôme en utilisant l'estimation iM
obtenue à l'étape 3.
Selon le théorème 4.6.6 Estimation du reste de Taylor (page 330), nous avons
( ) ( )
1
x M .1 !
n
nx
Rn
+
≤+
En fait ici on nous demande de calculer ( )
1
M1 !
nxn
+
+ que nous noterons
aussi ( )xnR .
Exercices 4.6 page 819
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 1 (approximation linéaire) :
[ ] x2!
M1 =x_R1 2
Traçons le graphique de 1R sur l'intervalle [ ]43 ,43-
[ ] { } { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Image -1, 5 , Style rouge⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
Répondons maintenant à la question posée en a) c'est-à-dire trouvons les valeurs de x pour
lesquelles l'erreur d'estimation est inférieure à 0.01 lorsque nous remplaçons la fonction f
par le polynôme de Taylor d'ordre 1. Le graphique précédent n'est pas très utile pour estimer
les valeurs de x recherchées, effectuons un zoom près de 0 et ajoutons au graphique la droite
y = 0.01.
[ ]{ { } { } { }Tracer R1 x , 0.013, x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
Confirmation par Mathematica
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 2 (approximation quadratique) :
[ ] 3M2R2 x_ = x 3!
Traçons le graphique de 2R sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4
[ ] { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→⎣ ⎦
Encore une fois, le graphique précédent ne nous renseigne pas immédiatement sur les valeurs de
x. Effectuons alors un zoom près de 0 et ajoutons la droite y = 0.01.
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
Confirmation par Mathematica
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
820 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 3 (approximation cubique) :
[ ] 4M3R3 x_ = Abs x4!
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→⎣ ⎦
Encore une fois, le graphique précédent ne nous renseigne pas immédiatement sur les valeurs de
x. Effectuons alors un zoom près de 0 et ajoutons la droite y = 0.01.
[ ]{ } { } { } { }Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.15, 0.15 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
Confirmation par Mathematica
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
Étape 5
Comparons notre estimation de l'erreur réelle donnée par la différence, en valeur
absolue, entre la fonction et le polynôme de Taylor utilisé.
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 1 (approximation linéaire) :
[ ] [ ] [ ]E1 x_ = f x P1 x −
Traçons le graphique des fonctions R1 et E1.
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ }{ }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique ,
Style rouge, bleu
⎡⎣
→
⎤→ ⎦
On remarque que l'erreur réelle est inférieure à notre estimation de l'erreur R1.
Répondons à la question b) : Quelle est l'erreur réelle maximale prévisible si nous remplaçons
la fonction f par son approximation linéaire sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 ?
Le graphique précédent permet facilement de localiser l'erreur réelle maximale (la courbe en
rouge).
Calculons cette erreur réelle maximale en évaluant la fonction E1 pour la valeur précédente.
-3E1 = // N4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Exercices 4.6 page 821
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 2 (approximation quadratique) :
[ ] [ ] [ ]E2 = x_ : = f x P2 x −
Traçons le graphique de R2 et E2
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ }{ }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique ,
Style rouge, bleu
⎡⎣
→
⎤→ ⎦
On remarque que l'erreur réelle est inférieure à notre estimation de l'erreur R2.
Répondons à la question b) : Quelle est l'erreur réelle maximale prévisible si nous remplaçons
la fonction f par son approximation linéaire sur l'intervalle [ ]-3 4, 3 4 ?
Le graphique permet facilement de localiser l'erreur réelle maximale (la courbe en
rouge).
Calculons cette erreur réelle maximale en évaluant la fonction E2 pour la valeur précédente.
N // 43-=E2 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Pour le polynôme de Taylor d'ordre 3 (approximation cubique) :
[ ] [ ] [ ]E3 = x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ }{ }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique ,
Style rouge, bleu
⎡⎣
→
⎤→ ⎦
N // 43-=E3 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Étape 6
Traçons le graphique de f ainsi que ces trois approximations.
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.75, -0.5, -0.25, 0.25, 0.5, 0.75 , Automatique ,
Image 0.5, 2 , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
→
⎤→ → ⎦
822 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
94. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2,u3, E1, E2, E3
[ ] ( )3 2f x_ : = 1 + x
-1BorneInf = ; BorneSup = 2 ;2
Étape 1
Traçons le graphe de f sur l'intervalle [ ]BorneInf, BorneSup
[ ] { } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 6 ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style vert
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Le polynôme de Taylor d'ordre deux est :
[ ] [ ] { }P2 x_ = Série f x , x, 0, 2 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Le polynôme de Taylor d'ordre trois est :
[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦ Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f '' c
[ ] { } { }
{ }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup , Image -1, 2 ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ] ( ) [ ]3
-1M1 = u12
u2 c_ = f c
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] ( ) [ ]4
-1M2 = u2 2
u3 c_ = f c
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Exercices 4.6 page 823
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
-1M3 = u32
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Étape 4
[ ] 2M1R1 x_ = x 2!
[ ] { } { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 2.1 , Style rouge⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] x3!
M2 =x_R2 3
[ ] { } { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 1 , Style rouge⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.5, 0.5 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 4M3R3 x_ = x 4!
[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.6, 0.7 , Image -0.05, 0.05 ,
Jalons -0.5, -0.3, -0.1, 0.1, 0.3, 0.5 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5
[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
824 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]E1 2 // N
[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E2 2 // N
[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E3 2 // N Étape 6
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
95. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2,u3, E1, E2, E3
[ ] 2xf x_ : =
x 1BorneInf = -2 ; BorneSup = 2 ;
+
Étape 1
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style vert
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P2 x_ = Série f x , x, 0, 2 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Exercices 4.6 page 825
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f '' c // Simplifier
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}
ZérosDeLaDérivée = Résoudre u1 ' c = 0, c
u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,
u1 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u1 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] ( ) [ ]3
M1 = u1 1- 2 // Simplifier
u2 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]
[ ] ( ) [ ][ ] { }{ }{ } { }
[ ]
[ ] [ ] [ ]{ [ ]
4
M2 = u2 0
u3 c_ = f c //Simplifier
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
ZérosDeLaDérivée = Résoudre u3' c = 0, c
u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 c
⎡⎣
⎤→ → ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} / . ZérosDeLaDérivée 2 ,
u3 c / . ZérosDeLaDérivée 4 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 5 , u3 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
M3 = u3 2 3 // N⎡ ⎤−⎣ ⎦
Étape 4
[ ] 2M1R1 x_ = x 2!
[ ] { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
826 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] 3M2R2 x_ = x 3!
[ ] { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 4M3R3 x_ = x 4!
[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.4, 0.4 , Image -0.05, 0.05 ,
Jalons -0.4, -0.3, -0.1, 0.1, 0.3, 0.4 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
Étape 5
[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E1 2 // N
[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E2 2 // N
[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E3 2 // N
Exercices 4.6 page 827
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Étape 6
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
96. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2, u3, E1, E2, E3
[ ] [ ] [ ]f x_ : = Cos x Sin 2x
BorneInf = -2 ; BorneSup = 2 ;
Étape 1
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style vert
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P2 x_ = Série f x , x, 0, 2 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f '' c // Simplifier
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u1 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}
u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,
u1 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 4 , u1 BorneSup // N
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]3
M1 = u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2
u2 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
828 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u2 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} }
u2 BorneInf //N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,
u2 c / . ZérosDeLaDérivée 2 , u2 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u2 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]4
M2 = u2 c / . ZérosDeLaDérivée 2
u3 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u3 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}
u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 2 ,
u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 4 , u3 BorneSup // N
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ]M3 = u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3⎡ ⎤⎣ ⎦
Étape 4
[ ] 2M1R1 x_ = x 2!
[ ] { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 3M2R2 x_ = x 3!
[ ] { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 4M3R3 x_ = x 4!
[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
Exercices 4.6 page 829
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 ,
Jalons -0.4, -0.3, -0.1, 0.1, 0.3, 0.4 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
Étape 5
[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E1 2 // N
[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E2 2 // N
[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E3 2 // N
Étape 6
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
97. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2,u3, E1, E2, E3
[ ] [ ]-xf x_ : = e Cos 2x
BorneInf = -1 ; BorneSup = 1 ;
830 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Étape 1
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style vert
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P2 x_ = Série f x , x, 0, 2 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f '' c // Simplifier
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u1 ' c = 0, c, -1, 1⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}
u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,
u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 , u1 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]3
M1 = u1 c / . ZérosDeLaDérivée 1
u2 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u2 ' c = 0, c, -1, 1⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ] [ ]} }{u2 BorneInf // N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u2 BorneSup // N ⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ]
[ ] ( ) [ ]4
M2 = u2 BorneInf // N
u3 c_ = f c // Simplifier
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Exercices 4.6 page 831
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u3 ' c = 0, c, -1, 1⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{ [ ] }u3 BorneInf , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 , u3 BorneSup // N ⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ]M3 = u3 BorneInf //N Étape 4
[ ] 2M1R1 x_ = x 2!
[ ] { } { }Tracer R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 3M2R2 x_ = x 3!
[ ] { } { }Tracer R2 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 4M3R3 x_ = x 4!
[ ] { } { }Tracer R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Style rouge⎡ ⎤→ ⎦⎣
[ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.3, 0.3 , Image -0.05, 0.05 ,
Jalons -0.3, -0.2, -0.1, 0.1, 0.2, 0.3 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5
[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
832 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]E1 -1 // N
[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E2 1 // N
[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 1 ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E3 1 // N
Étape 6
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, -1, 1 ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
98. [ ]Nouveau f, P1, P2, P3, R1, R2, R3, M1, M1, M1, u1, u2,u3, E1, E2, E3
[ ] [ ]x 3f x_ : = e Sin 2x
BorneInf = -2 ; BorneSup = 2 ;
Étape 1
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer f x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style vert
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Étape 2
[ ] [ ] { }P1 x_ = Série f x , x, 0, 1 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P2 x_ = Série f x , x, 0, 2 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] { }P3 x_ = Série f x , x, 0, 3 // Normal⎡ ⎤⎣ ⎦
Exercices 4.6 page 833
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Étape 3
[ ] [ ]u1 c_ = f '' c // Simplifier
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u1 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u1 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ]}
u1 BorneInf , u1 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,
u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2 , u1 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]3
M1 = u1 c / . ZérosDeLaDérivée 2
u2 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }{ }{ } { }
Tracer u2 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u2 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] }
u2 BorneInf // N, u2 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,
u2 c / . ZérosDeLaDérivée 2 , u2 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u2 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ]
[ ] ( ) [ ]4
M2 = u2 c / . ZérosDeLaDérivée 3
u3 c_ = f c // Simplifier
⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] { }
{ }{ } { }
Tracer u3 c , c, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge
⎡⎣
⎤→ → ⎦
[ ] { }ZérosDeLaDérivée = TrouverRacinesIntervalle u3 ' c = 0, c, -2, 2⎡ ⎤⎣ ⎦
[ ] [ ] [ ]{[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] }
u3 BorneInf // N, u3 c / . ZérosDeLaDérivée 1 ,
u3 c / . ZérosDeLaDérivée 2 , u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3 , u3 BorneSup // N
⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ] [ ]M3 = u3 c / . ZérosDeLaDérivée 3 //N⎡ ⎤⎣ ⎦
834 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Étape 4
[ ] 2M1R1 x_ = x 2!
[ ]{ } { } { } { }Tracer R1 x , 0.01 , x, -0.1, 0.1 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R1 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 3M2R2 x_ = x 3!
[ ]{ } { } { } { }Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu⎡ ⎤→ → ⎦⎣
[ ]Résous R2 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ]
[ ]{ } { } { } { }
[ ]
3M2R2 x_ = x 3!
Tracer R2 x , 0.01 , x, -0.2, 0.2 , Image -0.05, 0.05 , Style rouge, bleu
Résous R2 x 0.01, x
⎡ ⎤→ →⎣ ⎦
⎡ ⎤<⎣ ⎦
[ ] 4M3R3 x_ = x 4!
[ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer R3 x , 0.01 , x, -0.4, 0.4 , Image -0.05, 0.05 ,
Jalons -0.3, -0.2, -0.1, 0.1, 0.2, 0.3 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]Résous R3 x 0.01, x⎡ ⎤<⎣ ⎦ Étape 5
[ ] [ ] [ ]E1 x_ : = f x P1 x −
[ ] [ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer E1 x , R1 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 6 ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E1 2 // N
[ ] [ ] [ ]E2 x_ : = f x P2 x −
[ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer E2 x , R2 x , x, BorneInf, BorneSup ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Exercices 4.6 page 835
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
[ ]E2 2 // N
[ ] [ ] [ ]E3 x_ : = f x P3 x −
[ ] [ ]{ } { } { }
{ }{ } { }
Tracer E3 x , R3 x , x, BorneInf, BorneSup , Image 0, 5 ,
Jalons -2, -1, 1, 2 , Automatique , Style rouge, bleu
⎡ →⎣
⎤→ → ⎦
[ ]E3 -2 // N
Étape 6
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { }
{ }{ } { }
Tracer f x , P1 x , P2 x , P3 x , x, -1, 1 ,
Jalons -1, -0.5, 0.5, 1 , Automatique , Style noir, vert, rouge, bleu
⎡⎣
⎤→ → ⎦
Exercices réalisés avec Maple 6
93. 1)
2) Commandes Maple
for i from 2 to 4 do p[i-1]:=convert(taylor(f(x),x=0,i),polynom) end do;
:= p1 − 112 x
et := p2 − + 1
12 x
38 x2 et := p3 − + − 1
12 x
38 x2 5
16 x3
3) Commandes Maple
d2f:=unapply(diff(f(x),x$2),x) :
plot(d2f(x),x=a..b,color=black,thickness=2,title=`graphe de la dérivée seconde)`);
M1:=evalf(maximize(abs(d2f(x)),x=a..b));
836 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
:= M1 24.00000000
De même on trouve, que la dérivée troisième est toujours croissante et sa valeur absolue
maximale est M2 = 240, que la dérivée quatrième est toujours décroissante avec 3360
comme valeur absolue maximale. Les valeurs maximales sont obtenues à la borne
x = –3/4.
4) Commandes Maple
R1:=x->M1*x^2/2!:
plot(R1(x),x=a..b,color=black,title=`graphe de R1(x)` );
solve(R1(x)<1/100,{x});
L’ensemble des valeurs suivantes { }, < x .02886751346 < -.02886751346 x produiront
une approximation avec reste d’ordre 1 inférieur à 10-2 . Pour R2 l’ensemble des valeurs
est { }, < x .06299605249 < -.06299605249 x . Pour R3 l’ensemble des valeurs est
{ }, < -.09193227152 x < x .09193227152 .
5) Commandes Maple
E1:=x->abs(f(x)-p[1]):
plot(E1(x),x=a..b,color=black,title=`Erreur réelle d'ordre 1`);
E1:=evalf(maximize(E1(x),x=a..b));
Exercices 4.6 page 837
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
L’erreur maximale avec le polynôme p1 est := E1 .625000000 , avec p2 elle est
:= E2 .414062500 et avec p3 elle est de := E3 .282226562
6) Commandes Maple
with(plots):
f1:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=2):
f2:=plot([seq(p[i],i=1..3)],x=a..b,color=black):
f3:=textplot({[-0.6,1.9,`f(x)`],[-0.4,1.1,"p1"],[0.6,0.9,`p 2`],[-0.7,1.7,`p 3`]}):
display(f1,f2,f3);
On remarque que plus le degré du polynôme est élevé, plus la courbe de ce dernier est
rapprochée de la courbe de la fonction. À l’étape 4, il est important de noter qu’un
polynôme de degré plus élevé nous permet un intervalle légèrement plus large pour
obtenir une approximation de même qualité.
838 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
94. 1)
2) 323
221 16
183
231:
83
231:et
231: xxxpxxpxp −++=++=+=
3) 181980514.3:3et 060660172.1:2et 060660172.1:1 === MMM
4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2
ordre 1 : { }, < -.1373178096 x < x .1373178096
ordre 2 : { }, < -.3838766207 x < x .3838766207
ordre 3 : { }, < x .5240568855 < -.5240568855 x
5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est ,196152424.1:1 =E avec p2 elle est 303847576.:2 =E et avec p3 elle est de 196152424.:3 =E .
6)
b
95. 1)
Exercices 4.6 page 839
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
2) := p1 x et := p3 − x x3 Aucun polynôme de degré 2.
3) := M1 1.457106781 et := M2 6. et := M3 19.49278582
4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2
Ordre 1 : { }, < -.1171572875 x < x .1171572875
Ordre 2 : { }, < -.2154434690 x < x .2154434690
Ordre 3 : { }, < x .3331074399 < -.3331074399 x
5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est := E1 1.600000000 et avec p3 elle est de
:= E3 6.400000000
6)
96. 1)
2) 331 3
72:et 2: xxpxp −==
Aucun polynôme de degré 2.
840 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
3)
:= M1 4.752300722
:= M2 14. et := M3 40.75025701
4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2
Ordre 1 : { }, < -.06487285936 x < x .06487285936
Ordre 2 : { }, < x .1624330522 < -.1624330522 x
Ordre 3 : { }, < x .2770258030 < -.2770258030 x
5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1=37, et avec p3 elle est de 15.
6)
97. 1)
A
2) := p1 + 1 x et := p2 + − 1 x32 x2 et := p3 + − − 1 x
32 x2 11
6 x3
Exercices 4.6 page 841
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
3)
:= M1 9
:= M2 14 et := M3 70
4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2
Ordre 1 : { }, < x1
30 2 < −1
30 2 x
Ordre 2 : { }, < x1
70 1470( )/1 3
< −170 1470
( )/1 3x
Ordre 3 : { }, < −1
875 3( )/1 4
875( )/3 4
x < x1
875 3( )/1 4
875( )/3 4
5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1=3.1, avec p2 elle est E2= 1.6 et avec
p3 elle est de 0.49.
6)
98. 1)
A
842 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
2) := p1 2 x et := p2 + 2 x23 x2 et := p3 + − 2 x
23 x2 11
9 x3
3)
:= M1 6
:= M2 16 et := M3 25
4) Intervalle pour reste inférieur à 10-2
Ordre 1 : { }, < −1
30 3 x < x130 3
Ordre 2 : { }, < x1
20 30( )/1 3
< −1
20 30( )/1 3
x
Ordre 3 :
{ }, < x15 6
( )/1 4 < −
15 6
( )/1 4x
5) L’erreur maximale avec le polynôme p1 est E1= 5.5, avec p2 elle est de E2= 8.09 et avec
p3 elle est de 8.09.
6)
Exercices récapitulatifs page 843
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Chapitre 4 - Exercices récapitulatifs
1. ( )-1lim lim 1 1 0 1
n
nn na
n→∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
La suite converge vers 1.
2. n n
2 20 , lim 0 0 et lim 0nan n→∞ →∞
≤ ≤ = = , de sorte que 0limn
=→∞ na selon le théorème du sandwich.
La suite converge vers 0.
3. 1 2 1lim lim lim 1 0 1 -122
n
n nn n na
n→∞ →∞ →∞
− ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
La suite converge vers -1. 4. ( )
n nlim lim 1 0,9 1 0 1n
na→∞ →∞
⎡ ⎤= + = + =⎣ ⎦
La suite converge vers 0.
5. { } { }... ,0 ,1 ,0 ,1- ,0 ,12
sin =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
πnan
La suite diverge. 6. { } { } { }sin 0,0,0, ... na nπ= =
La suite converge vers 0.
7. ( )2
. .
12ln 2ln 1lim lim lim lim lim 2 0.1
R H
nn n n n n
n n nan n n→∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = = = ⋅ =
La suite converge vers 0.
844 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
8. ( ) . .
n n n n
1 2ln 2 1 22 1lim lim lim lim 01 2 1
R H
nn nan n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⋅+ += = = =+
La suite converge vers 0.
9. 1.1
11limlnlimlim
..=
+=
+=
∞→∞∞∞→∞→
nn
nnan
HR
nnn
La suite converge vers 1.
10. ( ) 23 2. . . .3
3 2n n n n n n
1 6ln 2 1 6 12 22 1lim lim lim lim lim lim 01 2 1 6
R H R H
n
nn n nnan nn n→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞
⋅+ += = = = = =+
La suite converge vers 0.
11. ( ) 5-5-1lim5limlim enn
nan
n
n
nnn=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∞→∞→∞→
(Voir la table 4.1.1, numéro 5, page 266).
La suite converge vers -5e .
12. -1 1 1lim lim 1 lim
11
n
n nn n na
n en
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟
⎝ ⎠
(Voir la table 4.1.1 numéro 5, page 266).
La suite converge vers e1 .
13. 3133lim3limlim 1
1
===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∞→∞→∞→ nn
nn
nnn nna (Voir la table 4.1.1, numéro 2, page 266)
La suite converge vers 3.
14. 1 1
13 3 1lim lim lim 1
1
n n
n nn n na
n n→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
(Voir la table 4.1.1, numéros 3 et 2, page 266).
La suite converge vers 1.
Exercices récapitulatifs page 845
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
15. ( ) ( )1 21 . .1 1 0
20 0
2 ln 2 -12 1lim lim 2 1 lim lim lim 2 ln 2 2 ln 2 ln 21 -1
nn R Hn n
nn n n n n
na n
n n→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⋅ ⋅−= − = = = ⋅ = ⋅ =
La suite converge vers 2ln . 16. ln 2 1lim lim 2 1 lim
n nnnn n n
a n e +
→∞ →∞ →∞= + =
( )( )
( )
1
n
n
ln 2 1ln 2 1
1 2ln 2 1 2 1. .lim lim1
2lim 02 1
lim lim
=
1.
n
n
nn
nn n
n nR Hn
n
e e
e e
e e
→∞ →∞
→∞
+⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
→∞ →∞
⋅+ +
∞ ∞
+
= =
=
= = =
La suite converge vers 1.
17. ( ) ( )1 !lim lim lim 1
!nn n n
na n
n→∞ →∞ →∞
+= = + = ∞
La suite diverge.
18. ( )-4lim lim 0
!
n
nn na
n→∞ →∞= = (Voir la table 4.1.1, numéro 6, page 260).
La suite converge vers 0.
19. ( )( )
1 1 2 1 22 3 2 1 2 3 2 1n n n n
= −− − − −
, d'où
12
2161
1221
3221 ...
181
141
141
101
101
61
−−=
−−
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnnsn
.61
1221
61limlim =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−==
→∞→∞ nsS
nnn
La série converge vers 61 .
846 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
20. ( ) 122-
12-
++=
+ nnnn, d'où
121-
122- ...
52
21-
21
32-
321-
++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nnnsn
2lim lim -1 -11nn n
S sn→∞ →∞
= = + =+
La série converge vers -1.
21. ( )( )
9 3 33 1 3 2 3 1 3 2n n n n
= −− + − +
, d'où
23
323
233
133 ...
113
83
83
53
53
23
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnnsn
.23
233
23limlim =
+−==
∞→∞→ nsS
nnn
La série converge vers 23 .
22. ( )( )
-8 -2 24 3 4 1 4 3 4 1n n n n
= +− + − +
, d'où
14
292-
142
342- ...
212
172-
172
132-
132
92-
++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nnnsn
2 2 2lim lim - -9 4 1 9nn n
S sn→∞ →∞
= = + =+
La série converge vers 92- .
23. -
0 0 0
1 1 nn
nn n n
eee
∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ , qui est une série géométrique de raison 11 <=e
r et de premier terme
1=a .
