Semestre : S4, Module M14 : Mthodes quantitatives III, Matire : Mathmatiques III
Chapitre 3 : Fonction numrique de 2 ou 3 variables Limite - Continuit - Drivabilit
Srie d'exercices non corrigsExercice 1Dterminer le domaine de dfinition de chacune des fonctions suivantes : x3 + y3 + x3 y3 x2 + y2 x y 1) f ( x, y ) = 2) f ( x, y ) = 3) f ( x, y ) = 2 x+ y x2 + y2 x y24) f ( x, y ) = 6) f ( x, y ) = 8)
xy ,k 0 2 x + y2 k
5) f ( x, y ) = 7) f ( x, y ) =
x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 x2 + y2
x2 + y2 2x 4 y 4 x 2 y 2 1 9) f ( x, y ) = 2 1 x 1 y 2
x2 + y2 2x 4 + y 4 + x 2 y 2 1 10) f ( x, y ) = 1 x2 y2
Exercice 21) Dterminer 2) En dduire( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) :
f ( x, y ) = g ( x, y ) =
x3 + y3 x2 + y2 x3 + y3 + x2 + y 2 x2 + y2
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
g ( x, y ) :
Exercice 31) Montrer que les fonctions f 1 ( x, y ) = y2 x2 et f 2 ( x, y ) = 2 nont pas de limite en (0,0) . x2 + y2 x + y2 2) Quen est-il pour les fonctions f 1 + f 2 et f 1 f 2 ?
Exercice 4Dans chacun des cas suivants, tudier la continuit de la fonction f ( x, y ) au point (0,0) : 1) x3 + y3 f ( x, y ) = 2 x + y2 f ( x, y ) = x3 + y3 x2 + y2 x2 + y2 2x 4 + y 4 + x 2 y 2 x2 + y2 x2 y2 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0
2)
si ( x, y ) (0,0)
et
f (0,0) = 1
3)
f ( x, y ) =
si ( x, y ) (0,0)
et
f (0,0) = 0
4)
f ( x, y ) =
si ( x, y ) (0,0)
et
f (0,0) = 0
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Chapitre 3 : Fonction numrique de 2 ou 3 variables Limite - Continuit - Drivabilit
Exercice 51) Calculer les drives partielles de la fonction f ( x, y ) au point (2,1) : f ( x, y ) = xy + 2) Calculer les drives partielles de la fonction f ( x, y ) au point (2,1) : f ( x, y ) = xy
x y
Exercice 6Dterminer le domaine de dfinition et calculer les drives partielles des fonctions : x (1) f ( x, y ) = ln x + x 2 + y 2 (2) f ( x, y ) = x2 + y2
(
)
Exercice 7Calculer les drives partielles premires et secondes des fonctions : 2 2 2 2 (2) f ( x, y ) = x 2 + y 2 e (x y ) (3) f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 y e 2 x (1) f ( x, y ) = x 2 + y 2 e (x + y )
(
)
(
)
(
)
Exercice 8Dans IR 2 , on considre la fonction dfinie par f ( x, y ) = x2 + y2 x2 + y2 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0
1) La fonction f est-elle continue au point (0,0) ? 2) La fonction f admet-elle des drives partielles au point (0,0) ?
Exercice 9Soit f une fonction relle de deux variables. 1) Montrer que si x, y IR : f ( x,0) = f (0, y ) = 0 alors 2) Soit f la fonction dfinie par : a. Dterminer f ( x, y ) = f f (0,0) = (0,0) = 0 . x y
x 2 y + xy 2 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0 x2 + y2
f f (0,0) et (0,0) . y x b. La fonction f est-elle continue au point (0,0) ?
3) Mmes questions pour la fonction f dfinie par : f ( x, y ) = x3 y3 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0 x2 + y2
Exercice 10
On considre la fonction f ( x, y, z ) = ( x y )( x z )( y z ) . Montrer que : f f f X IR 3 (X ) + (X ) + (X ) = 0 x y z
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Chapitre 3 : Fonction numrique de 2 ou 3 variables Limite - Continuit - Drivabilit
Exercice 11fonction f ( x, y, z ) = x 2 + xy 3 z 3 et on pose F (u, v) = f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v) ) . Calculer les drives partielles de F par rapport u et v . On considre les fonctions x(u , v) = u 2 + v 2 , y (u , v) = uv v et z (u , v) = v 2 + u . On considre la
Exercice 12
1) Calculer les drives partielles secondes de la fonction f ( x, y ) = xy ln x . 2) Vrifier le thorme de Schwartz pour f ( x, y ) = x 2 y + x 3 y
Exercice 131) Soit f la fonction dfinie par : 3 x 2 y 2 xy 2 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0 x+ y f f f f (0, y ) et ( x ,0 ) , (0,0) et (0,0) . a. Dterminer x y x yf ( x, y ) =
b. En dduire
2 f 2 f (0,0) et (0,0) xy yx 2 f 2 f et en (0,0) ? xy yx
c. Que peut-on conclure sur la continuit des fonctions 2) Mmes questions pour la fonction f dfinie par :f ( x, y ) =
3 x 3 y 2 xy 3 si ( x, y ) (0,0) et f (0,0) = 0 x+ y
Exercice 14Soit f une fonction relle de deux variables homogne de degr n sur un ouvert D . Montrer que si f admet des drives partielles secondes continues sur D alors :2 2 f 2 f 2 f ( x, y ) D : x . 2 ( x, y ) + 2 xy ( x, y ) + y . 2 ( x, y ) = n(n 1). f ( x, y ) xy x y 2
Exercice 151) Pour quelles valeurs des rels et la fonction f ( x, y ) = x y + 3 x y + 2 x 2 / 3 + y 2 / 3 estelle homogne ? 2) Calculer les lasticits de f par rapport x et y .
Exercice 16Une fonction relle f de deux variables est dite harmonique si X D f : Les fonctions suivantes sont-elles harmoniques : (1) f ( x, y ) = 3 x 2 y y 3 + 2 xy (4) f ( x, y ) = ( x y ) 2 (2) f ( x, y ) = x 2 y xy 2 (3) f ( x, y ) = ( x + y ) 2 2 f 2 f (X ) + 2 (X ) = 0 x12 x 2
(5) f ( x, y ) = ( x + y ) 2 ( x y ) 2
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