Download pdf - Chapitre n°1 : Points et plan. Objectifs. Activités d ...scolamath.free.fr/newdocs/2nde/2_2015_CHAP1_Notes_de_cours.pdf · Chapitre n°1 : Points et plan. Objectifs. a)Repérer

1/23 - Chapitre n°1 : Points et plan

Chapitre n°1 : Points et plan.

Objectifs.a) Repérer un point du plan, placer un point connaissant ses coordonnées.b) Calculer la distance entre deux points.c) Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

Activités d'approche n°1.

Rappels (à savoir, et donc à recopier si nécessaire) :Voici un repère :

A a pour abscisse -1, et pour ordonnée 2. On note A(-1;2).B a pour abscisse 3, et pour ordonnée -2. On note B(3 ;-2).OI et OJ définissent les unités des deux axes. On parle du repère (O;I,J)

Définitions (à savoir, et donc à recopier si nécessaire):

Un repère est orthogonal si l'axe des abscisses est perpendiculaire à l'axe des ordonnées.Un repère est normé si l'unité des l'axe des abscisses a la même longueur que celle de l'axe des ordonnées.Un repère est orthonormé s'il est orthogonal et normé.

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x

y

A

-1

2

B

3

-2

Axe des abscisses

Axe des ordonnées

Abscisse

Ordonnée

IJO


(laissé blanc pour collage éventuel)

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1°) Tracer en rouge les axes (PI) et (PJ).2°) Dans le repère (P ;I, J), donner les coordonnées de

a) Amiens ……………….. b) Rennes ……………….. c) Perpignan………………..

3°) Identifier la ou les ville(s) de la carte

a) de coordonnées (–7, – 8) ……………….. b) d’ordonnée nulle ………………..

c) de même abscisse que Limoges ………………………………………………………..

d) d’ordonnée maximale ………………..

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4°) On note (x, y) les coordonnées d’une ville placée sur la carte.Identifier les villes de la carte correspondant à la condition donnée :

a. –11 < y < –9 ……………………………………………………..

b. x appartient à l'intervalle de nombres compris entre –12 et –8

(on note cela : x ∈ [–12 ;–8]) ……………………………………………………..

c. x –10 ou x7 …………………………………………………….

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d. x ∈[–10 ;+∞] …………………………………………………….

e. x<0 et y>0 ……………………………………………………

f. x = –2 ou y=–9 …………………………………………………….

5°) Vrai ou faux ?(A) Si x < –10 alors la ville V(x,y) est située en Bretagne. ................(B) Si la ville V(x,y) est en Bretagne alors x < –10. …...........................

(C) Si y < –5 alors la ville V(x,y) est située au sud de Paris. …............(D) la ville V(x,y) est située au sud de Nantes si y < –8 ….....................

6°) Calcul du milieu d'un segment.a) Montmorillon se situe au milieu du segment formé par Clermont-Ferrand et Nantes. Quelles sont les coordonnées de Montmorillon ?

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b) Berlin a pour coordonnées (21;12). Colmar est situé au milieu entre Berlin et Toulouse. Quelles sont les coordonnées de Colmar ?

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7°) Calcul d'une distance.

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a) Déterminez la distance en ligne droite entre Limoges et Toulouse et celle entre Clermont-Ferrand et Limoges. Quelle est la distance entre Clermont-Ferrand etToulouse.……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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b) Déterminez la distance en ligne droite entre Berlin et Toulouse.

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8°) Conclusion

Proposez une méthode de calcul pour :

- déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.

- déterminer la distance entre deux points.

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Activité d'approche n°2 :1°) Construire un repère orthonormé (i.e. les deux axes forment un angle droit,et on a la même unité de longueur sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées).

2°) Placer les points A(4;5), B(7,6), C(9,3), et D(6,2) .3°) Calculer, à partir des coordonnées de A et C, les coordonnées de I, milieu de [AC]................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

4°) On considère le quadrilatère ABCD. Que semble-t-il être ?.....................................................................................................................................................