111
11 −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=−
=e
e
er
aS
La série converge vers .1−e
e
Exercices récapitulatifs page 847
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
24. ( )1 1
3 1-1 3 -44
nn
nn n
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ , qui est une série géométrique de raison 1 41- <=r et de premier
terme 43-=a .
( ) 53-
4543-
41-143-
1==
−=
−=
raS
La série converge vers 53- .
25. ∑∞
=1
1n n
est une série-p avec 121 ≤=p . Elle diverge.
26. ∑∑∞
=
∞
=
=11
1-55-nn nn
diverge, en tant que multiple non nul de la série harmonique ∑∞
=1
1n n
, qui est
divergente.
27. Soit ( )x
xf 1= . Alors ( ) 0
21- 23 <=′x
xf pour tout 1≥x , de sorte que ( )xf est une fonction
décroissante. Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n . De plus, 0≥nu pour 01limet 1 =≥→∞ n
nn
.
La série ( )∑∞
=1
1-n
n
n converge donc par le test des séries alternées.
La série ∑∞
=1
1n n
étant divergente (voir l'exercice 25), la série ( )1
-1 n
n n
∞
=∑ est conditionnellement
convergente.
28. ∑∑∞
=
∞
=
=1
31
31
21
22
nn nn converge absolument, en tant que multiple de la série-p ∑
∞
=13
1n n
, qui est
convergente ( )13 >=p .
848 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
29. Soit ( ) ( )1
ln 1f x
x=
+. Alors ( )
( ) ( )21- 0
ln 1 1f x
x x′ = <
⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ pour tout 1≥x , de sorte que ( )xf est
une fonction décroissante.
Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n . De plus, 0≥nu pour tout ( )
11 et lim 0ln 1n
nn→∞
≥ =+
.
La série ( )( )1
-1ln 1
n
n n
∞
= +∑ converge donc par le test des séries alternées.
Cependant, la série ( )1
1ln 1n n
∞
= +∑ est divergente.
En effet ( ) 11ln +<+ nn , de sorte que ( )
1 1ln 1 1n n
>+ +
pour tout 1≥n .
Par ailleurs, ∑∑∞
=
∞
=
=+ 21
11
1nn nn
est la série harmonique, qui diverge, d'où ( )1
1ln 1n n
∞
= +∑
diverge aussi par le test de comparaison directe.
Par conséquent, ( )( )1
-1ln 1
n
n n
∞
= +∑ est conditionnellement convergente.
30. ( )( )2
1ln
f xx x
= est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 2≥x .
( ) ( )2 2
22 2
1 1 -1 -1 1 1 lim lim limln ln ln 2 ln 2ln ln
bb
b b bdx dx
x bx x x x
∞
→∞ →∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ .
Puisque l'intégrale converge, la série converge absolument, selon le test de l'intégrale.
31. nn <ln pour tout 1≥n , d'où 2331lnnn
nn
n=< .
Or, ∑∞
=12
1n n
est une série-p avec 12 >=p : elle converge.
Donc ∑∞
=13
lnn n
n converge absolument, selon le test de comparaison directe.
Exercices récapitulatifs page 849
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
32. ( )ln lnn nn ne n e n> ⇒ >
( ) ( ) ( )
( )
ln ln ln ln ln ln ln
ln 1ln ln
n nn n n n n n n
nn n
⇒ > ⇒ > ⇒ >
⇒ >
(puisque ( )ln ln 0n > pour en > ).
Or ∑∞
=3
1n n
est la série harmonique, qui diverge, d'où la série ( )3
lnln lnn
nn
∞
=∑ diverge aussi, selon le
test de comparaison directe.
33. Comparons la série avec la série-p ∑∞
=12
1n n
.
2 42
2 22
2
2 2 . .
2 2
11lim lim lim
1 11
2lim lim lim21 1
1 1
n n n
R H
n n n
n nn nn nn n
n
n n nnn n
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞ ∞ ∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ = =
⎛ ⎞ ++⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =+ +
= =
Or, ∑∞
=12
1n n
est une série-p convergente ( )12 >=p .
Donc ( )21
-1
1
n
n n n
∞
= +∑ converge absolument, selon le test de comparaison par une limite.
34. Soit ( )1
33
2
+=
xxxf . Alors ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 2 2 34
2 2 23 3 3
6 1 3 3 3 26 3 01 1 1
x x x x x xx xf xx x x
+ − −−′ = = = <+ + +
pour tout
1≥x , de sorte que ( )f x est une fonction décroissante pour 1≥x .
Il s'ensuit que 1+≥ nn uu pour tout 1≥n .
De plus, 0≥nu pour 1≥n et 01
3lim..
répétée3
2 HR
n nn
=+∞→
.
La série ( ) 2
31
-1 31
n
n
nn
∞
= +∑ converge donc, selon le test des séries alternées.
850 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Par contre, la série ne converge pas absolument, puisque
2
3 3 . .
3 répétée
31 3lim lim 3
1 1
R H
n n
nn n
nn
→∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟
+⎝ ⎠ = =⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠
et que ∑∞
=1
1n n
diverge, de sorte que ∑∞
= +13
2
13
n nn diverge aussi, selon le test de comparaison par une
limite. Par conséquent, la série ( ) 2
31
-1 31
n
n
nn
∞
= +∑ converge, conditionnellement.
35.
( )( )( )
( )( )
1
21 ! 2 !lim lim lim1 1 ! 1
!
nn n nn
nn na nρna n nn
+
→∞ →∞ →∞
++ +
= = = ⋅+ + +
( )
. .
2 22 2 1lim lim 0 1
2 22 11
R H
n n
n nnn nn→∞ →∞ ∞ ∞
+ += = = = <
++ ++
Donc 1
1!n
nn
∞
=
+∑ converge absolument, selon le test du rapport.
36. La série alternée a la forme ( ) nn
nu∑∞
=11- , où
121
2
2
−++
=nn
nun .
Or 2 . .
2 répétée
1 1lim lim 022 1
R H
nn n
nun n→∞ →∞
+= = ≠
+ −.
Donc la série ( ) ( )2
21
-1 1
2 1
n
n
n
n n
∞
=
+
+ −∑ diverge, selon le test des séries alternées.
37.
( )( )( )
( )( ) ( )
1
11
-31 ! -3 !lim lim lim
1 !-3 -3!
n
nn
n nn n nn
na nρa n
n
+
++
→∞ →∞ →∞
+= = = ⋅
+
101
3-lim <=+
=→∞ nn
Donc ( )∑∞
=1 !3-
n
n
n converge absolument, selon le test du rapport.
Exercices récapitulatifs page 851
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. 106lim32limlim <====→∞→∞→∞ nn
an
nn
nn
nn
nnρ .
La série ∑∞
=1
32n
n
nn
n converge absolument, selon le test de la racine en .
39. Comparons la série avec la série-p 3 21
1n n
∞
=∑ .
( )( )
( )( )
( )( )
3 2
3
. .
3 répétée
11 2
lim lim11 2
1 2lim 1 1
n n
R H
n
n n nnn
n n n
n n nn
→∞ →∞
→∞
+ +=
+ +
+ += = =
Or, ∑∞
=123
1n n
est une série-p convergente ( )123 >=p .
Donc ( )( )1
11 2n n n n
∞
= + +∑ converge absolument, selon le test de comparaison par une limite.
40. Comparons la série avec la série-p 22
1n n
∞
=∑ :
( )2 222 . .
2 4 répétée
2
111lim lim lim 1 1
11
R H
n n n
n nn nnn n
n n
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎜ ⎟ −−⎝ ⎠ = = = =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
Or, ∑∞
=22
1n n
est une série-p convergente ( )12 >=p . Donc ∑∞
= −2 2 1
1n nn
converge absolument,
selon le test de comparaison par une limite.
41. Soit ( )43
n
n n
xu
n+
= .
Alors ( )( ) ( )
11
1
4 3 4 4 3 1 31 3 4
n nn
n nn
xu n x n xu nn x
++
+
+ + += ⋅ = ⋅ →
++ + lorsque ∞→n .
852 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 3
4 <+x , c'est-à-dire
343- <+< x ou -17- << x .
Elle diverge pour 1 3
4 >+x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne -7=x , la série devient ( )1
-1 n
n n
∞
=∑ , la série harmonique alternée, qui converge
conditionnellement.
Pour la borne -1=x , la série devient la série harmonique ∑∞
=1
1n n
, qui diverge.
a) Le rayon de convergence est
( ) ( )( )1 1 borne supérieure borne inférieure -1 -7 32 2
R = − = − = .
L'intervalle de convergence est -17- <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est -17- << x .
c) La série entière converge conditionnellement en -7=x .
42. Soit ( )( )
2 212 1 !
n
nx
un
−−=
−. Alors ( )
( )( )( )
( ) ( )
221
2 2
1 2 1 ! 1 1 02 1 ! 2 1 21
nn
nn
x nu xu n n nx+
−
− −= ⋅ = − ⋅ →
+ +− pour
tout x lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
d) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
43. Soit ( )2
3 1 n
nx
un−
= .
Alors ( )( ) ( ) ( )
1 2 21
2 2
3 1 3 1 3 1
1 3 1 1
nn
nn
xu n nx xu n x n
++ −
= ⋅ = − ⋅ → −+ − +
lorsque ∞→n .
Exercices récapitulatifs page 853
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 13 <−x , c'est-à-dire
1131- <−< x ou 320 << x .
Elle diverge pour 1 13 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 0=x , la série devient ( )2 1
2 21 1
-1 1-n
n nn n
−∞ ∞
= =
=∑ ∑ , qui converge absolument en tant que
multiple d'une série-p convergente ( )2 1p = > .
Pour la borne 32=x , la série devient ( )∑∞
=
+
12
11-n
n
n, qui converge absolument puisque ∑
∞
=12
1n n
est une
série-p convergente.
a) Le rayon de convergence est
( )1 1 2 borne supérieure borne inférieure 0 1 3.2 2 3
R ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
L'intervalle de convergence est 320 ≤≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 320 ≤≤ x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
44. Soit ( )( )( )
1 2 12 1 2
n
n n
n xu
n+ +
=+
.
Alors ( )( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )
11
1
2 2 1 2 1 2 2 2 +12 1 2 1 2 1 2 +3 22 3 2 1 2 1
n nn
n nn
n x n n nu x xu n nn n x
++
+
+ + + ++ += ⋅ = ⋅ ⋅ →
++ + +
lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 2
12 <+x , c'est-à-dire
21
23-ou 1
2121- <<<
+< xx . Elle diverge pour 1
212 >
+x , car le n e terme ne converge pas
vers 0 pour ces valeurs de x. Pour la borne x = -3 2, la série devient ( )( )( )0
1 -12 1
n
n
nn
∞
=
++∑ , qui
diverge selon le test du en terme pour la divergence, puisque 021
121lim ≠=++
→∞ nn
n.
854 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Pour la borne 21=x , la série devient ∑∞
= ++
0 121
n nn , qui diverge pour la même raison.
a) Le rayon de convergence est ( )1 1 1 -3borne supérieure borne inférieure 12 2 2 2
R⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠.
L'intervalle de convergence est 21
23-
<< x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 21
23-
<< x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
45. Soit n
n
n nxu = .
Alors ( )
11
11 1 0 0
+1 11
nn nn
n nn
u x n nx xu n n exn
++
+⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠+
pour tout x lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour tout x.
a) Le rayon de convergence est infini.
L'intervalle de convergence est la droite réelle.
b) L'intervalle de convergence absolue est la droite réelle.
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
46. Soit n
xun
n = . Alors 1
1 11
nn
nn
u x n nx xu nxn
++ = ⋅ = ⋅ →
++ lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 <x , c'est-à-dire .1 1- << x
Elle diverge pour 1 >x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 1-=x , la série devient ( )∑∞
=1
1-n n
, qui est conditionnellement convergente (Voir
l'exercice 27).
