Download pdf - Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices … · 2014-03-03 · Intégration et suites – Calcul intégral et suite numérique – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS

Intégration et suites – Calcul intégral et suite numérique – Exercices corrigés

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1

Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : étudier le sens de variation d’une suite définie par une intégrale

Exercice 2 : montrer qu’une suite définie par une intégrale est majorée ou minorée

Exercice 3 : déterminer la limite d’une suite définie par une intégrale (avec le théorème des gendarmes)

Exercice 4 : justifier la convergence d’une suite définie par une intégrale

Exercice 5 : démontrer qu’une suite définie par une intégrale est convergente et en préciser la limite

Exercice 6 : déterminer la limite d’une suite définie par une intégrale (après calcul du terme général)

Exercice 7 : donner la limite d’une suite définie par une intégrale (avec un changement de variable)

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Calcul intégral et suite numérique – Intégration

Exercices corrigés

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2

Soit ( ) la suite numérique définie par :

∫

Montrer que la suite ( ) est croissante.

Rappel : Linéarité de l’intégrale (linéarité additive et linéarité multiplicative)

Soient deux réels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :

∫ ( ( ) ( ))

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Pour tout entier naturel ,

∫ ( )

∫

∫

∫

D’après la linéarité de l’intégrale, il vient que :

∫ (

)

∫

∫ ( )

Or, pour tout réel [ ], d’après la croissance de la fonction exponentielle, il vient que ,

c’est-à-dire . Par conséquent, pour tout réel [ ], . Par ailleurs, pour tout réel

[ ], , d’où . Enfin, pour tout réel [ ] et pour tout entier naturel , .

L’intégrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], c’est-à-dire ( )

.

Rappel de la notion d’intégrande : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande.

Rappel : Positivité de l’intégrale

Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout réel [ ] :

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

Exercice corrigé 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

D’après la positivité de l’intégrale, en intégrant sur [ ], il vient finalement que :

( )

∫

( )

Pour tout entier naturel , donc la suite ( ) est croissante.



4


∫

Montrer que la suite ( ) est minorée.

Pour tout réel [ ] et pour tout , et . D’où pour tout [ ].

Par conséquent, d’après la positivité de l’intégrale, en intégrant sur [ ] (avec ), on a :

∫

pour tout entier naturel donc la suite ( ) est minorée par 0.

Exercice corrigé 2 (1 question) Niveau : facile




5


∫ ( )

Déterminer la limite de la suite ( ) .

Rappel : Conservation de l’ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d’une inégalité)

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout réel [ ] :

( ) ( ) ∫ ( )

∫ ( )

Remarques :

On dit que l’intégrale conserve l’ordre. La réciproque n’est pas vraie.

Pour tout réel [ ], . Or, la fonction logarithme népérien est continue et croissante sur

l’ensemble des réels strictement positifs, d’où ( ) , c’est-à-dire ( ) .

De plus, pour tout réel [ ], donc, en multipliant l’inégalité ( ) par , il

résulte que ( ) .

Ainsi, comme l’intégrale conserve l’ordre, en intégrant sur [ ], il vient que :

( ) ∫ ( )

∫

∫

[

]

[ ]

( )

Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement)

Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites de nombres réels et soit un réel.

Si, pour tout entier supérieur à un certain entier ,

Alors,

Exercice corrigé 3 (1 question) Niveau : moyen




6

Or,

donc la suite ( ) est encadrée par deux suites de limite nulle.

Finalement, d’après le théorème des gendarmes,

. Autrement dit, la suite ( ) tend vers 0.

Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur et



7


∫

1) Démontrer que, pour tout entier naturel , .

2) Etudier la monotonie de la suite ( ) .

3) En déduire la convergence de la suite ( ) .

1) Démontrons que, pour tout entier naturel , .

La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel , .

De surcroît, l’intégrale d’une fonction continue et positive étant positive, pour tout , .

2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .


∫

∫

∫ ( )

∫ ( )

Or, pour tout réel [ ], d’une part , c’est-à-dire et, d’autre part,

. Donc, pour tout , ( ) . En vertu de la conservation de l’ordre par

intégration, il vient que , c’est-à-dire . La suite ( ) est décroissante.

3) Concluons.

Rappel : Convergence d’une suite monotone

Toute suite croissante et majorée est convergente.

Toute suite décroissante et minorée est convergente.

D’après la première question, la suite ( ) est minorée par 0. En outre, d’après la question précédente, elle

est décroissante. Il résulte que la suite ( ) est convergente.

Exercice corrigé 4 (3 questions) Niveau : facile




8


∫

1) Calculer les deux premiers termes de la suite ( ) .

2) Montrer que la suite ( ) est croissante.

3) Montrer que la suite ( ) est majorée.

4) En déduire la convergence de la suite ( ) .

5) Montrer que

.

6) En déduire la limite de la suite ( ) .

1) Calculons les deux premiers termes de la suite ( ) .

