METHODES SIMPLIFIEES DE CALCUL
Réalisé par :
-Cheikh Sidiya Yacoub
-Mohammed Benkhalyl
Encadré par :
Mr. ABIDI
I- Introduction
Les poutres et les planchers BA sont généralement des éléments continus reposant sur
plusieurs appuis donc hyperstatiques. La première méthode qui se présente afin de
déterminer les inconnues hyperstatiques, et donc les sollicitations, est la méthode des 3
Moments (formule de Clapeyron). Cependant, l'emploi de cette méthode, bien qu'autorisée
par le BAEL, est discutable car :
La détermination des inconnues hyperstatiques se fait en supposant le matériau
homogène et en supposant que la largeur de la table de compression reste constante
dans une travée. Or, suivant le BAEL, le calcul des sections se fait en matériau
hétérogène, de sorte que le moment quadratique dépend du ferraillage. Puisque la
table n'intervient pas sur appuis, on peut admettre qu'elle se constitue, peu à peu, au
fur et à mesure que l'on se rapproche des moments positifs.
De plus, les conditions d'exécution par phase qui conduisent à réaliser certaines
travées avant d'autres, font que les caractéristiques du béton sont différentes.
La recherche des courbes enveloppes des sollicitations par une méthode classique de
calcul des structures représente un travail non négligeable.
D'autre part, en raison du comportement du Matériau Béton Armé, il y a une
redistribution du moment fléchissant de long des éléments fléchis. Par exemple, si on
considère une poutre continue sur 3 appuis subissant une charge uniformément
répartie, à l'ELU l'acier des chapeaux (armatures supérieures sur appui) atteint sa
limite élastique et s'allonge sous chargement constant (1.35G+1.5Q). Il s'en suit une
fissuration sur appui, entraînant une diminution du moment quadratique et une
rotation différentielle des 2 travées au droit de l'appui. La courbe de moment
fléchissant est donc décalée vers les moments positifs.
Ainsi, pour ces différentes raisons, des méthodes simplifiées validées par l'expérience
sont généralement employées. Ces méthodes sont :
la méthode forfaitaire [BAEL Annexe E1]
la méthode de Caquot [BAEL Annexe E.2
II- MÉTHODE FORFAITAIRE DE CALCUL 1. DOMAINE DE VALIDITE
L'application de la méthode forfaitaire de calcul implique que les conditions suivantes
soient réunies :
- la charge d'exploitation Q est au plus égale à deux fois la charge permanente G et à 5
kN/m2
- l'épaisseur est la même dans les différentes travées,
- les portées successives sont dans un rapport compris entre 0,80 et 1,25,
- la fissuration ne compromet pas la tenue des cloisons ni celle des revêtements de
sol
Les combinaisons d'actions sont celles de l’ELU et l’ELS.
2. PRINCIPE DE LA METHODE
Le principe de la méthode est d’exprimer les moments maxi. en travées et sur appuis en
fonction de Mo (moment dans la travée isostatique de référence).
Soit pour une travée quelconque :
Mo la valeur du moment fléchissant de la travée indépendante de même portée
correspondant, suivant le cas envisagé, à l'ELU ou à l’ELS.
Mw et Me les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite de la
travée considérée.
Mt le moment maximal en travée admis en prenant en compte la continuité.
Soit encore ∝=𝑄
𝑄+𝐺 et k =
1.35𝐺+1.15𝑄
𝑄+𝐺
avec G charges permanentes.
Q charges d'exploitation.
On peut choisir arbitrairement les valeurs des moments Mt, Mw et Me mais de manière à
respecter conditions suivantes :
Mt + Mw+ Me
2 ≥ (1 + 0.3 ∝)* Mo et Mt +
Mw+ Me
2 ≥ 1.05* Mo
Mt ≥1+0.3∝
2∗ Mo si la travée est une travée intermédiaire.
Q ≤ 2*G
Q ≤ 5 kN/m2
Et Mt ≥1.2+0.3∝
2∗ Mo si la travée considérée est une travée de rive.
La valeur absolue de chaque moment sur appui intermédiaire (du côté de la travée
considérée) ne doit pas être choisie inférieure à :
-0,60 Mo s'il s'agit d'une poutre-dalle à deux travées,
-0,50 Mo sur appuis voisins des appuis de rive d'une poutre-dalle à plus de deux
travées,
-0,40 Mo pour les autres appuis s'il s'agit d'une poutre-dalle à plus de trois travées
Lorsque pour un appui, les valeurs des moments aux nus de gauche et de droite de
cet appui sont différentes, on retient pour le calcul des armatures sur appuis la plus
grande des valeurs absolues de ces deux moments. Suivant que Mo a été évalué par
l'ELU ou l’ELS, on obtient ainsi les valeurs de Mt, Mw et Me pour l’état limite
correspondant.
+ Etapes de Calcul
1ière Méthode : Moment sur Appui
Le calcul est généralement réalisé à ELU.
calculer á, k, Mou pour toutes les travées.
Fixer les moments sur appuis aux valeurs mini. réglementaires.
Déterminer les moments en travée, en vérifiant les différentes inégalités.