Pour la borne 1=x , la série devient ∑∞
=1
1n n
, qui est une série-p divergente ( )121 ≤=p .
Exercices récapitulatifs page 855
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
a) Le rayon de convergence est ( ) ( )( )1 1borne supérieure borne inférieure 1 -1 12 2
R = − = − = .
L'intervalle de convergence est 11- <≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 11- << x .
c) La série entière converge conditionnellement en 1-=x .
47. Soit ( ) 2 113
n
n n
n xu
−+= .
Alors ( )( )
3
12
3
13
32
22
121
121 x
nnx
xnxn
uu
n
n
n
n
n
n →++
⋅=+
⋅+
= −+
++ lorsque ∞→n .
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour 1 3
2
<x , c'est-à-dire 30 2 << x
ou 33- << x .
Elle diverge pour 1 3
2
>x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 3-=x , la série devient ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
0 3-1
n
n , alors que pour la borne ,3=x la série devient
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
0 31
n
n . Dans les deux cas, la série diverge selon le test du en terme pour la divergence,
puisque 31limet
3-1lim ++
→∞→∞
nnnn
n'existent pas.
a) Le rayon de convergence est
( ) ( )( )1 1 borne supérieure borne inférieure 3 - 3 32 2
R = − = − = .
L'intervalle de convergence est 33- << x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 33- << x .
c) La série entière ne converge conditionnellement pour aucune valeur de x.
856 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
48. Soit ( )12
1 12
+−
=+
nxu
n
n .
Alors ( )( )
( ) ( )2 3
2 212 1
1 2 1 2 1 1 12 3 2 31
nn
nn
xu n nx xu n nx
++
+
− + += ⋅ = − ⋅ → −
+ +− lorsque .∞→n
Suivant le test du rapport, la série converge absolument pour ( )20 1 1x< − < , c'est-à-dire
2.<<0ou 111- xx <−<
Elle diverge pour ( ) 11 2 >−x , car le en terme ne converge pas vers 0 pour ces valeurs de x.
Pour la borne 0=x , la série devient ( ) ( )∑∑∞
=
+∞
=
+
+=
+ 0
1
0
13
121-
121-
n
n
n
n
nn, qui converge par le test des séries
alternées : les ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=
121
nun sont tous positifs, 0et 1 →≥ + nnn uuu lorsque ∞→n .
Par contre, cette série n'est pas absolument convergente puisque ∑∞
= +0 121
n n diverge ; elle est donc
conditionnellement convergente.
Pour la borne 2=x , la série devient ( )0
-1,
2 1
n
n n
∞
= +∑ qui converge conditionnellement pour les mêmes
raisons.
a) Le rayon de convergence est
( ) ( )1 1 borne supérieure borne inférieure 2 0 12 2
R = − = − = .
L'intervalle de convergence est 20 ≤≤ x .
b) L'intervalle de convergence absolue est 20 << x .
c) La série entière converge conditionnellement pour 2et 0 == xx .
49. La série est de la forme ( )x
xxxx n
+=+++−+−
11 ... - ... 1 32 .
La fonction recherchée est x+1
1 . La valeur de x est 41 .
La somme de la série est 54
411
1=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
.
Exercices récapitulatifs page 857
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
50. La série est de la forme ( ) ( )2 3
1 ... -1 ... ln 12 3
nnx x xx x
n−− + − + + = + .
La fonction recherchée est ( )ln 1 x+ .
La valeur de x est 32 . La somme de la série est ( )ln 5 3 0,5108256238≈ .
51. La série est de la forme ( ) ( )3 5 2 1
... -1 ... sin3! 5! 2 1 !
nnx x xx x
n
+
− + − + + =+
.
La fonction recherchée est xsin .
La valeur de x est π . La somme de la série est 0sin =π .
52. La série est de la forme ( )( )
22 4 -11 ... ... cos
2! 4! 2 !
n nxx x xn
− + − + + = .
La fonction recherchée est xcos .
La valeur de x est 3π . La somme de la série est 21
3cos =
π .
53. La série est de la forme 2 3
1 ... ... 2! 3! !
nxx x xx e
n+ + + + + + = .
La fonction recherchée est xe .
La valeur de x est 2ln . La somme de la série est 22ln =e .
54. La série est de la forme ( )3 5 2 1
... -1 ... tan3 5 2 1
nnx x xx arc x
n
+
− + − + + =+
.
La fonction recherchée est xarc tan .
La valeur de x est 3
1 . La somme de la série est 63
1tan π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛arc .
858 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
55. L'expression x21
1−
peut être vue comme la somme d'une série géométrique convergente de
premier terme 1=a et de raison xr 2= .
Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( )2 3
0 0
1 1 2 2 2 ... 2 21 2
n n n
n nx x x x x
x
∞ ∞
= =
= + + + + = =− ∑ ∑ , où 1 2 <x , c'est-à-dire
21 <x ,
constitue l'intervalle de convergence.
56. L'expression 311x+
peut être vue comme la somme d'une série géométrique convergente de
premier terme 1=a et de raison 3-xr = .
Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 33 3 3 33 3
0
1 1 1 - - - ... -11 1 -
n n
nx x x x
x x
∞
=
= = + + + + =+ −
∑ , où 1 - 3 <x , c'est-à-dire
1 3 <x ou 11- << x constitue l'intervalle de convergence.
57. Le développement en série de Maclaurin de xsin est ( )( )
2 1
0
-1sin
2 1 !
n n
n
xx
n
+∞
=
=+∑ , d'où
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 1 2 1 2 1
0 0
-1 -1sin ,
2 1 ! 2 1 !
n n n n n
n n
πx π xπx
n n
+ + +∞ ∞
= =
= =+ +∑ ∑ pour tout x réel.
58. Le développement en série de Maclaurin de xsin est ( )( )
2 1
0
-1sin
2 1 !
n n
n
xx
n
+∞
=
=+∑ , d'où
( )
( )( )
( )
2 1
2 1 2 1
2 10 0
2-1 -1 22 3sin3 2 1 ! 3 2 1 !
nn
n n n
nn n
xxx
n n
+
+ +∞ ∞
+= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠
∑ ∑ , pour tout x réel.
59. Le développement en série de Maclaurin de xcos est ( )( )
2
0
-1cos
2 !
n n
n
xx
n
∞
=
= ∑ , d'où
( ) ( ) ( )( )
( )( )
25 2 55 2
0 0
-1 -1cos ,
2 ! 2 !
nn n n
n n
x xx
n n
∞ ∞
= =
= =∑ ∑ pour tout x réel.
Exercices récapitulatifs page 859
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
60. Le développement en série de Maclaurin de xcos est ( )( )
2
0
-1cos
2 !
n n
n
xx
n
∞
=
= ∑ , d'où
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2 21 2 1 2
0 0 0
-1 5 -1 5 -1 5cos 5
2 ! 2 ! 2 !
n n nn n n n n
n n n
x x xx
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
= = =∑ ∑ ∑ , pour tout x réel.
61. Le développement en série de Maclaurin de xe est 0 !
nx
n
xen
∞
=
= ∑ , d'où
2
0 0
2 ,! 2 !
n
n nπx
nn n
πxπ xe
n n
∞ ∞
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =∑ ∑ pour tout x réel.
62. Le développement en série de Maclaurin de xe est ∑∞
=
=0 !n
nx
nxe , d'où
( ) ( )2
2 2-
0 0
- -1! !
n n nx
n n
x xe
n n
∞ ∞
= =
= =∑ ∑ , pour tout x réel.
63. ( ) ( ) ( ) ( )-1 2-1 22 213 , 3 2 3 ,2
f x x f x x x x x′= + = + ⋅ = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
-1 2 -3 2 -1 2 -3 22 2 2 2 2
-3 2 -3 2 -5 22 2 2 2
-3 2 -3 2 -5 22 2 3 2
-3 2 -5 22 3 2
11 3 - 3 2 3 3 ,2
1 3- 3 2 2 3 - 3 22 2
- 3 2 3 3 3
-3 3 3 3 ,
f x x x x x x x x
f x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
′′ = + + ⋅ + ⋅ = + − +
⎡ ⎤′′′ = + ⋅ − ⋅ + + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
= + − + + +
= + + +
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 3 9-1 2, -1 - , -1 et -12 8 32
f f f f′ ′′ ′′′= = = = .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 32
2 3
3 5
1 3 8 9 32 3 2 - 1 1 12 2! 3!
1 3 1 9 12 ... .
2 1! 2 2! 2 3!
Nous avons donc x x x x
x x x
⎛ ⎞+ = + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + += − + + +
⋅ ⋅ ⋅
860 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
64. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-1 -2 -2 -3 -31 1 , -1 1 -1 1 , -2 1 -1 2 1 ,1
f x x f x x x f x x xx
′ ′′= = − = − = − = − = −−
( ) ( ) ( ) ( )-4 -4-3! 1 -1 3! 1f x x x′′′ = − = − , d'où ( ) ( ) ( ) ( ) !32et -22 ,12 -1,2 =′′′=′′=′= ffff .
Nous avons donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 31 -2 3-1 1 2 2 2 -1 2 2 2 ...1 2! 3!
x x x x x xx= + − + − + − = + − − − + − −
−.
65. ( ) ( ) ( ) ( )-1 -21 1 , - 1 ,1
f x x f x xx
′= = + = ++
( ) ( ) ( ) ( )-3 -42 1 , -3! 1 ,f x x f x x′′ ′′′= + = +
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) 432 46-3et
423 ,
41-3 ,
413 =′′′=′′=′= ffff .
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 42 3
2
2 32 3 4
1 1 1 2 4 -3! 4 - 3 3 3 ...1 4 2! 3!4
1 1 1 1 13 3 3 ... .1 4 4 4 4
Nous avons donc x x xx
x x xx
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= = − − + − − − ++
66. ( ) ( ) ( ) ,2 ,--1 ,1 3-2-2-1- xxfxxxfxx
xf =′′=⋅=′== ( ) ,!3- -4xxf =′′′ d'où
( ) ( ) ( ) ( ) 432!3-et 2 ,1- ,1
aaf
aaf
aaf
aaf =′′′=′′=′= .
Nous avons donc
( ) ( ) ( )3 4
2 32
1 1 -1 2 -3! ...2! 3!a ax a x a x a
x a a⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ... 1111 34
232 +−−−+−−= ax
aax
aax
aa.
67. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0,n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.
Vu que 0en -1 == xy , il s'ensuit que -10 =a .
De -1et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 1- 01 == aa .
Exercices récapitulatifs page 861
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De 1et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21-2 =a .
De 21-et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons 32
13 ⋅=a .
En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( ) ( )1 11 -1 -1-
2 3 ... !
n nn
naan n n
+ +−= = =
⋅ ⋅.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
( ) ( )
12 3
1-
0 0
-11 1-1 ... ...2 3 !
-1 -1- - .
! !
nn
n nn nx
n n
y x x x xn
x xe
n n
+
+∞ ∞
= =
= + − + + + +
= = =∑ ∑
68. Supposons qu'il existe une solution de la forme 2 10 1 2 1... ...n n
n ny a a x a x a x a x−−= + + + + + +
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 0n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ − = − + − + − + + − + = ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 0, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −− = − = − = − = etc.
Vu que 0en 3- == xy , il s'ensuit que 3-0 =a .
De 3-et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 3-1 =a .
De 3-et 02 112 ==− aaa , nous déduisons 23-2 =a .
De 23-et 03 223 ==− aaa , nous déduisons 233-
3 ⋅=a .
En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !3-1
nnaa n
n == − .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
2 3
2 3
0
3 3 3-3 3 ... ...2 3 !
-3 1 ... ... 2! 3! !
-3 -3 .!
n
n
nx
n
xy x x xn
x x xxn
x en
∞
=
= − − − − − −
⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= =∑
862 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
69. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors 2 11 2 32 3 ... ...n
ny a a x a x na x −′ = + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 2 2 2 3 2 ... 2 ... 0,n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 12 0, 2 2 0, 3 2 0, ..., 2 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.