∫

∫

∫

[

]

∫

∫

Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) . Cette fonction est dérivable sur [ ] et, pour tout réel

[ ], ( ) . De plus, cette fonction est positive sur [ ] d’où le résultat suivant :

∫ ( )

( )

[ ( ( )

)]

[ ( )]

Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur

( )

( ) ( ( )) dérivable et

Remarque :

, c’est-à-dire . On peut conjecturer que la suite ( ) est croissante.

2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .

Pour tout réel [ ], ( ). Or, pour tout réel [ ], et

donc , c’est-à-dire . Il vient l’inégalité puis, en

vertu de la décroissance de la fonction inverse sur ,

.

Exercice corrigé 5 (6 questions) Niveau : moyen




9

Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l’ordre par intégration que :

∫

∫

Finalement, pour tout entier naturel . La conjecture émise à la question précédente est vérifiée : la

suite ( ) est croissante.

3) Montrons que la suite ( ) est majorée.

Pour tout réel [ ], , d’où . Et, par passage à l’inverse, il s’ensuit que

.

Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l’ordre par intégration que :

∫

∫

∫

[

]

[ ]

Finalement, . La suite ( ) est donc majorée par le réel 1.

4) Montrons que la suite ( ) est convergente.

D’après la 2ème

question, la suite ( ) est croissante et, d’après la 3ème

question, la suite ( ) est majorée.

Par conséquent, la suite ( ) est convergente ; elle converge vers un réel que la dernière question

permettra de préciser.

5) Etudions la limite de la suite ( ) .

Pour tout réel [ ], on a :

Or, . Ainsi, comme la fonction inverse est décroissante sur , on a :

De plus, . Ainsi, comme la fonction opposé est décroissante sur , , on a :

En définitive, on a :

Par conséquent, comme l’intégrale conserve l’ordre, en intégrant sur [ ], il vient que :

∫ ( )

∫

[

]



10

En définitive, en utilisant cette minoration et la majoration obtenue à la 3ème

question, on a un encadrement de

la suite ( ) , à savoir

pour tout . Comme

, d’après le

théorème des gendarmes,

. La suite converge donc vers 1.



11

Pour tout entier naturel non nul, on pose :

∫

1) Calculer .


1) Exprimons en fonction de .

Soit la fonction définie sur [ ] (avec ) par ( )

. Cette fonction est une fonction linéaire

donc elle est dérivable sur et, pour tout réel [ ], ( )

.

Pour tout entier naturel non nul, on en déduit que :

∫

∫

∫ ( ) ( )

[ ( )]

[

]

(

) (

) (

) (

)

Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur

( ) ( ) ( ) dérivable

2) Déterminons désormais la limite de la suite ( ) .

( ( ))

( (

))

(

)

Rappel : Dérivabilité en un point et nombre dérivé

Soit une fonction définie sur . Soit un réel de .

est dérivable en si et seulement si

( ) ( )

( ). Ce nombre réel est alors appelé

nombre dérivé de en et est noté ( ).

Ainsi,

( ) ( )

( ) .

Exercice corrigé 6 (2 questions) Niveau : moyen




12

Or,

et

( ) ( ) donc, d’après le théorème sur la limite de la

composée de deux fonctions, il résulte que

(

) . Finalement, il vient par produit des limites que

. La suite ( ) tend vers e.

Rappel : Limite de la composée de deux fonctions

Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une fonction définie sur un intervalle , telle que

( ) . , et désignent des réels, ou .

Si

( ) et si

( ) , alors

( )( ) .

( )

( )

( ( ))



13


∫

( )

1) Calculer les 3 premiers termes de la suite ( ) .

2) Calculer l’intégrale pour tout entier naturel .


1) Calculons les 3 premiers termes de la suite ( ) .

∫

( )

∫

[

]

∫

∫

∫ (

)

[ ( )⏟

[ ]

]

En effectuant le changement de variable affine défini par , on a :

∫

( )

∫

∫ (

)

[ ⏟

[ ]

]

2) Exprimons l’intégrale en fonction de pour tout entier naturel .

En effectuant le changement de variable affine défini par , on a :

∫

( )

∫

∫ (

)

∫ ( )

[

]

[

]

(

)

( )( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

Exercice corrigé 7 (3 questions) Niveau : difficile




14

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

3) Précisons la limite de la suite ( ) .


( )( )

(

)

( ( )) ( (

))

( ) (

)

Or, d’une part, on a

d’où

(

) et

(

) . Ainsi, par produit des

limites, il vient que

((

) (

)) .

Et, d’autre part, on a

. Reste donc à calculer

.

Rappel : Fonction exponentielle de base a (a>0) / Fonction puissance d’un réel positif

Soit un réel strictement positif.

On appelle fonction exponentielle de base la fonction définie sur par ( ) .

Pour tout entier naturel , ( ) . Or,

( ) d’où

(( ) )

(car ). De plus,

. Ainsi, par composition des limites,

( ) , c’est-à-dire

. Et comme

, par produit des limites, il vient que

.

Par conséquent, par quotient des limites, on a

⏞

( )(

)

⏟

. La suite ( ) tend vers 0.