5°) Justifier....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Activité d'approche n°3 :1°) Sur le repère précédent, calculer la distance AB...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2°) En utilisant la même méthode des différences de coordonnées, calculer la distance CD...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3°) Placer deux points G(8,3) et H(5;2). On considère le quadrilatère ABGH. Quelle est sa nature ? Justifier.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°1

Chapitre n°1 : Points et plan.A revoir si nécessaire : - placer un point dans un repère (différencier abscisses et ordonnées)- les propriétés des quadrilatères et des triangles.

Propriété n°1 (à savoir)

Dans un repère orthonormé, on place deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). Alors, lemilieu I de [AB] a pour coordonnées :..........................................................................................................................................................................................................................

Exemple n°1 (à savoir refaire) ( niv.1)Si on a A(5;-6) et B(-2;4), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées :I(........ ;..........)

(Calculs : …..............................................................................................................................)

Propriété n°2 (à savoir)

Dans un repère orthonormé, on place deux points A(xA;yA) et B(xB;yB). Alors onpeut calculer la distance AB avec la formule :….................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exemple n°2 (à savoir refaire) ( niv.1)Si on a A(-4;3) et B(8;-3), alors :AB² = ........................................................................................................................ AB² =........................................................................................................................ AB² =........................................................................................... AB² =.....................AB =............

Exemple n°3 (à savoir refaire) (niv.2)On a A(5;-6) et B(-2;4). Calculer les coordonnées de C de façon que B soit le milieu de [AC] :

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Exemple n°4 (à savoir refaire) (niv.3)On donne les points suivants : A(-2;1), B(0;4), C(6;0) et D(4 ;-3).Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°1Ex.7 p.160 (Hyperbole Nathan 2010)...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................




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Exercice n°5*Ex.48 p.164 (Hyperbole Nathan 2010)......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Exercice n°7*Ex.49 p.164 (Hyperbole Nathan 2010)...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°9*Dans un repère orthonormé (O;I,J), on place les points T(-2,2;1,2), A(-1,2;3,6) et C(6;0,6).1. Quelle est la nature de TAC ?2. Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle.3. Quelles doivent être les coordonnées de E pour que ECAT soit un rectangle ? Justifier................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.....................................................................................................................................................Exercice n°10*

On donne le programme de calcul suivant (un « algorithme ») :• 1 VARIABLES• 2 XA EST_DU_TYPE NOMBRE• 3 YA EST_DU_TYPE NOMBRE• 4 XB EST_DU_TYPE NOMBRE• 5 YB EST_DU_TYPE NOMBRE• 6 XM EST_DU_TYPE NOMBRE• 7 YM EST_DU_TYPE NOMBRE• 8 DEBUT_ALGORITHME• 9 AFFICHER "Entrez les coordonnées de A:"• 10 LIRE XA• 11 LIRE YA• 12 AFFICHER "Entrez les coordonnées de B:"• 13 LIRE XB• 14 LIRE YB• 15 XM PREND_LA_VALEUR (XA+XB)/2• 16 YM PREND_LA_VALEUR (YA+YB)/2• 17 AFFICHER "Les coordonnées de M sont:"• 18 AFFICHER XM• 19 AFFICHER " et "• 20 AFFICHER YM• 21 FIN_ALGORITHME

1. Faire fonctionner ce programme de calcul avec A(3;5) et B(0;7)2. Que fait-il ?...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°11**Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;I,J), on place les points P(-1,5;2), T(3,5;2) et L(2,5;4). 1. Faire une figure à compléter au fur et à mesure.2. Tracer le cercle (C) de diamètre [TP].3. Calculer les coordonnées de son centre et son rayon.4. En déduire que L est sur le cercle (C), et que O n'est pas sur (C).....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.....................................................................................................................................................Exercice n°12**

Dans le plan muni d'un repère orthogonal (O;I,J), on définit les unités : OI=1 cm, OJ=0,5 cm. ABCD est un quadrilatère dont les points ont les coordonnées suivantes, dans le repère (O;I,J) : A(2;3) ; B(-2;1); C(0;-3) et D(3;-1). 1. Placez les points et appliquez la formule du cours pour tenter de calculer AB,BC,CD et DA. Est-ce un losange ? Justifiez.