Vu que 0en 3 == xy , il s'ensuit que 30 =a .
De 3et 02 001 ==+ aaa , nous déduisons ( ) ( )23-32--2 01 === aa .
De 3-2et 022 112 ⋅==+ aaa , nous déduisons ( )22332-
22-
22-
2
12 ⋅=⋅=⋅= aa .
De 223et 023
2
223 ⋅==+ aaa , nous déduisons ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅==
2323-
223
32-
32-
32
23 aa .
En général, de 02 1 =+ −nn ana , il découle que ( )( )
( )1 11 3 -1 2 3 -1 2-2 -2
1 ! !
n nn nn
naan n n n
− −−= = ⋅ =
−.
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 32 3
2 3
-2
0
3 -1 22 23 3 2 3 3 ... ...2 3! !
2 2 -1 23 1 2 ... ...
2! 3! !
-1 23 3 .
!
n nn
n n
n nx
n
y x x x xn
x x xx
n
xe
n
∞
=
= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + +
⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
= =∑
70. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 1n
n ny y a a a a x a a x na a x −−′ + = + + + + + + + + + = ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 11, 2 0, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.
Vu que 0en 0 == xy , il s'ensuit que 00 =a .
De 0et 1 001 ==+ aaa , nous déduisons 11 01 =−= aa .
De 1et 02 112 ==+ aaa , nous déduisons 21-
2- 1
2 ==aa .
Exercices récapitulatifs page 863
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
De 21-et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons
231
3- 2
3 ⋅==
aa .
En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( )( )
( ) 11 -1 -1- -1
1 ! !
n nn
naan n n n
+−= = ⋅ =
− pour 1≥n .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
( )
( ) .1!
1-1
... !
1- ... 31
2111
... !
1- ... !3
1210
-
0
32
132
x
n
nn
nn
nn
en
x
nxxxx
xn
xxxy
−=−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++−+−−=
++−+−+=
∑∞
=
+
71. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... 3 ,n
n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ − = − + − + − + + − + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 ..., ,03 ,32 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn anaaaaaaa etc.
Vu que 0en -1 == xy , il s'ensuit que -10 =a .
De -1et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 1-01 == aa .
De -1et 32 112 ==− aaa , nous déduisons 22
23 1
2 =+
=aa .
De 22et 03 223 ==− aaa , nous déduisons
232
32
3 ⋅==
aa .
En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !
21
nnaa n
n == − pour 2≥n .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
.33233!
2
33- ... !
... !3!2
12
122- ... !
2 ... !3
2!2
222
... !
2 ... !3
222-1
0
32
32
32
−−=−−=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++=
−−−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++=
+++++−=
∑∞
=
xexnx
xnxxxx
xxnxxxx
xn
xxxy
x
n
n
n
n
n
864 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
72. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 11
2210 ++++++= −
−n
nn
n xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( ) xxanaxaaxaaaayy nnn =+++++++++=+′ −− ... ... 32 11
2231201 ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 1, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −+ = + = + = + = etc.
Vu que 0en 0 == xy , il s'ensuit que 00 =a .
De 0et 0 001 ==+ aaa , nous déduisons 01 =a .
De 0et 12 112 ==+ aaa , nous déduisons 21
21 1
2 =−
=aa .
De 21et 03 223 ==+ aaa , nous déduisons
231-
3- 2
3 ⋅==
aa .
En général, de 01 =+ −nn ana , il découle que ( )!
1-- 1
nnaa
nn
n == − pour 2≥n .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
( )
( )
( )
2 3
2 3
0
-11 10 0 ... ...2 3 2 !
-11 11 ... ... 12! 3 !
-11 1.
!
nn
nn
n n-x
n
y x x x xn
x x x x xn
xx e x
n
∞
=
= + + − + + +⋅
⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + = + −∑
73. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( )2 11 0 2 1 3 2 12 3 ... ... ,n
n ny y a a a a x a a x na a x x−−′ − = − + − + − + + − + =
d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 10, 2 1, 3 0, ..., 0,n na a a a a a na a −− = − = − = − = etc.
Vu que 0en 1 == xy , il s'ensuit que 10 =a .
De 1et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 11 =a .
De 1et 12 112 ==− aaa , nous déduisons 22
211
2 =+
=aa .
De 22et 03 223 ==− aaa , nous déduisons
232
32
3 ⋅==
aa .
Exercices récapitulatifs page 865
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En général, de 01 =− −nn ana , il découle que !
21
nnaa n
n == − pour 2≥n .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
.121!
2
1- ... !
... !3!2
12
1- ... !
2 ... !3
2!2
222
... !
2 ... !3
2221
0
32
32
32
−−=−−=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++=
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++++=
++++++=
∑∞
=
xexnx
xnxxxx
xxn
xxx
xn
xxxy
x
n
n
n
n
n
74. Supposons qu'il existe une solution de la forme ... ... 1
12
210 ++++++= −−
nn
nn xaxaxaxaay
alors ... ... 32 12321 +++++=′ −n
n xnaxaxaay
( ) ( ) ( ) ( ) xxanaxaaxaaaayy nnn - ... ... 32 1
12
231201 =+−++−+−+−=−′ −− ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 ..., ,03 ,1-2 ,0 1231201 =−=−=−=− −nn anaaaaaaa etc.
Vu que 0en 2 == xy , il s'ensuit que 20 =a .
De 2et 0 001 ==− aaa , nous déduisons 21 =a .
De 2et 1-2 112 ==− aaa , nous déduisons 21
211
2 =−
=aa .
De 21et 03 223 ==− aaa , nous déduisons
231
32
3 ⋅==
aa .
En général, de 01 =− −nn ana , il découle que 1 1!
nn
aan n−= = pour 2≥n .
Ainsi, la solution de l'équation différentielle est
.11!
1 ... !
... !3!2
1
... !
1 ... !3
12122
0
32
32
++=++=
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++=
++++++=
∑∞
=
xexnx
xnxxxx
xn
xxxy
x
n
n
n
n
866 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
75.
3 5
2 2 2 3 30 0
7 ... 3! 5!7sinlim lim
1 2 21 2 ... 12! 3!
xx x
x xxx
e x xx→ →
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠=⎛ ⎞−+ + + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 4
2 3 20
2 4
2 3 20
7 1 ... 3! 5!
lim2 22 ... 2! 3!
7 1 ... 3! 5! 7lim
22 22 ... 2! 3!
x
x
x xx
x xx
x x
x x
→
→
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠=⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠= =⎛ ⎞
+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
76.
2 3 2 3
-
3 50 0
1 ... 1 ... 22! 3! 2! 3!2lim lim
sin ...
3! 5!
θ θ
θ θ
θ θ θ θθ θ θe e θθ θ θ θθ θ
→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=− ⎛ ⎞
− − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
3 5 23
3 5 20 03
2
20
12 ... 2 ... 3! 5! 3! 5!
lim lim1 ... ...
3! 5! 3! 5!
12 ... 3! 5!
lim 21 ... 3! 5!
θ θ
θ
θ θ θθ
θ θ θθ
θ
θ
→ →
→
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞
− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠= =⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎝ ⎠
77.
( )2
2 20 0
1 1 2 2coslim lim2 2cos 2 1 cost t
t tt t t t→ →
− +⎛ ⎞− =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2 4 62
2 4 602
4 6 24
6 20 04 4
2 2 1 ... 2 4! 6!
lim2 1 1 ...
2 4! 6!
12 ... 2 ... 4! 6! 4! 6!
lim lim2 2 ... 1 ... 4! 4!
t
t t
t t tt
t t tt
t t tt
t tt t
→
→ →
⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠=⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞
− + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Exercices récapitulatifs page 867
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
2
20
12 ... 4! 6! 2 1lim
4! 1221 ... 4!
t
t
t→
⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠= = =⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
78.
3 5 7 2 4 6
2 20 0
1sin ... 1 ... cos 3! 5! 7! 2! 4! 6!lim limh h
h h h h h hh hh hhh h→ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
2 4 6 2 4 6
20
2 2 4 4 6 6
20
2 2 4 4
0
1 ... 1 ...3! 5! 7! 2! 4! 6!lim
1lim ... 2! 3! 5! 4! 6! 7!
1 1 1 1 1lim ... 2! 3! 5! 4! 6! 7! 2 6 3
h
h
h
h h h h h h
h
h h h h h hh
h h h h
→
→
→
− + − + − + − + −=
⎡ ⎤= − + − + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − + − + = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
79. ( )
2 4 2 4
2
2 3 4 3 50 0
1 1 ... 1 ... 2! 4! 2! 4!1 coslim lim
ln 1 sin- ... ...
2 3 4 3! 5!
z z
z z z zz
z z z z z z zz z→ →
⎛ ⎞⎛ ⎞− − + − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟
− ⎝ ⎠⎝ ⎠=− + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2-21-
1
... 422
1-
... 3
1lim
... 422
-
... 3lim
... 4!332
-
... !2!2!4
2!2
211lim
22
22
0432
42
0
4332
442
0
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=−−−
+−=
−−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++−−
=
→→
→
zzz
zz
zzz
zz
zzzz
zzz
zz
z
868 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
80. 2 2
2 4 2 3 40 0lim lim
cos1 ... 1 ...
2 4! 2 3 4
yy y
y yy e y y y y y yy y
→ →=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +− + − − + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1-
... 245
31-
1lim ...
245
31-
lim
... 4!432
2-lim
2022
2
0
4432
2
0
=−−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
=
−−+−=
→→
→
yyyyy
y
yyyyy
yy
y
81. a) ∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1 121sin
21sin
n nn1 1 1 1 1 1sin sin sin sin sin sin ...2 3 4 5 6 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
... 12
1sin21sin +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+
nn
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
==22
1-1sin1-n
nn
n
n un
Posons ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxf 1sin . Alors ( ) ( ) 01cos-1-1cos 22 <=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=′
xx
xxxf
pour ,2≥x donc ( )xf est une fonction décroissante et 1+≥ nn uu pour tout 2≥n .
De plus, 0≥nu pour 2≥n et 01sinlimlim ==∞→∞→ n
unnn
, de sorte que ( )nn
n 1sin1-2∑∞
=
converge
selon le test des séries alternées.
b) ( ) ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑∑
== nnn n
n
n
1sin1-12
1sin21sin
41
2
20
1
02381,0 421sin erreur ≈<
Étant donné que le terme suivant du développement en série est positif, l'approximation
obtenue est une approximation par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303.
Exercices récapitulatifs page 869
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
82. a) ∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1 121tan
21tan
n nn...
71tan
61tan
51tan
41tan
31tan
21tan +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
... 12
1tan21tan +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−+
nn
( ) ( )∑∑∞
=
∞
=
==22
1-1tan1-n
nn
n un
Posons ( )x
xf 1tan= . Alors ( ) ( ) 01sec- 2
2
<=′x
xxf pour 2≥x donc ( )xf est une fonction
décroissante et 1+≥ nn uu pour tout 2≥n .
De plus, 0≥nu pour 2≥n et 01tanlimlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∞→∞→ nu
nnn, de sorte que ( )
nn
n 1tan1-2∑∞
=
converge selon le test des séries alternées.
b) ( ) ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∑∑
== nnn n
n
n
1tan1-12
1tan21tan
41
2
20
1
02381,0 421tan erreur ≈<
Étant donné que le terme suivant du développement en série est positif, l'approximation
obtenue est une approximation par défaut, selon le théorème 4.4.2, page 303. 83. Appliquons le test du rapport :
( )( )( )( ) ( )
11 2 5 8 ... 3 1 3 2 2 4 6 ... 2lim lim
2 4 6 ... 2 2 2 2 5 8 ... 3 1
3 2 3lim .2 2 2
nn
nn nn
n
n n xa nρa n n n x
nx xn
++
→∞ →∞
→∞
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
+= ⋅ =
+
La série converge lorsque ,123
<x c'est-à-dire .32 <x Le rayon de convergence est
32
=R .