Calculer les valeurs du moment à ELS en multipliant les valeurs ELU par K
2ième Méthode : Moment en travée
idem ci-dessus
Fixer les moments en travées aux valeurs mini. réglementaires
Déterminer les moments sur appuis, en vérifiant les différentes inégalités
Vérifier les conditions réglementaires sur appuis
3. COURBES ENVELOPPES DE M(X) ET V(X)
a. Effort Tranchant
Les valeurs de l'effort tranchant enveloppe peuvent être déterminées ou
forfaitairement ou en tenant compte des moments de continuité, avec Voi : effort
tranchant dans la travée isostatique considérée.
b. Tracé de la Courbe Enveloppe de M(x)
Courbe des moments isostatiques :
Après avoir déterminé la valeur Mo du moment maximal à mi- portée, on porte
MoO' = OMo. Les droites O'W et O'E sont les tangentes en W et E. Un point M
quelconque de la parabole, à l'abscisse WM' = x s'obtient en prenant le milieu P' de
WM', le milieu Q' de M'E, en rappelant P' et Q' en P et Q sur les tangentes O'W et O'E
puis en joignant PQ qui coupe la verticale de M'au point M cherché. La figure
suivante montre qu'il n'est pas nécessaire de recommencer cette construction un
grand nombre de fois (2 ou 3 suffisent) pour avoir un tracé très acceptable de la
demi-parabole, et de son ensemble ensuite, par symétrie.
tracé de la courbe enveloppe
Pour obtenir la courbe-enveloppe des moments de flexion, on effectue une construction par
points homologues. On trace d’abord la courbe des moments isostatiques selon le procédé
décrit ci-dessus. On trace ensuite une droite ∆’ reliant les points W’ sur la verticale de W et
E’sur la verticale de E tels que WW’ = Mw et EE’ = Me. On trace également une deuxième
droite ∆ obtenue en décalant vers le haut tous les points de la droite ∆’ de la quantité
0,3*α*M0 (voir figure suivante).
La courbe-enveloppe, composée des arcs (Ct), (Cw) et (Ce), se déduit de la courbe des
moments isostatiques en portant :
- pour l’arc (Ct), en prenant pour base la droite ∆, des segments a’1a’2, ou b’ 1b’2, etc., tels
que a’1a’2=a1a2, b’1b’2=b1b2, etc.,
- pour les arcs (Cw) et (Ce), en prenant pour base la droite ∆’, des segments c’ 1c’2tels que
c’1c’2=c1c2, etc.
4. abaques (ϒw + ϒe) = f(ϒt)
Pour déterminer Mt, Mw et Me on peut poser :
-Mt= γt*Mo
-Mw= γw*Mo
-Me= γe*Mo
Les abaques ci-après donnent (γw+ γe) si l'on s'est fixé γt ou inversement.
III- MÉTHODE CAQUOT
1. condition
Doit être appliquée chaque fois que l'une quelconque des conditions de validité de la méthode
forfaitaire énoncées ci-dessus n'est pas remplie.
Dans certaines conditions, les moments sur appuis dus aux seules charges permanentes peuvent être
minorés. (BAEL B.6.2,210).
2. Principe du calcul
Les différentes valeurs du moment sur un appui sont déterminées en prenant seulement en compte
les travées adjacentes. La poutre continue est remplacée par une succession de poutres à deux
travées dont les moments sont nuls sur les appuis extrêmes (fig. suiv).
Dans ce schéma, les portées réelles sont remplacées par des portées fictives l’w et l’e avec
L’=l pour une travée de rive et l’= 0.80l pour une travée intermédiaire.
+ Lorsque les deux travées aboutissant à l'appui étudié ont le même moment d'inertie et que
les charges sont uniformément réparties, l'expression du moment sur l'appui considéré est :
𝑀 =𝑝𝑤 ∗ 𝑙′
𝑤3
+ 𝑝𝑒 ∗ 𝑙′𝑒3
8,5(𝑙′𝑤 + 𝑙′𝑒)
On commence par déterminer, pour chaque appui, les valeurs du moment de flexion (négatif)
correspondant aux cas de charge suivants :
-charges permanentes seules (régnant donc sur l’ensemble des travées) :
pw=pe=G ou pw=pe=1,35G
- charge variable sur la travée à gauche de l’appui considéré :
pw=Q, pe=0 ou pw=1,5Q, pe=0
- charge variable sur la travée à droite de l’appuiconsidéré :
pw=0, pe=Qou pw=0, pe=1,5Q
+ Le moment sur appui correspondant à une charge variable agissant simultanément sur les
deux travées encadrant l’appui considéré s’obtient en additionnant les valeurs des moments
de flexion pour chacun des deux cas précédents.
+ Pour un chargement ponctuelle :
on pose :
si l=cts on a :
+ L'effort tranchant et le moment fléchissant sont calculés en considérant les travées réelles
(de portée l et non l').La travée (i) est chargée. Soit ϴ(x) l'effort tranchant et µ(x) Moment
fléchissant dans la travée isostatique associée. Par superposition on obtient donc les
équations des éléments de réduction dans la poutre hyperstatique :
V(X)= ϴ(x)+ Mi−1 −Mi
𝐿𝑖
M(X)= µ(x)+𝑀𝑖 ∗𝑋
𝐿𝑙+ 𝑀𝑖−1 ∗ (1 −
𝑋
𝐿𝑖)
+ Exemple des différents cas de charges à envisager à l'ELU (G et Q uniquement)
+ Courbe enveloppe :
-Recherche des abscisses de Moments nuls (foyers) :
avec :
-Mo moment isostatique .
-Ma et Mb moments sur appuis en
valeur algébrique .
-XO : abscisse relatif à Mt
-X’ et X ‘’ : abscisse relatif au
moment nul.
.
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