2. Dans un autre repère normé (O;I',J' ), on définit : I'OJ' =80°, OI=0,5 cm, OJ=0,5 cm. Placez les points A(2;3) ; B(-2;1); C(0;-3) et D(3;-1) et appliquez la formule du cours pour tenter de calculer les distances AB,BC,CD et DA. Est-ce un losange ? Justifiez..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°13***Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;I,J), on place le point A(3;5). On complétera la figure au fur et à mesure.1. Déterminer les coordonnées du point C tel que C ∈ [OA] (C appartient au

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segment [OA]) et OC= 34 OA.

. 2 D a pour coordonnées (3;-1). La parallèle à (OD) passant par C coupe [AD] en E. Calculer les coordonnées de E.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°14***Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;I,J), on place un point A(0;5).1. B est un point dont l'abscisse est 5, et tel que (abscisse de B)²+(ordonnée de B)²=25. Quelle est l'ordonnée de B ? Justifiez.2. C est un point dont l'abscisse est 3, et tel que (abscisse de C)²+(ordonnée de C)²=25. Quelle est l'ordonnée de C ? Justifiez.

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3. On s'intéresse finalement à tous les points An tels que :

(abscisse de An )²+(ordonnée de An )² = 25.

Quelle figure vont former tous ces points ? Justifiez votre réponse.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1. a.J(3,5 ;-2) b.K(1 ;-1) c.faire le repère et y placer les points.

Ex.2 . a.AB= √80 =4 √5Ex.3. a. milieu de [PR] :(-1 ;0,5). Milieu de [QS] :(-1 ;0,5) b. Voir l'activité 1.

Ex.4. AB= √18 =3 √2

Ex.5. C'est un losange (longueurs : √20 )

Ex.6. AB= √20 et de même AC= √20 , BC= √20 .( Attention : détailler les calculs, qui sont

un peu complexes. Penser aux égalités remarquables et à ( √a )²=a si a est positif.)

Ex.7. C'est un carré (Longueurs : √17 - Milieu : (0,5;3,5))

Ex.8. a.ABC est isocèle en A (Longueur : AC=5 et BC= √20 ) b. 10+ √20 ≈ 14,47 c. 10 (Indice : mettre les points dans un repère, prendre comme base AC).

Ex.9. 1.TAC est rectangle en A (Indice : utiliser le théorème de Pythagore). 2. (1,9;0,9) (Indice : utiliser la propriété du cerclecirconscrit à un triangle rectangle). 3.(5 ;-1,8)

Ex.10. 1. Affichage final : « Lescoordonnées de M sont : 1,5 et 6 ». 2. Ilcalcule les coordonnées du …

Ex.11. 1 et 2.

3. (1;2) et 2,5

4. AL=2,5 et AO= √5 ≈ 2,24

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Ex.12. 1. Non (Indice : pourtant, l'application de la formule donne l'impression que les distancessont égales. Qu'est-ce qui change, dans l'énoncé ?) 2. Non : même problème.

Ex.13. 1. C(94

;154

) 2. E(3;3,5) (Indice : utiliser le théorème

de Thalès et AC= 14

AO )

Ex.14. 1. 0 2. 4 3. Un cercle de centre... et de rayon … (Indice :Tous les points situés…....................................................................................... forment un cercle).

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe :….........................................................................................* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......* Je veux repasser le contrôle n°.......Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...Travail à faire pour la prochaine fois :- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...


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