84. Appliquons le test du rapport :
( )( )( )
( )( )( )
11 3 5 7 ... 2 1 1 4 9 14 ... 5 1
lim lim 4 9 14 ... 5 4 3 5 7 ... 2 1 1
2 1 2lim 1 1 .5 4 5
nn
nn nn
n
n x naρa n n x
nx xn
++
→∞ →∞
→∞
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −
+= − ⋅ = −
+
870 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
La série converge lorsque ,1 1 52
<−x c'est-à-dire 25 1 <−x . Le rayon de convergence est
25
=R .
85. 22 2
1 1 1ln 1 ln 1 1n n
k k k kk= =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑
( ) ( )
[ ] [ ][ ] [ ]
( ) ( )
2 2
2
1 1 1 1ln ln ln
ln 1 ln ln 1 ln
ln3 ln 2 ln1 ln 2 ln 4 ln 3 ln 2 ln3
ln5 ln 4 ln3 ln 4 ln 6 ln 5 ln 4 ln 5
... ln 1 ln ln 1 ln
ln1 l
n n
k k
n
k
k k k kk k k k
k k k k
n n n n
= =
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − + − −⎣ ⎦
= − + − + − + −
+ − + − + − + −
⎡ ⎤+ + + − + − −⎣ ⎦
= −
∑ ∑
∑
[ ] ( )n 2 ln 1 ln ,n n⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦
d'où .2
1ln1ln21ln11ln
22 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∑
= nn
nn
k
n
k
La somme de la série est 22
1 1 1 1 1ln 1 lim ln ln ln ln1 ln .2 2 2
n
nk
nnk →∞=
⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
86. ( )( )2
2 2 2
1 1 1 1 11 1 2 1 11
n n n
k k kk k k kk= = =
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ − − +− ⎝ ⎠∑ ∑ ∑
( ) ( )( )
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... 2 3 2 4 3 5 4 6 2 1 1
1 1 1 1 1 3 1 112 2 1 2 2 1
3 1 2 1 21 3 22 2 1 4 4
n n n n
n n n n
n n n n n nn n n n
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎡ ⎤+ − + − − −= =⎢ ⎥
+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
La somme de la série est 43
4423lim
11
2
2
22 =
+−−
=− ∞→=
∑ nnnn
k n
n
k.
Exercices récapitulatifs page 871
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
87. a) Appliquons le test du rapport :
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
3 31
3
3
1 4 7 ... 3 2 3 1 3 !lim lim
3 3 ! 1 4 7 ... 3 2
3 1lim 0 1 pour tout .3 3 3 2 3 1
nn
nn nn
n
n n x naρa n n x
nx xn n n
++
→∞ →∞
→∞
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − += = ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
+= ⋅ = <
+ + +
Le rayon de convergence est infini et la série converge pour tous les réels.
b) ( )( )
3
1
1 4 7 ... 3 21
3 !n
n
ny x
n
∞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= +∑
dydx
⇒ =( )
( )3 1
1
1 4 7 ... 3 23
3 !n
n
nnx
n
∞−
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅∑ ( )
( )3 1
1
1 4 7 ... 3 23 1 !
n
n
nx
n
∞−
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=
−∑
( )( )( )
3 22
21
1 4 7 ... 3 2 3 13 1 !
n
n
n n xd yndx
−∞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −⇒ =
−∑
( )( )( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
3 2
2
3 2
2
3 1
2
3
1
1 4 7 ... 3 5 3 2 3 13 1 !
1 4 7 ... 3 53 3 !
1 4 7 ... 3 1 2
3 1 !
1 4 7 ... 3 21 0, d'où 1 et 0.
3 !
n
n
n
n
n
n
n
n
n n n xx
n
n xx
n
n x xx
n
n xx xy a b
n
−∞
=
−∞
=
−∞
=
∞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − −= +
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= +
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −= +
⎡ ⎤−⎣ ⎦
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑
∑
∑
88. a) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 32 2 2 2- - - ...
1 1 -x x x x x x x x x
x x= = + + + +
+ −
( )∑∞
=
=+−+−=2
5432 1- ... n
nn xxxxx , qui converge absolument pour .1 <x
b) En 1=x , la série devient ( )∑∞
=21-
n
n , qui diverge.
872 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
89. La série ∑∞
=1nnnba converge.
En effet, puisque ∑∞
=1nna converge, 0lim =
∞→ nna , de sorte qu'il existe un entier positif N tel que pour
tout 1 , <> naNn .
Il s'ensuit que pour nnn bbaNn <> , ; et comme ∑∞
=1nnb est convergente, alors ∑
∞
=1nnnba converge
aussi selon le test de comparaison directe.
90. Nous ne pouvons rien conclure puisque ∑∞
=1nnnba peut diverger (par exemple si nba nn == ) ou elle
peut converger ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ==
nba nn
1 si exemplepar .
91. ( ) ( )∑∑=
+→∞
∞
=+ −=−
n
kkknn
nn xxxx1
11
1 lim
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ,limlim
... lim
1111
112312
xxxx
xxxxxxxx
nnnn
nnnnn
−=−=
−+−++−+−=
+→∞+→∞
+−→∞
de sorte que pour que ( )∑∞
=+ −
11
nnn xx converge, il faut et il suffit que 1lim +∞→ nn
x existe,
c'est-à-dire que la suite { }nx converge. 92. Elle converge selon le test de comparaison par une limite.
En effet, 11
1lim1
lim =+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
→∞→∞ nnn
n
n
n aaa
a
puisque 0lim =∞→ nn
a en raison de la convergence de la
série ∑∞
=1nna .
Puisque la limite du quotient des deux termes généraux est 1 et que ∑∞
=1nna converge,
∑∞
= +11n n
n
aa converge aussi.
Exercices récapitulatifs page 873
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
93. a) ... 432432
11
++++=∑∞
=
aaaana
n
n
168421 161 ...
101
91
81
71
61
51
41
31
21 aaaaa ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+≥
( ) ... 21
16842 ++++≥ aaaa , qui est une série divergente.
La série ... 432432
1 ++++aaaa diverge donc aussi par le test de comparaison directe.
b) Soit n
an ln1
= pour 2≥n .
Alors ...432 ≥≥≥ aaa et
∑∞
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=+++=+++
1
12ln
1 ... 31
211
2ln1 ...
2ln31
2ln21
2ln1 ...
8ln1
4ln1
2ln1
n n,
qui diverge en tant que multiple non nul de la série harmonique.
Par conséquent, ∑∞
=
+2 ln
11n nn
diverge aussi selon le résultat démontré en a).
94. a) ( )0 1 21 22
b aT y y yn−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
1 2 1 21 1 0 1 1 10 2 0,8856606162 2 2 8 4
e e e e⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
b) et ... 2
... 2
14
322
22 +++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
xxxxxxex x
.368,06041
101
41
31
1043
2
1
0
5431
0
1
0
4322 ≈=++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++≈∫ ∫
xxxdxxxxdxex x
c) Étant donné que la dérivée seconde est positive pour tout 0>x , la courbe de la fonction
est concave vers le haut, de sorte que les segments polygonaux reliant les points de la
courbe sont situés au-dessus de la courbe. L'approximation fournie par l'aire des trapèzes
est donc supérieure à l'aire sous la courbe de la fonction.
d) Comme toutes les dérivées de ( )xf sont positives, tous les termes de la série de
Maclaurin sont positifs. Lorsque la série est tronquée, les termes omis sont tous positifs
et l'approximation obtenue est inférieure à la valeur réelle de la série.
874 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
e) Intégration tabulaire :
( ) ( )
1 12 20
0
2 2
2 2 0 0 2
x x x xx e dx x e xe e
e e e
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦
∫
2 0,7182818285.e= − ≈
95. a) ( ) ( )∫∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++++−+−=
+
++x nnnn
x
dtttttttdt
t 02
2212642
02
11-1- ... 1
11
( ) ( ) dtttx
nxxxxxarc
x nnn
n
1
1-12
1-...753
tan 0
2
22112
753
∫ ++
+++−+−=
+++
b) Par définition,
( ) ( ) ( )
( ) ( )∫ +
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++−+−−=
−=+++ x nnnn
nn
dttt
nxxxxxxarc
xPxfxR
02
22112753
. 1
1-12
1- ... 753
tan
Si l'intégrande tend vers 0 lorsque ∞→n , il en sera de même de la valeur de l'intégrale.
( ) ( )1 2 2
1 2 22 2
-1 1 1 1 lim lim -1 0.1 1
n nn n
n n
tx t t
t t
+ ++ +
→∞ →∞< ⇒ < ⇒ = =
+ +
Si 1 =x , alors la valeur de l'intégrande tend vers 0 pour tout t compris entre 0 et x, alors
qu'en xt = , elle oscille entre 211t+
± . Néanmoins, l'intégrale d'une fonction converge à
condition que la fonction soit continue par morceaux dans l'intervalle xt <<0 .
La convergence de ( )xRn vers 0 n'est donc pas affectée par la valeur que prend
l'intégrande en xt = , à condition qu'elle prenne une valeur finie, ce qui est le cas ici. Il en
résulte que ( ) 0lim =→∞
xRnn pour 1 ≤x .
c) Pour 1 ≤x , ( ) 12
0
753
121- ...
753tan +
∞
=∑ +
=+−+−= n
n
n
xn
xxxxxarc .
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 12
1- ... 91
71
51
311
121-1
121-
41tan
00
12 ++
+−+−+−=+
=+
== ∑∑∞
=
∞
=
+
nnnarc
n
n
n
n
nnπ
Exercices supplémentaires page 875
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Chapitre 4 - Exercices supplémentaires
1. La série converge selon le test de comparaison directe avec la série ( )∑
∞
= −12323
1n n
.
En effet, pour tout ( ) ( ) ( )3 21 2
1 11, 3 23 2 n
nnn +
≥ ≤−−
.
Or la série ( )∑
∞
= −12313
1n n
converge par le test de comparaison par une limite avec la série
∑∞
=123
1n n
, puisque
( )
( )3 2 3 23 2 . .3 2
3 2
3 2
13 2 3 2lim lim lim 3 .
13 2
R H
n n n
n nnnn
n
→∞ →∞ →∞ ∞ ∞
⎛ ⎞⎜ ⎟ − −⎛ ⎞⎝ ⎠ = = =⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Puisque la série ∑∞
=123
1n n
est une série-p convergente ( )123 >=p , la série ( )∑
∞
= −12323
1n n
converge
aussi, et finalement la série ( ) ( )1 2
1
1
3 2 nn n
∞
+= −∑ .
2. ( ) ( )1
tan 2
2
+=
xxarcxf est une fonction de x continue, positive et décroissante pour 1≥x .
( ) ( )∫∫ +
=+
∞
∞→
b
bdx
xxarcdx
xxarc
12
2
12
2
1
tan lim 1
tan
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
1
3 3 3
tan tan tan1lim lim
3 3 3
2 4 73 3 192
b
b b
arc x arc b arc
π π π
→∞ →∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − =
Puisque l'intégrale converge, la série converge aussi.
876 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
3. ( ) ( )( )( )
-2-
- -2
1lim lim -1 lim -1
1
n nn nn n
n n n n nn n n
e ee eae e e e→∞ →∞ →∞
−−= =
+ +
( ) ( ) ( )-2
-21lim -1 lim -1 1 lim -11
nn n n
nn n n
ee→∞ →∞ →∞
−= ⋅ = ⋅ =
+,
qui n'existe pas. La série diverge donc selon le test du en terme pour la divergence.
4. La série converge selon le test de comparaison directe avec la série ∑∞
=22
1n n
.
En effet, ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnnnnnnnn nn <=<⇒<
ln!lnet lnln!ln! (puisque ( ) 2pour 0ln ≥> nn ).
Or ( ) ( )!logln
!ln nnn
n= , d'où ( ) ( )233
1!loget !lognn
nn
nnn nn =<< .
Puisque la série ∑∞
=22
1n n
est une série -p convergente ( )12 >=p , la série ( )∑∞
=23
!logn
n
nn converge
aussi. 5. Cherchons à exprimer le terme général en fonction de n :
( )( )( )1 2 3 2
1 2 2 3 1 2 121, , ,3 4 4 5 3 4 3 5 4
a a a⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )( )
( )( )( )
4 2
5 2
3 4 2 3 1 2 12 ,5 6 4 5 3 4 4 6 5
4 5 3 4 2 3 1 2 4 5 12 .6 7 5 6 4 5 3 4 6 7 5 7 6
a
a
⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Nous trouvons ( )( )2
122 1
nan n n
=+ +
pour 2≥n et la série 1
nn
a∞
=∑ peut s'écrire
( )( )22
1212 1n n n n
∞
=
++ +
∑ .
La série ( )( )2
2
122 1n n n n
∞
= + +∑ converge par le test de comparaison directe avec la série ∑
∞
=24
12n n
.
Exercices supplémentaires page 877
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
En effet, pour tout ( )( )2 4
12 122, +2 1
nnn n n
≥ ≤+
et la série ∑∞
=24
12n n
converge en tant que multiple de
la série-p convergente ∑∞
=24
1n n
( )14 >=p .
Donc la série ( )( )2
2
122 1n n n n
∞
= + +∑ converge et, par conséquent, ∑
∞
=1nna .
6. ( )( )( )( )
. .1 1 1
lim lim lim 0 11 1
n R Hn
n n nn n
n an na nρ
a a n n+
→∞ →∞ →∞ ∞ ∞
− += = = = <
− +
La série converge selon le test du rapport.
7. La série diverge selon le test du n e terme pour la divergence. En effet, si Lan → lorsque
∞→n , alors L
L+
=1
1 , d'où 02
51-et 012 ≠±
==−+ LLL .
8. ∑∑∑∞
=
∞
=+
∞
=
+=1
20
121 3
23
1n
nn
nn
nna .
La série ∑∞
=+
0123
1n
n est une série géométrique de raison 1312 < , donc convergente.
La série ∑∞
=123
2n
nn converge selon le test de la racine en :
191
911
92lim
32limlim 2 <=
⋅=
⋅==
→∞→∞→∞
nn
nn
nnn
nn
nna . (Voir la table 4.1.1, page 266).
La suite ∑∞
=1nna converge donc en tant que somme de deux séries convergentes.
9. ( ) xxf cos= avec 3π=a .
( ) ( ) ( ) ( )233sin3 ,
21-3cos-3 ,
23-3sin-3 ,
21
3cos3 ==′′′==′′==′== ππππππππ ffff
( ) ... 312
334
1323
21cos
32
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−=
πππ xxxx
878 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
10. ( ) xxf sin= avec π2=a .
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1-2cos-2 ,02sin-2 ,12cos2 ,02sin2
,1-2cos-2 ,02sin-2 ,12cos2 ,02sin27654 ========
==′′′==′′==′==
ππππππππ
ππππππππ
ffff
ffff
( ) ( ) ( ) ( ) ... 2!7
12!5
12!3
12sin 753 +−−−+−−−= ππππ xxxxx
11. ( ) xf x e= avec 0=a .
( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 1f f f f e′ ′′ ′′′= = = = =
2 3
1 ...2! 3!
x x xe x= + + + +
12. ( ) xxf ln= avec 1=a .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )42 3 41 1 1 1
1 1 2 61 ln1 0, 1 1, 1 - -1, 1 2, 1 - -6x x x x
f f f f fx x x x= = = =
′ ′′ ′′′= = = = = = = = = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... 1411
311
211
... 1!4
61!3
21!2
11ln
432
432
+−−−+−−−=
+−−−+−−−=
xxxx
xxxxx
13. ( ) xxf cos= avec π22=a .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,022sin22 ,1-22-cos22 ,022sin-22 ,122cos22
==
′′′==′′==′==
π
πππππππ ffff
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .1-22cos-22 ,022sin-22 ,122cos22 654 ====== ππππππ fff
( ) ( ) ( ) ... 22!6
1224122
211cos 642 +−−−+−−= πππ xxxx
14. ( ) xarcxf tan = avec 1=a .
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
2 2 31 1 12 2
1 1 2 1 6 2 11 tan1 , 1 , 1 - - , 14 2 2 21 1 1x x x
π x xf arc f f fx x x= = =
−′ ′′ ′′′= = = = = = = =+ + +
( ) ( ) ( ) ... 11211
411
21
4tan 32 +−+−−−+= xxxxarc π
Exercices supplémentaires page 879
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
15. Posons ( ) nnnn bac
1+= .
Alors nn
n babc
1
1⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= , d'où b
babc
nn
nnn=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
→∞→∞
1
1limlim puisque ba <<0 .
La suite converge donc vers b.
16. ... 10237
102371 ...
107
103
102
107
103
1021 6365432 +++=+++++++
∑∞
=
=+=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+=+=1
3
3
3 333412
9992371
1011
10237
1102371
nn
17. 0tan tan 11
...111 0
21
2
2
12
1
02
1
0
1
2 arcnarcx
dxx
dxx
dxx
dxx
dxsnn
n
n
k
k
kn −=
+=
+++
++
+=
+= ∫∫∫∫∑ ∫
−
−
=
+
2
tan limlim
tan π
===
=
∞→∞→narcsS
narc
nnn
18. Appliquons le test du rapport :
( )( )( )
( )( )
( )( )
11
1
2
1 1 2 1lim lim
2 2 1
1lim .
2 1 2 2 1
nnn
n nn nn
n
n x n xaρa nxn x
nx xx n n x
++
+→∞ →∞
→∞
+ + += = ⋅
+ +
+= ⋅ =
+ + +
La série converge absolument lorsque 1 12
<+x
x , soit 12 +< xx .
Si 1-12 12 ,0 >⇒+<⇒+<> xxxxxx .
Si 31-12- 12 ,0
21- >⇒+<⇒+<<< xxxxxx .
Si 1-12-- 12 ,21- <⇒−<⇒+<< xxxxxx .
La série converge donc absolument pour 31-et -1 >< xx .
880 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
19. a) Si nous nous reportons à la figure 4.3.2 de la page 282 avec ( )k
ax
xf k1et 1
== , nous
obtenons, par la figure a) n
dxx
n 1 ... 31
211 11
1
++++≤∫+
et, par la figure b),
∫+≤++++n
dxxn 1
111 ... 31
211 . Il s'ensuit que ( ) n
nn ln11 ...
31
2111ln +≤++++≤+ , d'où
( ) 1ln1 ... 31
211ln1ln0 ≤⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −++++≤−+≤ n
nnn .
Ainsi, la suite { }na , où nn
an ln1 ... 31
211 −++++= est bornée supérieurement par 1
et inférieurement par 0.
b) Selon la figure 4.3.2. a) avec ( ) ( )11 1 1, ln 1 ln
1
n
n
f x dx n nx n x
+
= < = + −+ ∫ , d'où
( ) ( )1 1 1 10 ln 1 ln 1 ... ln 1
1 2 3 1
1 1 1 1 ... ln .2 3
n n nn n
nn
⎛ ⎞⎡ ⎤> − + − = + + + + − +⎜ ⎟⎣ ⎦+ +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Si nous posons nn
an ln1 ... 31
211 −++++= , alors nn aa −> +10 , d'où nn aa <+1 .
C'est donc dire que la suite { }na est non croissante. 20. a) Tous les nA sont contenus dans le triangle correspondant de sommets
( ) ( )( ) ,1 , +− nfnfn ( )( ) ( )( )1, 1 et , n f n n f n+ + , le long de la droite de pente
( ) ( )1f n f n+ − .
Par translation, tous les nA sont contenus dans le premier de ces triangles, de base 1 et de
hauteur ( ) ( )21 ff − , de sorte que ( ) ( )1
1 22n
n
f fA
∞
=
−<∑ .
b) Nous avons ( ) ( ) ( )( )aire du trapèze de sommets , 0 , 1, 0 , 1, 1 kA k k k f k= + + +
( )( )et , airek f k − sous la courbe de ( )xf entre 1et +kk ( ) ( ) ( )dxxfkfkf k
k
2
1 1
∫+
−++
= ,
Exercices supplémentaires page 881
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
2 3
1 2 1
1
2 1
1
1 1
1 2 2 3 ... 2 1 1d'où
2
...
1
2
1 2 ,
2 2
n
kk
n
n
nn
k
nnn
k
f f f f f n f n f n f nA
f x dx f x dx f x dx
f f nf k f x dx
f ff ff k f x dx
−
=
−
−
=
=
+ + + + + − + − + − +=
− − − −
+= + −
++= − − <
∑
∫ ∫ ∫
∑ ∫
∑ ∫
d'après a).
La suite ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑
−
=
1
1
n
kkA est bornée supérieurement et croissante, donc elle converge
selon le théorème des suites monotones (Voir la page 263).
Il s'ensuit que ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1
1lim 1 2
nn
n kf k f f n f x dx
→∞ =
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∫ existe.
c) De b) nous tirons ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1 2 2 1
2 2 2 2
nn
k
f f n f f f f nf k f x dx f
=
+ −− < + = − +∑ ∫ ,
d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2lim lim 1 1
2 2 2
nn
n nk
f f n ff k f x dx f f
→∞ →∞=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− < − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∫ .
La suite ( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−∑ ∫=
n
k
n
dxxfkf1 1
est bornée supérieurement et croissante, et converge
donc selon le théorème des suites monotones.
Il s'ensuit que ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−∑ ∫
=→∞
n
k
n
ndxxfkf
1 1
lim existe.
21. À l'étape n, 13 −n triangles sont retranchés, la longueur des côtés de ces triangles est 12 −nb et
l'aire de chacun est 2
111 243
223
221
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅⋅⋅ −−− nnn
bbb .
a) n
nnn
n
bbbbbb ∑∑∞
=
∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
0
2
02
26
23
4
22
2
22
43
43
23
43 ...
2433
2433
2433
43
882 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
b) Il s'agit d'une série géométrique de premier terme 2
43 b et de raison
43 , donc la somme
est 2
2
3431
43
bb
=−
.
c) Non ; les trois sommets du triangle initial ne sont jamais retranchés.
Cependant, l'aire totale de la partie retranchée est 23b , ce qui correspond à l'aire du
triangle initial ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅= bb 2
232
21 .
Cela s'explique par le fait que l'aire de l'ensemble des points non retranchés est nulle.
22. La suite { }nx converge vers 2π par valeurs inférieures, de sorte que 0
2>−= nn xπε pour tout n.
Selon le théorème 4.4.2, page 296, ( )31 !31
nn εε ≈+ avec une erreur due à la troncature
( )5!5
1erreur nε< .
Comme le premier terme tronqué est négatif, il s'agit d'une approximation par excès et
( )31 610 nn εε << + .
23. a) Non, la limite ne semble pas dépendre de la valeur de a.
b) Oui, la limite dépend de la valeur de b (voir c).
c) Posons ( )cos1
na n
sn
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Alors ( )( )cos
ln 1cos
ln ln 11
a nna n
s nn n
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Exercices supplémentaires page 883
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( ) ( )
( )
2
2
. .
20 0
- -sin cos1
cos cosln 1 1
lim ln lim lim1 -1
sin cos0 1lim -1.
cos 1 01
etR H
n n n
n
a a ann nn
a n a n nn n
sn n
a a an n n
a nn
→∞ →∞ →∞
→∞
⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =−
−
Donc lim lnln -1 1lim lim n
ss
n ns e e e
e→∞
→∞ →∞= = = = .
De même, si ( )cos1 ,
na n
sbn
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( ) ( )
2
2 2
2
-- -sin cos1
cos1
alors lim ln lim-1
sin cos0 1 -1lim .1 0cos
1
n n
n
a a anb bn nn
a n b nbn
sn
a a an n n
b ba nb
n
→∞ →∞
→∞
⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =−⎛ ⎞
−⎜ ⎟⎝ ⎠
Donc limn
s e→∞
= b- 1 .
La limite dépend donc seulement de la valeur de b.
24. Si ∑∞
=1nna converge, alors 0lim =
∞→ nna .
Appliquons le test de la racine en à la série ( ) n
n
na∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1 2sin1 :
( ) ( ) ( )1 sin lim1 sin 1 sin 1 sin 0 1lim lim 12 2 2 2 2
nnn n nn
n n
aa aρ →∞
→∞ →∞
+⎛ ⎞+ + += = = = = <⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Donc la série converge.
884 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
25. Appliquons le test du rapport :
( ) ( )
1 11 ln lnlim lim lim
ln 1 ln 1
n nn
n nn n nn
a b x n nρ x b bxa n nb x
+ ++
→∞ →∞ →∞= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
+ + puisque
( ) ( )
. . . .ln 1 1lim lim lim 1ln 1 1 1
R H R H
n n n
n n nn n n→∞ ∞ ∞ →∞ →∞ ∞ ∞
+= = =
+ +.
La série converge si ,1 <bx ou encore
1 b
x < . De 5
1=
b nous tirons
51
±=b .
26. La série de Taylor d'une fonction polynomiale ne comporte qu'un nombre fini de termes non nuls, alors que les fonctions sin , ln et xx x e ont des développements en séries de Taylor qui admettent un nombre infini de termes non nuls.
27. Dans le cas de la série ( )22
2
112
1211 ,1nnn
nuu
n n
n
n++=
+=
+
∞
=∑ , d'où ,12 >=C et la série converge
(ce que nous savions déjà : p-série avec 12 >=p ).
Pour ce qui est de la série nn
nuu
n n
n
n
111 ,1
11+=
+=
+
∞
=∑ , d'où ,11≤=C et la série diverge
(ce que nous savions aussi : p-série avec 11≤=p ).
28. ( )( )
2
2 2 21
2 2 1 4 2 6 114 4 1 4 4 12 1
n
n
n nu n n nu n n n nn+
+ + −= = = +
− + − +−
( )( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
5 6 4614 4 4 1
63 5421
4 4 1
352
3 4 4 121
nn n n
nn
n n n n
n n
n n
n n
−= + +
− +
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= + +
− +
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦= + +
Exercices supplémentaires page 885
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Nous avons donc ( )2
21
2
33 553 221 et 3,5 et 4 12 4 4 1 4n
n
nnnC f n u
n nn n
∞
=
−−= > = = ≤
− + − +∑ converge selon le test
de Raabe.
29. a) Si ∑∞
=1nna converge, alors La
nn =∑
∞
=1 et, pour tout Laaaan n
nnnn =≤≥ ∑
∞
=1
2 ,1 .
Donc ∑∞
=1
2
nna converge selon le test de comparaison directe avec la série ∑∑
∞
=
∞
=
=11 n
nn
n aLLa ,
qui elle-même converge en tant que multiple d'une série convergente.
b) Elle converge selon le test de comparaison par une limite.
En effet, 11
1lim1
lim =−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
→∞→∞ nnn
n
n
n aaa
a
puisque 0lim =∞→ nn
a en raison de la convergence de la
série ∑∞
=1nna .
Puisque la limite du quotient des deux termes généraux est 1 et que ∑∞
=1nna converge,
∑∞
= −11n n
n
aa converge aussi.
30. Si 10 << na ,
( ) ( )
2 3
2 32 3
alors ln 1 -ln 1 - - ... 2 3
... ... 2 3 1
n nn n n
n n nn n n n
n
a aa a a
a a aa a a aa
⎛ ⎞− = − = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + + + < + + + =−
(série géométrique de premier terme na et de raison an ).
Or, puisque ∑∞
=1nna converge, que 0et 1 >≠ nn aa pour tout n, ∑
∞
= −11n n
n
aa converge par l'exercice
29 b), et ( )∑∞
=
−1
1lnn
na converge selon le test de comparaison directe avec ∑∞
= −11n n
n
aa .
886 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
31. ∑∞
=
+=− 1
11
1n
nxx
, où 1 <x .
En dérivant chaque membre de l'équation, nous obtenons ( ) ∑
∞
=
−=− 1
121
1n
nnxx
.
Pour 21
=x , l'équation devient ... 21 ...
214
213
21214
132
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
−n
n .
32. a) x
xxn
n
−=∑
∞
=
+
1
2
1
1 (progression géométrique de premier terme 2x et de raison r).
En dérivant l'équation, nous obtenons ( )( )2
2
1 121
xxxxn
n
n
−−
=+∑∞
=
.
En dérivant de nouveau, ( )( )31
1
121x
xnnn
n
−=+∑
∞
=
− .
En multipliant par x, ( )( )31 1
21xxxnn
n
n
−=+∑
∞
=
.
En remplaçant x par x1 , nous obtenons finalement ( )
( )32
31 1
211
21
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+∑
∞
= xx
x
xxnn
nn
pour 1 >x .
b) ( )( ) x
xxxxx
xxxnnx
nn
223
3
2
1
21331
21=−+−⇒
−=⇒
+= ∑
∞
=
769292,29571
95711013
313123 ≈⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⇒=−+−⇒ xxxx
(réponse obtenue à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel de calcul symbolique).
33. Pour 22 21, , - - et -x -xx x x x x e e≥ ≥ ≤ ≤ .
( ) -xf x e= est une fonction de x continue, positive et décroissante.
De plus, -1 -11
1 1
lim lim - lim -b b-x -x -x -b
b b be dx e dx e e e e
∞
→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ .
Exercices supplémentaires page 887
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
Puisque l'intégrale converge la série -
1
x
ne
∞
=∑ converge aussi, de même que ∑
∞
=1
- 2
n
xe par le test de
comparaison directe, et finalement 2 2-
0 11 .-x x
n ne e
∞ ∞
= =
= +∑ ∑
34. La série ( )∑∞
=
+1
1lnn
na converge selon le test de comparaison directe.
En effet, ( )2 3
11 1 ... 1 ln 1 et
2! 3!nan n
n n n n n nn
a aa a a e a a a∞
=
+ < + + + + ⇒ + < ⇒ + < ∑ est une série
convergente par hypothèse, donc ( )∑∞
=
+1
1lnn
na converge également.
35. a) ( )
( )2 32
1 1 1 ... 11
d d x x xdx x dxx
⎛ ⎞= = + + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠−
∑∞
=
−=++++=1
132 ... 4321n
nnxxxx .
b) De a) nous tirons ( )
1 1
21 1
5 1 1 5 1 1 66 6 6 6 6 1 5 6
n n
n nn n
− −∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −
∑ ∑ .
c) De a) nous tirons ( ) qq
qp
qnpqqnpn
n
n
n 11 22
1
1
1
1 ==−
== ∑∑∞
=
−∞
=
− .
36. a) -
1 1 1
1 1 22 12 1 1 2
kk
kk k k
p∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑ ∑ ∑
( )( )
1- 1
21 1 1 1
1 1 1 1 12 2 22 2 2 2 1 1 2
kk k
kk k k k
E X kp k k k−∞ ∞ ∞ ∞
−
= = = =
⎛ ⎞= = = = = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ −
∑ ∑ ∑ ∑
b) 1651
6551
65
51
65
11
1
1=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== ∑∑∑
∞
=
∞
=
−∞
= k
k
kk
k
kkp
( )( )
11
21 1 1
5 1 5 1 1 66 6 66 1 5 6
kk
k kk k k
E X kp k k−−∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −
∑ ∑ ∑
c) ( )1 1 1
1 1 1 1lim 1 11 1 1k kk k k
pk k k k k
∞ ∞ ∞
→∞= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑
888 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( )1 1 1
1 11 1k
k k kE X kp k
k k k
∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑ ∑ , qui est une série divergente.
L'espérance mathématique n'est pas définie ici.
37. a) 0 0 0- -2 -0 0 0...kt kt nkt
nR C e C e C e= + + +
( )0
00
-
--
11
kt
nktkt0
eeeC
−−
= ,
d'où 11
lim00
00
-
-0
−=
−==
∞→ ktkt
kt
nn eC
eeCRR .
b) ( )-1 -
-11-1
10,36787944
1
n
n
e eR R e
e
−= ⇒ = ≈
− et
( )-1 -10
10 -1
10,58195029
1
e eR
e
−= ≈
−.
( )-10
-1010
-5
111 1 1
111
4,54 10 0,00005.
eR R e eR e
e Re
−−− − −= ⇒ = =
−−
= × <
c) ( ) .7541659,41
121
2et
-11
1,00,1-
1,0-,10-
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
−=
eR
eeeR
n
n
( )
.93,61,02ln2ln1,0
21ln1,0-21
211
11
21
11
2
1,0-1,0-
1,01,0
1,0-
≈>⇒>⇒
<⇒<⇒>−⇒
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−>
−−
⇒>
nn
nee
eeeRR
nn
n
n
La plus petite valeur de n est 7.
Exercices supplémentaires page 889
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
38. a) h 20ln05,01
0 == et
b) Il faut administrer une dose initiale capable de produire une concentration de 2 mg/ml,
suivie chaque 0t heures par une dose capable d'élever la concentration de 1,5 mg/ml,
où h 31,695,0
2ln02,01
0 ≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=t .
c) h 603,01,0ln
2,01
0 ≈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=t
39. Puisque ∑∞
=1
nna converge, 0 lim =∞→ nn
a .
Soit N un entier positif tel que
1 1 1 2 2 2 1
nn n n
n
aa a a
a< ⇒ − > ⇒ <
− pour tout Nn > .
( )2 3 4 2 3 4
2 3 4
ln 1 ... ...2 3 4 2 3 4
... 2 .
1
Nous avons n n n n n nn n n
nn n n n n
n
a a a a a aa a a
aa a a a a
a
+ = − + − + ≤ + + + +
< + + + + = <−
La série ( )1ln 1 n
na
∞
=
+∑ converge donc selon le test de comparaison directe avec la série
∑∞
=1 2
nna , qui converge en tant que multiple de la série convergente
1 n
na
∞
=∑ .
40. Nous pouvons utiliser le test de l'intégrale pour montrer que la série ( )( )3
1
ln ln lnp
n n n n
∞
=∑
converge si et seulement si 1>p .
La fonction ( )( )( )
1
ln ln lnpf x
x x x= est une fonction de x continue, positive et décroissante
pour 3≥x .
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3
3
1 1Si 1, alors lim ln ln ln ln ln ln
lim ln ln ln lim ln ln ln ln ln ln3 .
b
b
b
b b
p dx dxx x x x x x
x b
∞
→∞
→∞ →∞
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
890 Chapitre 4 Séries infinies
Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 4 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
-
3 3
- 1 1 1
3
1 1Si 1, alors lim ln ln lnln ln ln
ln ln ln ln ln ln ln 3 lim lim .
- 1 1 1
bp
p b
bp p p
b b
p dx x dxx xx x x
x bp p p
∞
→∞
+ − −
→∞ →∞
≠ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
Or, ( )( )1ln ln 0 si 1
limsi 11
p
b
b ppp
−
→∞
⎡ ⎤ >⎧⎢ ⎥ = ⎨⎢ ⎥ ∞ <− ⎩⎣ ⎦ donc
( )( )3
1
ln ln lnp dx
x x x
∞
∫ converge si 1>p et
diverge si 1<p .
En résumé, l'intégrale converge si 1>p et diverge si 1≤p , de sorte que la série converge si 1>p
et diverge si 1≤p .